高三数学一轮复习 第九篇 平面解析几何 第4节 双曲线课件 理
2022届高考数学一轮复习第9章平面解析几何第4讲双曲线课件新人教版
(1)几何法:如果题中给出的条件有明显的几何特征,那么可以考虑用图形
的性质来求解,特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.
(2)代数法:若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标 函数,将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的 范围(或最值)问题,然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的
两条与渐近线平行的直线.
(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近
线平行的直线.
考法1 双曲线的定义及应用
考法1 双曲线的定义及应用
考法1 双曲线的定义及应用
方法技巧
双曲线定义的应用策略
1.根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要
求求出轨迹方程.
2.将双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|-|PF2||=2a(其中 0<2a<|F2F2|)与正弦定理、余弦定理结合,解决焦点三角形问题. 3.利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题,如最值问题、距离问
的影响.
考法3 双曲线的几何性
质3.解决与双曲线的几何性质有关的问题的通法与流程
求解与双曲线的几何性质有关的问题,其通用的方法是利用方程思想解
题,其思维流程是:
考法4 直线与双曲线的位置
关系
考法4 直线与双曲线的位置
高三数一轮复习课件：第九章 平面解析几何. .ppt..
kBP＝ 03－－10＝－ 3， 所以 k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)． 故填(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
2019年5月30日
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类型二 求直线方程
根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5.
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类型一 直线的倾斜角和斜率
(1)设直线 2x＋my＝1 的倾斜角为 α，若 m∈(－∞， －2 3)∪[2，＋∞)，则角 α 的取值范围是________．
解：据题意知 tanα＝－m2 ，因为 m<－2 3或 m≥2.
所以 0<tanα< 33或－1≤tanα<0.
(3)过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 ①若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为____________； ②若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为____________； ③若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为____________； ④若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0，直线即为 x 轴，方程为____________．
x＝
，
y＝
.
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2．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴____________与 直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴________或________ 时，我们规定它的倾斜角为 0°.因此，直线的倾斜角 α 的取值范围为 __________________． (2)斜率：一条直线的倾斜角 α 的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母 k 表示，即 k＝______(α≠______)．当直线平行于 x 轴或者与 x 轴重合时，k______0； 当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为 ______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示 直线的倾斜程度．
数学(理)一轮复习：第九章 解析几何 双曲线
1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于｜F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝｛M｜｜｜MF1|－｜MF2｜|＝2a｝，|F1F2｜＝2c，其中a，c 为常数且a〉0，c〉0。
(1）当2a<｜F1F2｜时，P点的轨迹是双曲线;(2）当2a＝|F1F2｜时，P点的轨迹是两条射线；(3）当2a〉|F1F2｜时,P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)y2a2－错误!＝1(a〉0，b〉0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心:原点顶点A1（－a,0)，A2(a，0）A1（0，－a)，A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈(1,＋∞）,其中c＝错误!实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b〉0）系【知识拓展】巧设双曲线方程（1)与双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)有共同渐近线的方程可表示为错误!－错误!＝t（t≠0)．（2)过已知两个点的双曲线方程可设为错误!＋错误!＝1(mn〈0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）(1）平面内到点F1（0，4)，F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ×）(2）方程错误!－错误!＝1（mn〉0）表示焦点在x轴上的双曲线．（×）(3)双曲线方程错误!－错误!＝λ(m〉0，n>0,λ≠0)的渐近线方程是错误!－错误!＝0,即错误!±错误!＝0.( √）(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.（√）（5)若双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0）与错误!－错误!＝1（a〉0,b>0)的离心率分别是e1，e2,则错误!＋错误!＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线）．（√）1．(教材改编)若双曲线错误!－错误!＝1 (a〉0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 双曲线课件(理)
(9)e＝ac(e＞1)
(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近
线方程为 y＝±2x 的是( )
A．x2－y42＝1
B.x42－y2＝1
C.y42－x2＝1
D．y2－x42＝1
解：A，B 选项中双曲线的焦点在 x 轴上，C，D 选项中双曲线的焦点在 y 轴上，又令y42－x2＝0，得 y
(1)(2014·北京)设双曲线 C 的两 个焦点为(－ 2，0)，( 2，0)，一个顶点是(1， 0)，则 C 的方程为________．
解：根据已知条件可判断双曲线 C 的中心 在坐标原点，焦点在 x 轴上，c＝ 2，a＝1， b2＝c2－a2＝1，∴C 的方程为 x2－y2＝1.故填 x2－y2＝1.
(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做________．“离心率 e＝ 2”是“双 曲 线 为 等 轴 双 曲 线 ” 的 ______ 条 件 ， 且 等 轴 双 曲 线 两 条 渐 近 线 互 相 ______．一般可设其方程为 x2－y2＝λ(λ≠0)．
2．双曲线的标准方程及几何性质 焦点在 x 轴上
∵双曲线过点(－5，2)，∴2a52－b42＝1，得 a2＝b225＋b24.
联立a2＝b225＋b24，
解得
a2＋b2＝c2＝6，
a2＝5，b2＝1，故所求双曲线方程为x52－
y2＝1.
(2)依题意知，所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，
故可设双曲线方程为 Ax2＋By2＝1(AB＜0)，
第九章
平面解析几何
§9.7 双 曲 线
1．双曲线的定义 (1)定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的________等于常数 2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何双曲线教案理解析版
基础知识整合１．双曲线的概念平面内与两个定点F１，F２（|F１F２|＝２c>0）的距离的差的绝对值为常数（小于|F１F２|且不等于零）的点的轨迹叫做错误!双曲线．这两个定点叫做双曲线的错误!焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的错误!焦距．集合P＝{M|||MF１|—|MF２||＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a，c为常数且a>0，c>0：（１）当错误!a<c时，M点的轨迹是双曲线；（２）当错误!a＝c时，M点的轨迹是两条错误!射线；（３）当错误!a>c时，M点不存在．２．双曲线的标准方程和几何性质续表a，b，c的关系,错误!c２＝a２＋b２（c>a>0，c>b>0）双曲线中的几个常用结论（１）焦点到渐近线的距离为Ｂ．（２）实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．（３）双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）．（４）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!.（５）双曲线的离心率公式可表示为e＝错误!.１．（２0１8·浙江高考）双曲线错误!—y２＝１的焦点坐标是（）Ａ．（—错误!，0），（错误!，0）Ｂ．（—２,0），（２,0）Ｃ．（0，—错误!），（0，错误!）Ｄ．（0，—２），（0,２）答案B解析因为双曲线方程为错误!—y２＝１，所以焦点坐标可设为（±c,0），因为c２＝a２＋b２＝３＋１＝４，c＝２，所以焦点坐标为（±２,0），选Ｂ．２．（２0１9·宁夏模拟）设P是双曲线错误!—错误!＝１上一点，F１，F２分别是双曲线的左、右焦点，若|PF１|＝9，则|PF２|等于（）Ａ．１Ｂ．１7Ｃ．１或１7 Ｄ．以上均不对答案B解析根据双曲线的定义得||PF１|—|PF２||＝8⇒|PF２|＝１或１7．又|PF２|≥c—a＝２，故|PF２|＝１7，故选Ｂ．３．（２0１9·湖北模拟）若双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线经过点（３，—４），则此双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，点（３，—４）在渐近线上，∴错误!＝错误!，又a２＋b２＝c２，∴c２＝a２＋错误!a２＝错误!a２，∴e＝错误!＝错误!.故选Ｄ．４．已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的焦距为１0，点P（２,１）在C的渐近线上，则C 的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案A解析∵点P（２,１）在曲线C的渐近线y＝错误!x上，∴１＝错误!，∴a＝２Ｂ．又∵错误!＝错误!＝５，即４b２＋b２＝２５，∴b２＝５，a２＝２0，故选Ａ．５．（２0１8·北京高考）若双曲线错误!—错误!＝１（a>0）的离心率为错误!，则a＝________.答案４解析在双曲线中，c＝错误!＝错误!，且e＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，错误!＝错误!，a２＝１6，∵a>0，∴a＝４．6．已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线为２x＋y＝0，一个焦点为（错误!，0），则a＝________；b＝________.答案１２解析由题可知双曲线焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±错误!x，又一条渐近线为２x＋y＝0，即y＝—２x，∴错误!＝２，即b＝２a.又∵该双曲线的一个焦点为（错误!，0），∴c＝错误!.由a２＋b２＝c２可得a２＋（２a）２＝５，解得a＝１，b＝２．核心考向突破考向一双曲线的定义例１（１）（２0１9·山西模拟）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0）的一条渐近线方程为２x＋３y＝0，F１，F２分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF１|＝２，则|PF２|＝（）Ａ．４Ｂ．6Ｃ．8 Ｄ．１0答案C解析由题意得错误!＝错误!，解得a＝３．因为|PF１|＝２，所以点P在双曲线的左支上．所以|PF２|—|PF １|＝２a，解得|PF２|＝8．故选Ｃ．（２）（２0１9·河南濮阳模拟）已知双曲线x２—y２＝４，F１是左焦点，P１，P２是右支上的两个动点，则|F１P１|＋|F１P２|—|P１P２|的最小值是（）Ａ．４Ｂ．6Ｃ．8 Ｄ．１6答案C解析设双曲线的右焦点为F２，∵|F１P１|＝２a＋|F２P１|，|F１P２|＝２a＋|F２P２|，∴|F１P１|＋|F １P２|—|P１P２|＝２a＋|F２P１|＋２a＋|F２P２|—|P１P２|＝8＋（|F２P１|＋|F２P２|—|P１P２|）≥8（当且仅当P１，P２，F２三点共线时，取等号），∴|F１P１|＋|F１P２|—|P１P２|的最小值是8．故选Ｃ．触类旁通双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF１|—|PF２||＝２a，运用平方的方法，建立与|PF１|·|PF２|的联系.即时训练１．虚轴长为２，离心率e＝３的双曲线的两焦点为F１，F２，过F１作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF２的周长为（）Ａ．３Ｂ．１6＋错误!Ｃ．１２＋错误!Ｄ．２４答案B解析由于２b＝２，e＝错误!＝３，∴b＝１，c＝３a，∴9a２＝a２＋１，∴a＝错误!.由双曲线的定义知，|AF２|—|AF１|＝２a＝错误!，１|BF２|—|BF１|＝错误!，２１＋２得|AF２|＋|BF２|—（|AF１|＋|BF１|）＝错误!，又|AF１|＋|BF１|＝|AB|＝8，∴|AF２|＋|BF２|＝8＋错误!，则△ABF２的周长为１6＋错误!，故选Ｂ．２．已知F是双曲线错误!—错误!＝１的左焦点，A（１,４），P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．答案9解析设双曲线的右焦点为F１，则由双曲线的定义，可知|PF|＝４＋|PF１|，所以当|PF１|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F１共线时，满足|PF１|＋|PA|最小，|AF１|即|PF １|＋|PA|的最小值．又|AF１|＝５，故所求的最小值为9．考向二双曲线的标准方程例２（１）（２0１7·全国卷Ⅲ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝错误!x，且与椭圆错误!＋错误!＝１有公共焦点，则C的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案B解析由y＝错误!x可得错误!＝错误!.１由椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（３,0），（—３,0），可得a２＋b２＝9．２由１２可得a２＝４，b２＝５．所以C的方程为错误!—错误!＝１．故选Ｂ．（２）已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为错误!.若经过F和P（0,４）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案B解析由题意可得错误!＝错误!，即c＝错误!Ａ．又左焦点F（—c,0），P（0,４），则直线PF的方程为错误!＝错误!，化简即得y＝错误!x＋４．结合已知条件和图象易知直线PF与y＝错误!x平行，则错误!＝错误!，即４a＝bＣ．故错误!解得错误!故双曲线方程为错误!—错误!＝１．故选Ｂ．触类旁通即时训练３．（２0１9·西安模拟）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线平行于直线l：y＝２x＋１0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案A解析依题意，双曲线的渐近线为y＝２x，故错误!＝２１；在直线y＝２x＋１0中，令y＝0，故x＝—５，所以a２＋b２＝２５２.联立１２，解得a２＝５，b２＝２0．４．（２0１8·天津高考）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为２，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d１和d２，且d１＋d２＝6，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案C解析设双曲线的右焦点坐标为F（c,0）（c>0），则xA＝xB＝c，由错误!—错误!＝１可得，y＝±错误!，不妨设A错误!，B错误!，双曲线的一条渐近线方程为bx—ay＝0，据此可得，d１＝错误!＝错误!，d２＝错误!＝错误!，则d１＋d２＝错误!＝２b＝6，则b＝３，b２＝9，双曲线的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝２，据此可得，a２＝３，则双曲线的方程为错误!—错误!＝１．考向三双曲线的几何性质角度错误!双曲线离心率问题例３（１）（２0１8·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点F（c,0）到一条渐近线的距离为错误!c，则其离心率的值是___．答案２解析因为双曲线的焦点F（c,0）到渐近线y＝±错误!x，即bx±ay＝0的距离为错误!＝错误!＝b，所以b＝错误!c，因此a２＝c２—b２＝c２—错误!c２＝错误!c２，a＝错误!c，e＝２．（２）（２0１6·山东高考）已知双曲线E：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且２|AB|＝３|BC|，则E的离心率是________．答案２解析由已知得|AB|＝|CD|＝错误!，|BC|＝|AD|＝|F１F２|＝２c.因为２|AB|＝３|BC|，所以错误!＝6c，又b２＝c２—a２，所以２e２—３e—２＝0，解得e＝２，或e＝—错误!（舍去）．触类旁通求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b２＝c２—a２和e＝错误!转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.即时训练５．双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F１，F２，过F１作倾斜角为３0°的直线交双曲线右支于M点，若MF２⊥x轴，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析如图所示，在Rt△MF１F２中，∠MF１F２＝３0°，F１F２＝２c，∴MF１＝错误!＝错误!c，MF２＝２c·tan３0°＝错误!c，∴２a＝MF１—MF２＝错误!c—错误!c＝错误!c⇒e＝错误!＝错误!.6．已知点F１，F２分别是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点，过点F１且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF２是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（错误!，２错误!）Ｃ．（１＋错误!，＋∞）Ｄ．（１,１＋错误!）答案D解析依题意，0<∠AF２F１<错误!，故0<tan∠AF２F１<１，则错误!＝错误!<１，即e—错误!<２，e ２—２e—１<0，（e—１）２<２，所以１<e<１＋错误!，故选Ｄ．角度错误!双曲线的渐近线问题例４（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则其渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!x Ｂ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!x Ｄ．y＝±错误!x答案A解析∵e＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＝e２—１＝３—１＝２，∴错误!＝错误!.因为该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，故选Ａ．（２）（２0１9·深圳调研）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x—２y＝0，则它的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２答案A解析依题意设双曲线的方程是错误!—错误!＝１（其中a>0，b>0），则其渐近线方程是y＝±错误!x，由题知错误!＝错误!，即b＝２a，因此其离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.触类旁通即时训练7．（２0１8·全国卷Ⅲ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则点（４,0）到C的渐近线的距离为（）Ａ．错误!Ｂ．２Ｃ．错误!Ｄ．２错误!答案D解析因为e＝错误!＝错误!＝错误!，所以错误!＝１，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以点（４,0）到渐近线的距离d＝错误!＝２错误!.故选Ｄ．8．（２0１9·河北武邑中学模拟）过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点与x轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为错误!，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析设A（x0，y0），由题意，得x0＝c，代入渐近线方程y＝错误!x中，得y0＝错误!，即A错误!，同理可得B错误!，则错误!×错误!×c＝错误!.整理，得错误!＝错误!，即双曲线的离心率为错误!.故选Ｄ．考向四直线与双曲线的位置关系例５已知双曲线Γ：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）经过点P（２,１），且其中一焦点F到一条渐近线的距离为１．（１）求双曲线Γ的方程；（２）过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值．解（１）∵双曲线错误!—错误!＝１过点（２,１），∴错误!—错误!＝１．不妨设F为右焦点，则F（c,0）到渐近线bx—ay＝0的距离d＝错误!＝b，∴b＝１，a２＝２，∴所求双曲线的方程为错误!—y２＝１．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），直线AB的方程为y＝kx＋m.将y＝kx＋m代入x２—２y２＝２中，整理得（２k２—１）x２＋４kmx＋２m２＋２＝0．∴x１＋x２＝错误!，１x１x２＝错误!.２∵错误!·错误!＝0，∴（x１—２，y１—１）·（x２—２，y２—１）＝0，∴（x１—２）（x２—２）＋（kx１＋m—１）（kx２＋m—１）＝0，∴（k２＋１）x１x２＋（km—k—２）（x１＋x２）＋m２—２m＋５＝0．３将１２代入３，得m２＋8km＋１２k２＋２m—３＝0，∴（m＋２k—１）（m＋6k＋３）＝0．而P∉AB，∴m＝—6k—３，从而直线AB的方程为y＝kx—6k—３．将y＝kx—6k—３代入x２—２y２—２＝0中，判别式Δ＝8（３４k２＋３6k＋１0）>0恒成立，∴y＝kx—6k—３即为所求直线．∴P到AB的距离d＝错误!＝错误!.∵错误!２＝错误!＝１＋错误!≤２．∴d≤４错误!，即点P到直线AB距离的最大值为４错误!.求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是：１设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题.错误!即时训练9．设双曲线C：错误!—y２＝１（a>0）与直线l：x＋y＝１相交于两个不同点A，Ｂ．（１）求双曲线C的离心率e的取值范围；（２）设直线l与y轴的交点为P，取错误!＝错误!错误!，求a的值．解（１）将y＝—x＋１代入双曲线错误!—y２＝１（a>0）中，得（１—a２）x２＋２a２x—２a２＝0．所以错误!解得0<a<错误!且a≠１．又双曲线的离心率e＝错误!＝错误!，所以e>错误!且e≠错误!，即e∈错误!∪（错误!，＋∞）．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），P（0,１），因为错误!＝错误!错误!，所以（x１，y１—１）＝错误!（x２，y２—１），由此得x１＝错误!x２．由于x１，x２是方程（１—a２）x２＋２a２x—２a２＝0的两根，且１—a２≠0，所以x１＋x２＝错误! x２＝—错误!，x１x２＝错误!x错误!＝—错误!，消去x２得—错误!＝错误!，由a>0，解得a＝错误!.。
高三一轮复习双曲线名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
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第八章 平面解析几何
3．(1)(2014·云南省昆明市高三调研测试)已知 F(c，0)是双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点，若双曲线 C 的渐近线与圆 F： (x－c)2＋y2＝12c2 相切，则双曲线 C 的离心率为____2____； (2)(2012·高考天津卷)已知双曲线 C1：xa22－by22＝1(a>0，b>0)与双 曲线 C2：x42－1y62 ＝1 有相同的渐近线，且 C1 的右焦点为 F( 5， 0)，则 a＝____1____，b＝_____2___．
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第八章 平面解析几何
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为54； (2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)． 【解】(1)设双曲线的标准方程为 xa22－yb22＝1 或ay22－xb22＝1(a>0，b>0)．
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第八章 平面解析几何
由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲 线的标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个 顶点， 故焦点在 y 轴上，且 a＝12.
则双曲线xa22－yb22＝1
的离心率
13 e＝____3____．
5．设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线
双曲线课件-2025届高三数学一轮复习
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
高三数学一轮复习课件9.6 双曲线
长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长
为
.
答案: (1)B (2)44
考点1
考点2
考点3
-20-
解析: (1)由题意知a=1,b=1,c=2,
故|F1F2|=22. 在△PF1F2中,由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°
=|F1F2|2=8,
A(0, 2 ),则△APF周长的最小值为
.
思考如何灵活运用双曲线的定义求方程或者解焦点三角形?
答案: (1)x2-���8���2=1(x≤-1) (2)34 (3)12 6
考点1
考点2
考点3
-16-
解析: (1)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|,
考点1
考点2
考点3
-19-
对点训练1(1)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点 P在双曲线C上,且∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)已知F为双曲线C:
������2 9
−
1������62=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的
()
(4)等轴双曲线的离心率等于 2,且渐近线互相垂直. ( )
(5)若双曲线������������22 − ������������22=1(a>0,b>0)与������������22 − ������������22=1(a>0,b>0)的离心
率分别是 e1,e2,则���1���12 + ���1���22=1.
数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线学案理
9。
6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。
这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。
3。
双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。
3。
若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。
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(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与双曲 线C相交； Δ=0⇔直线与双曲线C相切；Δ<0⇔直线与双曲线C相离. (2)当a=0，b≠0时，即得到的是一次方程，则直线l与双曲线C相交，且只有一个 交点，此时，直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行.
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结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
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【知识点辨析】 (正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.
()
(2)双曲线 x 2 － y 2
m2 n2
=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是 x 2 － y 2
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2.双曲线的标准方程与几何性质
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2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》双曲线
2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》§9.6双曲线最新考纲了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质．1．双曲线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.(1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线；(3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)概念方法微思考1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线．2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0<a <b ，双曲线哪些性质受影响？提示离心率受到影响．∵e ＝c a＝a >b >0时，1<e <2，当a ＝b >0时，e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0<a <b 时，e > 2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(×)(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(√)(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．(√)题组二教材改编2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B ．5C.2D ．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为()A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0答案A解析椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a＝32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.4．经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．答案x 215－y 215＝1解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝±1(a >0)，把点A (4,1)代入，得a 2＝15(舍负)，故所求方程为x 215－y 215＝1.题组三易错自纠5．(2016·全国Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是()A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案A解析∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53答案D解析由条件知y ＝－b a x 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2，∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________________．答案x 24－y 2＝1解析由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.题型一双曲线的定义例1(1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案B解析如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|MF 2|＝2.∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.答案34解析∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.引申探究1．本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝23.2．本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴12F PF S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案(27，8)解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足m ＋2)2<m 2＋42，2<(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7<m <3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2，∴27<2m ＋2<8.题型二双曲线的标准方程例2(1)(2018·大连调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．答案x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：①虚轴长为12，离心率为54；②焦距为26，且经过点M (0,12)；③经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解①设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.②∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25.∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华求双曲线标准方程的方法(1)定义法(2)待定系数法①焦点位置不确定时，设Ax 2＋By 2＝1(AB <0)；②与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；③与x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．跟踪训练2(1)(2018·天津河西区模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为8，右顶点(a ,0)到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为()A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1C.x 225－y 216＝1 D.x 216－y 225＝1答案A解析由虚轴长为8，可得b ＝4，∵右顶点A (a,0)到双曲线C 的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为125，∴ab a 2＋b 2＝125，解得a ＝3，∴则双曲线C 的方程为x 29－y 216＝1，故选A.(2)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1答案B 解析由y ＝52x ，可得b a ＝52.①由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5.所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.题型三双曲线的几何性质命题点1与渐近线有关的问题例3已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是()A.2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0答案A解析由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0.命题点2求离心率的值(或范围)例4(2018·天津河东区模拟)双曲线方程为x 2a 2－y 2＝1，其中a >0，双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则双曲线的离心率为()A.233B.3C.2D.32答案A解析根据题意，可以求得双曲线的渐近线的方程为x ±ay ＝0，而圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，半径为1，结合题意有|2±0|1＋a2＝1，结合a >0的条件，求得a ＝3，所以c ＝3＋1＝2，所以有e ＝23＝233，故选A.思维升华1.求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±a b x .反之，已知渐近线方程为y ＝±ba x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．2．求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法①求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．(2)双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝ba＝c2－a2a＝c2a2－1＝e2－1.跟踪训练3(2018·茂名模拟)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A.7B．4 C.233D.3答案A解析因为△ABF2为等边三角形，所以不妨设|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m，因为A为双曲线右支上一点，所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，因为B为双曲线左支上一点，所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，又e>1，所以e＝7.故选A.高考中离心率问题离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法．例1已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是()，32，34C.32，D.34，答案A解析设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝4b 5≥45，∴1≤b <2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝4－b 24∈，32，故选A.例2已知F 1，F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A ，B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为()A.2B.3C ．22D ．23答案B解析不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知，取A 取B 则C F 1(－c ,0)．由AC ⊥BF 1知AC →·BF 1→＝0，又AC →c BF 1→2c 2c 2－3b 42a2＝0，又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，则有3e4－10e2＋3＝0，可得e2＝3或13，又e>1，所以e＝ 3.故选B.1．(2018·云南民族中学月考)已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，点(4，－2)在它的一条渐近线上，则离心率等于()A.6 B.5 C.62D.52答案B解析渐近线方程为y ＝－a b x ，故(4，－2)满足方程－2＝－a b ×4，所以a b ＝12，所以e ＝ca＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a2＝5，故选B.2．(2018·海淀模拟)设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为x 2－y 24＝1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析若C 的方程为x 2－y 24＝1，则a ＝1，b ＝2，渐近线方程为y ＝±bax ，即为y ＝±2x ，充分性成立；若渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，∴“C 的方程为x 2－y 24＝1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·辽宁省五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为()A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1C.x 24－y 216＝1D ．x 2－y 24＝1答案D解析因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C的离心率为5，所以1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.4．(2018·金华模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于()A ．2B ．4C ．6D ．8答案B解析由双曲线的方程，得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|＝(22)2，解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.5．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为()A ．3B ．2C ．－3D ．－2答案B解析由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|·cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B.6．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为()A ．4＋2B ．4(1＋2)C ．2(2＋6) D.6＋32答案B解析由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题意可知△APF 的周长l 为|PA |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝”，故选B.7．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S ＝16，则双曲线的实轴长是()A ．32B ．16C ．84D ．4答案B解析由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝ba x 上，由题意可知|F 2M |＝bc a 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由2OMF S ＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.8．(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是()C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案A解析由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1A.9．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 21(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.答案12解析由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba＝2.又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.10．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．答案4解析由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，∴|BA |＝|BF 1|，∵△BAF 1为等腰三角形，∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°，∴△BAF 1为等腰直角三角形．∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝22，∴1F AB S ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.11．(2018·安阳模拟)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________．答案(0,2)解析对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则－m >0，－4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．12．若点P 在双曲线x 2－y 29＝1上，则点P 到双曲线渐近线的距离的取值范围是________．答案，31010解析双曲线的一条渐近线方程是3x －y ＝0，由渐近线的性质，知当点P 是双曲线的一个顶点时，点P 到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是(±1,0)，所以点P 到渐近线的最大距离为|±3－0|10＝31010.又双曲线与渐近线没有交点，所以点P 到双曲线渐近线的距离的取值范围，31010.13．(2018·南昌调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线y ＝ba x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.5D.6答案C 解析如图，直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，设直线PF 2与直线y ＝ba x 的交点为N ，易知又线段PF 2的中点为N ，所以因为点P 在双曲线C 上，所以(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2b 2c 2b 2＝1，即5a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 5.故选C.14．(2018·福建六校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．答案43解析设左焦点为F 1，由于双曲线和圆都关于x 轴对称，又△APQ 的一个内角为60°，∴∠PAF ＝30°，∠PFA ＝120°，|AF |＝|PF |＝c ＋a ，∴|PF 1|＝3a ＋c ，在△PFF 1中，由余弦定理得，|PF 1|2＝|PF |2＋|F 1F |2－2|PF ||F 1F |cos ∠F 1FP ，即3c 2－ac －4a 2＝0，即3e 2－e －4＝0，∴e ＝43(舍负)．15．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝8，P 是E 右支上的一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆与边AF 2的切点为Q .若|AQ |＝3，求E 的离心率．解如图所示，设PF 1，PF 2分别与△PAF 2的内切圆切于M ，N ，依题意，有|MA |＝|AQ |，|NP |＝|MP |，|NF 2|＝|QF 2|，|AF 1|＝|AF 2|＝|QA |＋|QF 2|,2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝(|AF 1|＋|MA |＋|MP |)－(|NP |＋|NF 2|)＝2|QA |＝23，故a ＝3，从而e ＝c a ＝43＝433.16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝6|PF 2|，求此双曲线的离心率e 的最大值．解析由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝6|PF 2|，∴|PF 1|＝125a ，|PF 2|＝25a .当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝14425a 2＋425a 2－4c 22·125a ·25a ＝3712－25122，即e 2＝3725－1225cos ∠F 1PF 2.∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e 当P ，F 1，F 2三点共线时，∵|PF 1|＝6|PF 2|，∴e ＝c a ＝75，综上，e 的最大值为75.。
(新课标)高考数学大一轮复习-第九章 解析几何 9.7 双曲线(一)课件 文
线，有相同的渐近线、相等的焦距．
(6)双曲线形状与 e 的关系：k＝ba＝
c2－a2 a
＝
ca22－1 ＝
e2－1，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线
的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开
口就越开阔．
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线． (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线． (3)双曲线方程mx22－yn22＝λ(m>0，n>0，λ ≠0)的渐近线方程是 mx22－yn22＝0，即mx ±yn＝0.
归纳拓展 (1)求双曲线的标准方程时，若不知道焦点的位置，可直接设 双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)． (2)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线的“六点”(两个 焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条 渐近线)，“两三角形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形， 双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互关系．
(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对 值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
思考题 1 (1)(2015·福建理)若双曲线 E：x92－1y62 ＝1 的左、
右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|＝3，则|PF2|
等于( )
A．11
B．9Leabharlann C．5例 1 (1)已知两圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，
动圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是( )
浙江专用2021届高考数学一轮复习专题九平面解析几何9.4双曲线试题含解析
§9。
4 双曲线基础篇固本夯基【基础集训】考点一 双曲线的定义和标准方程1.设P 是双曲线x 216-y 220=1上一点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若｜PF 1|=9,则|PF 2｜等于 （ ) A 。
1 B 。
17C.1或17 D 。
以上均不对 答案 B2.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0,b>0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点)，则双曲线的方程为（ ）A 。
x 24-y 212=1 B 。
x 212-y 24=1C.x 23-y 2=1 D 。
x 2—y 23=1答案 D3.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a 〉0，b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ )A.x 25-y 220=1 B.x 220-y 25=1C.3x 225—3y 2100=1 D.3x 2100-3y 225=1答案 A4。
若实数k 满足0<k<5，则曲线x 216—y 25-k=1与曲线x 216-k-y 25=1的（ ）A 。
实半轴长相等B 。
虚半轴长相等C 。
离心率相等 D.焦距相等 答案 D考点二 双曲线的几何性质5。
已知双曲线x 2a 2-y 23=1（a>0)的离心率为2，则a=( )A.2B.√62C.√52D 。
1答案 D6。
双曲线C ：x 2a 2—y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为√3，则C 的焦距等于（ ） A 。
2 B.2√2 C 。
4 D 。
4√2 答案 C7.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0）的离心率为√52，则C 的渐近线方程为（ )A 。
y=±14x B.y=±13xC 。
y=±12x D.y=±x答案 C8.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(√5，0),则a= ;b= . 答案 1;2综合篇知能转换【综合集训】考法一 求双曲线方程的方法1.（2018黑龙江仿真模拟(三）,8）已知双曲线C:x2a2—y2b2=1(a〉0,b〉0)的一条渐近线方程为y=√3x，一个焦点坐标为（2，0)，则双曲线C的方程为（)A。
2020届高考数学一轮第九单元解析几何第讲双曲线理新人教A版
即|PC|－|PA|＝2，
因为0<|PC|－|PA|<|AC|，
所以由双曲线的定义，知点P
的轨迹是以A，C为焦点，2为实轴
长的双曲线的左支，其中a＝1，c＝3， 所以b2＝c2－a2＝9－1＝8. 故所求的轨迹方程为x2－y82＝1(x≤－1)． 答案：x2－y82＝1(x≤－1)
x2 4
＋
y2 3
＝1的左、右焦点，平面内
一个动点M满足|MF1|－|MF2|＝2，则动点M的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
解：对于椭圆有c2＝a2－b2＝4－3＝1，
所以椭圆的左、右焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)， 因为|MF1|－|MF2|＝2＝|F1F2|， 所以M点的轨迹为一条射线． 答案：D
10
2．(2018·浙江卷)双曲线x32－y2＝1 的焦点坐标是( ) A．(－ 2，0)，( 2，0) B．(－2，0)，(2，0) C．(0，－ 2)，(0， 2) D．(0，－2)，(0，2) 解：因为双曲线方程为x32－y2＝1， 所以 a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在 x 轴上， 所以 c＝ a2＋b2＝ 3＋1＝2， 即得该双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．
A. 5
B．2
C. 3
D. 2
37
解：(方法 1)如图，过点 F1 向 OP 的反向延长线作垂线， 垂足为 P′，连接 P′F2，
由题意可知，四边形 PF1P′F2 为平行四边形，且△PP′F2 是直角三角形．
因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a. 又|PF1|＝ 6a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝ 2a＝b， 所以 c＝ a2＋b2＝ 3a，所以 e＝ac＝ 3.
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【重要结论】
1.双曲线 x2 - y 2 =1(a>0,b>0)中,过焦点垂直于实轴所在直线的弦长为 2b2 .
a2 b2
a
2.双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长.
3.已知双曲线 x2 - y 2 =λ(a>0,b>0,λ≠0)求其渐近线的方程只需把λ改写 a2 b2
为 0 整理即可.
夯基自测
所以点 P 的坐标是(8,±3 3 ).
答案:(8,±3 3 )
5.(2016 河北质量监测)若双曲线 x2 - y 2 =1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐 a2 b2
近线的距离等于焦距的 1 ,则该双曲线的离心率是
.
4 解:设双曲线的一个焦点为(c,0),一条渐近线为
y=
b
x,
a
| bc | 则a =
bc
= bc =b= 1 ×2c.即 c=2b.
1
b2 a2
a2 b2 c
4
所以 c=2 c2 a2 ,即有 3c2=4a2.所以 e= c = 2 3 . a3
答案: 2 3 3
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 双曲线的定义及其应用
【例 1】 (1)(2015 高考福建卷)若双曲线 E: x2 - y 2 =1 的左、右焦点分别为 9 16
(A)x2- y 2 =1 4
(B) x2 -y2=1 4
(C)x2- y 2 =1 2
(D) x2 -y2=1 2
解析:对于 A,令 x2- y 2 =0,得 y=±2x; 4
对于 B,令 x2 -y2=0,得 y=± 1 x;
4
2
对于 C,令 x2- y 2 =0,得 y=± 2 x; 2
对于 D,令 x2 -y2=0,得 y=± 2 x.故选 A.
标准方程
a、b、c 间 的关系
x2 - y 2 =1(a>0,b>0) a2 b2
y 2 - x2 =1(a>0,b>0) a2 b2
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
3.等轴双曲线的定义及性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为 x2-y2=λ(λ≠0),离心 率 e= 2 .渐近线方程为 y=±x .它们互相 垂直 ,并且平分实轴和虚轴所 成的角.
的轨迹方程为
.
解析:(2)设动圆 M 的半径为 R, 则|MC|=2+R,|MA|=R, 所以|MC|-|MA|=2, 由双曲线的定义知,M 点的轨迹是以 A,C 为焦点的双曲线的左支, 且 a=1,c=3, 所以 b2=8,
则动圆圆心 M 的轨迹方程为 x2- y 2 =1(x<-1). 8
答案:(2)x2- y 2 =1(x<-1) 8
顶点坐标: A1 (0,-a) ,A2 (0,a)
y=± a x b
离心 率
实虚 轴
e= c ,e∈(1,+∞) ,其中 c= a2 b2 a
线段 A1A2 叫做双曲线的 实轴 ,它的长|A1A2|= 2a ;线段 B1B2 叫做双曲线 的 虚轴 ,它的长|B1B2|= 2b ;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半 轴长
标准方程 x2 - y 2 =1(a>0,b>0) a2 b2
y 2 - x2 =1(a>0,b>0) a2 b2
图形
范围 对称 性
顶点
性 渐近 质线
x≥a 或 x≤-a 对称轴: x轴、y轴
对称中心: 坐标原点 顶点坐标: A1 (-a,0) ,A2 (a,0)
y=± b x a
y≥a 或 y≤-a
提示:若A>0,B<0表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0表示焦点在
y轴上的双曲线,当上述两种条件都不满足时,不表示双曲线,所以
Ax2+By2=1表示双曲线的条件是AB<0.
知识梳理
1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的 差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点 的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的 焦点 ,两焦点间的距离叫 做双曲线的 焦距 . 2.双曲线的标准方程及简单几何性质
2
2
3.(2016 贵州模拟)已知双曲线 x2+my2=1 的虚轴长是实轴长的两倍,则实数 m 的值是( B )
(A)4 (B)- 1 (C) 1
4
4
(D)-4
解析:因为双曲线 x2+my2=1 的标准方程 x2- y2 =1, 1 m
虚轴长是实轴长的两倍,
所以 2× 1 =2×2.解得 m=- 1 .
F1,F2,点 P 在双曲线 E 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( )
(A)11 (B)9 (C)5
(D)3
解析:(1)|PF1|=3<a+c=8,故点P在双曲线的左支上,由双曲线的定义得 |PF2|-|PF1|=2a=6,所以|PF2|=9,故选B.
答案: (1) B
(2)已知圆 C:(x-3)2+y2=4,定点 A(-3,0),求过定点 A 且和圆 C 外切的动圆圆心 M
第4节 双曲线
最新考纲 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程、知道它的 2.理解数形结 简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 合思想的应用.
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【教材导读】 1.平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹 一定为双曲线吗? 提示:只有当0<2a<|F1F2|时,动点的轨迹才是双曲线,当2a=0时,动点 的轨迹是线段F1F2的中垂线;当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端 点的两条射线;当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在. 2.方程Ax2+By2=1表示双曲线的条件是什么?
1.已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点 P 的轨迹是( C )
(A)双曲线
(B)双曲线左边一支
(C)一条射线 (D)双曲线右边一支
解析:因为|MN|=4,|PM|-|PN|=4, 所以动点P的轨迹是一条射线,故选C.
2.(2015 高考安徽卷)下列双曲线中,渐近线方程为 y=±2x 的是( A )
m
4
4.双曲线 x2 - y 2 =1 上的点 P 到点(5,0)的距离是 6,则点 P 的坐标 16 9
是
.
解析:设点 P 的坐标为(x0,y0),
由题意可知
(
x0
ห้องสมุดไป่ตู้
x02
5)2 y02 y02 1,
36,
16 9
解这个方程组得
x0
8,
或
x0
8,
y0 3 3 y0 3 3,