大学物理-球贝塞尔函数 双曲贝塞尔函数
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在线性势中，薛定谔方程可以简化为 w'' zw 0 ——艾里函数
其中 w = w(z) 是约化的波函数。
作变换：
t z3/2 , y(t) 1 w(z)
(25)
z
艾里方程变为
t2
d2y dt 2
t
dy dt
2t 3
2
1 3
2
0
(26)
再令
2t x
3
艾里方程就化为 1/3 阶虚宗量贝塞尔方程，即
该方程也可在笛卡尔坐标系下分离变量。考虑其中的一个
特解——沿 z 轴正方向传播的平面波 eikz = e ikrcos 。作为 方程 (8-3-1) 的一个特解，它能用球面波展开成式 (15) 的 形式。 由于它有绕 z 轴转动的对称性，不依赖于方位角
，因此展开式中只有 m = 0 的项，从而使球函数 Yl m ( ,) 退化为勒让德多项式。所以，有
(9)
jl (x) 称为球贝塞尔函数。
半整数阶球贝塞尔函数可用三角函数表示，例如
j0
(
x)
sin x
x
j1 ( x)
sin x x2
cos x
x
j2 (x)
3 x3
1 x
sin
x
3 x2
cos
x
(10)
由于 阶贝塞尔方程的独立解既可取作 J− (x) ，也可取为 N (x)。当 = l+1/2 为半整数时，两者仅相差一个正负号。
eikrcos Al jl (kr)Pl (cos )
(16)
l0
利用勒让德多项式的正交归一性，可求得展开系数
Al (2l 1)il
由此得到
eikrcos (2l 1) il jl (kr)Pl (cos )
(17)
l0
(三) 双曲贝塞尔函数 在很多问题中会用到虚宗量的贝塞尔函数。正像虚
(11)
上式称为 l 阶球诺依曼函数。头几个球诺依曼函数为：
n0
(
x)
cos x
x
n1 ( x)
cos x2
x
sin x
x
n2 (x)
3 x3
1 x
cos
x
3 x2
sin
x
(12)
代替球贝塞尔函数和球诺依曼函数，可以取球汉克尔函
数作为方程 (6) 的两个线性独立解。它们的定义是
h(1) l
(x)
事实上，由诺依曼函数的定义，可得到
Nl1/ 2
Jl1/2 (x) cos(l 1/ 2) sin(l 1/ 2)
J(l1/ 2) ( x)
(1)l1 J(l1/ 2) (x)
然后利用式 (5)，还原为原变量，并乘以 ，这样得
2kr
到方程 (3) 的另一个独立解
nl (kr) (1)l1
2kr J(l1/ 2) (kr)
R(x) x1/ 2[c1Jl1/ 2 (x) c2 Jl1/ 2 (x)]
(7)
在 x = 0 处的有限解为
R(x) c1x1/ 2 Jl1/ 2 (x)
(8)
利用式 (5) 将上式换回到原来的变量，并令 c1 / 2 ，得
到球贝塞尔方程的有限解
Rl (r) jl (kr) 2kr Jl1/2 (kr)
宗量的三角函数称为双曲函数一样，虚宗量的贝塞尔函 数称为双曲贝塞尔函数。
双曲函数
1. 第一类和第二类双曲贝塞尔函数 第一类和第二类双曲贝塞尔函数的定义分别为
(18) (19)
它们是在贝塞尔方程 (9-1-1) 中作代换 x = iz 得到的方程
z2
d2y dz 2
z
dy dz
(z2
m2 ) y
0
(20)
jl (x) i nl (x)
h(2) l
(x)
jl (x) i nl (x)
(13)
头几个球汉克尔函数为：
h(1) 0
(x)
i
ei x x
h(2) 0
(
x)
i
ei x
x
h(1) 1
(
x)
i x2
1 x
ei
x
h(1) 2
(
x)
3i x3
3 x2
i x
ei
x
h1(2) (x)
i x2
1 x
的解。
由贝塞尔函数和诺依曼函数的渐近表达式得到 Im 和 Km 的渐进表达式：
(21)
(22) Im 和 Km 有多种不同的积分表达式：
(23)
(24)
2. 艾里函数 (Airy function) 在量子力学一维问题中，将势能曲线和总能量的交
点称为“经典转折点”。在经典转折点 a 的小区间内， 可以将势能 U(x) 作泰勒展开，只保留第一项，得到线性 势 U(x) − U(a) = F ∙ (x − a)。
(3)
dr dr
T '' c2k 2T 0
(4)
方程 (3) 与贝塞尔方程 (9-1-1) 有些相似，希望把它化
为贝塞尔方程的标准形式。为此，作自变量的变换
xkr
(5)
于是得到方程
x2R '' 2xR ' [x2 l(l 1)]R 0
(6)
方程 (6) 就是§7–4 例1中求解过的球贝塞尔方程，它的 通解可用半整数阶的贝塞尔函数表示，即
e
i
x
(14)
h2(2) (x)
3i x3
3 x2
i x
e
i
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(二) 平面波用球面波展开
球面波的径向传播函数
R(r)
可以写成
h(1) l
(kr
)
和
hl(2) (kr)
的线性组合，也可以写成 jl (kr) 和 nl (kr) 的线性组合。注
意到 jl (kr) 在 r = 0 收敛，而 nl (kr) 在 r = 0 发散。因此，
x2
d2y dx2
x
dy dx
x2
1 3
2
0
(27)
它的两个线性独立解是 K1/3 和 (A I1/3 + B I−1/3)。由此得到 艾里方程的两个线性独立解
(28)
(29)
Re[Ai(z)] 的图像
Im[Ai(z)] 的图像
Re[Bi(z)] 的图像
Im[Bi(z)] 的图像
§9–3 球贝塞尔函数双曲贝塞尔函数
(一) 球面波的径向传播 在§8–3 中研究三维球面电磁波的传播时，仅讨论了球
面波的角向分布。现在来讨论径向传播问题。 决定球面波径向传播的方程 (参见 8-3-4) 为
(1)
分离变量，令 (2)
将式 (2) 代入式 (1) ，得到以下两个常微分方程：
d (r2 dR ) k 2r2R l(l 1)R
如果 r = 0，则在所讨论的区域之内， nl (kr) 的系数为零，
只剩下 jl (kr) 。将它和后面的式 (16) 一起代入式 (3)，得到
三维波动方程 (1) 的解的空间部分
l
u(r, ,)
Al m jl (kr)Yl m ( ,)
(15)
l0 ml
式 (15) 是将方程 (1) 在球坐标系下分离变量得到的解。
其中 w = w(z) 是约化的波函数。
作变换：
t z3/2 , y(t) 1 w(z)
(25)
z
艾里方程变为
t2
d2y dt 2
t
dy dt
2t 3
2
1 3
2
0
(26)
再令
2t x
3
艾里方程就化为 1/3 阶虚宗量贝塞尔方程，即
该方程也可在笛卡尔坐标系下分离变量。考虑其中的一个
特解——沿 z 轴正方向传播的平面波 eikz = e ikrcos 。作为 方程 (8-3-1) 的一个特解，它能用球面波展开成式 (15) 的 形式。 由于它有绕 z 轴转动的对称性，不依赖于方位角
，因此展开式中只有 m = 0 的项，从而使球函数 Yl m ( ,) 退化为勒让德多项式。所以，有
(9)
jl (x) 称为球贝塞尔函数。
半整数阶球贝塞尔函数可用三角函数表示，例如
j0
(
x)
sin x
x
j1 ( x)
sin x x2
cos x
x
j2 (x)
3 x3
1 x
sin
x
3 x2
cos
x
(10)
由于 阶贝塞尔方程的独立解既可取作 J− (x) ，也可取为 N (x)。当 = l+1/2 为半整数时，两者仅相差一个正负号。
eikrcos Al jl (kr)Pl (cos )
(16)
l0
利用勒让德多项式的正交归一性，可求得展开系数
Al (2l 1)il
由此得到
eikrcos (2l 1) il jl (kr)Pl (cos )
(17)
l0
(三) 双曲贝塞尔函数 在很多问题中会用到虚宗量的贝塞尔函数。正像虚
(11)
上式称为 l 阶球诺依曼函数。头几个球诺依曼函数为：
n0
(
x)
cos x
x
n1 ( x)
cos x2
x
sin x
x
n2 (x)
3 x3
1 x
cos
x
3 x2
sin
x
(12)
代替球贝塞尔函数和球诺依曼函数，可以取球汉克尔函
数作为方程 (6) 的两个线性独立解。它们的定义是
h(1) l
(x)
事实上，由诺依曼函数的定义，可得到
Nl1/ 2
Jl1/2 (x) cos(l 1/ 2) sin(l 1/ 2)
J(l1/ 2) ( x)
(1)l1 J(l1/ 2) (x)
然后利用式 (5)，还原为原变量，并乘以 ，这样得
2kr
到方程 (3) 的另一个独立解
nl (kr) (1)l1
2kr J(l1/ 2) (kr)
R(x) x1/ 2[c1Jl1/ 2 (x) c2 Jl1/ 2 (x)]
(7)
在 x = 0 处的有限解为
R(x) c1x1/ 2 Jl1/ 2 (x)
(8)
利用式 (5) 将上式换回到原来的变量，并令 c1 / 2 ，得
到球贝塞尔方程的有限解
Rl (r) jl (kr) 2kr Jl1/2 (kr)
宗量的三角函数称为双曲函数一样，虚宗量的贝塞尔函 数称为双曲贝塞尔函数。
双曲函数
1. 第一类和第二类双曲贝塞尔函数 第一类和第二类双曲贝塞尔函数的定义分别为
(18) (19)
它们是在贝塞尔方程 (9-1-1) 中作代换 x = iz 得到的方程
z2
d2y dz 2
z
dy dz
(z2
m2 ) y
0
(20)
jl (x) i nl (x)
h(2) l
(x)
jl (x) i nl (x)
(13)
头几个球汉克尔函数为：
h(1) 0
(x)
i
ei x x
h(2) 0
(
x)
i
ei x
x
h(1) 1
(
x)
i x2
1 x
ei
x
h(1) 2
(
x)
3i x3
3 x2
i x
ei
x
h1(2) (x)
i x2
1 x
的解。
由贝塞尔函数和诺依曼函数的渐近表达式得到 Im 和 Km 的渐进表达式：
(21)
(22) Im 和 Km 有多种不同的积分表达式：
(23)
(24)
2. 艾里函数 (Airy function) 在量子力学一维问题中，将势能曲线和总能量的交
点称为“经典转折点”。在经典转折点 a 的小区间内， 可以将势能 U(x) 作泰勒展开，只保留第一项，得到线性 势 U(x) − U(a) = F ∙ (x − a)。
(3)
dr dr
T '' c2k 2T 0
(4)
方程 (3) 与贝塞尔方程 (9-1-1) 有些相似，希望把它化
为贝塞尔方程的标准形式。为此，作自变量的变换
xkr
(5)
于是得到方程
x2R '' 2xR ' [x2 l(l 1)]R 0
(6)
方程 (6) 就是§7–4 例1中求解过的球贝塞尔方程，它的 通解可用半整数阶的贝塞尔函数表示，即
e
i
x
(14)
h2(2) (x)
3i x3
3 x2
i x
e
i
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(二) 平面波用球面波展开
球面波的径向传播函数
R(r)
可以写成
h(1) l
(kr
)
和
hl(2) (kr)
的线性组合，也可以写成 jl (kr) 和 nl (kr) 的线性组合。注
意到 jl (kr) 在 r = 0 收敛，而 nl (kr) 在 r = 0 发散。因此，
x2
d2y dx2
x
dy dx
x2
1 3
2
0
(27)
它的两个线性独立解是 K1/3 和 (A I1/3 + B I−1/3)。由此得到 艾里方程的两个线性独立解
(28)
(29)
Re[Ai(z)] 的图像
Im[Ai(z)] 的图像
Re[Bi(z)] 的图像
Im[Bi(z)] 的图像
§9–3 球贝塞尔函数双曲贝塞尔函数
(一) 球面波的径向传播 在§8–3 中研究三维球面电磁波的传播时，仅讨论了球
面波的角向分布。现在来讨论径向传播问题。 决定球面波径向传播的方程 (参见 8-3-4) 为
(1)
分离变量，令 (2)
将式 (2) 代入式 (1) ，得到以下两个常微分方程：
d (r2 dR ) k 2r2R l(l 1)R
如果 r = 0，则在所讨论的区域之内， nl (kr) 的系数为零，
只剩下 jl (kr) 。将它和后面的式 (16) 一起代入式 (3)，得到
三维波动方程 (1) 的解的空间部分
l
u(r, ,)
Al m jl (kr)Yl m ( ,)
(15)
l0 ml
式 (15) 是将方程 (1) 在球坐标系下分离变量得到的解。