p是q的充分不必要条件
高二数学充分条件与必要条件试题答案及解析
高二数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.设p：x＜－1或x＞1，q：x＜－2或x＞1，则p是q的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用集合关系法。
因为，，所以，p是q的必要不充分条件，故选B。
【考点】本题主要考查充要条件的概念。
点评：简单题，充要条件的判断，涉及知识面较广，从方法来讲有三种思路：定义法，等价关系法，集合关系法。
2.已知条件p:x<1，条件q：<1，则p是q的条件．【答案】既不充分也不必要条件【解析】根据题意，由于条件p:x<1，条件q：<1，那么可知q：，因此根据集合之间的互不包含的关系，可知p是q的条件既不充分也不必要条件。
【考点】充分条件点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3.“”是“”的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】可得；可得，由成立，反之不成立，所以“”是“” 必要不充分条件【考点】条件关系点评：若成立，则是的充分条件，是的必要条件4.设a∈R，则a＞1是＜1的 ()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据题意，由于,可知条件表示的集合是结论集合的真子集，那么可知条件可以推出结论，反之不成立，因此可知为充分但不必要条件，选A.【考点】充分条件点评：解决的关键是对于结论和条件表示的集合的关系的确定，属于基础题。
充分条件与必要条件高考题
试卷第1页，共4页 ◎ 试卷第2页，共4页充分条件与必要条件高考题第I 卷（选择题）一、单选题1．已知实数x ，y ，则“222x y +≤”是“x y +≤的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件.2．已知a ，b ∈R ，22:2p a b +≥，:1q ab ≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设x ∈R ；则“0x <”是“11x ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若x ，y ，z 为非零实数，则“x y z <<”是“2x y z +<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．x A B ∈成立是x A ∈成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．若,R a b ∈，则“a b =”是“22a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在空间中，“直线AB 与CD 没有公共点”是“直线AB 与CD 异面”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．“1x >”是 “21x >”的（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题9．在下列结论中，正确的有（ ） A ．29x =是327x =-的必要不充分条件B ．在ABC 中，“222AB AC BC +=”是“ABC 为直角三角形”的充要条件 C ．若,a b ∈R ，则“220a b +≠”是“a ，b 不全为0”的充要条件D ．一个四边形是正方形是它是菱形的必要条件10．对任意实数a b c ，，，下列命题中真命题是（ ） A ．a b =是ac bc =的充要条件 B ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．a b >是22a b >的充要条件D ．5a <是3a <的必要条件11．下列说法不正确的是（ ） A ．2x ≥是4x >的充分不必要条件B ．若:p a 、b 为无理数，:q ab 为有理数，则p 是q 的充分条件C ．2m ≠±是2m ≠的充要条件D ．若:p 四边形是正方形，:q 四边形的对角线互相垂直，则p 是q 的充要条件12．下列命题是真命题的为（ ） A ．2,10x R x ∀∈--< B ．,,n Z m Z nm m ∀∈∃∈=C ．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D ．存在实数x ，使得213234x x =-+第II 卷（非选择题）三、双空题13．若“2x a >+”是“3x >”的充分条件，则实数a 的取值范围为_________；若“2x a >+”是“3x >”的充分条件但“2x a >+”不是“3x >”的必要条件, 则实数a 的取值范围为试卷第3页，共4页 ◎ 试卷第4页，共4页_________. 四、填空题14．设集合{}220,A x x ax b x R =-+=∈，(){}220,B x bx a x b x R =+++=∈，则12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的充要条件是______．15．已知2:340,:3p x x q x m --≤-≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_________．16．若“12m x m m -<+<”是“1012x +<<”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为___________. 五、解答题17．设集合{}2230A x x x =+-<，{}11,0B x a x a a =--<<->，命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈．(1)若p 是q 的充要条件，求正实数a 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求正实数a 的取值范围．18．设集合{}2|40A x x x =+=，B ＝{x |2x +2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}.(1)若－1◎B ，求a 的值；(2)设条件p ：x ◎A ，条件q ：x ◎B ，若q 是p 的充分条件，求a 的取值范围. 19．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{1B x x =≤或}4x ≥． (1)当3a =时，求A B ；(2)若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈”的__________条件，求实数a 的取值范围． （请在“◎充分不必要；◎必要不充分”两个条件中选一个条件填入横线后作答） 20．已知全集U R =，集合[){}2,1,23A B x a x a =-=<<+． (1)若12a =-，求()U A B ⋃．(2):,:p x A q x B ∈∈．若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．21．设集合{}12A x x =-≤≤，集合{}1B x m x =<<. (1)若2m =-，求()R A B ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数m 的取值范围. 22．已知集合2{|30}A x x ax =-+<，集合{|21}B x m x m =<<-． (1)若集合A =∅，求实数a 的取值范围；(2)若4a =，且“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．参考答案：1．B 【解析】 【分析】考虑两个条件之间的推出关系可得正确的选项. 【详解】若222x y +≤，则()22222224x y x y xy x y +=++≤++≤，故2x y +≤<x y +≤若x y +≤x y ==2242x y +=>，故222x y +≤不成立，故“222x y +≤”是“x y +≤的充分不必要条件， 故选：B. 2．B 【解析】 【分析】根据基本不等式性质和特值法判断命题的充分性和必要性即可得到答案. 【详解】根据题意，若1≥ab ，则2222a b ab +≥≥，必要性成立，若222a b +≥，如1a =，3b =-，不能得到1≥ab ，充分性不成立， 所以p 是q 的必要不充分条件. 故选：B 3．A 【解析】 【分析】首先解绝对值不等式11x ->，再根据充分条件、必要条件的定义判断可得； 【详解】解：由11x ->，即11x ->或11x -<-，解得2x >或0x <，即由0x <推得出11x ->，由11x ->推不出0x <，即0x <是11x ->的充分不必要条件； 故选：A4．A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】解：因为x z <，y z <，所以2x y z +<,故充分; 当3x =，1y =， 2.5x =时，满足2x y z +<， 但不满足x y z <<.故不必要， 故选：A. 5．A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：◎x ◎A ∩B ⇒x ◎A ，当x ◎A 时，不一定有x ◎A ∩B ，x ◎A ∩B 成立是x ◎A 成立的充分不必要条件． 故选：A ． 6．A 【解析】 【分析】根据充分条件及必要条件的定义来判断即得． 【详解】由22a b =可得，a b =或a b =-， ◎“a b =”是“22a b =”的充分不必要条件. 故选：A ． 7．A 【解析】 【分析】由于在空间中，若直线AB 与CD 没有公共点，则直线AB 与CD 平行或异面，再根据充分、必要条件的概念判断，即可得到结果. 【详解】在空间中，若直线AB 与CD 没有公共点，则直线AB 与CD 平行或异面. 故“直线AB 与CD 没有公共点”是“直线AB 与CD 异面”的必要不充分条件. 故选：A. 8．A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】1x >时，有21x >，充分的，但21x >时可能有1x <-，不必要． 故选：A ． 9．AC 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A 中，由29x =，可得3x =±，可得327x =±，所以充分性不成立， 反之：由327x =-，可得3x =-，可得29x =，所以必要性成立， 所以29x =是327x =-的必要不充分条件，所以A 正确；对于B 中，在ABC 中，由222AB AC BC +=，可得ABC 为直角三角形， 反之：由ABC 为直角三角形，不一定得到222AB AC BC +=，所以222AB AC BC +=是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以B 不正确； 对于C 中，若,a b ∈R ，由220a b +≠，可得,a b 不全为0，反之：当,a b 不全为0，可得220a b +≠，所以220a b +≠是,a b 不全为0”的充要条件， 所以C 正确；对于D 中，若一个四边形是正方形，可得它一定是菱形，所以充分性成立， 反之：菱形不一定是正方形，所以必要性不成立，所以一个四边形是正方形是它是菱形的充分不必要条件，所以D 不正确. 故答案为：AC10．BD 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断 【详解】解：“a b =”⇒“ac bc =”为真命题，但当0c 时，“ac bc =”⇒“a b =”为假命题，故“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故A 为假命题；“5a +是无理数”⇒“a 是无理数”为真命题，“a 是无理数”⇒“5a +是无理数”也为真命题，故“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故B 为真命题；“a b >”⇒“22a b >”为假命题，“22a b >”⇒“a b >”也为假命题，故“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件，故C 为假命题；{|3}{|5}a a a a <<，故“5a <”是“3a <”的必要不充分条件，故D 为真命题.故选：BD. 11．ABD 【解析】 【分析】利用集合的包含关系可判断A 选项的正误；利用充分条件和必要条件的定义可判断BD 选项的正误；解不等式2m ≠，可判断C 选项的正误. 【详解】对于A 选项，{}2x x ≥ {}4x x >，故2x ≥是4x >的必要不充分条件，A 错；对于B 选项，充分性：取a b =ab =B 错；对于C 选项，由2m ≠可得2m ≠±，故2m ≠±是2m ≠的充要条件，C 对；对于D 选项，充分性：若一个四边形是正方形，则该四边形的对角线互相垂直，充分性成立，必要性：若一个四边形的对角线互相垂直，比如说这个四边形为菱形，但这个四边形不一定是正方形，必要性不成立， 故p 是q 的充分不必要条件，D 错.故选：ABD. 12．ABC 【解析】 【分析】根据题意，依次分析各选项即可得答案. 【详解】对于A ，2,0x R x ∀∈-≤，所以210x --<，故A 选项是真命题； 对于B ，当0m =时，nm m =恒成立，故B 选项是真命题；对于C ，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C 选项是真命题. 对于D ，因为()2223122-+=-+≥x x x ，所以21132324x x ≤<-+.故D 选项是假命题.故选：ABC.13． [)1,+∞ 1,【解析】 【分析】根据充分条件以及必要条件的定义集合的包含关系得出实数a 的取值范围. 【详解】◎若“2x a >+”是“3x >”的充分条件，◎{}2x x a >+{}3x x ⊆>，◎1a ≥ ◎若“2x a >+”是“3x >”的充分条件但“2x a >+”不是“3x >”的必要条件, ◎{}2x x a >+ {}3x x >，◎1a > 故答案为：[)1,+∞，1,【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于将充分条件以及必要条件的问题转化为集合的包含关系，由集合的知识进行求解. 14．13a =-，23b =-【解析】 【分析】因为12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以12是方程220x ax b -+=的根，也是方程()220bx a x b +++=的根，通过代入12得到关于a ，b 的方程组，解出13a =-，23b =-，再说明当13a =-和23b =-时，能够满足12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.【详解】由12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，可知12A ∈，12B ∈，于是()221120,221120.22a b b a b ⎧⎛⎫⨯-⨯+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯++⨯+= ⎪⎪⎝⎭⎩解得1323a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 此时21,32A ⎧⎫⎨-⎩=⎬⎭，12,2B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．故12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的充要条件是13a =-，23b =-故答案为：13a =-，23b =-15．[)4,+∞ 【解析】 【分析】化简条件p 可得14x -≤≤；化简条件q 可得33m x m -≤≤+，再根据p 是q 的充分不必要条件，由集合的包含关系列出不等式组03134m m m ≥⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解不等式组即可得结果.【详解】◎由2340x x --≤，得14x -≤≤，由p 是q 的充分不必要条件知：3x m -≤有解，故0m ≥， 即原不等式可化为：3m x m -≤-≤， 解得：33m x m -≤≤+，设{}14A x x =-≤≤，{}33B x m x m =-≤≤+，p 是q 的充分不必要条件，A ∴是B 的真子集,则03134m m m ≥⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩且等号不同时成立，解得：4m ≥， 故m 的取值范围是[)4,+∞． 故答案为：[)4,+∞. 16．()1,+∞##1m 【解析】 【分析】由题意，根据必要不充分条件可得()1,1-⫋()12,m m -，从而建立不等关系即可求解. 【详解】 解：不等式1012x +<<的解集为()1,1-，不等式12m x m m -<+<的解集为()12,m m -， 因为“12m x m m -<+<”是“1012x +<<”的必要不充分条件， 所以()1,1-⫋()12,m m -，所以1121m m >⎧⎨-<-⎩，解得1m ，所以实数m 的取值范围为()1,+∞， 故答案为：()1,+∞. 17．(1){}2 (2)()0,2 【解析】 【分析】（1）通过解不等式可得{}31A x x =-<<，由p 是q 的充要条件，得A B =，即1311a a --=-⎧⎨-=⎩，从而即可求出实数a 的取值范围； （2）根据p 是q 的必要不充分条件，得B A ，从而即可求出实数a 的取值范围．(1)由2230x x +-<，得()()310x x +-<， 解得31x -<<，所以{}31A x x =-<<，由p 是q 的充要条件，得A B =，即1311a a --=-⎧⎨-=⎩，解得2a =，所以实数a 的取值范围是{}2； (2)由p 是q 的必要不充分条件，得BA ，又0a >，则B ≠∅，所以131111a a a a -->-⎧⎪-<⎨⎪->--⎩，解得02a <<，综上实数a 的取值范围是()0,2． 18．(1)1a =±(2)(]{},11-∞-⋃ 【解析】 【分析】（1）将1-代入方程即可求解.（2）求出集合A ，由题意可得B A ⊆，根据集合的包含关系即可求解. (1)因为－1◎B ，所以()()2212110a a --++-=，解得1a =(2){}{}2|404,0A x x x =+==-， 由题意可得B A ⊆，当B =∅时，()()224141880a a a ∆=+--=+<，解得1a <-，当B ≠∅时，{}4B =-或{}0或{}4,0-，当{}4B =-时，()2Δ0168110a a =⎧⎨-++-=⎩，此时无解； 当{}0B =时，2Δ010a =⎧⎨-=⎩，解得1a =-； 当{}4,0B =-，()()24021401a a ⎧-+=-+⎪⎨-⨯=-⎪⎩，解得1a =， 综上所述， a 的取值范围为(]{},11-∞-⋃.19．(1){11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤；(2)条件选择见解析，答案见解析.【解析】【分析】（1）利用交集的定义可求得A B ；（2）选择条件◎，可得出AB R ，可得出关于实数a 的不等式组，可解得实数a 的取值范围；选择条件◎，可得出AB R ，可得出关于实数a 的不等式组，可解得实数a的取值范围.(1)解：当3a =时，{}15A x x =-≤≤，所以，{11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤.(2)解：当0a >时，则22a a -<+，A ≠∅，{}14R B x x =<<. 若选择条件◎，则A B R ，可得21240a a a ->⎧⎪+<⎨⎪>⎩，解得01a <<；若选择条件◎，则A B R ，可得21240a a a -≤⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得2a ≥.20．(1){ 2.5x x ≥或}1x <；(2)[2,1)--【解析】【分析】（1）根据集合的补集和并集的定义进行求解即可；（2）由充分不必要条件确定集合AB 、之间的关系，根据真子集的性质进行求解即可. (1) 因为12a =-，所以512B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭， 因此{ 2.5U B x x =≥或}1x ≤-，而[)2,1A =-，所以()U A B ⋃{ 2.5x x =≥或}1x <；(2)因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB ，因此有：23132122a a a a a <+⎧⎪≤+⇒-≤<-⎨⎪->⎩，故a 的取值范围为[2,1)--.21．(1){1xx <∣或}2x > (2)[1,)-+∞【解析】【分析】（1）根据交并补的定义直接计算即可；（2）由题可得B ⊆A ，分类讨论，根据包含关系列出不等式即可求出.(1)当2m =-时，{}12A x x =-≤≤，{21}B xx =-<<∣. 则{1R A x x =<-或}2x >，(){1R A B x x ∴=<∣或}2x >； (2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B ⊆A ，◎{12}A xx =-≤≤∣，集合{}1B x m x =<<， 当B =∅时，即m 1≥满足题意；当B ≠∅时，则11m m <⎧⎨-≤⎩，解得11m -≤< 综上，实数m 的取值范围是[1,)-+∞.22．(1)a -≤(2){}2m m ≤-【解析】【分析】(1)A =∅，即一元二次方程无解转化为0∆≤，列出不等式求解即可；（2）“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件转化为A 是B 的真子集，先求出A 的范围，再根据此列出不等式即可求出实数m 的取值范围.(1)A =∅，则0∆≤，即2120a -≤，解得a -≤所以实数a 的取值范围为a -≤(2)当4a =时，2430x x -+<，解得13x <<，{}|13A x x =<<，因为x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集， 2113m m ≤⎧⎨-≥⎩解得2m ≤- 所以，实数m 的取值范围{}2m m ≤-。
1.4充分条件与必要条件
(5)若a=b,则ac=bc；
(6)若x，y为无理数，则xy为无理数.
举反例是判断一个命题是
假命题的重要方法.
思考:例1中“四边形的两组对角分别相等”是“四边形是平行四边形”唯一
的充分条件吗？如果不唯一，你能给出几个其他充分条件吗？
①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；
P
Q
P
P(Q)
5) 若p是q的充分条件，相应的两个集合有何关系？
pq
PQ
P
Q
P(Q)
6) 若p是q的必要条件，相应的两个集合有何关系？
q p
QP
Q
P
P(Q)
例4. 已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.
若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
解： p：3a<x<a，即集合P＝{x|3a<x<a}．
的必要条件吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必
要条件吗？
①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；
②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；
③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分；
结论：一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结
要条件
要条件
练习：指出下列“若p则q”的命题中，p是q的什么条件？
(1)若两个三角形全等，则它们的面积相等。充分不必要
(2) 若ab 0, 则a 0
(3)若
x y
，则
x y
大
小
必要不充分
2
2
； 充分不必要
充分条件、必要条件-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
∴p是q的必要条件．
(2)对①，当x＝1时，显然有x2－2x＋1＝0，故p⇒q，即p是q的充分条件；
对②，当a＝5，b＝－1时，有a＋b＞0，但ab＜0，故p≠>q, p不是q的充分条件；
③∵四边形的对角线相等≠>四边形是平行四边形，∴p不是q的充分条件．
_________
条件)，记作
⇔
________，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”．
一、自学教材·注重基础
知识点二
充要条件
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．
(√
)
(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．
(√
)
2．“x<2”是“
题型二
充要条件的判断
p是q的充要条件还有以下相同意义的说法：①当且仅当p成立时，q成立；②要
使q成立，必须且只需p成立．
对充要条件的词义表达要熟悉．如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“反之亦成
立”等．
二、提升新知·注重综合
题型二
充要条件的判断
1
例2、(1)“m＞ ”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0无实数解”的
二、提升新知·注重综合
题型一
充分条件与必要条件的判定
方法总结
充分条件、必要条件的判断方法
定义法:①分清条件p和结论q：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判
断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③下结论：根据定义下结论
等价法:将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题
集合法:写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判
第九讲 充分必要条件(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第九讲充分必要条件（精讲）（解析版）【知识点透析】一：充分条件与必要条件的概念命题真假若“p ，则q ”为真命题“若p ，则q ”为假命题推出关系p ⇒qp ⇏q条件关系p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件q 不是p 的必要条件【注意】（1）前提p ⇒q ，有方向，条件在前，结论在后；（2）p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；（3）改变说法：“p 是q 的充分条件”还可以换成q 的一个充分条件是p ；“q 是p 的必要条件”还可以换成“p 的一个必要条件是q 二、充分条件、必要条件与集合的关系A ⊆B p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件A B p 是q 的不充分条件q 是p 的不必要条件B ⊆A q 是p 的充分条件p 是q 的必要条件B A q 是p 的不充分条件p 是q 的不必要条件充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；三、充要条件的概念一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q .此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.【知识点精讲】题型一充分条件与必要条件的判断【例题1】（2023·山东威海高一期末）2x =是260x x +-=的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先2026x x x +-⇒==，其次2260x x x +-==⇔或3x =-，则2260x x x +-==⇒，所以：2x =是260x x +-=的充分不必要条件，故选A.【例题2】（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知命题p ：x 为自然数，命题q ：x 为整数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两个命题中的x 取值范围，分析是否能得到p ⇒q 和q ⇒p ．【详解】若x 为自然数，则它必为整数，即p ⇒q ．【例题3】（2022春•山西太原高一期中）已知非零复数a ，b ，那么“2a ab =”是“a b =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】①若0a =，1b =时，满足2a ab =，但a b =不成立，∴充分性不成立，②若a b =时，则2a ab =，∴必要性成立，2a ab ∴=是a b =的必要不充分条件，故选B．【例题4】．（2022·河南安阳高一课时检测）设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件的一个电路图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义，逐项分析判断作答.【详解】对于A，若开关A 闭合，则灯泡B 亮，而开关A 不闭合C 闭合，灯泡B 也亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件；对于B，灯泡B 亮当且仅当开关A 闭合，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件；对于C，开关A 闭合，灯泡B 不一定亮，而开关A 不闭合，灯泡B 一定不亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；对于D，开关A 闭合与否，只要开关C 闭合，灯泡B 就亮，“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件．故选：C【例题5】（2023·江苏高一专题检测）若命题:2p x >；命题2:320q x x -+>，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】．A【解析】命题:2p x >．由命题2:320q x x -+>，解得：命题:{|1q x x <或2}x >．p q ∴⇒．即p 是q 的充分不必要条件．故选：A【例题6】．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））已知x ∈R ，则“31x -<”是“260x x --+<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例题7】（2022·甘肃景泰二中高一课时检测）使不等式成立的一个充分不必要条件是）A ．0x <B ．0x ≥C ．{3,5}D ．35x ≤【答案】A 【解析】由－5x ＋3≥0，得{x |x ≤35}，只有选项A 中x 的范围为其真子集.故选：A.【例题8】（2022·湖北武汉高一课时检测）伟人毛泽东的《清平乐•六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】．B【解析】解：设p ⌝为不到长城，推出q ⌝非好汉，即p q ⌝⇒⌝，则q p ⇒，即好汉⇒到长城，故“到长城”是“好汉”的必要条件，故选：B ．【例题9】（2022·江苏高一专题检测）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】．A【解析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A ，B ，C ，D ，由甲是乙的充分不必要条件得，B A ⇒由乙是丙的充要条件得，C B ⇒，由丁是丙的必要不充分条件得，DC ⇒所以DA ⇒，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A.【变式1】（2022·陕西榆林高一期末）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是()A ．若两个角是对顶角，则两个角相等B ．若5x >，则10x >C ．若ac bc =，则a b =D ．若x y +是偶数，则x ，y 都是偶数【答案】A【解析】对于A ，对顶角相等，正确；对于B ，若5x >，则10x >，错误；对于C ，若ac bc =，则a b =条件是0c ≠，故C 错误；对于D ，x ，y 是奇数x y +是偶数，故D 不是充要条件．故选A．【变式2】（2022·广东佛山市·高二期末）已知x ∈R ，则“2x =-”是“2560x x -->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】解：不等式2560x x -->即为：1)60()(x x -+>，解得：1x <-或6x >，因为()()2,16,-∈-∞-+∞ 可知：“2x =-”是“2560x x -->”的充分不必要条件．故选：A ．【变式3】．（2022·河北张家口高二期末）已知,a b 为实数，则“22a b >”是“330a b >>”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分与必要条件的定义，结合不等式的性质判断即可【详解】当2,1a b =-=时，2222(2)411a b =-=>==，而3381a b =-<=，所以22a b >成立不是330a b >>成立的充分条件；因为330a b >>，所以0a b >>，所以22a b >，所以22a b >成立是330a b >>成立的必要而不充分条件.故选：B.题型二充分条件与必要条件的应用【例题10】（2023·山东青岛高三专题模拟）已知p :1x >或2x <-，q :x a >，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A．{}2a a <-B．{}2a a >-C．{}21a a -<≤D．{}1a a ≥【答案】D【解析】设p 表示的集合为{|1A x x =>或}2x <-，q 表示的集合为{}|B x x a =>，由q 是p 的充分不必要条件，可得B 是A 的真子集，利用数轴作图如下：所以1a ≥，故选：D.【例题11】．（2023·江苏无锡高三专题模拟）已知p 2>，q ：0m x -<，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A ．3m <B ．3m >C ．5m <D ．5m >【例题12】．（2022·长沙市南雅中学高二月考）已知集合{}2680A x x x =-+<，()(){}10B x x a x a =---<，若x A ∈是x B ∈的必要条件，则a 的取值范围是（）A ．()2,3B ．[]2,3C ．()(),23,-∞+∞D ．(][),23,-∞⋃+∞【答案】．B【解析】由{}{}268024A x x x x x =-+<=<<，1a a +> ，{}1B x a x a ∴=<<+，若x A ∈是x B ∈的必要条件，则必有B 是A 的真子集；142a a +≤⎧∴⎨≥⎩，23a ≤≤；故答案选：B【例题13】．（2022·新疆师范大学附属中学高二阶段练习（文））已知条件p ：x a >，条件q ：1>02xx -+．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的最大值是________．【答案】2-【分析】利用不等式的解法化简q ，根据必要不充分条件即可得出范围，进而求出最值．【变式1】．（2023·湖北省孝感市第一高级中学高一开学考试）已知p ：2x a +<，q ：x a ≥，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤-B ．1a <-C ．1a ≥D ．1a >【答案】．A由||2x a +<可得22a x a --<<-∴p ：22a x a--<<-又p 是q 的充分不必要条件，且q ：x a ≥，∴2a a --≥∴1a ≤-【变式2】．（2022·云南曲靖高一课时检测）已知命题2:320p x x -+≤，命题22:440q x x m -+-≤．若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,)+∞C ．{0}D ．(,1][1,)-∞-+∞ 【答案】．D2:320p x x -+≤，12x ≤≤，22:440q x x m -+-≤，22m x m -≤≤+，p 是q 的充分不必要条件，则2122m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，1m ≥，∴1m ≤-或m 1≥．故选：D．【变式3】．（2023·江苏省海头高级中学高一月考）设全集U =R ，集合2{|650}A x x x =-+-≥，集合{|122}B x a x a =--≤≤-.（1）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】．（1）7a ≥；（2）13a <.【解析】解不等式2650x x -+-≥可化为2650x x -+≤，解得15x ≤≤，所以{|15}A x x =≤≤（1）因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，所以A B ⊆，所以12125a a --≤⎧⎨-≥⎩，解得7a ≥，所以实数a 的取值范围是7a ≥；（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，所以B A ⊆.当B =∅时，122a a -->-，解得13a <；当B ≠∅时，所以12125212a a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥--⎩，无解.综上，实数a 的取值范围是13a <.题型三充分性与必要性的证明【例3】（2022·河北保定高一课时检测）已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-．【答案】见解析【解析】证明必要性：因为1a b +=，所以10a b +-=．所以()()()33222222a b ab a b a b a ab baab b ++--=+-+--+()()221a b a ab b =+--+0=．证明充分性：因为33220a b ab a b ++--=，即()()2210a b a ab b+--+=，又0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠．因为22223024b a ab b a b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以10a b +-=，即1a b +=．综上可得当0ab ≠时，1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=．【变式】（2023·云南曲靖高一课时检测）求证：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1的充要条件是0a b c ++=．【答案】证明见解析【解析】充分性：0a b c ++= ，c a b ∴=--，代入方程20ax bx c ++=得20ax bx a b +--=，即()()10x ax a b -++=．∴关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1；必要性： 方程20ax bx c ++=有一个根为1，1x ∴=满足方程20ax bx c ++=，2110a b c ∴⨯+⨯+=，即0a b c ++=．故关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1的充要条件是0a b c ++=．。
离散数学参考答案
离散数学参考答案答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D.12.(单选题) 设：p：派⼩王去开会。
q：派⼩李去开会。
则命题：“派⼩王或⼩李中的⼀⼈去开会” 可符号化为：（）答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D.问题解析：20.(单选题) 下⾯“”的等价说法中，不正确的为A．p是q的充分条件B．q是p的必要条件C．q仅当p D．只有q才p答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：答题： A. B. C. D.22.(单选题) 下列式⼦是合式公式的是( )A．（P ú ? Q）B．?（P ù（Q ú R））C．（P ? Q）D．ù Q ? ù R答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：23.(单选题) 公式?（（p?q）ù（q ? p））与的共同成真赋值为( ) A．01，10 B．10，01 C．11，00 D．01，11答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：24.(单选题) p,q都是命题，则p?q的真值为假当且仅当( ) A．p为假，q为真B．p为假，q也为假C．p为真，q也为真D．p为真，q为假答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：25.(单选题) n个命题变元组成的命题公式，有( )种真值情况A．n B．C． D．2n答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：26.(单选题) 设A , B 代表任意的命题公式，则德？摩根律为（A ù B）?( )A．?A ù ?B B．?A ú ?BC．A ù ?B D．AúB答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：27.(单选题) 设P , Q 是命题公式，德？摩根律为：（P ú Q）?( )A．?P ù ?Q B．?P ú ?QC．P ù ?Q D．PúQ答题： A. B. C. D. （已提交）问题解析：28.(单选题) 命题公式A与B是等值的，是指（）。
1-4 充分、必要条件(精练)(解析版)
1.4 充分、必要条件（精练）【题组一 充分、必要条件的判断】1．（2021·浙江）命题:|1|2p x +>，命题1:1q x<，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题知，命题:|1|21p x x +>⇔>或3x <-；命题1:11q x x<⇔>或0x <， 故p 是q 的充分不必要条件故选：A 2．（2021·天津）设x ∈R ，则“12x <<”是“22x -<<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要 【答案】A【解析】因为集合{|12}x x <<是集合{|22}x x -<<的真子集，所以“12x <<”是“22x -<<”的充分不必要条件.故选：A3．（2021·全国高三月考）设a R ∈，则“23a <<”是“2560a a --<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由2560a a --<可得()()610a a -+<，即16a -<<，则23a <<是16a -<<的充分不必要条件，故选：A.4．（2021·天津）已知x ∈R ，则“2x <”是“21x >”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当1x =-时，“x <2”成立，但20x < ,故“21x<”，故“x <2”不是“21x >”的充分条件， “21x >”等价于2002x x x -<⇔<<，即21x>能推出2x <，∴“x <2”是“21x >”的必要条件，故“x <2”是“21x >”的必要不充分条件，故选:B.5．（2021·天津）设x ∈R ，则“1x >”是“2x x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由1x >，解得1x <-或1x >，由2x x >，解得0x <或1x >， 故由1x >能够推出2x x >，由2x x >不能够推出1x >， 故“1x >”是“2x x >”的充分不必要条件，故选：A ．6．（2021·天津高三二模）设x ∈R ，则“210x -<”是“31x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由210x -<得1x >或1x <-，由31x >得1x >，因为1x >或1x <-推不出1x >，但1x >能推出1x >或1x <-成立，所以“210x -<”是“31x >”的必要不充分条件，故选：B7．（2021·江西高三二模（文））已知a ∈R ，则“0a <”是“2a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当“0a <”成立时，2(1)0a a a a -=->，∴“2a a >”成立，即“0a <”⇒“2a a >”为真命题．而当“2a a >”成立时，2(1)0a a a a -=->，即1a >或0a <，0a ∴<不一定成立，即“0a <”是“2a a >”的充分不必要条件．故选：A8．（2021·天津）“201x x -≥+”是“213x -≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解不等式201x x -≥+可得1x <-或2x ≥， 解不等式213x -≥得213x -≤-或213x -≥，解得1x ≤-或2x ≥， 因为{1x x <-或}2x ≥ {1x x ≤-或}2x ≥，因此，“201x x -≥+”是“213x -≥”的充分而不必要条件. 故选：A. 9．（2021·浙江高一期末）设x ∈R ，则31x <是1123x x +≤-的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由31x <可得1x <， 由1123x x +≤-可得()()4230230x x x ⎧--≤⎨-≠⎩解得32x <或4x ≥， 据此可知“31x <”是“1123x x +≤-”的充分不必要条件． 故选：A. 10．（2021·全国高一单元测试）命题:2p x y +=，命题1:3x q y =-⎧⎨=⎩；则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要条件 C ．充分条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】因为当2x y +=时，y 可取任意实数，不一定有13x y =-⎧⎨=⎩，所以p 不是q 的充分条件； 因为13x y =-⎧⎨=⎩，所以2x y +=， 所以p 是q 的必要条件.故选：B.11．（2021·广东清远市）清远市是广东省地级市，据此可知“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】先考虑充分性：学生甲在广东省，则学生甲不一定在清远市，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的非充分条件；再考虑必要性：学生甲在清远市，则学生甲一定在广东省，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要条件. 所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要非充分条件.故选：C12．（2021·全国高一课时练习）下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）p ：三角形为等腰三角形，q ：三角形存在两角相等；（2）:p O 内两条弦相等，:q O 内两条弦所对的圆周角相等；（3）:p A B ⋂为空集，:q A 与B 之一为空集.【答案】（1）p 是q 的充要条件；（2）p 不是g 的充要条件；（3）p 不是q 的充要条件【解析】在（1）中，三角形中等边对等角，等角对等边，所以p q ⇔，所以p 是q 的充要条件； 在（2）中，O 内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，p q ⇒/，所以p 不是q 的充要条件； 在（3）中，取{1,2}A =，{3}=B ，显然，A B =∅，但A 与B 均不为空集，因此，p q ⇒/，所以p 不是q 的充要条件. 13．（2021·全国高一课时练习）已知a ,b ,c 是实数,判断下列命题的真假：(1)“a b >”是“22a b >”的充分条件；(2)“a b >”是“22a b >”的必要条件；(3)“a b >”是“22ac bc >”的充分条件；(4)“a b >”是“22ac bc >”的必要条件.【答案】(1)假命题(2)假命题(3)假命题(4)真命题【解析】(1)假命题,因为a b >a b >⇔22a b >；(2)假命题,因为22a b >a b⇔>a b >；(3)假命题,因为a b >22ac bc >,依据为2c 可能为0； (4)真命题,因为()2220ac bc a b c >⇒>≠.【题组二 充分、必要条件的选择】1．（2020·全国高一课时练习）函数f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称的充要条件是（ ）A ．m =-2B ．m =1C ．m =-1D ．m =0 【答案】A【解析】当m =-2时，f (x )=x 2-2x +1，其图象关于直线x =1对称，反之，若函数f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称，则12m -=，即2m =-.所以f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称的充要条件是m =-2. 故选：A. 2．（2020·全国高一课时练习）“x y>1”的一个充分不必要条件是（ ） A ．x >yB ．x >y >0C ．x <yD ．y <x <0【答案】B 【解析】如果p 是q 的充分不必要条件，那么p q ⇒，而q p ⇒/. 当x >y >0时，必有x y>1， 而x y >1⇔-x y y>0⇔x >y >0或x <y <0.所以x >y >0是x y>1的充分不必要条件. 故选：B. 3．（2020·江苏南通市·海安高级中学高一期中）（多选）一元二次方程240x x n ++=有正数根的充分不必要条件是（ ）A ．4n =B ．5n =-C ．1n =-D ．0n <【答案】BC【解析】设()24f x x x n =++，则函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为2x =-， 要使得一元二次方程240x x n ++=有正数根，则满足()00f <，即0n <，所以一元二次方程240x x n ++=有正数根的充分不必要条件可以为B 、C ，故选：BC.4．（2021·江苏盐城市）（多选）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．14m >B ．01m <<C ．2m >D ．1m【答案】CD【解析】因为“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的20x x m -+=判别式140m ∆=-<，即14m >. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，14m >不可推导出01m <<，B 不正确； C 选项中，2m >可推导14m >，且14m >不可推导2m >，故2m >是14m >的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，1m 可推导1>4m ，且1>4m 不可推导1m ，故>1m 是14m >的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD. 5．（2021·全国高一单元测试）（多选）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是（ ）A ．若22x y >，则x y >B ．若5x >，则10x >C ．若ac bc =，则a b =D ．若2121x y +=+，则x y = 【答案】BCD【解析】对于A 选项，取1x =，1y =-，则x y >，但22x y =，即“22x y >”不是“x y >”的必要条件；对于B 选项，若10x >，则5x >，即“5x >”是“10x >”的必要条件；对于C 选项，若a b =，则ac bc =，即“ac bc =”是“a b =”的必要条件；对于D 选项，若x y =，则2121x y +=+，即“2121x y +=+”是“x y =”的必要条件.故选：BCD.6．（2020·全国高一课时练习）（多选）下列条件中是“0a b +>”的充分条件的是（ ）A ．0,0>>a bB ．0,0a b <<C ．3,2a b ==-D ．0,0><a b 且a b >【答案】ACD【解析】对于A 选项，因为0,0a b >>，故0a b +>，所以A 选项正确；对于B 选项，因为0,0a b <<，故0a b +>不成立，故B 选项错误；对于C 选项，因为3,2a b ==-，故10a b +=>，故C 选项正确；对于D 选项，因为0,0a b ><且a b >，故a b >-，即：0a b +>，故D 选项正确.所以A ，C ，D 中的条件均是“0a b +>”的充分条件，B 中的条件不是“0a b +>”的充分条件.故选：ACD7．（2021·合肥市第十中学高一期末）（多选）“02x x ≤-”的充分条件有（ ） A ．02x <<B ．12x -<<C ．02x ≤<D ．02x ≤≤ 【答案】AC 【解析】解：02x x ≤-，即(){2020x x x -≠-≤，解得：02x ≤<，即[)0,2x ∈， 要找“02x x ≤-”的充分条件，即找[)0,2的子集；对A ，02x <<，即()0,2x ∈，易知()0,2 [)0,2，故A 正确；对B ，12x -<<，即()1,2x ∈-，易知()1,2-不是[)0,2的子集，故B 错误；对C ，02x ≤<，即[)0,2x ∈，易知[)[)0,20,2⊆，故C 正确；对D ，02x ≤≤，即[]0,2x ∈，易知[]0,2不是[)0,2的子集，故D 错误.故选：AC.【题组三 文字中的充分、必要条件】1．（2021·湖南长沙市）1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】从逻辑学角度，命题“没有共产党就没有新中国”的逆否命题是“有了新中国就有了共产党”，因此“有共产党”是“有新中国”的必要条件，故选：B ．2．（2021·新余市第一中学）“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】“破楼兰”不一定“终还”，但“终还”一定是“破楼兰”，由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件，故选：B ．3．（2021·江苏宿迁市·高二期末）2021年是中国共产党建党100周年.某校为了纪念党的生日，计划举办大型文艺汇演，某班选择合唱《没有共产党就没有新中国》这首歌.仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】命题：“没有共产党就没有新中国”，即是“如果没有共产党，那么就没有新中国”；其逆否命题为“如果有新中国，那么就有共产党”；即根据“有新中国”能推出“有共产党”，所以“有共产党”是“有新中国”的必要条件.故选：B.4．（2021·安徽）王安石在《游褒禅山记》中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也．”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的______条件．（填“充分”“必要”“充要”中的一个）【答案】必要【解析】因为“非有志者不能至”所以“能至是有志者”，因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件.故答案为：必要【题组四 根据充分、必要条件求参数】1．（2021·浙江高一期末）（多选）已知{}28200P x x x =--≤，集合{}11S x m x m =-≤≤+．若x P ∈是x S ∈的必要条件，则实数m 的取值可以是（ ）A ．1-B ．1C ．3D ．5 【答案】ABC【解析】由28200x x --≤，解得210x -≤≤，∴[]2,10P =-， 非空集合{}11S x m x m =-≤≤+，又x P ∈是x S ∈的必要条件，所以S P ⊆，当S =∅，即0m <时，满足题意；当S ≠∅，即0m ≥时，∴21 110m m -≤-⎧⎨+≤⎩，解得03m ≤≤， ∴m 的取值范围是(],3-∞，实数m 的取值可以是1,1,3-，故选：ABC.2．（2021·全国高三专题练习）（多选）设:(3)0,:()(2)0p x x q x a x a -<--+≤．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 可以是（ ）A ．32B ．52C ．72D ．73【答案】BD【解析】解()30x x -<得，03x <<，记{}|03A x x =<<，解()(2)0x a x a --+得，2a x a -，记{}|2B x a x a =-≤≤， p 是q 的必要不充分条件，所以B A ∴203a a ->⎧⎨<⎩，解得23a <<， a ∴的取值范围是(2,3)．故选：BD ．3．（2021·黑龙江哈尔滨市）已知命题2:430p x x -+≤，命题2:40q x x m -+≥.若p 是q 的充分条件，则m 的取值范围是（ ）A ．[)4,+∞B ．[)3,+∞C ．(],4-∞D ．(],3-∞【答案】A【解析】命题p 为真，则2430x x -+≤，所以13x ≤≤，因为p 是q 的充分条件，所以[1,3]x ∈时，240x x m -+≥恒成立，注意到2x =[1,3]∈，所以1640m ∆=-≤，解得4m ≥．故选：A ．4．（2021·浙江丽水市）已知命题2:320p x x -+≤，命题22:440q x x m -+-≤．若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[1,)+∞C ．{0}D ．(,1][1,)-∞-+∞【答案】D【解析】2:320p x x -+≤，12x ≤≤，22:440q x x m -+-≤，22m x m -≤≤+， p 是q 的充分不必要条件，则2122m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，1m ≥，∴1m ≤-或m 1≥．故选：D ． 5．（2021·全国高二单元测试）若p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________.【答案】m ≥3【解析】p ：x (x －3)＜0，则0＜x ＜3；q ：2x －3＜m ，则32m x +<， 因为p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，所以332m +≥，解得m ≥3.故答案为：m ≥3 6．（2021·盐城市伍佑中学）已知p ：2340x x --≤，q ：3x m -≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是___________.【答案】[)4,+∞【解析】∵由2340x x --≤，得14x -≤≤，由p 是q 的充分不必要条件知：3x m -≤有解，故0m ≥，即原不等式可化为：3m x m -≤-≤，解得：33m x m -≤≤+， 设{}14A x x =-≤≤，{}33B x m x m =-≤≤+， p 是q 的充分不必要条件，A B ∴⊆,则03134m m m ≥⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，即041m m m ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，解得：4m ≥，故m 的取值范围是[)4,+∞．故答案为：[)4,+∞.7．（2021·陕西宝鸡市）已知条件:2(0)p m x m m ≤≤>，条件:14q x ≤≤，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_________．【答案】[]1,2 【解析】p 是q 的充分不必要条件，[],2m m ∴ []1,4，需满足124m m ≥⎧⎨≤⎩，解得12m ≤≤， 综上，m 的取值范围是[]1,2.故答案为：[]1,2.8．（2021·湖南岳阳市·高一期末）已知集合{}1A x a x a =-≤≤，{}2430B x x x =-+≤.若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围 .【答案】[]2,3. 【解析】由题意知，{}1A x a x a =-≤≤不为空集，{}2|430{|13}B x x x x x =-+≤=≤≤， 因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A 真包含于B ，则113a a -≥⎧⎨≤⎩，解得23a ≤≤. 所以实数a 的取值范围是[]2,3.9．（2021·云南大理白族自治州）已知集合22{|11}{|4}A x m x m B x x =-<<+=<，． （1）当2m =时，求A B A B ⋃⋂，；（2）若''''x A ∈是''''x B ∈成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()()2,51,2-，；（2）11m -<≤ 【解析】（1）当2m =时，{|15}{|22}A x x B x x =<<=-<<，，()()2,51,2A B A B ⋃=-⋂=，；（2）若''''x A ∈是''''x B ∈成立的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，211m m -≥+或22111212m m m m ⎧-<+⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得：11m -≤≤，因为m =-1时为充要条件，不合题意，所以11m -<≤10．（2021·寿县第一中学高一开学考试）已知全集为R ，集合{}26A x x =≤≤，{}3782B x x x =-≥-.（1）求A B ；（2）若{}44C x a x a =-≤≤+，且“x C ∈”是“x AB ∈”的必要不充分条件，求a 的取值范围. 【答案】（1）[]3,6；（2）[]2,7. 【解析】1）{|3782}{|3}B x x x x x =--=，又{}26A x x =≤≤{|36}A B x x ∴=， （2）因为“x C ∈”是“x A B ∈”的必要不充分条件，所以()A B C ，因为{}44C x a x a =-≤≤+所以4643a a +≥⎧⎨-≤⎩解得27a ≤≤，即[]2,7a ∈ 11.（2021·东莞市光明中学）设:24p x ≤<，:q 实数x 满足22230(0)x ax a a --<>（1）若1a =，且,p q 都为真命题，求x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}23x x ≤<；（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）当1a =时，可得22230x ax a --<，可化为2230x x --<，解得13x， 又由命题p 为真命题，则24x ≤<．所以p ，q 都为真命题时，则x 的取值范围是{}23x x ≤<．（2）由22230,(0)x ax a a --<>，解得3a x a -<<，因为:24p x ≤<，且p 是q 的充分不必要条件， 即集合 {}24x x ≤<是{}3x a x a -<<的真子集，则满足 2340a a a -<⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得43a ≥， 所以实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．12．（2021·湖北十堰市）已知集合{}22320A xx ax a =-+≤∣，集合{}220B x x x =--≤∣，:p x A ∈，:q x B ∈.（1）当1a =时，p 是q 的什么条件？（2）若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件；（2）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）当1a =时，集合{}2320{12}A xx x x x =-+≤=≤≤∣∣， {}{}22012B x x x x x =--≤=-≤≤∣∣，所以A B ，所以p 是q 的充分不必要条件.（2）因为q 是p 的必要条件，所以A B ⊆，而{}22320{()(2)0}A x x ax a x x a x a =-+≤=--≤∣∣. 当0a >时，{2}A xa x a =≤≤∣， 所以1222a a a a ≥-⎧⎪≤⎨⎪<⎩，所以01a <≤；当0a =时，{0}A =，成立；当0a <时，{2}A xa x a =≤≤∣， 所以2122a a a a ≥-⎧⎪≤⎨⎪<⎩，所以102a -≤<. 综上所述，112a -≤≤，即实数a 的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【题组五 充分、必要条件的证明】1．（2021·全国高一课时练习）求证：关于x 的方程210x mx ++=有两个负实根的充要条件是2m ≥．【答案】详见解析【解析】充分性：2m≥，∴240m∆=-≥，方程210x mx++=有实根，设210x mx++=的两根为1x，2x，由韦达定理知：1210x x=>，∴1x、2x同号，又122x x m+=-≤-，∴1x，2x同为负根；必要性：210x mx++=的两个实根1x，2x均为负，且121=x x，∴121112()22m x x xx-=-+-=-⎛⎫⎪⎝⎭+-()2211111211xx xx x+++=-=-≥，∴2m≥．所以命题得证．2．（2021·全国高一单元测试）设,x y R∈，求证||||||x y x y+=+成立的充要条件是0xy≥．【答案】见解析【解析】①充分性：若0xy≥，则有0xy=和0xy>两种情况，当0xy=时，不妨设0x=，则||||x y y+=，||||||x y y+=，∴等式成立．当0xy>时，0x>，0y>或0x<，0y<，当0x>，0y>时，||x y x y+=+，||||x y x y+=+，∴等式成立，当0x<，0y<时，||()x y x y+=-+，||||x y x y x y+=--=+，∴等式成立．综上，当0xy≥时，||||||x y x y+=+成立．②必要性：若||||||x y x y+=+且,x y R∈，则22||(||||)x y x y+=+，即222222||||x xy y x y x y++=++⋅，∴||xy xy=，∴0xy≥．综上可知，0xy ≥是等式||||||x y x y +=+成立的充要条件．。
新教材必修第一册《1.4充分条件与必要条件》
(2)集合法 对于集合 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|x 满足条件 q}，具体情 况如下： 若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件； 若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件； 若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件； 若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件；
若 A B，则 p 是 q 的必要不充分条件．
由条件关系求参数的值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．
1．已知 p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，若 q 是 p 的充 分条件，则 a 的取值范围为________． 解析：化简 p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3， 由于 q 是 p 的充分条件， 故有aa－＋44≤≥23，，解得－1≤a≤6. 答案：－1≤a≤6
“x>a”是“x>|a|”的必要不充分条件，故选 B.
3．“x<2”是“x－1 2<0”的(
)
A．充要条件 C．充分不必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A.由x－1 2<0 得 x－2<0 得 x<2，即“x<2”是“x－1 2<0”
的充要条件，故选 A.
充分条件、必要条件、充要条件的应用 已知 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围．
■名师点拨 (1)p 是 q 的充要条件意味着“p 成立，则 q 一定成立；p 不成立， 则 q 一定不成立”． (2)要判断 p 是不是 q 的充要条件，需要进行两次判断：一是看 p 能否推出 q，二是看 q 能否推出 p.若 p 能推出 q，q 也能推出 p，就可以说 p 是 q 的充要条件，否则，就不能说 p 是 q 的充要 条件．
专题5 充要条件(解析版)
专题5 充要条件题组1 充要条件的判断1.设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，∵A∪B＝C，∴x∈(A∪B)是x∈C的充要条件．2.若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若φ(a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0，故具备必要性．故选C.3.方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是()A.0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D.0＜a≤1或a＜0【答案】C【解析】方法一(直接法)：当a＝0时，x＝－，符合题意；当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，解得a＜0; 若方程两根均负，解得0＜a≤1.综上所述，充要条件是a≤1.方法二 (排除法)：当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.故选C.4．在下列三个结论中，正确的有（ ）①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件.A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】①，x 2>4即2x >或2x <-，x 3<－8即2x <-，因为2x >或2x <-成立时，2x <-不一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的不充分条件；因为2x <-成立时，2x >或2x <-一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的必要条件.即x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确.②，AB 2＋BC 2＝AC 2成立时，ABC 为直角三角形一定成立；当ABC 为直角三角形成立时，AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，所以在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.③,即判断“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的什么条件，由于a 2＋b 2=0即0,0a b ==，所以“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的充要条件，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确.故选：C. 题组2 寻求充要条件5.设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，若A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，则点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A.m ＞－1，n ＜5B.m ＜－1，n ＜5C.m ＞－1，n ＞5D.m ＜－1，n ＞5【答案】A【解析】A ∩(∁U B )满足∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，则∴6.已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0①，x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0②，求使方程①②都有实数根的充要条件.【答案】方程①有实数根的充要条件是即m ≤1且m ≠0.方程②有实数根的充要条件是Δ2＝(－4m )2－4(4m 2－4m －5)≥0，即m ≥－.∴方程①②都有实数根的充要条件是－≤m ≤1，且m ≠0，即－≤m ＜0或0＜m ≤1. 题组3 充要条件的证明7.求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜.【答案】证明 (1)充分性：当0＜m ＜时，Δ＝4－12m ＞0，所以方程mx 2＋2x ＋3＝0有两个不相等的实根，设为x 1，x 2.由一元二次方程根与系数的关系可知，x 1x 2＝＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根.即0＜m ＜⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则∴0＜m ＜，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜.综上可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜.8．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.【答案】见解析．【解析】充分性：若0ac <，则240b ac ->，且0c a<，∴方程20ax bx c ++=方程有一正根和一负根；必要性：若一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，则240b ac ∆=->，12,0,0c x x ac a =<∴<，即可得结论.试题解析：(1)必要性：因为方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，所以240b ac ∆=->为12120(,c x x x x a=<方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.9．已知,a b 是实数，求证：44221a b b --=成立的充分条件是221a b -=，该条件是否为必要条件？试证明你的结论．【答案】必要条件,证明见解析.【解析】由44221a b b --=，即442210a b b ---=由()()()()244242222221111a b b a b a b a b -++=-+=++--则由()()222222442111021a b a b a b a b b -=⇒++--=⇒--=所以44221a b b --=成立的充分条件是221a b -=另一方面如果()()442222221110a b b a b a b --=⇒++--=因为2210a b ++≠,故()()2222221101a b a b a b ++--=⇒-=,所以44221a b b --=成立的必要条件是221a b -=.题组4 由充分、必要条件求参数的范围10.已知p ：＜1，q ：x 2＋(a －1)x －a ＞0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是() A.(－2，－1]B.[－2，－1]C.[－3,1]D.[－2，＋∞)【答案】A 【解析】不等式＜1等价于－1＜0，即＞0，解得x ＞2或x ＜1，所以p 为(－∞，1)∪(2，＋∞).不等式x 2＋(a －1)x －a ＞0可以化为(x －1)(x ＋a )＞0，当－a ≤1时，解得x ＞1或x ＜－a ，即q 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a ＞1时，不等式(x －1)(x ＋a )＞0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a ＜2，即－2＜a ＜－1.综上可知，a 的取值范围为(－2，－1].11.已知p ：|x －4|＞6，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0(a ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为________.【答案】0＜a ≤3【解析】依题意，可得p ：A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，q ：B ＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a ，a ＞0}.∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊆B 且A ≠B ，⇒0＜a ≤3，∴实数a 的取值范围是0＜a ≤3.12.已知p ：，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，若q 是p 的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.【答案】[9，＋∞) 【解析】由已知，p ⇒q ，q ⇏p . 13.已知M ＝{x |(x ＋3)(x －5)＞0}，P ＝{x |x 2＋(a －8)x －8a ≤0}.(1)求a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件；(2)求a 的一个取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要不充分条件.【答案】M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，P ＝{x |(x ＋a )(x －8)≤0}.(1)显然，当－3≤－a ≤5，即－5≤a ≤3时，M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}.取a ＝0，由M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}不能推出a ＝0.所以a ＝0是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件.(2)当M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}时，－5≤a ≤3，此时有a ≤3，但当a ≤3时，推不出M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}.所以a ≤3是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要不充分条件.14．命题2:03x P x ->-；命题2:2210q x ax a b +++-> （1）若4b =时，22210x ax a b +++->在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的充分必要条件，求出实数a ，b 的值【答案】（1）(1,3)-；（2）52a =-，12b =． 【解析】（1）若22230x ax a +++>在x R ∈上恒成立，则()244230a a ∆=-+<， 所以有13a -<<，所以实数a 的范围为()1,3-；（2）()()2023033x x x x x ->⇔-->⇒>-或2x <， 根据条件22210x ax a b +++->的解集是()(),23,-∞⋃+∞，即方程22210x ax a b +++-=的二根为2和3， 根据韦达定理有525,221612a a ab b ⎧-==-⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩⎪=⎩， 所以52a =-，12b =． 15．已知{}2320P x x x =-+≤，{}11S x m x m =-≤≤+.（1）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的必要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件（2）当实数0m ≤时，x P ∈是x S ∈的必要条件【解析】（1）{}{}232012P x x x x x =-+≤=≤≤. 要使x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =，即11,12,m m -=⎧⎨+=⎩此方程组无解，则不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件；（2）要使x P ∈是x S ∈的必要条件，则S ⊆P ，当S =∅时，11m m ->+，解得0m <；当S ≠∅时，11m m -≤+，解得0m ≥要使S ⊆P ，则有11,1+2m m -≥⎧⎨≤⎩，解得0m ≤，所以0m =， 综上可得，当实数0m ≤时，x P ∈是x S ∈的必要条件．题组5 含有否定性语句的命题处理16.设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】设A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}.由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴或故所求实数a的取值范围是.17.已知p：2x2－9x＋a＜0，q：且p是q的充分条件，求实数a的取值范围.【答案】由得即2＜x＜3.∴q：2＜x＜3.设A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}，∵p⇒q，∴q⇒p.∴B⊆A.∴2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0.设f(x)＝2x2－9x＋a，要使2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0，需即∴a≤9.故所求实数a的取值范围是(－∞，9].17.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且p是q 的必要不充分条件，求a的取值范围.【答案】设A＝{x|x满足p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0，a＜0}＝{x|3a＜x＜a，a＜0}，B＝{x|x满足q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8＞0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}.∵p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p⇏q.则{x|x满足q}{x|x满足p}，而{x|x满足q}＝∁R B＝{x|－4≤x＜－2}，{x|x满足p}＝∁R A＝{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，∴{x|－4≤x＜－2}{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，则或即－≤a＜0或a≤－4.∴a的取值范围为.。
第2节 充分条件与必要条件
第2节充分条件与必要条件知识梳理充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒B)两者的不同.2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.3.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.()(2)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件.()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2.设a ，b ∈R 且ab ≠0，则ab >1是a >1b 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D解析 若“ab >1”，当a ＝－2，b ＝－1时，不能得到“a >1b ”， 若“a >1b ”，例如当a ＝1，b ＝－1时，不能得到“ab >1”， 故“ab >1”是“a >1b ”的既不充分也不必要条件.3.函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________. 答案 m ＝－24.(多选题)(2020·临沂质检)设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是( ) A.x ＜1 B.x ＞1 C.x ＞－1 D.x ＞3答案 BC5.(2020·天津卷)设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞a ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 由a 2＞a ，得a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0， ∴“a ＞1”是“a 2＞a ”的充分不必要条件.6.(2021·合肥七校联考)已知集合A ＝{x |13<3x <27，x ∈R }，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<3x <27，x ∈R ＝{x |－1<x <3}.∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B，所以m＋1>3，即m>2.考点一充分条件与必要条件的判定【例1】(1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n 共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)A解析(1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l 可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.故选B.(2)因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.感悟升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练1】(1)(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是()A.l⊂α，l⊥βB.l⊥α，m⊥β，l⊥mC.α⊥γ，β∥γD.l⊂α，m⊂β，l⊥m(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 (1)ABC (2)C解析 (1)由面面垂直的判定可以判断A ，B ，C 符合题意，对于选项D ，l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，也可以得到α∥β，D 不符合题意.故选ABC.(2)若存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β，则当k ＝2n (n ∈Z )，α＝2n π＋β，有sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )，α＝(2n ＋1)π－β，有sin α＝sin[(2n ＋1)π－β]＝sin β.若sin α＝sin β，则α＝2k π＋β或α＝2k π＋π－β(k ∈Z )， 即α＝k π＋(－1)k β(k ∈Z ).故选C. 考点二 充分、必要条件的应用【例2】(经典母题)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求实数m 的取值范围. 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . ∴⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，m 的取值范围是[0，3].【迁移1】本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由.解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， ∴⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.【迁移2】设p ：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， p 是q 的充分不必要条件. ∴p ⇒q 且q ⇒p ，即P S . ∴⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，又因为S 为非空集合， 所以1－m ≤1＋m ，解得m ≥0， 综上，实数m 的取值范围是[9，＋∞).感悟升华 1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键 (1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.解题时要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练2】设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12解析 p 对应的集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x ≤1，q 对应的集合B ＝{x |(x－a )[x －(a ＋1)]≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}. 由q 是p 的必要而不充分条件，知A B . 所以a ≤12且a ＋1≥1，因此0≤a ≤12.考点三 充要条件的探求【例3】已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件.解 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根， 所以⎩⎨⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0，解得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.因为两方程的根都是整数， 故其根的和与积也为整数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数. 又因为m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1，所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.感悟升华 探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性.【训练3】 (1)命题“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A.a ≥4B.a ＞4C.a ≥1D.a ＞1(2)(2021·武汉质检)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________. 答案 (1)B (2)ac ＜0解析 (1)要使“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，所以a ＞4是命题为真的充分不必要条件.(2)ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ＞0，ca ＜0，即ac ＜0.A 级 基础巩固一、选择题1.设x ∈R ，则“0<x <5”是“|x －1|<1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 由|x －1|<1可得0<x <2，由“0<x <5”不能推出“0<x <2”，但由“0<x <2”可以推出“0<x <5”.故“0<x <5”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件.2.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件答案 D解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件.3.(多选题)(2021·长沙质检)若x 2－x －2＜0是－2＜x ＜a 的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A.1 B.2C.3D.4答案 BCD解析 由x 2－x －2＜0，解得－1＜x ＜2.∵x 2－x －2＜0是－2＜x ＜a 的充分不必要条件，∴(－1，2)(－2，a )，∴a ≥2. ∴实数a 的值可以是2，3，4.4.(2019·北京卷)设函数f (x )＝cos x ＋b sin x (b 为常数)，则“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 当b ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )为偶函数，则f (－x )＝cos(－x )＋b sin(－x )＝cos x －b sin x ＝f (x )，∴－b sin x ＝b sin x 对x ∈R 恒成立，∴b ＝0. 故“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的充分必要条件. 5.“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 由log 2(2x －3)＜1⇔0＜2x －3＜2⇔32＜x ＜52，4x＞8⇔2x ＞3⇔x ＞32，所以“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的充分不必要条件，故选A.6.(2021·湖南雅礼中学月考)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.(－∞，1) C.(3，＋∞) D.[3，＋∞) 答案 D解析 |x －1|<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，所以(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，所以⎩⎨⎧1－a ≤0，1＋a ≥4，解得a ≥3.7.(2020·东莞模拟)若实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，则“a ＞b ”是“a ＋ln a ＞b ＋ ln b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析设f(x)＝x＋ln x，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵a＞b，∴f(a)＞f(b)，∴a＋ln a＞b＋ln b，充分性成立；∵a＋ln a＞b＋ln b，∴f(a)＞f(b)，∴a＞b，必要性成立，故“a＞b”是“a＋ln a＞b＋ln b”的充要条件，故选C.8.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]答案A解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.二、填空题9.“sin α＝sin β”是“α＝β”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).答案必要不充分10.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.答案－1<k<3解析直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|2<2，解得－1<k<3.11.(2020·河南名校联考)设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).解析 由x 2－5x ＋4≥0得x ≤1或x ≥4，可知{x |x >4}是{x |x ≤1或x ≥4}的真子集，∴p 是q 的充分不必要条件.12.已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38 解析 由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32.因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38. B 级 能力提升13.(多选题)(2021·青岛调研)下列叙述正确的是( )A.“a ＜1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件B.若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C.“a ＞1”是“1a ＜1”的充分不必要条件D.若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0” 答案 AC解析 若方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根，则Δ＝1－4a ＞0，x 1x 2＝a ＜0，∴a ＜0，∴“a ＜1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故A 正确.a ＞c 且b ＝0时，推不出ab 2＞cb 2，故B 不正确.a ＞1⇒1a ＜1，1a ＜1⇒/ a ＞1，∴“a ＞1”是“1a ＜1”的充分不必要条件，C 正确. 当a ＝0，b ＝0，c ＜0时，满足b 2－4ac ≤0，但此时ax 2＋bx ＋c ≥0不成立，所以D 不正确.14.(2020·福州模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝ －f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立.故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件.15.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－x －6≤1，B ＝{x |log 3(x ＋a )≥1}.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞，0]解析 由⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－x －6≤1，得x 2－x －6≥0，解得x ≤－2或x ≥3，则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}.由log 3(x ＋a )≥1，得x ＋a ≥3，即x ≥3－a ，则B ＝{x |x ≥3－a }.由题意知B A ，所以3－a ≥3，解得a ≤0.16.ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是________.答案 a ≤1解析 (1)当a ＝0时，为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合题目要求.(2)当a ≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.又设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a .①方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a ＜0，得a ＜0. ②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a ＜0，1a ＞0，得0＜a ≤1.综上，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.。
充分条件与必要条件3
练习2： (1)x2 2x 0的一个充分不必要条件 是 _____。
(2)设a,b R, a,b不同时为零的一个充要 条件是___________。
(3)写出"a 0且b 0"的一个必要不充分 条件是_____________。
即：P q 且 q p
故：p是q的充分不必要条件， p是 q的必要不充分条件.
典型例题
【例2】 求一 元二次方 程 2(k 1)x2 4kx 3k 2 0 有两个 负
实根的一个充要条件.
解：要原方程有两个负实根的充要条件为
2(k 1) 0 k 1 0
≥ 0
负实根的一个充要条件是 2 k 1或 2 k 1 3
5、关于x的不等式：｜x｜+｜x-1｜＞m的解集为R的充 要条件是( C)
(A)m＜0 (B)m≤0 (C)m＜1 (D)m≤1
f (x)min 1
1
m
1
例4：实系数一元二` 次方程
ax2 bx c 0(a 0)
x1
x2
0
x1x2 0
k 2 k 4k2≤ 0k 1 k2≤0或k ≤ k 11
.
2(k 1) 3k 2
k
2 或k
1
0 3
2
k
2(k 1)
1或 2
k
1
3
∴一元二次方程 2(k 1)x2 4kx 3k 2 0 有 两个
数学充分必要条件的判断技巧
I don’t know what I can say this day. At this moment, I only know that my heart is cold. I am no longer the person who was full of passion for love yesterday. I am disheartened and cold about love. .同学互助一起进步（页眉可删）数学充分必要条件的判断技巧数学充分必要条件的判断技巧，各位同学知道怎么判断充分必要条件吗?其实是有技巧的哦，看看下面吧!数学充分必要条件的判断技巧【1】一、借助于“推出方向”理解充分条件与必要条件。
若pq,则下列说法等价:p是q的充分条件,q是p的必要条件。
若pq,则称p与q互为充要条件,或p的充要条件是q,或q 的充要条件是p。
例1、若A、B都是C的充要条件,D是A的必要条件,B是D 的必要条件,则D是C的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解:可用“推出方向”解。
由已知:AC,BC,AD,DB,可以推出D与C的关系:由DB,BC,得DC;由CA,AD,可得:CD。
CD,即D是C的充要条件。
二、借助子集的概念理解充分条件与必要条件。
若将命题p、q看成集合,当pq时,p是q的充分条件,q是p 的必要条件。
这里可以用“小范围推出大范围”帮助记忆。
例2、(1)若p:x1,q:x5,则p是q的条件。
(2)若p:(x-1)(x-2)=0,q:x=2,则q是p的条件。
解:从集合角度考虑:(1)中有qp;(2)中有pq。
根据“小范围推出大范围”知:(1)的p是q的必要但不充分条件;(2)中的q是p的充分但不必要条件。
三、借助原命题与其逆否命题为等价命题理解充分条件与必要条件。
例3、若p:x1,若y2,q:x+y3,则p是q的条件。
解:考虑其逆否命题:q:x+y=3,p:x=1且y=2,显然有:pq。
充分条件与必要条件习题
(1)p：(x－1)(x＋ 2)≤0， q： -2≤x≤ 1；
练习：已知 M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是 “a∈N”的________条件．
3．集合法 集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间 的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件 难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：
1．定义法 定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题 ——“若 p，则 q”与“若 q，则 p”的判断，根据两个命题是否正确， 来确定 p 与 q 之间的充要关系．其基本步骤是：
优化方案P13 （2）
（2） 已知 x， y 为两个正整数， p： x≠2 或 y≠3， q： x＋y≠5， 则 p 是 q 的________条件．
二、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
设：A {x | x满足条件p} B {x | x满足条件q}
1)பைடு நூலகம்
B A 2) A B
条件p
结论q
条件p
结论q
p是q充分不必要条件
3)
p是q必要不充分条件
4)
A
B
A =B
条件p
结论q
条件p
结论q
p是q不充分不必要条件
p是q的充要条件
【规律小结】
充分条件、必要条件、充要条件的判定：
变式 3：若﹁p 是 q 的必要不充分条件” ，求 m 的范围。
变式 4：是否存在 m 的范围，使 p 是 q 的充要条件” ， 。
【规律小结】
(1) 解决此类问题一般是把充分条件、必要条
件或充要条件转化为集合之间的关系 ， 然后根据集合之间的 关系列出关于参数的不等式求解． (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若 ¬ p是¬ q的充分 不必要 ( 必要不充分、充要 ) 条件 ， 则 p 是 q 的必要不充分 ( 充分 不必要、充要)条件．
四种条件与集合间的包含关系
四种条件与集合间的包含关系四种条件是指充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件，建立与p 、q 相应的集合，即{}{})(:,)(:x q x B q x p x A p ==四种条件与集合间的包含关系如下：1、 充分必要条件若q q p 但,⇒≠>p ，则p 是q 的充分不必要条件。
从集合间的包含关系看B A ⊄例1 已知)0(012:,102:22>≤-+-≤≤-m m x x q x p ，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。
思路点拨：先求不等式的解集，然后根据充分不必要条件的意义建立不等式组求解即可。
解：102:≤≤-x p 设集合{}102≤≤-=x x A由)0(01222>≤-+-m m x x 得)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x)0(11:>+≤≤-∴m m x m q 设集合{})0(11>+≤≤-=m m x m x B的充分不必要条件是p q ΘA B ⊄∴ ⎩⎨⎧≤+->-⎩⎨⎧<+-≥-∴101211012m 1m m m 或 解得 33<≤m m 或3≤∴m 又0>m所求实数m 的取值范围为30≤<m2、 必要不充分条件若p p q 但,⇒≠>q ，则p 是q 的必要不充分条件。
从集合的包含关系看A B ⊄ 例2 已知0541:,325:2>-+>-x x q x p ，求p 是q 的什么条件？ 思路点拨：先求不等式的解集，然后根据p 、q 相应的集合间的包含关系确定p 是q 的什么条件。
解：由325>-x 得 325325-<->-x x 或511:-<>∴x x p 或 记⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>=511x x x A 或 由032032122>-+>-+x x x x 得 即0)3)(1(>+-x x{}31-<>=∴x x x B 或A B ⊄∴∴P 是q 的必要不充分条件3、 充要条件若p q q p ⇒⇒且,则p 是q 的充要条件。
高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析
高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.是直线和直线垂直的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】时，两直线方程分别为，斜率分别为，两直线垂直；反之，两直线垂直，则，解得或，即是直线和直线垂直的充分而不必要条件，故选.【考点】充要条件，直线的斜率.2.在中，角、、所对应的变分别为、、，则是的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件【答案】A【解析】由正弦定理得（其中为外接圆的半径），则，，，因此是的充分必要必要条件，故选A.【考点】本题考查正弦定理与充分必要条件的判定，属于中等题.3.已知集合A＝{(x，y)|x|＋|y|≤1}，B＝{(x，y)|x2＋y2≤r2，r>0}，若“点(x，y)∈A”是“点(x，y)∈B”的必要不充分条件，则r的最大值是________．【答案】【解析】集合A是由四点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)围成的正方形区域，集合B表示的是以(0,0)为圆心，r为半径的圆域．由于点(x，y)∈A是点(x，y)∈B的必要不充分条件，所以r的最大值是点(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝.4.设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m，n⊂α．则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当α∥β 时，因为m，n⊂α，故能推出 m∥β且n∥β，故充分性成立．当m∥β且n∥β 时，m，n⊂α，若m，n是两条相交直线，则能推出α∥β，若m，n不是两条相交直线，则α与β 可能相交，故不能推出α∥β，故必要性不成立．故选 A．5.已知空间直线不在平面内，则“直线上有两个点到平面的距离相等”是“”的( )．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【解析】当∥时，直线上所有点到平面的距离都相等，但当时，直线上所有点到平面的距离也相等，本题只能选B.【考点】直线与平面平行的判定与性质.6.设则是“”成立的.( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】，，由于，因此应选C．【考点】解不等式，充要条件．7.设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0，即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0,1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分而不必要条件．8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，有下列命题：①在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充分不必要条件；②在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB的充要条件；③在△ABC 中，A＞B是tanA＞tanB的必要不充分条件．其中正确命题的序号为________．【答案】②【解析】由正弦定理，可知A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，故A＞B是sinA＞sinB的充要条件，所以①错；由于函数y＝cosx在(0，π)内为减函数，故在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB的充要条件，所以②对；当A＝，B＝时，tanA＞tanB，而此时A＜B，当A＝，B＝时，A＞B，但tanA＜tanB，故在△ABC中，A＞B是tanA＞tanB的既不充分也不必要条件，所以③错．故填②.9.设集合则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A．【解析】①当时，“”是“”的充分条件；②若，则或．综上得“”是“”的充分不必要条件．【考点】1．充分条件和必要条件的判断；2．一元二次不等式的解法；3．集合的包含关系．10.条件，条件，则是的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】不等式的解集为：或，不等式的解集为：，故为，为，则，则是的充分非必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．11.设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的 ()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0，但方程x＋y－1＝0有无数多个解，不能确定x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分不必要条件．12.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线与直线平行时则有，解得。
充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
②当 a≠2 时，因为 B⊆A，所以 B＝{x|－2＜x＜－a}，
答案：A
题型三 充分条件、必要条件的应用 例 3 已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，求 m 的取值范围．
解：由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}． 由 x∈P 是 x∈S 的必要条件，知 S⊆P.
题型一 全称量词命题与存在量词命题
例 1 (1)(2020·陕西部分学校模拟)命题“∀x＞0，x－x 1＞0”的否定是(
)
A．∃x0≥0，x0x－0 1≤0
B．∃x0＞0,0≤x0≤1
C．∀x＞0，x－x 1≤0
D．∀x＜0,0≤x≤1
解析：∵x－x 1＞0，∴x＜0 或 x＞1， ∴x－x 1＞0 的否定是 0≤x≤1， ∴命题的否定是“∃x0＞0,0≤x0≤1”．故选 B.
5．设 x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：x>y x>|y|(如 x＝1，y＝－2)， 但当 x>|y|时，能有 x>y. ∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件． 答案：C
6．已知 p：x>a 是 q：2<x<3 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是________． 解析：由已知，可得{x|2<x<3} {x|x>a}，∴a≤2. 答案：(－∞，2]
浅谈充分条件与必要条件
课程篇充分条件与必要条件在整个高中的教学中起着非常重要的作用。
表现在2016年的考纲上明确指出要理解充分条件与必要条件的意义。
因此学好充分条件与必要条件对整个高中的学习都是至关重要的。
一、充分条件与必要条件的有关概念1.充分条件与必要条件一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，记作：p ⇒q 。
并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件说明：①这里所谓“充分”，即要使q 成立，只要有p 成立就足够了；所谓“必要”，即q 是p 成立的必不可少的条件。
②通常：若p ⇒q ，且p ，则称p 是q 的充分不必要条件；若q ，且q ⇒p ，则称p 是必要不充分条件。
③“p 是q 的充分条件”与“p 是q 的充分不必要条件”是不一样的，因为前者中的p 是否为q 的必要条件并不确定；“p 是q 的必要条件”与“p 是q 的必要不充分条件”不一样，因为前者中的p 是否为q 的充分条件并不确定。
④“p 是q充分条件”指的是“q ”，“p 是q 的不必要条件”可认为：“p ”。
⑤若p 是充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是r 的充分条件。
若p 是q 的必要条件，q 是r 的必要条件，则p 是r 的必要太难。
这说明它们具有传递性。
2.充要条件一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时，我们说p 是q 的充分不必要条件，简称充要条件。
显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件。
说明：①概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件。
②若q ，且p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件。
二、充分条件与必要条件的判断方法1.定义法：直用定义进行判断若p ⇒q ，且p ，则p 是q 的充分不必要条件。
若q,且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件。
若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件。
若q ，且p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件。
注意：①充要条件的叙述常用“当且仅当”“必须且只需”等语句表示。
高中数学 充分条件与必要条件
P 不是 q 的充分条件 Q 不是 p 的必要条件
2．充要条件 (1)定义：若 p⇒q 且 q⇒p，则记作 p⇔q ，此时 p 是 q 的充分 必要条件，简称充要条件． (2)条件与结论的等价性：如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的 充要条件 ．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 p 是 q 的充分条件，则 p 是唯一的 ( ) )
∴p 是 q 的充分不必要条件.
充分条件与必要条件的应用
[典例] 取值范围． 已知 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，其中 a<0；q： 实数 x 满足 x2－x－6≤0.若綈 p 是綈 q 的必要条件，求实数 a 的
[解]
由 x2－4ax＋3a2<0 且 a<0 得 3a<x<a，
所以 p：3a<x<a，即集合 A＝{x|3a<x<a}． 由 x2－x－6≤0 得－2≤x≤3， 所以 q：－2≤x≤3，即集合 B＝{x|－2≤x≤3}．
2．[变条件]将“q：实数 x 满足 x2－x－6≤0”改为“q：实数 x 满足 x2＋3x≤0”其他条件不变，求实数 a 的取值范围．
解：由 x2－4ax＋3a2<0 且 a<0 得 3a<x<a. 所以 p：3a<x<a，即集合 A＝{x|3a<x<a}． 由 x2＋3x≤0 得－3≤x≤0， 所以 q：－3≤x≤0，即集合 B＝{x|－3≤x≤0}．
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满分5 > 高中数学试题【答案带解析】p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p是r的条件．
p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p是r的条件．
由p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则可得p⇒q，；q⇒r，
【解析】
由p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，
则可得p⇒q，；q⇒r，
则p⇒q⇒r，
故答案为：充分不必要
根据满分5专家分析，试题“p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p是r的 ...”主要考查了对【】等知识点的理解和应用。
本站归纳了以下解题思路：
考点1：必要条件、充分条件与充要条件的判断
【知识点的认识】正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；掌握逻辑推理能力和语言互译能力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点．
1．充分条件：对于命题“若p则q”为真时，即如果p成立，那么q一定成立，记作“p?q”，称p 为q的充分条件．意义是说条件p充分保证了结论q的成立，换句话说要使结论q成立，具备条件p就够了当然q成立还有其他充分条件．如p：x≥6，q：x＞2，p是q成立的充分条件，而r：x＞3，也是q成立的充分条件．
必要条件：如果q成立，那么p成立，即“q?p”，或者如果p不成立，那么q一定不成立，也就是“若非p则非q”，记作“￢p?￢q”，这是就说条件p是q的必要条件，意思是说条件p是q成立的必须具备的条件．
充要条件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p?q”．
2．从集合角度看概念：
如果条件p和结论q的结果分别可用集合P、Q 表示，那么
①“p?q”，相当于“P?Q”．即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了--有它就行．
②“q?p”，相当于“P?Q”，即：为使x∈Q成立，必须要使x∈P--缺它不行．
③“p?q”，相当于“P=Q”，即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物．
3．当命题“若p则q”为真时，可表示为，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件．这里由，得出p为q的充分条件是容易理解的．但为什么说q是p的必要条件呢？事实上，与“”等价的逆否命题是“”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．
4．“充要条件”的含义，实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同．也就是说，如果命题p等价于命题q，那么我们说命题p成立的充要条件是命题q成立；同时有命题q成立的充要条件是命题p成立．
【解题方法点拨】
1．借助于集合知识加以判断，若P?Q，则P是Q的充分条件，Q是的P的必要条件；若P=Q，则P与Q互为充要条件．
2．等价法：“P?Q”?“￢Q?￢P”，即原命题和逆否命题是等价的；原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的．
3．对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要条件用“?”连接．
【命题方向】
充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础．在每年的高考中，都会考查此类问题．。