1 函数定义域和值域

第一讲 函数定义域和值域

★★★高考在考什么 【考题回放】

1．函数f (x )＝x 21-的定义域是 （ A ）

A ．(－∞，0]

B ．[0，＋∞)

C ．（－∞，0）

D ．（－∞，＋∞）

2．函数)

34(log 1

)(2

2-+-=x x x f 的定义域为 （A ）

A ．（1，2）∪（2，3）

B ．),3()1,(+∞⋃-∞

C ．（1，3）

D ．[1，3]

3． 对于抛物线线x y 42=上的每一个点Q ，点()0,a P 都满足a PQ ≥，则a 的取值范围是 （ B ）

A ．()0,∞-

B ．(]2,∞-

C ．[]2,0

D ．()2,0

4．已知)2(x f 的定义域为]2,0[，则)(log

2

x f 的定义域为 ]16,2[ 。

5． 不等式x

x m 22

+≤对一切非零实数x 总成立 , 则m 的取值范围是 (,-∞__。

6． 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)

f f '的最小值为 。

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★★★高考要考什么

一、 函数定义域有两类：具体函数与抽象函数 具体函数：只要函数式有意义就行－－－解不等式组；

抽象函数：（1）已知)(x f 的定义域为D ，求)]([x g f 的定义域；（由D x g ∈)(求得x 的范围就是）

（2）已知)]([x g f 的定义域为D ，求)(x f 的定义域；（D x ∈求出)(x g 的范围就是）

二、 函数值域（最值）的求法有：

直观法：图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围； 配方法：适合一元二次函数

反解法：有界量用y 来表示。如02

≥x ，0>x

a ，1sin ≤x 等等。如，2

211x

x y +-=

。

换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围。注意三角换元的应用。

如求21x x y -+=的值域。

单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数。如求)1)(11

1(log 2>+-+=x x x y 值域。

注意函数x

k x y +

=的单调性。

基本不等式：要注意“一正、二定、三相等”，

判别式：适合于可转化为关于x 的一元二次方程的函数求值域。如2

122

+++=

x x x y 。

反之：方程有解也可转化为函数求值域。如方程0sin sin 2

=++a x x 有解，求a 的范围。

数形结合：要注意代数式的几何意义。如x

x y cos 1sin 2+-=的值域。（几何意义――斜率）

三、 恒成立和有解问题

)(x f a ≥恒成立)(x f a ≥⇔的最大值；

(x f a ≤恒成立)(x f a ≤⇔的最小值；

)(x f a ≥有解)(x f a ≥⇔的最小值； )(x f a ≥无解)(x f a <⇔的最小值；

★★★ 突 破 重 难 点

【范例1】已知f (x )=3x －b （2≤x ≤4，b 为常数）的图象经过点（2，1），求F(x )=[f －1(x )]2－f －1(x 2)的值域。

分析提示：求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的制约作用。本题要注意F(x )的定义域与f －1(x )定义域的联系与区别。 解：由图象经过点（2，1）得，2=b ， ∴x x f

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l o g 2)(+=- )91(≤≤x

F(x )=[f －1(x )]2－f －1(x 2

) ⎩⎨

⎧≤≤≤≤∴9

1912

x

x )(x F ∴的定义域为 ]3,1[

1)1(log

2log

2)(log

)log

2()log

2()(2

3

3

2

3

2

3

2

3

++=++=+-+=∴x x x x x x F

]3,1[∈x ， ]1,0[log 3

∈∴x ， )(x F ∴的值域是]5,2[

易错点：把)(1

x f

-的定义域当做)(x F 的定义域。

变式： 函数)(x f y =的定义域为]1,1[-∈x ，图象如图所示， 其反函数为).(1

x f

y -=则不等式0]2

1)(][2

1)([1

>-

-

-x f

x f

的解集为 ]1,4

3( .

【范例2】设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；

（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，

∴当x t =-时，()f x 取最小值3

()1f t t t -=-+-，

即3()1h t t t =-+-．

（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--， 由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：

()g t ∴在(02)，内有最大值(1)1g m =-．

()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，

即等价于10m -<，

所以m 的取值范围为1m >．

变式：函数f （x ）是奇函数，且在[—l ，1]上单调递增，f （－1）＝－1，(1) 则f （x ）在[－1，1]上的最大值 1 ，(2) 若12)(2

+-≤at t x f 对所有的x ∈[－1，1]及a ∈[－1，1]都成立，则t 的取值范围是 202≥=-≤t t t 或或_ ．

【范例3】已知函数y kx =与2

2(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是

2

2(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点．

（I ）求k 的取值范围；

（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域； （III ）试比较O M 与O N 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．