随机过程(六)更新过程的推广

第三节更新过程的推广

一、交错更新过程

考虑一个系统，它有两个状态：开或关，最初它是开的且持续开的时间为Z1；而后关闭且持续关闭的时间为Y1，之后又打开，时间为Z2；又关闭，时间为Y2，再打开等等。

Z Y n 独立同分布，因此{Z n}和{Y n}都是独立同分假设随机变量(,),1

n n

布，但允许Z n和Y n是相依的（什么含义）。

定理：设H是Z n的分布，G是Y n的分布，而F是Z n+Y n的分布，令

()P t =P(时刻t 系统是开的)

设()n n E Y Z +<∞，且F 不是格点的，则

()

lim ()()()

n t n n E Z P t E Y E Z →∞

=

+

证明：对第一次更新的时刻111X Z Y =+取条件概率得

P(时刻t 系统是开的|X 1=x)=111(|)()P Z t Z Y t x t

P t x x t >+>≥⎧⎨-<⎩

则

10

10

()(|)()

()()()

1()()()

t

t

P t P t X x dF x P Z t P t x dF x H t P t x dF x ∞

===>+-=-+-⎰⎰⎰时刻系统开着

方程（）的解为

0()1()(1())()t

P t H t H t x dM x =-+--⎰

由于

10

(1())()H t dt E Z ∞

-=<∞⎰

且1()H t -非负不增，由关键更新定理得

11111(1())

()

lim ()()

()

t H t E Z P t E Y Z E Y Z ∞

→∞

-=

=

++⎰

交错更新定理的应用

例：()1()1()N t N t N t X S S ++=-表示包含点t 的更新区间的长度，求()1N t X +的极限分布

解：设一个开－关循环对应于一个更新区间，且如果整个循环时间大于x ，就说整个循环是开的，否则开着的时间就是0，即此系统在一个循环期中或者全开，或者全关着。注意到

()1()(t x)()

N t P X x P P t +>==包含的更新长度大于 时刻开着

由交错更新定理知，若F 不是格点的，有

()1()

lim ()(|)()

()/N t t x

E P X x E X X x P X x yd

F y μ

μ

μ

+→∞

∞>=

>>=

=⎰循环的开时

等价地有

()10lim ()()/x

N t t P X x ydF y μ+→∞

≤=⎰

例：假设顾客按一更新过程来到一家出售单一品种商品地商店，来到的间隔分布F 是非格点的。顾客的需求量假定是独立的，具有共同的分布G 。商店使用如下的订货策略：若在为一个顾客服务后的存货量低于s ，则立即订货使之达到S ，否则不订货。于是若为一顾客服务后存货量为x ，则订货量为

,0S x x s

x s

-<≥

且假定订货瞬间即被补足。设()X t 为时刻t 的存货量，求()1N t X +的极限分布。

解：设(0)X S =，如果存货量为x 时，我们说系统是开的。否则是关的。这是一个交错更新过程，因此

(x )

lim (())E()

t E P X t x →∞

≥≥=

在一个循环中存货量的时间一个循环的时间

现在如果我们以12,,...Y Y 为相继来到的顾客的需求量且设

1min(:)x n N n Y Y S x =+⋅⋅⋅+>-

那么正是这个循环中第x N 个顾客使得存货量降到x 以下，也正是第x N 个顾客结束这个循环。因此，若记(1)i X i ≥为顾客来到的时间间隔，则

在一个循环中“开”的时间＝1x

N i i X =∑

一个循环的时间＝1

s

N i i X =∑

假定来到间隔与需求量独立，于是取期望得

11()

lim (())()

x

s

N i

i x N t s i

i X E N P X t x E N X

=→∞

=≥=

=

∑∑ 由于1x N -可以看作一个更新过程（为什么），因此由wald 等式有

()()1()()1

x G s G E N M S x E N M S s =-+=-+

其中1()G i i M G t ∞

==∑，因此

1()

lim (())1()

G t G M S x P X t x M S s →∞

+-≥=

+-

延迟更新过程

设1X 服从分布G ，23,,...X X 独立同分布，分布F ，且与X 1独立，令00S =，

1

,1n

n i i S X n ==≥∑，且定义

()sup{:}D n N t n S t =≤

则称随机过程{(),0}D N t t ≥延迟更新过程。 对于延迟更新过程，类似的有

11(())()() ()()

D n n n n P N t n P S t P S t G F t G F t +-==≤-≤=*-*