2020年全国性知识竞赛高中试卷一数学 考试版

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2020年全国性知识竞赛高中试卷数学
数学学科
考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明
一、单选题
1．若,x y R ∈，则“1x y +≤”是“221x y +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知复数()
()()2
12z a a i a R =-+-∈，则“1a =”是“z 为纯虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
3．设全集{}1,2,3,4,5I =，集合{}1,2,3A =，集合{}1,4B =，则()I A B =I ð（ ） A ．{}4 B ．{}4,5 C ．{}1,4,5 D ．{}1,2,3,4,5
4．设函数2
4y x =- 的定义域A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂=
A ．（1,2）
B ．（1,2]
C ．（-2,1）
D ．[-2,1)
5．若集合{1,2,3,4,5}A =,集合(){}
|40B x x x =-<,则图中阴影部分表示(
)
A ．{}1,2,3,4
B ．{}1,2,3
C ．{}4,5
D ．{}1,4
6．实数集R ，设集合{}
2
|430P x x x =-+≤，{}
2
|40Q x x =-<，则()R P C Q ⋃=
（ ） A ．[]2,3 B ．()1,3
C ．(]
2,3
D ．(][
),21,-∞-⋃+∞ 7．已知集合M ＝{－1,0}，则满足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 8．函数的值域为（ ） A ．
B ．
C ．（0，]
D ．（0，2]
9．设集合22{,},{0,,}A a b B a b ==-，若A B ⊆，则a b -=（ ） A ．2-
B ．2
C ．2-或2
D ．0
10．若集合{}1M x x =≤，{
}
2
,1N y y x x ==≤，则( ) A ．M N =
B ．M N ⊆
C ．N M ⊆
D ．M N ⋂=∅
11．若000a b c >>>，，且()16a a b c bc +++=，则222a b c m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．()()24-∞-+∞U ，，
B ．()()42-∞-+∞U ，，
C ．()24-，
D ．()42-，
12．函数2
54()2x x f x x
-+=-在(,2)-∞上的最小值是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
13．如图所示，矩形ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的（ ）
A ．最小长度为8
B ．最小长度为42
C ．最大长度为8
D ．最大长度为
42
14．若0a b <<，则下列不等式不可能成立的是 ( )
A ．11a b
>
B ．22
a b >
C ．0a b +<
D ．0ab <
15．实数,x y 满足条件10
230
x y x y --≤⎧⎨
--≥⎩.当目标函数(),0z ax by a b =+>在该约束条件下取到最小值4时，12
a b
+的最小值为（ ） A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
16．己知0a >，1b >，2a b +=，则11
1
a b +-的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．83
17．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，则22ac bc > C ．若a ＞b ＞0，则（a ﹣b ）c ＞0
D ．若a ＞b ，则a ﹣c ＞b ﹣c
18．已知不等式240x ax ++<的解集为空集，则a 的取值范围是（ ） A ．44a -≤≤ B ．44a -<< C ．4a ≤-或4a ≥ D ．4a <-或
4a >
19．若实数a b ¹，且a ，b 满足2850a a -+=，2850b b -+=，则代数式11
11
b a a b --+
--的值为 A ．20-
B ．2
C ．2或20-
D ．2或20
20．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y
->
- B ．cos cos 0x y -<
C ．11
0x y
->
D ．ln x +ln y >0
21．设()f x 为定义的实数集上的偶函数，且()f x 在[
)0,+∞上是增函数，
()30f -=，则()360x f -<的解集为( )
A ．()1,2
B ．()[
)3,1log 6,2-∞⋃ C ．(),2-∞
D ．()(),12,-∞⋃+∞
22．如图，函数()f x 的图象是两条线段,AB BC 其中点,,A B C 的坐标分别为
(0,1),(2,2),(3,0)，则(((3)))f f f 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．
32
23．下列函数在[
)1,-+∞上单调递减的是( ) A ．()14x
f x =+
B ．()2
3f x x x =--
C ．()()lg 2f x x =+
D ．()21f x x =-+
24．若函数()22,0
{
24,0
x x x f x x +≤=->，则()()1f f =（ ）
A ．-10
B ．10
C ．-2
D ．2
25．已知()()()1,1ln ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩
则关于a 的不等式()()21f a f a -<的解集为（ ） A ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．(),1-∞
D ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
26．如图，图像（折线OEFPMN ）描述了其汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（ ）
A ．第3分时汽车的速度是40千米/时
B ．第12分时汽车的速度是0千米/时
C ．从第3分到第6分，汽车行驶了120千米
D ．从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时 27．若实数x ，y R +∈满足10xy y +-=，求34x y +的最小值为（ ） A ．17+
B ．433-
C ．261-
D ．4
28．已知函数()()33,1,
log 2,1,
ax x f x x a x ->-⎧=⎨-+≤-⎩是在R 上的单调函数，则a 的取值范围
是（ ） A ．()0,∞+
B ．(],2-∞-
C ．[)2,0-
D ．(),0-∞
29．下列各图中，表示以x 为自变量的偶函数的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
30．幂函数()f x 的图象过点(2,2)，则12f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
（ ） A ．2
B ．4
C ．
22
D ．
14
31．函数()32x
f x =-的零点为( ) A ．3lo
g 2
B ．
12
3
C ．
132
D ．2log 3
32．已知5log 2a =，0.9log 1.1b =，0.92c =，则（ ） A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．b c a <<
33．设函数()()()17020x
x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪
≥⎩
,若f(a)<1，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)
B ．(1，＋∞)
C ．(－3,1)
D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
34．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A ．10元
B ．20元
C ．30元
D ．
403
元 35．已知13
12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，21log 3b =，1
21log 3c =，则（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
36．函数f (x )＝ln(2x )－1的零点位于区间( ) A ．(2,3) B ．(3,4) C ．(0,1)
D ．(1,2)
37．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫
+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭
=⎨⎡⎤
⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩
，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则
()12x f x ⋅的取值范围为（ ）
A ．3,14⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．1
3,
86⎡⎫⎪⎢⎪
⎣⎭
C ．31,162⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ D ．3
,38⎡⎫⎪⎢⎣⎭
38．下列等式一定正确的是（ ） A ．222m n m n +⋅= B ．222m n m n ++= C ．lg()lg lg xy x y
=+
D ．2ln 2ln x x =
39．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()f x x >-的解集为()2,3，若
方程()410f x a +-=，有两个相等的根，则实数a =（ ） A ．115
-
B ．1
C ．1或115
-
D ．1-或13
-
40．在同一平面直角坐标系中，函数1x
y a -=，2log a y x =-（其中0a >且1a ≠）
的图象只可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
41．已知函数()sin()(0,)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
，其图象相邻两条对称轴之间的距离
为
2π
，且函数12f x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭是偶函数，则（ ）
A ．()sin(2)6
f x x π
=+
B ．()sin(2)3
f x x π
=-
C ．()sin(2)6
f x x π=- D ．()sin(2)3
f x x π
=+
42．已知()()()sin cos ,02
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++＞，
＜，()f x 是奇函数，直线
2y =与函数
()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为
2
π
，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
B ．()f x 在0,4
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减
C ．()f x 在0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递增
43．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（
2
π
,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④
B ．②④
C ．①④
D ．①③
44．将函数sin 2y x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数2
2sin y x =-的图象，那么ϕ可以取的值为（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 45．已知定义在R 上的偶函数
()()()()()3sin cos 0,,0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+∈>对任意x ∈R 都有
()02x f x f π⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭，当ω取最小值时，
6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为（ ） A ．1
B ．3
C ．
12
D ．
32
46．已知()2
sin 3
απ+=-，则cos2=α（ ） A ．
79
B ．19
-
C ．
19
D ．59
-
47．已知ABC ∆的内角A 、B 、
C 满足()()1sin 2sin sin 2
A A
B
C C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +> C ．612abc ≤≤
D ．1224abc ≤≤
48．sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（ ） A ．32
-
B ．
32
C ．12
-
D ．
12
49．设锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且1c =，2A C =，则
ABC ∆周长的取值范围为（ ）
A ．(0,22)+
B ．(0,33)+
C ．(22,33)
++
D ．(22,33]++
50．已知角α的终边过点()1,1P -，则
sin 2cos 2sin cos αα
αα
+-等于（ ）
A ．
13
B ．13
-
C ．3
D ．3-
51．函数f (x )=
2
sin cos x x
x x
++在[—π，π]的图像大致为 A ．
B ．
C ．
D ．
52．若
sin cos sin cos θθ
θθ+-＝2，则sin θcos θ的值是( )
A ．－310
B ．3 10
C ．±310
D ．3
4
53．已知4cos 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，那么cos 2πα⎛⎫
- ⎪⎝⎭等于（ ） A ．4
5-
B ．35
-
C ．
35
D ．
45
54．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数；
②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②
B ．①②③
C ．①③④
D ．②③④
55．已知0>ω，函数()sin()4
f x x π
ω=+在(,)2π
π上单调递减，则ω的取值范围是
（ ） A ．15[,]24
B ．13[,]24
C ．1
(0,]2
D ．(0,2]
56．函数()()sin 2,02f x A x A π
ϕϕ⎛⎫
=+≤
> ⎪⎝
⎭
部分图像如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()123f x x +=，
则( )
A ．()f x 在5,1313ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上是增函数 B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上是减函数 D ．()f x 在3,55ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上是减函数 57．已知()0,απ∈，且3sin 5α=，则tan 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．1
7
-
B ．7
C ．1
7
-
或－7 D ．
1
7
或7 58．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,,2A N πωϕ⎛⎫
>∈< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）
A ．2,,6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
B ．22,2,6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
C ．,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦ D ．2,2,3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
59．已知sin cos 3sin cos αα
αα
+=-，则tan α=（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．2
D ．3
60．下列函数中最小正周期为π，且在0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增的是（ ）
A ．212cos y x =-
B ．sin 2y x =
C ．cos 2y x
= D ．sin cos y x x =+
第II 卷（非选择题)
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二、填空题
61．设命题P ：实数,x y 满足：0
222x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
，命题q ：实数,x y 满足()2
21x y m ++≤，
若p 是q 的必要不充分条件，则正实数m 的取值范围是__________.
62．设全集U 是实数集{}{},|22,|13R M x x N x x =-≤≤=≤≤，则图中阴影部分所表示的集合是______．
63．设命题21
:
01
x p x -<-，命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________．
64．若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________．
65．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}
2
320A x x x =-+=，
{}
2,B x x a a A ==∈，则集合()U A B U ð的子集个数为________.
66．已知集合{},A a b =，写出集合A 的所有子集为______.
67．已知集合{}1,2,3,4M =，对它的非空子集A ，可将A 中的每一个元素k 都乘以
()
1k
-再求和，则对M 的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是______.
68．已知非空集合M 同时满足条件：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②若a M ∈，则6a M -∈.
那么，这样的集合M 一共有______个. 69．已知关于x 的不等式2
5
0ax x a
-≤-的解集为M .若3,5M M ∈∉,则实数a 的取值范围是__________．
70．设{},10U x x N x +=∈≤，{A x x =为质数},x U ∈，{
B x x =为奇数},x U ∈，则()U A B =U ð_____；()(
)U U
A B =I
痧__________ .
71．.若[]2"2,8,log 4log 2"x x m x ∃∈≤+为真命题，则实数m 的最大值为__________．
72．已知1x =不是不等式22680k x kx -+<的解，则实数k 的取值范围是_______ 73．已知0,0a b >>，若不等式
119m
a b a b
+≥
+恒成立，求m 的最大值为____. 74．若不等式()()2
2210a x a x -+--<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围
是______.
75．已知,a b 为正实数，且
23
1a b
+=，则+a b 的最小值为______ 76．若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集是(1,m )，则m = ． 77．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.
78．已知m R ∈，动直线1:20l x my +-=过定点A ，动直线2230l mx y m --+=:
过定点B ，若1l 与2l 交于点P （异于点A B ，），则PA PB +的最大值为_________. 79．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204
t
C t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大.
99．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，2
1
()22
f x x x =-+，
若函数()y f x a =-在区间[]
3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .
100．若函数()2log ,0
2,0
x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则()()2f f
=______
101．将函数()cos 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移3π
个单位后得到函数()y g x =的图象，则函数()()y f x g x =+的最大值为______. 102．已知()()sin 2cos 0παπα-++=，则1
sin cos αα
=________.
103．已知5
sin cos 4
αα-=-
，则cos2=α___________. 104．在ABC ∆中，C ∠是钝角，设sin x C =，sin sin y A B =+，cos cos z A B =+，则x 、y 、z 的大小关系是______. 105．已知 tan 2α=，3
2
παπ<<
，则cos sin αα-=________. 106．已知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则42sin cos 3375cos sin 66ππααππαα⎛⎫⎛⎫
+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭______.
107．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()π3f x f ⎛⎫
⎪⎝⎭
≤对x R ∀∈恒成
立，且()π2f f π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，则()f x 的单调递增区间是________．
108．已知α为第三象限角,则22
1
cos 1tan 3sin 1tan αααα
+++=____________. 109．已知函数()sin 2cos f x x x =-.
①()f x 的最大值为________ ；
②设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=______. 110．sin 613cos1063tan 30︒︒︒++的值为________.
三、解答题
111．如图为某野生动物园的一角，KOM ∠内区域为陆地生物活动区，NOK ∠内区域为水上动物活动区域.为了满足游客游览需要，现欲在,OM ON ，上分别选一处
,A B ，修建一条贯穿两区域的直路AB ，AB 与KO 相交于点P .若PA 段，PB 段每
百米修路费用分别为1万元和2万元，已知6
NOK π
∠=，OM OK ⊥，2OP =百米，
设PAO α∠=.
(1)试将修路总费用S 表示为α的函数()S α； (2)求修路总费用()S α的最小值. 112．已知函数
()231sin 2cos 22
f x x x =
--. (1)求函数()f x 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合； (2)设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3c =
，()0f C =，若
3
2
ABC S ∆=
，求ABC ∆的周长.
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
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123．已知函数()31log 1x f x x
+=- （1）判断()f x 在()1,1-上的奇偶性并加以证明；
（2）判断()f x 在51,24⎛⎫-
⎪⎝⎭上的单调性（不需要证明），并求()f x 在51,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
上的值域.
124．已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4. （1）求a ，b 的值；
（2）设函数()()f x g x x
=
，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理素材来源于网络，林老师搜集编辑整理。