常微分 练习题

习题四 随机变量的数字特征
一、填空题
1.若随机变量 X 服从区间[a,b]的均匀分布，则 EX=______, DX=_____
2.若随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，且已知 E[(X-1)( X-2)]=1,则 λ =___
3.设随机变量X服从正态分布N (μ,σ2)，k,b为常数，则有E(kX+b)=_______ D(kX+b)=__________
11*.设A,B为随机事件,且 P( A) = 1 , P(B | A) = 1 , P( A | B) = 1 , 令
4
3
2
X
=
⎧1, A发生， ⎨⎩0, A不发生，
Y
=
⎧1, B发生， ⎨⎩0, B不发生，
求 (1) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; (2) X与Y的相关系数ρXY; (3) Z=X2+Y2的概率分布.
f
(x,
y)
=
⎧2, ⎨ ⎩0
x
>
0, y > 其它
0,
x
+
y
<
1,则
ρ
XY
=【
】
A −1 2
B1
C −1
D
1
3
6*. 将一枚硬币重复掷n次，已X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相
关系数等于【 】
A −1
B0
1
C
2
D1
7*. 设随机变量X和Y的方差存在且不等于 0,则D(X − Y)=D(X)+D(Y)是X和Y的【 】
X
的概率密度函数为
f
(x)
=
⎧ ⎪
x
⎨a2
− x2
e 2a2
⎪⎩0
的数学期望
x > 0 ，求随机变量Y = 1 X
x<0
3. 某工程队完成某种工程的天数 X 是一随机变量，具有分布律
X
10
11
12
13
14
p
0.2
0.3
0.3
0.1
0.1
所得利润（以元计算）为 Y=1000（12 − X），求（1）EX
X
的概率密度函数为
f
（
x
）=
⎧⎪0.1e−0.1x ⎨
x>0
，则 E（2X+1）=【
】
⎪⎩ 0
x≤0
A 1.2
B 41
C 21
D 20
2. 设X是随机变量，EX= − 1，DX=3，则E[3(X2+2)]= 【 】
A 18
B9
C 30
D 36
3.设X是随机变量，EX=μ，DX=σ2，则对任意常数C，必有 【 】
y)
+
g2 ( x,
y)]
,
其
中
g1( x, y) 和 g2 ( x, y) 都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分
别为 1 和 − 1 ，它们的边缘密度函数使对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 1。 33
(1) 求随机变量 X 和 Y 密度函数 f1( x)和f2 ( y) ，及 X 和 Y 的相关系数ρ（可直接利
26
8*．设A，B是二随机事件，, 若若AA不出出现现，Y
=
⎧ 1，若B出现 ⎨⎩−1, 若B不出现
试证明：随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立。
9* ． 设 二 维 随 机 变 量 (X,Y) 的 密 度 函 数 为
f
(x,
y)
=
1 2
[ g1 ( x,
8*.设随机变量X和Y的相关系数为 0.9,若Z=X-0.4，则Y与Z的相关系数为 9*.设随机变量X和Y的相关系数为 0.5,EX=EY=0,EX2=EY2=2,则E(X+Y)2=
10.随机变量 X 服从参数为λ的指数分布，则 P{X > DX } = 。
1 0.15 0.20
。 .
二、选择题
1.设随机变量
Y
试求 Z= sin π ( X + Y ) 的数学期望和
X
2
0
方差。
1
2
1
3
0.10
0.15
0.25
0.20
0.15
0.15
7.某商场对某种商品的销售情况作了统计，知顾客对该商品的日需求量X服从正态分布 N(μ，σ2)，且日平均销售量为μ=40(件)，销售机会在 30 到 50 件之间的概率为 0.5。 若进货不足，则每件利润损失为 70 元；若进货量过大，则因资金积压，每件损失 100 元。求日最优进货量。
2)
σ
2.
(B) Cov( X1,Y ) = σ 2.
(D)
D( X1
−Y
)
=
n +1σ n
2.
三、计算
1.
设随机变量X1服从 λ
=
1 2
的指数分布，X2的概率分布密度函数
f
(
x)
=
⎧⎪⎨cxe−
x 2
⎪⎩0
x > 0， x≤0
求（1）E X1，D X1 （2）求 c 及E X1
24
2.
已知随机变量
A
E(X-C)2=EX2-C2
B E(X-C)2=E(X-μ)2
C
E(X-C)2≤E(X-μ)2
D E(X-C)2≥E(X-μ)2
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4．设随机变量 X 的密度函数为
f (x) =
π
(1
1 +
x
2
)
(−∞
<
x < ∞) ，则 E(X)=
【
】
A0
B1
Cπ
D 不存在
5*.
设随机变量(X,Y)具有概率密度
用二维正态密度的性质）。 (2) X 和 Y 是否独立？为什么？
27
10*．对于任意二事件A和B,0<P(A)<1,0<P(B)<1, ρ = P( AB) − P( A)P(B) P( A)P(B)P( A)P(B)
称作事件 A 和 B 的相关系数。 (1) 证明事件 A 和 B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零； (2) 利用随机变量的相关系数的基本性质，证明|ρ|≤1。
6*. 设 X 与 Y 的 联 合 分 布 律 为 ： 则 X 与 Y 的联合相关系数
ρXY =____________
Y X
0 1
−1
0
0.07
0.18
0.08
0.32
7. 设随机变量 X 在区间[-1,2]上服从均匀分布，则随机变量
⎧ 1,若X>0
Y
=
⎪ ⎨
0, 若X=0
，则方差
D(Y)=
.
⎪⎩-1, 若X<0
4.若随机变量 X 服从二项分布 B(n,p)，且 EX=6，DX=3.6，则 n=______, p=____
5. 设 随 机 变 量 X1,X2,X3 互 相 独 立 , 且 X1 ∼ U(0,6),X2 ∼ N(0, 22 ),X3 ∼ P(3), 记 Y=
X1-2X2+3X3，则E(Y)=__,D（Y）=___.
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A、不相关的充分条件,但不是必要条件 B、独立的必要条件,但不是充分条件
C、不相关的充分必要条件
D、独立的充分必要条件
8*．设随机变量X1,X2,…,Xn(n>1)独立同分布,且其方差为σ2>0,令 Y
=
1 n
n
∑
i=1
Xi
,则【
】
( A)
Cov(
X1
,
Y
)
=
σ2 n
.
(C)
D(
X1
+
Y
)
=
(n
+ n
（2）EY
4*. 已知随机变量( X ,Y )的分布率
Y
X
求 E（ X Y 2 ）
2
4
1
3
5
0.10
0.20
0.10
0.15
0.30
0.15
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5*.设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为
f
( x,
y)
=
⎧⎪ Ax ⎨
⎪⎩0
求（1）A （2）EX，EY
（3） ρXY
0< x < y <1 其它
6.已知随机变量 X 和 Y 的联合分布为