(10)典型换热器的动态模型.

TB (
t
,t)

TB (
,t)

a2[TA (
,t)

TB
(
, t )]
式中：T2

Mb
b
a2

UA
bCb
式（4.32）
说明： ①忽略管壁热容，故可不列内管壁和外壳的动态方程； ②若为逆流情况，衡算式有何不同？
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
（3）偏微分方程的解法
在化工过程中，有很多典型操作单元如套管式和 列管式换热器、填充式精馏塔和吸收塔、管式和 固定床式反应器等都属于分布参数对象，它们的 动态方程为偏微分方程。 偏微分方程的求解方法主要有传递函数法、分段 集总化处理方法、正交配置法和数值解法。 对于较简单的（自变量不大于两个，线性定常） 偏微分方程，一般可以通过传递函数法求解。
化工动态学
董守龙
2009年6月
第一节 无相变的简单换热器
二、两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
1、并流情况 设其两侧的流体有良好径向混合而无轴向混合，故属 于分布参数系统。
图4.8 套管式换热器——并流情况
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
（1）基本假设
①两侧流体均呈活塞流状流动，无轴向混合； ②径向热传导可用集中参数表示，即同一截面上各
c. 在第二次变换中，需要特别注意初始和边界条件， 因为在τ=0处，状态不是恒为基准值；
d. 在P域进行拉氏反变换，化掉d d 项，得到S域的 传递函数。
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
以并流套管式换热器为例说明具体求解过程：
①首先进行由时间域t到复域S的拉氏变换，在TA、TB取 增量形式时，初始条件为0，由式(4.31)和(4.32)可得：
T1STA
(
,
S)

dTA ( d
,
S)

a1[TB
(
,
S)

TA (
,
S )]
式（4.33）
T2STB (
,
S)

dTB ( d
,
S)

a2[TA (
,
S)

TB (
,
S )]
式（4.34）
②进行由距离域τ到复域Ｐ的拉氏变换，边界条件如下：
TA( , S) 0 TA1(S) TB ( , S) 0 TB1(S)
AP 2
2
式（4.43）
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
将式(4.43)代入式(4.42)，得：

TA
(
P
,
S
)



P

P 1 2
1
2
2
2

2

2 1 2
AP 2
2



P

2 1
2 2
a2 UA (bCb )
TW CW (h1At1 h2 At 2 ) TS CS (hS AS )
k1 a1r2 r1
k2 a2r1 r2
r1 h2 At 2 (h1At1 h2 At 2 ) 1 r2
kS hS AS (bCb )
ⅲ.TB1对TA0的影响与TA1对TB0的影响相似，差异在ωaCa与 ωbCb的不同；
ⅳ.TB1对TB0的影响与TA1对TA0的影响相似，差异在Φ1-Φ2和Φ2 -Φ1。
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
2、逆流情况
T1
TA (
t
,t)

dTA ( d
,t)

a1[TB (
,t)
TA (
将式(4.45)和式(4.46)写成矩阵形式：
TA0 TB0
( (
S S
) )


e(12 ) AP
2

AP cosh
AP 2
2a2 sinh
AP 2
(2 1)sinh
AP cosh
AP 2
AP 2
2a1 sinh
(1 2)sinh
AP 2 AP 2
TA ( P ,
S)

P
a1 1
TB (P,
S)

P
1 1
TA1 ( S )
TB (P, S)

P
a2 2
TA(P, S)

P
1 2
TB1 ( S )
式（4.39） 式（4.40）
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
③进行P域的拉氏反变换，求传递函数。
a. TA0对TA1 、TB1的传递函数
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
最后得到的四个通道的传递函数写成传函形式：
TA0 (S)
TB
0
(
S
)


1

2
sinh
AC
1 AC cosh 2
2 1 e 2
2a1 sinh
AC


AC
AC

2a2
sinh
AC
2 TA1(S)
e
1 2 2
AP
2



AP 2
AP 2
2

TA1 ( S )


P
a1
2 AP

1
2

2
2


AP 2

AP 2
2

TB1 ( S )
式（4.44）
对式(4.44)进行P的拉氏反变换，可得：

TA ( , S ) 1 TA0 (S ) e(12 ) 2 cosh
式（4.42）
令AP=(Φ1-Φ2)2+4a1a2，则式(4.42)右端分母可写为：
P 2 P(1 2 ) 12 a1a2

P2

2
1

2
P

12


2 2

212

12


2 2

21 2

4a1a2
2
4
4


P

1
2
2
2


特性的参数进行如下调整：
式中：
1 T1S a1 k1TW S (1 TW S)
2 T2S a2 k2TW S (1 TW S) kSTS S (1 TS S)
a1 ' a1 (1 TW S) a2 ' a2 (1 TW S)
a1 UA (aCa )
GPjk (S) GPjk (0)e S GPjk (S)
而逆流有的通道无时延，如：
GC 21(S)

TA0 (S) TB1 ( S )

GC 21(0)GC 21(S)
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
ⅱ.前面的分析讨论都是基于两侧为活塞流，且忽略
管壁热容时的动态特性。若考虑管壁热容，也可 不用列写内外管壁的动态方程，只需要对各通道
TA( , S) 1 TA0 (S) TB ( , S) 1 TB0 (S)
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
T1STA(P, S) PTA(P, S) TA1(S) a1[TB (P, S) TA(P, S)] T2STB (P, S) PTB (P, S) TB1(S) a2[TA(P, S) TB (P, S)]

TA1 ( S ) TB1 ( S )
式(4.47)
TA1
TA0
TB1
TB0
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
讨论：
ⅰ.从传函可见此类过程非常复杂，要由S→t求得时域解非常 困难，但从传函做定性讨论也可对工程有一定指导作用；
ⅱ.四个通道均有纯滞后环节，符合并流实际情况，通过Φ1、 Φ2可以估算纯滞后时间；
ⅲ.显然，在考虑控制方案时应与工艺设计联系，选 择逆流时控制效果会更好。
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
补充说明：
ⅰ.为使传递函数矩阵各个通道特性的物理意义更清楚， 以便定性半定量地了解时域响应，可进一步把并流各 通道特性分解为静态放大系数G(0)、时延e-τS和动态部 分 G(，S) 因此流体j(j=1,2)的入口温度与流体k(k=1,2)的 出口温度的传函为：
行拉氏反变换，可得：
TB ( , S) 1 TB0 (S) e(12 ) 2 cosh

AP 1 2 sinh
2
AP
AP 2
TB1 ( S )
2a2 e(12 ) 2 sinh AP
AP 2
TA1 ( S )
式(4.46)
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
传递函数法求解的思路：
a. 至少有时间和距离两个自变量，应进行两次拉氏 变换，第一次由时间域t变换到复域S，第二次由
距离域τ变换到复域Ｐ；
b. 在第一次变换中，保持 项，但因 t 已变为 复域，不再表现为t的偏导，故 可写为 d d ；
将式(4.40)代入(4.39)，可得：
TA(P, S)

P
a1 1

P
a2 2
TA(P, S)

P
1 2
TB1 ( S )


P
1 1 TA1(S)
式（4.41）
TA(P,
S)

(P P2
2 )TA1(S) a1TB1(S) P(1 2 ) 12 a1a2
式（4.35） 式（4.36）
整理并令 1 T1S a1 ；2 T2S a2 得：
(P 1)TA(P, S) a1TB (P, S) TA1(S) (P 2 )TB (P, S) a2TA(P, S) TB1(S)
式（4.37） 式（4.38）
再整理，可得：

AP 2 1 sinh
2
AP
2a1 e(12 ) 2 sinh AP
AP 2
TB1 ( S )
AP 2
TA1 ( S )
式(4.45)
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
b. TB0对TA1 、TB1的传递函数
同理，可将式(4.39)代入式(4.40)，消去TA(P,S)，并对P进
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TB1 ( S
)
式(4.50)
2 AC
2

式中Φ1、Φ2、a1、a2同前，AC= (Φ1+Φ2)2-4 a1a2
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
讨论：
ⅰ.TA1对TA0和TB1对TB0有纯滞后，差异取决于Φ2 -Φ1 和Φ1-Φ2 ；
ⅱ. TA1对TB0 与TB1对TA0的影响无纯滞后，均为放大 环节，差异取决于ωaCa与ωbCb；
点温度相同； ③传热系数U和比热Ca、Cb恒定不变； ④管壁热容忽略不计； ⑤外部绝热良好，即不考虑热损失。
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
（2）系统基本方程式的建立
对内管流体A列写微元dτ的热量衡算式：
MaCad
TA( , t)
t
UAd [TB ( ,t)
TA( , t)] aCaTA( ,t)
, t)]
式（4.48）
T2
TB (
t
,t)

dTB ( d
,t)

a2[TA (
,t)

TB (
, t)]
式（4.49）
用同样的方法求解传递函数，不过边界条件不同：
TA( , S) 0 TA1(S) TB ( , S) 0 TB0(S)
TA( , S) 1 TA0(S) TB ( , S) 1 TB1(S)

aCa
TA
(
,
t)

TA (
,
t)
d

T1
TA (
t
,t)

TA (
,t)

a1[TB (
,t)
TA(
, t )]
式（4.31）
式中：
T1

Ma
a
a1

UA
aCa
两侧流体均无轴向混合的套管式换热器
同理可得外管流体B的热量衡算式：
T2