利用一元二次方程解决几何问题

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解这个方程,得
∴x1=3.5, x2=0(不合题意,舍去). B
7x-10 甲:
∴3x=3×3.5=10.5, 7x=7×3.5=24.5.
答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.
• 2.绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长 方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽来自百度文库为多少?
2.6 应用一元二次方程
第1课时 利用一元二次方程解决几何问题
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a.
解 : 设彩纸条的宽为 xcm,根据题意,得
(18 2x)(12 2x) 1812 2 1812. 整理得: x2 15x 36 0. 3
解这个方程 ,得 :
x1
15 3 2
41 2.1;
x2
15 3 2
41 0(不合题意,舍去).
答:彩纸条的宽约为2.1cm.
列方程解应用题的一般步骤是: 1.审; 2.设; 3.列; 4.解; 5.验; 6.答. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
解 : 设长方形绿地的宽为 xm,根据题意,得
x(x 10) 900.
整理得:
x2 10x 900 0.
x x+10
解这个方程 ,得 :
x1 5 5 37 25.41; x2 5 5 37 0(不合题意,舍
x 10 5 5 37 10 5 5 37 35.41. 答 : 这块长方形绿地的长和 宽分别约是 25.41m,35.41m.
大意是说:已知甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3.乙一直向东 走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲,乙各走 了多远?”
解:设甲,乙相遇时所用时间为x,根据题意,得
(7x-10)2=(3x)2 +102.
A
乙:3x
整理得:2x2-7x=0.
CD 1 AC 100 2海里 2
DF CF , 2DF CD.
DF CF 2 CD 2
2 100 2 100海里.
2 小岛D和小岛F相距100海里.
A D
B EF
北 东
C
解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,则DE=x海里,AB+BE=2x海
里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.
例1 如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海
里处有一目标B,在B的正东方向200海里处有一重要
目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛
F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰沿
A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿
南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.
A
北
(1).小岛D与小岛F相距多少海里?
(2).已知军舰的速度是补给船的2
D
倍,军舰在由B到C的途中与补给船
相遇于E处,那么相遇时补给船航行
了多少海里?(结果精确到0.1海里) B E F
C
解:(1)连接DF,则DF⊥BC.
AB BC, AB BC 200海里,
AC 2 AB 200 2海里∠, C=450.
1.有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一少,其 和等于20,积等96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛 义德得到多少钱?
解 : 设赛义德得到的钱数为 x,根据题意,得
x(20 x) 96.
x
60-2x
800cm2
40-2x
解这个方程 ,得 :
x1 10; x2 40(不合题意,舍去). 答 : 截去的小正方形的边长为10cm.
4.学生会准备举办摄影展览, 在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形 相片周围镶上一圈等宽的彩纸. 经试验, 彩纸面积为相片面积的 时较美观 求镶上彩纸条的宽. (精确到0.1厘米)
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左边配方,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular). 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠ 2.b2-4ac≥0.
3.一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小 正方形，折成一个无盖的长方体,使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的 边长.
解 : 设截去的小正方形边长 为xcm,根据题意,得
(60 2x)(40 2x) 800.
整理得: x2 50x 400 0.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2 1002 300 2x2 .
A
北 东
整理,得3x2 1200 x 100000 0.
D
解这个方程 ,得
x1
200
100 3
6
118 .4,
B
C
EF
x2
200 100 3
6 不合n 意,舍去.
相遇时补给船大约航行了118.4海里.
1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七, 乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何?”