特殊的正交基与正交变换

特殊的正交基与正交变换任丽君（200411033）数学科学学院04级1班 指导老师：阿勇嘎摘 要：利用欧氏空间的内积给出了准正交基、准正交变换、拟正交基和拟正交变换的概念, 研究它们与正交矩阵之间的关系,推广了正交基、正交变换等结果. 关键词：正交基；准正交变换；拟正交变换；正交矩阵一、 引 言本文主要讨论了特殊的正交基与正交变换的一些性质.在讨论过程中所用到的定义，以下面8个定义形式给出：定义]5[1设=∈∈j i n R c V ααααα,,,,,21若 ⎩⎨⎧≠=ji ji c0,(n j i ,,3,2,1, =) 则称n ααα ,,21为n 维欧氏空间V 的c - 准正交基定义]6[2 设τ是欧氏空间V 的一个对称变换,如∀α∈V , α≠0 恒有αατ),(> 0 ,则称τ为V 的一个正定变换.定义]6[3 设τ是V 的正定变换,称αατ),(为向量α∈V 的τ-拟长度,记为τα. 设α,β是V 的两个非零向量,则称τττβαβατθ),(arccos =为α与β的τ-拟夹角.定义]6[4 设τ是欧氏空间V 的一个正定变换,α,β∈V ,如果βατ),(= 0 ,则称α与β是τ-拟正交的.定义]6[5 n 维欧氏空间V 的一个基{n ααα ,,21}称为V 的-τ拟正交基，=j i αατ),(若⎩⎨⎧≠=j i ji 当当01,(n j i ,,3,2,1, =)即基向量的拟长度都是1 ,且是两两拟正交的.定义]6[6 设τ是V 的正定变换,称αατ),(为向量α∈V 的τ-拟长度,记为τα. 设α,β是V 的两个非零向量,则称τττβαβατθ),(arccos=为α与β的τ-拟夹角.定义]5[7 设σ∈L ( V ) , c ∈R , c >0 ,若∀α,β∈V 有=)(),(βσασβα,c ,则称σ为V 的c - 准正交变换.定义]6[8 设σ ∈L(V) ,如果存在V 的正定变换τ使τασ)(=τα , ∀α ∈V . 则称σ为V 的一个τ-拟正交变换. 即σ是τ- 拟正交变换本文所用的记号和术语均取自文献[1]，在本文中使用但没有被给出的记号取自文献[2]，[3].以下的引理都是本文得出的主要定理的推论： 引理1是本文得出的定理1的一个推论引理]5[1 向量的长度具有以下性质: ∀α,β∈V ,(1) α ≥0 ; α = 0 ⇔α= 0. (2) αα∙=k k , ∀k ∈R .引理2是本文得出的定理2的推论.引理]5[2 从c - 正交基{n ααα ,,21}到c - 正交基{n βββ ,,21}的过渡阵U 必是正交阵.引理3是本文得出的定理3的推论.引理]5[3 设σ ∈L(V)，{n ααα ,,21}为V 的一个标准正交基，则σ为V 的c - 准正交变换的充要条件是：{)(),(),(21n ασασασ }为V 的c - 准正交基.引理4是本文得出的定理4的重要推论.引理]5[4 (1) V 的两c - 准正交变换σ与τ的乘积στ是V 的2c - 准正交变换; (2) V 的c - 准正交变换σ的特征根必为± c .二、主要结果及其证明以下为本文所得出的主要定理及其证明.定理1为引理1的推广，当把定理1的τ变换取成单位变换ι时，就会得出引理1的结论.定理1 向量的拟长度具有以下性质: ∀α,β∈V ,(1) τα ≥0 ; τα = 0 ⇔α= 0. (2) τταα∙=k k , ∀k ∈R .(3) 推广的三角不等式: τβα+ ≤τα+τβ.证明 (1) 由定义1 直接得到.(2) =ταk αατk k ),(=αατ),(2k = kαατ),(=k τα.(3) 2τβα+=βαβατ++),(=αατ),(+ 2βατ),(+ββτ),( ≤αατ),(+ββταατ),(),(2><<+ββτ),(=.)(2ττβα+所以2τβα+ ≤τα+τβ.定理2是引理2的推广，把定理2的τ变换取成单位变换ι时，就会得出引理2的结论.定理2 设U 是欧氏空间V 的-τ拟正交基{n ααα ,,21}到V 的基{n βββ ,,21}的过渡矩阵,那么{n βββ ,,21}是V 的τ-拟正交基的充要条件为U 是正交矩阵.证明 令)(ij u U =由条件有=i β∑=nk k ki u 1α (n i ,,3,2,1 =)于是当U 是正交矩阵时,=j i ββτ),(∑∑==nl l lj n k k ki u u 11),(αατ=∑∑==n l l lj nk k kiu u11),(αατ=∑∑==n k nl lj ki u u 11l k αατ),(=∑=nk kj ki u u1kk αατ),(=∑=nk kj ki u u 1=⎩⎨⎧≠=j i ji 当当01,(n j i ,,3,2,1, =)即{n βββ ,,21}是V 的τ-拟正交基.反过来，当{n βββ ,,21}是V 的τ-拟正交基时，有=ji ββτ),(⎩⎨⎧≠=j i j i 当当01从而∑=nk kj ki u u 1=⎩⎨⎧≠=j i j i 当当01,(n j i ,,3,2,1, =)即U 是正交矩阵.定理3是引理3的推广，当把定理3的τ变换取成单位变换ι时，就会得出引理3的结论.定理3 设{n ααα ,,21}为欧氏空间V 的-τ拟正交基，σ ∈L(V). 那么σ 是V 的τ-拟正交变换的充要条件为{)(),(),(21n ασασασ }为V 的τ-拟正交基.证明 必要性:若有实数n ααα ,,21使∑==nk k k 10)(ασα,那么∑==nk k k 10)(αασ.于是 0==0),(i ατσ )(),(1k nk k i αασατσ∑=k nk k i ααατ∑==1),(∑==nk k 1αk i αατ),(i α=i i i ααατ=),(. (n i ,,3,2,1 =)所以{)(),(),(21n ασασασ }线性无关,从而作成V 的基.由σ是V 的τ-拟正交变换得=)(),(j i ασατσ=j i αατ),(⎩⎨⎧≠=j i ji 当当01(n j i ,,3,2,1, =)由定义8可知，{)(),(),(21n ασασασ }是V 的τ-拟正交基. 充分性: ∀α ∈V ：α=∑=nk k k 1αα，有=)(),(ασατσ=∑∑==nl lln k ki11)(),(ασαατσα∑∑==n k n l l k 11αα=)(),(l k ασατσ∑==nk k 12α=)(),(l k ασατσ∑∑==nk nl l k 11αα==∑∑==nl lln k kk11),(ααατααατ),(.所以σ是V 的τ-拟正交变换.定理4是引理4的推广，当把定理4的τ变换取成单位变换ι时，就会得出引理4的结论.定理4 (1)设1σ, 2σ都是V 的τ-拟正交变换,则21σσ也是V 的τ-拟正交变换.(2) 拟正交变换的特征值为1 或- 1.证明 (1)∀α ∈V ,有=)(),(2121ασσαστσ=))(()),((2121ασσαστσ=)(),(22ασατσαατ),(.注意到21σσ ∈L(V),可知21σσ也是V 的τ-拟正交变换.(2)证明 设,σ是V 的τ-拟正交变换,λ为σ的特征根, ξ是σ属于λ的特征根定义7, =ξξτ),(=)(),(ξσξτσ2),(λλξλξτ=ξξτ),(.因0≠ξ,有定义2得0),(≠ξξτ.所以12=λ,1±=λ.推论 正交变换的特征值为1 或- 1.参考文献[ 1 ] 张禾瑞、郝新《高等代数》北京: 高等教育出版社[ 2 ] 袁晖坪《关于正交变换的判定》曲阜师范大学学报(自然科学版) [ 3 ] 袁晖坪《再谈欧氏空间的变换与线性变换》 [ 4 ] 袁晖坪《对称双线性函数与线性变换》 [ 5 ] 邹本强《欧氏空间三种变换之间的关系》 [ 6 ] 袁晖坪《准正交基与准正交变换》 [ 7 ] 张君敏《准正交变换的若干性质》Special orthogonal basis and orthogonal transformationRenlijun 200411033Mathematics institute Mathematics and applied mathematics 04 levels of 1 class Abstract: Euclidean space within the plot are given quasi-orthogonal-based, quasi-orthogonal transformation, to be orthogonal basis and to transform orthogonal concept, study them and orthogonal matrix of the relationship between the promotion of the orthogonal Base, such as orthogonal transformation resultsKey words: orthogonal basis; quasi-orthogonal transform, to be orthogonal transformation; orthogonal matrix。