随机过程(六)更新过程的推广

第三节更新过程的推广一、交错更新过程考虑一个系统，它有两个状态：开或关，最初它是开的且持续开的时间为Z1；而后关闭且持续关闭的时间为Y1，之后又打开，时间为Z2；又关闭，时间为Y2，再打开等等。

Z Y n 独立同分布，因此{Z n}和{Y n}都是独立同分假设随机变量(,),1n n布，但允许Z n和Y n是相依的（什么含义）。

定理：设H是Z n的分布，G是Y n的分布，而F是Z n+Y n的分布，令()P t =P(时刻t 系统是开的)设()n n E Y Z +<∞，且F 不是格点的，则()lim ()()()n t n n E Z P t E Y E Z →∞=+证明：对第一次更新的时刻111X Z Y =+取条件概率得P(时刻t 系统是开的|X 1=x)=111(|)()P Z t Z Y t x tP t x x t >+>≥⎧⎨-<⎩则1010()(|)()()()()1()()()ttP t P t X x dF x P Z t P t x dF x H t P t x dF x ∞===>+-=-+-⎰⎰⎰时刻系统开着方程（）的解为0()1()(1())()tP t H t H t x dM x =-+--⎰由于10(1())()H t dt E Z ∞-=<∞⎰且1()H t -非负不增，由关键更新定理得11111(1())()lim ()()()t H t E Z P t E Y Z E Y Z ∞→∞-==++⎰交错更新定理的应用例：()1()1()N t N t N t X S S ++=-表示包含点t 的更新区间的长度，求()1N t X +的极限分布解：设一个开－关循环对应于一个更新区间，且如果整个循环时间大于x ，就说整个循环是开的，否则开着的时间就是0，即此系统在一个循环期中或者全开，或者全关着。

注意到()1()(t x)()N t P X x P P t +>==包含的更新长度大于 时刻开着由交错更新定理知，若F 不是格点的，有()1()lim ()(|)()()/N t t xE P X x E X X x P X x ydF y μμμ+→∞∞>=>>==⎰循环的开时等价地有()10lim ()()/xN t t P X x ydF y μ+→∞≤=⎰例：假设顾客按一更新过程来到一家出售单一品种商品地商店，来到的间隔分布F 是非格点的。

顾客的需求量假定是独立的，具有共同的分布G 。

商店使用如下的订货策略：若在为一个顾客服务后的存货量低于s ，则立即订货使之达到S ，否则不订货。

于是若为一顾客服务后存货量为x ，则订货量为,0S x x sx s-<≥且假定订货瞬间即被补足。

设()X t 为时刻t 的存货量，求()1N t X +的极限分布。

解：设(0)X S =，如果存货量为x 时，我们说系统是开的。

否则是关的。

这是一个交错更新过程，因此(x )lim (())E()t E P X t x →∞≥≥=在一个循环中存货量的时间一个循环的时间现在如果我们以12,,...Y Y 为相继来到的顾客的需求量且设1min(:)x n N n Y Y S x =+⋅⋅⋅+>-那么正是这个循环中第x N 个顾客使得存货量降到x 以下，也正是第x N 个顾客结束这个循环。

因此，若记(1)i X i ≥为顾客来到的时间间隔，则在一个循环中“开”的时间＝1xN i i X =∑一个循环的时间＝1sN i i X =∑假定来到间隔与需求量独立，于是取期望得11()lim (())()xsN ii x N t s ii X E N P X t x E N X=→∞=≥==∑∑ 由于1x N -可以看作一个更新过程（为什么），因此由wald 等式有()()1()()1x G s G E N M S x E N M S s =-+=-+其中1()G i i M G t ∞==∑，因此1()lim (())1()G t G M S x P X t x M S s →∞+-≥=+-延迟更新过程设1X 服从分布G ，23,,...X X 独立同分布，分布F ，且与X 1独立，令00S =，1,1nn i i S X n ==≥∑，且定义()sup{:}D n N t n S t =≤则称随机过程{(),0}D N t t ≥延迟更新过程。

对于延迟更新过程，类似的有11(())()() ()()D n n n n P N t n P S t P S t G F t G F t +-==≤-≤=*-*令()(())D D M t E N t =，则容易证明11()*()D n n M t G F t ∞-==∑对于延迟更新过程，也有与更新过程类似的极限定理 定理：令0()xdF x μ∞=⎰（1）()1,..D N t a s t μ→ （2）()1,..D M t a s t μ→（3）若F 不是格点的，则()()D aM t a M a μ+-→（4）若F 与G 是格点的，周期为d ，则lim (nd )n dE μ→∞=时刻的更新次数（5）若F 不是格点的，，设函数(),[0,]h t t ∈∞满足 （1）()h t 非负不增； （2）0()h t dt ∞<∞⎰则()()()/D h t x dM x h t dt μ∞∞-→⎰⎰更新回报过程 设()1()N t i i R t R ==∑其中{(),0}N t t ≥是一个更新过程，,1,2,...n R n =独立同分布，但允许n R 可以依赖于n X ，所以我们假定(,)n n X R 独立同分布，则称{(),0}R t t ≥是一个更新回报过程定理：若更新间隔12,,...,X X 满足1EX <∞，每次得到得回报{}n R 满足1ER <∞，则（1）111lim (),..t ER R t a s t EX →∞=（2）[]111lim ()t ER E R t t EX →∞=证明：（1）()()11()()()N t N t i ii i R RR t N t ttN t t====∑∑由强大数定理知，当t →∞时()1(),..()N t ii RE R a s N t =→∑又由更新过程的极限性质知()1..()N t a s t E X →于是（1）得证 （2）由wald 等式知()()1()1()111()()()(()1)()()N t N t i i N t N t i i E R E R E R M t E R E R +++===-=+-∑∑从而[]()1()()()1()N t E R E R t M t E R tt t++=- 若能证明()1()/0N t E R t +→，则由基本更新定理可证（2）成立。

令()1()()N t g t E R +=，对第一次更新的时刻取条件得1()1(|)()N t x R x t E R X x g t x x t->⎧==⎨-≤⎩ 因此1110()(|)()()()tg t E R X t P X t g t x dF x =>>+-⎰令11()(|)(1())h t E R X t F s =>-＝11(|)()t E R X x dF x ∞=⎰这是一个更新方程0()()()()tg t h t h t s dM s =+-⎰由于()1()11(|0)(|)N t N t E R S E R X t +==>()1()1(|)(|)(())N t N t n n n E R S s E R X t s P N t n ∞+===>-=∑若令11()(|)(1())h t E R X t F s =>-＝11(|)()t E R X x dF x ∞=⎰注意到110(||)(|||)()E R E R X x dF x ∞==<∞⎰得()0h t →且1()(||),h t E R t ≤∀于是可选取T 使得|()|h t ε<对任何t T ≥成立，由初等更新定理得01()()()()()()()()()||,()t Tt T g t h t h t x h t x dM x dM x t t t tM t T M t M t T E R t t t t E X εεε-∞---≤++---≤++→→∞⎰⎰因为ε可任意小，所以()/0g t t →，例：（产品保修策略）设某公司所出售商品采取如下更换策略，若商品出售后，在期限w 内损坏，则免费更换同样的产品。

若在(,]w w T +期间损坏，则按使用时间折价更换新产品，并且对在(0,]w 内更换的新产品执行原来的更换期，而对在(,]w w T +内折价更换的新产品，从更新时刻重新计算更换期。

请讨论长期执行此策略，厂家的期望利润是多少，假定产品一旦损坏，顾客立即更换。

退换或者购买新的？解：设0t =时用户购买了一个新产品，售价为c ，成本为c 0<c ，产品的寿命为X ，它的分布为()F t ，EX μ=<∞。

设用户相邻两次购买（包括全价购买和更换，但不包括免费更换）的时间间隔为12,,...Y Y 。

容易求出12,,...Y Y 独立同分布，记()G t 为Y 的分布 记N(t)为（0，t ）时的更换次数，T 为第n 次更新时刻由Y 1的定义知，1w Y w R =+（w R 是产品在w 时刻的剩余寿命） 依题意，更换策略为0()y w c y w y wT≤⎧⎪⎨->⎪⎩其中y 为使用时间。

设1(0,]Y 内用户花费为c 1，则1111()c Y w T c c Y w w Y w T T>+⎧⎪=⎨-<<+⎪⎩从而，1(1())()(1())w TwcEc c G w T t w d G t T+=-+---⎰利用分部积分10()()TTw c cEc G w x dx P R x TT=+=>⎰⎰其中1()()G t P Y t =>， 于是011()(,)(1())Tw c P R x dxEc c w T EY T M t μ>==+⎰长期平均费用＝ 在(0,w)时间内免费更换产品的个数的期望值为(())()E N w M w = 因此，在一个购买周期1(0,]Y 内公司所付成本为0[()1]c M w +，公司从每个用户所得的长期平均利润为00(1())(,)(,)(1())c M w c c w T c w T M w μμ+-=-+例：假设乘客按照一个更新过程来到火车站，其平均来到时间间隔为μ。