单纯形法的计算方法
单纯形法求解过程
单纯形法求解过程单纯形法是一种经典的线性规划求解方法，它是由乔治·达竞士等人在1947年提出的。
该方法的基本思想是，通过在单纯形空间内不断移动顶点的位置来寻找最优解。
单纯形法是目前广泛应用的线性规划求解方法之一，它求解线性规划问题可大大地简化计算过程。
单纯形法的求解过程包括以下几个步骤：1. 将线性规划问题转化为标准形式线性规划问题的标准形式为：$ \max_{x} \ \ c^T x $$s.t. \ Ax=b$$x\geq 0$其中，$x$是要求解的向量；$b$是一个常数向量；$A$是一个$m\times n$的矩阵；$c$是一个常数向量。
2. 初始化单纯形表因为单纯形法是通过移动顶点来寻找最优解的方法，因此需要初始化单纯形表。
单纯形表是将原始的约束条件表示为不等式形式时形成的。
例如，对于一个带有3个变量的线性规划问题，其单纯形表的形式如下：CB | X1 | X2 | X3 | X4 | RHS----|-----|-----|-----|-----|----0 | a11| a12| a13| 0 | b10 | a21| a22| a23| 0 | b20 | a31| a32| a33| 0 | b31 | z1 | z2 | z3 | 0 | 0其中，CB代表成本系数，X1、X2、X3、X4分别代表变量。
a11、a12、a13等代表矩阵A中的元素，b1、b2、b3代表矩阵b中的元素。
3. 选择进入变量和离开变量在单纯形表中，规定最后一列为等式右边的常数（RHS），即b。
在单纯形法的求解过程中，首先需要选择一个“进入变量”，即在单纯形表的第一行中，寻找一个系数为正的变量，使得将其加入目标函数后，目标函数值可以上升。
这里以X1为例，X1为进入变量。
接着，需要选择一个“离开变量”，即在单纯形表中，寻找一个使得添加X1变量后，约束条件不改变且取得约束条件中系数最小的一个变量离开。
第四节 单纯形法的计算步骤
上表中由于所有σ 上表中由于所有 j>0 ，表明已求得最优解 x1=4， x2=2， x3=0， x4=0， x5=0， x6=4， ， ， ， ， ， ， Z=14。 。 当确定x 为换入变量计算θ值时 值时， ◆当确定 6为换入变量计算 值时，有两个相 同的最小值： 同的最小值：2/0.5=4，8/2=4。任选其中一 ， 。 个作为换出变量时， 个作为换出变量时，则下面表中另一基变 量的值将等于0，这种现象称为退化 退化。 量的值将等于 ，这种现象称为退化。含有 一个或多个基变量为0的基可行解称为 的基可行解称为退化 一个或多个基变量为 的基可行解称为退化 的基可行解。 的基可行解。
18
迭代
xB
次数
cB
x1
x2
x3
x4
x5 bi
θi
50
x1
100
0
0
0
50 0 100
1 0 0
0
0 0 1
0
1 -2 0
- 50
0 1 0
0
-1 1 1
- 50
50 50 250 -27500
2
x4 x2
σj
2010年8月
管理工程学院
18
《运筹学》 运筹学》
19
所有的检验数 σ j ≤ 0, 此基本可行解： 此基本可行解：
2010年8月
管理工程学院
5
《运筹学》 运筹学》
6
c1 … cl b b1´
⋮
c j→ cB c1
⋮
… cm … xm …0 …⋮ 0 …1 …
⋮
…cj …xj …a1j´ …⋮ a2j´ …⋮ amj´
… ck … cn … xk …xn …0 …⋮ 1 …0
运筹学单纯形法的计算步骤
b2
0… 0
a2,m+1
…
a2n
2
…
…
…
…
cm xm
bm
0… 1
am,m+1
…
amn
m
-z -z 值 0 … 0
m+1
…
n
XB 列——基变量， CB 列——基变量的价值系数(目标函数系数) cj 行——价值系数，b 列——方程组右侧常数 列——确定换入变量时的比率计算值
下面一行——检验数， 中间主要部分——约束方程系数
(4).根据max(j > 0) =k，拟定xk为换入变量，按 规则计算 =min{bi/aik\aik>0}
可拟定第l行旳基变量为换出变量。转入下一步。
(5).以 alk 为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋转变 换)，把 xk 所对应的列向量变换为(0，0，…，1，…，0)T，将
XB 列中的第 l 个基变量换为 xk，得到新的单纯形表，返回(2)。
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 2 0 x4 8 3 x2 3
1
0
1
0 -1/2 -
0 0 -4 1 (2 ) 4
0 1 0 0 1/4 12
-z
-13
0
0 -2
0 1/4
X(2)=(2，3，0，8，0)T， z2 =13
cj
2 30 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 0 x5 4 3 x2 2
量，给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4
单纯形法计算步骤
单纯形法计算步骤引言单纯形法是一种常用的数学优化方法，主要用于求解线性规划问题。
它的基本思想是通过不断地在可行解集合内移动，逐步靠近最优解，直到找到最优解。
本文将介绍单纯形法的基本步骤，以帮助读者了解如何使用该方法解决线性规划问题。
步骤一：建立线性规划模型在使用单纯形法之前，首先需要建立线性规划模型。
线性规划模型由决策变量、目标函数和约束条件组成。
决策变量是需要在问题中决策的变量，目标函数是需要最大化或最小化的目标，约束条件是限制决策变量取值范围的条件。
步骤二：将线性规划模型转化为标准形式单纯形法只适用于标准形式的线性规划模型。
标准形式要求目标函数为最大化，并且所有的约束条件都是等式形式。
如果初始线性规划模型不符合标准形式，我们可以通过适当的代数操作将其转化为标准形式。
步骤三：构造初始单纯形表初始单纯形表是单纯形法求解线性规划问题的起点。
它由决策变量、松弛变量、人工变量、目标函数系数和约束条件组成。
初始单纯形表的构造方法如下： 1. 将决策变量的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的第一行。
2. 将目标函数的系数放在单纯形表的第一列。
3. 将约束条件的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的其他行。
步骤四：确定基变量和非基变量基变量是单纯形表中拥有非零系数的变量，非基变量是单纯形表中拥有零系数的变量。
基变量和非基变量的确定方法如下： 1. 将目标函数的系数列中不为零的变量作为基变量。
2. 将约束条件中非零系数列中对应的变量作为基变量。
3. 剩余的变量作为非基变量。
步骤五：计算单纯形表中的系数根据基变量和非基变量的定义，我们可以计算单纯形表中的系数。
计算方法如下： 1. 将基变量的系数列除以对应的基变量系数。
2. 将非基变量的系数列减去对应的基变量系数列乘以非基变量所在行和基变量所在行之间的系数。
步骤六：检查是否达到最优解在每次迭代过程中，都需要检查是否达到最优解。
如果单纯形表中目标函数系数列的所有值都是非负的，表示已经达到最优解；否则，需要进行下一次迭代。
单纯形法的计算步骤
运筹学基础及应用
解：化标准型
max
z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x5 5 x1 x2 x1 , , x5 0
运筹学基础及应用
表1：列初始单纯形表 （单位矩阵对应的变量为基变量）
运筹学基础及应用
单纯形表
- Z x1基变量 x 2 ... xm XB 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m xm xNn 非基变量 1 .... X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
在上一节单纯形法迭代原理中可 知，每一次迭代计算只要表示出当前的约 束方程组及目标函数即可。
a1m 1 xm 1 ..... a1n xn b1 x1 x a2 m 1 xm 1 ..... a2 n xn b2 2 .......... .......... .......... ..... xm amm 1 xm 1 ..... amn xn bm Z c1 x1 ... cm xm cm 1 xm 1 ... cn xn 0
3
0 1 5/4 -15/2 1*3/2 0 0 1/4 -1/2 +0*15/2 检验数<=0 1 0 -1/4 3/2
cj z j
8.5
0
0
-1/4
-1/2
最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8.5
cj
CB
0 0 0
2
1
0最小的值对应 0 0
C4单纯形计算步骤
运筹学
讨论区 orppt07@ orppt123456 李健 lijian@ 北京化工大学经济管理学院
上节内容回顾
一．线性规划与单纯形法
xi bi
j m 1
a x
ij
n
n
j
(i 1, 2,
m)
(1-24)
将(1-24)代入(1-20),目标函数变成
z ci bi
i 1 m j m 1
(c c a )x
j i 1 i ij
m
j
(1-25)
，j m 1, 令z0 ci bi， j c j ci aij
§4.2 标准LP的单纯形计算步骤
例2 请用单纯型表求解下LP
max z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 8 16 4 x1 s.t. 4 x2 12 x1 , x2 0
max z 2 x1 3 x2 0 x3 0 x4 0 x5 8 x1 2 x2 x3 4 x x4 16 1 s.t. 4x2 x5 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
max z 2 x1 3 x2 0 x3 0 x4 0 x5 8 x1 2 x2 x3 4 x x4 16 1 s.t. 4x2 x5 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
§4.1 单纯形表
cj
cB
0 0 0
i 1 i 1
m
m
,n
解目标规划的单纯形法
(5) 当k=K时，计算结束. 表中的解即为满意解.否则置 k=k+1，返回到(2).
【例4--4】 用单纯形法求解目标规划问题
min
z
P1
d
1
P2
(
d
_ 2
d
2
)
P3
d
3
2 x1 x2 xs 11
cj-zj
P2
P3
3/2 3/2 1/2 1
3
-3
1 1
-1/2 1/2 -1 1/2 -1/2
1/2 -1/2 -5 5 1 1 11 5 -5
4 10/3 10 -1 6/3
1
依此类推，直至得到最终表为止。见表4-3.
表4-3
cj CB XB b
P1 P2 P3 P4 x1 x2 xs d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ θ
P2 d2-1 6 1/3 1/3
1
P3 d2+ 1 -6 -1/3 -1/3
1
表4-4
P4 d3- d3+ -1 1
1
θ
表4-3所示的解x1*=2，x2*=4为例1的满意解. 此解相当于图4-1的G点。由表4-4得到解x1*=10/3， x2*=10/3，此解相当于图4-1的D点，G、D两点的凸线 性组合都是例1的满意解.
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤:
(1) 建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子 个数分别列成K行，置k=1.
此表(解中2相 的当解) 于即检图为满4-查1意的解G.点该。 行中是否存在负数，且对应的前k-1行的系 数是零。若有负数取其中最小者对应的变量为换入 ③ 因k(=1)＜K(=3)，置k=k+1=2，返回到(2)。
单纯形法表的解题步骤
单纯形法表的解题步骤单纯形法表结构如下：j c →对应变量的价值系数i θB Cb Xb1x 2x 3x " j x基变量的价值系数基变量 资源列θ规则求的值j σ检验数①一般形式若线性规划问题标准形式如下：123451231425max 23000284164120,1,2,5j z x x x x x x x x x x x x x j =++++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩"取松弛变量345,,x x x 为基变量，它对应的单位矩阵为基。
这样就得到初始可行基解：()()00,0,8,16,12TX =。
将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，如表1-1所示：表 1-1 ()()00,0,8,16,12TX =j c →2 3 0 0 0i θB C b X b1x 2x 3x 4x 5x0 3x 8 1 2 1 0 0 4 04x16 4 0 0 1 0 -5x12 0 [4] 0 0 1 3j σ2 3 0 0 0若检验数均未达到小于等于0，则对上表进行调整。
选择上表中检验数最大的列，该列对应的非变量为入基变量；再应用θ规则该列对应的各基变量对应的θ值，选出其中最小的一行，该行对应的基变量为出基变量。
修改单纯形表，对各行进行初等变换，确保基变量组成的矩阵为单为矩阵。
修改后的单纯形表如表1-2所示：表 1-2 ()()10,3,2,16,0TX =检验数12,0σσ>，则进行继续调整，调整后的单纯形法表如表1-3所示：表 1-3 ()()22,3,0,8,0TX =表1-3中， 50σ>，则继续进行调整，调整结果如表1-4所示：表 1-4 ()()34,2,0,0,4TX =检验数0j σ≤，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解：()()3*4,2,0,0,4TX X ==*14z =②带人工变量现有线性规划问题：12312312313123min 321142321,,0z x x x x x x x x x x x x x x =−++−+≤⎧⎪−++≥⎪⎨−+=⎪⎪≥⎩ 将上述线性规划问题用大M 法求解，在约束条件中加入松弛变量4x ，剩余变量5x ，人工变量6x ，7x 得到：1234567123412356137min 300211423210,1,2,,7j z x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x x x j =−++++++−++=⎧⎪−++−+=⎪⎨−++=⎪⎪≥=⎩"其中，M 是一个任意大的正数。
单纯形法的计算步骤
确定换入基的变量。选择 ,对应的变量xj作为换入变量,当有一个以上检验数大于0时,一般选择最大的一个检验数,即： ,其对应的xk作为换入变量。 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ,选最小的θ对应基变量作为换出变量。
商务 图标元素
商务 图标元素
商务 图标元素
商务 图标元素
商务 图标元素
商务 图标元素
商务 图标元素
商务 图标元素
商务 图标元素
单纯形法的计算步骤
用换入变量xk替换基变量中的换出变量,得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可行解,并相应地可以画出一个新的单纯形表。 5 重复3 、4 步直到计算结束为止。
单纯形法的计算步骤
换入列
bi /ai2,ai2>0
40
10
换出行
将3化为1
5/3
1
18
0
1/3
0
1/3
10
1
－1/3
其中：M是一个很大的抽象的数,不需要给出具体的数值,可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型,计算结果见下表。
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
→
→
→
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
单纯性法小结:
PPT常用编辑图使用方法
1.取消组合
2.填充颜色
3.调整大小ຫໍສະໝຸດ 商务 图标元素30
30
0
5/3
0
－4/3
乘以1/3后得到
1
0
3/5
－1/5
18
0
1
－1/5
－2/5
单纯形法的计算步骤及应用
（4-16）
（4-17）
bi' bi
bl ai ,k ( i 1,2, , n; i l ) al ,k
这样经过变换以后就得到了新的增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,k 1 a l ,k 1 0 al ,k a m ,k 0 a l ,k 0 a
单纯形法介绍及相关问题
标准型线性规划问题 max s=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
an1x1+an2x2+…+annxn=bn xj≥0(j=1,2,…,n)
单纯形法介绍及相关问题
例1 已知约束如下
（4-11）
单纯形法介绍及相关问题
2、基本可行解之间的迭代
在讨论中我们假设对方程组（4-10）的系数增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,m1 1 1 al ,m1 1 am ,m1
a1,m1 a1,n al ,m1 al ,n am ,m1 am ,n
' a1 ,m 1 ' 0 a1 ,n
' l ,m 1
0
1 al' ,n
1 a'm ,m 1 0 a'm ,n
' b1 bl' ' bm
14单纯形法计算步骤
1/40 1/40
3/20
X*=(0.5,0,0.15,0,0)T， z=2×1/2+3×3/20=1.45
第13页
练 习
用单纯形法求解问题 1、
m inz x 2 2 x 3 x1 2 x 2 x 3 2 x2 3 x3 x4 1 s.t . x2 x3 x5 2 x j 0; j 1,2,...,5
第14页
练 习
2.
min z 8 3x1 5 x2 8 s.t. x1 2 x2 x3 4 x1 x4 16 4 x2 x5 12 x j 0( j 1, 2,3, 4,5)
第15页
练 习
3.
min z 8 3x1 5 x2 8 s.t. x1 2 x2 x3 4 x1 x4 16 4 x2 x5 12 x j 0( j 1, 2,3, 4,5)
CB XB
2 1
1 1
x3 x2
σj x1 x2 σj
1 0
1 1
[1] -1
0 1 0 0
0 1
0 0 1 0
1 0
0 1 1 0
-1 2
-1 -1 1 -1
第10页
关于单纯形法的补充说明
无最优解（无界解）的判定
若对基可行解X1，存在非基变量xk的检验数 σk>0，但aik≤0，i=1，2，…，m即xk的系数列 向量无正分量，则问题无最优解。
a1m+1 a2m+1 amm+1
m i 1
… …
…
a1k a2k amk
m i 1
第七(八)讲 单纯形法的计算步骤
单纯形表的特点:
基变量对应的约束方程系数矩阵为单位矩阵I; 基变量对应的检验数均等于0; 基可行解不同,反映在原表中该基可行解对应的基B 不同.
0
0 0 -z
x3
x4 x5
8
16 12
1
4 0 2
2
0 4 3
1
0 0 0
0
1 0 0
0
0 1 0
4
3
cj CB 0 0 3 0 XB x3 x4 x5 2 b 2 8 16 3 12
2 x1 1 4 0
3 x2 0 2 0 1 4 0 3
0 x3 1 1 0 0 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
2 x1 1 4 0 0 2 0
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 -4 0 0 -2
0 x4 0 1 0
0 x5 -1/2 0 2 2 1/4 -3/4 1/4
θi 2
4 4 12
2 0
0 3
0
cj CB XB b
2 x1
3 x2
0 x3
0 x4
0 x5 0 -1/2 2 1 2 0 1/4 0 1/4
θi
2
0 3 -z
x1 x5 x4
x2
2 4 8 4
2 3
1 0 0 0
0 0 1 0
1 0 -4 -2
0 1/2 -3/2 -2
0 1/4 1/2 1
0 -1/8 -1/8 0
4 12
由上表可知该线性规划问题的最优解为：X*=(4,2,0,0,4)T 此时最优值 z=14 注：检验数的计算也可以通过行初等变换得到。
' b i' bl ' θ min ' a ik 0 ' i a ik a lk
单纯形法基本原理及实例演示
③计算各非基变量xj的检验数j=Cj-CBPj ′，若所有j≤0，则问题已得
到最优解，停止计算，否则转入下步。
④在大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk≤0，则此问
题是无界解，停止计算，否则转入下步。
⑤根据max{j｜j＞0}=k原则，确定xk为换入变量(进基变量)，再按 规则计算：=min{bi/aik| aik＞0}=bl/ aik 确定xBl为换出变量。建 立新的单纯形表，此时基变量中xk取代了xBl的位置。
⑥以aik为主元素进行迭代，把xk所对应的列向量变为单位列向量，即 aik变为1，同列中其它元素为0，转第③ 步。
线性规划的例子
max z 4x1 3x2 2x1 2x2 1600 5x1 2.5x2 2500 x1 400 x1, x2 0
线性规划--标准化
● 引入变量：s1,s2,s3
检验系数区
Z=CBB-1b
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
CB
x1
x2
s1
s2
s3
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 Zj=CBNj j cj zj
Z=CBB-1b
初始单纯形表
基
迭代 次数
变
CB
x1
X2
s1
s2 S3
量
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 1 1 0 0 300
C向量
max z 50 100 0 0
CB
CN
x1
x2
0•
1 1 1
1 0 0
0 1 0
单纯形法的计算方法
第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。
但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。
这就是迭代, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。
4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。
（1）第一种情况：若线性规划问题 max z =nj j j=1c x ∑1,1,2,...,0,1,2,...nij j i j ja xb i mx j n =⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑从Pj ( j = 1 , 2 , ⋯ , n )中一般能直接观察到存在一个初始可行基121(,,...,)n B P P P 0 0⎛⎫ ⎪0 1 0 ⎪== ⎪ ⎪0 0 1⎝⎭（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。
经过整理, 重新对j x 及ij a ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n )进行编号, 则可得下列方程组11,111122,1122,1112.........,,...,0m m n n m m n n m m m m nn n nn x a x a x b x a x a x b x ax a x b x x x +++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩显然得到一个m ×m 单位矩阵121(,,...,)n B P P P 0 0⎛⎫ ⎪0 1 0 ⎪== ⎪ ⎪0 0 1⎝⎭ 以B 作为可行基。
将上面方程组的每个等式移项得111,111222,112,11.........m m n nm m n nm m m m m mn n x b a x a x x b a x a x x b a x a x ++++++=---⎧⎪=---⎪⎨ ⎪⎪=---⎩令12...0,m m n x x x ++====由上式得(1,2,...,)i i x b i m == 又因i b ≥0, 所以得到一个初始基可行解12()12()(,,...,,0,...,0)(,,...,,0,...,0)Tm n m Tm n m X x x x b b b --= =个个（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。
运筹学1-4单纯型法的计算步骤
2 X1 1 3 X2 2
Z8
1 0 -1 4/3 -1/3 0 1 2 -1/3 1/3 0 0 -1 -5/3 -1/3
从最优表可知: 该LP的
最优解是X*=(1, 2, 0, 0, 0)T 相应的目标函数最优值是Zmax=8
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变量 ，使约束条件化为等式，并且约束方程组的系数 阵中有一个单位阵。
（这一步计算机可自动完成）
确定初始可行基，写出初始基本可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查： 所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值； 还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？
是——结束，该LP无“有限最优解”！ 不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。
确定是停止迭代还是转入基变换？
0 1 0
0
0
1
0
0
0
1 c1 c2
0 a1,m1 a1,m2 0 a2,m1 a2,m2
1 a a m,m1 m,m2 cm cm1 cm2
a1,n b1
a2,n
b2
am,n bm
cn 0
-Z，x1，…，xm所对应的系数 列向量构成一个基
用矩阵的初等行变换将该基变成单位阵,这时
c1, c2 , , cm 变成0，相应的增广矩
第四步：判断检验数、入基、出基变量。 …….
三、表格单纯形法：
1、 初始单纯形表的建立 (1)表格结构：
Cj 2 3 3 0 0
CB
XB
b xj
x1 x2 x3 x4 x5
j
0 X4
3
单纯形法的计算方法
第4章单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路：一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数，这时有不定的解。
但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形每一个单纯形可以求得一组解,然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小决定下一步选择的单纯形。
这就是迭代，直到目标函数实现最大值或最小值为止。
4.1初始基可行解的确定为了确定初始基可行解，要首先找出初始可行基，其方法如下。
(1) 第一种情况：若线性规划问题max z ='n' am 二bj = 1,2,...,mX j XO, j =1,2,...n从Pj ( j = 1 , 2 , ? , n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基(2)第二种情况：对所有约束条件是“W”形式的不等式,可以利用化为标准型的方法，在每个约束条件的左端加上- 一个松弛变量。
经过整理，重新对X j 及a j ( i = 1 , 2 , ?,m j = 1 , 2 ,? , n)进行编号，则可得下列方程组为+ a1卬十X m十+・・・*a1nxnj x2 + a z’m^h X m 十+ ...+ a2n X n = b2Xm +a m,m_h X m十+.・・*a nn x n - b n X(,X2,...,X^O显然得到一个m x m单位矩阵n' C j X jj=lB=(R,巳，…，P n)=1 i-0 1…以B 作为可行基。
将上面方程组的每个等式移项得X =d —印小书冷出―…―a1n XnX2 = b 2— a 2,^4X m+ _..^ a 2n X n令Xm 1 ~ Xm ・2 =…=Xi =0,由上式得X 二 b j (i =1,2,..., m)又因b i >0,所以得到一个初始基可行解X =(X 1,X 2，…，X m ,0,...,0) T(n -m)个 -(b 1, 6 ,...,b m ,0, 0(n _m)个(3)第三种情况：对所有约束条件是“形式的不等式及等式约束情况，若 不存在单位矩阵时，就采用人造基方法。
1.4单纯形法的计算步骤
−z
x1
x2
L xm
xm+1
L xn L L a1n a2n M
0 1 0 L 0 a1,m+1 1 L 0 a2,m+1 0 0 M M M M 0 0 0 L 1 am,m+1 cm+1 1 c1 c2 L cm … -z+c1x1+c2x2+…+cmxm+cm+1xm+1+ +c
基变量 0
-z
3.确定主元素 3.确定主元素 确定 1.计算检验数， 1.计算检验数，由它 计算检验数 确定为换入变量
计算θ 2. 计算θ，由它确定为 换出变量
（2）以[4]为主元素进行旋转运算或迭代运算， [4]为主元素进行旋转运算或迭代运算， 为主元素进行旋转运算或迭代运算
c j→ CB 0 0 3 -z XB x3 x4 x2 b 2 16 3 -9 2 x1 1 4 0 2 3 x2 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x5 -1/2 0 1/4 -3/4 θ 2 4 -
0 x4 0 1 0 0
0 x5 -1/2 2 1/4 1/4
0 X4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 1 0 0
θ 4 12
c j→ CB 2 0 3 -z XB x1 x5 x2
0 x5 0 θ
表 1-5
-3/2
(4) 表1-6最后一行的所有检验数都已为负或零。 最后一行的所有检验数都已为负或零。 表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解 表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解
x1 x2
+ a1m+1xm+1 +L+ a1nxn = b1 + a2m+1xm+1 +L+ a2nxn = b2 O xm + amm+1xm+1 +L+ amnxn = bm
线性规划与单纯形法-计算步骤
max Z 3x1 5x2
x1
s.t.
3x1
x1 0
2x2 2 x 2 x2 0
4 12 18
第一次迭代 x2为入基， x4为出基 第二次迭代 x1为入基， x5为出基
X * (2, 6, 2, 0, 0) Z* 36
2.4 单纯形法计算步骤
3、确定进基变量（迭代的第一步）
确定进基变量对应于图解法的确定运动方向
x1
x3
8
3x1
2x2 4x2
x4
12
x5 36
3x1 5x2 0x3 0x4 0x5 Z
j
从目标函数-Z+3x1+5 x2 +0x3 +0x4+0x5 =0可知： 因为x2的系数大于x1的系数，即生产单位乙产品比甲产品利 润更高一些，故应优先多生产乙产品。即x2为进基
5 2
x4
0 x5
Z 30
④
x3
2 3
x4
1 3
x5
4 ①
x2
x1
1 2 x4
2 3 x4
1 3 x5
6 ② 4 ③
3x1 0x2
0 x3
5 2
x4
0 x5
Z 30 ④
④-3×③
x3
2 3
x4
1 3
x5
4 ①
x2
1 2
x4
6 ②
x1
2 3
x4
1 3
x5
4 ③
0
x1
STOP 包括三个步骤： 1、确定进基变量（进基） 2、确定出基变量（出基） 3、对新基可行解的求解（高斯消元）
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第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。
但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。
这就是迭代,直到目标函数实现最大值或最小值为止。
4.1 初始基可行解的确定
为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。
（1）第一种情况：若线性规划问题
max z =
从Pj ( j = 1 , 2 , ⋯ , n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基
（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。
经过整理, 重新对 及 ( i = 1 , 2 , ⋯ , m; j = 1 , 2 , ⋯ , n)进行编号, 则可得下列方程组
显然得到一个m×m单位矩阵
以B 作为可行基。
将上面方程组的每个等式移项得
令由上式得
又因 ≥0, 所以得到一个初始基可行解
（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约
束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。
即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后, 再加上一个非负的人工变量; 对于等式约束再加上一个非负的人工变量, 总能得到一个单位矩阵。
4.2 最优性检验和解的判别
对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况, 为此需要建立对解的判别准则。
一般情况下, 经过迭代后可以得到：
将上代入目标函数，整理后得
令
于是
再令
则
(1) 最优解的判别定理
若为对应于基B的一个基可行解，且对于一切 且有则 为最优解。
称为检验数。
(2) 无穷多最优解的判别定理
若为一个基可行解， 且对于一切 且有 又存在某个非基变量的检验数，则线性规划问题有无穷多最优解。
(3) 无界解判别定理
若为一个基可行解，有一个> 0 ,并且对i = 1 , 2 , ⋯, m,有≤0 , 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。
4.3 基变换
若初始基可行解 不是最优解及不能判别无界时, 需要找一个新的基可行解。
具体做法是从原可行解基中换一个列向量(当然要保证线性独立),得到一个新的可行基, 这称为基变换。
为了换基, 先要确定换入变量, 再确定换出变量, 让它们相应的系数列向量进行对换, 就得到一个新的基可行解。
(1) 换入变量的确定
由看到, 当某些 > 0 时, 增加则目标函数值还可以增大, 这时要将某个非基变量换到基变量中去(称为换入变量)。
若有两个以上的 > 0 , 则为了使目标函数值增加得快, 从直观上一般选> 0 中的大者, 即
则对应的为换入变量。
(2) 换出变量的确定
设是一组独立的向量组，它们对应的基可行解是。
将它代入约束方程组得到
其他的向量 都可以用线性表示，若确定非基变量为换入变量，必然可以找到一组不全为零的数（i=1,2，...,m）使得
在上式两边同乘一个正数，然后将它加到式上，得到
或
当取适当值时, 就能得到满足约束条件的一个可行解( 即非零分量的数目不大于m个)。
就应使( i = 1 , 2 , ⋯ , m) 中的某一个为零,并保证其余的分量为非负。
这个要求可以用以下的办法达到: 比较各比值( i = 1 , 2 , ⋯ , m)。
又因为θ必须是正数, 所以只选择> 0 ( i = 1 , 2 , ⋯ , m) 中比值最小的等于θ。
按最小比值确定θ值, 称为最小比值规则。
将θ=代入X中便得到新的基可行解。
4.4 单纯形法的计算步骤
(1) 找出初始可行基, 确定初始基可行解, 建立初始单纯形表。
(2) 检验各非基变量的检验数是
则已得到最优解，可停止计算。
否则转入下一步。
(3) 在> 0 , j = m+ 1 , ⋯ , n 中,若有某个 对应的系数列向量0 , 则此问题是无界, 停止计算。
否则, 转入下一步。
(4) 根据确定为换入变量，按原则计算
可确定为换出变量，转入下一步。
(5) 以为主元素进行迭代，把所对应的列向量
将列中的换为，得到新的单纯形表。
重复（2）（5），直到终止。