第9讲高阶系统的时域分析(稳态误差计算)
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将各项系数，按下面的格式排成老斯表
a0 > 0
(3 − 55)
Sn S n −1 S n−2 S n −3 ⋅ ⋅ ⋅ S2 S1 S0
a0 a1 b1 c1
a2 a3 b2 c2
a4 a5 b3 c3
a6 a7 a4 ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
d1 e1 f1
d2 e2
d3
表中 a a − a0 a3 a a − a0 a5 a a − a0 a7 b1 = 1 2 ⋅⋅⋅ , b2 = 1 4 , b3 = 1 6 a1 a1 a1 b1 a3 − a1b2 b1 a5 − a1b3 b1 a 7 − a1b4 c1 = ⋅⋅⋅ , c2 = , c3 = b1 b1 b1 ⋅ ⋅ ⋅ f1 = e1 d 2 − d1e2 e1
请看例题
例3-7
已知系统的特征方程式为 试判别相应系统的稳定性。
S + 2S + S + 2 = 0
3 2
S3 S2 S1
1 2 0(ε ) 2
1 2
解：列劳斯表
由于表中第一列
ε
S0
上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根 存在，相应的系统为（临界）不稳定。
劳斯表中出现全零行 解决的办法 用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项 式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中 系数为全零的行。完成劳斯表的排列。 这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求 解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是 偶数的。相应方程中含有一些大小相等符号相 反的实根或共轭虚根。相应的系统为不稳定
j =1 q − p jt
K Π(S + S i ) S Π ( S + Pj ) Π ( S 2 + 2ξ k ω nk S + ω nk )
2 j =1 k =1 q r
(3-47)
+ ∑ Bk e
k =1
r
−ξ k ω nk t
sin ω nk 1 − ξ k t + ∑ C k e −ξ kω nk t cos ω nk 1 − ξ k t
设 − p1 ,− p 2 ,L
为实数根， − α1 ± jβ1 ,−α 2 ± jβ 2 L
为复数根
其中
p1 , p 2 ,⋅ ⋅ ⋅,α1 ,α 2 ,⋅ ⋅ ⋅都是正值，则式（ − 55）改写为 3
a 0 {( S + P1 )( S + P2 ) ⋅ ⋅ ⋅ [( S + α 1 − jβ 1 )( S + α 1 + jβ 1 )][( S + α 2 − jβ 2 )( S + α 2 + jβ 2 )] ⋅ ⋅⋅} = 0
即a 0 {( S + P1 )( S + P2 ) ⋅ ⋅ ⋅ [( S 2 + 2α 1 S + α 1 + β 1 )][( S 2 + 2α 2 S + α 2 + β 2 )] ⋅ ⋅⋅} = 0
2 2 2 2
(3 − 56)
线性系统稳定
不会有系数为零的项
必要条件
a 0 S n + a1 S n −1 + a 2 S n − 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 S + a n = 0
R(s)
G (s Ktcs )
—
Gc ( s ) =
K p ( s + 1) s
时，闭环系统的稳 定条件是什么？
20 s( s + 5) s + 10） （
C(s)
解： 1
Gc ( s ) = 1 时，闭环系统的
图3-21单位反馈控制系统方块图 特征方程为
S ( S + 5)( S + 10) + 20 = 0 S + 15S + 50 S + 20 = 0
S 2 ( S + 5)(S + 10) + 20 K p ( S + 1) = 0
S 4 + 15S 3 + 50S 2 + 20 K p S + 20 K p = 0
1 15 750 − 20 K p 50 20 K p 20 K p 20 Kp 0
s4 s3 s2
750 − 20 K p s1 s0
∴ −1 < K < 11.9
劳斯判据特殊情况 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等 于零或没有其余项。 解决的办法 是以一个很小的正数
ε
来代替为零的这项
据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列 若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数 就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不 稳定 如果第一列 ε 上面的系数与下面的系数符号相同，则表 示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定
dF ( s ) = 8s 3 + 24 s ds
± j 2 , ± j2
显然这个系统 处于临界(不) 稳定状态。
F ( s ) = 2 s 4 + 12 s 2 + 16 s = 2( s 4 + 6 s 2 + 8) = 2( s 2 + 2)( s 2 + 4) = 0
3.5.2.3 劳斯判据的应用 稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上 的分布情况，而不能确定根的具体数据。 实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有 一定的距离。 解决的办法 设 s = s1 − a = z − a 代入原方程式中，得到以 s1
闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。 稳定判据
a 0 S n + a1 S n −1 + a 2 S n − 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 S + a n = 0
a0 > 0
(3 − 55)
如果方程式的根都是负实部，或实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均 为正值，且无零系数。 证明
设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用 而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平 衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。 线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输 入信号无关。
lim g (t ) = 0 t →∞
充要条件
系统稳定
是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线
S = −1
的右方。
S3 2 10 13 4 S2 S1 S0
解：列劳斯表
130 − 8 = 12.2 10 4
第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。
2 S 3 + 10 S 2 + 13S + 4 = 0
令
S = Z −1
代入特征方程：
2( Z − 1) 3 + 10( Z − 1) 2 + 3( Z − 1) + 4 = 0
S 3 + 41.5S 2 + 517 S + 2.3 × 10 4 = 0
S3 S2 S1 S0
1 41.5 − 38.5 2.3 × 10 4
517 2.3 × 10 4
0 0百度文库
该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符 号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面。
3 2 例3-6 已知某调速系统的特征方程式为 S + 41.5S + 517 S + 1670(1 + K ) = 0
s1
σ
−a
0
为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该 方程中是否有根位于垂线 s = −a 右侧。 此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的 根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。
请看例题
3.5.2.3 劳斯判据的应用
例3-8
s1
σ
−a
0
用劳斯判据检验下列特征方程
2 S 3 + 10 S 2 + 13S + 4 = 0
闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面
稳定 实际 不稳定 理论
ξ > 0.4
ts < 4
0
σ σ
σ
？ 一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输
入信号的加入而使其稳定性受到破坏？
单位阶跃函数 分析
R( s) =
m i =1
1 s
G( s) = φ ( s) =
稳态分量
C (t ) = A0 + ∑ A j e
这样可求得n+1行系数
劳斯稳定判据
1如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根 都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。 2如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于 该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不 稳定。
例3-5 已知一调速系统的特征方程式为 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解：列劳斯表
E ( s) = Φ e ( s) R( s) = R( s) 1 + H ( s )G ( s)
def
E (s) 1 = R ( s ) 1 + H ( s )G ( s )
第9讲
shw
高阶系统的时域分析 线性系统的稳态误差计算
3.5 线形定常系统的稳定性
稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。
对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提 下进行。
自动控制理论的基本任务(之一)
分析系统的稳定性问题 提出保证系统稳定的措施
3.5.1 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件
2Z 3 + 4Z 2 − Z − 1 = 0
式中有负号，显然有根在 S = −1 列劳斯表
的右方。
S3 S2
2 4 1 − 2 −1
−1 −1
第一列的系数符号变化了一次，表示原方 程有一个根在垂直直线 S = −1 的右方。
S
1
S0
请看例题
例3-9
已知一单位反馈控制系统如图3-21所示，试回答 1 Gc ( s ) = 1 时，闭环系统是否稳定？ 2
15 20 K p − 15 × 20 K 9
15 (750 − 20 K p ) / 15 20 K p
未完待续
欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值
Kp > 0
750 − 20 K p > 0
20 K p ( 750 − 20 K p − 15)
K p < 37.5
750 − 20 K p 15
15 750 − 20 K p 15
>0 ⇒
− 15 > 0
525 − 20 K p > 0
K p < 26.5
0 < K p < 26.5
利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两 个可调参数对系统稳定性的影响。
3.6 线性系统的稳态误差
附加稳态误差的计算方法 系统稳定是前提 动态性能 控制系统的性能 稳态性能 稳态误差
请看例题
例如，一个控制系统的特征方程为 S 6 + 2 S 5 + 8S 4 + 12 S 3 + 20 S 2 + 16 S + +16 = 0
列劳斯表 S6
S5 S4 S3 S2 S1 S0
1 2 2 0 8 6 8 3 16
8 12 12 0 24 16 0
20 16 16 0
16 0
F ( s ) = 2 s 4 + 12 s 2 + 16 s
求该系统稳定的K值范围。 S3 解：列劳斯表
1
517
0
S2 S1 S0
41.5 1670(1 + K ) 0 41.5 × 517 − 1670(1 + K ) 0 41.5 1670(1 + K )
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。 可得：
517 − 40.2(1 + K ) > 0 1670(1 + K ) > 0
3 2
S3 S2 S1
1
50
排劳斯表
第一列均为正值，S全部位于左半平面， 故 系统稳定
S0
15 20 750 − 20 15 20
2
Gc ( s ) =
K p ( s + 1) s
Gc ( s )G ( s ) =
20 K p ( S + 1) S 2 ( S + 5)( S + 10)
开环传递函数 闭环特征方程为 列劳斯表
输入作用方式
R(s)
E(s) G(s)
C(s)
3.6.1 稳态误差的定义
E ( s ) = R ( s ) − H ( s )C ( s )
(3-56)
H (s)
在实际系统中是可以量测的
E (s) = C s ( s) − C ( s)
图3-22 控制系统框图 (3-57) 输出的实际值 输出的希望值 (真值很难得到) 如果 H ( s ) = 1 ，输出量的希望值，即为输入量 R(s ) 。 由图3-22可得误差传递函数 Φ e ( s ) =
ess
本 书 第 8 章 介 绍
？ 稳态误差的不可避免性
摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素
输入函数的形式不同 (阶跃、斜坡、或加速度)
无差系统： 在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。 有差系统： 在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。
本节主要讨论
系统结构--系统类型
原理性稳态误差的计算方法
2 2 k =1
r
t≥0
(3 − 49)
参考输入 瞬态分量 衰减 瞬态分量 系统的结构和参数确定
一个无限小的领域
一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定
3.5.2劳斯稳定判据(Routh’s stability criterion)
3.5.2.1劳斯表
充要条件
线性系统稳定 令系统的闭环特征方程为
a0 > 0
(3 − 55)
Sn S n −1 S n−2 S n −3 ⋅ ⋅ ⋅ S2 S1 S0
a0 a1 b1 c1
a2 a3 b2 c2
a4 a5 b3 c3
a6 a7 a4 ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
d1 e1 f1
d2 e2
d3
表中 a a − a0 a3 a a − a0 a5 a a − a0 a7 b1 = 1 2 ⋅⋅⋅ , b2 = 1 4 , b3 = 1 6 a1 a1 a1 b1 a3 − a1b2 b1 a5 − a1b3 b1 a 7 − a1b4 c1 = ⋅⋅⋅ , c2 = , c3 = b1 b1 b1 ⋅ ⋅ ⋅ f1 = e1 d 2 − d1e2 e1
请看例题
例3-7
已知系统的特征方程式为 试判别相应系统的稳定性。
S + 2S + S + 2 = 0
3 2
S3 S2 S1
1 2 0(ε ) 2
1 2
解：列劳斯表
由于表中第一列
ε
S0
上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根 存在，相应的系统为（临界）不稳定。
劳斯表中出现全零行 解决的办法 用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项 式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中 系数为全零的行。完成劳斯表的排列。 这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求 解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是 偶数的。相应方程中含有一些大小相等符号相 反的实根或共轭虚根。相应的系统为不稳定
j =1 q − p jt
K Π(S + S i ) S Π ( S + Pj ) Π ( S 2 + 2ξ k ω nk S + ω nk )
2 j =1 k =1 q r
(3-47)
+ ∑ Bk e
k =1
r
−ξ k ω nk t
sin ω nk 1 − ξ k t + ∑ C k e −ξ kω nk t cos ω nk 1 − ξ k t
设 − p1 ,− p 2 ,L
为实数根， − α1 ± jβ1 ,−α 2 ± jβ 2 L
为复数根
其中
p1 , p 2 ,⋅ ⋅ ⋅,α1 ,α 2 ,⋅ ⋅ ⋅都是正值，则式（ − 55）改写为 3
a 0 {( S + P1 )( S + P2 ) ⋅ ⋅ ⋅ [( S + α 1 − jβ 1 )( S + α 1 + jβ 1 )][( S + α 2 − jβ 2 )( S + α 2 + jβ 2 )] ⋅ ⋅⋅} = 0
即a 0 {( S + P1 )( S + P2 ) ⋅ ⋅ ⋅ [( S 2 + 2α 1 S + α 1 + β 1 )][( S 2 + 2α 2 S + α 2 + β 2 )] ⋅ ⋅⋅} = 0
2 2 2 2
(3 − 56)
线性系统稳定
不会有系数为零的项
必要条件
a 0 S n + a1 S n −1 + a 2 S n − 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 S + a n = 0
R(s)
G (s Ktcs )
—
Gc ( s ) =
K p ( s + 1) s
时，闭环系统的稳 定条件是什么？
20 s( s + 5) s + 10） （
C(s)
解： 1
Gc ( s ) = 1 时，闭环系统的
图3-21单位反馈控制系统方块图 特征方程为
S ( S + 5)( S + 10) + 20 = 0 S + 15S + 50 S + 20 = 0
S 2 ( S + 5)(S + 10) + 20 K p ( S + 1) = 0
S 4 + 15S 3 + 50S 2 + 20 K p S + 20 K p = 0
1 15 750 − 20 K p 50 20 K p 20 K p 20 Kp 0
s4 s3 s2
750 − 20 K p s1 s0
∴ −1 < K < 11.9
劳斯判据特殊情况 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等 于零或没有其余项。 解决的办法 是以一个很小的正数
ε
来代替为零的这项
据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列 若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数 就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不 稳定 如果第一列 ε 上面的系数与下面的系数符号相同，则表 示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定
dF ( s ) = 8s 3 + 24 s ds
± j 2 , ± j2
显然这个系统 处于临界(不) 稳定状态。
F ( s ) = 2 s 4 + 12 s 2 + 16 s = 2( s 4 + 6 s 2 + 8) = 2( s 2 + 2)( s 2 + 4) = 0
3.5.2.3 劳斯判据的应用 稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上 的分布情况，而不能确定根的具体数据。 实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有 一定的距离。 解决的办法 设 s = s1 − a = z − a 代入原方程式中，得到以 s1
闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。 稳定判据
a 0 S n + a1 S n −1 + a 2 S n − 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 S + a n = 0
a0 > 0
(3 − 55)
如果方程式的根都是负实部，或实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均 为正值，且无零系数。 证明
设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用 而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平 衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。 线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输 入信号无关。
lim g (t ) = 0 t →∞
充要条件
系统稳定
是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线
S = −1
的右方。
S3 2 10 13 4 S2 S1 S0
解：列劳斯表
130 − 8 = 12.2 10 4
第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。
2 S 3 + 10 S 2 + 13S + 4 = 0
令
S = Z −1
代入特征方程：
2( Z − 1) 3 + 10( Z − 1) 2 + 3( Z − 1) + 4 = 0
S 3 + 41.5S 2 + 517 S + 2.3 × 10 4 = 0
S3 S2 S1 S0
1 41.5 − 38.5 2.3 × 10 4
517 2.3 × 10 4
0 0百度文库
该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符 号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面。
3 2 例3-6 已知某调速系统的特征方程式为 S + 41.5S + 517 S + 1670(1 + K ) = 0
s1
σ
−a
0
为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该 方程中是否有根位于垂线 s = −a 右侧。 此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的 根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。
请看例题
3.5.2.3 劳斯判据的应用
例3-8
s1
σ
−a
0
用劳斯判据检验下列特征方程
2 S 3 + 10 S 2 + 13S + 4 = 0
闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面
稳定 实际 不稳定 理论
ξ > 0.4
ts < 4
0
σ σ
σ
？ 一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输
入信号的加入而使其稳定性受到破坏？
单位阶跃函数 分析
R( s) =
m i =1
1 s
G( s) = φ ( s) =
稳态分量
C (t ) = A0 + ∑ A j e
这样可求得n+1行系数
劳斯稳定判据
1如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根 都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。 2如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于 该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不 稳定。
例3-5 已知一调速系统的特征方程式为 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解：列劳斯表
E ( s) = Φ e ( s) R( s) = R( s) 1 + H ( s )G ( s)
def
E (s) 1 = R ( s ) 1 + H ( s )G ( s )
第9讲
shw
高阶系统的时域分析 线性系统的稳态误差计算
3.5 线形定常系统的稳定性
稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。
对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提 下进行。
自动控制理论的基本任务(之一)
分析系统的稳定性问题 提出保证系统稳定的措施
3.5.1 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件
2Z 3 + 4Z 2 − Z − 1 = 0
式中有负号，显然有根在 S = −1 列劳斯表
的右方。
S3 S2
2 4 1 − 2 −1
−1 −1
第一列的系数符号变化了一次，表示原方 程有一个根在垂直直线 S = −1 的右方。
S
1
S0
请看例题
例3-9
已知一单位反馈控制系统如图3-21所示，试回答 1 Gc ( s ) = 1 时，闭环系统是否稳定？ 2
15 20 K p − 15 × 20 K 9
15 (750 − 20 K p ) / 15 20 K p
未完待续
欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值
Kp > 0
750 − 20 K p > 0
20 K p ( 750 − 20 K p − 15)
K p < 37.5
750 − 20 K p 15
15 750 − 20 K p 15
>0 ⇒
− 15 > 0
525 − 20 K p > 0
K p < 26.5
0 < K p < 26.5
利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两 个可调参数对系统稳定性的影响。
3.6 线性系统的稳态误差
附加稳态误差的计算方法 系统稳定是前提 动态性能 控制系统的性能 稳态性能 稳态误差
请看例题
例如，一个控制系统的特征方程为 S 6 + 2 S 5 + 8S 4 + 12 S 3 + 20 S 2 + 16 S + +16 = 0
列劳斯表 S6
S5 S4 S3 S2 S1 S0
1 2 2 0 8 6 8 3 16
8 12 12 0 24 16 0
20 16 16 0
16 0
F ( s ) = 2 s 4 + 12 s 2 + 16 s
求该系统稳定的K值范围。 S3 解：列劳斯表
1
517
0
S2 S1 S0
41.5 1670(1 + K ) 0 41.5 × 517 − 1670(1 + K ) 0 41.5 1670(1 + K )
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。 可得：
517 − 40.2(1 + K ) > 0 1670(1 + K ) > 0
3 2
S3 S2 S1
1
50
排劳斯表
第一列均为正值，S全部位于左半平面， 故 系统稳定
S0
15 20 750 − 20 15 20
2
Gc ( s ) =
K p ( s + 1) s
Gc ( s )G ( s ) =
20 K p ( S + 1) S 2 ( S + 5)( S + 10)
开环传递函数 闭环特征方程为 列劳斯表
输入作用方式
R(s)
E(s) G(s)
C(s)
3.6.1 稳态误差的定义
E ( s ) = R ( s ) − H ( s )C ( s )
(3-56)
H (s)
在实际系统中是可以量测的
E (s) = C s ( s) − C ( s)
图3-22 控制系统框图 (3-57) 输出的实际值 输出的希望值 (真值很难得到) 如果 H ( s ) = 1 ，输出量的希望值，即为输入量 R(s ) 。 由图3-22可得误差传递函数 Φ e ( s ) =
ess
本 书 第 8 章 介 绍
？ 稳态误差的不可避免性
摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素
输入函数的形式不同 (阶跃、斜坡、或加速度)
无差系统： 在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。 有差系统： 在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。
本节主要讨论
系统结构--系统类型
原理性稳态误差的计算方法
2 2 k =1
r
t≥0
(3 − 49)
参考输入 瞬态分量 衰减 瞬态分量 系统的结构和参数确定
一个无限小的领域
一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定
3.5.2劳斯稳定判据(Routh’s stability criterion)
3.5.2.1劳斯表
充要条件
线性系统稳定 令系统的闭环特征方程为