特殊的正交基与正交变换

特殊的正交基与正交变换

任丽君（200411033）

数学科学学院04级1班 指导老师：阿勇嘎

摘 要：利用欧氏空间的内积给出了准正交基、准正交变换、拟正交基和拟正交变换的概念, 研究它们与正交矩阵之间的关系,推广了正交基、正交变换等结果. 关键词：正交基；准正交变换；拟正交变换；正交矩阵

一、 引 言

本文主要讨论了特殊的正交基与正交变换的一些性质.在讨论过程中所用到的定义，以下面8个定义形式给出：

定义]5[1设=∈∈j i n R c V ααααα,,,,,21若 ⎩⎨

⎧≠=j

i j

i c

0,(n j i ,,3,2,1, =) 则称n ααα ,,21为n 维欧氏空间V 的c - 准正交基

定义]6[2 设τ是欧氏空间V 的一个对称变换,如∀α∈V , α≠0 恒有

αατ),(> 0 ,则称τ为V 的一个正定变换.

定义]6[3 设τ是V 的正定变换,称αατ),(为向量α∈V 的τ-拟长度,记为τα. 设α,β是V 的两个非零向量,则称

τ

ττβαβ

ατθ),(arccos =

为α与β的τ-拟夹角.

定义]6[4 设τ是欧氏空间V 的一个正定变换,α,β∈V ,如果βατ),(= 0 ,则称α与β是τ-拟正交的.

定义]6[5 n 维欧氏空间V 的一个基{n ααα ,,21}称为V 的-τ拟正交基，

=j i αατ),(若⎩

⎨⎧≠=j i j

i 当当01,(n j i ,,3,2,1, =)

即基向量的拟长度都是1 ,且是两两拟正交的.

定义]6[6 设τ是V 的正定变换,称αατ),(为向量α∈V 的τ-拟长度,记为τα. 设α,β是V 的两个非零向量,则称

τ

ττβαβ

ατθ),(arccos

=

为α与β的τ-拟夹角.

定义]5[7 设σ∈L ( V ) , c ∈R , c >0 ,若∀α,β∈V 有

=)(),(βσασβα,c ,则称σ为V 的c - 准正交变换.

定义]6[8 设σ ∈L(V) ,如果存在V 的正定变换τ使τασ)(=τα , ∀α ∈V . 则称σ为V 的一个τ-拟正交变换. 即σ是τ- 拟正交变换

本文所用的记号和术语均取自文献[1]，在本文中使用但没有被给出的记号取自文献[2]，[3].

以下的引理都是本文得出的主要定理的推论： 引理1是本文得出的定理1的一个推论

引理]5[1 向量的长度具有以下性质: ∀α,β∈V ,

(1) α ≥0 ; α = 0 ⇔α= 0. (2) αα∙=k k , ∀k ∈R .

引理2是本文得出的定理2的推论.

引理]5[2 从c - 正交基{n ααα ,,21}到c - 正交基{n βββ ,,21}的过渡阵

U 必是正交阵.

引理3是本文得出的定理3的推论.

引理]5[3 设σ ∈L(V)，{n ααα ,,21}为V 的一个标准正交基，则σ为V 的

c - 准正交变换的充要条件是：{)(),(),(21n ασασασ }为V 的c - 准正交基.

引理4是本文得出的定理4的重要推论.

引理]5[4 (1) V 的两c - 准正交变换σ与τ的乘积στ是V 的2c - 准正交变换; (2) V 的c - 准正交变换σ的特征根必为± c .

二、主要结果及其证明

以下为本文所得出的主要定理及其证明.

定理1为引理1的推广，当把定理1的τ变换取成单位变换ι时，就会得出引理1的结论.

定理1 向量的拟长度具有以下性质: ∀α,β∈V ,

(1) τα ≥0 ; τα = 0 ⇔α= 0. (2) ττ

αα

∙=k k , ∀k ∈R .

(3) 推广的三角不等式: τβα+ ≤τα+τβ.

证明 (1) 由定义1 直接得到.

(2) =τ

α

k αατk k ),(=αατ),(2k = k

αατ),(=k τα.

(3) 2

τβα+=βαβατ++),(=αατ),(+ 2βατ),(+ββτ),( ≤αατ),(+ββταατ),(),(2><<+ββτ),(=.)(2ττ

βα

+

所以2

τβα+ ≤τα+τβ.

定理2是引理2的推广，把定理2的τ变换取成单位变换ι时，就会得出引理2的结论.

定理2 设U 是欧氏空间V 的-τ拟正交基{n ααα ,,21}到V 的基{n βββ ,,21}的过渡矩阵,那么{n βββ ,,21}是V 的τ-拟正交基的充要条件为U 是正交矩阵.

证明 令)(ij u U =由条件有=i β∑=n

k k ki u 1α (n i ,,3,2,1 =)于是当U 是正交

矩阵时

,

=j i ββτ),

(∑∑==n

l l lj n k k ki u u 1

1

),(αατ

=

∑∑==n l l lj n

k k ki

u u

1

1

),(αατ=∑∑==n k n

l lj ki u u 1

1

l k αατ),(

=∑=n

k kj ki u u

1

k

k αατ),(=∑=n

k kj ki u u 1=⎩

⎨⎧≠=j i j

i 当当01,(n j i ,,3,2,1, =)

即{n βββ ,,21}是V 的τ-拟正交基.

反过来，当{n βββ ,,21}是V 的τ

-拟正交基时，

有

=j

i ββτ),(⎩⎨⎧≠=j i j i 当当01从而∑=n

k kj ki u u 1=⎩

⎨⎧≠=j i j i 当当01,(n j i ,,3,2,1, =)即U 是正交矩阵.

定理3是引理3的推广，当把定理3的τ变换取成单位变换ι时，就会得出引理3的结论.

定理3 设{n ααα ,,21}为欧氏空间V 的-τ拟正交基，σ ∈L(V). 那么σ 是V 的τ-拟正交变换的充要条件为{)(),(),(21n ασασασ }为V 的τ-拟正交基.

证明 必要性:若有实数n ααα ,,21使∑==n

k k k 10)(ασα,那么