5.爱因斯坦判别法
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艾森斯坦因Eisenstein判别法
设 f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 , 是一个整系数多项式，若有一个素数 p, 使得
1o p | an 2o p | an1,an2 ,K ,a0 3o p2 | a0 则 f ( x)在有理数域上是不可约的．
证： 若 f ( x) 在 Q 上可约，由定理11， f ( x) 可分解为两次数较低的整系数多项式积
注意
① Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而 非必要条件． 也就是说，如果一个整系数多项式 不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的， 也可能是不可约的．
② 有些整系数多项式 f ( x不) 能直接用Eisenstein 判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的 代换 ax b (a,b Z,a 0), 使 f (ay b) g( y)满足 Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式 f ( x) 不可约．
f ( x) (bl xl bl1xl1 L b0 )(cm xm cm1xm1 L c0 ) bi ,c j Z, l,m n, l m n
an blcm , a0 b0c0 . Q p | a0 , p | b0 或 p | c0 , 又 p2 | a0, p 不能同时整除 b0 , c0 . 不妨设 p | b0 但 p | c0 .
另一方面， p | an . p | bl , p | cm . 假设 b0 ,b1,L ,bl 中第一个不能被 p 整除的数为 bk , 比较两端 xk 的系数，得
ak bkc0 bk1c1 L b0ck 上式中 ak ,bk1,L ,b0 皆能被 p 整除， p | bkc0 p | bk 或适当线性代换后 再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的 办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在 Q上的 多项式 f ( x), 无论作怎样的代换 x ay b, 都不能 使 f (ay b) 满 g足( y爱) 森斯坦因判别法的条件， 即找不到相应的素数 p.
故 f ( x)不可约．
例3 证明：xn 2 在 Q上不可约． 证：（令 p 2 即可）． (可见存在任意次数的不可约有理系数多项式)
例4 判断 f ( x) 1 x x2 x3 L x p ,
2! 3!
p!
（ p 为素数）在 Q上是否可约．
解： 令 g( x) p! f ( x), 即
命题 有理系数多项式 f ( x)在有理系数上不可约
对a,b Q ( a 0), 多项式 g( x) f (ax b) 在有理数域上不可约．
例5 证明：f ( x) x2 1 在 Q上不可约． 证： 作变换 x y 1, 则
f ( x) y2 2 y 2, 取 p 2, 由Eisenstein判别法知， y2 2 y 2 在Ｑ上不可约， 所以 f ( x) 在Ｑ上不可约．
g( x) p! p! x p! x2 L p! x p1 x p ,
2
( p 1)!
则 g( x)为整系数多项式．
Q p | 1, p | p! , p! ,L , p! , ( p 1)! ( p 2)!
但 p2 | p! ,
g( x) 在 Q上不可约， 从而 f ( x)在 Q 上不可约．
设 f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 , 是一个整系数多项式，若有一个素数 p, 使得
1o p | an 2o p | an1,an2 ,K ,a0 3o p2 | a0 则 f ( x)在有理数域上是不可约的．
证： 若 f ( x) 在 Q 上可约，由定理11， f ( x) 可分解为两次数较低的整系数多项式积
注意
① Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而 非必要条件． 也就是说，如果一个整系数多项式 不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的， 也可能是不可约的．
② 有些整系数多项式 f ( x不) 能直接用Eisenstein 判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的 代换 ax b (a,b Z,a 0), 使 f (ay b) g( y)满足 Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式 f ( x) 不可约．
f ( x) (bl xl bl1xl1 L b0 )(cm xm cm1xm1 L c0 ) bi ,c j Z, l,m n, l m n
an blcm , a0 b0c0 . Q p | a0 , p | b0 或 p | c0 , 又 p2 | a0, p 不能同时整除 b0 , c0 . 不妨设 p | b0 但 p | c0 .
另一方面， p | an . p | bl , p | cm . 假设 b0 ,b1,L ,bl 中第一个不能被 p 整除的数为 bk , 比较两端 xk 的系数，得
ak bkc0 bk1c1 L b0ck 上式中 ak ,bk1,L ,b0 皆能被 p 整除， p | bkc0 p | bk 或适当线性代换后 再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的 办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在 Q上的 多项式 f ( x), 无论作怎样的代换 x ay b, 都不能 使 f (ay b) 满 g足( y爱) 森斯坦因判别法的条件， 即找不到相应的素数 p.
故 f ( x)不可约．
例3 证明：xn 2 在 Q上不可约． 证：（令 p 2 即可）． (可见存在任意次数的不可约有理系数多项式)
例4 判断 f ( x) 1 x x2 x3 L x p ,
2! 3!
p!
（ p 为素数）在 Q上是否可约．
解： 令 g( x) p! f ( x), 即
命题 有理系数多项式 f ( x)在有理系数上不可约
对a,b Q ( a 0), 多项式 g( x) f (ax b) 在有理数域上不可约．
例5 证明：f ( x) x2 1 在 Q上不可约． 证： 作变换 x y 1, 则
f ( x) y2 2 y 2, 取 p 2, 由Eisenstein判别法知， y2 2 y 2 在Ｑ上不可约， 所以 f ( x) 在Ｑ上不可约．
g( x) p! p! x p! x2 L p! x p1 x p ,
2
( p 1)!
则 g( x)为整系数多项式．
Q p | 1, p | p! , p! ,L , p! , ( p 1)! ( p 2)!
但 p2 | p! ,
g( x) 在 Q上不可约， 从而 f ( x)在 Q 上不可约．