2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第176—180题(含答案解析)
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第376—380题(含答案解析)
感知高考刺金376题设函数()3,f x x a a a x=--+∈R ,若关于x 的方程()2f x =有且仅有三个不同的实数根,且它们成等差数列,则实数a 的取值构成的集合是 ． 解：3322x a a x a a x x--+=⇒-+=+ 方程的根有且仅有三个,即左右两个函数的交点有且仅有三个, 故考查函数1,2,x x a y x a a a x x a≥⎧=-+=⎨-<⎩与232y x =+的图象 这里要注意1y x a a =-+的图象虽然随着a 的变化在移动,但是有规律的移动,“V ”型图的尖底(),a a 是沿着y x =移动的,而232y x =+的图象是确定不变的。
由322a x x+=-解得()11x a =-()21x a =- 由32x x+=解得31x =-,43x = 故画出图象只有两种情况（两个交点在第三象限,一个在第一象限（此时0a <）或三个交点都在第一象限（此时0a >））即1312x +=-⋅（如左图）或1232x x +=（如右图）即()9155a a -=-⇒=-或()()1321a a -=-+24810340a a a a ⇒-⇒--=⇒=又因为此时0a >,故a =综上,95a ⎧⎪∈-⎨⎪⎪⎩⎭感知高考刺金377题已知锐角ABC ∆的内角3A π=,点O 为三角形外接圆的圆心,若OA xOB yOC =+ ,则2x y -的取值范围是 ．解法一：这是典型的求平面向量基本定理系数和问题,常用“作三点共线”的办法来解决。
由3A π=,得23BOC π∠=,不妨如图固定,,O B C 三点,因为ABC ∆是锐角三角形,所以点A 在 'DC上运动,取OB 的中点为'B ()2''OA xOB yOC xOB y OC =+=+-这样就构造出了系数和2x y -作直线OA 与直线''B C 交于E ,于是作出了',',B C E 三点共线。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第186190题 含解析 精品
感知高考刺金186数列模块2．已知函数()(2318,3133x tx x f x t x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，记()()*n a f n n =∈N ．若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是 ．解：{}n a 是递减数列，从4a 开始，必须满足130t -< 又对1,2,3n =，根据二次函数的性质，需要满足对称轴3522t > 注意还要满足34a a >，即991813t t -+>-， 综上得543t <<感知高考刺金187数列模块3．已知集合21|,*2n n A n n λ-⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭N ，若A 中有且仅有3个元素，则实数λ的取值范围是 ．解：令212n n n b n a -=，考查n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的单调性，111212352222n n n n n n n b b n n na a -------=-= 当2n =时，110n n n n b b a a --->，即2121b ba a > 当3n ≥时，110n n n n b b a a ---<，此时n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减 1112b a =，2234b a =，3358b a =，44716b a = 由题意知，A 中有且仅有3个元素，只需大于第四项即可，所以71162λ<≤ 点评：数列作为一种特殊的函数，特殊性在于自变量n 取正整数，函数图象是不连续的点。
因此在涉及数列单调性问题时，既可以从函数单调性的角度去理解，也可以有数列判断单调性特有的方法，后项减前项与0比较大小解决。
这个题目最经典的题根就是“递增数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，则λ的取值范围是 。
”这里就既可以从二次函数单调递增的角度，也可以用10n n a a -->的角度来求解。
感知高考刺金188数列模块4．在各项均为正整数的单调递增数列{}n a 中，121,2a a ==且132112,*k k k k a a k N a a +++⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则9a = ． 解：当1k =时，由132112k k k k a a a a +++⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭及121,2a a ==得4312112a a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又数列{}n a 是各项均为正整数的单调递增数列，所以3312112a a ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以233320a a --<3a <<，又3*a N ∈，所以33a =，所以45a = 当2k =时，由5231125a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以58a = 当3k =时，由6251128a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以613a = 当4k =时，由72811213a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以721a = 继续下去，可得955a =本题可以发现数列其实是斐波那契数列，故由132112,*k k k k a a k N a a +++⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭得 ()()12321k k k k k k a a a a a a ++++++=-可以发现12321,k k k k k k a a a a a a ++++++==+，即斐波那契数列．感知高考刺金189数列模块5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值是 ． 解：设n a pn q =+，则()232222n n p q pn q np p q a S pn q n n q +++++=++=++ 故2322p A p q B q C ⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得3B CA -=故13B C B C A B C+-=+-≥-感知高考刺金190数列模块6．已知函数()()[)()[)()11sin 2,2,2121sin 22,21,222n n x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩，若数列{}m a 满足()*2m m a f m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，且{}m a 的前m 项和为m S ，则20142006S S -= ．解：()[)()[)()11sin 2,4,422,,*21sin 22,42,442n m n m n m n n m a f n m x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪⎛⎫==∈∈⎨ ⎪⎝⎭⎪-++∈++⎪⎩N N所以42n a n =，412n a n +=+，4221n a n +=+，4322n a n +=++ 故201420062007200820148042S S a a a -=+++=。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第76—80题(含答案解析)
感知高考刺金761．已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，满足：CO mCA nCB =+u u u r u u u r u u u r ，432m n +=，且CA =u u u r 6CB =u u u r ，则CA CB =u u u r u u u r g。
解法一：2CO mCA CO nCB CO =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r gg ，所以()2241864312R m n m n =+=+=，即R = 所以外接圆的圆心就在边CA 的中点，所以2B π= 所以236CA CB CB ==u u u r u u u r u u u r g解法二：2CO CA mCA nCB CA =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，2CO CB mCA CB nCB =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g所以2448m nCA CB =+u u u r u u u r g ，1836n mCA CB =+u u u r u u u r g又432m n +=，所以36CA CB =u u u r u u u r g 解法三：322223CA n CB CO mCA nCB m ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r取CA 的中点D ，取CB 的三等分点E ，则322n CO mCD CE =+u u u r u u u r u u u r 又3212n m +=，所以,,O D E 三点共线 所以2CDE π∠=，所以2323362CA CB CD CE CD ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g 点评：本题是三角形外心与向量融合的典范，常规套路要熟悉。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第106—110题(含答案解析)
感知高考刺金1061．在平面直角坐标系中有两点((,A B -,以原点为圆心,以()0r r >为半径作圆,与射线()0y x =<交于点M ,与x 轴正半轴交于点N ,则当r 变化时,AM BN +的最小值为 。
解：设(),,02r M N r ⎛- ⎝⎭所以AM BN +=问题等价于点((,E F 与x 轴上的点(),0P r 连线段长的和最短作('5,E ,则''EP FP E P FP E F +=+≥=当且仅当3r =时,取得最小值。
2．一副扑克牌（有四色,同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌,则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 （用数值作答）．解：12141339352234425C C C C =感知高考刺金1071．在ABC ∆中,22AC AB==,BC =,P 是ABC ∆内部一点,且满足P B C PC A PAB S S S PA PB PB PC PC PA ∆∆∆==⋅⋅⋅,则PA PB PC ++= 。
解：由PBC PCA PAB S S S PA PB PB PC PC PA∆∆∆==⋅⋅⋅得 tan tan tan APC BPC APB ∠=∠=∠又360APC BPC APB ∠+∠+∠=故120APC BPC APB ∠=∠=∠=设BCP θ∠=,则60PCB θ∠=-,30ABP θ∠=+,30PAB θ∠=-故在PBC ∆中由正弦定理得BP =,()60sin120CPθ-=在PBA∆中由正弦定理得()sin30sin120BPθ-=,()sin30sin120APθ+=()sin30sin120θ-=,解得tanθ=所以sinθθ==所以PA PB PC++=()()sin303sin 603sin7sin120sin120θθθ+-=2．五位同学各自制作了一张贺卡,分别装入5个空白信封内,这五位同学每人随机地抽取一封,则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第376—380题(含答案解析)
感知高考刺金376题设函数()3,f x x a a a x =--+∈R ，若关于x 的方程()2f x =有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数a 的取值构成的集合是 ． 解：3322x a a x a a x x--+=⇒-+=+ 方程的根有且仅有三个，即左右两个函数的交点有且仅有三个， 故考查函数1,2,x x a y x a a a x x a≥⎧=-+=⎨-<⎩与232y x =+的图象 这里要注意1y x a a =-+的图象虽然随着a 的变化在移动，但是有规律的移动，“V ”型图的尖底(),a a 是沿着y x =移动的，而232y x =+的图象是确定不变的。
由322a x x+=-解得()21122x a a a =----， ()22122x a a a =-+-- 由32x x+=解得31x =-，43x = 故画出图象只有两种情况（两个交点在第三象限，一个在第一象限（此时0a <）或三个交点都在第一象限（此时0a >））即1312x +=-⋅（如左图）或1232x x +=（如右图）即()2912255a a a a ----⇒=-或()()22122321222a a a a a a ---=-+--2253333224810340a a a a a a ±⇒---⇒--=⇒=又因为此时0a >，故5333a -=综上，95333,5a ⎧⎫+⎪⎪∈-⎨⎬⎪⎪⎩⎭感知高考刺金377题已知锐角ABC ∆的内角3A π=，点O 为三角形外接圆的圆心，若OA xOB yOC =+u u u r u u u r u u u r ，则2x y -的取值范围是 ．解法一：这是典型的求平面向量基本定理系数和问题，常用“作三点共线”的办法来解决。
由3A π=，得23BOC π∠=，不妨如图固定,,O B C 三点，因为ABC ∆是锐角三角形，所以点A 在¼'DC上运动，取OB 的中点为'B()2''OA xOB yOC xOB y OC =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r这样就构造出了系数和2x y -作直线OA 与直线''B C 交于E ，于是作出了',',B C E 三点共线。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第121—125题(含答案解析)
感知高考刺金1211．在ABC ∆中,若()4AB AC CB -⊥,则sin A 的最大值为 。
解：()()()2204445AB AC CB AB ACCA AB ABAC AB AC =-=-+=+-()2245cos 45cos 45cos AB AC AB AC A AB AC AB AC A AB AC A =+-≥-=-即4cos 5A ≥,则3sin 5A ≤ 2．现有4人去旅游,旅游地点有A 、B 两个地方可以选择。
但4人都不知道去哪里玩,于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩,掷出能被3整除的数时去A 地,掷出其他的则去B 地；（1）求这4个人中恰好有1个人去B 地的概率；（2）求这4个人中去A 地的人数大于去B 地的人数的概率。
解：依题意,这4个人中,每个人去A 地旅游的概率为13,去B 地的人数的概率为23设“这4个人中恰有k 人去A 地旅游”为事件()0,1,2,3,4i A i =∴()441233i ii i P A C -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）这4个人中恰有1人去A 地游戏的概率为()1311412323381P A C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设“这4个人中去A 地的人数大于去B 地的人数”为事件B,则34B A A =,314034441212133339P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭感知高考刺金1221．已知{}1234,,,A x x x x =,()212sin14x B x R x π+⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭,且1234x x x x +++的最小值为 。
解：sin4xy π=的周期为8,图象关于点()12,0中心对称,()1212y x =-图象也关于点()12,0中心对称,故要123x x x x +++最小,在y 轴右侧最靠近y 轴的四个点123441248x x x x +++=⨯=2．将3个不相同的黑球和3个相同白球自左向右排成一排,如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向右数,数到最末一个球,黑球的个数大于或等于白球的个数,就称这种排列为“有效排列”,则出现有效排列的概率为 。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第96—100题(含答案解析)
感知高考刺金961．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,且BC,则c b b c+的最大值为 ,此时内角A 的值为 。
解法一：由21sin 2ABC S bc A ∆==所以2222cos 2cos 4sin 6c b c b a bc A A A A b c bc bc π++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭ 所以当3A π=时,max4c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 解法二：以BC 为x 轴,BC 中点为原点建系,则,0,,022a a B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,A x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ABAC =所以b c ==当0x =时,1b c= 当0x >时,b c =,当且仅当x =时取等号所以令2b t⎡⎤=∈⎣⎦,1y t=+单调递减,所以当2t =时,即x =时,max 4y = 此时AB =,AC =,则2221cos 22b c a A bc +-==,所以3A π= 由对称性可知,0x <时也一样。
2．某人抛掷一枚硬币,出现正反的概率都是12,构造数列{}n a ,使11n n a n ⎧=⎨-⎩（当第次出现正面时）（当第次出现反面时）,记()12*n n S a a a n =+++∈ N ,则42S =时的概率为 。
解：42S =,需四次中有3次正面,1次反面,故344124C P ==感知高考刺金971．点P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限的弧上的任意一点,过P 引x 轴,y 轴的平行线,分别交直线b y x a=-于,Q R 两点,交y 轴,x 轴于,M N 两点,记OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ,当2ab =时,2212S S +的最小值为 。
解：设()cos ,sin ,0,2P a b πααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 则()()0,sin ,cos ,0M b N a αα,()()sin ,sin ,cos ,cos Q a b R a b αααα-- 所以()()()()1211sin sin ,cos cos 22S a b S a b αααα== ()()22224444122222221sin cos sin cos 411sin cos 2sin cos 1sin 222S S a b ααααααααα+=+=+=+-=-≥ 当且仅当4πα=时取得最小值。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第276—280题(含答案解析)
感知高考刺金276题设,a b r r 是非零向量，且1a b -=r r ，32a b -=r r ，则2a b -r r的最大值是 ． 解法一：（代数角度运算）令a b u -=r r r ，3a b v -=r r r，则22u v a b +-=r rr r题目简化为1u =r ，2v =r ，求2u v+r r的最大值2144cos 9244u v θ+++=≤r r ，故322u v +≤r r 解法二：（几何角度）画出1a b -=r r ，32a b -=r r 的几何图形，即1AB =u u u r ，2AC =u u u r，问题变为ABC ∆的两边分别为1和2，求中线AM 的长度的最大值。
23AM AB AC ≤+=（即构造平行四边形，发现三角形两边之和大于第三边，当构不成三角形时取得等号），故32AM ≤解法三：（坐标角度）将ABC ∆画成如图形状，则点B 在以A 为圆心，1为半径的圆上运动，再求中线AM 的最大值。
本题还可以建系设点做，设()0,0A ，()2,0C ，()cos ,sin B θθ，cos sin 1,22M θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 则222cos sin 591cos 2444AM θθθ⎛⎫=++=+≤ ⎪⎝⎭ 即32AM ≤点评：本题是一个向量的好题，妙在可以从代数、几何和坐标运算三种常见角度操作。
一般地，向量模长问题，平方就是代数运算，不平方是几何意义，必要时活用坐标建系。
感知高考刺金277题在ABC ∆，90BAC ∠=︒，以AB 为一边向ABC ∆外作等边ABD ∆，若2BCD ACD ∠=∠，AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+= ． 解：注意到又是求向量系数之和，故可以用三点共线来做。
如图，延长DA 与BC 交于EABCMABD CEF则AE xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，且1x y += AD mAE mxAB my AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r故ADm AEλμ+==-u u u r u u u r设2AB =，AC a =，ACD θ∠=，则tan θ=，2tan 3a θ=)22tan 21aaθ==-()22tan 3tan 2aa θθθ=+===即24a =，2a =即ABC ∆是等腰直角三角形，故135ACE ∠=︒，15AEC ∠=︒所以sin135sin15AE AC ==︒︒u u u r u uu r ，故)21AE =u u u r故AD m AEλμ+==-=u u u ru u u r 点评：本题入手是由三点共线，在处理的过程中利用三倍角的正切公式来处理条件中的二倍角关系，不知道是否有初中的平面几何知识可以迅速确定ABC ∆是等腰直角三角形。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第196—200题(含答案解析)
感知高考刺金196向量模块6．在ABC ∆中，5BC =，,G O 分别为三角形的重心和外心，且5OG BC =u u u r u u u r g ，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．上述三种情况都有可能解：()155552OG BC OC CG BC OC BC CG BC CG BC =⇔+=⇒+=⇒=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g 又()13CG CA CB =+u u u r u u u r u u u r ，所以()11532CA CB BC +=-u u u r u u u r u u u r g 故502CA CB =-<u u u r u u u r g ，故C ∠为钝角，所以ABC ∆是钝角三角形．感知高考刺金197向量模块7．已知向量0a b =r r g ，()()0a c b c --=r r r r g ，3a c -=r r ，1b c -=r r ，则a c +r r 的最大值是 ．解：数形结合，如图所示可知60ABD ACD ∠=∠=o故222cos603a c a c +-=o r r r r即223a c a c +-=r r r r ，得223a c a c a c +-=≥r r r r r r又由恒等式222222a c a c a c ++-=+r r r r r r 知22222343a c a c a c +=+-≥-r r r r r r注意这里出现不等式打架，故调整思路为：222223329a c a c a c +=+-=+≤r r r r r r故3a c +≤r r感知高考刺金198解析几何模块1．已知椭圆2222:1x y E a b +=的右焦点为2F ，直线l 与曲线()222:0C x y b x +=>相切于点M ，且交椭圆E 于,P Q 两点，则2F PQ ∆的周长为 ． 解：设()()()1222,,,,,0P x y Q x y F c ，因为PQ 与圆()222:0C x y b x +=>相切于点M所以2222222221111121x cx PM OP OMx y b x b b a a ⎛⎫=-=+-=+--= ⎪⎝⎭ 同理2cx QM a =所以()222222222212111111122212x c c PF x c y x cx c b x cx a a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-+=-++-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2122,c c PF a x QF a x a a =-=-2222212122F PQ C PF QF PQ PF QF PM QMc c c c a x a x x x a a a a a ∆=++=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭感知高考刺金199解析几何模块2．在平面直角坐标系中，已知圆()()22:21C x a y a -+-+=，点()0,2A ，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +=，则实数a 的取值范围是 ． 解法一：设(),M x y ，则M 的轨迹为()()22220210x y x y -+-++=，化简得()2214x y +-= 若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +=只需圆C 与()2214x y +-=有公共点 所以13CN ≤≤，即()22133a a ≤+-≤，解得[]0,3a ∈解法二：由平行四边形四边平方和等于对角线之和，可得()222222420MA MO MN +=+= 故2MN =（其中N 为AO 中点），故()2214x y +-=，下同解法一．感知高考刺金200解析几何模块3．若对任意α∈R ，直线:cos sin 2sin 46l x y πααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭与圆()()22:1C x m y -+=均无公共点，则实数m 的取值范围是 ．解：1d => 故对任意α∈R ，()22sin 416m πα⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立 等价于对任意α∈R ，()22sin 56m πα⎛⎫-+> ⎪⎝⎭或()22sin 36m πα⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立 显然对任意α∈R ，()22sin 56m πα⎛⎫-+> ⎪⎝⎭不恒成立 故只有对任意α∈R ，()22sin 36m πα⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立 即223m -<，得15,22m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第121—125题(含答案解析)
感知高考刺金1211．在ABC ∆中，若()4AB AC CB -⊥u u u r u u u r u u u r，则sin A 的最大值为 。
解：()()()2204445AB AC CB AB AC CA AB AB AC AB AC =-=-+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g()2245cos 45cos 45cos AB AC AB AC A AB AC AB AC A AB AC A =+-≥-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g即4cos 5A ≥，则3sin 5A ≤ 2．现有4人去旅游，旅游地点有A 、B 两个地方可以选择。
但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A 地，掷出其他的则去B 地；（1）求这4个人中恰好有1个人去B 地的概率；（2）求这4个人中去A 地的人数大于去B 地的人数的概率。
解：依题意，这4个人中，每个人去A 地旅游的概率为13，去B 地的人数的概率为23设“这4个人中恰有k 人去A 地旅游”为事件()0,1,2,3,4i A i =∴()441233i ii i P A C -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）这4个人中恰有1人去A 地游戏的概率为()1311412323381P A C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设“这4个人中去A 地的人数大于去B 地的人数”为事件B ，则34B A A =U ，314034441212133339P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭感知高考刺金1221．已知{}1234,,,A x x x x =，()212sin 14x B x R x π+⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭，且1234x x x x +++的最小值为 。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第256—260题(含答案解析)
感知高考刺金256题已知非零向量a r 和b r 互相垂直，则a b +r r 和2a b +r r 的夹角余弦值的最小值是 ．解：()()222cos 2a b a b a b a b θ++==+⋅+r r r r r r g r r r r 令22,a x b y ==r r ，则cos θ=感知高考刺金257题已知正数,a b 满足1910a b a b +++=，则a b +的取值范围是 ． 解：设a b t +=，则1910t a b +=-又因为()1991916b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥ ⎪⎝⎭即()1016t t -≥，解得28t ≤≤当且仅当13,22a b ==时，2a b +=；当且仅当2,6a b ==时，8a b +=感知高考刺金258题已知实数,0x y >，若22x y +，则3x y +的最小值是． 解法一：待定系数法1,02y x λλλ⎛⎫+>⎪⎝⎭ 1122212222y x y x y x x y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭待定系数法，令11:21:322λλ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得13λ= 故1237x y +≥，当且仅当91,77x y ==时取得解法二：()()()()()()323213221321x y x y x y xy x y xy xy λλλλλλλ+-=+---=-+--≥---令()()213210λλ---=，即76λ=时，1237x y +≥，当且仅当91,77x y ==时取得 解法三：三角换元设,a x b y ==，原问题转化为2222a ab b ++=，求223a b +的最小值令cos a r θ=，sin 3b θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0r >，2223a b r += 故问题又转化为已知222222cos sin sin cos 233r r r θθθθ++=，求2r 的最小值 于是2222261cos sin sin cos sin 235363r πθθθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故2212,37r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦评注：这里又遇到()223a b +的结构，故可三角换元设cos a r θ=，sin 3b θ=，10月1日每日征解有相同的处理方法。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第216—220题(含答案解析)
感知高考刺金216题已知实数a b c <<,设函数()111f x x a x b x c=++---的两个零点分别为()1212,x x x x <,则下列关系中恒成立的是（ ）（A ）12a x x b c <<<< （B ）12x a b x c <<<<（C ）12a x b x c <<<< （D ）12a x b c x <<<<解：()111f x x a x b x c=++---的两个零点, 即()()()()()()()g x x a x b x a x c x c x b =--+--+--的两个零点因为()g x 开口向上,()()()g b b a b c =--,又a b c <<,所以()0g b <即函数()g x 的零点一个大于b ,一个小于b ,且()0g a >,()0g c >所以根据“一上一下,中间一点”的原则,可知12a x b x c <<<<,选C感知高考刺金217题已知点()1,2A 在抛物线2:2y px Γ=上,若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上,记三边,,AB BC CA 所在直线的斜率分别为123,,k k k ,则123111k k k -+= ． 解：2:4y x Γ=,设211,4y B y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,222,4y C y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 所以222212121122123121211221114444122444y y y y y y y y k k k y y y y ---+++-+=-+=-+=--- 点评：抛物线题目的计算量相对于椭圆、双曲线要小一些,主要是基于抛物线上的点的设法2,2y y p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,在化简过程中利用好平方差公式,可以使得计算简便。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第136—140题(含答案解析)
感知高考刺金136设函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 为()y f x =在[]1,1-上的最大值（1）设2a ≥，求证：(),2M a b ≥（2）若(),2M a b ≤，请求出a b +的最值。
证明：（1）因为对称轴012a x =-≤-或012ax =-≥ ()()(){}{}maxmax 1,1max 1,1f x f f a b a b =-=++-+证法一：规划视角()()()()()22221112112110a b a b b a b a b a b a a b ++≤-+⇔++++≤+-++⇔+≤故(){}()()max1,410max 1,11,410b a a b f x a b a b b a a b ⎧+++>⎪=++-+=⎨+-+≤⎪⎩，又结合2a ≥， 可以从规划视角来解题，以a 为横坐标，b 为横坐标建系，画出可行域()4102a b a +>⎧⎪⎨≥⎪⎩如图1所示，目标函数1122b ab a ++++=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y ++=的距离的2倍，显然当(),a b 取点()2,1--时min 1222b a ++=⋅=同理，可行域()4102a b a +≤⎧⎪⎨≥⎪⎩如图2所示，目标函数1a b -+=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y -++=的距离(),a b 取点()2,1-时min 12b a +-= 综上，(),2M a b ≥ 证法二：绝对值不等式()()(){}{}()()max max 1,1max 1,11111222f x f f a b a b a b a b a b a ba =-=++-+++--++++-+≥≥=≥解法三：(){},max 1,1M a b a b a b =++-+ 令1b t +=，则()(){},max ,M a b g t t a t a ==+-在同一个坐标系中画出1y t a =+和2y t a =-的图象，两者取其大，则显然当0t =时，()min 2g t a =≥故(),2M a b ≥ （2）解法一：规划视角()()()222211221231,211221231848122424424f a b a b a b a M a b f a b a b a b a a b a a a b f a b ⎧⎧⎪=++≤⎪⎧-≤++≤--≤≤-+⎪⎪⎪⎪≤⇔-=-++≤⇔-≤-++≤⇔-≤≤+⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≤-≤⎩⎛⎫⎪⎪-≤≤+-=-≤ ⎪⎩⎪⎝⎭⎩显然又是一个规划问题了。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第136—140题(含答案解析)
感知高考刺金136设函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 为()y f x =在[]1,1-上的最大值（1）设2a ≥，求证：(),2M a b ≥（2）若(),2M a b ≤，请求出a b +的最值。
证明：（1）因为对称轴012a x =-≤-或012ax =-≥ ()()(){}{}max max 1,1max 1,1f x f f a b a b =-=++-+证法一：规划视角()()()()()22221112112110a b a b b a b a b a b a a b ++≤-+⇔++++≤+-++⇔+≤故(){}()()max1,410max 1,11,410b a a b f x a b a b b a a b ⎧+++>⎪=++-+=⎨+-+≤⎪⎩，又结合2a ≥， 可以从规划视角来解题，以a 为横坐标，b 为横坐标建系，画出可行域()4102a b a +>⎧⎪⎨≥⎪⎩如图1所示，目标函数1122b ab a ++++=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y ++=的距离的2倍，显然当(),a b 取点()2,1--时min 1222b a ++=⋅=同理，可行域()4102a b a +≤⎧⎪⎨≥⎪⎩如图2所示，目标函数1a b -+=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y -++=的距离(),a b 取点()2,1-时min 12b a +-=综上，(),2M a b ≥ 证法二：绝对值不等式()()(){}{}()()max max 1,1max 1,11111222f x f f a b a b a b a b a b a b a =-=++-+++--++++-+≥≥=≥解法三：(){},max 1,1M a b a b a b =++-+令1b t +=，则()(){},max ,M a b g t t a t a ==+-在同一个坐标系中画出1y t a =+和2y t a =-的图象，两者取其大，则显然当0t =时，()min 2g t a =≥故(),2M a b ≥ （2）解法一：规划视角()()()222211221231,211221231848122424424f a b a b a b a M a b f a b a b a b a a b a a a b f a b ⎧⎧⎪=++≤⎪⎧-≤++≤--≤≤-+⎪⎪⎪⎪≤⇔-=-++≤⇔-≤-++≤⇔-≤≤+⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≤-≤⎩⎛⎫⎪⎪-≤≤+-=-≤ ⎪⎩⎪⎝⎭⎩显然又是一个规划问题了。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第146—150题(含答案解析)
感知高考刺金146平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于O 、A 、B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 。
解：设渐近线方程为b y x a =±，与()22:20C x py p =>联立得2222pb x a pb y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2222,pb pb A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 而抛物线2C 的焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭恰为OAB ∆的垂心，故1OB AF k k ⋅=-所以222212pb pb a pb a a--⋅=-，化简得2254b a = 所以32e =感知高考刺金147设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过点F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线交于点D 。
若D 到直线BC的距离小于a + ）A ．()()1,00,1-UB ．()(),11,-∞-+∞U C．()(UD．(),-∞+∞U解法一：由题意得(),0A a ，直线BC 方程为x c =，则2,b Bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b C c a ⎛⎫-⎪⎝⎭不难看出D 点为ABC ∆的垂心，由于AB AC =，垂心D 在x 轴上由直线AB 的垂线方程为()2b a y x c a a c -=--+，令0y =，得()22D b x c c a a =++则D 点到直线BC 的距离为()22b c a a a+<+化简得222221b b a b a a a ⎛⎫-+<- ⎪⎝，可得22a b >于是渐近线的斜率()()1,00,1b k a=±∈-U解法二：2b BF a=，AF c a =-在Rt ABD ∆中，()242BF b DF a c AF a c a ==<+- 化简得22a b >于是渐近线的斜率()()1,00,1b k a=±∈-U感知高考刺金148将函数()sin 2f x x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π解：()()sin 22g x x ϕ=-，又()(),f x g x 的最大、最小值为1±，故()()122f x g x -=等价于()(),f x g x 一个取得1，一个取得1-。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第181—185题(含答案解析)
感知高考刺金181不等式模块7． 设01b a <<+，若关于x 的不等式()()22x b ax ->的解集中的整数解恰有3个，则a 的取值范围是 ．解：()()()()22110x b ax a x b a x b ->⇔--+->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦若要使不等式恰有三个整数解，必有1a >，所以解集为11b b x a a <<-+ 又01b a <<+，所以()0,11b a ∈+，所以321b a -≤<-- 所以,a b 满足1223301a b a b a b b a >⎧⎪>-⎪⎪≤-⎨⎪>⎪<+⎪⎩，画出可行域，可知()1,3a ∈感知高考刺金182不等式模块8． 不等式2220x axy y -+≤对于任意的[]1,2x ∈及[]1,3y ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 解：22220x y x axy y a y x-+≤⇔≥+ 又[]1,2x ∈及[]1,3y ∈，所以1,32y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以max 292x y y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以92a ≥感知高考刺金183不等式模块9．已知,x y ∈R ，满足24,1y x x ≤≤-≥，则222221x y x y xy x y ++-+-+-的取值范围是 ． 解：()()()()2222211112221111111y x y x y x y x k y xy x y x y kx -⎛⎫+ ⎪++-++-++⎝⎭===+--+-+-+ 其中11y k x -=+视为可行域内的点与()1,1-连线的斜率，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故1102,3k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦感知高考刺金184不等式模块10．已知实数,x y 满足05030x y x y y -<⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若不等式()()222m x y x y +≤+恒成立，则m 的最大值为 ．解：05030x y x y y -<⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩的可行域如图，()222222211x y xy m y x x y x y x y +≤=+=++++ 令31,2y k x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则min 2251113m k k ⎡⎤⎢⎥≤+=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 点评：最近几天的题目都是线性规划为背景，利用齐次化思想，将两元的问题转为为关于k 的一元问题，从而变为函数求值域的问题。
教育最新K122018数学高考一轮复习刺金四百题：第176—180题(含答案解析)
感知高考刺金176不等式模块2．设实数,x y 满足1x y +=，则4x x y+的取值范围是 ． 解：()4444x y x x y x x y x y x y ++=+=++ 当,x y 同号时，444448x y x x y x y +=++≥+= 当,x y 异号时，444440x y x x y x y+=++≤-= 评注：齐次化的应用，因为齐次的启发，才有()44x y =+这一步。
感知高考刺金177不等式模块3．已知,x y 为正实数，且2x y +=，则2221x y x y +++的最小值为 ． 解法一：()()()()221112221211111112112111112123131y y x y x x y x y x y x y x y y x x y x y x y +-+++=++=++-+=+++++++⎡⎤⎛⎫=++++=++++≥+⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦解法二：令x m =，1y n +=，则题目变为若3m n +=，则()()2212212112121123n m m n m n m n m n m n m n -+⎛⎫+=+++-=++=+⋅++≥+ ⎪⎝⎭ 评注：换元法有助于简化问题，看穿本质。
感知高考刺金178不等式模块4． 设正实数,x y 满足x y xy x y +=-，则实数x 的最小值为 ． 解法一：()2210x y xy xy x y x x y +=⇒+-+=- 将其视为关于y 的一元二次方程有正根，所以()2222214031102x x x x x x ⎧∆=--≥⎪⎪⇒≥+≥⎨-⎪->⎪⎩ 解法二：112x y xy x y x y x y+=⇒-=+≥-，解得1x ≥ 感知高考刺金179不等式模块5． 已知实数,x y 满足6212x y y x y x ⎧⎪+≤⎪≤⎨⎪⎪≥⎩，则z xy =的最大值为 ．解：画出可行域，(),E x y 为可行域内任意一点，目标函数z xy =理解为长方形O EPF 的面积，当z 取最大值时，点P 必在线段AB 上，即6x y +=又因为6x y +=≥9z xy =≤点评：本题和今年四川高考第9题异曲同工，要形成不等式就是可行域的观点，解题的思路会更开阔。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第91—95题(含答案解析)
感知高考刺金911．若,x y 满足()()22221log 4cos 434cos xy y y xy ⎡⎤+=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则c o s y x = 。
解：()()()222221log 4cos 432114cos xy y y y xy ⎡⎤+=-+-=--+≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦又()()22221log 4cos log 214cos xy xy ⎡⎤+≥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以()()2221log 4cos 14cos xy xy ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即()()2214cos 24cos 2xy xy y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得()1cos 22xy y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或()1cos 22xy y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以()2cos422cos 211y x x =-=-评注：本题是夹逼原理的应用。
2．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 个。
解：33371035n n C C C -≥，即()()12310985n n n --≥⋅⋅，解得9n ≥感知高考刺金921．已知ABC ∆是边长为的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME MF 的取值范围是 。
解：ABC ∆的外接圆O 的半径为2 由极化恒等式可得22244EF ME MF MO MO =-=- 由图易得[]1,2OM ∈，所以[]3,0ME MF ∈-2．已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个，（P 、Q 箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再 从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的概率等于 。
解：121219************C C C C P C C =⋅=感知高考刺金931．在ABC ∆中，6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+，其中01,01x y ≤≤≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为 。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第201—205题(含答案解析)
感知高考刺金201题解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为 ．解法一：由MA MB λ=得()()222222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦即()()()222222211244x y b x b λλλλ-+--+=- 故2222240411b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ= 又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离为52 解法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得1311b b λ==+-，解得12b =-，2λ= 感知高考刺金202题解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．解：作''PP MP ⊥，由抛物线定义'PP PN ='1cos PN PP PM m PN m PM PMθ=⇒===，其中'MPP NMP θ=∠=∠要使m 取得最小值，即cos θ最小，即NMP θ=∠最大值，即''2PMP MPP π∠=-∠最小，此时MP 是抛物线的切线．设MP 的方程为2y kx =-，与28x y =联立得()2820x kx --=因为相切，故264640k ∆=-=，解得1k = 故()4,2P，24a PM PN =-= 由24c =，得1e =感知高考刺金203题解析几何模块6． 已知斜率为1的直线l 过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F ，且与双曲线左、右支分别交于,A B 两点，若A 是线段BF 的中点，则双曲线的离心率为 ．解：由题意知122y y =()222222422120x y b a y b cy b a b x y c ⎧-=⎪⇒--+=⎨⎪=-⎩ 2121224212122232b c y y y b a b y y y b a ⎧+==⎪⎪-⎨⎪==⎪-⎩所以222492c b a =-，所以2218c a e =⇒=感知高考刺金204题解析几何模块7． 已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的动点，12,F F 是其左、右焦点，O 坐标原点，若12PF PF OP +，则此双曲线的离心率是 ．解：设12,PF m PF n ==，则()22222222122422m n OP F F m n OP c +=+⇒+=+ 又2m n a -=，所以22224m mn n a -+= 所以2222224mn OP c a =+- ()222222222222444m n OP c OP c a OP b +=+++-=+ 所以22244m n b OP OP +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以m n OP +的最大值在OP a =时取到，所以22446b a +=所以222b a =，即e =感知高考刺金205题解析几何模块8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()22119x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 相交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围是 ． 解：两圆有公共点的充要条件是15CM ≤≤，而5CM ≤恒成立，故只要min 1CM ≥时两圆必有公共点．由平面几何知识可知，min CM 为点C 到直线l 的距离d ，所以1d =≥，解得34k ≥-。
高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第176—180题(含答案解析)
感知高考刺金176不等式模块2．设实数,x y 满足1x y +=，则4x x y+的取值范围是 ． 解：()4444x y x x y x x y x y x y++=+=++ 当,x y 同号时，444448x y x x y x y+=++≥+= 当,x y 异号时，444440x y x x y x y+=++≤-= 评注：齐次化的应用，因为齐次的启发，才有()44x y =+这一步。
感知高考刺金177不等式模块3．已知,x y 为正实数，且2x y +=，则2221x y x y +++的最小值为 ． 解法一：()()()()221112221211111112112111112123131y y x y x x y x y x y x y x y y x x y x y x y +-+++=++=++-+=+++++++⎡⎤⎛⎫=++++=++++≥+⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦解法二：令x m =，1y n +=，则题目变为若3m n +=，则()()2212212112121123n m m n m n m n m n m n m n -+⎛⎫+=+++-=++=+⋅++≥ ⎪⎝⎭ 评注：换元法有助于简化问题，看穿本质。
感知高考刺金178不等式模块4． 设正实数,x y 满足x y xy x y +=-，则实数x 的最小值为 ． 解法一：()2210x y xy xy x y x x y +=⇒+-+=- 将其视为关于y 的一元二次方程有正根，所以()2222214032221102x x x x x x ⎧∆=--≥⎪⎪⇒≥+⇒≥+⎨-⎪->⎪⎩ 解法二：112x y xy x y x y x y+=⇒-=+≥-，解得21x ≥+ 感知高考刺金179不等式模块5． 已知实数,x y 满足6212x y y x y x ⎧⎪+≤⎪≤⎨⎪⎪≥⎩，则z xy =的最大值为 ．解：画出可行域，(),E x y 为可行域内任意一点，目标函数z xy =理解为长方形OEPF 的面积，当z 取最大值时，点P 必在线段AB 上，即6x y +=又因为62x y xy +=≥，即9z xy =≤点评：本题和今年四川高考第9题异曲同工，要形成不等式就是可行域的观点，解题的思路会更开阔。
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感知高考刺金176
不等式模块2．设实数,x y 满足1x y +=，则4x x y
+
的取值范围是 ． 解：()44
44x y x x y x x y x y x y ++=+=++ 当,x y 同号时，444448x y x x y x y +
=++≥+= 当,x y 异号时，4
44440x y x x y x y
+=++≤-= 评注：齐次化的应用，因为齐次的启发，才有()44x y =+这一步。
感知高考刺金177
不等式模块3．已知,x y 为正实数，且2x y +=，则
2221x y x y +++的最小值为 ． 解法一：
()()()(
)22111222121111111
2112111112123131y y x y x x y x y x y x y x y y x x y x y x y +-+++=++=++-+=+++++++⎡⎤⎛⎫=++++=++++≥+⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦
解法二：令x m =，1y n +=，则题目变为
若3m n +=，则()(
)2
212212112121123n m m n m n m n m n m n m n -+⎛⎫+=+++-=++=+⋅++≥ ⎪⎝⎭ 评注：换元法有助于简化问题，看穿本质。
感知高考刺金178
不等式模块4． 设正实数,x y 满足x y xy x y +=
-，则实数x 的最小值为 ． 解法一：()
2210x y xy xy x y x x y +=⇒+-+=- 将其视为关于y 的一元二次方程有正根，
所以(
)
2222214031102x x x x x x ⎧∆=--≥⎪⎪⇒≥+≥⎨-⎪->⎪⎩ 解法二：112x y xy x y x y x y
+=
⇒-=+≥-
，解得1x ≥ 感知高考刺金179
不等式模块5． 已知实数,x y 满足6212
x y y x y x ⎧⎪+≤⎪≤⎨⎪⎪≥⎩，则z xy =的最大值
为 ．
解：画出可行域，(),E x y 为可行域内任意一点，目标函数z xy =理解为长方形O EPF 的面积，当z 取最大值时，点P 必在线段AB 上，即6x y +=
又因为6x y +=≥9z xy =≤
点评：本题和今年四川高考第9题异曲同工，要形成不等式就是可行域的观点，解题的思路会更开阔。
（2015四川第9题）如果函数()()()()212810,02f x m x n x m n =-+-+≥≥在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则mn 的最大值为（ ） A ．16 B ．18 C ．25 D ．
812 解：画出可行域208220,0m n m m n ->⎧⎪-⎪-
≥⎨-⎪>>⎪⎩或2081220,0
m n m m n -<⎧⎪-⎪-≤⎨-⎪>>⎪⎩或20800,0m n m n -=⎧⎪-<⎨⎪>>⎩ （或用导数()()()'280f x m x n =-+-≤对1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即218021200,0m n m n m n +-≤⎧⎪+-≤⎨⎪>>⎩
） 令mn t =，则t m n =，当函数t y n =与可行域相交变化中，看t 的变化可得，当t y n
=与162
y n =-相切时，取得最大值，则两式联立0∆=，解得8,18n t ==
感知高考刺金180
不等式模块6．已知()()20f x ax bx a =+≠，若()112f -≤-≤，()214f ≤≤，
且20a c b c b +-=，则实数c 的取值范围是 ．
解：因为()112f -≤-≤，()214f ≤≤， 故12a b -≤-≤，24a b ≤+≤， 在直角坐标系aOb 中，作出可行域，得[]0,3b a
∈
由20ac bc b +-=得[]2
0,31b c a c =∈-，解得c ∈⎣⎦。