初等数论二-夏子厚

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石大《初等数论》课件

考虑方程组
因为
是两两互素的，故由中国剩余
定理知，上述同余方程组有正整数解，于是，连
续的
二进制转为十进制
• 任意一个二进制表示的数
其中
或1（0≤j≤n），等于转换为
十进制为：
十进制转为二进制
• 以11为例，按照下面的方法转换：
2 11
余数
2 5 ………1＝a0
低位
2
2 ………1＝a1
高位
2
1 ………0＝a2
0 ………1＝a3
11=
同一数值的不同进制表示
对于任何一个数，可以用不同的进位制来表示。比如：十进制数 57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
并写出思考过程。
2 一张数学试卷只有25道选择题，做对1道题得4分，做错1道题扣1分，如果不做，不得分也不扣分。若某位同学得了78分，那么他做对道题，做错道题，不做道题。
参考解答：
1 46 92346 92346 92346 92346 92346 8517
这一31位数的所有数码之和为
任一大于1的整数a能表成素数的乘积：
（1）
其中
是素数。且在不计次序的
意义下，表示式（1）是惟一的。
算术基本定理的证明
第三篇不定方程
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、
整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。

初等数论网络课程第一讲

《初等数论》网络课程第一讲第一部分：应考指导一、考试相关情况说明（一）课程基本情况初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。

它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、不定方程和连分数理论等。

初等数论是数论的一个最古老的分支，它已经有2000年的历史，公元前300年，欧几里得发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。

公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。

2000年来，数论的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。

本课程介绍初等数论中的一些基础知识。

选用的教材是闵嗣鹤、严士健编著的《初等数论》，高等教育出版社，2013年9月第22次印刷。

课程内容及基本要求：第1章整数的可除性【内容】：整除的概念，带余除法，最大公因数与辗转相除法，最小公倍数，素数与合数，素数的性质，算术基本定理，函数[x]及其应用。

【要求】：理解素数与合数的概念、素数的性质，理解算术基本定理，会用筛法求素数。

了解函数[x]的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。

第2章不定方程【内容】：二元一次不定方程，二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解。

多元一次不定方程，多元一次不定方程有解的条件，求简单的多元一次不定方程的解。

勾股数。

【要求】：了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程解的方法。

知道多元一次不定方程有解的条件，会求解简单的多元一次不定方程。

了解勾股数。

第3章同余【内容】：同余的概念及基本性质，剩余类及完全剩余系，简化剩余系与欧拉函数。

欧拉定理、Fermat 小定理及其对循环小数的应用。

【要求】：理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练掌握整数具有素因子的条件，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。

初等数论2.

我喜欢数学
性质(6)
性质(7)
若a =a1d, b =b1d, (m, d) =1, a ≡b (mod m)，则 a1 ≡ b1 (mod m) .
性质(8) 若a ≡b (mod m)，k 为正整数，则 ka ≡ kb (mod km) .
a b m (mod ). d为a，b及m的任一正公约数，则 d d d
2019年4月13日11时56分
性质(5) 若a ≡b (mod m)，c ≡d (mod m) ，则 ac ≡ bd (mod m) .
同余式可以相乘。
推论
若a ≡b (mod m)，则 a k ≡ b k (mod m), k 为任意整数.
同余式的数乘。
推广
E
2019年4月13日11时56分
2019年4月13日11时56分
2、同余的性质：
(1) 反身性： a ≡ a (mod m). (2) 对称性：若 a ≡ b (mod m)，则 b ≡ a (mod m). (3) 传递性：若 a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m), 则 a ≡ c (mod m). (4) 若a ≡b (mod m)，c ≡d (mod m) ，则 a + c ≡ b + d (mod m) , a－c ≡ b－d (mod m). 同余式可以相加减。
例7 用弃九法验算 28947×34578 =1001865676 是否正确. 解 28947≡3 (mod 9), 34578≡0 (mod 9) 应有28947×34578 ≡0 (mod 9), 而 1001865676 ≡0 (mod 9), 所以计算必有错误. 弃九法只是运算结果正确的必要条件，而非充分条件 ! 因此只能判误.

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• A = { y|y =a1x1 a2x2 anxn，xiZ，1 i n } • 中的最小正数，则对于任何yA，y0y；特别地，
y0ai，1 i n。（证明留给学生自己） • （2）此类题目的证明方法具有一般性，通常是针
对所给的“最小正数”的概念进行反证法。
第一节整除与带余数除法
《初等数论》课程内容
• 第二章不定方程
• 第一节二元一次不定方程 • 第二节多元一次不定方程 • 第三节勾股数x2 y2 = z2
《初等数论》课程内容
• 第三章同余性质
• 第一节同余的概念及其基本性质 • 第二节完全剩余系 • 第三节欧拉函数与简化剩余系 • 第四节欧拉定理与费马定理
•
a = bq
• 成立，则称b整除a或a被b整除，此时a 是b的倍数，b是a的因数（约数或除数），并且记作：ba；如果不存在整数q 使得a = bq成立，则称b不能整除a或a不被b整除，记作：b a。|
第一节整除与带余数除法
• 定理1 下面的结论成立： • (1) ab，bc ac；（传递性） • (2) ma，mb m(a±b) • (3) mai，i = 1, 2, , n • ma1q1 a2q2 anqn， • 此处qi∈Z（i = 1, 2, , n）。
初等数论(一)
Number Theory （Chap1）
修改：贾祥雪
为什么学数论
• 有用 • 在研究函数，尤其是周期函数的时候经
常性要用到。 • 大学学习抽象代数及其后续课程的基础 • 计算机专业的必修课！尤其应用到算法
和密码两大领域 • 好玩，简单，美 • 自主招生、竞赛中考数论
为什么要这样学？
第一节整除与带余数除法

初等数论知识点总结

《初等数论》总结姓名 xxx学号 xxxxxxxx院系 xxxxxxxxxxxxxxx专业 xxxxxxxxxxxxxxx个人感想初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。

有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。

这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。

老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。

知识点总结第一章整数的可除性1.2性质：(1)传递性质)；(2)闭。

若反复运用这一性质，易则对于任意的整更一般，(3)若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余数除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。

注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1-b 。

若0=r ，即为a 被b 整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a （不超过b a 的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r 的不等式：b r <≤0。

证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生若n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n n n y xy y x x y x y x Λ；若n 是正奇数，则))((1221----+-+-+=+n n n n n n y xy y x x y x y x Λ；（在上式中用y -代y ）(7)如果在等式∑∑===mk k ni i b a 11中取去某一项外，其余各项均为c 的倍数，则这一项也是c 的倍数；(8)个连续整数中，有且只有一个是n 的倍数；(9)任何n 个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；第二章不定方程1. 定义：二元一次不定方程的一般形式是ax +by = c ，其中a ,b ,c 是整数2. 定理：(1) 不定方程有整数解的充要条件为 (a,b) | c. (2) 设是方程的一组解，则不定方程有无穷解，其一切解可表示成⎩⎨⎧+=-=t a yy t b x x 1010 Λ,2,1,0±±=t 其中),(,),(11b a b b b a a a ==3. 不定方程的解法：（1）观察法：当a,b 的绝对值较小时可直接观察不定方程的一组特解，然后用⎩⎨⎧+=-=ta y y tb x x 1010得到其所有解（2）公式法：当a,b 的绝对值较小时，可用公式211021110,,1,0,,1----+===+===k k k k k k k k P Q q Q Q Q P P q P q P P 得到特解n n n n P y Q x )1(,)1(010-=-=-，然后用公式写出一切解。

数论基础

第二节孙子定理
• 术曰： • 三三数之剩二, 置一百四十； • 五五数之剩三, 置六十三； • 七七数之剩二，置三十， • 并之，得二百三十三； • 以二百一十减之即得。
第二节孙子定理
• 凡三三数之剩一, 置七十； • 五五数之剩一, 置二十一； • 七七数之剩一，置十五， • 一百以上，以二百一十减之， • 即得。（求一术）
(3)
• 因此，因此由第二章第一节定理1知 (2)有解的充要条件是 d|b。
第一节同余方程的基本概念
• 若同余方程(2)有解x0，则存在y0，使得x0， y0是(3)式的解，此时，(3)式的全部解是
• 由式(4)所xy 确xy定00 的mddaxtt都满足，式t(2Z)。。
初等数论(四)
Number Theory （Chap4）
信阳职业技术学院夏子厚
第四章同余方程
• 教学目的和要求 • （1）理解同余方程（组）的基本概念， • （2）熟练掌握一次同余方程的解法，掌握质数模
的同余方程解的定理及其联系。
• （3）熟练掌握奇质数p的平方剩余和平方非剩余的欧拉判别条件，会求模p的平方（非）剩余。
第二节孙子定理
• 题文是说:求解同余方程组n 2 (mod 3)， n 3(mod 5)，n 2 (mod 7)
• 术文（即解答）中指出解题的关键是找出辅助系数F1，F2，F3，使其满足同余方程 35 F1≡1 (mod 3)
• 21F2≡1 (mod 5) • 15F3≡1 (mod 7) • 结果求得F1＝2，F2＝1，F3＝1。
• ab (p-1)(p-2) ······(p-a+1)
• (-1)a-1ba ! (mod p)

初等数论三-夏子厚

第一节同余的概念及其基本性质
• 定理3 设a，b，c，d是整数，并且
• a b (mod m)，c d (mod m)，则
• (4) a c b d (mod m)；
• (5) ac bd (mod m)。
• 证明： (4) 由定义1可知
•
ma b，mc d，
• 因此 m(a c) (b d)，
第二节完全剩余系
m
•
推一论个2完.1全若剩(余a, 系m)，=则d＞a1，x若xb通也过通模过模d
的
m
d
d
的一个完全剩余系。
• 留做练习。
第二节完全剩余系
定理3 若m1, m2N，(m1, m2) = 1，则当x1 与x2分别通过模m1与模m2的完全剩余系时，m2x1 m1x2通过模m1m2的完全剩余系。
第一节同余的概念及其基本性质
• 定义1 给定正整数m，如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，则称
a与b对于模m同余。记为
•
a b (mod m)，
• 如果余数不同，则称a与b对于模m不同
余。记为a b (mod m)。
第一节同余的概念及其基本性质
• 定理1 下面的三个叙述是等价的： • (ⅰ) a b (mod m)； • (ⅱ)存在整数q，使得a = b qm； • (ⅲ)存在整数q1，q2，使得 • a = q1m r， b = q2m r，0 r < m。
• n =7 77 73 (3)3 7 3 (mod 10)，
• 即n的个位数是3。
第一节同余的概念及其基本性质
• 注：一般地，若求 a bc 对模m的同余，
可分以下步骤进行：
• (ⅰ) 求出整数k，使ak 1 (mod m)；

初等数论简介PPT课件

杨辉[1250前后]，是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。著《详解九章算法》,《日用算法》等。
初等数论
费马 [法]1601-1665，是数学史上哥德巴赫 1690-1764，
最伟大的业余数学家，提出了费马德国数学家；曾担任中学
大、小定理；在坐标几何，无穷小，教师，1725年到俄国，
初等数论四、我国古代数学的伟大成就
1、周髀算经公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又
谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。
2、孙子算经约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不
清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成 “鹤龟算”。
初等数论一、初等数论及其主要内容
数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮
初等数论 4、最完美的数——完全数问题完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和，如：6=1+2+3.
下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14. 接着是496和8128.他们称这类数为完美数.
欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:

初等数论三-夏子厚

解由 N an1an2 a1a0 a2a1a0 100 a5a4a3 103
a2a1a0 a5a4a3 a8a7a6 (mod 7)，
• 得7N 7a2a1a0 a5a4a3 a8a7a6 • 由于789 456 123 1 = 455，7455， • 所以71123456789。
• 此即结论(4)；
第一节同余的概念及其基本性质
• （5）由定理1可知，存在整数q1与q2 使得a = b q1m，c = d q2m，
• 因此 • ac = bd (q1q2m q1d q2b)m， • 再利用定理1，推出结论(5)。
第一节同余的概念及其基本性质
• 推论3.1 若a b c (mod m)，
i0
i0
• 由上式可得到结论(1)。同理可得（2）。
• 为了证明结论(3)，把N写成
• N =an1an2 a1a 0 a2a1a0 100 a5a4a3 103 • 同理可得（3）。
第一节同余的概念及其基本性质
• 例2 求N = an1an2 a1a 0 被7整除的条件，并说明1123456789能否被7整除。
初等数论(三)
Number Theory （Chap3）
信阳职业技术学院夏子厚
第三章同余性质
• 教学目的和要求 • （1）熟练掌握同余的基本概念及性质。 • （2）熟练掌握剩余类、完全剩余系、简化
剩余系和欧拉函数的概念及其性质。 • （3）熟练掌握欧拉定理、费马定理和解某
些同余问题。
• 本章是初等数论的核心内容，是学生应必须掌握的基础知识。
第一节同余的概念及其基本性质
• 例3 说明 225 1 是否被641整除。
• 解依次计算同余式 • 22 4，24 16，28 256，216 154，232

初等数论第二章课件

第二章不定方程不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。

是数论中最古老的分支之一。

古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。

中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘幻灯片2建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。

秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。

百鸡问题说：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。

百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。

这是一个三元不定方程组问题。

1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。

近年来，这个领域更有重要进展。

但从整体上来说，幻灯片3对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。

另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。

幻灯片4第一节二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解决以下三个问题：①判断何时有解。

②有解时决定解的个数。

③求出所有的解。

本节讨论能直接利用整除理论来判定是否有解，以及有解时求出其全部解的最简单的不定方程———二元一次不定方程。

11(1)(,,,)(,)ax by ca b Z a b a b c +=∈、定理设二元一次不定方程不全为零有整数解的充要条件是：0000,1x y ax by c+=证：（必要条件）设为（）的一组整数解，则 00(,),(,),(,).a b a a b b a b ax by c ∴+=幻灯片6 11(,),(,),,,,00,,(,)(2)a b c c c a b c Z a b Z a b s t Z as bt a b =∈∈≠≠∈+=（充分条件）若设而对且，，则存在使得1111010100002(,)=,=1c asc btc a b c cx sc y tc ax by c x y +==+=在（）式两端同乘以得令，即得，故（）式有一组整数解，. 幻灯片7注：定理的证明过程实际给出求解方程（1）的方法：11()(1)(1)(,)(1),(1)n n n n n n n n n i Q a P b r a b s Q t P ---+-===-=-由辗转相除法等可求得，取；1010(),(,)(,)c c ii sc s x tc t y a b a b ====再取； 00(),(,)(,)1c c iii x s y t a b a b ==则就为方程组（）的一组整数解。

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《初等数论》读书报告一、书名：《初等数论》(第三版)二、著者：闵嗣鹤严士健编三、出版社：高等教育出版社四、页数：216页五、内容：第一章整数的可除性内容：§1 整除的概念・带余除法§2 最大公因数与辗转相除法§3 整除的进一步性质及最小公倍数§4 质数・算术基本定理§5 函数[x],{x}及其在数论中的一个应用通过本章的教学，要我们掌握整除的性质、掌握整除的基本概念，会使用带余数除法和辗转相除法，握最大公因数和最小公倍数的基本理论，掌握算术基本定理的推导，掌握除数和函数和完全数的基本理论；除数和函数和完全数的概念，掌握函数［x］、｛x｝基本理论。

数论函数［x］、｛x｝和N！的标准分解式的推导过程以及了解并掌握抽屉原则和逐步淘汰原则。

并使我们了解建立这一理论的各种途径和它们之间的相互关系，并能运用这些基本理论解决相应习题和竞赛题目。

掌握我认为本章的重点是整除的基本理论、带余数除法的两种表达方式；算术基本定理；除数和函数和数论函数［x］、｛x｝的基本性质和N！的标准分解式。

其中难掌握的是算术基本定理的推导；N！的标准分解式。

第二章不定方程内容：§1 二元一次不定方程§2 多元一次不定方程§3 勾股数§4 费马问题的介绍不定方程在历史上有极其丰富的研究，文献极其丰富，也留下很多经典的难题，比如百钱买百鸡问题。

另一方面，由于数学应用的空前普遍，方程及不等式的整数解问题研究，也有了应用前景。

在这一章我们首先要讨论二元一次方程有整数解的条件及其解法，进而讨论多元一次方程地解法，最后了解了一些高次不定方程和著名的费马问题。

第三章同余内容：§1 同余的概念及其基本性质§2 剩余类及完全剩余系§3 简化剩余系与欧拉函数§4 欧拉定理・费马定理及其对循环小数的应用§5 公开密匙――RSA体制§6 三角和的概念在本章中我接触了同余的概念，掌握同余的定义，理解并熟练掌握同余与整除的关系、同余的基本性质及其在算术中的应用；掌握它的基本性质和与整除之间的关系，掌握剩余类与完全剩余系的概念和性质，掌握欧拉函数与简化剩余系熟练掌握费马－欧拉定理与威尔逊定理的推导和应用。

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初等数论2.

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数论基础

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