2018年浙江高考压轴题之数列不等式的证明

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1 1． (2015浙江)已知数列an 满足a1 ，且an 1 an an 2 (n N * ) 2 an （1 ）证明： 1 2(n N * )； (2)设数列an 2 的前n 项和为S n . an 1 Sn 1 1 证明: (n N * )． 2(n 2) n 2(n 2)
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放缩法： 放缩法的常见情形： 1 1 1 1 ①如含 2 + 2 + 2 + + 2 因子，可以做如下放缩： 1 2 3 n 1 1 1 1 + + + + 1 2 2 3 3 4 n ( n 1) 1 1 1 1 2 + 2 + 2 + + 2 1 2 3 n 1 1 1 1 + + + + . 1 1 2 2 3 (n 1) n
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3.(2016宁波一模)已知对任意正数n, 满足an是方程 x x 1的正根.求证： (1)an 1 an； n 1 1 1 1 1 1 1 (2) 1 . 2a2 3a3 4a4 nan 2 3 n
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1 4.(2016杭州二模)已知数列{an }满足a1 =1, an +1 an an (n N * );(1)证明： 2 an +12 an 2 3; 3n 1 an +1 2n (2)证明： . 3n 2 an 2n 1
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(4)熟练掌握递推公式： 举例： (1)已知a1 1, an 1 an , 则an 1. an 1 an an a1 (2)已知a1 2， , 则 = an na1. n 1 n n 1 (3)已知an 1 an (1 an )，则an an 1 (1 an 1 )= a1 (1 a1 ) (1 an 1 )(1 an ).
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一.数列证明必备知识(1)：
(1)累加法： 已知： (an an 1 )、 (an a
2 2 n 1
1 1 )、 ( )等可用累加： an an 1
如： an (an an 1 ) (an 1 an 2 ) (a2 a1 ) a1. an 2 =(an 2 an 12 ) (an 12 an 2 2 ) (a2 2 a12 ) a1. 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( ) . an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1
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5.(2017浙江模拟)已知数列{an }满足a1 =1, an +1an an 2 +1， (1)证明： 2n 1 an 2 3n 2.(2)当 a2017 t 取得最小值时， 求正数t的值.
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2 6.已知数列{an }各项Baidu Nhomakorabea为正数，且an +1 =an + 1，前n项 an 和为Sn .(1)若{an }为递增数列，求a1的取值范围。 1 (2)若a1 2, 都有Sn na1 (n 1)，证明：Sn 2n 1. 3
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n 2 an 7.(2016绍兴二模)已知数列{an }满足a1 =1, an +1 = 2 (n N * ). n 1 an a1 a2 1 (1)证明:an +1 an ;(2)证明： ... n2 ; a2 a3 an 1 n 1 (3)证明：an . 4
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(5)充分利用已知条件。 如：已知an 1 an an 2，可以得到如下结论： (1)an 1 an an 2 0, an 1 an ; an 1 an 1 (2) 1 an , 或 ; an an 1 1 an (3)an 2 an an 1 , a12 a2 2 an 2 (a1 a2 ) (a2 a3 ) (an an 1 ) a1 an ; (4)an 1 an (1 an ) an 1 (1 an 1 )(1 an ) a1 (1 a1 ) (1 an 1 )(1 an ).
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n 2 an 2.(2016绍兴二模)已知数列{an }满足a1 =1, an +1 = 2 (n N * ). n 1 a a a 1 (1)证明:an +1 an ;(2)证明：1 2 ... n n 2 ; a2 a3 an 1 n 1 (3)证明：an . 4
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an 6 8.(2017宁波二模)已知数列{an }满足a1 4, an +1 ， 2 Sn为{an }的前n项之和； (1)证明：n N *时, an an 1； 16 (2)当n N 时, 2 Sn 2n . 7
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9.(2017杭州二模)已知数列{an }的各项均为非负数，其前n an +an 2 项之和为Sn，且对任意的n N ，都有an +1 . 2 (1)若a1 1，a505 2017，求a6的最大值.
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放缩法常见情形： 1 1 ②如通项公式含 n , n 等， 2 1 3 1 n 1, 2n 1 1， 3n 1 1, 故： 1 1 1 1 1 1 1 1 n n = n 1 ；n n n n 1 = . n n 1 n 1 2 2 1 2 2 2 3 3 1 3 3 23 如2014年全国新课标2： 3n 1 1 1 1 3 已知an = ,求证： . 2 a1 a2 an 2 1 2 2 1 提示： = n = n 1 . n 1 an 3 1 2 3 3