2011年卓越联盟自主招生数学试题及答案.pdf
2011北大自主招生数学详解版
值为何？ 解 由 a7 a3 4d 可得公差 d 4 , 从而 a1 21 . 令 21 4( x 1) 0 得 x 6.25 , 故 {an } 从第 7 项开 始为正, 所以 {S n } 的最小项为 S6 66 . 4. 在 ABC 中， a b 2c ，求证： C 60 . 证 根据正弦定理有 sin A sin B 2sin C , 从而有
2011 年北约等十三校联考自主招生数学试卷 厦门一中徐小平
1. 已知平行四边形的其中两条边长为 3 和 5，一条对角线长为 6，求另一条对角线长. 解一 (引理) 平行四边形的对角线平方和等于四边的平方和. 另一对角线长为
2(32 52 ) 62 4 2 . C B 解二 如图, 设 AB 3 , AD 5 , BD 6 , 则据余弦定理有 2 2 2 2 AB AD cos A AB AD BD 2 , 于是 AC 2 DC 2 AD 2 2 DC AD cos CDA D A 32 52 2 AB AD cos A 32 , 从而 AC 4 2 . 2 2 2. 求过抛物线 y 2 x 2 x 1 和 y 5 x 2 x 3 的交点的直线方程. 解 由上述两方程消去二次项可得 6 x 7 y 1 0 , 此即为过两抛物线交点的直线方程. 3. 在等差数列 {an } 中， a3 13, a7 3 ，数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，求数列 {S n } 的最小项，并指出其
2011年清华自主招生数学试题和答案解析
2011年高水平大学自主招生选拔学业能力测试数学注意事项：1. 答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z 满足|z|<1且15|z+|2z=，则|z |=（ ） A 45 B 34 C 23 D 12解析：设|z |a bi =+代入15|z+|2z =整理得22221174a b a b ++=+，又|z |<1，所以2214a b +=，|z |=12=（2）在正四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切.则异面直线DM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A13 B 16 C 18 D 112解析：设2AB =,容易算出2PB =,以底面中心为原点建立空间坐标系，1111(1,1,0),(1,1,0),(,,(,,222222D A M N ------，由1cos 6|DM AN ||DM ||AN |θ⋅==⋅uuu u r uuu ruuuu r uuu r （3）过点(1,1)-的直线l 与曲线3221y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的斜率是（ ）A 2B 1C 1-D 2-解析：32221(),()322y x x x f x f x x x '=--+==--，设切点(),()t f t ，()()()y f t f t x t '-=-，把(1,1)-代入且1t ≠-得到1t =，所以2k =-（4）若23A B π+=,则22cos cos A B +的最小值和最大值分别为（ ）A.312-， B.1322，C.11D.112， 解析：2222211cos cos cos cos ()1cos(2)323A B A A A ππ+=+-=++，选B （5）如图，1O e 和2O e 外切于点C ，1O e ，2O e 又都和O e 内切，切点分别为,A B . 设AOB ACB αβ∠=∠=，，则（ ） A cos sin02αβ+= B sin cos02αβ-=C sin 2sin 0βα+=D sin 2sin 0βα-= 解析：连接12O O 过点C ，设12CAO CBO ∠=∠∠=∠，，12O C O C 、，则+1+2=+21+22=βαπ∠∠∠∠,即2=βαπ-，只有D 是错的。
自主招生数学试题及答案
自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(x) \)的最小值。
A. 0B. 1C. 2D. 42. 若\( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \)，求\( \theta \)的值。
A. \( \frac{\pi}{4} \)B. \( \frac{\pi}{2} \)C. \( \frac{3\pi}{4} \)D. \( \pi \)3. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为3，公差为2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 4x + 4 = 0 \)的两个根，则\( a + b \)的值为______。
6. 已知\( \cos(\alpha) = \frac{3}{5} \)，\( \alpha \)在第一象限，求\( \sin(\alpha) \)的值。
7. 若一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的第5项。
8. 一个长方体的长、宽、高分别是\( a \)、\( b \)、\( c \)，求长方体的体积。
三、解答题（每题30分，共60分）9. 已知函数\( g(x) = \ln(x) + 2x - 6 \)，求\( g(x) \)的导数。
10. 一个工厂生产某种产品，每件产品的成本为\( C(x) = 50 + 20x \)，销售价格为\( P(x) = 120 - 0.5x \)，其中\( x \)表示生产数量。
求工厂的盈亏平衡点。
答案：一、选择题1. B. 1（因为\( f(x) = (x-2)^2 \)，当\( x = 2 \)时，\( f(x) \)取得最小值1）2. A. \( \frac{\pi}{4} \)（根据二倍角公式）3. A. 23（第10项为\( a_{10} = 3 + 9 \times 2 = 23 \)）4. B. 50π（圆的面积公式为\( A = \pi r^2 \)）二、填空题5. -4（根据韦达定理）6. \( \frac{4}{5} \)（根据勾股定理）7. 162（第5项为\( a_5 = 2 \times 3^4 = 162 \)）8. \( abc \)（长方体体积公式）三、解答题9. \( g'(x) = \frac{1}{x} + 2 \)（对\( g(x) \)求导）10. 盈亏平衡点为\( x = 40 \)。
2011年综合性大学(北约)自主选拔录取联合考试数学试题及答案
2011年综合性大学(北约)自主选拔录取联合考试数学试题请注意:文科考生做1至5题,理科考生做3至7题,每题20分,共100分.1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线的长.2.求过抛物线2221y x x =--和2523y x x =-++的交点的直线方程.3.在等差数列{}n a 中,3713,3,a a =-=数列{}n a 的前n 项和为n S ,求数列{}n S 的最小项,并指出其值为何.4.在ABC ∆中,2a b c +≥,求证:60C ∠≤ .5.是否存在四个正实数,使得它们的两两乘积为2,3,5,6,10,16?6.1C 和2C 是平面上两个不重合的固定圆,C 是平面上的一个动圆,C 与12,C C 都相切,则C 的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由.7.求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++- 的最小值.参考答案1.x =【解】设另一条对角线的长度为x .由22222(35)6,x +=+解得x =. 2.【解】联立两方程,消去2,x 得6710x y +-=.此方程即为所求. 3.最小值为-66.【解法1】425,n a n =-由10,,0.n n a a +≤⎧⎨≥⎩即4250,.4(1)250.n n -≤⎧⎨+-≥⎩解得212544n ≤≤. 因为*,n N ∈所以当6n =时,n S 最小,最小值为66-. 【解法2】因为22235292232(),48n S n n n =-=--因为*,n N ∈所以当6n =时,n S 最小,最小值为66-. 4.由正弦定理sin sin sin a b c ABC==知,2sin sin 2sin 2sincos 2sin 22A B A B a b c A B C C +-+≥⇔+≥⇔≥又因为sin sin()cos ,sin 2sincos 222222A B C C C C C +π=-==,所以,cos cos 2sin cos2222CA B C C-≥,又因为022C π<<时,cos02C >所以11sin cos2222C A B-≤≤(当A B =时取等号),而022C π<<所以30,2C ≤即60C ≤.5.【解】假设存在满足条件的四个正实数,,,a b c d ,不妨,a b c d <<<则有,.ab ac ad bc bd cd <<<< (1)若ad bc <,则有2,3,5,6,10,16ab ac ad bc bd cd ====== 所以,23,b c a a==.由6bc =得1,2,3,5a b c d ====.所以15,cd =与16cd =矛盾.(2)若,ad bc >则有2,3,5,6,10,16.ab ac bc ad bd cd ====== 所以236,,b c d a a a===.由5bc =,得265a =,由16cd =,得298a =,矛盾.综上所述,假设不存立,所以不存在四个正实数,它们两两乘积分别为2，3，5，6，10，16. 6.【解】设圆心12,C C 的半径分别为12,r r ; (1)若12r r =.①若两圆相离,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线;②若两圆相切,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线(即两圆的内分切线)和直线12C C ,去掉切点;③若两圆相交,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线和以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆,去掉交点. (2)若12r r ≠①若两圆外离,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内);②若两圆外切,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内)和直线12C C ,去掉切点;③若两圆相交,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内)和以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆,去掉交点.④若两圆内切,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆和直线12C C ,去掉切点; ⑤若两圆内含,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆. 依据椭圆、双曲线的定义即可证明,这儿不再赘述. 7.491832711【解】首先设1212,()||||||.n n a a a f x x a x a x a ≤≤≤=-+-++-则由绝对值几何意义知,n 为奇数时,当12n x a +=时,()f x 有最小值;当n 为偶数时,当x 取[,1]22n n aa+上任何值时,()f x 有最小值.回到原题, 20111111111()|1|||||||||||||||2233320112011f x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-++-++-个以上和式共有2012201112201120230662⨯+++== 个点.设12345620230661111,,,,,232011a a a a a a a =======所以20230661011533.2=下面求10115331011534,a a 的值.设10115331,a t =则121011533,12(1)1011533,t t +++≥+++-< 可得1422t =,且1011533101153411422a a ==.故11422x =时,()f x 最小.111111491()112114221423120111832142214221422142214221422711f =-+-⨯++-⨯+⨯-+⨯-=。
自主招生数学试题及答案
自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(x) \)的最小值。
A. 0B. 1C. 2D. 42. 若\( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \)，求\( \theta \)的值。
A. \( \frac{\pi}{4} \)B. \( \frac{\pi}{2} \)C. \( \frac{3\pi}{4} \)D. \( \pi \)3. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为3，公差为2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 4x + 4 = 0 \)的两个根，则\( a + b \)的值为______。
6. 已知\( \cos(\alpha) = \frac{3}{5} \)，\( \alpha \)在第一象限，求\( \sin(\alpha) \)的值。
7. 若一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的第5项。
8. 一个长方体的长、宽、高分别是\( a \)、\( b \)、\( c \)，求长方体的体积。
三、解答题（每题30分，共60分）9. 已知函数\( g(x) = \ln(x) + 2x - 6 \)，求\( g(x) \)的导数。
10. 一个工厂生产某种产品，每件产品的成本为\( C(x) = 50 + 20x \)，销售价格为\( P(x) = 120 - 0.5x \)，其中\( x \)表示生产数量。
求工厂的盈亏平衡点。
答案：一、选择题1. B. 1（因为\( f(x) = (x-2)^2 \)，当\( x = 2 \)时，\( f(x) \)取得最小值1）2. A. \( \frac{\pi}{4} \)（根据二倍角公式）3. A. 23（第10项为\( a_{10} = 3 + 9 \times 2 = 23 \)）4. B. 50π（圆的面积公式为\( A = \pi r^2 \)）二、填空题5. -4（根据韦达定理）6. \( \frac{4}{5} \)（根据勾股定理）7. 162（第5项为\( a_5 = 2 \times 3^4 = 162 \)）8. \( abc \)（长方体体积公式）三、解答题9. \( g'(x) = \frac{1}{x} + 2 \)（对\( g(x) \)求导）10. 盈亏平衡点为\( x = 40 \)。
2011华约自主招生数学题及解答
AB CO D E 2011华约自主招生数学题及解答∎1：设复数z 满足|z|<1，且|z ̅+1z |=52，则|z|=( ) A.54 B.34 C.23 D.12 解：|zz+1z |=52，||z|2+1|=52|z|，2|z|2−5|z |+2=0，(|z|−2)(2|z|−1)=0，∴|z|=12。
选D∎2：一个正四棱锥P-ABCD ，侧面与底面所成二面角的正切为√2，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，则异面直线DM 与AN 夹角θ的余弦值为（ ）A.13B.16C.18D.112 解：建坐标系，设A(1,−1,0)，B(1,1,0)，C(−1,1,0)，D(−1,−1,0)，则P(0,0,√2)，M(12,−12,√22)， N(12,12,√22)，DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(32,12,√22)，AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−12,32,√22)，∴cos θ=12√3√3=16。
选B∎3：过点(−1,1)的直线ℓ与曲线,y=x 3−x 2−2x +1相切，且(−1,1)不是切点，则直线ℓ的斜率是（ ）A.2B.1C.−1D.−2解：设切点(x 0,x 03−x 02−2x 0+1)，y ′=3x 02−2x 0−2，所以x 03−x 02−2x 0x 0+1=3x 02−2x 0−2，可得x 0=1，所以k=−1. 选C ∎4：若A+B=2π3，则cos 2A +cos 2B 的最小值和最大值分别为（ ）A.1−√32, 32B.12,32 C.1−√32, 1+√32D.12,1+√22解：cos 2A +cos 2B =1+cos2A2+1+cos2B2=1+12(cos2A +cos2B)=1+cos(A+B)cos(A −B)=1−12cos (A −B)，当A −B=0时，1−12cos (A −B)=12，当A −B=π时，1−12cos (A −B)=32。
2011全国重点高中自主招生考试数学试卷大全
2011年浙江省象山中学提前招生数学试题一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．一个布袋中装有10个相同的球，其中9个红球，1个黄球，从中任意摸取一个，那么( ) (A)一定摸到红球 (B)一定摸到黄球(C)不可能摸到黄球 (D)很有可能摸到红球2．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路.现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示(距离单位：公里)，则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是( )．(A)19．5 (B)20．5 (C)21．5 (D)25．53．若等腰△ABC 的三边长都是方程x 2-6x+8=0的根，则△ABC 的周长是( ) (A)10或8 (B)1O (C)12或6 (D)6或10或124．A 、B 、C 、D 四人参加某一期的体育彩票兑奖活动，现已知：如果A 中奖，那么B 也中奖： 如果B 中奖，那么C 中奖或A 不中奖：如果D 不中奖，那么A 中奖，C 不中奖： 如果D 中奖，那么A 也中奖 则这四个人中，中奖的人数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)45．已知三条抛物线y 1=x 2-x+m ，y 2=x 2+2mx+4，y 3=mx 2+mx+m-1中至少有一条与x 轴相交，则实数m 的取值范围是( )(A)4/3<m<2 (B)m≤3/4且m≠0 (C)m≥2 (D)m≤3/4且m≠0或m≥26．如图，在正ABC 中，D 为AC 上一点，E 为AB 上一点，BD 、CE 交于P ，若四边形ADPE 与△BPC 面积相等，则∠BPE 的度数为( ) (A)60° (B)45° (C)7 5° (D)50° 二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)7.在△ABC 中，∠C=90°，若∠B=2∠A ，则tanB= ． 8．已知|x|=4，|y|=1/2，且xy<0，则x/y 的值等于 。
2011年卓越联盟自主招生数学试题及答案.pdf
2011年同济等九校(卓越联盟)自主招生数学试题(1)向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为(A )6π(B )3π(C )23π (D )56π (2)已知sin2(α+γ)=n sin2β，则tan()tan()αβγαβγ++-+22等于 (A )11n n -+ (B )1n n + (C )1n n - (D )11n n +- (3)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为 (A )153 (B )155 (C )53 (D )55(4)i 为虚数单位，设复数z 满足|z |=1，则2221z z z i-+-+的最大值为 (A )2-1 (B )2-2 (C )2+1 (D )2+2(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4x +y -20=0，则抛物线方程为(A )y 2=16x (B )y 2=8x (C )y 2=-16x (D )y 2=-8x(6)在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为(A )3 (B )2 (C )32 (D )22(7)若关于x 的方程||4x x +=kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为( ) (A )(0，1) (B )(14，1) (C )(14，+∞) (D )(1，+∞) (8)如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交⊙O 于G 、F ，交⊙O 在A 点的切线于P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则PA 的长为(A )5 (B )6(C )7(D )22 (9)数列{a n }共有11项，a 1=0，a 11=4，且|a k +1-a k |=1，k =1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )(A )100 (B )120 (C )140 (D )160(10)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，τ表示坐标平面关于y 轴的镜面反射．用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用σk 表示连续k 次的变换，则στσ2τσ3τσ4是( ) (A )σ4 (B )σ5 (C )σ2τ(D )τσ2 (11)设数列{a n }满足a 1=a ，a 2=b ，2a n +2=a n +1+a n ．(Ⅰ)设b n=a n+1-a n，证明：若a≠b，则{b n}是等比数列；(a1+a2+…+a n)=4，求a，b的值．(Ⅱ)若limn1）考察数列定义2）a1+a2+a3+...+a n=a n-a n-1+2(a n-1-a n-2)+3(a n-2-a n-3)+...+(n-1)(a2-a1)+na1=b n+2b n-1+3b n-3+...+b1+na(错位相减，可得a，b的值)(12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC．(Ⅰ)求k的取值范围；(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-3相切．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．(14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n．(Ⅰ)求EX1；(Ⅱ)设P(X n=a+k)=p k，求P(X n+1=a+k)，k=0，1，…，b；(Ⅲ)证明：EX n+1=(1-1a b+)EX n+1．(15)(Ⅰ)设f(x)=x ln x，求f′(x)；(Ⅱ)设0<a<b，求常数C，使得1|ln|bax C dxb a--⎰取得最小值；(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a,b，证明：m a,b<ln2．。
2011各地自主招生考试数学试卷集
2011年漳州一中高中自主招生考试数 学 试 卷（满分：150分；考试时间：120分钟）亲爱的同学：欢迎你参加本次考试！请细心审题，用心思考，耐心解答．祝你成功！ 答题时请注意：请将答案或解答过程写在答题卷的相应位置上，写在试卷上不得分．一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有A 、B 、C 、D 四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确答案的代号填写在答题卷中相应的表格内，答对得4分，答错、不答或答案超过一个的得零分）1.下列运算正确的是…………………………………………………………（ ） A. B. C. D.2.如图，点在数轴上表示的实数为，则等于…………………（ ）A. B. C. D.3.甲、乙两名运动员在次的百米跑练习中，平均成绩分别为秒，秒，方差分别为S ，S ，那么在这次百米跑练习中，甲、乙两名运动员成绩较为稳定的是……………………………（ ）A.甲运动员B.乙运动员C.甲、乙两人一样稳定D.无法确定4.如图，、、、是直线上顺次四点，、分别是、的中点，且cm ，cm ，则的长等于……………………（ ）A.cmB.cmC.cmD.cm5.已知等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个内角的度数分别是……………………………………………………………………………（ ） A.、、 B.、、 C.、、 D.、、或、、 6.如图，点在函数的图象上，过点 A 作垂直轴，垂足为，过点作垂直轴，垂足为，则矩形的面积是……（ ） A. B.C. D.不能确定7.用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成 一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为………………（ ） A.个 B.个C.个D.个8.用半径为、圆心角为的扇形做成一个圆锥的侧面, 则这个圆锥的底面半径是……………………………………………………………………（ ） A.cm B.cm C.cm D.cm 9.若为整数，则能使也为整数的的个数有……………………（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.已知为实数，则代数式的最小值为………………（ ）． A –1 0 1 2 3 ． ． ． ．． （第2题图） A M B C NDl． ． ． ． ． ． （第4题图）（正视图） （俯视图） （第7题图）12.分解因式：．13.把个边长为的正方形排成如右图所示的 图形，则这个图形的周长是 ． 14.如图，正方形的边长为cm ，正方形 的边长为cm ．如果正方形绕点旋转，那么 、两点之间的最小距离为cm ．15.若规定：①表示大于的最小整数，例如：，；②表示不大于的最大整数，例如：，.则使等式成立的整数．．． 16.如图，、分别是的点，与相交于点，与相交于 点，若△APD ，△BQC ， 则阴影部分的面积为 ．三、解答题（本大题共有7小题，共86分．其中第17题8分，第18、19题各10分，第20题12分，第21题14分，第22、23题各16分．请将解答过程写在答题卷的相应位置上） 17.计算：.18.先化简，再求值：÷ ，其中.19.将背面相同，正面分别标有数字、、、的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率； （2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．．），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排人，则还剩人；若每处安排人，则有一处的人数不足人，但不少于人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数. EABCDG F（第14题图）（第16题图）21.如图，四边形是正方形，点是的中点，是边上不同于点、的点，若，求证:.22.如图，抛物线的顶点坐标是，且经过点.(1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与轴相交于点，与轴相交于、两点（点在点的左边），试求点、、的坐标；(3)设点是轴上的任意一点，分别连结、．试判断：与的大小关系，并说明理由.(第21题图)N(第22题图)23.如图，是⊙O 的直径，过点作⊙O 的切线，点在右半圆上移动点与点、不重合），过点作⊥，垂足为；点在射线 上移动（点在点的右边），且在移动过程中保持∥. (1)若、的延长线相交于点，判断是否存在点，使得点恰好在⊙O 上？ 若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由；(2)连结交于点，设，试问：的值是否随点的移动而变化？证明你的结论．2011年浙江省象山中学提前招生数学试题一、选择题(每小题5分，共30分)1、若匀速行驶的汽车速度提高40％，则行车时间可节省( )％(精确至1％) A 、6 0 B 、40 C 、 29 D 、252、如图，一个正方形被5条平行于一组对边的直线和3条平行于另一组对边的直线分成24个(形状不一定相同的)长方形，如果这24个长方形的周长的和为24，则原正方形的面积为( )． A 、1 B 、9/4 C 、4 D 、36/253、已知：，x 2+3x 为( )A 、1B 、-3和1C 、3D 、-1或34、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且S △AOB =4，S △COD =9，则四边形A B CD 面积有( ) A 、最小值12 B 、最大值12 C 、．最小值25 D 、最大值255、二个天平的盘中，形状相同的物体质尊相等，如图(1)图(2)所示的两个天平处于平街状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置( )A 、 3个球B 、4个球C 、5个球D 、6个球 5、9人分24张票，每人至少1张，则( )A 、至少有3人票数相等B 、至少有4人票数无异C 、不会有5人票数一致D 、不会有6人票数同样 二、填空(：每小题5分，共30分、}1、姚明在一次“N BA”常规赛中，22投144中得28分，除了3个3分球全中外，他还投中了一个两分球和个罚球。
高中自主招生数学试题
12011年高中自主招生考试试题数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至10页.共120分.考试时间90分钟.请将选择题的答案填到Ⅱ卷上方的对应表格中.第Ⅰ卷（选择题 共42分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.不能答在试卷上.3.考试结束,答题卡和卷Ⅱ一并交回.一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1x 的取值范围是 A ．3x > B ．3x ≥C ．3x ≤D ．3x ≠2．据估算，中国汽车行业每年消耗的汽油总量大约为6000万吨，每日消耗约164400000千克，保留三位有效数字，将164 400 000千克这个数用科学记数法可表示为 A ．81.6410⨯千克 B ．816.410⨯千克 C ．81.64410⨯千克 D ．71.6410⨯千克 3．下列运算中，正确的是A ．235a a a += B ．222(2)2ab a b =C ．236a a a ⋅=D ．2222a a a +=4．如图，AB ∥CD ，BE 交CD 于点F ，∠B=45°，∠E =21°则∠D 为 A. 21° B. 24° C. 45° D. 66° 5．二元一次方程组2,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是A ．0,2.x y =⎧⎨=⎩ B ．2,0.x y =⎧⎨=⎩ C ．1,1.x y =⎧⎨=⎩ D ．1,1.x y =-⎧⎨=-⎩26．如果线段上一点P 把线段分割为两条线段P A ，PB ，当2PA PB AB =⋅，即0.618PA AB ≈时，则称点P 是线段AB 的黄金分割点，现已知AB =10，点P 是线段AB 的黄金分割点，如图，那么线段PB 的长约为 A ．6.18B ．0.382C ．0.618D ．3.827．若两圆半径分别为R ，r ，其圆心距为d ,且2222R Rr r d ++=，则两圆的位置关系是 A ．外切 B ．内切 C ．外离 D ．内含8．下图是由大小一样的小正方块摆成的立体图形的三视图，摆成它共用小正方块数 A ．5 B ．8 C ．7 D ．69．在一周内，体育老师对九年级男生进行了5次一千米跑测试，若想了解他们的成绩是否稳定，老师需知道每个人5次测试成绩的A ．平均数B ．中位数C ．方差D ．众数 10．如图路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离 灯的底部（点O ）20米的点A 处沿AO 所在的直线行 走14米到点B 时，人影子的长度 A ．减小3.5米 B ．减小1.5米 C ．增大3.5米 D ．增大1.5米11． 现有A ，B 两枚均匀的小正方体，正方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.小红掷A 正方体得到向上的数字为x ，小明掷B 正方体得到向上的数字为y ，用x ，y 来确定点P (x ，y )，那么她们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线24y x x =-+上的概率为 A ．16 B ．19 C ．112 D ．1183B（第12题图）12．如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB :FG =2:3，则下列结论正确的是 A ．2DE =3MN ， B ．3DE =2MN ， C ．3∠ A =2∠ F D ．2∠ A = 3∠ F13．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是14．如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与 x 之间函数关系的图象是452011年高中自主招生考试试题数 学第Ⅱ卷（非选择题 共78分）注意事项：1．第Ⅱ卷共8页,用蓝黑钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.二、填空题：(本大题共5个小题.每小题3分，共15分)把答案填在题中横线上.15．因式分解：3a a -=．16．已知二次函数2y x mx n =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的解为 ．17．规定[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.62=，[]3,144-=-，若[]3x =，则x的取值范围是.18．如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是 ．市(区):＿＿＿＿＿ 学校:＿＿＿＿＿ 姓名:＿＿＿＿＿ 班级:＿＿＿＿ 准考证号:＿＿＿＿＿619．如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过Rt ∆OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为_____________.三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共3小题，共20分） 20．（本小题满分6分）解分式方程： 423-x -2-x x=2121．（本小题满分7分）为响应某市组织的“爱心在校园”活动，学校对本校倡导的自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3︰4︰5︰8︰6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人．请你根据上述信息解答下列问题： （1）他们一共调查了多少人？（2）这组数据的众数、中位数各是多少？（3）若该校共有1300名学生，估计全校捐款不少于25元的学生约有多少人？/元(第21题图)22．（本小题满分7分）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是(如图所示)：画线段AB，分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连结AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC的延长线于D，连结DB.则△ABD就是直角三角形.(1)请你说明其中的道理；(2)请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°(不写作法，保留作图痕迹).DCBA78四、认真思考，你一定能成功！（本大题共2小题，共19分） 23．（本小题满分9分）如图，已知⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于E ，连接AD ，BD ，OC ，OD ，且OD =5. （1）若3sin 5BAD ∠=，求CD 的长； （2）若:4:1ADO EDO ∠∠=,求阴影部分的面积.（结果保留π）24．（本小题满分10分）A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当它们行驶了7个小时时，两车相遇，求乙车速度．910五、相信自己，加油啊！（本大题共2小题，共24分） 25. (本小题满分11分)已知Rt ABC △中,90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），D EF S ∆，CEF S ∆，ABCS ∆有怎样的数量关系？（2）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下， 图1结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AE CF BD图1图3ADFECBADBCE 图2F1126．（本小题满分13分）已知：如图一次函数y ＝12x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数212y x bx c =++的图象与一次函数112y x =+的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC 的面积S ；(3)在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．第26题图12。
2011年华约自主招生数学试题(精校word版,有参考答案)
2011年“华约”自主招生数学试题一、选择题1．设复数z满足|z|<1且15||2zz+=则|z| =（）A．45B．34C．23D．12【答案】D【解析】由15||2zz+=得25||1||2z z+=，已经转化为一个实数的方程．解得|z| ＝2（舍去），12．2．在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为P A、PB．则异面直线DM与AN所成角的余弦为（）A．13B．16C．18D．112【答案】D【解析】本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素．本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等．然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起．解法一：如图1，设底面边长为2．如图建立坐标系，则A（1，－1，0），B（1，1，0），C（－1，1，0），D（－1，－1，0），P（0，0），则1111(,(,2222M N-，312132(,,),(,,)222222DM AN =-=-．设所成的角为θ，则1cos 6DM AN DM ANθ==．3．已知1223+--=x x x y ，过点（－1, 1）的直线l 与该函数图象相切，且（－1, 1）不是切点，则直线l 的斜率为 （ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】C【解析】显然（－1, 1）在1223+--=x x x y 的图象上．设切点为)12,(020300+--x x x x ， 2232--='x x y ，所以223020--=x x k ．另一方面，)1(1)12(002030---+--=x x x x k )2(00-=x x 223020--=x x ．所以x 0＝1,所以1-=k ．选C ． 4．若222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 （ ） A ．321-，32B ．12 ，32C ．321-，321+D ．12 ，221+【答案】B【解析】首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个． 解：221cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)222A B A B A B +++=+=++ 11cos()cos()1cos()2A B A B A B =++-=--，可见答案是B【答案】B【解析】题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱．我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，OO 1、OO 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A =O 1C ，O 2B =O 2C ． 解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OO O OO O πα∠+∠=-，111212O AC O CA OO O ∠=∠=∠，222112O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故1212211()22O CA O CB OO O OO O πα-∠+∠=∠+∠=， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2αβ=． 解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212OO O OO O πα-∠=∠=，1212124O CA O CB OO O πα-∠=∠=∠=，12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos2αβ=．6．已知异面直线a ，b 成60°角．A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 （ ） A ．有且只有一个B ．有且只有两个C ．有且只有三个D ．有且只有四个【答案】D【解析】已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了．因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系．于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线．答案是4个． 7．已知向量3131(0,1),(,),(,),(1,1)2222a b c xa yb zc ==--=-++=则222x y z ++的最小值为（ ） A ．1B ．43C ．32D ．2【答案】B【解析】由(1,1)xa yb zc ++=得1)111222y z y z y z y z x x ⎧⎧+=-=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩， 由于222222()()2y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y + z ，y －z三个变量，变形2(1)y z y z x ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩，代入222222()()2y z y z x y z x ++-++=+222228242(1)343()3333x x x x x =+-+=-+=-+，答案B 8．AB 为过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 （ ） A．B．5C．3D．3【答案】A【解析】解法一：焦点F （1，0），C （－1，0），AB 方程y ＝ x – 1，与抛物线方程y 2 ＝ 4x联立，解得A B (3+2+ (3-2- ，，于是22CA CB k k ==，tan 1CA CB CA CBk k ACB k k -∠==+ A 解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠BAD ＝ 45°，EF ∥DA ，EF ＝ 2，AF ＝ AD ，BF ＝ BC ，求∠AEB ．tan tan 2DE GF AEF EAD AD AF ∠=∠===．类似的，有tan tan BEF EBC ∠=∠=2AEB AEF BEF AEF ∠=∠+∠=∠，tan tan 2AEB AEF ∠=∠= A【答案】DA ．存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B ．存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C ．存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D ．任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 【答案】D【解析】我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形．如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF （不妨设在AC 的另一边）的（其中的边EF 有可能与AC 重合）的∠D 一定是钝角．事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC ＝ 180°－∠B ，所以∠D 为钝角．这样就排除了B ，C ．下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形．假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻（指有FEDBCA DBCA公共边AC ） ΔACD ，则∠D ＝ 180°－∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形．所以答案是D ． 二、解答题解：（I ）tan tan tan tan()tan tan 1A BC A B A B +=-+=-，整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++（II ）由已知3tan tan tan tan A C A B C =++，与（I ）比较知tan 33B B π=，=．又11222sin 2sin 2sin 23sin 3A C B π+===，sin 2sin 2sin 2sin 23A C A C +=sin()cos()cos 2()cos 2()3A C A C A C A C +-=--+而3sin()sin 2A C B +==，1cos 2()cos 22A C B +==-，代入得2cos 2()13cos()A C A C -+=-，24cos ()3cos()10A C A C ----=，1cos()14A C -=-，，6cos 12A C -=，12．已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）．质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处． （I ）若b ＝ 3a ，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 解：不妨设水杯高为1．（I ）这时，水杯质量：水的质量=2 ：3．水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为12，水的重心位置为14，所以装入半杯水的水杯的重心位置为11237242320+=+（II）当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上．设装x克水．这时，水杯质量：水的质量＝a：x．水杯的重心位置为12，水的重心位置为2xb，水面位置为xb，于是122xa x xba x b+=+，解得x a=-13．已知函数21()(1)1()2xf x f fax b===+2，，3．令111()2n nx x f x+==，．（I）求数列{}nx的通项公式；（II ）证明12112nx x xe+>．解：由12(1)1()1()21xf f a b f xx=====+2，得，3（I）方法一：先求出123412482359x x x x====，，，，猜想11221nn nx--=+．用数学归纳法证明．当n = 1显然成立；假设n = k成立，即11221kk kx--=+，则122()121kkk k kkxx f xx+===++，得证．方法二：121+=+nnn xxx取倒数后整理得)11(21111-=-+nnxx，所以)11()21(1111-=--xxnn所以12111+=-nx（II）方法一：证明12112nex x x+>．事实上，12111112(1)(1)(1)242nnx x x+=+++．我们注意到2212(1)12(1)nna a a a+<++<+，，，（贝努利（Bernoulli）不等式的一般形式：nxx n+≥+1)1(，x),1(+∞-∈）于是122121212111112(1)2(1)2(1)2222n n nn n nnex x x-+++-+<+=+<+<方法二：原不等式en<+++⇔)211()211)(211(21)]211()211)(211ln[(2<+++⇔n1)211ln()211ln()211ln(2<++++++⇔n构造函数)0()1ln()(>-+=x xx x g01111)(<+-=-+='xxx x g ，所以0)0()(=<g x g 所以)0()1ln(><+x x x令n x 21=则n n 21)211ln(<+ 1211212121)211ln()211ln()211ln(22<-=+++<++++++n n n14．已知双曲线221222:1(0,0),,x y C a b F F a b -=>>分别为C 的左右焦点．P 为C右支上一点，且使21212=,3F PF F PF π∠∆又的面积为．（I ）求C 的离心率e ；（II ）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（I ）如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F 1 F 2中，21212=3F PF F PF π∠∆，的面积为，E 为PF 1上一点，PE ＝ PF 2，E F 1 ＝2a ，F 1 F 2 ＝ 2c ，求ca．设PE =PF 2=EF 2=x ，F F 2x ，1221211(222F PF S PF FF x a ∆==+=， 224120x ax a +-=，2x a =．ΔE F 1F 2为等腰三角形，1223EF F π∠=，于是2c =，ce a==． （II ） 21=λ此解法可能有误15．将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以p n 表示未出现连续3次正面的概率． （I ）求p 1，p 2，p 3，p 4；（II ）探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明；（III ）讨论数列{ p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．解析：（I ）显然p 1＝p 2＝1，878113=-=p ；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故161316314=-=p ．（II ）共分三种情况：①如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面的概率121-⨯n P ；②如果第n 次出现正面，第n －1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是241-⨯n P ；③如果第n 次出现正面，第n －1次出现正面，第n －2次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是381-⨯n P ．综上，=n P +⨯-121n P +⨯-241n P 381-⨯n P ．（4≥n ），④ （III ）由（II ）知=-1n P +⨯-221n P +⨯-341n P 481-⨯n P ，（5≥n ）⑤，④－12×⑤，有=n P --1n P 4161-⨯n P （5≥n ） 所以5≥n 时，p n 的单调递减，又易见p 1＝p 2＞p 3＞p 4＞…．3≥n 时，p n 的单调递减，且显然有下界0，所以p n 的极限存在．对=n P --1n P 4161-⨯n P 两边同时取极限可得0lim =-∞→n n p ．其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零．。
2011北约自主招生数学题及解答
2011北约自主招生数学题及解答∎1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。
解：由对角线的平方和等于四边的平方和：所以36+x2=2(9+25)，x2=32，∴x=42。
∎2求过抛物线y=2x2-2x-1，y=-5x2+2x+3交点的直线方程。
解：y=2x2-2x-1y=-5x2+2x+3，5y=10x2-10x-52y=-10x2+4x+6，7y=-6x+1，∴6x+7y-1=0为所求。
∎3、等差数列a1,a2,⋯满足a3=-13，a7=3，这个数列的前n项和为Sn，数列S1,S2,⋯中哪一项最小，并求出这个最小值。
解：d=a7-a37-3=164=4，∴a1=-21，Sn=2n2-23n，当n=234，即n=6时Sn最小，最小为-66。
∎4、∆ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为∆ABC的内角，求证：C≤60°。
解：ab≤(a+b2)2，cosC=a2+b2-c22ab=(a+b)2-2ab-c22ab≥(a+b)2-c2(a+b)22-1=1-2c2(a+b)2≥1-2c24c2=1 2，所以C≤60°。
∎ 5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？解：设存在四个正实数分别为a<b<c<d，依题意：ab=2，ac=3，ad=5，bc=6，bd=10，cd=16，∴a2bc=6，∴a=1，b=2，c=3，d=5，而cd=15≠16，故不存在。
或解：∵abcd=32，而(abcd)3=1800×16，不满足，故不存在。
∎6、C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。
解：设两定圆⊙C1，⊙C2的半径分别为r1,r2，动圆C的半径为R。
⑴当r1=r2①⊙C1与⊙C2相交时a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线去掉两圆的公共弦；b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|=r1-R，|CC2|=r2+R，|CC1|+|CC2|=r1+r2，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆。
卓越联盟自主招生数学模拟试题及参考答案(3)
绝密★启用前清北学长精心打造——卓越联盟自主招生数学模拟试题(三)考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（5*6=30分）1.已知函数()()432,,,f x x a x b x c x d a b c d =++++为实常数的图象经过三点12,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()15f f +的值等于（ ） A ．0 B ．1C ．265D ．252.函数f 定义在正整数有序对的集合上，并满足(,),(,)(,),f x x x f x y f y x ==()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+，则(14,52)f 的值为（ ）A ．364B ．182C ．91D ．无法计算3.二次函数c bx ax y ++=2的图象的一部分如图，则a 的取 值范围是 （ ）A ．01<≤-aB ．1->aC ．01<<-aD ．1-≤a4.关于x 、y 的方程20071111=++xy y x 的正整数解（x ，y ）的个数为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．48第II 卷（非选择题）二、填空题（6*6=36分）5.定义: 区间[](),c d c d <的长度为d c -. 已知函数3log y x =的定义域为[],a b , 值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差等于________.6. 平面上给定ΔA 1A 2A 3及点p 0，定义A s =A s-3,s ≥4，构造点列p 0,p 1,p 2,…,使得p k+1为绕中心A k+1顺时针旋转1200时p k 所到达的位置，k=0,1,2,…,若p 1986=p 0.则ΔA 1A 2A 3为 三角形。
2011年黄冈中学自主招生考试数学试卷
2011年黄冈中学自主招生考试数学试卷命题：李明利一、填空题（4085=⨯分）1、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++2621133y x y x 的解是2、若对任意实数x 不等式b ax >都成立，那么a 、b 的取值范围为3、设21≤≤-x ，则2212++--x x x 的最大值与最小值之差为 4、两个反比例函数x y 3=，xy 6=在第一象限内的图象点1P 、2P 、3P 、…、2007P 在反比例函数xy 6=上，它们的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、…、2007x ，纵坐标分别是1、3、5…共2007个连续奇数，过1P 、2P 、3P 、…、2007P 分别作y 轴的平行线，与xy 3=的图象交点依次为)','(111y x Q 、)','(222y x Q 、…、),('2007'20072007y x Q ，则=20072007Q P5、如右图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是6、有一张矩形纸片ABCD ，9=AD ，12=AB ，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是7、已知3、a 、4、b 、5这五个数据，其中a 、b 是方程0232=+-x x 的两个根，则这五个数据的标准差是8、若抛物线1422++-=p px x y 中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为二、选择题（4085=⨯分）9、如图，ABC ∆中，D 、E 是BC 边上的点，1:2:3::=EC DE BD ，M 在AC 边上，2:1:=MA CM ，BM 交AD 、AE 于H 、G ，则GM HG BH ::等于 ( )A 、1:2:3B 、1:3:5C 、5:12:25D 、10:24:5110、若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是( )A 、r c r 2+πB 、r c r +πC 、r c r +2πD 、22rc r +π 11、抛物线2ax y =与直线1=x ，2=x ，1=y ，2=y 围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是( )A 、141≤≤a B 、221≤≤a C 、121≤≤a D 、241≤≤a 12、有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需15.3元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需2.4元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需 ( )A 、2.1元B 、05.1元C 、95.0元D 、9.0元13、设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax ，有两个不相等的实数根1x 、2x ，且1x <<12x ，那么实数a 的取值范围是 ( )A 、112-<aB 、5272<<-aC 、52>aD 、0112<<-a 14、如图，正方形ABCD 的边1=AB ，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是 ( )A 、12-π B 、41π- C 、13-π D 、61π- 15、已知锐角三角形的边长是2、3、x ，那么第三边x 的取值范围是 ( )A 、51<<xB 、135<<xC 、513<<xD 、155<<x16、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了%x ，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了%x ，则第三季度的产值比第一季度增长了 （ ）A 、%2xB 、%21x +C 、%%)1(x x •+D 、%%)2(x x •+三、解答题17、（15分）设m 是不小于1-的实数，关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ，（1）若21x 622=+x ，求m r 值；（2）求22212111x mx x mx -+-的最大值。
2011年华约自招——数学
13．已知函数 f x 2x 、、 f 1 1
ax b
f
1 2
2 3
．令
x1
1、 2
xn1 f xn ．
1 数列xn的通项公式；
2
证明
x1 x2
xn1
1 2e
．
14．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1a
0、、、b
0
F1
F2 分别为 C 的左右焦点． P 为 C 右
支上一点，且使 F1PF2
1 p1 、、、 p2 p3 p4 ；
2 探究数列pn的递推公式，并给出证明；
讨论数列 pn 的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．
D．任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形
二、解答题
11．已知 △ABC 不是直角三角形． 1 证明： tan A tan B tan C tan A tan B tan C ；
2 若 3 tan C 1 tan B tan C 、 且 sin 2A、、、sin 2B tan A
b
3 2
x2 y2 z2 的最小值为（
A．1
B． 4 3
1 2
c
3 2
）
C． 3 2
1 2
xa yb zc 1
1则
D． 2
8． AB 为过抛物线 y2 4x 焦点 F 的弦， O 为坐标原点，且 OFA 135、
物线准线与 x 轴的交点，则 ACB 的正切值为（
）
A． 2 2
角的正切为 2 ．则异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦为（ ）
A． 1 3
B． 1 6
C． 1 8
D． 1 12
2011北约自主招生文科数学试题
2011北约自主招生文科数学试题（回忆）1、（三函\解几）已知平行四边形的两边长分别为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。
2、（解几\方程）求过抛物线Y=2X^2-2X-1与Y=-5X^2+2X+3的交点的直线方程。
3、（数列）在等差数列｛an（n下标）｝中，a3=-13，a7=3，Sn（n下标）为其前n项和。
问数列｛Sn（n下标）｝的哪一项最小？并求出最小项值。
4、（三函\不等式）在三角形ABC中，若a+b》=（大于等于）2c，证明：C《=（小于等于）60度。
5、（数论）是否存在四个正实数，使得两两之积分别为2、3、5、6、10、16？参考思路：1、可以用余弦定理：先利用已知三边求出平行四边形一角的余弦值，则另一角的余弦值可知（互为相反数），再求未知对角线；也可以利用解几中的重要结论：平行四边形的两对角线平方和等于四边平方和（不过要先建立坐标系证明该结论）。
2、最容易想到的方法自然是联立两抛物线方程，解出交点坐标，用两点式或点斜式表示……好吧，我承认这样做有点难算，不过其实也不算太难啦（最后化简结果似乎是不含根式的）。
当然，也可以先设直线方程Y=kX+b，与两抛物线分别联立，再对比所得交点的系数，从而得解（我的一位同学就是这样做的）。
3、常规题。
先求公差，再求通项，再求前n项和，最后利用二次函数的性质解之（注意n为正整数），或利用an《=0且a（n+1）>=0解之（n和n+1下标）。
4、可以考虑反证法；不然就用余弦定理表示出cosC，把式子分子中的a、b利用原题中的不等式换成c，再用基本不等式，中间经过若干步转换，最后化简为cosC》=0.5，于是得证。
5、尚未解出。
数论问题对高中文科生来说还是难了一点……以上是在下的思路，错漏在所难免，让各位高手见笑了。
如果有更好的解法欢迎指教。
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2011年同济等九校(卓越联盟)自主招生数学试题
(1)向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为
(A )
6
π
(B )
3
π
(C )
23
π (D )
56
π
(2)已知sin2(α+γ)=n sin2β，则
tan()tan()
αβγαβγ++-+22等于 (A )
11
n n -+
(B )
1
n n +
(C )
1
n n - (D )
11
n n +-
(3)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为
(A )
153
(B )
155
(C )
53
(D )
55
(4)i 为虚数单位，设复数z 满足|z |=1，则
2
221z z z i
-+-+的最大值为
(A )2-1
(B )2-2
(C )2+1 (D )2+2
(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC
的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4x +y -20=0，则抛物线方程为
(A )y 2=16x (B )y 2=8x
(C )y 2=-16x (D )y 2=-8x
(6)在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为
(A )3
(B )2
(C )
32
(D )
22
(7)若关于x 的方程
||4
x x +=kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为( ) (A )(0，1)
(B )(
14
，1)
(C )(
14
，+∞) (D )(1，+∞)
(8)如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交⊙O 于G 、F ，交⊙O 在A 点的切线于P ，若PE =3，ED =2，
EF =3，则PA 的长为
(A )5
(B )6 (C )7
(D )22
(9)数列{a n}共有11项，a1=0，a11=4，且|a k+1-a k|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )
(A)100(B)120(C)140(D)160
(10)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为2
7
π
的旋转，τ表示坐标平面关于y轴
的镜面反射．用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用σk表示连续k次的变换，则στσ2τσ3τσ4是( )
(A)σ4 (B)σ5 (C)σ2τ(D)τσ2
(11)设数列{a n}满足a1=a，a2=b，2a n+2=a n+1+a n．
(Ⅰ)设b n=a n+1-a n，证明：若a≠b，则{b n}是等比数列；
(Ⅱ)若lim
n→∞
(a1+a2+…+a n)=4，求a，b的值．
1）考察数列定义
2）a1+a2+a3+...+a n=a n-a n-1+2(a n-1-a n-2)+3(a n-2-a n-3)+...+(n-1)(a2-a1)+na1
=b n+2b n-1+3b n-3+...+b1+na(错位相减，可得a，b的值)
(12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC．
(Ⅰ)求k的取值范围；
(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？
(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-3相切．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．
(14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n．
(Ⅰ)求EX1；
(Ⅱ)设P(X n=a+k)=p k，求P(X n+1=a+k)，k=0，1，…，b；
(Ⅲ)证明：EX n+1=(1-
1
a b
)EX n+1．
(15)(Ⅰ)设f(x)=x ln x，求f′(x)；
(Ⅱ)设0<a<b，求常数C，使得
1
|ln|
b
a
x C dx
b a
-
-
⎰取得最小值；
(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a,b，证明：m a,b<ln2．。