5.爱因斯坦判别法
浅谈Eisenstein判别法
Ｃｌ Ｅ Ｃ ｉ ｈａ Ｏ ａｏ ｎ ｕ ｔｎ
￡ Ｉ Ｉ ｕ ｉ … ； …
浅 谈 Ｅ ｓ ｎ ｔ ｉ 判别法 ｉｅ ｓ ｅｎ
学 陕西 宝鸡 ７ １ ０ ） ２ ８ ０
摘 要： 讨论 了Ｅｉｅ ｓｅｎ判别法的应 用范围， ｓ ｎ ｔｉ 分析 了Ｅ ｓ ｎ ｔ ｉ ｉｅ ｓｅ ｎ判别法的局限性 ， 出并证 明 了判别法 的几种推 广形式 以及判 删法 的一 给
（） ｈｘ 。这里 ，（ ） ｂ … ＋ ＋ ０＾ －（） ｇＸ ＝ ｋ ＋ ｏ ｘ ６ｘ ｂ ，（ 弓理 ｌｌ ｌ ｔ Ｚ 设 ） （ｘ 口 １ ＝ ， ， ｘ ＋ ｌ ＋…＋ １ ａ 是 ＝ ＋…＋ｃ ＋ ｎ ｋ 口ｘ ０ ＋ ｃ ｌ ｃ 且 ＜ｎ， ｎｋ ｘ ｍ＜ ，＋ｍ＝ 由此得 个 整 系数 多项 式 ， 且 ） 有有 理 根 ， ａ＝ ０ 。因ｐ ａ ， 以ｐ ｂ 或 ｐ ｃ ， Ｐ 不整 并 没 ｏｂｃ ０ ｌ０所 ｌ０ ｌ 但 ０ 如果 能 够找 到 一个 素 数 Ｐ， 得 使 （ ） 使 ｉＰ不 整 除 ａ 所 以 ｂ不能 同时 整除 ｂ 和 ｃ ， ， 。 不妨 设 除 ａ｝ｉｐａ ｆＯ １ ２ … ， ）（ｆ 不整 ｐｌ 而 Ｐ不 整除 ｃ ， （） （ ）ｌ．＝ ， ， ， 一１ｌｆ ｉ （ ｆ ｂ 。 。ｇ ｘ 的系数 不能全 被 Ｐ整 否￣ ｐ ｂ ＋ “ Ｐ ｌ 矛盾 ， ｇ ｜ ｋ ｃ 令 （ 中 除 口 那么 多项 式 厂 ） 有 理 数域 上 不 可 除 ， ｌ ｌ Ｃ ｌ６ １ Ｈ ｐ ａ １ ， （ 在 约。 １ ｉ ｎ ｔｉ Ｅｓ ｓｅｎ判别法的应用范围 ｅ 第一 个 不能 被 Ｐ 整除 的 系数是 ｂ ， 因为 厂ｘ （） 判 别 法 是 针 对 一 元 次 整 系 数 多 项 证 明 ： 设 ） 假 在有 理 数域 上 可 约 ， 没有 有理根 ， 以 ｋ 一 ， ＜ｎ １ 则， 所 ＜ｎ １ ｓ 一 。 ） 式 的 不 可 约 性 。 然 而 一 次 多 项 式 总 是 不 （ 总 可 以分 解 成 ２个次 数 小 于 ｎ的 整 系数 现 考察 ａ＝ 。 …＋ｂｃ， ｂｃ＋ ｓ ｏ。 由于 这个 等式 可 约 的 ， 二 、 三次 整 系 数 多 项 式 ， 果 多 项式 的乘 积 ／ｘ ＝ｇ ｘ ・ （ ， 里 ｇ ） 中 ａ ， ， ｂ 都能被 ｐ整除 ， ｐ是素 数 ， 对 如 （ ） （ ） ｈ ） 这 （ 。ｂ …， 。 但 可 约 ，那 么 它 必 有 一 次 因式 ， 就 是 说 它 也 ６ ＋…＋ １ ｂ， ） Ｃｘ・＋ ＝ ｏ ６ ＋０ ｘ ＝ ｍｍ・ ｃ Ｃ并且 ｋ 所 以 必有 ｐｌ。 ｐｌ。 盾 。 ‘ ｂ或 ｃ矛 必 有一 个 有 理 根 ， 此 ， 二 、 三 次 整 系 因 对 ＜ｎ ｍ＜ｍ， ， ＋ｍ＝ 显 然Ｐ不 能整 除 ｇ ｘ 的 ， （） 例５ ：设／ ＝ Ｘ－Ｘ２ ） ＋ ２ 一 ，取 Ｐ ２ 易知 ， ２ ＝ ， 数 多 项 式 都 能 用 求 有 理 根 方 法 确 定 它 在 所有 系 数 ， 不能 整 除 ｈ ｘ 的所 有 系数 ， 也 （） 令 ） 没有 有理 根 ， 由定 理 ｌ 知 ） 有理 数域 在 Ｑ［ 】 的 可 约 性 ， ｘ上 当然 ， 感 到 方 便 的 情 ｂ、ｃ 各是 ｇ 和 ｈ ｘ 的第 一 个不 能被 ｐ整 上不 可 约 ， 要 用 ｉ ｅ ｔ ｉ 在 ， （） （） 如 ｓ ｓ ｅ ｎ判别 法 ，因 况 下 ，才 将 该 判 别 法 用 于 二 、 三 次 整 系 除 的 系数 。 （ ＝ａ ， 以无 法 找 到满 足判 别 法的 ｐ。 １ 所 ４ 数 多项式 。 情 况 １ 若 ｓ ｆ ， 察 系数 ａ 则 有 ： ＋ ＜ｎ 考 …， 例 ５中 ｘ可分 解为 ｘ＝ ） ） ＋１ 一） 即 ） ２， （ 一 ｃ ＋ … ｂ ＋…＋６ ＿ 因为 ｓ ｔ ， ０ 例 判断 多项式ｙｘ＝ Ｌ ５ ＋１ ｆ ｘ ｘ 在 】 ］ 上 ｆ ， ＋＜ｎ 由条 当ｐ不 整除 １ ， ７ ｐ不 整除 ａ ， ａ，０ｐ不整除 ｌ ３ ２ｐｌｌ ， 口 的可约性 。 厂 有一 件知可知Ｊ ｆ ｌｏ ＜ ） ｌＯ ＜） Ｐ ＇６ ≤ｉｓ，ｃ ≤ｙｔ 所 ａ 时 ， （ ） 个 二次 不 可约 因子 。 ＋Ｐ 』 （ ｐｉ （ ， 如果 ．ｘ 可约 ， ， ） （ 那么 由于 它是 三次 ， 它必 以 ｐ６ 但ｐ是素 数 ， ｐｂ， ｐｃ， ＿Ｃ 即 ｌ 或 ｌ 矛盾 。 ， 如 此进 行 归纳 推 理 ， 可得 如 下 推 论 ： 有 一 个 一 次 因 式 ， 必 有 一 个 有 理根 ，但 ＿ 即 厂 情 况 ２： 若 ＋ ＝ 这 时 必 有 ｓ ｋ ｔ ｎ， ， ， ＝ ，＝ 推论 设， ＝ ａ Ｚ Ｊ 且对素数 （） ｉ ∈ 卜 ， ｘ （） 的全部 有理根 只可能 是 １ ～ｌ 而／ １ 、 ｂ ｂ，ｔ 考 察等 式 口 ｌ＋ ０ｌ因为 ） 和 ， （） 女Ｃ Ｃ ， ： ｌ６ｃ ６ｃ， ０ １ 均不 为零 ， ） 从而 在 Ｑ 上 不可 约 。 【】 没有 有理根 ， 以 １ ＞１ＮＩｐｌ ，ｌ， 所 ， Ｐ ｂ ｐｂ ， Ｐ满足 （ 不 整除 ａ ） ｌ ，ｉ ｐ ａ ０ … ， 一 ６ ｆ ｎ ａ （ ） ｌｉ ， ｋ ｐ ｉ （ 由于 有 理 系 数 与 相 应 的 整 系 数 多 项 式 ｐｃ，ｉ 。由等 式 ａ＝ Ｉ ＋ 。１ １这与 Ｐ ｌ ｐｅ ０ ｌ ｌ ｂｃ ６ｃ， Ｉ ， ０ Ｐ口 １（ ｉ ）ｉ ） 不整 除 ａ ， ｉｐ 则 ） 一个次 数 不小于 有 矛 盾 。 的可 约性 一致 ， 以 Ｅｉｅ ｓ ｅｎ判别 法可 用 不 整 除 ａ 所 ｓ ｎｔｉ ｋ的 不 可 约 因 子 。 于 Ｑ ｘ 上 多项式 可约 性 的判 断 ； 某些 命题 ［１ 对 例 ４ 设 ） ＋１ ＋９ ＋ ｘ 。取 ： ＝ ５ ６ ＋９ 证 明： １若 ） （） 不可 约 ， 题显 然成 立 。 命 ＝９， 且 易知 ｘ 没有 有 理根 ， ９ 并 ） ３ ｌ＝口 ， 不能 直 接 用 判 别法 ， 经 变 形 后 仍 可适 用 。 ｐ 但 （ ） ） ２ 设／ 可约 ， 则 ｘ 一 其 中 （ ｉ ） １≤ 例 ２ 证 明 ） ＋ ２ ｘ （ 素 Ｅ ｓ ｎ ｔ ｎ ： ＝ 妒－…＋ ＋１ Ｐ是 ｉ ｓ ｉ 定理 不能 直接 用 ， ｅ ｅ 由于 ３ 不 整除 ６ ≤ ｓ 不 可 约 ，并 设 其 常 数 项 为 ａ ） 因为 数） Ｑ 上不 可约 。 在 【】 （ ｐ 不整 除 ａ ） 由引理 １ 即 ， ， 知 ｘ 在 Ｑ 上不 ） 【 】
艾森坦斯判别法
p不整除an ，但整除其他ai ；
p2 不整除a0 ，
那么f(x) 是不可约的。
[编辑] 例子
给了多项式g(x) = 3x4 + 15x2 + 10，试确定它能否分解为有理系数多项式之积。
试用艾森斯坦判别法。素数2和3都不适合，考虑素数p = 5。5整除x的系数15和常数项10，但不整除首项3。而且52 = 25不整除10。所以(2, v2), ..., (n ? 1, vn-1), (n,0),
其中vi 是ai 关于p的最高次幂。对于一个艾森斯坦多项式，对0 < i < n,vi 至少为1，v0 =1 vn =0,固而它的牛顿图即点列的下凸集应当是一条从(0,1) to (n,0)的线段，其斜率为?1/n。
如果f是在有理数上可约的，那么会有多项式g, h使得f = g h。从上可知g和h取模p分别为和，满足c = d e。因为g和h模p的常数项为零，这表示g和h的常数项均可被p整除，所以f的常数项a0可以被p2整除，与f系数的假设矛盾。因此得证。
[编辑] 更进一步的解释
依据牛顿图的理论在其p进制数域，我们考虑一系列点的下凸集。
艾森斯坦判别法
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艾森斯坦判别法是代数的定理，给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。由高斯定理，这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。
艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式
f(x)=anX
如果存在素数p，使得
有时候不能直接用判别法，或者可以代入y = x + a后再使用。
例如考虑h(x) = x2 + x + 2。这多项式不能直接用判别法，因为没有素数整除x的系数1。但把h(x)代入为h(x + 3) = x2 + 7x + 14，可立刻看出素数7整除x的系数和常数项，但72 = 49不整除常数项。所以有时通过代入便可以用到判别法。
科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式
科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式上帝不掷骰子！爱因斯坦坚信斯宾诺莎的上帝，认为大自然规律就是“上帝”，但是量子力学中的不确定性原理让爱因斯坦感到不安，在和波尔的争论当中，爱因斯坦说出了那句名言——上帝不掷骰子！在1935年，爱因斯坦为了论证量子力学哥本哈根学派的不完备性，提出了著名的“EPR佯谬”，该佯谬经过玻姆简化后的版本为：一个母粒子分裂成两个相反方向的A粒子和B粒子，理论上A、B 具有相反的自旋方向，当A和B相聚很远后，量子力学的哥本哈根学派认为我们对任何一个粒子的测量，将会瞬间影响远在另一边的粒子，这在爱因斯坦看来是一种超距作用，爱因斯坦则认为两个粒子在分开时状态就是确定的，与你何时测量没有任何关系。
隐变量理论为了解决这个问题，爱因斯坦着手建立隐变量理论来代替不确定性原理，隐变量认为量子随机并非真正意义的随机，而是存在更深层的物理机制，只是我们还没发现这个机制而已，一旦我们发现了其中的机制，“不确定原理”也将变成确定的。
或许是爱因斯坦把精力都放在了统一场论当中，没有花太多精力在隐变量理论上，扛起隐变量理论大旗的是另外一位物理学家玻姆，玻姆使用超高的数学技巧打造了一个看起来可行的隐变量，但是其中的假设过于累赘，比如他假设了一个存在但是永远无法探测到的“势场”，与奥卡姆剃刀原理相悖，但是不管怎么样，隐变量理论是存在可能的。
然后一位数学大神出来捣乱了，说冯·诺依曼是20世纪最伟大的数学家之一，谁敢质疑？1932年时的冯·诺依曼已经名满天下，他在《量子力学的数学基础》一书当中，以纯数学的数理逻辑，否定了隐变量理论的存在，以他的威望，当时没有人质疑，于是隐变量理论逐渐被人们冷漠了。
直到20多年后，才有人发现冯·诺依曼的错误，冯·诺依曼的论证依赖于五个假设，前面四个假设是没有问题的，问题出在第五个假设，数学描述为（A+B+C，ψ，Y）=（A，ψ，Y）+（B，ψ，Y）+（C，ψ，Y），而且是非常低级的错误，换个比喻，该假设的意思是指“一个班学生的平均身高为170cm，那么班级上所有人的身高都是170cm。
爱森斯坦判法在判断根时的条件爱森斯坦判别法在判断根时的条件爱森斯坦判别法在判断根时的条件爱森斯坦判
爱森斯坦判别法是目前为止用来判断[]Z x 内一个多项式可约与否的最好结果。
爱森斯坦判别法 设给定n 次本原多项式01()[](1)Z n n f x a a x a x x n =+++∈≥L如果存在一个素数p ，使|(0,1,...,1)i p a i n =-，但20|,|n p a p a //，则()f x 在[]Z x 内不可约。
证明：用反证法。
设()f x 在[]Z x 内可约，即()()()f x g x h x =， 其中0101()[],()[].Z Z m m l l g x b b x b x x h x c c x c x x =+++∈=+++∈L L这里0deg ()deg ()g x f x <<。
为方便计，下面式子中多项式(),(),()f x g x h x 的系数,,i i i a b c 的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。
因为n m l a b c =，而|n p a /，故|,|m l p b p c //。
另一方面，0|p a ，而000a b c =，故0|p b 或0|p c ；不妨设0|p b ，此时因20|p a /，故0|p c /。
设|(0,...,1)i p b i r =-，但|(0)r p b r m <</。
此时|r p a ，而 011110()r r r r r a b c b c b c b c --=++++L括号中各项均含有因子p ，故0|r p b c 。
但0|,|r p b p c //，p 为素数，矛盾。
由此，()f x 在[]Z x 内不可约。
爱森斯坦判别法是目前为止用来判断Z[x]内一个多项式可约与否的最好结果。
艾森斯坦判别法是代数的定理，给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。
由高斯定理，这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。
艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式如果存在素数p ，使得p 不整除an ，但整除其他ai ； p^2 不整除a0 ， 那么f (x ) 是不可约的。
eisenstein判别法
eisenstein判别法本文旨在深入地研究埃森施泰因判别法（EisensteinDiscriminant），并将其与其他最经典的机器学习技术，如泊松回归（Poisson Regression）和基于邻近的分类（Neighborhood-Based Classification）进行比较。
首先，本文将介绍埃森施泰因判别法的原理，并讨论它的优点和应用示例。
其次，本文将探讨最经典的机器学习技术，即泊松回归和基于邻近的分类，并以实际应用为基础，对它们进行比较。
第三，本文将比较埃森施泰因判别法、泊松回归和基于邻近的分类，从而发现其各自的优缺点，并建议研究者在尝试埃森施泰因判别法时，应该特别注意它计算和时间上的特性。
1. 森施泰因判别法（Eisenstein Discriminant）埃森施泰因判别法（Eisenstein Discriminant）是一种机器学习的算法，用于基于统计和概率的模型分类。
它将数据划分为两个以上的类别，并使用数学统计技术，建立一种数学模型，使类别内的变量最大化，而类别外的变量最小化。
该算法通过计算两个类内数据的类内离均值，比较类间数据的类间离均值，从而计算出误差的总和，达到预测类别的目的。
埃森施泰因判别法有很多优点，比如它可以处理高维数据，可以识别属性间的复杂关系，并且可以识别类间的线性不可分性。
由于它的算法与统计和概率有关，它在识别数据的复杂关系方面表现优异，并且可以在多维空间中进行计算，使其成为一种在特定领域比较流行的机器学习技术。
埃森施泰因判别法主要在文本分类，贝叶斯分类，回归分析，多类逻辑回归，因子分析，检索式索引，聚类分析等方面有着广泛的应用。
2. 松回归和基于邻近的分类泊松回归（Poisson Regression）是一种统计方法，用来推测一项事件的发生概率。
它基于泊松分布，并且通过对观察（observed）和期望（expected）结果的比较，推测发生概率。
泊松回归可以用来预测基于潜在的触发因素（作为输入解释变量）的事件，比如病症出现的概率，也可以用来推测特定行为发生的概率，例如犯罪。
艾森斯坦判别法的推广
艾森斯坦判别法的推广艾森斯坦判别法的推广1. 艾森斯坦判别法简介在数学领域中，艾森斯坦判别法是一种用于判断多项式是否具有复根的方法。
它由德国数学家弗迪里希·艾森斯坦在19世纪提出，被广泛应用于代数学、数论以及物理学等领域。
2. 艾森斯坦判别法的基本原理艾森斯坦判别法基于以下原理：若一个多项式在某个数域上有根，那么该多项式中的每一个系数都可以被这个数域上的数整除。
以多项式f(x) = ax^n + bx^{n-1} + ... + k 为例，其中a、b、...、k为系数，x 为未知数，n为非负整数。
若存在一个数域K，使得f(x)在K上存在一根α，即f(α) = 0，则根据艾森斯坦判别法，α必然是K上不可约多项式f(x)的一个根。
3. 艾森斯坦判别法的推广近年来，有学者对艾森斯坦判别法进行了推广研究，并提出了一些改进的方法。
这些方法在应用于更加复杂的多项式问题时具有较好的效果。
一种推广艾森斯坦判别法的方法是引入更一般的数环或数域。
传统的艾森斯坦判别法假定多项式的系数属于整数环或有理数域，而推广后的方法则放宽了这一假设条件。
将系数扩展到整数模n的剩余类环，或是将系数视为复数域上的元素等。
这种推广可以在更广泛的数学问题中应用，增加了艾森斯坦判别法的适用范围。
另一种推广艾森斯坦判别法的方法是通过数论的技巧进行，利用数论中的工具和理论来研究多项式的性质。
利用模运算、同余关系等数论方法，可以在判定多项式是否具有复根时给出更加精确的结论。
4. 我对艾森斯坦判别法的个人理解在我看来，艾森斯坦判别法是一种非常有用的工具，可以帮助我们判断一个多项式是否具有复根。
它的应用范围广泛，涉及到代数学、数论以及物理学等多个领域。
通过推广艾森斯坦判别法，我们可以扩展其适用范围，使其在更加复杂的数学问题中发挥作用。
5. 总结与回顾本文介绍了艾森斯坦判别法的基本原理和应用。
艾森斯坦判别法通过判断一个多项式的系数是否能被其根整除来判断该多项式是否具有复根。
Eisenstein判别法的几个推广
也可 以完 全对偶 的得到 定理 ２ 设 ， ｚ ＝口ｚ ＋ａ （ ）
ｋｋ ， ，＜ｎ 使得
（ ） ， ｏ ２ Ｊ … ，ｎ １ ；（ ）Ｐ ａ 。 １户』ａ ；（ ） ａ一 ， ａ－ ， ３ 。
叫＋… ＋ｎ 是一 个整 系数多项式 。如果 有一个素 数 Ｐ和某 个正整数 。
次数 ＞是的不 可约 因式 。
推论 １ Ｅｉ ｎｔｉ ｓ ｓ ｎ判别 法 （ ｅ ｅ 定理 １中令 ｋ 一 １即得 ） 一 。
＊ 收 稿 日期 ：０ １ １ 一 ２ ２１— Ｏ Ｏ
作者简介 ： 陈秀梅（ ９Ｏ ， ， １８ 一） 女 山东潍 坊人 ， 潍坊学 院数 学与信息科学学院讲师。
Ｓｅ ｒ ● Ｇ ｅ ｒ ｌ ａｔ ｎｓ ０ｌ Ｅ ｉ ｅ ｔ ｉ １ ｉ ｒ■ 一 ｖｅ ａｌ 一 ｎｅ ａｌｚ Ｊｏ ｎ １ ● ｎｓ－ ■ｅ ｉ ｉ ■ ｉ ● 广 １ｓ ■ ｅ ｎ ｒ ｔ ・ ０ｎ
ＣＨＥＮ ｕ－ ｍｅ ， ＴＥＮＧ ａ － ｅ ｕ Ｘｉ － ｉ Ｃｈ ｎｇ ｈ ｎ
一
７ ５ ～
潍坊 学院 学报
２ １ 年 ８月 ０１
推论 ２ 设 － ｚ 一ｎ ＋ａ 厂 ） （
得
叫＋…＋ｎ 是一个 整 系数 多项式 且无 有理 根 ， 果有 一个 素 数 Ｐ 使 。 如 ，
（ ） ， ２ ＰＩ ２ … ，ｏ ３ Ｐ ａ 。 １ Ｐ』 ；（ ） ａ一 ， ａ ；（ ） ０ ｏ ａ
Ｃ。设 ｂ 是 ｂ ， 一， 中第一个 不 能被 Ｐ整 除 的 ， ＰＩ。 … ， Ｈ ， ， Ｏ ≤ ＜ 。 。ｂ ｂ 即 ， ＰＩ ｂ Ｐ』ｂ，＜ ｂ 。又 由于 ａ 一 ｂ 。 Ｈ Ｃ＋… ＋６Ｃ， Ｐ』 从 而 ｉ ＋６ １ ｃ 。 故 ， ， ａ ＞愚 即 一１ 愚 ， ≥ 。对整 系数多项 式 ｆ （ ） ３ － （ ） ＝ ＜ ， 素 ｌｚ ， （ １ｚ ）＝ 厂 ＝ 且 数 Ｐ满 足
Eisenstein判别法的几个注记
证 明 充 分性 ． Ｉ 反 证 法 ， 采 ｊ ＿ ｝ 没 （ 任 有 理 数 域 上 可 ） 约 ， 存 在 有 理 系 数 多项 式 ｇ （ ， ） 使 得 则 ） ｇ （ ，
ｇ ）＝ （ｘ十ｂ ｇ （ ｇ （ ． （ ．ａ ， ）： ） ）
①
且 ｄ ”：（ （ ）＜ａ ｇ ） ａ （ ））＜ａ （ ） ． ｆ ｇ． ） （ （ ）， 。 ｇ （ 。 ｇ（ ） 我 『 ］
一
代 ① ｆ 的 ， 得 有 理 系数 多 项 式 ， 次 数 不 变 ， ｆ Ｉ 所 且
即（＝（一号 ÷ ） ＿）ｇ÷ ）（一寺． 厂
这 与 ＿ ） 有 理 数 域 上 不可 约 矛 盾 故 ｇ（ 在 有 理 数 厂 往 （ ）
域 ｔ 不 町约．
的 ， Ｈ ｓｎｔｉ 别 法 的 另 外 表 达 式 ， 『 判 断 整 系 数 给 ｛Ｅｉ ｓｅｎ判 ｅ 彳效 多 项 在 有理 数 域 Ｉ不 可 约性 ， 是 现 高 等 代 数 的 多 项
厂ａ （ ｘ＋ｂ 存 有 理 我们 讨 论 了对 多项 式 经 线 性 替 搀 后 ， 用 Ｅｓｎ ｔｉ 利 ｉｅ ｓ ｎ判 ｅ 别 法 ， 广 了 Ｅｓｎ ｔｉ 推 ｉ ｓ ｎ剖 别 法 的 应 用 性 ． ｅ ｃ
【 关键 词 】 ｉ ｎｔｉ Ｅｓ ｓ ｎ判别 法 ： 系数 多项 式 ： 理 根 ｅ ｅ 整 有
论 指 导中学 数 学 教 学 的 一 最曼 内容． 项
引 理 １ （ ｉｅ ｓｅｎ判 别法 ） Ｅ ｓｎｔｉ 没
＿ ｊ＝Ｈ ， （ ０＋ａ ＋ａ 一＋ ‘ ｌ ２ 。 ＋ｎ ， （） １
必 然 性． 采 用 反证 法 ， ， ｘ 存 有 理 数 域 上 可 约 ， 仍 没 （） 则 存 存 有 理 系 数多 项 式 ／ （ ， （ ， 得 ＿ ） （ （ ， ） ） 使 厂 （ ＝ ） ） 且 （ ） （ （ ）， （ （ ）＜ｄ （ （ ） 于 是 有 ， （ ）＜ 厂 ＿ ） ） ” ＿ ） ． 厂
【doc】艾森斯坦因判别法的应用
艾森斯坦因判别法的应用fl第zz卷第期慧薏盖恙:.耋笔.蹦...e艾森斯坦因判别法的应用堑鎏圭(宜宾范专科学牲)0{?I摘要利用艾森斯坦因判别法,对某些类型的整系数多项式厦某些"大"系数多项式的不可约性进行j有效的判别.关键词兰墨塾垄查,至!垫型中图法分娄号0151.1艾撕埋盈判别.,有理数域Q上多项式的不可约问题归结为讨论整系数多项式的不可约问题.而整系数多项式不可约的判别方法较多,常用的是艾森斯坦因翔别法,或对多项式施行适当的变换后再利用该判别法.本文将直接对某些类型的整系数多项式施行艾森斯坦因判别怯判别其不可约性.为此,我1有:引理l整系效多项式,(z)=o+d+…+z+^不可约当且仅当F(x,)=o矿+Ⅱ1扩+…+—l+d.不可约..证明若,)可约,令,)=(6o+blx十…+6一)(c0+c-t-…+c).这里,0<<≈,0<<,+=,,q为整数(=0,l,2'..?,,』=0,1,2,…,).则(z,)一了(÷)9;.+6',+…-+-詈)']'Y[co+c'音)+…+'言']=(6+-+…+)(c+clz+…-t-).故,)可约.反之,若,(z,)可约,则y(x,1),而(,1)=,(z),即,()可约.引理2整系数多项式f(z)一no+az+…+|宅'不可约当且仅当g(z)一o+z+…+.lz+‰不可约.证明由引理1显然直接可得.引理l,2的作用在于使某些整系数多项式式转换为与其可约性相同的较简形状的多项式从而较容易地判定其不可约或进行因式分解.铡l将,(z)一2+35z+392+1029分解因式解,)可写为,(z)=2z.+5×+8×7+3×7由引理lf(x)与)一2x'+5x+8x+3的可约性相同,而)一(+2-t-3)(2z+1),故,)一(+2×7z+3×7)(2z+l×7)一(4-14z+147)(2+7).对某些类型的整系数多项式不可约的判别直接应用艾氏判别法失效,而雨变换=掣+b对多项式变形又较繁杂,对这类多项式有:定理l设整系数多项式,()一o_.+矿+…+一矿1.+,这里:为索数,分别与互素,则,(z)在有理数域上不可约.收稿日期tl995—05一l6扬海中,宜宾师范高等专科学拉数学系(四Jf『宜宾644007),讲师.男,46岁第1期扬海中;艾森斯坦固判剐法的应用l21证明因,(砷与其相伴多项式具有相同的有约性.而厂()=.o+(.p)te+…+(一1)皿"-1+.由引理1知t与()一+glI芦+d2,+…+d一l-1+a.1~e的可约性相同+又P为素数且(,=(=1,有群,Pl=1…2",一1.4la.p.nP.由艾森斯坦因判别法知(不可约.故,(砷不可约.推论整系数多项式,(一.o+.+":-+…+"∥一.这里P为素数.(,户)一(日H'一1.则/(曲不可约.证明由引理2及定理1即得证.定理1及其推论中所指类型的整系数多项式,直接应用艾氏判别法显然失效.若改判别法.又需该多项式的所有系数适台条件0≤<10(k=0,1.2,….)且要判别,(10)是素数,若f(10)为合数或该多项式中有系数≥1o时,高氏判别法失效.而应用定理1来处理该类多项式时刚无此限制条I2判别厂(=P+/,x+加+2不可约解因/t卫)一1x3.+1x3+1x3zx2+2.取声=3为素数,且(3,1)一(3.2)一1.由定理1./<)不可约.例3判别,()=24+80x+40x2+56+5不可约解,(力一3x2+1Ox2+5x2+7x2+5,取P一2为素数,且(2,3)一(2,j)=1.由定理1,,()不可约.定理2设整系数多项式/<砷一.o+.+…+一,+4若存在素数,使得;(1)叫1.州o;(2)件"一,=1,2.…,"一l;(3)辩n.则,(砷不可约.证明由题设(1).(2)知巩="一?.^一0.1.2.…一"一1.以为整数得:,(一d.+1+…+Ⅱ=(0∞+(61户)+…+(6一1p)/re'叫+口由引理1,()与(曲=bop++…+一+.的可约性相同.而P为素数.否则l..矛盾.有Pli—o.1.2.….一一1.,外由艾森斯坦因判别法知(不可约.故,(曲不可约.推论设整系数多项式,(∞一d.+.十…+a.若存在素数P,使得(1)『,扣;(2).一1.2,….一1;(3)外则,(不可约.定理2致其推论在处理某些"大系数多项式的町约性问题时,特别有效.例4判别/()=33614+7203x+172O+343+6不可约.解,(一2x7+3x74x+5x7.+7x7+6一.取P一7为素数,且7杞.7十6.山定理2:,()不可约.例5判别,(曲=4+7妇+250x~+3750不可约.解,(一4+3x5+2x5.+6x5.取P=5为素数且(5,4)一(5,6)一1.由定理2推论知,,)不可约.通过以上各侧?可见利用定理l?2及其推论来判别某些系数较"大"的整系数多项可约性较为方便.l22西南民族学院?自然科学版第22卷参考文献1张禾瑞.邦百新编.商等代效北京?商等教育出版杜,1988.2刘人丽处理大系数商次多项式可约性问胚的一种方法.四川哪范学院(自然科学版)1984,(2)ApplicationofEisensteinSDiscriminantY angHaizhong(YibinTeachersSehoo1) AbstractIrreduciblediscriminamsofSOmemultinomlatintegercoefficientandsomeb_g coefficientmuldnomialareeffectivelydiscr[rninatedwithHsensteinrsDiscriminant. Keywordsmuhinomialofintegercoefficient,irreducibledlscriminant(I-接第119页)参考文献叶彦谦?常敬分方程讲义?第二版-北京t人民教育出版杜,1983.田中静男糟杜长春等译微分方程习题详解.重庆:重庆出版杜,1988王高堆等.常微分方程.第二版.北京.高等教育出版杜,1983绦种生等一线性多变量系统柏分析与设计北京t国际工业出版社.1989复旦大学数学系.商荨代数.上海?上海科学技术出版杜,1987 TheoryofOperatorMatricesandSolutiontOtheLinearsystems ofDifferentialEquationswithConsentCoefficients(I)HILiaCiinc~i(YunnanAgricultureUn[vemity)AbstractInthispaper.theoperatormethodforlinearsystemsofdifferentiatequatior~sis discu.~d.Somerelatedconceptsand1-esuhsintheoryofopera~rmatricesaredel;cribed.日ementarymwtran~ormatlonmethods/egivenfor.solvingthelinear~,stemsofdifferentialequationswi thc0n~antcoefficients.Thev~riationofcon~antmethodf0rthenonhomogeneouslinearsysnx sofequationsisremarked.Keyw~soperatormethod.operatormatrices.1inearsystemsofdifferentialequationswith constantcc..4f[cients.variationofc0nstantmethod。
Eisenstein判别法的若干推广
定理 设 ｆ ｘ ＝ 。 ＋ （ ａ＋ ） …＋ ｎ ａｘ 是一个整系数多项式 ，如果存在一个素数 Ｐ及一个正整数 ｍ＜ ｎ， 满足 （ ）Ｐ， （ｉ （ ０ １ …， ） （ｉ ， 。 ｉ ａ； ｉ ）ＰＩ ，， ｍ ； ｉ ）Ｐ ａ ，那么 ， 在 Ｑ上存在次数大于或等于ｍ的 ａ ｉ （）
而得 Ｐ ａ ，矛盾 ，故 ｓ １ ｔ １ Ｉ． 或 ．不妨设 ｆ １ ． 分 ２种情 形讨 论 ： 情形 １ ｔ ＝１，即 ＰＩ０， Ｐ，１ 考 察 ，（） Ｓ 次 项 的 系 数 ａ ＝ｂｃ ＋… ＋６Ｃ ＋ｂ＋ ｏ Ｃ ｃ． 中 ＋１ ｏ川 １ ｓｃ ． ｌ
以 Ｐ， ｌ ａ＋ ，所 以 ｓ ， ＋ｌ ＋１ ，从 而 ｋ Ｓ ． ≥
如果 Ｓ ，那 么 ＂＝１ 由于 ｎ＞２，故 ． 有次数 大 于或等 于 ｌ ＝ｌ １ ． 厂 ） （ 的不可 约 因式是 显然 的 ，因此结论 成
立．
如果 Ｓ ２，则 Ｐｌｏ １ ，ＰＩ ．于是 Ｐ Ｉｌｏ ｂ ｂ 。 Ｃ．注意 到 Ｐ ａ ，得 Ｐ ， ｏｌ ｂ ， ｌ 。 ｂｃ ，故 Ｐ ｂ ．这就 证明存 在 ， ｏ
所有系数． ｂ ，， 令 Ｃ分别是 ｇ 和 ， ） （） ｚ 中第 １ （ 个不能被 Ｐ整除的系数， ｉ ０ １…， 一 ，Ｐ， 即ＰＩ （ ＝ ，， Ｓ １） ｂ ｂ，
Ｐｌ （Ｊ ， ， ， 一１） Ｐ， ｔ 如果 ｓ ２， ｔ Ｃ ＝０ １ … ｆ ， ｃ． ≥２同时成 立 ，那 么 ＰＩｏ ＰＩ】 ｃ ， ＰＩ】 ， ，Ｐ Ｉ０ ，从 ｂ ｂ ｃ
不可约 因式．
证明 用数学归纳法．当ｎ ２ ＝ 时， ｍ＝ ． 而二次多项式 ｆ ｘ 显然有次数大于或等于 １ 有 １ （） 的不可约因 式 ，因此结论成立．假设 ｎ ２， ＞ 且结论对于次数小于ｎ 的整系数多项式成立 ， 考察满足定理条件的 次整
简要的盘点爱因斯坦相对论
简要的盘点爱因斯坦相对论作者：杨升山年龄：66职业：无业Email：mzhyss@职称：工程师籍贯：河南孟州市现住址：南京江宁开发区太平花园3-305邮编：211100提要：本文是个合集，从多方面对相对论作出分析，指出相对论是个思维方法错误的理论，必须退出物理学舞台，让物理学沿着健康的道路继续前进。
关键词：研究对象，时间与空间，速度的表达方法，对敌测量，国家安全1.标题：物理学的研究对象是什么？提要：爱因斯坦是相对论的创立者，相对论又被誉为高速运动的宪法，可是我却发现，它在创建相对论是搞错了研究对象。
开始我也不敢相信这个事实，但又不能否认这的确是事实。
大家可以看看，在直角坐标系中，物质的运动行程是用√（x^2+y^2+z^2）表示的，光的行程可以用ct来表示，爱因斯坦让物质的运动行程与光的行程划等号，就是把一切物质的运动速度都看成了光速，或者说爱因斯坦只研究光的运动，也可能是爱因斯坦把光的运动看成物质的运动了。
从这三种情况来看爱因斯坦在创建相对论时就搞错了研究对象。
形象化说就是把邮递员当成了写信的人。
由此看来，爱因斯坦的相对论充其量也只能是以光信号作为物体运动信号的传递媒介时，光信号的传递规律，不是普适的物理规律。
关键词：物理学研究对象爱因斯坦的相对论信号传递正文：物理学研究对象什么，本来是一个很早就解决了的问题，现在重提这个问题，就是因为有了爱因斯坦的相对论，人们的意识出现了差错。
物质在运动过程中会有信号发出，这些信号有很多种，声音信号、光信号、甚至可以有气味信号。
其中光信号可以是本身发出的，也可以是反射的，这些信号都表示物体运动的位置。
要了解物体的运动情况，只有一个信号是不行的，一个信号只能对应一个位置。
也可以说只有一个位置是不行的，只有知道下一个位置，才能知道这个物体运动的方向与距离。
所以就算只使用光信号，也需要知道物体运动时发出的第二个信号。
爱因斯坦只提到物体发出的第一个光信号是一个球面波，也只针对这个球面波进行讨论，只能是光信号的运动情况，不是物体本身的运动情况。
1.k 重因式 2.艾森斯坦判别法
在数学领域中，k重因式和艾森斯坦判别法是两个重要且常被讨论的主题。
通过深度和广度的评估，我们可以更好地理解这些概念的含义和应用，同时也能加深我们对数学领域的认识。
让我们从k重因式开始。
k重因式是指在多项式中重复出现k次的因式，其中k是一个自然数。
在代数学中，因式分解是一个非常重要且基础的概念，而k重因式则是这个概念的延伸和拓展。
对于一个多项式，我们可以通过因式分解的方法将其分解成若干个一次或高次的不可约因式的乘积。
而在这个过程中，如果某个因式重复出现了k次，那么我们就称它为k重因式。
在代数学的求解问题中，对多项式进行因式分解可以帮助我们更好地理解和解决问题，而k重因式的概念则可以帮助我们更深入地分析多项式的结构和性质。
接下来，让我们转而讨论艾森斯坦判别法。
艾森斯坦判别法是一种用于判断整数是否为质数的方法，也是数论领域中的重要工具之一。
这种方法的核心思想是，通过对给定的整数进行特定的变换和计算，来判断其是否能够被一个较小的质数整除。
如果能够被整除，那么这个整数就不是质数；反之，则可能是质数。
艾森斯坦判别法的应用范围非常广泛，它不仅可以用于数论领域的证明和推导，还可以在计算机科学和密码学等领域中发挥重要作用。
通过对k重因式和艾森斯坦判别法的深度和广度评估，我们能够更好地理解和应用这些数学概念。
无论是在代数学的求解问题中，还是在数论和密码学领域中，这些概念都具有重要的意义和价值。
希望通过本文的阐述，读者能够对这些概念有更深入的理解，并能够灵活运用于实际问题中。
我个人认为，数学是一门非常美妙和神奇的学科，它的深度和广度远远超出我们的想象。
k重因式和艾森斯坦判别法只是数学领域中的冰山一角，我们还有很多有趣和重要的数学概念等待去探索和理解。
希望大家能够保持对数学的热爱和好奇心，不断深入学习和思考，发现其中的乐趣和魅力。
总结回顾：本文通过对k重因式和艾森斯坦判别法的深度和广度评估，介绍了这两个数学概念的含义、应用和意义。
高中 艾森斯坦判别法
高中艾森斯坦判别法一、艾森斯坦判别法的内容1. 定义- 设f(x)=a_{n}x^n+a_{n - 1}x^n-1+·s+a_{1}x + a_{0}是一个整系数多项式。
如果存在一个素数p，使得：- p不能整除a_{n}；- p能整除a_{n - 1},a_{n - 2},·s,a_{0}；- p^2不能整除a_{0}。
- 那么f(x)在有理数域上是不可约的。
2. 示例说明- 例如，对于多项式f(x)=2x^3+3x^2+6x + 3。
- 我们取素数p = 3。
- 对于n = 3，a_{3}=2，3不能整除2。
- a_{2} = 3，a_{1}=6，a_{0}=3，3能整除3、6、3。
- 并且3^2=9不能整除3（a_{0}）。
- 所以根据艾森斯坦判别法，f(x)在有理数域上是不可约的。
二、艾森斯坦判别法的证明思路（简单了解）1. 假设与反证- 假设f(x)在有理数域上可约，那么f(x)=g(x)h(x)，其中g(x)=b_{m}x^m+b_{m - 1}x^m - 1+·s+b_{1}x + b_{0}，h(x)=c_{k}x^k+c_{k - 1}x^k - 1+·s+c_{1}x + c_{0}，且m + k=n。
- 考虑f(x)的系数与g(x)、h(x)系数的关系。
2. 利用素数性质推出矛盾- 因为p能整除a_{0}=b_{0}c_{0}，根据素数性质，p能整除b_{0}或者c_{0}。
不妨设p整除b_{0}。
- 又因为p不能整除a_{n}=b_{m}c_{k}，所以p不能整除b_{m}。
- 设b_{i}是g(x)中第一个不被p整除的系数（0 < i≤slant m）。
- 考虑a_{i}=b_{i}c_{0}+b_{i - 1}c_{1}+·s，由于p能整除a_{i}，p能整除b_{i - 1},b_{i - 2},·s,b_{0}，所以p能整除b_{i}c_{0}。
爱森斯坦因判别法
爱森斯坦因判别法
爱森斯坦判别法是一种统计分析方法，它主要用于分类多个事件的预测。
这种方法可以检
测数据中的关联，并有助于对基于多因素干预的因素效应预测，在医疗研究及其他相关领
域均有广泛应用。
爱森斯坦判别法能够帮助研究者探究要素之间的关系，将不同类别的事件分组，分析多个
变量的影响等。
该方法可以用于打印表中出现的事件分数或者总体分数，以及提取有关分
组之间的差异的信息。
爱森斯坦判别法基于对实验变量间依赖性的估计，因此只能用来减
少错误分类，而无法获得分类理论，但它能从非常复杂的数据中提取出具有一定统计意义
的分类原则。
爱森斯坦判别法可以用来检测和估计数据之间的关系，分析变量之间的关联，帮助探究分
类指标能够成功分类的概率。
它也可以用来分析和预测人群的不同行为，例如婚姻，购买
习惯等。
然而，使用爱森斯坦判别法所获得的分类模型是否有效无法确定，因此在采用之前，应先考虑其应用的有效性。
爱森斯坦判别法是一种常用的统计分析方法，虽然它不能用来分析推论，但是可以进行有
意义的分类，有助于掌握客观事实，从而增加预测性分类模型的可信度和准确性。
使用爱
森斯坦判别法进行预测，比要求更多的观察更简单，更有效率，可以减少研究时间和成本，为研究者和企业提供便利。
第一讲 多项式
第一讲 多项式一、数域的判定 1、数域的概念设P 是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P 中的数，则称P 为一个数域。
2、常见的数域有理数域Q ，实数域R 和复数域C 。
3、数域的有关结论（1）所有的数域都包含有理数域Q ，即有理数域是最小的数域；（2）在有理数域Q 与实数域R 之间存在无穷多个数域；在实数域R 与复数域C 之间不存在其他数域。
要求准确掌握数域的定义，能用定义正确判断一个数集是不是一个数域，能用定义推导数数域的性质。
例1、设P 是一个数集，有一个非零数a P ∈，且P 关于减法，除法（除数不为0）封闭，证明P 是一个数域。
例2、下列各数集是否构成数域？说明原因。
（1）{}1,P a a b Q =+∈；（2）{}2,P a b Q =+∈。
例3、证明：实数域和复数域之间不存在其他的数域。
二、一元多项式的概念 1、一元多项式的概念 形式表达式()1110n n n n f x a x a x a x a --=++++称为数域P 上文字x 的一元多项式，其中01,,,n a a a P ∈ ，n 是非负整数。
当0n a ≠时，称多项式()f x 的次数为n ，记为()()f x n ∂=或()()deg f x n =，并称n n a x 为()f x 的首项系数。
i i a x 称为()f x 的i 次项，i a 称为()f x 的i 次项系数。
当10n a a === ，00a ≠时，称多项式()f x 为零次多项式，即()()0f x ∂=；当100n a a a ==== 时，称()f x 为零多项式。
零多项式是唯一不定义次数的多项式。
注：这里多项式中的x 看作一般的文字或符号，它可以是变数（中学讲述的多项式即为如此），也可以是矩阵、线性变换等，具有更一般的意义。
这里把多项式看成一种形式上的表达式（中学数学将多项式看成一类函数），其中的“+”号并不意味着“加”， i i a x 也并不意味“乘”和“乘方”。
勾股定理爱因斯坦证明方法
勾股定理爱因斯坦证明方法
勾股定理一直是数学中的重要定理，被广泛应用于几何学和物理学中。
然而，爱因斯坦在他的相对论理论中也利用了勾股定理，提出了一种新的证明方法。
爱因斯坦的证明方法基于勾股定理中三角形的直角和斜边的关系。
他认为，在相对论中，两个物体的相对速度会导致空间的变形，这也就是著名的时间相对性和长度相对性。
因此，对于一个静止的观察者来说，一个运动的物体看起来会变短，时间也会变慢。
利用这个原理，爱因斯坦提出了一种新的证明方法。
他认为，假设有一个直角三角形ABC，其中AB和BC分别是直角边，AC是斜边。
然后，让一个物体沿着AC运动，同时观察这个运动的物体的长度和时间。
根据相对论的原理，运动的物体看起来会变短，因此它的长度BC会缩短。
同时，时间也会变慢，因此从B到C所需的时间也会增加。
这样，通过测量BC和从B到C所需的时间，可以得出AC的长度。
这个证明方法虽然比较抽象，但是却能够解释勾股定理的本质。
同时，也为相对论的研究提供了新的思路和方法。
- 1 -。
eisenstein判别法
eisenstein判别法
艾森斯坦判别法是一种数据挖掘算法，用于尝试定量描述或抽取一个文件、一组文件、一组相似文件或一组其他数据中的隐藏特征和关系的一种自动技术。
它可以用于很多应用场景，包括有关流检测、数据挖掘、视觉检测和机器学习等技术领域。
艾森斯坦判别法可以提取数据中的不可感知但有效特征，这是定义数据表示与挖掘新发现的决定性步骤。
艾森斯坦判别法使用多种统计指标来测量实例特征的特定差异。
据报道，艾森斯坦判别分析可以定量测量不同类别之间关键维度之间的差异，挖掘数据中找出隐藏的特征。
此外，它具有更强大的可解释性，可以较好地探索解决实际问题所需要研究的属性集，从而获得有利但可获得的最佳解决方案。
艾森斯坦判别法不仅应用于生物学领域，而且还可以用于财务、交易和信息技术等多个领域。
它们能够自动分析数据中的不同特征，并从中提取有价值的数据，显示有助于系统改进的信息。
艾森斯坦判别方法的基本思想是使用统计模型来估计分类器的参数，以便识别输入数据的正确分类。
艾森斯坦判别法的优势在于，能够区分和识别异常数据，并判断所提供的特征在分类中的重要性，从而提高实时性能。
爱森斯坦判别法证明
爱森斯坦判别法证明
爱森斯坦判别法是一种用来判断二次方程的根的性质的方法。
它可以确定一个二次方程是否有实数根，以及根的个数。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0，爱森斯坦判别法可以通过计算判别式D = b^2 - 4ac来判断方程的性质。
1. 如果D > 0，表示判别式大于零，方程有两个不相等的实数根。
2. 如果D = 0，表示判别式等于零，方程有且仅有一个实数根（即重根）。
3. 如果D < 0，表示判别式小于零，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
通过爱森斯坦判别法，我们可以得出关于二次方程根的一些重要结论。
这个判别法在解析几何、代数和物理学中都有广泛的应用。
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设 f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 , 是一个整系数多项式，若有一个素数 p, 使得
1o p | an 2o p | an1,an2 ,K ,a0 3o p2 | a0 则 f ( x)在有理数域上是不可约的．
证： 若 f ( x) 在 Q 上可约，由定理11， f ( x) 可分解为两次数较低的整系数多项式积
注意
① Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而 非必要条件． 也就是说，如果一个整系数多项式 不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的， 也可能是不可约的．
② 有些整系数多项式 f ( x不) 能直接用Eisenstein 判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的 代换 ax b (a,b Z,a 0), 使 f (ay b) g( y)满足 Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式 f ( x) 不可约．
f ( x) (bl xl bl1xl1 L b0 )(cm xm cm1xm1 L c0 ) bi ,c j Z, l,m n, l m n
an blcm , a0 b0c0 . Q p | a0 , p | b0 或 p | c0 , 又 p2 | a0, p 不能同时整除 b0 , c0 . 不妨设 p | b0 但 p | c0 .
另一方面， p | an . p | bl , p | cm . 假设 b0 ,b1,L ,bl 中第一个不能被 p 整除的数为 bk , 比较两端 xk 的系数，得
ak bkc0 bk1c1 L b0ck 上式中 ak ,bk1,L ,b0 皆能被 p 整除， p | bkc0 p | bk 或适当线性代换后 再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的 办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在 Q上的 多项式 f ( x), 无论作怎样的代换 x ay b, 都不能 使 f (ay b) 满 g足( y爱) 森斯坦因判别法的条件， 即找不到相应的素数 p.
故 f ( x)不可约．
例3 证明：xn 2 在 Q上不可约． 证：（令 p 2 即可）． (可见存在任意次数的不可约有理系数多项式)
例4 判断 f ( x) 1 x x2 x3 L x p ,
2! 3!
p!
（ p 为素数）在 Q上是否可约．
解： 令 g( x) p! f ( x), 即
命题 有理系数多项式 f ( x)在有理系数上不可约
对a,b Q ( a 0), 多项式 g( x) f (ax b) 在有理数域上不可约．
例5 证明：f ( x) x2 1 在 Q上不可约． 证： 作变换 x y 1, 则
f ( x) y2 2 y 2, 取 p 2, 由Eisenstein判别法知， y2 2 y 2 在Ｑ上不可约， 所以 f ( x) 在Ｑ上不可约．
g( x) p! p! x p! x2 L p! x p1 x p ,
2
( p 1)!
则 g( x)为整系数多项式．
Q p | 1, p | p! , p! ,L , p! , ( p 1)! ( p 2)!
但 p2 | p! ,
g( x) 在 Q上不可约， 从而 f ( x)在 Q 上不可约．