近世代数学习报告

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近世代数读书报告

近世代数读书报告读书报告《近世代数》学院：数学与统计学院姓名：蒋旭辉学号：0501090132专业：数学与应用数学（教育方向）《近世代数》之我想刚开始接触《近世代数》时，对它一点儿也不了解，总觉得它离我的学习和生活特别遥远。

当我认认真真学习了它之后才发现：原来它一点儿也不难学，从某种意义上来讲，它还特别有趣。

接下来我想先谈一谈近世代数的历史。

《近世代数》是一门比较年轻的学科，随着它的不断发展，它对数学其他各分支学科的影响也越来越大。

与此同时，这门学科本身不管从内容上还是从方法上也在不断更新。

《近世代数》是数学专业课中最重要的基础课之一，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。

该课程的特点是：学习时间的跨度很大，内容极为丰富。

我们学时为一个学期。

课程的目的是通过这个学期学习和系统的数学训练，使我们逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从事进一步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想方法，最终使我们的数学思维能力得到根本的提高。

我对它也有了一些了解，开始学习感觉非常的难。

学习成绩不太理想。

但是老师说，学习近世代数需要长期的坚持和积累，我们在探索中得以提高。

《近世代数》课程是一门面向数学类专业的基础课。

学好近世代数是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。

近世代数的学习,可以按照它各部分內容的特点,把基本理論的学习与基本训练的过程紧密地結合起来,以便很好地掌握。

我学了一学期的近世代数，现在感觉就是一定要把概念弄清，千万不要背，要理解，每一个题做完了都要看看琢磨一下。

当你做到这点后就是不断去做练习了，但是请记住，不能去看答案，实在做不出来的可以先不做。

总之请尽量不要看答案。

我们刚上大二，我们就要尽量的忘记高中时学习数学的方法，忘记高中的数学知识，因为初等数学是离散的与具体的,近世代数是连续的与抽象的，所以请不要把你以前学高中数学的方法放在数分上，我们要把它当作一门新学科来学习。

近世代数学习报告

中国地质大学（武汉）近世代数学习报告课程名称：近世代数学号： *************：***学院：数理学院专业：数学与应用数学对近世代数的重要性的认识抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。

抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。

由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。

抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。

抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。

他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学。

他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。

伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。

他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。

伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。

最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。

本学期学习总结第一章基本概念1、集合的幂集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为或2A。

（含n个元素的集合的子集有2n个，即幂集中的元素共有2n个）2、积（笛卡尔积）：A×B={（a，b）|aA，bB}叫A与B的积。

（A×B≠B×A）3、A到B的对应法则为A到B的映射①②③，x的象在B中。

关于近世代数的几点教学体会

关于近世代数的几点教学体会近世代数是一门研究和表示空间关系的数学学科，它为人类研究空间提供了方便和有效的表示方式。

它与许多其他数学学科一起，对我们的现代科技社会有着不可低估的价值与作用。

在这篇文章中，我将就近世代数的教学进行一些体会。

首先，在教授近世代数方面，应该先强调教学的基本概念。

教师应以抽象的角度出发，尽可能精炼地让学生从数学定义、理论与实践之间形成正确的理解，掌握近世代数的本质与机理。

这一基础让学生可以把掌握学习内容当作一个整体，它们可以将一些较难的概念和方法当作一个完整的体系来理解，学习其中间的联系。

紧接着，学生也可以根据记忆的深度，记住内容，利用它们去理解新的概念。

其次，在教授近世代数时，老师应尽可能多的引入实际的例子，让学生在学习过程中可以从实际的情况中加深自己对概念的理解。

比如，近世代数中的投影和矩阵就可以应用在几何体的求解、坐标几何以及空间变换等领域。

以高中生的学科水平来看，已经可以把学习到的知识应用在较为容易理解的几何图形中，从原理解释到实际应用，实现从理论到实践的跨度。

这样一来，学生就可以真正加深对近世代数概念的理解，更好地学习并使用这一数学学科。

此外，在教授近世代数时，教师也应当利用当前的教育资源与技术，灵活多变地教授学科内容，让学生在学习过程中更容易理解，更加轻松愉悦。

例如，可以利用多媒体资源，如演示软件、图片等，呈现课程内容，从视觉上加深学生对学科的理解。

也可以利用作业小组教学法，让学生分组彼此讨论，尝试解决相关问题，更好地掌握知识点，锻炼他们的逻辑思维与科学推理能力。

另外，在教授近世代数过程中，教师还应以传授知识的方式，引导学生思路，激发学生的兴趣，引入实际案例，使学生能够得到解决问题的经验，吸收学习成果，从而提升学生能力。

比如，开展问题讨论环节，让学生们自己思考，不断探索，激发其创新思维，让他们更深入的了解近世代数的概念与机理。

总的来说，近世代数是一门十分重要的学科，它不仅要求学生有良好的抽象思维能力，而且要求学生具备知识的实践能力。

近世代数心得

近世代数心得
近世代数学让我们探索世界的知识，进行有效的统计和分析，从而有利于人们的生活。

近期的发展将数学的理论与实际的应用融为一体，使得近期的代数发展更加完整。

通过近世代数学的发展，人们可以基于正确的原则，推导出正确的结果。

首先，近世代数学更多地关注数学研究的内在联系，而不仅仅是一些基础计算。

通过对数学研究方法的深入理解，人们可以更好地理解数学研究的本质，从而得出更为准确的结果。

其次，近世代数学引入了抽象代数学，其理论可以应用于多种数学模型，使得数学计算更加灵活。

例如，抽象代数学可以用于表示复杂函数的几何性质，以及复杂数学模型的结构。

此外，抽象代数学也可以应用于数学图论，用于完善数学模型的分析和推理，从而得出更有价值的结论。

此外，近世代数学也引入了非参数和多元统计学，以更精确地区分和描述一组数据，精确地估计一组数据的分布，以及准确地预测一组数据的变化趋势。

这些方法可以应用于社会科学的研究，帮助人们深入理解数据库所表示的社会现象，从而得出较为准确的结论。

最后，近世代数学也引入了信息论。

信息论的研究将数学理论与计算机科学相结合，可以帮助我们从复杂的数据中提取出有效的信息，并对信息进行有效的分类和分析，从而有助于人们做出更准确的决策。

总之，近世代数学已经发展成为一门拥有多样性、活跃性和有效性的学科，旨在探索、实践和应用数学知识。

这一趋势将使数学研究
的视野更加宽广，并且有助于为现实世界的实际问题提供科学的解决方案。

对近世代数教学的几点体会

对近世代数教学的几点体会近世代数教学：探究与创造的共同驱动力。

近世代数学教学注重使用多媒体的方法，其实这从一定程度上改变了我们的数学教学方式。

探讨一下对近世代数学教学方式和技术的一些体会。

一、提高数学教授水平1. 使用多媒体可以有效地引入动态素材，例如视频、图片和语音，让学习者更加深入地了解数学知识，也提高教师的教学水平。

2. 通过多媒体，教授可以更加有效地将其他学科如计算机、医学等运用到数学教学中来，使学生更容易理解复杂的数学概念。

3. 通过多媒体，数学教授可以更容易地分享自己的经历，以及其他知识，以帮助学生更全面理解数学知识。

二、强调多面向的数学认知1. 多媒体可以更容易地使学生认识到数学的多种形式，例如实际市场、社会问题、科学应用，从而达到增强学生对数学概念的认知和实际应用。

2. 通过多媒体，学生可以更直观、更有感知性地了解数学知识，加深印象，让数学知识有更深刻的体验。

3. 多媒体的应用可以增强学生的参与程度，让学生有更多的机会分享思想和观点，使学生更加积极参与课堂教学。

三、加强多媒体实践能力1. 通过多媒体，学生可以参与到课堂上的实践项目中，学习如何应用数学理论来分析和解决实际问题，从而培养学生的实践能力和解决问题能力。

2. 多媒体应用可以更容易地实现数学模拟、展示和展示，可以更直接、深入地把握数学思想，从而加强学生的思维能力。

3. 通过多媒体，学生可以更容易地体验数学的复杂性，学习数学能力的积极影响，从而提高数学的自信心。

综上所述，近世代数学教学注重使用多媒体的方法，不仅可以有利于提高数学教师的教学水平，而且可以帮助学生更加有效地培养数学思维，追求更多多维度的数学认知，实现数学技能和实践能力的提高。

近世代数读书报告

题目1：设群G 中每个非幺元的阶都是2，证明G 为Abel 群.题目1出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目1的解答：∀a≠e 且a∈G，a 2=e，所以1a -=a，b=1b -，a 2b 2=e 4=b 2a 2=e，另一方面，由于ab 1b -1a -=ba 1a -1b -，，所以abba=baab=e，即ab=（ab）1-=ba=b 1-a 1-，所以ba=ab，由a、b 的任意性，群G 满足交换律，为Abel 群.选题目1的理由：老师上课提到此题，是群论部分Abel 群的经典例题.题目2：(1)（群的单边定义）设G 为一个半群，如果：（a）G 中含左（右）幺元e，即∀a∈G，ea=a；（b）G 中每个元有左（右）逆元1a -，使1a -a（a 1a -）=e.（2）（群的除法定义）设G 为半群，若∀a、b∈G，方程xa=b 及ay=b 在G 内有解，则G 为群.（3）（有限群的另一定义）设G 为有限半群，如果在G 内左、右消去律均成立，则G 为群.题目2出处：冯克勤章璞《近世代数三百题》题目2的解答：（1）∀a∈G，设（a 1-）1-为a 1-的左逆元，则aa 1-=e （aa 1-）=（a 1-）1-a 1-aa 1-=（a 1-）1-ea 1-=（a 1-）1-a 1-=e，说明a 的左逆元也满足aa 1-=e，故a 1-为a 的逆元.而ae=a （a 1-a）=ea=a，故左幺元e 也是G 的右幺元，即为G 的单位元，所以G 为群.（2）由于G 非空，所以a∈G，则xa=a 有解e，∀b∈G，存在y∈G 使得ay=b.于是eb=eay=ay=b，所以e 为G 左单位元，而xb=e 有解则意味着b 有左逆元，所以由b 的任意性及（1）可知G 为群.（3）设G={1a ，…n a }，由消去律可知，{1a i a ，…，n a i a }={i a 1a ，…，i a n a }，∀i a ∈G，故存在e∈G 使得i a =e i a .于是∀j a ∈G，存在k a ∈G 使得j a =i a k a .从而e j a =e i a k a =i a k a =j a .这说明e 为左单位元，又因为e ∈G=G j a ，以j a 有左逆元，因此由j a 的任意性知，G 为群.选题目2的理由：此处将群的几种定义方式进行总结，在不同条件下可以利用群的不同定义.题目3：令b a ，ϕ：x ax+b（a、b ∈R 且a ≠0）为实直线上的一个仿射变换，将它们的集合记为1A （R ），在1A （R ）中定义乘法b a ，ϕd c ，ϕ=b ad ac +，ϕ，证明1A （R ）为一个群.又设1H （R ）={b 1，ϕ：x x+b，b ∈R }，证明它是1A （R ）的一个子群，并证明1A （R ）/1H （R ）～{*R ；·}.题目3出处：柯斯特利金《代数学引论（第1卷）》第4章习题题目3的解答：显然，任一伸缩和平移仿射变换都在1A （R ）中，即对于上面定义的乘法，1A （R ）是封闭的，可以验证01，ϕ为1A （R ）的幺元.∀b a ，ϕ∈1A （R ），当a≠0时，其上述定义下的逆元为a ba 1-，ϕ，综上所述，1A （R ）为群.显然01，ϕ∈1H （R ），故1H （R ）中有幺元，∀b 1，ϕ∈1H （R ），其上述定义下的逆元为b 1-，ϕ，所以1H （R ）<1A （R ）.1A （R ）/1H （R ）={0a ，ϕ：x ax，a ∈R 且a ≠0}，设双射f：1A （R ）/1H （R ）→*R ，由于a ∈*R 且遍历*R 内所有元素，所以1A （R ）/1H （R ）与*R 之间的f 可定义为1A （R ）/1H（R ）中的a 与*R 中相等的元素，为双射.又∀1a ϕ、2a ϕ∈1A （R ）/1H （R ），对上述乘法满足f（21a a ϕϕ）=f（1a ϕ）·f（2a ϕ），故1A （R ）/1H （R ）与{*R ；·}同构.（附注）在南开大学资源共享课《抽象代数》有与本题类似的题目.选题目3的理由：本题在几何学上有深刻意义，它反映了几何变换对称性是产生群定义的原因之一，以及用群论方法研究几何变换时产生的许多结果（例如变换群的子群、商群和同构）可以反过来使我们更深入了解几何变换.题目4：设H 为群G 的一个子群，记()H N G ={g∈G|gHg 1-=H}，（称()H N G 为H 在G 中的正规化子）证明()H N G <G 及H ()H N G .题目4出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目4的解答：显然()H N G 的幺元即为G 中的幺元e 且对G 中的乘法运算满足结合律和封闭性，因为eHe 1-=H 恒成立.∀n ∈()H N G ，由于n∈G，所以n 有逆元n 1-，且若nHn 1-=H，则对于给定的n，n 1-H（n 1-）1-=H=n 1-Hn，，因为∀h ∈H，nhn 1-和n 1-hn 都对应H 中一个确定的元，所以()H N G 中任一元素都存在逆元，()H N G 为群，又∀n ∈()H N G ，n∈G，所以()H N G <G.∀h ∈H，n∈()H N G ，nhn 1-∈H，这在上面已经说明，而∀h ∈H，0h ∈H，h 0h h 1-∈H，并且对于给定的h，H 中任一元素0h 在映射hHh 1-下有唯一的像，即∀h ∈H，hHh 1-=H,所以h∈()H N G ，综上所述H<()H N G ，而∀h ∈H，n∈()H N G ，nhn 1-∈H，这在前面已经说明，故H ()H N G .选题目4的理由：本题具有很深刻的背景，正规化子这一概念是引进Sylow 子群和进一步研究伽罗华理论的基础.题目5：设a,b 分别为群G 中的元素，a 的阶为m，b 的阶为n,且满足ab=ba,<a>∩<b>={e}，证明:ab 的阶为[m,n].题目5出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目5的解答：设ab 的阶为d,由于(ab)],[n m =a ],[n m b ],[n m =e，从而d∣[m,n].另一方面(ab)d =a d b d =e，所以a d =bd -∈<a>∩<b>，a d =b d=e，因此m∣d,n∣d,所以[m,n]∣d，故d=[m,n].（附注）南开大学资源共享课《抽象代数》1.2节的补充题6问及此处阶为[m,n]的元素的存在性，正好与本题结论相符.选题目5的理由：本题给出了循环群中构造更高阶元素的方法和具体阶数，由此可以构造出有限循环群的元素.题目6：环R 的非零元x 称为幂零的，若存在n∈N ，使得x n=0，证明：1）若R 为含幺环，x 为幂零元，则1-x 为可逆元；2）若环Z /m Z=m Z 有幂零元，当且仅当m 可以被一个大于1的整数的平方整除.题目6出处：柯斯特利金《代数学引论（第1卷）》第4章题目6的解答：1）x 为幂零元，则存在m∈N ，使得xm =0，对给定的自然数n，由多项式因式分解可知1=1+0=1-x mn =（1-x）（1+x+x 2+…+x1-m ）（1+x m +x m 2+…+x m n )1(-），故1-x 为可逆元，其逆元为（1+x+x 2+…+x 1-m ）（1+x m +x m 2+…+x m n )1(-）=（1+x+x 2+…+x1-m ）.2）m Z ={0，1，…m-1}，m Z 有幂零元⇔存在k∈N ，使得x k =0（1<k<m，x∈m Z 且1<x<m-1)⇔m|x k ，由于x<m，故x|m，x 为m 的非平凡因子，m 不是质数.由算术基本定理，设m=1s 1p …n sn p ，且1p ，…n p ∈m Z ，它们在模m 意义下的乘积也属于m Z ，若1s =…=n s =1，则m Z 中元素只有0（即m）在模m 意义下存在满足条件的k，故此时m Z 在模m 的意义下无幂零元，因此必存在i s >1，i=1，2，…，n，即可以被一个大于1的整数的平方整除.而充分性是显然的.选题目6的理由：本题第2）问的背景与初等数论中的莫比乌斯函数有关，此处幂零元的性质可以运用到对m 的完全剩余系的研究中，在初等数论中有类似结论.题目7：设Z [i]={a+bi|a,b∈Z },运算为普通加法和乘法.证明：Z [i]为整环（称为高斯整环），并且Z [i]/<1+i>为一个域.题目7出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目7的解答：显然，由整数对加法和乘法的封闭性质及分配律可知，Z [i]对加法构成群，对乘法构成交换幺半群，并且满足分配律.此外，设1z 、2z ∈Z [i]，则1z 2z =0⇔1z =0或2z =0，所以Z [i]中无零因子，故Z [i]为整环.<1+i>={a-b+(a+b)i,∀a+bi ∈Z [i]},Z [i]/<1+i>={x+yi|x、y∈Q （Q 为有理数集）}，由高等代数的结论可知，有理数集对普通的加法和乘法构成域，因此由上面问题的方法可以证明Z [i]/<1+i>为一个域.选题目7的理由：本题中高斯整环的概念在代数数论中具有深刻意义.题目8：设含幺环R 中元a，b，1-ab 均为单位元，证明a-1b -、111a b a -----）（也是单位元，且1111a b -a -----））（（=aba-a.题目8出处：冯克勤章璞《近世代数三百题》题目8的解答：因a-1b -=-（1-ab）1b -，故a-1b -为单位元.用11b -a --）（和a 代替a-1b -中的a、b，即得111a b a -----）（也是单位元.由于1ab -）（也是单位元，且（1b -1a --1）1-=（1-ab）1--1···（*），因为（1b -1a --1）（（1-ab）1--1）（1-ab）=（1b -1a --1）（1-（1-ab））=（1b -1a --1）（ab）=1-ab.两边约去1-ab 可得（1b -1a --1）（（1-ab）1--1）=1，又因为R 是环，所以（（1-ab）1--1）（1b -1a --1）亦成立，故（*）式成立.将（*）式两边左乘1a -，有（1b --a）1-=（a-aba）1--1a -，所以（（a-1b -）1--1a -）1-=（1a --（a-aba）1--1a -）1-=（-（a-aba）1-）1-=aba-a.选题目8的理由：本题是1949年华罗庚提出的“华罗庚等式”，在上述教材中被奉为圭臬.。

近世代数心得

近世代数心得代数是一门重要的数学学科，几个世纪以来一直是学习数学的基础，也是最重要的一部分。

虽然它最初被认为只是一个用来解决数学问题的工具，但是它今天却成为了一门深入研究的学科，可以被用来探索自然科学和社会科学中的各种问题。

近世代数，即近两个世纪以来发展起来的代数学，是一门非常广泛的研究学科。

它包括离散数学，基本代数，线性代数，抽象代数，复代数，拓扑代数，广义代数，代数几何，数论等等，几乎涵盖了数学中的所有主要分支学科，也是最为全面、系统的研究之一。

回顾近两个世纪以来，代数学的发展及其重要性不容忽视。

从欧几里德，高斯，哥德尔，华罗庚，莱布尼茨，爱迪生，斯特林，黎曼，加拉格尔，费马，赫兹，白莱等科学家的伟大贡献，代数学从一种应用性的技术变成一种可以用来探索自然和社会结构的科学。

代数学的发展为人类的科学攻关提供了有效的工具，将数学理论与实践结合起来。

代数学的理论体系被广泛应用于各种科学领域，如物理学，化学，计算机科学，计量经济学，计算数学，机器学习等等，为其他学科提供新的思想和方法，促进了科学的发展。

代数学的理论体系也被用来研究诸如图论中的拓扑结构，把它们联系到数学问题，如可计算性理论，数值分析，几何学中的概率分析以及各种复杂结构中的分类等等，可以深刻理解与现实世界相关的复杂系统，并从中获取精髓。

近世代数在现实生活中有着多种应用，其中最重要的是它可以用来分析和解决复杂的科学问题。

它可以帮助我们更有效地设计和实施算法，把数据模型的概念转化为可解释的结果，分析和处理大量的数据，让人类更加了解数据，并相应地采取行动。

总之，近两个世纪以来代数学的发展及其重要性是不容忽视的。

它为其他领域的研究提供了有效的工具，用来分析和解决复杂的科学问题，参与现实生活的各个方面。

因此，学习代数学对于今天的人们来说尤为重要，我们必须更加深入地探索它，以便更好地理解及应用它，为科学研究作出更大的贡献。

近世代数读书报告

近世代数读书报告题目1：设群G 中每个非幺元的阶都是2，证明G 为Abel 群.题目1出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目1的解答：?a≠e 且a∈G，a 2=e，所以1a -=a，b=1b -，a 2b 2=e 4=b 2a 2=e，另一方面，由于ab 1b -1a -=ba 1a -1b -，，所以abba=baab=e，即ab=（ab）1-=ba=b 1-a 1-，所以ba=ab，由a、b 的任意性，群G 满足交换律，为Abel 群.选题目1的理由：老师上课提到此题，是群论部分Abel 群的经典例题.题目2：(1)（群的单边定义）设G 为一个半群，如果：（a）G 中含左（右）幺元e，即?a∈G，ea=a；（b）G 中每个元有左（右）逆元1a -，使1a -a（a 1a -）=e.（2）（群的除法定义）设G 为半群，若?a、b∈G，方程xa=b 及ay=b 在G 内有解，则G 为群.（3）（有限群的另一定义）设G 为有限半群，如果在G 内左、右消去律均成立，则G 为群.题目2出处：冯克勤章璞《近世代数三百题》题目2的解答：（1）?a∈G，设（a 1-）1-为a 1-的左逆元，则aa 1-=e （aa 1-）=（a 1-）1-a 1-aa 1-=（a 1-）1-ea 1-=（a 1-）1-a 1-=e，说明a 的左逆元也满足aa 1-=e，故a 1-为a 的逆元.而ae=a （a 1-a）=ea=a，故左幺元e 也是G 的右幺元，即为G 的单位元，所以G 为群.（2）由于G 非空，所以a∈G，则xa=a 有解e，?b∈G，存在y∈G 使得ay=b.于是eb=eay=ay=b，所以e 为G 左单位元，而xb=e 有解则意味着b 有左逆元，所以由b 的任意性及（1）可知G 为群.（3）设G={1a ，…n a }，由消去律可知，{1a i a ，…，n a i a }={i a 1a ，…，i a n a }，?i a ∈G，故存在e∈G 使得i a =e i a .于是?j a ∈G，存在k a ∈G 使得j a =i a k a .从而e j a =e i a k a =i ak a =j a .这说明e 为左单位元，又因为e ∈G=G j a ，以j a 有左逆元，因此由j a 的任意性知，G 为群.选题目2的理由：此处将群的几种定义方式进行总结，在不同条件下可以利用群的不同定义.题目3：令b a ，?：x ax+b（a、b ∈R 且a ≠0）为实直线上的一个仿射变换，将它们的集合记为1A （R ），在1A （R ）中定义乘法b a ，?d c ，?=b ad ac +，?，证明1A （R ）为一个群.又设1H （R ）={b 1，?：x x+b，b ∈R }，证明它是1A （R ）的一个子群，并证明1A （R ）/1H （R ）～{*R ；·}.题目3出处：柯斯特利金《代数学引论（第1卷）》第4章习题题目3的解答：显然，任一伸缩和平移仿射变换都在1A （R ）中，即对于上面定义的乘法，1A （R ）是封闭的，可以验证01，?为1A （R ）的幺元.?b a ，?∈1A （R ），当a≠0时，其上述定义下的逆元为a ba 1-，?，综上所述，1A （R ）为群.显然01，?∈1H （R ），故1H （R ）中有幺元，?b 1，?∈1H （R ），其上述定义下的逆元为b 1-，?，所以1H （R ）<1A （R ）.1A （R ）/1H （R ）={0a ，?：x ax，a ∈R 且a ≠0}，设双射f：1A （R ）/1H （R ）→*R ，由于a ∈*R 且遍历*R 内所有元素，所以1A （R ）/1H （R ）与*R 之间的f 可定义为1A （R ）/1H（R ）中的a 与*R 中相等的元素，为双射.又?1a ?、2a ?∈1A （R ）/1H （R ），对上述乘法满足f（21a a ??）=f（1a ?）·f （2a ?），故1A （R ）/1H （R ）与{*R ；·}同构.（附注）在南开大学资源共享课《抽象代数》有与本题类似的题目.选题目3的理由：本题在几何学上有深刻意义，它反映了几何变换对称性是产生群定义的原因之一，以及用群论方法研究几何变换时产生的许多结果（例如变换群的子群、商群和同构）可以反过来使我们更深入了解几何变换.题目4：设H 为群G 的一个子群，记()H N G ={g∈G|gHg 1-=H}，（称()H N G 为H 在G 中的正规化子）证明()H N G <="" g="" n="" p="" 及h="">题目4出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目4的解答：显然()H N G 的幺元即为G 中的幺元e 且对G 中的乘法运算满足结合律和封闭性，因为eHe 1-=H 恒成立.?n ∈()H N G ，由于n∈G，所以n 有逆元n 1-，且若nHn 1-=H，则对于给定的n，n 1-H（n 1-）1-=H=n 1-Hn，，因为?h ∈H，nhn 1-和n 1-hn 都对应H 中一个确定的元，所以()H N G 中任一元素都存在逆元，()H N G 为群，又?n ∈()H N G ，n∈G，所以()H N G <="" ，nhn="" ，综上所述h题目5：设a,b 分别为群G 中的元素，a 的阶为m，b 的阶为n,且满足ab=ba,∩={e}，证明:ab 的阶为[m,n].题目5出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目5的解答：设ab 的阶为d,由于(ab)],[n m =a ],[n m b ],[n m =e，从而d∣[m,n].另一方面(ab)d =a d b d =e，所以a d =bd -∈∩，a d =b d=e，因此m∣d,n∣d,所以[m,n]∣d，故d=[m,n].（附注）南开大学资源共享课《抽象代数》1.2节的补充题6问及此处阶为[m,n]的元素的存在性，正好与本题结论相符.选题目5的理由：本题给出了循环群中构造更高阶元素的方法和具体阶数，由此可以构造出有限循环群的元素.题目6：环R 的非零元x 称为幂零的，若存在n∈N ，使得x n=0，证明：1）若R 为含幺环，x 为幂零元，则1-x 为可逆元；2）若环Z /m Z=m Z 有幂零元，当且仅当m 可以被一个大于1的整数的平方整除.题目6出处：柯斯特利金《代数学引论（第1卷）》第4章题目6的解答：1）x 为幂零元，则存在m∈N ，使得xm =0，对给定的自然数n，由多项式因式分解可知1=1+0=1-x mn =（1-x）（1+x+x 2+…+x1-m ）（1+x m +x m 2+…+x m n )1(-），故1-x 为可逆元，其逆元为（1+x+x 2+…+x 1-m ）（1+x m +x m 2+…+x m n )1(-）=（1+x+x 2+…+x1-m ）.2）m Z ={0，1，…m-1}，m Z 有幂零元?存在k∈N ，使得x k =0（1<k<="">1<x<="" …n="" 不是质数.由算术基本定理，设m="1s" 为m="" 的非平凡因子，m="" ，由于xn p ，且1p ，…n p ∈m Z ，它们在模m 意义下的乘积也属于m Z ，若1s =…=n s =1，则m Z 中元素只有0（即m）在模m 意义下存在满足条件的k，故此时m Z 在模m 的意义下无幂零元，因此必存在i s >1，i=1，2，…，n，即可以被一个大于1的整数的平方整除.而充分性是显然的.选题目6的理由：本题第2）问的背景与初等数论中的莫比乌斯函数有关，此处幂零元的性质可以运用到对m 的完全剩余系的研究中，在初等数论中有类似结论.题目7：设Z [i]={a+bi|a,b∈Z },运算为普通加法和乘法.证明：Z [i]为整环（称为高斯整环），并且Z [i]/<1+i>为一个域.题目7出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目7的解答：显然，由整数对加法和乘法的封闭性质及分配律可知，Z [i]对加法构成群，对乘法构成交换幺半群，并且满足分配律.此外，设1z 、2z ∈Z [i]，则1z 2z =0?1z =0或2z =0，所以Z [i]中无零因子，故Z [i]为整环.<1+i>={a-b+(a+b)i,?a+bi ∈Z [i]},Z [i]/<1+i>={x+yi|x、y∈Q （Q 为有理数集）}，由高等代数的结论可知，有理数集对普通的加法和乘法构成域，因此由上面问题的方法可以证明Z [i]/<1+i>为一个域.选题目7的理由：本题中高斯整环的概念在代数数论中具有深刻意义.题目8：设含幺环R 中元a，b，1-ab 均为单位元，证明a-1b -、111a b a -----）（也是单位元，且1111a b -a -----））（（=aba-a.题目8出处：冯克勤章璞《近世代数三百题》题目8的解答：因a-1b -=-（1-ab）1b -，故a-1b -为单位元.用11b -a --）（和a 代替a-1b -中的a、b，即得111a b a -----）（也是单位元.由于1ab -）（也是单位元，且（1b -1a --1）1-=（1-ab）1--1···（*），因为（1b -1a --1）（（1-ab）1--1）（1-ab）=（1b -1a --1）（1-（1-ab））=（1b -1a --1）（ab）=1-ab.两边约去1-ab 可得（1b -1a --1）（（1-ab）1--1）=1，又因为R 是环，所以（（1-ab）1--1）（1b -1a --1）亦成立，故（*）式成立.将（*）式两边左乘1a -，有（1b --a）1-=（a-aba）1--1a -，所以（（a-1b -）1--1a -）1-=（1a --（a-aba）1--1a -）1-=（-（a-aba）1-）1-=aba-a.选题目8的理由：本题是1949年华罗庚提出的“华罗庚等式”，在上述教材中被奉为圭臬.</x</k。

近世代数学习心得论文(中文英文对照)

近世代数学习心得《抽象代数》是一门比较抽象的学科，作为初学者的我感到虚无飘渺，困难重重。

我本来英语学的就不好，看到全英的《近世代数》我似乎傻眼了。

通过两个月的学习，发现它还是有规律有方法的。

针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。

多看多做，举一反三。

比如群论里面有一个最基本的问题就是n阶有限群的同构类型有多少。

围绕这个问题可以引出很多抽象的概念，比如元素的阶数，abel群，正规子群，商群，Sylow定理等，同时也会学到如何把这些理论应用到具体的例子分析中学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。

要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。

其次是通过变换角度寻求问题的解法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等先参考着答案做题，然后自己总结方法思路，自己就开始会做了。

问题在是否善于总结归纳。

以前学代数的时候从来没有意识到代数是门很抽象的学科，总在练习的过程中靠点小聪明学过来，也由于这段路一直走得非常平坦，我从来没停下来去想想其本身的理论体系的问题。

现在想想，也许这就是我一直停留在考试成绩一般，却难以有所作为的原因吧。

所以有时走得太快可能未必时间好事。

很可惜现在才了解到这一点，同时也还算幸运，毕竟人还在青年，还来得及改正Modern Algebra learning experience "Abstract Algebra" is a more abstract subjects, as a beginner , I feel vague , difficult. I had to learn English is not good to see the UK 's "Modern Algebra" I seem dumbfounded. Through two months of the study, it is found that there is a regular method .For the " Modern Algebra " course abstract concept , difficult to understand the characteristics , I believe that an effective way to understand the concept is to have learned to cite a typical example . See more and more , by analogy . Such as group theory which has a fundamental problem is a finite group of order n is isomorphic to type numbers . Around this problem can lead to many abstract concepts , such as the order of elements , abel group , normal subgroups , quotient groups , Sylow theorems , etc. , but also learn how to put these theories to the analysis of specific examples to learn " Modern Algebra ", it is just back down a number of propositions , properties and theorems , does not mean that truly understand. To truly understand the need to clear these propositions , properties and theorems prerequisite Why is necessary ? To achieve this purpose the most effective way is to construct counterexample.Followed by changing the angle seek a solution, usually known or unknown to the more complex problem is converted into an equivalent simpler problem , or is transformed into a new problem has been solved , or is unknown with the known relations fewer problems become more known and unknown relationship problems, etc.Do question the answer to the first reference , and then summarize their way thinking that he began to do it. Whether good at summarizing the problem . Previously learned algebra algebra is never realized when the door is very abstract subject , always in the process of practice by learning a little smarter over, but also because this section has gone very flat , I never stopped to think about their own theoretical system problems . Now think about it , maybe this is what I have been stuck in test scores in general, but the reason it is difficult to make a difference . So sometimes a good thing going too fast may not be time . Unfortunately now I understand this, but also lucky , after all, people are still young , still have time to correct。

对近世代数的认识

对近世代数的认识田丽丽田丽丽众所周知三大几何难题的解决导致了近世代数的产生。

位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。

这里的古人提出的三大几何难题，在科学史上留下了浓浓的一笔。

这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。

的。

一.三大难题的提出实际中存在着各种各样的几何形状，实际中存在着各种各样的几何形状，曲和直是最基本的图形特征。

曲和直是最基本的图形特征。

相应地，相应地，人类最早会画的基本几何图形就是直线和圆。

画直线就得使用一个边缘平直的工具，画圆就得使用一端固定而另一端能旋转的工具，这就产生了直尺和圆规。

固定而另一端能旋转的工具，这就产生了直尺和圆规。

古希腊人说的直尺，指的是没有刻度的直尺。

他们在大量的画图经历中感觉到，他们在大量的画图经历中感觉到，似乎只用直似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形，尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形，因而，古希腊人就规定，因而，古希腊人就规定，因而，古希腊人就规定，作图作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行，并称之为尺规作图法。

时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行，并称之为尺规作图法。

漫长的作图实践，漫长的作图实践，按尺规作图的要求，按尺规作图的要求，人们作出了大量符合给定条件的图形，人们作出了大量符合给定条件的图形，即便一些较为即便一些较为复杂的作图问题，独具匠心地经过有限步骤也能作出来。

到了大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。

间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。

1.三等分角问题：将任一个给定的角三等分。

三等分角问题：将任一个给定的角三等分。

2.立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。

立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。

近世代数期末总结

近世代数期末总结首先，我们学习了群论的基本概念。

群是代数学的一个重要概念，研究的是在某种运算下满足一定性质的集合。

我们学习了群的定义、群的运算、群的性质以及群的分类等内容。

群论的概念和定理为我们研究其他代数结构提供了基础。

接着，我们学习了环论和域论。

环是与群类似的代数结构，其中的运算除了满足群的性质外，还满足与乘法相关的性质。

我们学习了环的定义、环的运算、环的性质、域的定义以及域的性质等内容。

环论和域论是代数学的重要分支，对代数方程的解的研究有着重要的应用。

同时，我们还学习了线性代数的基础知识。

线性代数是代数学的一个重要分支，研究的是向量空间和线性变换。

我们学习了向量空间的定义、线性方程组的解法、线性变换的性质、特征值和特征向量等内容。

线性代数在几何学、物理学、计算机科学等领域有着广泛的应用。

此外，我们还学习了代数方程的解法。

代数方程是数学中一个重要的研究对象，研究的是未知数和系数之间的关系。

我们学习了多项式方程的根与系数之间的关系，包括一元多项式方程和多元多项式方程的解法。

通过学习代数方程的解法，我们深入理解了代数与几何的关系，这对我们的数学建模和问题求解能力有着重要的意义。

最后，在课程的最后阶段，我们还学习了代数结构的应用。

代数结构是数学中的一个重要工具，可以应用于许多不同的领域。

例如，群论可以应用于密码学、化学、物理学等领域；环论可以应用于计算机科学、密码学等领域；线性代数可以应用于几何学、物理学、计算机科学等领域。

通过学习代数结构的应用，我们不仅加深了对代数结构的理解，还培养了应用数学的能力。

总结来说，近世代数是一门重要的数学课程，通过本学期的学习，我对近世代数有了更深入的了解。

我学习了群论、环论和域论的基本概念和定理，提高了解决代数方程的能力，并学习了代数结构在各个领域的应用。

通过这门课程的学习，我不仅提高了数学建模和问题求解能力，还培养了独立思考和分析问题的能力。

在未来的学习和研究中，我将继续深入研究近世代数的相关知识，为数学的发展做出自己的贡献。

近世代数心得

近世代数心得
数学可以说是一门极其有趣的学科，由其种种独特的思维方式和中规中矩的思考模式吸引着全世界的学子，研究者和教师。

《近世代数》是一门重要的学科，它在全世界的数学教育中扮演着重要的角色。

以下是本人从学习近世代数中总结的心得：
首先，近世代数的学习要求我们掌握多种基本的数学知识，比如数列、函数和多项式等，这些都是近世代数学的基础，做好它们是近世代数学学习的重要前提。

有时，我们必须仔细检查解决问题所依据的公式，特别是复杂的公式，这要求我们熟练掌握近世代数学的基本概念和知识。

其次，一些具体问题，比如计算函数的最大值和最小值，求解一元多项式的根，求解方程组等，需要我们了解一些近世代数的算法，比如梯形法、牛顿迭代法和二分法等。

只有掌握了这些算法，才能解决复杂的问题，并得出准确的结果。

再次，近世代数也要求我们掌握一定的数学技巧，比如求和、积分、微分等，只有掌握了准确的数学技巧，才能准确地解决近世数学的问题，并得出准确的结果。

最后，近世代数的学习也需要逻辑思维能力，比如在推理、论证、计算等方面，我们需要一定的数学技巧，才能更准确、更有效的解决问题。

通过以上的分析，我们可以发现，学习近世代数除了要求我们掌握一些基本的数学概念和知识，还要求我们掌握一定的数学算法和技
巧，同时还要求我们具备良好的逻辑思维能力。

因此，学习近世代数除了要努力掌握相关的数学知识外，还需要丰富的实践经验。

只有通过大量的实践，才能运用所学知识解决问题，更好地掌握近世代数学。

近世代数之我见

精品文档一对课程的看法: 1作用与意义近世代数的理论和方法不仅在数学理论本身中占有及其重要的地位，而且在其他学科中也有着广泛的应用，如理论物理、计算机科学等。

其研究的方法和观点，对这些学科产生了越来越大的影响。

本课程旨在使学生对近世代数的基础理论和基本的思想、方法有一个初步的了解，为学生进一步的学习打下必要的基础。

要求学生能熟练掌握群、环、域的基本理论，包括其定义和基本的性质，并对模的概念有所理解。

要求学生对数学中的公理化思想有初步认识。

2.本课程的主要内容本课程讲授四类典型的代数系统：集合与运算、群、环和域。

其内容包括：群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，子群与陪集，Lagrange定理，不变子群的定义及其性质，群同态和同构基本定理，能够计算群元素的阶；环、域、理想、唯一分解环的定义，环中的可逆元，零因子、素元的定义，判别唯一分解环的方法。

3.教学重点与难点重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理。

难点：商群、商环。

二、对教法的看法：“近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。

为此，下面介绍五种常用的学习方法。

一、通过例子来加深对基本理论的理解针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。

例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。

当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。

要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。

通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。

例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。

近世代数教学的几点体会

关键词近世代数；教学方法；举例
近世代数是近代数学的一个重要分支，称抽象代数．为它概念多、也因内容抽象、识之间的关系复杂，知所以对教师和学生而言，即难教又难学．文针对上述情况谈谈自己在近世代数教学中的一些体会．本
又如Ｍ＝｛０，２，４｝ｌ＝，Ｍ不是ｚ［］［］［］，ＭＩ３故的子群．Ｔ＝｛１，１）（３，２）｝Ｉ＝Ｔ不是（）（２，１）（３，Ｔｌ４，
Ｓ的子群．
对照具体群仔细体会拉格朗日定理，再理解掌握它就不会太难．
况．
反例１整数加群是一个无限群，，除单位元外，任一元素的阶都是无限的．反例２１的所有有限次方根（，复数方根）对乘法作成群，一个无限群．，是但其中任一元素ａ１的某次方是根，ａ＝１所以ａ的阶 ≤ｎ即任一元素的阶都是有限的．有 “ ，．再如，Ｇ与其子群Ｈ有相同的单位元，群而有单位元环Ｒ的子环Ｓ未必有单位元，即使ｓ有单位元，也不
子群的陪集：Ｈ是群Ｇ的子集， ∈ ，ａＧ则集合ａＨ＝｛ｈｈ∈ 称为Ｇ中Ｈ的包含ａ的左陪集．ａＨ｝ｌ如果Ｇ是
加群，中Ｈ的包含ａ的左陪集是ａ＋Ｈ＝｛＋ｈＧａｌｈ∈Ｈ｝．
例如，Ｈ＝｛０，２，４＇６｝ｚ的子群，［］［］［］［］是且对Ｖ［］有［］ｉＥＨ，ｉ＋Ｈ＝Ｈ而［］．１＋Ｈ＝｛１＋［］［］０，

学习近世代数的心得

学习近世代数的心得学习近世代数的心得我一直以为在大学里面，我能学到的外语应该只有英语才对的。

但是上大三大的这个学期竟然有个近世代数出现，而且还是全英版的数学。

我感觉天都掉下来了，原本以为可以逃脱掉学习英语的命运了，竟然还要继续学习英语的路。

刚刚考完六级，都不知道能过六级不，怎么还要继续学习全英版数学呢。

我刚开始打开这本近世代数的书时，我的眼睛都大了，这里面的单词有很多跟以前学习的英语很不一样的。

可能这是数学的专业名词吧！第一节课的时候院长就跟我们说了，有一次他拿这本全英版的近世代数给外语院的老师翻译的时候，外语院的老师不知道怎么翻译，因为用常规的英文翻译，怎么翻译成中文还是有点不怎么通顺。

我听后，我的心就沉了一半，那我该怎么学这个全英版的近世代数呢？在上课前，我认认真真的看了一遍这本书的第一章节，刚开始读的时候还是觉得很没感觉的，因为里面的单词只有一部分能看懂的，而不懂的单词只能查字典，一个个把中文抄下来，再一个个拼成一个句子。

而这一次的预习花了很长时间，可能是因为很久没学英语了吧，我大一就考过了英语四级，接着就很少看英语有关的书籍了。

我真的后悔极了，怎么不好好学习好英语。

如果以前学好英语的话，现在学习全英版近世代数就不会那么痛苦了。

上第一节课时，院长很耐心的解答我心里面的疑问了。

上课的时候院长详细的介绍了近世代数的历史和发展。

每一个单词都认认真真的翻译给我们听，每一个句子都详细的讲解了一遍。

还向我们介绍几本参考书，如果有什么你不懂的可以查查参考书，那样学习近世代数就不会那么困难了。

上课认认真真的听老师的讲解，把老师所讲的每一个知识点都详细记录下来。

可能是全英语的缘故吧，读起来有些困难。

我就去图书馆借了几本有关于近世代数的资料书，又在网上找了一些资料和习题看一下。

刚开始以为我真的学不好的近世代数，上课也不怎么能听懂的近世代数，我竟然可以读懂了很多，老师布置的作业题也会做了。

我感觉学习近世代数没有想象中的那么困难，可能是因为我找到了学习近世代数的方法了吧。

近世代数课程总结学习资料

近世代数课程总结学习资料近世代数基础Ⅱ学习报告现代数学现代数学的主要研究方向为结构数学,结构反映事物构成部分之间的关系，部分与整体的关系,或几种事物间的相互组成联系。

现代数学的基础是集合，在集合上附加代数结构、分析结构和拓扑结构或集合结构得到数学的各种分支。

本门课程的主要学习内容就是以集合理论为基础而逐步展开的。

群论是在集合上赋予运算法则，形成群、环、域等基本的运算系统；流形同样是在集合上赋予相应的结构而形成具有独特性质的数学研究对象。

这些抽象的理论往往会在实际系统中得到应用，用集合的思想去解决问题往往会提升效率。

一抽象代数1.1 群定义群是特殊的集合，它是一个包含了二元运算法则并满足一定条件的集合。

一般说来，群G是指对于某种运算法则满足以下四个条件的集合：(1)封闭性：若,a b G，则存在唯一确定的c G使得a b c；(2)结合律成立：任意,,a b c a b c；a b c G，有()()(3)单位元存在：存在e G对任意a G，满足a e e a a；(4)逆元存在：对任意a G，存在唯一确定的b G使得a b b a e；若群还满足交换律，则成为交换群或者阿贝尔群。

若群G中元素个数有限，则G为有限群；否则称为无限群。

有限群的元素个数称为有限群的阶。

子群对于群G，若集合H G对于群G上定义的二元运算构成一个群，则称H是G的子群，记做H G。

小结在群论的研究中，我们需要关心的是个元素之间的运算关系，即群的结构，而不用去管某个元素的具体含义是什么。

1.2 环当在一个集合上附加两种代数运算，而这两种运算是有机集合，可得到所谓的环。

定义设R是一个非空集合，其上定义了两种二元运算，通常表示为加法+和乘法，R是交换群若(1) (,)(2) (,)R是半群(3) 乘法对加法满足分配律则称R为一个环。

环也是一种群。

子环环R的一个非空子集S，若对于R的两种运算构成一个环，则称S 为R的子环。

整环设R为含单位的环，且10。

近世代数群论总结

近世代数群论总结近世代数群论是一门研究近世数理结构的领域。

它涉及到各类数学结构，包括但不限于集、群、域、环、模、同余类和余弦类。

它是数论学科的重要组成部分，是20世纪有关近世代数的U-结构理论的发展的基础。

在本文中，我们将重点介绍近世代数群论的主要思想、发展现状、应用以及未来的发展方向。

近世代数群论的核心是发现和深入分析数的结构，并且把它们放在一种数学框架中，以实现更好的理解和整理。

在这个领域中，代数结构（如群、域、环、模等）是一些最重要的概念，也是数学家们最关注的研究方向，因为它们不仅独立地表示了数学结构本身，而且也可以用来描述数学物体（如群、域等）之间的关系，帮助我们更好地理解它们。

例如，群论可以用来描述群的结构，从而帮助数学家们了解群之间的关系，还能够帮助我们明确群中的元素之间的关系。

近世代数群论发展至今，已取得很多突破性的成果。

如果说20世纪的U-结构理论是近世代数群论的基础，那么21世纪已经取得了大量新发现，如环理论和结构理论、几何代数、结构论和表示论等。

这些新发现使近世代数群论得到了极大的拓展，使它可以用来解决更多复杂的问题。

另外，在近世代数群论的包含的范围持续扩大，这些新的领域又把新的层次带入了这一领域，使得其发展更加丰富和多样。

在应用方面，近世代数群论在数学和计算机科学领域都有广泛的应用。

在数学领域，它为解决复杂数学问题，如代数方程，提供了有效的方法和理论；在计算机科学领域，它可以用来支持复杂的计算，如网络监督、密码学和密码学安全性等。

此外，近世代数群论还可以用于更广泛的领域，如统计学、生物统计学、物理学等。

未来，近世代数群论的发展前景是非常可观的，尤其在解决当下数学和计算机科学问题的过程中，这一理论的作用将会越来越明显。

例如，在网络监督方面，随着近世代数在密码学安全性方面的发展，可以更好地实现网络安全性的目标；在生物统计学方面，近世代数群论可以提高统计分析的准确性，从而使我们更有效地分析生物数据；同时，在物理学方面，也可以使用近世代数群论来深入分析物理结构，从而解决许多物理问题。

近世代数环的总结

近世代数环的总结
近世代数环是代数学中一个重要的分支，与群论、域论、模论等学科密切相关。

它的研究对象是带有两个运算的集合，通过这两个运算，集合中的元素可以相加、相乘，并且满足一定的运算规律。

近世代数环的研究最早可以追溯到十九世纪末二十世纪初，当时欧洲的代数学家们研究了一类带有乘法单位元的环，称为单位环。

后来，这一概念得到了进一步的推广和发展，形成了今天广义的近世代数环概念。

在近世代数环中，最重要的概念是域和交换环。

域就是一种满足加法和乘法结合律、分配律、存在加法单位元和乘法单位元、任意非零元素有乘法逆元素的近世代数环。

交换环是指满足加法和乘法交换律，同时具有单位元素的近世代数环。

除了域和交换环，近世代数环中还有很多重要的概念，比如整环、主理想整环、唯一分解整环等等。

这些概念都在代数学的各个领域中得到广泛的应用，包括数论、几何学、拓扑学等等。

除了应用领域的广泛性之外，近世代数环还具有严格的逻辑推理体系，能够较为精确地刻画数学世界的本质特征。

因此，它作为数学的一门基础学科，对整个数学体系的发展和完善都具有重要的意义。

关于学习近世代数的心得

关于学习近世代数的心得在学习了初中代数的一些内容后，对代数有了更深入的认识，但还是不能理解它的实质，也许这就是近世代数吸引我们的原因吧！下面我谈几点我个人的理解。

近世代数与我们所学的抽象代数有很大的不同。

主要表现在以下几个方面： 1、它给我们提供的运算工具是矩阵和向量。

矩阵只有一个自由变量，即所谓行列式；向量有两个自由变量，即两个向量都可取任意实数值，且两个向量的长度也相等。

2、代数中定义的元素全部属于集合，而我们所学的抽象代数中，元素则必须属于全体实数，不能属于集合。

3、代数中的运算法则遵守“四则运算”，而我们所学的抽象代数中，运算法则的遵守既没有严格的限制，又没有严格的要求，只要我们会用就可以了。

4、代数中我们学的算术是矩阵、向量、行列式，而我们所学的抽象代数中，算术是对矩阵、向量进行初等变换，将它们转化为行列式的值，但行列式的值是无法直接看出来的。

当然要搞清楚代数的基本概念，掌握它的知识结构，形成系统的知识，才能让我们更好地理解代数学科，掌握它的实质，并有效地应用于生活实际。

根据代数的知识结构，我认为要想掌握代数，首先应做到： 1、把握代数的知识结构，使每一部分的内容都能在整体结构中找到它的位置。

2、多记忆，特别是关键词、关键句子。

3、用逻辑推理得出结论。

4、根据题目的情况选择合适的解题方法。

下面，我结合几个例题谈谈对代数知识结构的理解。

（注意：以上三个例题都是基础题型）5、常用的方法有：穷举法、分析法、反证法、消去法等。

（最重要的一种方法）6、养成观察思考的良好习惯。

7、善于把握数量间的内在联系。

近世代数的主要特点之一是它没有什么严格的定义，只是通过研究若干基本的公式，以及用其他各种方法定义的基本性质来建立起来的。

因此要掌握它，就需要观察、思考，仔细观察每个定义和每个公式，弄清它们之间的区别和联系，明白各种关系。

例如对行列式的研究，就需要在头脑中仔细地构造出行列式等于0时的情形，再分析出行列式的性质，最后再讨论怎样把它们放到一起。

对现代代数的认识

对现代代数的认识高科寿通过几天的学习，我对现代代数的基本内容有了了解。

现在就内容和感想两方面谈自己的认识一．其主要内容包括以下几个方面：近世代数讲授群、环、域、模四种代数体系。

对于这些代数体系而言，都比较抽象，不好理解。

例如“群”这种代数体系，如果按照“定义－例－性质－定理”的通常模式去学习，往往只记住一些词汇，难以掌握实质。

因为那样讲定义，只说“群是一个带有运算的集合，该运算满足结合律，有幺元，任一元有逆元”，而对于为什么其中要有运算，为什么该运算要满足结合律，为什么要有幺元，为什么任一元要有逆元，大家都不清楚，只能死记。

其实，“群”有丰富的实际背景。

许多数学家说“对称即群”。

如果我们看“群的定义”时，按照“客观世界中的对称－对称变换群的定义－抽象群的定义”的顺序来学习，效果很好。

首先，从感性认识中的大量“对称”说起，再上升为理性认识，给出“对称的数学描述”；再就相对熟习的“平面图形的对称”，来尝试对其进行数学描述；再用运动的观点看“对称”，抓住“变中有不变”作为对称的本质，引出平面图形K的对称集S(K)，来描述K的对称性；然后引出任意客观事物N的对称集S(N)，来描述N 的对称性；再仔细考察由N的对称变换构成的集合S(N)，发现它不是一个普通的集合，而是一个带有运算的集合，这个运算就是“对称变换的相继实施”，而且这一运算对S(N)有封闭性、满足结合律，S(N)中有恒等变换，S(N)中每一变换在其中又都有逆变换，S(N)已经构成了一个具体的群，称为“N的对称变换群”；最后再上升到一般的抽象群。

用这种方法学习群的概念，不但使我们当堂记住了群的定义，而且对于群中运算的封闭性，对结合律，对幺元，对逆元，因其都有清晰的来源，从而学生都能有较深入的理解。

特别是，由此训练了我们透过现象看本质的素养，培养了我们主动了解问题的背景、从中提炼数学思想的素养，熏陶了我们以良好的科学态度，合理地提出新概念的素养。

1.集合与映射定义了集合、映射，定义了代数运算、代数同态及代数同构，定义了代数运算的运算规则（结合律、交换律、分配率）。

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