高等数学极限习题500道

高数极限基础练习题

高数极限基础练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 $\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}$ 的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无穷2. 函数 $ f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) $ 在 $ x = 0 $ 处的极限为：A. 0B. 1C. 无定义D. $ \frac{\pi}{2} $3. 函数 $ g(x) = \frac{\sin x}{x} $ 在 $ x = \pi $ 处的极限为：A. 0B. 1C. $\frac{1}{\pi}$D. $-1$4. 极限 $\lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2}{e^n}$ 的值为：A. 0B. 1C. 无穷D. $\frac{1}{2}$5. 函数 $ h(x) = \frac{1}{1+x^2} $ 在 $ x = 2 $ 处的极限为：A. $\frac{1}{5}$B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{2}$二、填空题（每空2分，共20分）6. 极限 $\lim_{{x \to 1}} (x^2 - 1)$ 等于______。

7. 函数 $ f(x) = \frac{\ln(x)}{x} $ 在 $ x = e $ 处的极限为______。

8. 极限 $\lim_{{x \to \infty}} \frac{\sin x}{x}$ 存在，其值为______。

9. 函数 $ g(x) = x - \tan^{-1}(x) $ 在 $ x = 1 $ 处的极限为______。

10. 极限 $\lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - 1}{x}$ 的值为______。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限 $\lim_{{x \to 0}} \frac{\ln(1+x)}{x}$。

高等数学极限题500道

n
求数列的极限 lim n 2 4n 5 (n 1) ．
n

求数列的极限 lim
n
n 4 3n 3 6 (n 1)(n 1) ． n
求数列的极限 lim
n
an ． (其中 a 1)． 2 an
1 1 1 )(1 2 ) (1 2 )． 2 2 3 n
求 lim nln( 2n 1) ln( 2n 1)之值．
n
求极限 lim (1) n n sin( n 2 2 )．
n
x 2 1 1 lim e 1 x 的值 _____________ 求极限 lim (n ) ln(1 )． n 2 n x0 x 3 sin x
确定a，b之值，使 lim
x

3x 2 4 x 7 (ax b) 0，
x
并在确定好a，b后求极限 lim x

3x 2 4 x 7 (ax b)

求极限 lim( x
x
x 1 x) ． x 1
求极限 lim
2 x cos x ． x 3x sin x
1 1 1 求数列的极限 lim n 1 3 35 (2n 1)(2n 1) 1 1 1 1 求数列的极限 lim n 1 2 2 3 3 4 n ( n 1) ．
求数列的极限 lim
已知f ( x)
已知 lim
x 1
lim
x 0
1 cos(sin x) 的值等于 ___________ 2 ln(1 x 2 )
求极限 lim
x 0

大学高数极限考试题及答案

大学高数极限考试题及答案# 大学高数极限考试题及答案一、选择题1. 下列函数中，极限不存在的是（）A. $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $ 当 $ x \to 1 $B. $ g(x) = \sin(x) $ 当 $ x \to \pi $C. $ h(x) = x^2 $ 当 $ x \to 2 $D. $ k(x) = \frac{\sin(x)}{x} $ 当 $ x \to 0 $答案：A2. 计算极限 $ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x + 1} $ 的结果是（）A. $ \infty $B. $ 1 $C. $ 0 $D. $ \frac{1}{2} $答案：A二、填空题1. $ \lim_{x \to 0} x \cdot \sin(\frac{1}{x}) = $ ______答案：02. $ \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = $ ______答案：0三、计算题1. 计算极限 $ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} $。

解答：$ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3}\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6 $2. 计算极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} $。

解答：使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）：$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1 $四、证明题1. 证明 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $。

高等数学极限习题500道1

精品文档00若当x 0时，(x) （1 ax ） 31与（x ） cosx 1疋等价无穷小，则 a A . 1 B . 3C . 1D . 3 2 22 2答（）求 lim n In(2n1) ln (2 n 1）之值X?彳 2 lim e 3 1 X 的值 x 0x sinxsin x求极限lim (12x)2 沁之值.x 071l]m 〔 ln(1 x) (x 1)2 A ・B.1C .0D ・ln 2答()sin xlim (1 2x)kx 0A .B ・ e 2C ・ eD .2答()lim x 9 的值等于 _______________________ x 3x x 6的值等于 _____________xe 4e xlimx3e x2e xA . 1B .2C .D .不存在3答:(2 x)3(3 x)5limx(6 x)8A. 1B.1C.D.不存在精品文档00答：（(1 2x)10(1 3x)20(1 6x2)15lim x求极限limx 1 x3 3x 2x2 x 1求limx 0 31 6x 41 2xx(x 5)之值.答()设f (x) 一3-r ，则 f( 0) __________2 e xx叫arccotA.0B.C.不存在.D.—2 答()2x xlim -—e —厘的值等于 X 0 1 cosx<2(1 cos2x)limx 0xA. 2B. 2C.不存在.D. 0答：()关于极限 5 limr x 01结论是：3 e x55A5B 0C -D 不存在 34答 ()lim tan x arcta n —x 0xA.0B.不存在.C.2D. 2答()arcta n(x 2)limxx A.0B.C.1D.——2答()limxA.2B. 2C. 2D.不存在 2x 12设f(x)兰雪卫，其中P 、q 为常数.x 5问：(1)p 、q 各取何值时,lim f (x) 1；x(2) p 、q 各取何值时，lim f (x)0 ；x(3) p 、q 各取何值时，lim f (x) 1x 5# 2n2 z 2 n2求极限 lim (x n 2)2一耸22^•x (x n 1)2 (x n 1)223求极限lim (一^-——)一.x(2x 3 3)2啊册肾的值等于—— 应用等阶无穷小性质，求极限lim arctan1 x) arcta n (1 x).x 0 x 求极限lim J 5x匚空.x 0x 2x答()已知 Atanx B(1 cosx)2!(其中A B 、C 、D 是非0常数)x 0Cln(1 2x)D(1 e x )则它们之间的关系为答()已知xm Z 考4,试确定a , b 之值.limxsin x(A)1 (B)(C)0(D)不存在但不是无穷大lim xsin -之值 (A) 1 (B) 0 (C)(D)不存在但不是无穷大答()(A)B 2D (B)B2D (C)A 2C (C)A 2C当x0时，下列变量中，为无穷大的是答(答()3 2设lim -一axA ，则必有 X 1 x 1答()x 2 1 丄当x 1时，f(x) — ^e x1的极限x 1 (A)等于2 ; (B)等于0;(C)为；(D)不存在但不是无穷大.答( )3x 2求a , b 使 lim( 3- -ax b) 1xx 1 设 lim ( 3x 2 4x7 ax b)0,试确定 a , b 之值x计算极限 limx 2x 3 3x 2 3x x 2 x 2计算极限 x xcosx .. e elim 厂x 0x ln(1 x )求limx x2e 3e x 4e lim(1 x 0 计算极限lim x 0 1 .1 x 2x 2e cosx lim x 3x 2 55x 3.4sinx(A)sin x(B)ln x(C)arctan (D) arc cot (A)等于0 ; (C)为无穷大(B)等于、2 ;(D)不存在，但不是无穷大(A) a 2, A 5; (B) a 4, A 10; (C) a 4, A 6 ;(D) a 4, A 10.2 2x精品文档1计算极限计算极限计算极限计算极限lim 1 xsinx cos2xx 0 xta nxlimx 0lim x 0 i4 tan xtanxe.4 sin xsin x ecosx e2xxim(17 x 21极限 lim(cos x)，x 0A • 0 ；B •C . 1；答（）x x极限lim -- ---- 的值为()x 0x(1 x 2)A . 0；B . 1；C . 2 ；D . 3. 答()极限lim 1 cos3x 的值为() x 0 xsin3x123 A.0； B.~6 ； Cp ； D -"2 .答(2 2极限刖x x)畀1 x x) A . 0 ； B . 1；C . 2 ；D . 3.精品文档1答（）1极限 lim(cos x)xx 0A . 0 ；B . e 2 ；答（）1；精品文档3x当x 1时，无穷小量 —_—是无穷小量.x 1的1 2xA .等价无穷小量；B .同阶但非等价无穷小量；C .高阶无穷小量；D .低阶无穷小量.答（）已知lim （1 kx ） x e ,则k 的值为x 01A . 1;B .1; C . —; D . 2.2答（）答（1极限lim （1 2x 疗x 01 2 2A . e ；B .— ；C . e ；D . e .e答（）极限lim （・」）x4的值为（）xx 1A . e 2 ；B . e 2 ；C . e 4 ；D . e 4.答（）2x 1极限lim 红」的值是x2x 11A . 1 ；B . e ；C . e 2 ；D . e 2答（）答（极限lim （ 1 丄说的值为 2xA . e ；C . e 4 ；1e z极限lim x 0tanx sinx的值为精品文档A . 1 ；B . 0 ；C .1 ； D .答（）极限lim 二 6^_8的值为x 2x 8x 12 A . 0； B . 1； C .12 ； D . 2.答（）数列极限 lim （、n 2n1n n ）的值为 A . 0 ； B ・一；C . 1;D ・不存在.2答（）已知x^J3汁1,则C 的值为极限limxsin xA .1；B . 1； 2已知limax 61 1 x A .7； B . 7C .2C • 2；D • 3.答（）5,则a 的值为 D . 2.答（）a cosx1已知limx 0xsin x 2A . 0 ；B . 1；C . 已知lim sin kx 3, x 0x （x 2）3A .B . —>2则a 的值为2 ； D .1.答（）则k 的值为C . 6 ；D . 6.答（）oc\)z为值精品文档x e 设函数f(x) 1, x 2, cosx . 00,则 lim f (x) x 00 A . 1; B.1; C.O ;D .不存在. 答（）设f (x) x A.1; B .2; tan kxx 3，xC .3;且lim f （x ）存在，则k 的值为 x 0当 x 0时,2si nx （1 A .冈阶但不等价无穷小； C .高阶无穷小； D .4. 答（） cos x ）与X 2比较是（） B .等价无穷小； D .低阶无穷小. 答（）设函数f （x ） xcos 丄，贝V 当x x 时，f （x ）是 A .有界变量; C .无穷小量; 设函数f （x ） xsin A .无界变量；C .有界，但非无穷小量 B .无界，但非无穷大量；D .无穷大量. 答（），则当x 0时，f （x ）为 B .无穷大量；D .无穷小量.答（）。

高等数学极限习题500道汇总

．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim)()(11110x x x x x x o o x x 答（）．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x（）答阶的是时，下述无穷小中最高当x x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim nn n ++∞→ _____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x ．及求证：，，设有数列n n n n n n n n n n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221．及，求记：，　．，设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221 求极限之值．lim ()cos sin x x x x x→+-0212设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x B u x A →→→=>==0000[] 答（）．．．．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（）．．．．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x x x x =+→[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f x x x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在．．．D C B A e e e e x x x x x 1231234lim =++--∞→ 答：（）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x x x x →+--+03416125 已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0000关于极限结论是：不存在答（）lim x x e A B C D →+015353054答（），则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim .)(lim )(lim )(000000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答（）不存在 2.2...0.1arctan tan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（）不存在 .2.2.2.312lim 2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x ，则设答（）不存在 2....0.1cot arc lim 0ππ=→D C B A xx lim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123，则其中答（）π____________cos 13lim 20的值等于x x e e x x x ----→lim (cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，；、各取何值时，；、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++32232332[]之值．、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim 2241=--+-+-+→之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x d cx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明：．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件答（）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是．lim ()lim ()()lim ()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=00000000 ．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a n n ．：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a a nn ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim 2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→[]之值．求极限3sin 01)(cos lim x x x x -→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。

数学极限题

1、当x趋近于无穷大时，下列哪个函数的极限为0？A. x2B. 1/xC. exD. sin(x)（答案）B2、求极限lim(x->0) (sin(3x) / x) 的值是多少？A. 0B. 3C. 1/3D. 无穷大（答案）B3、下列哪个极限表达式的结果为无穷大？A. lim(x->0) (1 / x2)B. lim(x->1) (x2 - 1) / (x - 1)C. lim(x->无穷大) (1 / ex)D. lim(x->0) sin(x)（答案）A4、求极限lim(x->1) (x3 - 1) / (x - 1) 的结果是多少？A. 0B. 1C. 3D. 无穷大（答案）C5、当n趋近于无穷大时，数列1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n+1)的极限是多少？A. 0B. 1C. 1/2D. 无穷大（答案）B6、求极限lim(x->0) (1 - cos(x)) / x2 的值是多少？A. 0B. 1/2C. 1D. 无穷大（答案）B7、下列哪个函数的极限在x趋近于0时不存在？A. sin(x) / xB. (x2 - 1) / (x - 1)C. 1 / xD. ex - 1（答案）C8、求极限lim(x->无穷大) (x + 1) / (x - 1) 的结果是多少？A. 0B. 1C. -1D. 无穷大（答案）B9、当x趋近于0时，下列哪个函数的极限与x的极限不相等？A. sin(x)B. tan(x)C. x3D. x2（答案）B（注：tan(x)在x=0处无定义，但其他选项在x=0处的极限均为0）10、求极限lim(x->pi/2) sin(x) / cos(x) 的结果是多少？A. 0B. 1C. -1D. 无穷大（答案）D（注：此时cos(x)趋近于0，而sin(x)趋近于1，因此极限为无穷大）。

高数函数与极限练习题

高数函数与极限练习题一、函数的基本概念1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 3x + 4(2) g(x) = 2x^2 + 5x + 1(3) h(x) = e^x x2. 求下列函数的定义域：(4) f(x) = √(x^2 9)(5) g(x) = 1 / (x 2)(6) h(x) = ln(x^2 4)3. 判断下列函数的奇偶性：(7) f(x) = x^3 3x(8) g(x) = sin(x) + cos(x)(9) h(x) = e^x e^(x)二、极限的计算4. 计算下列极限：(10) lim(x→0) (sin(x) / x)(11) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(12) lim(x→+∞) (1 / x^2 1 / x)5. 讨论下列极限的存在性：(13) lim(x→0) (sin(1/x))(14) lim(x→0) (x^2 / sin(x))(15) lim(x→+∞) (x ln(x))6. 计算下列极限：(16) lim(x→0) (e^x 1) / x(17) lim(x→+∞) (x^2 + x + 1) / (2x^2 + 3x 1)(18) lim(x→∞) (x^3 + 3x^2 + 2x + 1) / (x^4 + 4x^3 + 3x^2)三、无穷小与无穷大7. 判断下列表达式的无穷小性质：(19) sin(x) x(20) 1 cos(x)(21) e^x 1 x8. 判断下列表达式的无穷大性质：(22) 1 / (x 1)(23) ln(1 / x)(24) x^2 e^x (x > 0)四、连续性与间断点9. 讨论下列函数的连续性：(25) f(x) = |x 1|(26) g(x) = { x^2, x < 0; 1, x ≥ 0 }(27) h(x) = { sin(x), x ≠ 0; 1, x = 0 }10. 求下列函数的间断点：(28) f(x) = 1 / (x^2 1)(29) g(x) = √(1 cos(x))(30) h(x) = ln|x^2 4|五、综合题11. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，求lim(x→+∞) f(x)。

高等数学极限习题500道

答（）．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n_____________sin 1lim3202=--→的值x x xex x求极限之值．lim ()cos sin x xx xx→+-0212[] 答（）．．．．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（）．．．．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xxx =+→_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在．．．D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答：（）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x____________lim 0的值等于xx x e e x-→-．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x xx x →+--+03416125关于极限结论是：不存在答（）limx xeA B C D →+015353054 答（）不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（）不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x，则设答（）不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xx____________cos 13lim 20的值等于xx e e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，；、各取何值时，；、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211求极限．lim ()()x x x →∞++32232332之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→___________)1ln(2)cos(sin 1lim2的值等于x x x +-→ ．求极限应用等阶无穷小性质，xx x x )1arctan()1arctan(lim--+→求极限．limx x xx x →+--+0215132limsin ()()()()x x xA B C D →∞=∞10 不存在但不是无穷大答（）lim sin ()()()()x x xA B C D →∞===∞110之值不存在但不是无穷大答（）已知　其中、、、是非常数则它们之间的关系为答（）limtan (cos )ln()()()()()()()x x A x B x C x D eA B C D A B D B B D C A C C A C →-+--+-===-==-011211022222计算极限lim x x x x x x →-+---23223322计算极限lim ln()cos x x x x e ex x →-⋅+021求．lim x x xx xe e e e →∞---+234．____________)31(lim sin 20=+→xx x计算极限limcos x x xe x →---02112_____________________4sin 3553lim 2=⋅++∞→xx x x　）答（穷大的是时，下列变量中，为无当x D x C x B xx A x 1cotarc )(1arctan )(ln )(sin )(0+→答（）不存在，但不是无穷大为无穷大　等于　等于 .)( ;)(;2)( ; 0)(2coslim 2D C B A x x x +→ 答（），　，，　，，则必有设. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(14lim 231=-=-==-=====-+--→A a D A a C A a B A a A A x x ax x x）答（不存在但不是无穷大为等于等于的极限时，当. )( ; )(;0)( ; 2)(11)(1112D C B A ex x x f x x ∞--=→-求，使a b x x ax b x lim()→∞++-+=32112之值。

极限练习题含答案

极限练习题含答案极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的行为。

下面是一些极限练习题及其答案，供同学们学习和练习。

练习题1：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案1：根据洛必达法则或者直接使用三角函数的性质，我们可以知道：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]练习题2：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]答案2：分子和分母同时除以$ x^2 $，得到：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} +\frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 3 \]练习题3：求极限\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} \]答案3：这是e的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \]练习题4：求极限\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \]答案4：这是一个无穷小量的倒数，当$ x $趋近于1时，$ x - 1 $趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \text{ 不存在} \]练习题5：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} \]答案5：分子分母同时除以$ \sin x $，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 =\frac{2}{3} \]练习题6：求极限\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x \]答案6：使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质，我们可以得到：\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \]练习题7：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]答案7：当$ x $趋近于无穷大时，$ \sin x $的值在-1和1之间波动，但相对于$ x $来说，它趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]练习题8：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]答案8：这是e的导数的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]以上练习题和答案可以帮助同学们更好地理解和掌握极限的概念和求解方法。

极限简单练习题(打印版)

极限简单练习题（打印版）一、选择题（每题10分，共50分）1. 函数f(x) = x^2在x=0处的极限是：A. 0B. 1C. 2D. 不存在2. 以下哪个函数在x趋向于无穷大时的极限是无穷大？A. f(x) = 1/xB. f(x) = x^2C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^(-x)3. 函数f(x) = (x^3 - 3x^2 + 2) / (x^2 - 1)的极限，当x趋向于1时，其值是：A. 0B. 1C. 2D. 不存在4. 若函数f(x)在x=a处连续，则：A. f(a)存在B. lim(x→a) f(x)存在C. f(a) = lim(x→a) f(x)D. 以上都正确5. 函数f(x) = sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题（每题10分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在x=1处的导数是______。

2. 若函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1，其在x=0处的极限是______。

3. 函数f(x) = 1/x在x趋向于0时的极限是______。

三、解答题（每题20分，共20分）1. 求函数f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2)在x趋向于2时的极限，并说明理由。

答案：一、选择题1. A2. B3. C4. D5. B二、填空题1. 22. 13. ∞三、解答题函数f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2)在x趋向于2时的极限为2。

这是因为我们可以将函数简化为f(x) = (x+2)(x-2) / (x-2)，当x不等于2时，分子和分母中的(x-2)可以相互抵消，得到f(x) = x + 2。

因此，当x趋向于2时，极限为2 + 2 = 4。

高等数学极限习题500道51304

．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(11110x x x x x x o o x x 答（）．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x（）答阶的是时，下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim n n n ++∞→_____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x．及求证：，，设有数列n n n n n n n nn n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221．及，求记：，　．，设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221求极限之值．lim ()cos sin x x x xx→+-0212设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x Bu x A →→→=>==0[] 答（）．．．．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（）．．．．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xx x =+→[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f xx x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在．．．D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答：（）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于xx x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x x x x →+--+03416125已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0关于极限结论是：不存在答（）limx xeA B C D →+015353054答（），则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim.)(lim )(lim )(0000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答（）不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（）不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x，则设答（）不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xxlim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123，则其中答（）π____________cos 13lim 20的值等于xx e e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，；、各取何值时，；、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++32232332[]之值．、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim2241=--+-+-+→之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x dcx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明：．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x ．用无穷大定义证+∞=-+∞→)4(lim 3x x x ．其中用无穷大定义证)10( log lim <<-∞=+∞→a x ax[]若当时，、都是无穷小，则当时，下列表示式哪一个不一定是无穷小答（）x x x x x x A x x B x x C x x D x x →→+++⋅02221αβαβαβαβαβ()().()()()()()()()l n ()()()()()＂当，是无穷小量＂是＂当时，是无穷小量＂的充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件答（）xx x xx x A B C D →→0αα()()()()()()＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件答（）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是．lim ()lim ()()lim()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=0000000．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a n n ．：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a ann ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→ []之值．求极限3sin 01)(cos lim xx x x -→[]求极限之值．l i m (s i n )x xxx x →+-0311 ________1)sin (cos lim 220=-+→xx x xx_____________1)21(lim 230=-+→xx x x ________1)sin 1(lim 0=-+→x x xx ______________1)(cos lim 3sin 20=-→xx x x 求极限之值．l i m ()x x x x x →∞+--⎡⎣⎢⎤⎦⎥21111．时　试证明：当．时，，且当的某去心邻域设在)(~)()(~)()()()(0000x u x x x x x x x x x u x x α→βα→β≤≤α<[]．求证：存在．，，时，设当A x u x x A x u x x x x x o x x x x x x x x =β-α≠=β-αααα=β→α→→→)()()(lim )0()()()(lim )(~)()()(0)(110 求之值．l i m ()()()x x x x →+-+--0572*******[][]设当，，，，均为无穷小，且；，如果试证明：．x x x x x x x x x x x x Ax x x x x x x x x x →=+=+→→→01111111111ααββααββαβααββ()()()()()~()()~()l i m ()()l i m ()l i m ()()()[]设当，，都是无穷小，且，试证明：．x x x x x x x x x x →≠≠+0001αβαβααββ()()()()()~()()()[][])()(1)(1lim )(1)(1lim )()(lim )(~)()()(111000是正常数式中．试证明：；如果均为无穷小，且与时，设当a x x x x A x x x x x x x x a x x ax x x x β-α+=β-α+=βααααα→→→→．用数列极限的定义证0!1lim =∞→n n成立．时恒有　存在，使当试证必有正整数．，且设22lim CA x AB N n NC A B A x n nn +<<+><<=∞→{}{}设有两个数列，满足；为定数．试证明：．x y x y M M x y n nn nn n n n()l i m ()()l i m ()1020→∞→∞=≤⋅=设，求证：．l i m ()l i m ()x x x x f x A f x A →→==00求极限lim s ins in x x x x →021[]求极限l i m c o s l n ()c o s l n x x x →+∞+-1 求极限．l i m s i n x x x →+011 求极限．l i m a r c t a n x x x x →∞+2112 求极限l i m ()x x x e →∞+11 求极限l i m a r c t a na r c s i n x x x →∞⋅1 求极限．l i m x x x →-+012122)sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极[]Ax f A u f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 00试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。

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【最新整理，下载后即可编辑】．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(11110x x x x x x o o x x 答（）．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x（）答阶的是时，下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim nn n ++∞→ _____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x．及求证：，，设有数列n n n n n n n nn n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221．及，求记：，　．，设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221求极限之值．lim ()cos sin x x x xx→+-0212设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x Bu x A A v x Bu x A →→→=>==0[] 答（）．．．．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（）．．．．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xxx =+→[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f xx x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在．．．D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答：（）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x xx x →+--+03416125已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0关于极限结论是：不存在答（）limx xeA B C D →+015353054答（），则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim.)(lim )(lim )(0000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答（）不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（）不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x，则设答（）不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xxlim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123，则其中答（）π____________cos 13lim 20的值等于xxe e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，；、各取何值时，；、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n nn n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++32232332[]之值．、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim2241=--+-+-+→之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x dcx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明：．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件答（）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是．lim ()lim ()()lim()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=0000000．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a nn ．：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a a nn ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim 2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→[]之值．求极限3sin 01)(cos limx x xx -→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。

高数极限基础练习题

高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。