万有引力定律典型例题分析

“万有引力定律”的典型例题

例5

【例1】假如一个作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作圆周运动，则

[ ]

A．根据公式v=ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍

D．根据上述选答B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将

【分析】人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动时，由地球对它的引力作向心力，即

卫星运动的线速度

当卫星的轨道半径增大为原来的2倍时，由于角速度会发生变化，

错，D正确．

同理，当卫星的轨道半径增大为原来的2倍时，由于线速度的变化，卫星所需的向心力不是减为原来的1/2，而是减小到原来的1/4．B错，C正确．

【答】C、D．

【说明】物体作匀速圆周运动时，线速度、角速度、向心加速度、向心力和轨道半径间有一定的牵制关系．例如，只有当ω不变时，线速度才与半径成正比；同样，当线速度不变时，同一物体的向心力才与半径成反比．使用中不能脱离条件．

研究卫星的运动时，最根本的是抓住引力等于向心力这一关系．

【例2】估算天体的质量

【解】把卫星（或行星）绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星（或行星）的引力作为它绕中心天体的向心力．根据

得

因此，只需测出卫星（或行星）的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M．

【例3】登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5min．已知月球半径是1740km，根据这些数据计算月球的平均密度．（G=6.67×10-11Nm2／kg2）

【分析】要计算月球的平均密度，首先应求出质量M．飞行器绕月球做匀速圆周运动的向心力是由月球对它的万有引力提供的．

【解】根据牛顿第二定律有

从上式中消去飞行器质量m后可解得

根据密度公式有

【例4】如图1所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，

连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？

【分析】把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得解．

【解】完整的均质球体对球外质点m的引力

这个引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与半径

F=F1+F2．

所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力

【说明】1．有部分同学认为，如果先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，应用万有引力公式求解．这是不正确的．万有引力存在于宇宙间任何两个物体之间，但计算

算引力．

2．如果题中的球穴挖在大球的正中央（图2），根据同样道理可得剩余部分对球外质点m的引力

集中于球心时对质点的引力一样．

【例5】在天体运动中，将两颗彼此距离较近，且相互绕行的行星称为双星．已

知两行星质量分别为M1和M2，它们之间距离为L，求各自运转半径和角速度为

多少？

【分析】本题中，双星之间有相互吸引力而保持距离不变，则这两行星一定绕着两物体联线上某点做匀速圆周运动，设该点为O，如图所示，M1OM2始终在一直线，M1和M2角速度相等，它们之间万有引力提供向心力．

【解】设M1离开O点的距离为R，则M2离开O点的距离为L-R，它们绕O点转动的角速度均为ω，则由牛顿第二定律，对两个行星分别有

则可得

（M1+M2）R=M2L

将以上结果代入①式或②式可得行星转动的角速度为

【说明】双星是一个整体，围绕着它们的质心转动，所以角速度ω相同，两星之间由万有引力相维系，它们到质心的距离与它们的质量成反比。