留数
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计算留数的方法
计算留数的方法一、留数的概念。
1.1 留数啊，就像是函数在孤立奇点周围的一个小秘密。
它反映了函数在这个奇点附近的一种特殊性质。
想象一下，函数就像一个复杂的迷宫，而孤立奇点就是迷宫里的特殊点，留数就是这个特殊点周围隐藏的小线索。
1.2 从数学定义来讲，对于一个以孤立奇点为中心的洛朗级数展开式，留数就是这个展开式中负一次幂项的系数。
这就好比在一堆数字和式子组成的宝藏里，我们专门挑出那一个特别的系数当作留数。
二、计算留数的常见方法。
2.1 可去奇点处的留数。
对于可去奇点，这是一种比较温和的奇点类型。
就像一个小坎坷，很容易就跨过去了。
在可去奇点处的留数是0。
这就好像这个小坎坷周围没有什么特别的东西留下，干干净净的，留数为0很符合它的特性。
2.2 极点处的留数。
一阶极点。
如果函数f(z)在z = a处有一阶极点，那么计算留数就有一个简单的公式，留数等于lim(z→a) (z a)f(z)。
这就像是我们有一把专门的钥匙来打开一阶极点处留数的大门。
比如说，有个函数f(z)=(1/(z 1))，在z = 1处是一阶极点，那我们用这个公式一算，留数就是1。
简单直接，就像我们走直路一样顺畅。
高阶极点。
当z = a是函数f(z)的m阶极点时，计算留数就稍微复杂一点。
留数等于lim(z→a) [(1/(m 1)!)]×(d^(m 1)/dz^(m 1))[(z a)^m f(z)]。
这就像在走一条有点绕的小路，不过只要按照这个公式一步一步来，也能算出留数。
比如说有个函数f(z)=1/(z 2)^3，在z = 2处是三阶极点，按照这个公式算下来，留数是1/2。
虽然过程有点繁琐，但就像解一道有点难度的谜题，解开的时候还是很有成就感的。
2.3 本性奇点处的留数。
本性奇点可就比较调皮了。
它没有像极点那样有比较规矩的计算留数的公式。
我们通常得通过函数的洛朗级数展开式来求留数。
这就像在一个没有明显标记的森林里找东西，只能靠自己慢慢探索。
留数
设C为该去心邻域内围绕z0的正向简单闭曲线，
∫
C
f ( z ) dz =
n = −∞ C
∑
+∞
cn ( z − z 0 ) n dz ∫
1 ∫ c−n ( z − z0 ) dz = C c−n ( z − z0 ) n dz ∫ C
−n
2πic−1 , n = 1 2πi ( n −1) 由高阶导数公式：= c− n f ( z0 ) (n − 1)! 0, n ≠ 1 dz ∫c f ( z )dz = c−1 ∫c z − z0 = 2πic−1
1 ∴ z 0为 Q ( z )的一级零点 , 从而 z 0为 的一级极点 , Q( z )
1 1 ϕ (z) 因此 , = Q ( z ) z − z0
(ϕ ( z )在 z 0处解析且 ϕ ( z 0 ) ≠ 0 )
1 g ( z ) ( g ( z ) = ϕ ( z ) P ( z ) 在 z 0 解析 , 故f ( z) = z − z0 且 g ( z 0 ) ≠ 0 ),
若将 f ( z )作 Laurent 级数展开 :
z − sin z 1 1 3 1 5 = 6 [ z − ( z − z + z − L)] 6 z z 3! 5! 1 1 11 = − +L 3 3! z 5! z
1 z − sin z ,0 = − ∴ Re s 6 5! z
留数(Residue) §5.2 留数
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则
1. 留数的定义
设z0为f ( z )的孤立奇点，由洛朗定理
f ( z) =
n = −∞
cn ( z − z 0 ) n ∑
第二讲 留数的计算
心邻域 0 | z z0 | r 内任意绕 z0 简单正向闭曲线。
注：由连续变形原理，留数与C的选取无关。 由留数定义 C f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z0 ]
其中C 为简单正向闭曲线，且f ( z ) 在 C 及 C 内只有 z0
一个奇点。 上页 返回 结束
第二讲 数及留数的计算规则
1、留数的定义
2、留数的计算法则 3、留数定理 4、思考与练习
返回
1. 留数的定义
定义： 设 f ( z ) 以有限点z0 为孤立奇点， 即在点 z0 的某去 心邻域 0 | z z0 | r 内解析，则称积分
1 C f ( z )dz 2i 为 f ( z ) 在点 z0 的留数，记作Re s[ f ( z ), z0 ] 。其中C 为去
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由规则 II，得
ze z ze z e Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 lim z 1 z 1 z 1 z 1 2
ze z ze z e 1 Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 lim z 1 z 1 z 1 z 1 2 ze z e e 1 因此 C 2 dz 2i ( ) 2ich1 2 2 z 1
c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) ,
( z z0 )m f ( z ) c m c m 1 ( z z0 ) c1 ( z z0 )m 1 c0 ( z z0 )m ,
两边求 m 1阶导数，得
由洛朗展式
sin z 1 z3 z2 f (z) ( z ) 1 z z 3! 3! 知 Re s[ f ( z ),0] c1 0 1 2) f ( z ) 2 在0 | z | 1内解析 z (1 z )
注：由连续变形原理，留数与C的选取无关。 由留数定义 C f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z0 ]
其中C 为简单正向闭曲线，且f ( z ) 在 C 及 C 内只有 z0
一个奇点。 上页 返回 结束
第二讲 数及留数的计算规则
1、留数的定义
2、留数的计算法则 3、留数定理 4、思考与练习
返回
1. 留数的定义
定义： 设 f ( z ) 以有限点z0 为孤立奇点， 即在点 z0 的某去 心邻域 0 | z z0 | r 内解析，则称积分
1 C f ( z )dz 2i 为 f ( z ) 在点 z0 的留数，记作Re s[ f ( z ), z0 ] 。其中C 为去
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由规则 II，得
ze z ze z e Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 lim z 1 z 1 z 1 z 1 2
ze z ze z e 1 Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 lim z 1 z 1 z 1 z 1 2 ze z e e 1 因此 C 2 dz 2i ( ) 2ich1 2 2 z 1
c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) ,
( z z0 )m f ( z ) c m c m 1 ( z z0 ) c1 ( z z0 )m 1 c0 ( z z0 )m ,
两边求 m 1阶导数，得
由洛朗展式
sin z 1 z3 z2 f (z) ( z ) 1 z z 3! 3! 知 Re s[ f ( z ),0] c1 0 1 2) f ( z ) 2 在0 | z | 1内解析 z (1 z )
第5章 留数
n n C z n
则有Res[f (z),∞]=-C-1
注意
z=∞既便是f (z)的可去奇点，f (z)
在z=∞的留数也未必是0，这是同有限点的留
数不一致的地方。
方法2
1 1 Res f ( z ), Res f ( ) 2 ,0 z z
1 f ( z)
3.如果z0是f (z)的m级零点，则z0是 的m级零点。
的m
1 f ( z)
级极点。如果z0是f (z)的m级极点，则z0是
4.如果z0是f (z)的m级极点，则f (z)是可表示为
1 1 ( z) m f ( z ) ( z z0 )
※
Ψ(z)在z0解析，且Ψ(z0)≠0；反之，若f (z)可用(※)表 示，则z0是f (z)的m级极点。 5.设 f ( z ) P(z)的n级极点。
目录
第五章 留数
§1 孤立奇点
§2 留
数
§3 留数在定积分计算上的应用
第五章 留数
§1 孤立奇点
定义5.1.1 若函数f (z)在点z0处不解析，
但在点z0的某个空心邻域0 z z0 R(0 R )
内解析，则称点z0为f (z)的孤立奇点。 注意 f (z)在其孤立奇点的空心邻域内
那么dz=ieiθdθ,
2 1 i z 1 sin (e e i ) 2i 2iz 2 1 i z 1 cos (e e i ) 2 2z
从而，所设积分化为沿正向单化周围的积
分：
z 2 1 z 2 1 dz R , 2z 2iz iz z 1
(2)f (z)在z0点的某空心邻域 0 z z0 R 内能 表成
则有Res[f (z),∞]=-C-1
注意
z=∞既便是f (z)的可去奇点，f (z)
在z=∞的留数也未必是0，这是同有限点的留
数不一致的地方。
方法2
1 1 Res f ( z ), Res f ( ) 2 ,0 z z
1 f ( z)
3.如果z0是f (z)的m级零点，则z0是 的m级零点。
的m
1 f ( z)
级极点。如果z0是f (z)的m级极点，则z0是
4.如果z0是f (z)的m级极点，则f (z)是可表示为
1 1 ( z) m f ( z ) ( z z0 )
※
Ψ(z)在z0解析，且Ψ(z0)≠0；反之，若f (z)可用(※)表 示，则z0是f (z)的m级极点。 5.设 f ( z ) P(z)的n级极点。
目录
第五章 留数
§1 孤立奇点
§2 留
数
§3 留数在定积分计算上的应用
第五章 留数
§1 孤立奇点
定义5.1.1 若函数f (z)在点z0处不解析，
但在点z0的某个空心邻域0 z z0 R(0 R )
内解析，则称点z0为f (z)的孤立奇点。 注意 f (z)在其孤立奇点的空心邻域内
那么dz=ieiθdθ,
2 1 i z 1 sin (e e i ) 2i 2iz 2 1 i z 1 cos (e e i ) 2 2z
从而，所设积分化为沿正向单化周围的积
分：
z 2 1 z 2 1 dz R , 2z 2iz iz z 1
(2)f (z)在z0点的某空心邻域 0 z z0 R 内能 表成
第五章_留数
§5.2
1的计算规则
定义5.4 设z0是f (z)的孤立奇点, C是在z0的充分 小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向简单闭曲 线, 积分
1 f ( z )dz 2 i C
称为f (z)在z0点的留数(Residue), 记做 Res f ( z ), z0 . 函数 f (z)在孤立奇点z0点的留数即是其在以 z0 为中心的圆环域内Laurent级数-1次幂项的系数.
第五章
留数
§5.1
孤立奇点
孤立奇点
如果函数 f (z)在z0点不解析, 则称z0 是f (z)的 一个奇点. 如果z0 是f (z)的一个奇点, 且存在d >0, 使得f (z)在 0 z z0 d 内解析，则称z0 是f (z)的 孤立奇点.
并不是所有的奇点都是孤立奇点
sin z 的孤立奇点. 但z=0 例如z=0是函数 e 和 z z 1 ( k 1, 2,) 不是函数 的孤立奇点, 因为 1 k sin z 都是奇点.
是 D上的解析函数,( z )dz f 那么
f ( z )dz
nC
2 i Res f ( z ), zk .
C k 1
C2
n
f ( z )dz ,
2
留数的计算
Res[f ( z ), z0 ] 0.
(1) 如果 z 0 为 f (z ) 的可去奇点, 则
(2) 如果 z 0 为 f (z ) 的本性奇点, 则需将 f (z ) 展开 成Laurent级数, 求 c1 .
2 1
其中 c m 0 ( m 1). 于是
f ( z ) ( z z0 ) m c m c m1 ( z z0 ) c m 2 ( z z0 )2 ,
留数的计算
在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 定理二 如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 在所有各奇点(包括 的留数总和必等于零. 那末 f (z)在所有各奇点 包括∞点)的留数总和必等于零 在所有各奇点 包括∞ 的留数总和必等于零 证：除∞点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n). 且C为 一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单 闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有
1. 留数的计算规则 规则1 规则 如果z0为f (z)的一级极点, 则
Res[ f (z), z0 ] = lim(z − z0 ) f (z)
z→z0
规则2 规则 如果z0为f(z)的m级极点, 则 1 dm−1 Res[ f (z), z0 ] = lim m−1 {(z − z0 )m f (z)} (m −1)! z→z0 d z 事实上, 由于 f (z)=c−m(z−z0)−m+...+c−2(z−z0)−2+c−1(z−z0)−1+c0+c1(z−z0)+..., (z−z0)m f (z)=c−m+c−m+1(z−z0)+...+c−1(z−z0)m−1+c0(z−z0)m+...,
根据 规则1,Res[ f (z), z0 ] = lim(z − z0 ) f (z),而 Q(z0)=0.
z→z0
P( z0 ) P(z) 所 lim(z − z0 ) f (z) = lim 以 , = z→z0 z→z0 Q(z) − Q(z ) Q′( z0 ) 0 z − z0 即得 规则 规则3。
⇒ Ι = −2π i
数学物理基本方法5.2留数
应用留数定理求解微分方程
通过构造合适的复变函数，将微分方程的求解转化为复平面上留数 的计算。
典型例题的解析
例题1
例题3
求解一阶常系数线性微分方程。通过 构造指数形式的复变函数，利用留数 定理求解。
求解带有初值条件的一阶非线性微分 方程。通过构造满足初值条件的复变 函数，利用留数定理进行求解。
例题2
计算实轴上的定积分
利用留数定理，可以将某些实 轴上的定积分转化为复平面上 的围道积分，从而简化计算过 程。
计算围道上的线积分
对于某些围道上的线积分，可 以通过计算围道内奇点的留数 之和来得到积分结果。
判断函数的解析性
如果一个函数在某区域内解析 ，那么该函数在该区域内的任 意闭曲线上的积分为零。利用 留数定理可以判断一个函数是 否在某区域内解析。
留数定理的应用举例
计算实函数的定积分
通过构造复变函数，将实函数的定积分转化为复变 函数的线积分，再利用留数定理计算。
计算复变函数的线积分
对于某些特殊的复变函数，可以直接利用留数定理 计算其在某条曲线上的线积分。
解决物理问题
在物理学中，许多问题可以通过构造复变函数并应 用留数定理来解决，如计算电场、磁场等物理量的 分布。
求解二阶常系数齐次线性微分方程。 通过构造多项式形式的复变函数，利 用留数定理求解。
06
总结与展望
本文工作总结
研究背景
介绍了数学物理基本方法5.2留数 的研究背景和意义，了本文的主要研究内容， 包括留数的定义、性质、计算方法 和应用等方面的研究。
研究结果
通过洛必达法则，可以将求留数的问题转化为求导数的问题，从 而简化计算过程。
其他方法
幂级数展开法
当函数$f(z)$在奇点$z_0$处可以展开为幂级数时，可以通过幂级数的系数来计算留数。具体地，如果 $f(z) = sum_{n=0}^{infty} a_n (z - z_0)^n$，则留数可以表示为$text{Res}[f(z), z_0] = a_{-1}$，即幂 级数中$(z - z_0)^{-1}$的系数。
通过构造合适的复变函数，将微分方程的求解转化为复平面上留数 的计算。
典型例题的解析
例题1
例题3
求解一阶常系数线性微分方程。通过 构造指数形式的复变函数，利用留数 定理求解。
求解带有初值条件的一阶非线性微分 方程。通过构造满足初值条件的复变 函数，利用留数定理进行求解。
例题2
计算实轴上的定积分
利用留数定理，可以将某些实 轴上的定积分转化为复平面上 的围道积分，从而简化计算过 程。
计算围道上的线积分
对于某些围道上的线积分，可 以通过计算围道内奇点的留数 之和来得到积分结果。
判断函数的解析性
如果一个函数在某区域内解析 ，那么该函数在该区域内的任 意闭曲线上的积分为零。利用 留数定理可以判断一个函数是 否在某区域内解析。
留数定理的应用举例
计算实函数的定积分
通过构造复变函数，将实函数的定积分转化为复变 函数的线积分，再利用留数定理计算。
计算复变函数的线积分
对于某些特殊的复变函数，可以直接利用留数定理 计算其在某条曲线上的线积分。
解决物理问题
在物理学中，许多问题可以通过构造复变函数并应 用留数定理来解决，如计算电场、磁场等物理量的 分布。
求解二阶常系数齐次线性微分方程。 通过构造多项式形式的复变函数，利 用留数定理求解。
06
总结与展望
本文工作总结
研究背景
介绍了数学物理基本方法5.2留数 的研究背景和意义，了本文的主要研究内容， 包括留数的定义、性质、计算方法 和应用等方面的研究。
研究结果
通过洛必达法则，可以将求留数的问题转化为求导数的问题，从 而简化计算过程。
其他方法
幂级数展开法
当函数$f(z)$在奇点$z_0$处可以展开为幂级数时，可以通过幂级数的系数来计算留数。具体地，如果 $f(z) = sum_{n=0}^{infty} a_n (z - z_0)^n$，则留数可以表示为$text{Res}[f(z), z_0] = a_{-1}$，即幂 级数中$(z - z_0)^{-1}$的系数。
留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数
( g ( z ) ( z ) p( z ) 在z0解析, 且 g ( z0 ) 0 )
则z0为f ( z)的一级极点,由规则
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
(5)
事实上，由条件
f ( z ) cm ( z z0 ) m c2 ( z z0 ) 2 c1 ( z z0 ) 1 c0 c1 ( z z0 ) , (cm 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 ,得
( z z0 ) m f ( z ) cm cm1 ( z z0 ) c1 ( z z0 ) m1 c0 ( z z0 ) m
当 m = 1时，式(5)即为式(4).
p( z ) , Q( z ) p( z ), Q( z )在z0 处解析,
规则III 设f ( z )
p( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , Q' ( z0 ) 0，则
z0 是f ( z )的一级极点 ,且 p( z0 ) Re s[ f ( z ), z0 ] Q' ( z 0 ) ( 6)
c k 1
n
k
]
(3)
证明
用互不包含 , 互不相交的正向简单闭 曲线ck (k 1,2,n)，将 c内的弧立奇点zk 围绕,
由复合闭路定理得：
f ( z)dz
c
c1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
c2 cn
第四章 留数定理及其应用
对复变函数dzia定理41多个奇点的留数定理内的有限个奇点外均解析则复连通区域柯西积分定理单奇点留数定理由留数定理泰勒展开可反推出柯西积分公式和解析函数的无穷可导公式可以看作是留数定理的变形
第四章 留数定理及其应用
本章主要内容：
1. 留数的定义 2. 留数定理、留数的计算 留数定理、 3. 利用留数定理计算围线积分 4. 利用留数定理计算实积分
1 f (z) = , Res f (∞) = −1 z
※ 回顾：无穷远点奇点类型的判定。
定理4.2 如果 f (z)在扩充了的复平面上只有有限 个奇点，则 f (z)在所有奇点(包括无穷远点在内) 的留数之和为零。 如何证明？ 例4.6
ez f (z) = ，求 Res f (∞) 1+ z
若 f (z)= tan z，是否能求出Res f (∞) ?
§4.1 留数定理 一. 留数的定义
设z0为 f (z)的孤立奇点， f (z) 在z0的去心邻域
0 < | z − z0 | < R 内有洛朗展式 :
f (z) = ∑ an (z − z0 )
n=−∞ ∞ n
称 a−1 为 f (z)在 z0点的留数，记作 Res f (z0)。 即，留数是 (洛朗展式中) 负一次幂的系数。 Question: 为什么强调 z0 孤立奇点？
z→z0
如何证明？
从右往左,利用留数的定义和洛朗展开证明.
P(z) 公式 II 若 f (z) = ，其中P(z)和Q(z)均在z0 Q(z) 点解析，且 P(z ) ≠ 0, Q(z ) = 0, Q'(z ) ≠ 0
0 0 0
则
P(z0 ) Res f (z0 ) = Q'(z0 )
第四章 留数定理及其应用
本章主要内容：
1. 留数的定义 2. 留数定理、留数的计算 留数定理、 3. 利用留数定理计算围线积分 4. 利用留数定理计算实积分
1 f (z) = , Res f (∞) = −1 z
※ 回顾：无穷远点奇点类型的判定。
定理4.2 如果 f (z)在扩充了的复平面上只有有限 个奇点，则 f (z)在所有奇点(包括无穷远点在内) 的留数之和为零。 如何证明？ 例4.6
ez f (z) = ，求 Res f (∞) 1+ z
若 f (z)= tan z，是否能求出Res f (∞) ?
§4.1 留数定理 一. 留数的定义
设z0为 f (z)的孤立奇点， f (z) 在z0的去心邻域
0 < | z − z0 | < R 内有洛朗展式 :
f (z) = ∑ an (z − z0 )
n=−∞ ∞ n
称 a−1 为 f (z)在 z0点的留数，记作 Res f (z0)。 即，留数是 (洛朗展式中) 负一次幂的系数。 Question: 为什么强调 z0 孤立奇点？
z→z0
如何证明？
从右往左,利用留数的定义和洛朗展开证明.
P(z) 公式 II 若 f (z) = ，其中P(z)和Q(z)均在z0 Q(z) 点解析，且 P(z ) ≠ 0, Q(z ) = 0, Q'(z ) ≠ 0
0 0 0
则
P(z0 ) Res f (z0 ) = Q'(z0 )
留数
所以
例2 计算积分 [解] 被积函数 都在圆周|z|=2内，所以
，C为正向圆周|z|=2。 有四个一级极点
由规则III，
，故
例3 计算积分
，C为正向圆周|z|=2。
[解] z=0为被积函数的一级极点, z=1为二级极点, 而
所以
例
3.在无穷远点的留数
设函数 f (z)在圆环域 R<|z|<+ 内解析, C为圆 环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分
46
CR
R( x)dx
C 1 C dz C 2 R 0 2 z R R
R( z )dz
CR
从而
如果R(x)为偶函数，
47
例2 计算积分 [解] 这里
的值. ，并且实轴上R(z)没有
孤立奇点，因此积分是存在的。函数
的一级极点为
，其中ai与bi在上半平面内。由于
例4 计算积分
的值。
y
令x=－t，则有
R r O
CR
r
Rx
所以
即
例4 计算积分
的值。
因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限
与
下面将证明
由于
其中
解析.
i
0
61
例4 计算积分
的值。
所以可得
即
这个积分在研究阻尼振动中有用。
例 计算泊松积分(Possion) [解]：记
则
所以 另外 所以
2
洛朗级数的应用 —— 计算积分 在洛朗级数的系数公式
中取
时，有
c1
2 i
1
C
f ( z )dz
留数
注 (1) 此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。
(非也!)
(2) 若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，
而不一定非得使用下面即将介绍的留数定理。
16
三、留数定理
定理 设 f ( z ) 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1 , z2 , , zn 外
P113 定理 5.7
处处解析，在边界 C 上连续， 则
C
f ( z ) d z 2π i Res [ f ( z ) , zk ] .
k 1
n
z1
C
c1
D
c2 z 2
…
证明 如图，将孤立奇点用含于 D 内且 互不重叠的圆圈包围起来，根据复合闭路定理有
zn c1
C
f (z) d z
c k 1
n
k
f ( z ) dz 2π i Res [ f ( z ) , z k ] .
sin z 1 2 sin z lim Res [ f 2 ( z ) , 0 ] lim z 3 z 0 z 0 4 z 1! 4z
z cos z sin z sin z lim lim ( 罗比达法则 ) 0. 2 z 0 z 0 8 4z
§5.2 留数
一、留数的概念 二、留数的计算方法 三、留数定理 四、函数在无穷远点的留数
1
一、留数的概念
定义 设 z0 为函数 f ( z ) 的孤立奇点， 将 f ( z ) 在 z0 的去心邻域
P112 定义 5.4
内展开成洛朗级数：
a 1 a0 a1 ( z z0 ) , f ( z ) a n ( z z0 ) z z0 n
(非也!)
(2) 若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，
而不一定非得使用下面即将介绍的留数定理。
16
三、留数定理
定理 设 f ( z ) 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1 , z2 , , zn 外
P113 定理 5.7
处处解析，在边界 C 上连续， 则
C
f ( z ) d z 2π i Res [ f ( z ) , zk ] .
k 1
n
z1
C
c1
D
c2 z 2
…
证明 如图，将孤立奇点用含于 D 内且 互不重叠的圆圈包围起来，根据复合闭路定理有
zn c1
C
f (z) d z
c k 1
n
k
f ( z ) dz 2π i Res [ f ( z ) , z k ] .
sin z 1 2 sin z lim Res [ f 2 ( z ) , 0 ] lim z 3 z 0 z 0 4 z 1! 4z
z cos z sin z sin z lim lim ( 罗比达法则 ) 0. 2 z 0 z 0 8 4z
§5.2 留数
一、留数的概念 二、留数的计算方法 三、留数定理 四、函数在无穷远点的留数
1
一、留数的概念
定义 设 z0 为函数 f ( z ) 的孤立奇点， 将 f ( z ) 在 z0 的去心邻域
P112 定义 5.4
内展开成洛朗级数：
a 1 a0 a1 ( z z0 ) , f ( z ) a n ( z z0 ) z z0 n
留数计算规则
1 2
故
由留数定理得：
tanzdz 2i
k 1 n 2
z n
Re s(tanz ) 2i(
2n
) 4ni
如
(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留 数，不要死套规则。
P ( z ) z sinz f (z) Q( z ) z6
由 于p(0) 0
2
(cotz )' z k 1 csc2 z 0 1 zk 2 2 1 z k 为一级极点 ,由 法 则 III得 2 1 sinz 1 Re s[tanz , k ] ( k 0,1,) 2 (cosz )' z k
c0 c1 ( z z0 ) , (c m 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 ,得
( z z 0 ) f ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c 1 ( z z 0 )
m m 1
c0 ( z z 0 ) m
cos z dz 例3 计 算 3 z 1 z cos z 解 f (z) 3 有 一 个 z 0的 三 级 奇 点 z 由规则
1 d2 3 Re s[ f ( z ),0] l i m [ z f ( z )] 2 z 0 ( 3 1)! dz 1 1 lim (cosz )'' 2 z 0 2
1 d5 1 1 ( z sinz ) lim( cos z ) 5 5! dz 5! z 0 5!
两边求 m 1阶 导 数 得 d m 1 m {( z z ) f ( z )} ( m 1)!c1 m! ( z z0 ) 0 m 1 dz m 1 d lim m 1 {( z z0 )m f ( z )} ( m 1)!c1 , 移 项 得 (5)式. z z dz
故
由留数定理得：
tanzdz 2i
k 1 n 2
z n
Re s(tanz ) 2i(
2n
) 4ni
如
(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留 数，不要死套规则。
P ( z ) z sinz f (z) Q( z ) z6
由 于p(0) 0
2
(cotz )' z k 1 csc2 z 0 1 zk 2 2 1 z k 为一级极点 ,由 法 则 III得 2 1 sinz 1 Re s[tanz , k ] ( k 0,1,) 2 (cosz )' z k
c0 c1 ( z z0 ) , (c m 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 ,得
( z z 0 ) f ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c 1 ( z z 0 )
m m 1
c0 ( z z 0 ) m
cos z dz 例3 计 算 3 z 1 z cos z 解 f (z) 3 有 一 个 z 0的 三 级 奇 点 z 由规则
1 d2 3 Re s[ f ( z ),0] l i m [ z f ( z )] 2 z 0 ( 3 1)! dz 1 1 lim (cosz )'' 2 z 0 2
1 d5 1 1 ( z sinz ) lim( cos z ) 5 5! dz 5! z 0 5!
两边求 m 1阶 导 数 得 d m 1 m {( z z ) f ( z )} ( m 1)!c1 m! ( z z0 ) 0 m 1 dz m 1 d lim m 1 {( z z0 )m f ( z )} ( m 1)!c1 , 移 项 得 (5)式. z z dz
留数
[证] 因为 Qz0 0, Qz0 0, 所以z 为Q(z)的一级零点， 0
P z 1 g z 其中 z 在 zo点解析， 且 zo 0。 由此得 f z Q z z z0
其中gz z Pz 在 zo解析，且 gz0 z0 P z0 0
5!c1 6 52c0 z 因此
1 d5 6 1 d 5 6 z sin z 1 5 c1 lim 5 z f z lim 5 z lim z sin z 6 5! z 0 dz 5! z 0 dz z 5! z 0
n C k 1
Cn
C zn
z2 C 2
D
z1
C1
z3
C3
f z dz 2 i Re s f z , z k
[证 ]
f z dz f z dz f z dz f z dz
C C1 C2 Cn
把在C内的孤立奇点 zk k 1,2,, n 用互不包含的正向 简单闭曲线Ck围绕起来， 那末根据复合闭路定理有
2 i Re s f z , z1 2 i Re s f z , z2 2 i Re s f z , zn
2 i Re s f z , z k
n k 1
利用留数定理,求沿封闭曲线C的积分,就转化为求被积函数在C中 的各孤立奇点处的留数。 一般来说,求函数在孤立奇点z0处的留数只需求出函数在以z0为 中心的圆环域内的洛朗级数,从而得到负一次项的系数C-1即可。 为此,最好先判断孤立奇点z0的类型。 如果z0是可去奇点,那末一定有
法三:虽然z=0不是f(z)的六级极点,但也可按六级极点计算留数. 如果设
P z 1 g z 其中 z 在 zo点解析， 且 zo 0。 由此得 f z Q z z z0
其中gz z Pz 在 zo解析，且 gz0 z0 P z0 0
5!c1 6 52c0 z 因此
1 d5 6 1 d 5 6 z sin z 1 5 c1 lim 5 z f z lim 5 z lim z sin z 6 5! z 0 dz 5! z 0 dz z 5! z 0
n C k 1
Cn
C zn
z2 C 2
D
z1
C1
z3
C3
f z dz 2 i Re s f z , z k
[证 ]
f z dz f z dz f z dz f z dz
C C1 C2 Cn
把在C内的孤立奇点 zk k 1,2,, n 用互不包含的正向 简单闭曲线Ck围绕起来， 那末根据复合闭路定理有
2 i Re s f z , z1 2 i Re s f z , z2 2 i Re s f z , zn
2 i Re s f z , z k
n k 1
利用留数定理,求沿封闭曲线C的积分,就转化为求被积函数在C中 的各孤立奇点处的留数。 一般来说,求函数在孤立奇点z0处的留数只需求出函数在以z0为 中心的圆环域内的洛朗级数,从而得到负一次项的系数C-1即可。 为此,最好先判断孤立奇点z0的类型。 如果z0是可去奇点,那末一定有
法三:虽然z=0不是f(z)的六级极点,但也可按六级极点计算留数. 如果设
new第二节留数及留数定理
L
那么
( 0 z a ),
(z a)m f (z) cm cm1(z a) L c1(z a)m1 c0(z a)m
L cn(z a)mn L
d m1 dzm1
[(
z
a)m
f (z)]
c1(m 1)! c0m(m 1)L
2(z a)
L cn(m n)L (n 2)(z a)n1 L
记作
Re
s[
f
(z), ]或
Re s z
f
(z), 即
1
1
Re s[ f (z), ]
f (z)dz
f (z)dz.
2 i C
2 i C
无穷远点留数计算：
义：
Re
s[
f
(z),
]
1
2
i
C
n定0 c义nzn：dz
n0
2c定ni C义 zn：dz
C1 .
定义1 ：
1
作变换 z
,则
z3 3和 点,利用外部区域的留数定理,有
dz
C (z i)10(z 1)(z 3)
2i{Re s[ f (z), 3] Re s[ f (z), ]}
例12 设C为 | z | 2正向，计算积分
I
C
(
ez z(1
z
)2
sin
z
1) 4
dz.
解
I
C
ez z(1
z)2
dz
C
sin
z
1
4
dz
C
ez z(1
z)2
dz 0
由留数定理得
I
2 i
Re
数学物理方法 第4章 留数定理
e
ma
2 ia
0
cos ma x a
2 2
dx i
e
ma
e
ma
2 ia
2a
y
例：
0
sin x x
dx
Cε
CR
解：如图4.9所示，
图4.9
0
x
sin x x
dx lim
R 0
R
sin x x
R e imx dx lim dx R 2i 0 x 1
1
z 1
1 2
z z 2
1
2
iz
dz
z 1
z (1 ) z
2 2
i
f (z)
dz
z 1
( z 1)( z )
1
记：
z
( z 1)( z )
它在复平面上有2个单极点
和
1
其中 z 在单位圆内，其留数为：
CR
x 图4.7
f ( x ) dx 2 i
{
f (z)
在上半平面所有奇点的留数之和}
例：
dx 1 x
2
解： 记：
z i
f (z)
1 1 z
2
,它在上半平面有单极点
其留数为：
1 zi 1 2i
Re sf ( i ) lim ( z i ) f ( z ) lim
1 z ( z 2i)
3
并求函数在这些极点的留数。
留数和留数定理
C C
0 (高阶导数公式)
C C C
2i
c0dz c1 ( z z0 )dz cn ( z z0 )n dz
0 (柯西-古萨定理)
2ic1
Laurent级数中负幂项c1 ( z z0 ) 的系数
3
1
1 即 c 1 2i C
f ( z ) 在 z0 的留数 f ( z )dz Res[ f ( z ), z0 ]
f ( z ) c n ( z z0 ) n c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n
2
积分 f ( z )dz
C
c n ( z z 0 ) n d z c 1 ( z z 0 ) 1 d z
1 . ( n 1)!
11
例2 计算积分 解 函数f ( z )
C
ze z dz, 2 z 1
C为正向圆周: z 2.
C
ze z dz有两个一级极点 1， 1， 2 z 1
而这两个极点都在圆周 z 2内，所以
域内的Laurent级数中负幂项c1 ( z z0 )1 的系数.)
4
留数定理
函数 f ( z ) 在区域 D内除有限个孤立
奇点 z1 , z2 ,, zn 外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那么
C
Res[ f ( z ), zk ]. f ( z )dz 2i k 1
用 (z-z0 ) 乘上式的两端得 ( z z0 )m f z cm cm1 ( z z0 )
(0 z z0 )
0 (高阶导数公式)
C C C
2i
c0dz c1 ( z z0 )dz cn ( z z0 )n dz
0 (柯西-古萨定理)
2ic1
Laurent级数中负幂项c1 ( z z0 ) 的系数
3
1
1 即 c 1 2i C
f ( z ) 在 z0 的留数 f ( z )dz Res[ f ( z ), z0 ]
f ( z ) c n ( z z0 ) n c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n
2
积分 f ( z )dz
C
c n ( z z 0 ) n d z c 1 ( z z 0 ) 1 d z
1 . ( n 1)!
11
例2 计算积分 解 函数f ( z )
C
ze z dz, 2 z 1
C为正向圆周: z 2.
C
ze z dz有两个一级极点 1， 1， 2 z 1
而这两个极点都在圆周 z 2内，所以
域内的Laurent级数中负幂项c1 ( z z0 )1 的系数.)
4
留数定理
函数 f ( z ) 在区域 D内除有限个孤立
奇点 z1 , z2 ,, zn 外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那么
C
Res[ f ( z ), zk ]. f ( z )dz 2i k 1
用 (z-z0 ) 乘上式的两端得 ( z z0 )m f z cm cm1 ( z z0 )
(0 z z0 )
第四章留数定理
第四章 留数定理
重点
1、留数的概念与留数定理； 2、应用留数定理计算复变函数的积分； 3、应用留数定理计算实变函数的积分
§4.1 留数定理
一 、留数及留数定理
1.留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据Cauchy定理
f (z) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去 心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向闭曲线的积分
l
l1
l2
ln
f (z) d z 2πi[Res f (z1) Res f (z2 ) Res f (zn )]
l
n
即 f (z) d z 2 π i Res f (z j ).
l
j 1
zn l3 z3
ln z1 l2 z2
l1
D
l
求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内
令 z ei
dz iei d d dz ,
iz
sin 1 (ei ei ) z - z-1 ,
2i
2i
cos 1 (ei ei )
z z1
,
2
2
当 历经变程 [0,2π ] 时,
z 沿单位圆周 z 1的 正方向绕行一周.
2π
0
R(cos
,
sin
)d
z
1
R
z
2 2z
1
,
z
2 2iz
(1)n
例4 计算积分
z
zez 2
1
d
z
，C为正向圆周|z|=2.
C
解
由于
f (z)
重点
1、留数的概念与留数定理； 2、应用留数定理计算复变函数的积分； 3、应用留数定理计算实变函数的积分
§4.1 留数定理
一 、留数及留数定理
1.留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据Cauchy定理
f (z) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去 心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向闭曲线的积分
l
l1
l2
ln
f (z) d z 2πi[Res f (z1) Res f (z2 ) Res f (zn )]
l
n
即 f (z) d z 2 π i Res f (z j ).
l
j 1
zn l3 z3
ln z1 l2 z2
l1
D
l
求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内
令 z ei
dz iei d d dz ,
iz
sin 1 (ei ei ) z - z-1 ,
2i
2i
cos 1 (ei ei )
z z1
,
2
2
当 历经变程 [0,2π ] 时,
z 沿单位圆周 z 1的 正方向绕行一周.
2π
0
R(cos
,
sin
)d
z
1
R
z
2 2z
1
,
z
2 2iz
(1)n
例4 计算积分
z
zez 2
1
d
z
，C为正向圆周|z|=2.
C
解
由于
f (z)
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三、留数的计算、用留数定理求积分
ez 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 的留数. z
解 因为 z 0 是 f ( z )的 2级极点，
1 d 2 1 2 e z ez lim 21 z 2 所以 Res 2 , 0 z z (2 1)! z 0 dz
3.利用留数定理计算沿闭路复积分.
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作业
习题五: 8(1)(2)(6);
9(1)(2);
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三、在无穷远点的留数*
定义 设函数 f ( z )在圆环域 R z 内解析，
C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， 1 那末积分 f ( z )dz 的值与无关， 则称此定值 2i C 1
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利用留数定理计算复积分 ez 例4 计算积分 2 dz , C为正向圆周: z 2. z( z 1) C 解 z 0 为一级极点, z 1为二级极点,
e Res[ f ( z ), 0] lim z 2 z 0 z( z 1)
C C C
0 柯西-古萨基本定理
2ic1 ，其中c1为负幂项c1 ( z z0 )1的系数.
1 即 c1 f ( z )dz , 称 为 f ( z ) 在 z 0 的 留 数 . 2 i C
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定义
若z0 为 f ( z )的孤立奇点, f ( z ) 在 z0 为中心的
Res[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z z0 ).
z z0
P( z) z 规则3 如果 0 为 f ( z ) 的一级极点, 那末 Q( z )
P ( z0 ) Res[ f ( z ), z0 ] . Q ( z 0 ) 其中 P ( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 ,
z
e lim 1 z 0 ( z 1)2
z 1 d e 2 Res[ f ( z ),1] lim ( z 1) ( 2 1)! z 1 dz z( z 1)2
z
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返回Leabharlann 结束 ez lim z 1 z
所以 z 0 是 f ( z )的三级极点， 由规则3得
1 d 3 z sin z Res[ f ( z ),0] lim 2 z . 6 ( 3 1)! z 0 dz z
2
计算较麻烦.
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1 1. (2 1)!
e 1 1 1 1 解二 洛朗级数 f ( z ) 2 2 z z z z 2 6
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z
ez 1 例3 求 f ( z ) 5 在 z 0 的留数. z
解
z 0 是 f ( z ) 的四级极点.
C
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2.留数的计算方法 (1)如果 z 0为 f ( z ) 的可去奇点, 则 Res[ f ( z ), z0 ] 0. (2)如果 z 0为 f ( z )的极点, 则有如下计算规则: •规则1 如果 z 0 为 f ( z ) 的一级极点, 那末
注 条件可改:z0是P(z)的非零点，是Q(z)的一级零点 说明 规则3是规则2的特殊情形
P(z) P( z) P ( z0 ) lim Res[ f ( z ) , z0 ] lim ( z z0 ) . z z0 Q( z ) z z 0 Q ( z ) Q ( z 0 ) Q( z0 ) z z0
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P ( z ) z sin z 例1 求 f ( z ) 在 z 0 的留数. 6 Q( z ) z
解 在z = 0处的洛朗展开式
z sin z 1 z3 z5 6 z z 6 3! 5! z z 1 1 1 1 , 3 1 3! z 5! z
z
z (4)
4 e -1 1 e -1 lim z 5 所以 Re s 5 ,0 z 0 (4 1)! z z
在 0 z 内将 f ( z ) 展成洛朗级数:
...
ez 1 1 1 1 1 1 z 4 , 3 2 5 z 2! z 3! z 4! z 5! 6! z 1 1 所以 Res[ f ( z ),0] c1 . 4! 24
n
上式两端同时沿 C 积分
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f ( z )d z
C
c n ( z z0 ) n dz c1 ( z z0 )1 dz
C C
0 高阶导数公式
2 i 柯西积分公式
c0dz c1 ( z z0 )dz cn ( z z0 )n dz
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P(z) , P ( z ) 及 Q( z ) 在 z 0 都解析， •规则3 设 f ( z ) Q( z )
如果 P ( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , 那末 z0 为 P ( z0 ) f ( z ) 的一级极点, 且有 Res[ f ( z ), z0 ] . Q ( z 0 )
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P ( z ) z sin z 例2 求 f ( z ) 在 z 0 的留数. 6 Q( z ) z
分析
P (0) P (0) P (0) 0 , P (0) 0 .
z 0 是 z sin z 的三级零点
e z ( z 1) 0, lim 2 z z 1
ez 所以 2 dz z( z 1) C
2iRes[ f ( z ),0] Res[ f ( z ),1]
2i (1 0)
2i .
注 本题也可用复合闭路定理和高阶导数公式计算积分
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内容小结
1.留数的定义(洛朗级数负一次幂项的系数);
2. 计算留数的一般方法; 其中m级极点z0 处留数计算公式：
1 d m 1 Res[ f ( z ), z0 ] lim m 1 [( z z0 )m f ( z )]. ( m 1)! z z0 dz
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极点 处的留数计算公式 规则2 如果 z0 为 f ( z ) 的 m 级极点, 那末 1 d m 1 Res[ f ( z ), z0 ] lim m 1 [( z z0 )m f ( z )]. ( m 1)! z z0 dz
特别地 规则1 如果 z 0 为 f ( z ) 的一级极点, 那末
第二节
留 数
第五章
一、留数的引入 二、利用留数求积分 三、在无穷远点的留数 四、典型例题
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结束
一、留数的引入
设 z 0 为 f ( z ) 的一个孤立奇点;
C
. z
0
f ( z ) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数:
f ( z ) c n ( z z0 ) n c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )
1 z sin z Res ,0 c1 . 6 5! z
利用定义法求留数：将 f ( z ) 展开 成洛朗级数求 c1 .
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二、留数定理
1.留数定理 奇点 z1 , z2 ,, zn ,其他点处解析，那末
为 f ( z ) 在 点的留数， 1 1 记作 Res[ f ( z ), ] f ( z )dz f ( z )dz 2i C 2i C 注意积分路线取顺时针方向
说明 Res[ f ( z ), ] c 1
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c1
圆环域内的洛朗级数中负幂项 c1 ( z z0 )1 的系数， 称为 f ( z ) 在 z0处的留数.记作 1 O f ( z )d z R es[ f ( z ), z 0 ] c 1 2 i C
其中C 是 z0 的去心邻域内绕 z0的一简单闭曲线。
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.. .
C
.
函数 f ( z ) 在C内含有限个孤立
n
C
Res[ f ( z ), zk ]. f ( z )dz 2i k 1
说明: 1) 提供计算函数沿闭曲线C积分的一种方法.