(完整版)《平行四边形及其性质》知识讲解(基础)

平行四边形及其性质（基础）【学习目标】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理.2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用．4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。

“夹在两条平行线间的垂线段相等”．【要点梳理】知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，若AF 、BE 分别为∠DAB 、∠CBA 的平分线．求证：DF ＝EC ．【答案与解析】证明：∵ 在Y ABCD 中，CD ∥AB ，∠DFA ＝∠FAB ．又∵ AF 是∠DAB 的平分线，∴ ∠DAF ＝∠FAB ，∴ ∠DAF ＝∠DFA ，∴ AD ＝DF ．同理可得EC ＝BC ．∵ 在YABCD 中，AD ＝BC ，∴ DF ＝EC ．【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件．举一反三：【变式】如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE ＝AF ，请你猜想：线段BE 与线段DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.【答案】证明：猜想：BE ∥DF 且BE ＝DF.∵四边形ABCD 是平行四边形∴CB=AD ，CB ∥AD∴∠BCE ＝∠DAF在△BCE 和△DAF 中CB AD BCE DAFCE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△DAF∴BE ＝DF ，∠BEC ＝∠DFA∴BE ∥DF即 BE ∥DF 且BE ＝DF.2.（2016·永州）如图，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．【思路点拨】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可证明；（2）证明△ABE为等边三角形，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF与△ECF 的面积相等，平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积，即可得出结果．【答案与解析】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，又∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠B AE=∠DAE，∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE，∴BE=CD．（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°∴△ABE为等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF=23，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，D ECFDAF EAF EF∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩,∴△ADF≌△ECF（AAS）∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=114234322AE BF⋅=⨯⨯=．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定、勾股定理；解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．3.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G．求证：（1）∠1=∠2；(2）DG=B′G．【思路点拨】（1）根据平行四边形得出DC∥AB，推出∠2=∠FEC，由折叠得出∠1=∠FEC=∠2，即可得出答案；（2）求出EG=B′G，推出∠DEG=∠EGF，由折叠求出∠B′FG=∠EGF，求出DE=B′F，证△DEG ≌△B′FG即可．【答案与解析】证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，∴∠2=∠FEC，由折叠得：∠1=∠FEC，∴∠1=∠2；（2）∵∠1=∠2，∴EG=GF，∵AB∥DC，∴∠DEG=∠EGF，由折叠得：EC′∥B′F，∴∠B′FG=∠EGF，∵DE=BF=B′F，∴DE=B′F，∴△DEG≌△B′FG（SAS），∴DG=B′G．【总结升华】本题考查了平行四边形性质，折叠性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．4.如图，已知▱ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB=BE．【思路点拨】根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥CD，推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，证△CDF ≌△BEF，推出BE=DC即可．【答案与解析】证明：∵F是BC 边的中点，∴BF=CF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=DC ，AB ∥CD ，∴∠C=∠FBE ，∠CDF=∠E ，∵在△CDF 和△BEF 中＝＝＝C FBE CDF E CF BF ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△CDF ≌△BEF （AAS ），∴BE=DC ，∵AB=DC ，∴AB=BE ．【总结升华】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出△CDF ≌△BEF ．举一反三：【变式】如图，已知在▱ABCD 中，延长AB ，使AB=BF ，连接DF ，交BC 于点E ．求证：E 是BC 的中点．【答案】证明：在□ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=CD ，∴∠CDF=∠F ，∠CBF=∠C ，∵AB=FB ，∴DC=FB ，∴△DEC ≌△FEB ，∴EC=EB ，即E 为BC 的中点．类型二、平行线的性质定理及其推论5.（1）如图1，已知△ABC ，过点A 画一条平分三角形面积的直线；（2）如图2，已知l 1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 面积相等；（3）如图3，点M 在△ABC 的边上，过点M 画一条平分三角形面积的直线．【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式，只需过点A和BC的中点画直线即可；（2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明；（3）结合（1）和（2）的结论进行求作．【答案与解析】解：（1）取BC的中点D，过A、D画直线，则直线AD为所求；（2）证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h．∴S△EGH=12GH×h，S△FGH=12GH×h，∴S△EGH=S△FGH，∴S△EGH-S△GOH=S△FGH-S△GOH，∴△EGO的面积等于△FHO的面积；（3）解：取BC的中点D，连接MD，过点A作AN∥MD交BC于点N，过M、N画直线，则直线MN为所求．【总结升华】此题主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等．举一反三：【变式】（南京校级期中）有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．探索：已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD．应用此定理进行证明求解．应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB=CD．求证：∠B=∠C；应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和．【答案】探索：证明：如图1，连接AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA∵AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AB=CD；应用一：证明：如图2，作DE∥AB交BC于点E，∵AD∥BC，∴AB=DE∵AB=CD，∴DE=CD，∴∠DEC=∠C∵DE∥AB，∴∠B=∠DEC，∴∠B=∠C；应用二、解：如图3，作DF∥AC交BC的延长线于点F∵AD∥BC，∴AC=DF、AD=CF，∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BEC，∵AC⊥BD，∴∠BDF=∠BEC=90°，在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF=5，故BC+AD=BC+CF=BF=5．。