2.2画法几何_直线全解

平行两直线
V d B c a C D
b c a
d
b
b
A a c
d H
b a
c
d
AB:CD = ab:cd = a b : c d = a b : c d
b d a c b c a d d
b a c
c a d a d
c
b a
b
d b c
∴ AB ⊥ 平面 AacC
有 AB ⊥ ac 又 AB ∥ ab 故 ab ⊥ ac
H
直角投影定理： 空间互相垂直的两直线之一平行于某投影面时，则两 直线在该投影面上的投影必定互相垂直。
★ 垂直两直线之一平行于某投影面
A
B
C a c b
H
两 直 线 空间垂直
两 直 线 之 一 平行于该投影面
两 直 线 投影垂直
b k
a X O
b k a
2.2.4 一般位置直线的实长和倾角
问题的引出
实长和倾角的概念
V
实长AB
b
Z
实长：空间线段的
真实长度。
倾角：空间直线与
a
B
b
W
投影面的夹角。 对H面的倾角 α 对V面的倾角 β 对W面的倾角 γ
X A
β
α
γ
O
a
b Y
Ha
问题的引出
特殊位置直线的实长和倾角
W
实长
a(b) b
AB a
X
O
b
X a Y AB b
实长
H
O
YW
α＝ 0° β＝ 90° γ＝ 0°
a YH
投影面垂直线
V
侧垂线
Z
AB a(b) a b a(b)
实长
a A b B
Z
W
X a
H
O b X Y O a AB YH YW
实长
b
α＝ 0° β＝ 0° γ＝ 90°

AM:MB = am:mb = a m : m b = a m : m b
例：判断点K是否在直线AB上。
b k
a
k b a
例：判断点K是否在直线AB上。
b
a k
k
a
b
例：判断点K是否在直线AB上。
a k a k
b a
b
k b
例：已知点K在直线AB上，求点K的水平投影。
YH
直线投影：两点的同面投影相连（粗实线）
2.2.1 直线的三面投影
Z
V
Z
b b
W
b B a

b

O
X
实长
A
H
b
a
a X b Y a O
a YW
a
实长: 空间线段的实际长度 AB 倾角: 空间直线和投影面的夹角 α、β、γ
YH
2.2.1 直线的三面投影
Z
V
Z
b b
W
b B a
a c c
a
b
d
c a b d
d
b
a c b d a c c
a
α1 α2
d
b
b
d
相交两直线
d
V a c c a C A k k d b
b k
B
D
a c c b
H
K
b d
k
a
空间两直线相交 三对同面 投影都相交，且交点连线符合点 的投影规律。
d
投影面垂直线
V
侧垂线
Z
AB a(b) a b a(b)
实长
a A b B
Z
W
X a
H
O b X Y O a AB YH YW
实长
b
投影面垂直线的投影特性：
在所垂直的投影面上的投影积聚为一点 另两个投影垂直于相应的投影轴，并反映
线段的实长
直线的投影特性比较
b
Z
b
a
X O
a
YW
一般位置直线
a
三个投影均为倾斜 线,均不反映线段 的实长和倾角。
b
YH
直线的投影特性比较
Z
a
b
a
b
X
O
YW
a
投影面平行线
β
γ
实长
b
YH
一个投影为倾斜线, 反映线段的实长及 两倾角；两个投影 平行于投影轴。
直线的投影特性比较
Z
实长
a
b
a (b )
X
O
YW
投影面垂直线
a
实长
b
两个投影垂直于投 影轴,反映线段的实 长及倾角；一个投 影积聚为一点。
YH
例：判断下列直线的位置，可能时标出实长和倾角
实长
γ
实长
α
一般位置线
正平线
侧垂线
例：判断下列直线的位置，可能时标出实长和倾角
实长
α
β
实长
铅垂线
侧平线
侧平线
2.2.3 直线上的点
Z
V
b
m
a X a A M
B
b
mW
b O
m
H
a
Y
若点在直线上， 则点的投影必在直线 的同面投影上。
若点将直线分为两段，则两段的实长之比等于其投影长度 之比。
a
b
YH
投影面平行线
Z
V
侧平线
Z
a a AB

W
a
A

a

实长
b
X a
H
O B b

b b Y X O

b YW
a
投影面平行线的投影特性：
在所平行的投影面上的投影倾斜于投影轴，
b YH
并反映线段的实长和对另外两投影面的倾角
另两个投影平行于相应的投影轴
投影面垂直线
投影面垂直线
a Y
a
YH
一般位置直线：投影图不能直接反映实长和倾角。
直角三角形法
直角三角形法求实长及α
b B ⊿Z B1 b AB ⊿Z α ab a ax AB bx
A
a
α
AB1=ab BB1=⊿Z
直角三角形法
直角三角形法求实长及α
b
AB
⊿Z
a
√
b
α ab
√
a α
⊿Z
AB
直角三角形法
直角三角形法求实长及β
垂直于某一投影面的直线。

铅垂线（⊥H） 正垂线（⊥V）

侧垂线（⊥W）
投影面垂直线
V 实长
铅垂线
Z
Z a A b a
W
实长
a
a
AB
X
B a(b)
H
O
b X Y
AB
b O
b YW
a(b)
α＝ 90° β＝ 0° γ＝ 0°
YH
投影面垂直线
Z
V
正垂线
Z
a(b) B A b a
a k a k
b a k
b
b
例：已知点K在直线AB上，求点K的水平投影。
a
√
k b a
√
k
b
例：在直线AB上定出一点K，使其距H面距离为20。
b k a
a k b
20
例：在直线AB上定出一点K，使其Z坐标为0。
b
a k
k
a
b
例：已知点K把直线AB分为1∶2的两段，求点K的投影。
b B a ax A1 ⊿Y A a α b AB AB ⊿Y β
bx
A1B = a b AA1 = ⊿Y
a b
β
直角三角形法
直角三角形法求实长及β
b β
⊿Y
AB
√
a
β
√
⊿Y
b
AB
a
直角三角形法
直角三角形法四要素
V
b B a β A1 ⊿Y A a AB α ⊿Z bx
倾 角 投影长 坐标差 实 长

b

O
X
b
A
H
a
a X b Y O
a YW
a
a b ＝ AB·cosα a b ＝ AB·cosβ a b ＝ AB·cosγ
a YH
2.2.2 各种位置直线的投影
A
A B
A

H
积聚为点
B
B
b
H
a
b
H
a
a(b)
反映实长
一般位置直线
Z
V
Z
b b
W
b B a

b

O
b
a
⊿Z
√
α
ab
倾 角 投影长 坐标差 实 长
α√ β
ab AB
γ
a b a b AB AB
a
⊿Z √ ⊿Y ⊿X
√
b
例：已知直线AB的β 角，并知其正面投影及A点的水平投 影，求作AB的水平投影。
β
b
⊿Y
a b
⊿Y
倾 角 投影长 坐标差 实 长
α
ab AB
β√ γ
a b√ a b AB AB
AB√ AB
√
b
例：已知直线AB的实长为30，并知其正面投影及A点的水 平投影，求作AB的水平投影。
β
b
⊿Y
a b
⊿Y
倾 角 投影长 坐标差 实 长
α
ab AB
β
γ
a b√ a b AB√ AB
a
⊿Z ⊿Y ⊿X
例：已知直线AB的α 角，并知其正面投影及A点的水平投 影，求作AB的水平投影。
Z
V
实长

b B

V 实长
Z a A a
W
实长
b
W
a X
b X B a(b)
H
O b
A a
H
a
O
b
Y
Y
特殊位置直线：投影图可直接反映实长和倾角。
问题的引出
一般位置直线的实长和倾角
Z
V
Z
b
b
实长AB
a
b B
α1
b
W
a X
α1
b O
a YW
β
X
A
H
α
γ
O b
a
C A c a
B
b
H
空间互相垂直的两直线同时平行于某投影面时，则在 该投影面上的投影仍然互相垂直。
垂直两直线都不平行于某投影面
A1 C B
A c
a1
a
b
H
空间互相垂直的两直线的都不平行于某投影面时，则 在该投影面上的投影必不互相垂直。
★ 垂直两直线之一平行于某投影面
A
B
C a c b
∵ AB ⊥ AC AB ⊥ Aa

水平线（∥H） 正平线（∥V）

侧平线（∥W）
投影面平行线
Z
V
水平线
Z
a A X a
H
b

a B O
W
a
b
a
b
Hale Waihona Puke Baidub
X O YW


b Y
a

实长
AB
b YH
投影面平行线
Z
V
正平线
Z
实长

b B

b
W
AB


b
b
a X
O b
A a
H
a X Y
a
a O YW
a
1(2 ) d
b
b
1 3 d
c 1(3)
a d
b
例 过C点作线段CD平行于AB，且CD实长为25mm。
d
e
b
a b
c
d
a c
25mm
e
例 作一线段MN和AB、CD相交，且平行于EF。
a m e n
c
f b
d
d
f e
m
a(b) c
n
垂直两直线的投影
垂直两直线都平行于某投影面
X
b
A
H
a
a X b Y a YH O
a YW
a
一般位置直线
对三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
Z
V
Z
b b
W
b B a

b

O
X
b
A
H
a
a X b Y O
a YW
a
投影特性：
三个投影均倾斜于投影轴 均不反映实长和倾角
a YH
投影面平行线
投影面平行线
平行于某一投影面，倾斜于另外两个投影面的直线。
b
⊿Z ab A α＝30° β＝45° a b ⊿Y ⊿Y ⊿Z
a b
B
a
2.2.5 两直线的相对位置
平 行
相 交
交 叉 垂 直
共面 异面
平行两直线
V d B c a C D
b c a
d
b
b
A a c
d H
b a
c
d
空间两直线平行 三对同面投影都平行。 平行两线段的投影长度之比等于其实长之比。
a
⊿Z ⊿Y ⊿X
例：求平行四边形ABCD的实形。
AB
b
⊿Z
c
a a
AD
d
b
A
B
C
D
d
BD
c
⊿Z
思考题：已知直线AB的实长为L，并知其α 角为30°，β 角为 45°，求作其正面投影及水平投影。有几解？作出一解。
B
√ L
A
⊿Z
α√
a
ab
B L
√
⊿Y
β√
a
A
a b
思考题：已知直线AB的实长为L，并知其α 角为30°，β 角为 45°，求作其正面投影及水平投影。有几解？作出一解。
交叉二直线的三对投影不可能对对平行，至
少有一对相交；
—— 和平行的区别
如果有两对或三对投影相交，则交点连线不
符合点的投影规律。
—— 和相交的区别
交叉两直线
V 1 (2 ) a c A a d b
判断重影点的可见性
d 1 ( 2 )
B D
b
a c b
Ⅱ Ⅰ
2 C 1
★ 垂直两直线之一平行于某投影面
A a b
B c
C a c b X a O
H
c 两 直 线 空间垂直 两 直 线 投影垂直 b
两 直 线 之 一 平行于该投影面
★ 垂直两直线之一平行于某投影面
γ
a b ⊿X AB
ax
b
直角三角形法四要素中，已知任意两个，即可确定另外两个。
直角三角形法应用举例
例：已知直线AB的实长为30，并知其正面投影及A点的水 平投影，求作AB的水平投影。
b
a
⊿Z
√
α
ab
倾 角 投影长 坐标差 实 长
α
ab
β
γ
a b a b AB
a
√ ⊿Y ⊿X ⊿Z
H AB
α
ab ⊿Z AB
β
a b ⊿Y AB
γ
a b ⊿X AB
AB
ax
b
⊿X ⊿Z α ⊿Y β
ab
a b
a b γ
直角三角形法
直角三角形法四要素
V
b B a β A1 ⊿Y A a α ⊿Z bx
倾 角 投影长 坐标差 实 长
H
α
ab ⊿Z AB
β
a b ⊿Y AB
b
d H
2
d a c 1
c
既不平行又不相交的二直线称为交叉二直线。
交叉两直线
判断重影点的可见性
V b
c
1 2
3 ( 4 )
b d
c a
1 2 C
3 ( 4 )
Ⅰ Ⅱ
Ⅳ
d
D B
Ⅲ
4 d 3 b
a
A a
c 1( 2 )
H
a c 1( 2 ) 4 3 b d
a
c
c 2
d k a c a c k d
b a
d
b k
c
b
a
c
c k b b d
a
k
d
c
k a d
b
交叉两直线
d
V d b a B D
b
a c b
c A a C
b
d H
c
d a c
既不平行又不相交的二直线称为交叉二直线。
交叉两直线
两直线交叉的投影特性：
2.2 直线


2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
直线的三面投影 各种位置直线的投影 直线上的点 一般位置直线的实长和倾角 两直线的相对位置
2.2.1 直线的三面投影
Z
V
Z
b b
W
b B a O b
b
X
A
H
a
a X b Y a O
a YW
a
两点确定一条直线