1 函数定义域和值域

第一讲 函数定义域和值域
★★★高考在考什么 【考题回放】
1．函数f (x )＝x 21-的定义域是 （ A ）
A ．(－∞，0]
B ．[0，＋∞)
C ．（－∞，0）
D ．（－∞，＋∞）
2．函数)
34(log 1
)(2
2-+-=x x x f 的定义域为 （A ）
A ．（1，2）∪（2，3）
B ．),3()1,(+∞⋃-∞
C ．（1，3）
D ．[1，3]
3． 对于抛物线线x y 42=上的每一个点Q ，点()0,a P 都满足a PQ ≥，则a 的取值范围是 （ B ）
A ．()0,∞-
B ．(]2,∞-
C ．[]2,0
D ．()2,0
4．已知)2(x f 的定义域为]2,0[，则)(log
2
x f 的定义域为 ]16,2[ 。

5． 不等式x
x m 22
+≤对一切非零实数x 总成立 , 则m 的取值范围是 (,-∞__。

6． 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)
f f '的最小值为 。

52
★★★高考要考什么
一、 函数定义域有两类：具体函数与抽象函数 具体函数：只要函数式有意义就行－－－解不等式组；
抽象函数：（1）已知)(x f 的定义域为D ，求)]([x g f 的定义域；（由D x g ∈)(求得x 的范围就是）
（2）已知)]([x g f 的定义域为D ，求)(x f 的定义域；（D x ∈求出)(x g 的范围就是）
二、 函数值域（最值）的求法有：
直观法：图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围； 配方法：适合一元二次函数
反解法：有界量用y 来表示。

如02
≥x ，0>x
a ，1sin ≤x 等等。

如，2
211x
x y +-=。

换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围。

注意三角换元的应用。

如求21x x y -+=的值域。

单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数。

如求)1)(11
1(log 2>+-+=x x x y 值域。

注意函数x
k x y +
=的单调性。

基本不等式：要注意“一正、二定、三相等”，
判别式：适合于可转化为关于x 的一元二次方程的函数求值域。

如2
122
+++=
x x x y 。

反之：方程有解也可转化为函数求值域。

如方程0sin sin 2
=++a x x 有解，求a 的范围。

数形结合：要注意代数式的几何意义。

如x
x y cos 1sin 2+-=的值域。

（几何意义――斜率）
三、 恒成立和有解问题
)(x f a ≥恒成立)(x f a ≥⇔的最大值；
(x f a ≤恒成立)(x f a ≤⇔的最小值；
)(x f a ≥有解)(x f a ≥⇔的最小值； )(x f a ≥无解)(x f a <⇔的最小值；
★★★ 突 破 重 难 点
【范例1】已知f (x )=3x －b （2≤x ≤4，b 为常数）的图象经过点（2，1），求F(x )=[f －1(x )]2－f －1(x 2)的值域。

分析提示：求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的制约作用。

本题要注意F(x )的定义域与f －1(x )定义域的联系与区别。

解：由图象经过点（2，1）得，2=b ， ∴x x f
31
l o g 2)(+=- )91(≤≤x
F(x )=[f －1(x )]2－f －1(x 2
) ⎩⎨
⎧≤≤≤≤∴9
1912
x
x )(x F ∴的定义域为 ]3,1[
1)1(log
2log
2)(log
)log
2()log
2()(2
3
3
2
3
2
3
2
3
++=++=+-+=∴x x x x x x F
]3,1[∈x ， ]1,0[log 3
∈∴x ， )(x F ∴的值域是]5,2[
易错点：把)(1
x f
-的定义域当做)(x F 的定义域。

变式： 函数)(x f y =的定义域为]1,1[-∈x ，图象如图所示， 其反函数为).(1
x f
y -=则不等式0]2
1)(][2
1)([1
>-
-
-x f
x f
的解集为 ]1,4
3( .
【范例2】设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；
（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，
∴当x t =-时，()f x 取最小值3
()1f t t t -=-+-，
即3()1h t t t =-+-．
（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--， 由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：
()g t ∴在(02)，内有最大值(1)1g m =-．
()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，
即等价于10m -<，
所以m 的取值范围为1m >．
变式：函数f （x ）是奇函数，且在[—l ，1]上单调递增，f （－1）＝－1，(1) 则f （x ）在[－1，1]上的最大值 1 ，(2) 若12)(2
+-≤at t x f 对所有的x ∈[－1，1]及a ∈[－1，1]都成立，则t 的取值范围是 202≥=-≤t t t 或或_ ．
【范例3】已知函数y kx =与2
2(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是
2
2(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点．
（I ）求k 的取值范围；
（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域； （III ）试比较O M 与O N 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．
解：（I ）由方程2
2
y kx y x =⎧⎨=+⎩，消y 得2
20x kx -+=． ····· ① 依题意，该方程有两个正实根， 故212800k x x k ⎧∆=->⎨+=>⎩，，
解得k > （II ）由()2f x x '=，求得切线1l 的方程为1112()y x x x y =-+， 由2112y x =+，并令0y =，得11
12x t x =
-
1x ，2x 是方程①的两实根，且12x x <
，故12
k x -=
=
，k >
1x 是关于k 的减函数，所以1x
的取值范围是(0．
t 是关于1x
的增函数，定义域为(0，所以值域为()-∞，0，
（III ）当12x x <时，由（II ）可知11
12
x O M t x ==-
+
．
类似可得22
12
x O N x =
-
．12
1212
2
x x x x O M O N x x ++-=-
+
．
由①可知122x x =． 从而0OM ON -=．
当21x x <时，有相同的结果0OM ON -=． 所以OM ON =．
变式：已知函数)(log )(log 2
12
ax x a y a a ⋅=
)42(≤≤x 的最大值是0，最小值是8
1-
，求a 的值。

分析提示：（1）能化成关于log a x 的二次函数，注意对数的运算法则；(2)注意挖掘隐含条件“10<<a ”；（3）掌握复合函数最值问题的求解方法。

解：)(log )(log 2
12
ax x a y a a ⋅=
)log
1)(log
2(2
1x x a
a
++=
=
8
1)23(log
212
-
+
x a
， ∵42≤≤x ，且o y ≤≤-8
1
∴当2
3log
-
=x a
即2
3-
=a
x 时，8
1min -
=y
∴32
21a
-≥> ∴10<<a ，又y 最大值是0，
， ∴01log 02log =+=+x x a
a
或 即a
x a
x 112
=
=
或 ， ∴
)41(212
==a
a
或
∴2
1=
a。