应用随机过程讲义一解析

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应用随机过程教案第1章预备知识

定义 2 两个随机变量 X 与 Y，如果满足 P{ω∈Ω :X(ω) ≠Y(ω) }=0,则称它们是等价的。
注：为简单起见，习惯将{ω:X(ω) ≥x}记为{X≥x}，其他记号类似。
常用的随机变量：离散型随机变量、连续型随机变量。离散性随机变量 X 的概率分布用如下分布列描述：
pk = P{X = xk }, k = 1,2, …
n 1
n

n 1
记 An A 。
1 1 例 6 设 { An , n 1,2,} 是一集合序列，其中 An ， 1 ，则 An A (0,1) F 上的实值函数。如果
2
（1） P(Ω )=1；（2）任意 A∈F，0≤P(A)≤1；（3）对两两互不相容事件 A1，A2，… (即当 i≠j 时，Ai∩Aj=ϕ)，有
其分布函数为
F ( x)
xk x
p P{ X x }
k xk x k
x
连续型随机变量 X 的分布用概率密度 f(x)描述，其分布函数为：
F ( x ) f (t ) dt

分布函数 F(x)的性质（1） 0 F ( x) 1 （2） F () 0, F () 1 （3） F ( x) 是单调不减函数， a b 则 F (a) F (b) （4） F ( x) 是右连续函数，即 x, F ( x 0) F ( x) 随机向量 ( X 1 , X 2 ,, X d ) 的联合分布函数定义为
n
n
若对每个 n，有 An An 1 （或 An An 1 ），则称为单调增（单调减）序列。显然对于单调集合序列 { An } 的极限存在，且对于单调增集合序列 { An } ，若 A lim An ，

随机过程及其应用-清华大学解析

4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在],0[t 时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？对于某一个乘客而言，假设其到达时间为k t ，那么他等待时间就是k t t -所以乘客总的等待时间为∑=-=)(0)()(t N k k t t t S使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((n t N t E E t S E ==对于某已成了而言，其到达时刻k t 随机],0[t 内均匀分布的随机变量。

但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在n t N =)(的条件下，n t t t ,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。

不过就他们的和nt t ++...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的],0[t 内均匀分布的随机变量，所以2))((2)2)(())((22)())(|)((20t t N E t t t N E t E E nt nt nt t E nt n t N t E E nk k λ====-=-==∑=从而有4.2(数值记录)设},{N n X n ∈是一独立同分布的非负期望随机变量序列。

定义风险率)(t λ如下)(1)()(t F t f t -=λ 这里)()(t F t f 和分别是k X 的概率密度分布和分布函数。

定义随机过程)(t N 如下}),,..,m ax (:{#)(01t X X X X n t N n n n ≤>=-这里A #表示集合A 中的元素个数。

如果把)(t N 中的时间t 看做时间，那么)(t N 是一个非齐次Poisson 过程。

事实上，由于k X 彼此独立，所以)(t N 具有独立增量性。

很明显0)0(=N ，于是只需要检查一个时间微元内)(t N 的状态。

假定t ∆充分小，在0,...,X X n 中只有n X 在],(t t t ∆+上，因此111-11-11111))())(()((),...,(]),((),...,],,(()),...,max(],,(()),...,max(],,(()1)()((--∞=-∆+∆=≤≤∆+∈=≤≤∆+∈=>∆+∈>∆+∈==-∆+∑n n n n n n n n n n n n t F t o t t f t X t X P t t X P t X t X t t X P X X X t t X P X X X t t X P t N t t N P所以)()()(1)()())(())()(()1)()((21t o t t t F t o t t f x F t o t t f t N t t N P n n ∆+∆=-∆+∆=∆+∆==-∆+∑∞=-λ另一方面，可以证明)()2)()((t o t N t t N P ∆=≥-∆+ 所以)(t N 是非齐次的Poisson 过程，强度)(t λ。

随机过程例题和知识点总结

随机过程例题和知识点总结随机过程是研究随机现象随时间演变的数学学科，在通信、金融、物理等众多领域都有广泛应用。

下面我们通过一些例题来深入理解随机过程的相关知识点。

一、随机过程的基本概念随机过程可以看作是一族随机变量的集合，其中每个随机变量都对应着某个特定的时刻。

例如，考虑一个在时间段0, T内的股票价格变化过程，对于每个时刻 t∈0, T，都有一个对应的随机变量 X(t)表示股票的价格。

二、常见的随机过程类型1、泊松过程泊松过程常用于描述在一定时间内随机事件发生的次数。

例如，某电话交换台在单位时间内接到的呼叫次数就可以用泊松过程来建模。

例题：假设某电话交换台在上午 9 点到 10 点之间接到的呼叫次数是一个泊松过程，平均每分钟接到 2 次呼叫。

求在 9 点 10 分到 9 点 20 分这 10 分钟内接到至少 5 次呼叫的概率。

解：设 X(t) 表示在时间段 0, t 内接到的呼叫次数，且 X(t) 是一个强度为λ ＝ 2 的泊松过程。

10 分钟内接到的呼叫次数 X(10) 服从参数为λt ＝ 2×10 ＝ 20 的泊松分布。

P(X(10) ≥ 5) ＝ 1 P(X(10) ＜ 5) ＝ 1 P(X(10) ＝ 0) ＋ P(X(10) ＝ 1) ＋ P(X(10) ＝ 2) ＋ P(X(10) ＝ 3) ＋ P(X(10) ＝ 4)通过泊松分布的概率质量函数可以计算出每个概率值，进而求得最终结果。

2、马尔可夫过程马尔可夫过程具有“无记忆性”，即未来的状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。

例题：一个状态空间为｛0, 1, 2} 的马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为 P ＝ 05 03 02; 02 06 02; 01 03 06 ，初始状态为 0，求经过 3 步转移后处于状态 2 的概率。

解：通过计算 P³得到 3 步转移概率矩阵，然后取出第 0 行第 2 列的元素即为所求概率。

2016应用随机过程讲义第二篇

1 2 n 1 2 n
合分布函数全体，即：Ft ,t ,
1 2
, tn
x1 , x2 ,
, xn , t1 , t2 ,
, tn T , n 1
，称为
随机过程的有限维分布族；它具有如下性质：（ⅰ）对称性：对 12 n 的任一排列 i1i2 in ，有 Ft ,t , ,t xi , xi , , xi Ft ,t , ,t x1 , x2 , , xn ；
1 2 m 1 2 m m1 n

2t , 掷出反面；
2
求： X t 的一维分布函数 F1 x , F1 x 和二维分布函数 F1 ,1 x1 , x2 ；【例 2.1.2】设有随机过程 X t A Bt ，其中 A, B 独立同 N 0,12 分布，试求 X os t , t R ， A 是随机变量，且
1
1
1
仅描述随机过程在任一时刻取值的统计特性，而不能反映随机过程各个时刻状态之间的联系；（b） t1 , t2 T , X t , X t 是二维随机向量，其联合分布函数为
Ft1 ,t2 x1 , x2 P X t1 x1 , X t2 x2

1
2
，称为随机过程的二维分布函数；
i1 i2 in 1 2 n 1 2 n
（ⅱ）相容性： m n ，有： Ft ,t , ,t x1 , x2 , , xm Ft ,t , ,t ,t , ,t x1 , x2 , , xm , , , 。【例 2.1.1】利用重复掷硬币的试验可定义一个随机过程 cos t , 掷出正面； 1 X t , t ；已知 P 掷出正(反)面，试

应用随机过程PPT课件

k
EX kP(X k) (1)P(X k)
k0
k1 i1
P(X k)
交换求和顺序
k1
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同理，对连续型随机变量有相似的结论成立
若X0
x
EX0 xd(PXx)0 (0 dy)dP(Xx)
0 P(Xx)dx
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概率
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1 .古典概型
A
P(A)
(A) ( )
A 中的样本点数目中的样本点数目
隐含了等可能条件
2 .几何概型
P(A)
A 点集的面积点集的面积
隐含了等可能条件
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概率是满足 1) 非负性； 2) 归一性； 3) 可列可加性；的集函数。
可测集粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的点集即为可测集；反之称为不可测集。
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Chebyshev不等式
0,
P(|
X
EX
|
)
DX
2
P(|
X
EX
|
)
E
|
X EX
p
|p
( p1)
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条件数学期望
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(iN)
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用示性函数的线性组合表示离散型随机变量（见前面“随机变量”部分）
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例：随机变量 X I A ,Y I B , A, B ，

应用随机过程课件

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性质：线性变换不改变随机过程的统计特性
举例：高斯随机过程经过线性变换后仍为高斯随机过程
定义：将随机过程通过非线性函数进行变换得到新的随机过程。常见变换：对随机变量进行指数变换、对数变换等。
应用场景：在信号处理、通信等领域中通过对随机信号进行非线性变换实现信号的调制、解调等功能。
多径传播：随机过程用于描述无线通信中的多径传播效应以提高信号的可靠性和稳定性。
随机过程在金融领域的应用包括股票价格预测、风险评估和投资组合优化等方面。
随机过程还可以用于信用评级和风险评估帮助金融机构评估借款人的信用风险和违约概率。
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通过随机过程模型可以分析金融市场的波动性和相关性从而制定有效的投资策略。
循环性是随机过程的基本性质之一它决定了过程的可预测性和不可预测性的程度。
循环性对于理解和预测某些自然现象（如气候变化、生态系统的动态等）具有重要意义。
在实际应用中循环性可以帮助我们更好地理解和预测某些随机现象如股票价格的波动、人口增长等。
定义：将随机过程进行线性变换得到新的随机过程
应用：在信号处理、通信等领域中广泛应用
数学模型：基于概率论和随机过程的理论基础建立非线性变换的数学模型分析其统计特性。
傅里叶变换的定义和性质随机过程的傅里叶变换方法傅里叶变换在信号处理中的应用傅里叶变换在随机过程中的应用实例
信号传输：随机过程用于描述信号在通信系统中的传输过程如噪声和干扰。
信道容量：随机过程用于分析通信信道的容量以优化通信系统的性能。调制解调：随机过程用于实现高效的调制解调技术如QM和QPSK。

应用随机过程课后习题解答毛用才胡奇英

第一章习题解答1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是参数。

解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=〔其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑〕令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑那么 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰22201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 那么211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰〕2、〔1〕求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2）其期望和方差；（3）证明对具有一样的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解〔1〕设X 服从(,)p b Γ分布，那么10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ 〔2〕'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4）假设(,)i i X p b Γ 1,2i = 那么121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

应用随机过程全套教学课件

x属于该序列的其余集合 .
关系：lim inf
n
An
lim
n
sup
An
例1.3：
{所以投掷硬币结果“正面”和“反面”组成的序列.}
F {的所有子集}，An {第n结果是“正面”}. 则
lim sup
n
An
有无限多次投掷的结果
是“正面”}
lim inf
n
An
{除有限多次外，其余投掷的结果都是
x
x
(4)F (x)是又连续的, 即F(x 0) lim F(t) F(x).
tx
随机变量的类型：
离散型： P( X xk ) pk pk 1
k 1
F(x) P( X x) pk
xk x
连续型： F(x) P( X x) x f (t)dt
（其中f (x)为概率密度函数， f (x)dx 1） f (x) dF(x) dx
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1P( A1A2 An )
1i jk n
事件列极限1：假设事件序列Ai ,
(1) 如果A1 A2 An ,
则 lim
n
An
An
n1
An A
(2) 如果A1 A2 An , An A
则
lim
n
An
An
n1
结论：单调事件(集合)序列必有极限.
f
( x1,,
xd
)
d
F (x1, x2,, xd x1x2 xd
)
一些常见的分布：
1.离散均匀分布：
分布列：
pk
1 n
,

2016应用随机过程讲义第二篇

X , Y 的协方差矩阵为
12 1 2
1 2 ，求 Z t 的协方差函数； 22
【注—期望向量与协方差矩阵】设 X 是随机向量 X X1 , X 2 , , X n T ，若 i 1, 2, , n ， EX i 存在，定义 X 的期望向量为： EX EX1 , EX 2 , , EX n T ；设随机矩阵
61
这里的“顾客”可以是电话交换台的“呼唤” ，通信设备中的“信号”、放射性物质衰变的“粒子” 、机场等待降落的“飞机” 、等待通过十字路口的“汽车” 、急诊室里等待急救的“病人”等等； 2. 设有 X t , t T ；当 t 指高度时， X t 表示高度 t 的气温；当 t 指空间的点时， X t 表示该点的风速；这种依赖于几个参数的随机过程，常称为随机场； 3. 考虑某输入输出系统——简单的 R-C 电路，设输入端有一个干扰信号电压，记之为 t ，记 Q t 为 t 时电路的电量， dQ t Q t 则其满足：由于 t , t T 是一随机过程， R t ；
dt C
上述方程其实是一个简单情形的随机（常）微分方程。随机过程的种类很多，不同的标准可得到不同的分类方法；若按随机过程 X t , 的“时间”和“状态”是连续还是离散，则可分为以下四类：（ⅰ）连续型随机过程： t T ， X t , 是连续型随机变量，且 T 也是连续集，即时间状态皆连续的情形，如上述的例 3；（ⅱ）离散型随机过程： t T ， X t , 是离散型随机变量，且 T 是连续集，即时间连续状态离散的情形，如上述的例 1；（ⅲ）连续随机序列：t T ， X t , 是连续型随机变量，且 T 是离散集，即时间离散状态连续的情形；（ⅳ）离散随机序列：t T ， X t , 是离散型随机变量，且 T 是离散集，即时间状态皆离散的情形。以下讨论描述随机过程统计特性的概率分布：设有随机过程 ) X t 或 X t 往往视方便而论），以后常视 t 为 X t , t T ( X t tT （写成时间；（a） t1 T , X t 是一维随机变量，其分布函数为 Ft x1 P X t x1 ，称为随机过程的一维分布函数；一维分布函数仅

应用数学中的随机过程

应用数学中的随机过程随机过程是应用数学领域中的一项重要研究内容，因其可以在多种领域中被广泛应用而备受瞩目。

简而言之，随机过程就是一个模型，它描述了具有随机性质的系统的时间演化。

随机过程的基本概念在介绍随机过程的具体应用之前，我们需要先了解一些随机过程的基本概念。

1. 状态空间：表示随机过程的所有状态可能性。

2. 状态转移概率：表示从一个状态转移到另一个状态的概率。

3. 随机过程的时间：通常用离散时间或连续时间来表示。

4. 马尔可夫过程：是一种常见的随机过程，它具有“无记忆性”的特点，即当前状态只与前一状态有关。

5. 马尔可夫链：是一种特殊的马尔可夫过程，它是一组具有马尔可夫性的随机变量序列。

随机过程在金融市场中的应用随机过程可以被广泛应用于金融市场中的风险管理。

在金融市场中，随机过程可以帮助投资者预测未来价格变动趋势，从而进行投资决策。

其中，布朗运动是一种重要的随机过程，在金融市场中得到了广泛应用。

布朗运动是一种连续时间随机过程，可以用来刻画股票价格变化等金融市场价格变动。

在布朗运动中，股票价格被看作一个随机游走，价格变化的大小和方向都是随机的。

因此，布朗运动可以被用来表示股票价格变动的噪声成分。

随机过程在信号处理中的应用随机过程也可以被用于信号处理领域。

特别的，自回归随机过程（AR）是一种常见的信号处理技术，可以用于声音信号、图像信号等多种信号的处理与分析。

AR过程可以通过建立随机模型来分析信号的各种统计特征，如均值、方差、自相关系数和谱密度等。

AR过程的基本思想是用之前的观测值来预测未来的观测值。

AR过程通常被用于对时间序列进行建模分析，并且被广泛应用于信号的降噪、预测等领域。

随机过程在生物统计中的应用自回归随机过程同样可以被用于生物统计。

在基因工程等领域中，自回归过程可以被用于建立基因表达数据的模型。

当分析基因表达时，一个基因的表达水平在不同的个体中可能有很大的变化。

自回归过程可以通过将分析数据看做一个时间序列来建模，并通过AR模型预测基因表达的未来趋势。

应用随机过程riemann-stieltjes积分_理论说明

应用随机过程riemann-stieltjes积分理论说明1. 引言1.1 概述随机过程是概率论与数学统计中的重要研究对象，它描述了随时间变化的随机现象。

而Riemann-Stieltjes积分作为一种重要的积分形式，广泛应用于众多数学和科学领域。

本文旨在探讨应用随机过程riemann-stieltjes积分理论的相关问题，以期揭示其在实际应用中的潜在意义。

1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、Riemann-Stieltjes积分理论、随机过程简介、Riemann-Stieltjes积分在随机过程中的应用以及结论与展望。

首先，在引言部分将简要介绍本文研究的背景和目标；接下来，将详细阐述Riemann-Stieltjes 积分理论及其定义、性质和应用；然后，介绍随机过程的基本知识、分类和特点；然后，深入讨论Riemann-Stieltjes积分在随机过程中的具体应用，包括引入、计算方法和实例研究；最后，在结论与展望部分总结文章内容发现，讨论不足之处并展望Riemann-Stieltjes积分在随机过程中更多的应用方向。

1.3 目的本文旨在探究Riemann-Stieltjes积分理论在随机过程中的应用。

首先，将介绍Riemann-Stieltjes积分的定义和性质，为后续的讨论奠定基础。

接着，重点关注随机过程的概念、分类和特点，以揭示其与随机变量之间的区别。

随后，在具体应用方面，将深入研究Riemann-Stieltjes积分在随机过程建模中的引入、计算方法和实例研究，并探讨其在实际应用中的意义。

最后，对本文进行总结归纳，并提出可能存在的不足之处，并展望Riemann-Stieltjes积分在随机过程中更多的潜在应用方向。

2. Riemann-Stieltjes积分理论:2.1 Riemann-Stieltjes积分的定义:Riemann-Stieltjes积分是一种对函数在有限区间上进行积分的扩展。

应用随机过程

一、随机过程简介随机过程这一学科最早起源于对物理学的研究，如吉布斯（美国物理化学家、数学物理学家）、玻尔兹曼（奥地利物理学家）、庞加莱（法国数学家）等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳(Wiener，美国数学家，控制论的创始人)、莱维(Levy，法国数学家)等人对布朗运动的开创性工作。

1907年前后，马尔可夫(Markov)研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。

1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。

随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。

1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。

1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。

一般认为，随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫（K olmogorov）和杜布(Doob)奠定的。

柯尔莫哥洛夫1903年4月25日，柯尔莫哥洛夫出生于俄罗斯的坦博夫城。

他的父亲在1919年去世。

他的母亲出身于贵族家庭，在他出生后10天去世。

他只好由二位姨妈抚育和指导学习。

他5、6岁时就归纳出了“l＝1^2，1+3＝2^2，1+3+5=3^2，1+3+5+7＝4^2．…”这一数学规律。

14岁时他就开始自学高等数学，1920年他高中毕业，进入莫斯科大学，先学习冶金，后来转学数学，大学三年级时就发表了论文。

1925年大学毕业后，当研究生。

1929年研究生毕业后，担任莫斯科大学数学力学研究所助理研究员。

1935年获得苏联首批博士学位。

1931年起他担任莫斯科大学教授，并指导研究生。

1933年担任莫斯科大学数学力学研究所所长，创建了概率论、数理统计、数理逻辑、概率统计方法等教研室，先后教过数学分析、常微分方程、复变函数论、概率论、数理逻辑和信息论等课程。

1939年当选为原苏联科学院院士、主席团委员和数学研究所所长。

第一次课应用随机过程简介1

❖ [16] 谢衷洁，平稳时间序列分析，北大出版社， 1990。
❖ [17] 赵达纲, 应用随机过程, 机诫工业出版社， 1993。
❖ [18] Robert.B.Ash,Topics in the Stochastic Processes , Academic Press INC.New york,1975
❖ 从1942年开始，日本数学家伊藤清（Itó）引进了随机积分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究的新道路，而且为一门意义深远的数学新分支—— 随机分析的创立与发展奠定了基础.
❖ 1930年左右，Wiener对概率论布朗运动研究使人们常常将此类运动称为Wiener过程；另外，他在时间序列的预测与滤波之理论建立亦做出贡献.
❖ [3] 复旦大学：《概率论第三册——随机过程》，人民教育出版社，1981。
❖ [4] A.M.雅格龙：平稳随机函数导论，数学进展，第2卷，第1期，1955。
❖ [5] 汪荣鑫编：《随机过程》，西安交通大学出版社，2001
❖ [6] 安鸿志等：《时间序列的分析与应用》，科学出版社，1986。
❖ [19] K.L,Chung.Lectures from Markov Processes to Brownian Motion,SpringerVerlag,1982
❖ [20] Edward,An Introduction to Stochastic Processes,Wadsworth Publishing Company(China Mashine Press,1997)
❖ 1931年Kolmogrov用分析的方法奠定了 Markov过程之理论基础；Kolmogrov之后，在此研究中作出重大贡献而影响了整个概率论的重要代表人物有P. Levy，（18861971）、辛钦（Khinchine 1894-1959）、

第二章应用随机过程简介(1)

n n
，
1
2

n

Xn
0
n n
……
0例2．当 t (t 0)固定时，电话交换站在 [0, t ]
间内来到的呼叫次数是 r v ，记，， (t ) P(t ) X( 其中t ) X是单位时间内平均来到的呼叫次数， t 0 而，若从变到 0 ，时刻来到的呼 t 叫次数需用一族随机变量表示， X (t ), t [0, ) X (t ) 是一个随机过程. 对电话交换站作一次观察 E 可得到一条表示 t 以前来到的呼唤曲线 x1 (t ) ，它为非降的阶梯曲线，在有呼唤来到的时刻阶跃地增加，（假定在任一呼唤来到的时刻不可能来到多于一次呼唤）.
1 2 n
1
n
1
n
1
1
n
n
F ( x1,, xm ; t1, t2 ,, tm ) F ( x1,, xm , ,, ; t1, t2 ,, tn )

利用随机过程的统计特性(有限维分布族和数字特征)进行分类, 主要有两类随机过程：平稳过程与马尔可夫过程.下面我们介绍随机过程中的一个重要定理： Theorem（Kolmogorov）若给定参数集 T 及分布函数族 {F(x ,, x ; t ,, t ): n 1, t ,, t T} 满足相容性条件，则必存在概率空间(,F , P)及定义于其上的随机过程 {X (t), t T} ，使 X (t ) 的有限维分布函数族与上述给定的分布函数族是重合的

2 X (t ) mX (t )
二、随机过程的协方差函数和相关函数
(covariance and correlation function ): 随机过程 X (t ) 的(自)协方差函数 ( X (t1 )与X (t2 ) 的协方差)

2016应用随机过程讲义第一篇

第一篇概率论基础
§1.概率测度与概率空间在概率论的发展早期，拉普拉斯（Laplace）给出了概率的古典定义；但随着概率论研究范围的扩大，古典定义的局限性也凸显出来。人们通过对“事件”和“概率”的长期研究发现：事件的运算与集合的运算完全类似， “概率”也与 “测度”有着完全相同的性质。 19 世纪以后，数学界广泛流行着公理化浪潮，它们主张把最基本的假定公理化，其它结论则由这些公理演绎导出。这种背景下，出现了诸多的概率论的公理化结构，其中广泛被接受的是 1933 年前苏联的柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）提出的公理化结构，从而使概率论成为严谨的数学分支。所谓公理化的概率论，其实就是测度论式的概率论，是建立在集合论与测度论基础上的概率论。一、事件域（事件 -代数）用概率度量事件发生的可能性时，希望用简单事件的概率来推算复杂事件的概率；那么一般情况下， 1.是否对任何基本事件都能给出概率？ 2. 当给出基本事件的概率后，是否可推算出其它事件的概率？对于可列样本空间，结论是肯定的；但对一般的样本空间，答案却是否定的。因为几何概型只对的可测子集（即: 有长度、有面积、有体积）有定义，而可测集远不能穷尽的一切子集。这样，一方面我们不必把的一切子集作为事件；另一方面，又必须把“感兴趣”的事件都包括进来；比如：若 A 是事件，则 A （或 Ac ）也应是事件；若 A, B 是事件，则 A B 也应是事件，当然也要考虑可列并的情形；此外，作
2
为事件应是必然事件。我们把事件的全体记为 F ，则其应满足：1） F ；2）若 A F ，则 A F ；3）若 An , n 1 F ，即：
n 1, An F ，则
n 1

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