Gold序列与m序列仿真应用

1. 绪论

m 序列具有优良的双值自相关特性，但互相关特性不是很好。作为CDMA 通信地址码时，由于互相关特性不理想，使得系统内多址干扰影响增大，且可用地址码数量较少。在某些应用场合，利用狭义伪随机序列复合而成复合序列更为有利。这是因为通过适当方法构造的复合序列具有某些特殊性质。Gold 序列就是一种复合序列，而且具有良好的自相关与互相关特性，地址码数量远大于m 序列，且易于实现、结构简单，在工程上得到广泛应用。

表1是m 序列和Gold 序列的主要性能比较，表中max ϕ为m 序列的自相关峰值，(0)s ϕ为自相关主峰；()t n 为Gold 序列的互相关峰值，(0)g ϕ为其自相关主峰。从表1中可以看出：当级数n 一定时，Gold 序列中可用序列个数明显多于m 序列数，且Gold 序列的互相关峰值和主瓣与旁瓣之比都比m 序列小得多，这一特性在实现码分多址时非常有用。

表1. m 序列和Gold 序列性能比较

在引入Gold 序列概念之前先介绍一下m 序列优选对。m 序列优选对，是指在m 序列集中，其互相关函数绝对值的最大值(称为峰值互相关函数)max ()R τ最接近或达到互相关值下限(最小值)的一对m 序列。

设{a i }是对应于r 次本原多项式F 1(x )所产生的m 序列， {b i } 是另一r 次本原多项式F 2(x )产生的m 序列，峰值互相关函数满足

12

max

2

221()214r ab r r R τr ++⎧+⎪≤⎨⎪+⎩

为奇数

为偶数但不是的整倍数

（1）

则m 序列{a i }与{b i }构成m 序列优选对。

例如：6r =的本原多项式61()1F x x x =++与6522()1F x x x x x =++++所产生的m 序列{}i a 与{}i b ，其峰值互相关函数2622

2

max ()172

12117r ab R τ++=≤+=+=。满足式（1）

，故{}i a 与{}i b 构成m 序列优选对。而本原多项式65323()1F x x x x x =++++所产生的m 序列

{}i c ，与m 序列{}i a 的峰值互相关函数max ()2317ac R τ=>，不满足上式，故{}i a 与{}i c 不

是m 序列优选对。

2. Gold 序列

1967年，R·Gold 指出：“给定移位寄存器级数r 时，总可找到一对互相关函数值是最小的码序列，采用移位相加方法构成新码组，其互相关旁瓣都很小，且自相关函数和互相关函数均有界”。这样生成的序列称为Gold 码（Gold 序列）。

Gold 序列是m 序列的复合序列，由两个码长相等、码时钟速率相同的m 序列优选对的模2

和序列构成。每改变两个m 序列相对位移就可得到一个新的Gold 序列。当相对位移1，2，…，2r -1个比特时，就可得到一族2r -1个Gold 序列，加上原来的两个m 序列，共有2r +1个Gold 序列，即

21r r G =+ （2） 产生Gold 序列的移位寄存器结构有两种形式。一种是乘积型，将m 序列优选对的特征多项式乘积作为新的特征多项式，根据此2r 次特征多项式构成新的线性移位寄存器，参见图（1），图中特征多项式为6

5

2

()1G x x x x x =++++，6

()1F x x x =++，其乘积多项式为

12118653()()1F x G x x x x x x x =++++++。另一种结构是模2和型，直接求两m 序列优选对

输出序列的模2和序列，参见图（2）。

图1. 码长2为N=63的乘积型Gold 码发生器

图2. 码长2为N=63的模2和型Gold 码发生器

理论上可以证明，这两种结构是完全等效的。它们产生的Gold 序列周期都是N=2r -1。可以证明：复码的周期是组成复码的子码周期的最小公倍数。由于组成复码Gold 序列的子码的周期都是N=2r -1，故Gold 序列的周期是N=2r -1。

由m 序列优选对模2和产生的Gold 序列族中2r -1个序列不再是m 序列，不再具有m 序列的特性。任意两序列之间的互相关函数满足

12

max

2

221()214r ab r r R τr ++⎧+⎪≤⎨⎪+⎩

为奇数

为偶数但不是的整倍数

（3）

由于Gold 序列的这一特性，使得码族中任一码序列都可作为地址码，这样采用Gold 码族作地址码，其地址数大大超过了用m 序列作地址码的数量，所以Gold 序列在多址技术中得到了广泛的应用。

表2. Gold 序列的三值互相关函数特性

Gold 码序列具有三值互相关函数的特性：当r 为奇数时，码族中约有50%的码序列有很低

的互相关函数值(-1)（非归一化）；当r 为偶数但不是4的整倍数时，码族中约有75%的码序列有很低的互相关函数值(-1) （非归一化）。其三值互相关函数特性见表（2）。Gold 序列自相关函数值的旁瓣取三值，互相关函数值也取三值，只是出现的位置不同。Gold 码族同族（周期长度相同的序列）内互相关函数取值已有理论结果，但不同族之间互相关函数的取值尚无理论结果。不同Gold 码族之间的互相关函数取值已不是三值而是多值，且互相关值已大大超过同族内的互相关值。

3. m 序列优选对的寻找

前面在介绍Gold 码序列的构造时已指出，Gold 序列可由m 序列的优选对来构成，即要想构造出或求出Gold 码序列，首先要找到m 序列的优选对。下面介绍一种寻找m 序列优选对的方法。

3.1优选对寻找方法1

若a 是2r 阶有限域GF(2)的一个本原元，f 1(x )与f t (x )是2r 阶有限域GF(2)上的r 次本原多项式，a 是f 1(x )的首根，取

12

2221214r r r t r ++⎧+⎪=⎨⎪+⎩

为奇数为偶数，但不是的倍数 （4）

使a t 为r 次本原多项式f t (x )的一个根，则以r 次本原多项式f 1(x )与f t (x )为特征多项式的m 序列就构成m 序列优选对。

例：对于r ＝7，N=2r -1=127，设a 是27阶有限域GF(2)的一个本原元，以a 为首根的本原多项式为

731()1f x x x =++(附录1 r ＝7 1 211E) 由式（4）可求出

1712

2

2

12

117r t ++=+=+=

则以a 17为根的本原多项式f t (x )所产生的m 序列和f 1(x )所产生的m 序列构成m 序列优选对。 a 17是本原多项式f t (x )的一个根，但可能不是首根。根据有限域的理论：若a t 是r 次不可约多项式f t (x )的一个根，那么121222,,,r t

t

t

a a

a

- 是f t (x ) 其余的r -1个根。在计算时，需要注意由于a

是2r 阶有限域的本原元，则有21

1r a

-=。据此，可以求出以a 17为根的本原多项式f t (x )的所有根：

按幂次大小排列为91718346872,,,,,a a a a a a ，其中a 9

为()t f x 的首根。由附录1得

75432()1t f x x x x x x x =++++++(附录1：r ＝7 9 277 E)

上面介绍的方法有一个最大的局限，这就是该方法只能求出附录1中第一个多项式对应的m 序列优选对，事实上求解m 序列优选对的方法很多，下面再介绍一种。

3.2 优选对寻找方法2

若a 是2r 阶有限域GF(2)的一个本原元，1()f x 与()t f x 是2r 阶有限域GF(2)上的r 次本原多项式，a k 是1()f x 的首根，t 按照式(4) 取值，令kt 的共轭类首元[kt ]r 为r 次本原多项式()t f x 首根的幂指数，即它的首根为[]r

kt a

，则以本原多项式()t f x 和1()f x 为特征多项式的m 序列构成

m 序列优选对。

下面介绍kt 的共轭类首元的求法。对于任意的正整数kt ，模N （21r =-）运算后，可用 r 位二进制数来表示为