电磁场与电磁波第6章)

2
z 2
1 v2
2
t 2
v 表示函数 的传播速度
2
1 c2
2
t 2
/0
则表示一个随时间和空间变化的任意函数，例如，力、位移或概
率。
例： 证明 f z vt gz vt 满足一维波动方程
证明过程见教材P125例6.1
定义
6.2 平面波
平面波，是三维波中最简单的一种。这个波在空 间传播过程中，对应于任意时刻t，在其传播空 间具有相同相位的点所构成的等相位面（也称为 波阵面）为平面，于是就称其为平面波。
本章主要讨论均匀平面电磁波在各种媒质中传播的基本规律，其 中以无界、线性、均匀和各向同性媒质中的传播为主要对象，本 章也将讨论不同媒质界面上波的反射和折射现象。
一般电磁波动方程
麦克斯韦方程反映了宏观电磁现象的一般规律。 因此，电磁波在媒质中传播的基本规律可从求 解具体边界条件和初始条件下的麦克斯韦方程 来获得。在无限大、线性、均匀和各向同性， 并且不存在自由电荷的理想介质中，麦氏方程 组为
Hy
Ex
z
t
Hx Ey
z
t
Ez 0 t
Hy与
E x有关，
Hx
与
E 有关，构成了两组独立分量。 y
E z 与时间无关，是一恒定分量，不是时变分量，它不是波动的一部分。即分量
与E时z 间无关，因为与时间无关的恒定分量不是波动的一部分，故可取
E 0 z
这就是说：电场没有与传播方向平行的分量。换言之，电场强度矢量只位于垂直于z
J
自由空间中存在着电波（
r E
波）和磁波
r B
波）
变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场产生变化的电场 电波和磁波具有不可分割的联系。即如果没有磁场存在,就 无法产生一个时变电场,反之亦然。
重点：
1. 电波 2. 磁波 3. 自由空间中的平面电磁波 4. 波的极化 5. 电磁波谱
J
6.１ 波
1.波的数学形式
轴的平面上，可取电场强度
Ea E xx
由麦克斯伟第二方程：
E
H t
,
E x
H y
0
ax H
x
ay y
az z
ay
Ex z
ax
Ey z
H t
Hx Hy Hz
∴
ax
Ey z
ay
Ex z
(ax
Hx t
ay
Hy t
az
Hz ) t
Ey
Hx
z
t
Ex H y
电磁波的类型可分为平面电磁波、柱面波、球面波。
在电磁波传播过程中，在某一时刻，电磁场空间中具有相同相位 的点构成等相位面，称波阵面。平面电磁波：波阵面为平面的电 磁波称为平面电磁波。
均匀平面电磁波：如果在平面波阵面的每点上，电场强度均相同， 磁场强度也均相同，这种电磁波称为均匀平面电磁波。在距离产 生电磁波的波源很远的地方，球面波阵面上的一小部分可视为平 面，该处的电磁波可看作均匀平面电磁波。
H
D t
E t
H 0
E
B t
H t
E 0
一般电磁波动方程
对第一方程两边取旋度，得
H
t ( E)
2 ( H) H
代入第二式
2 H 2 H
t
(
E)
2 H t2
t2
对第二式两边取旋度：
E
代入第一式
t ( H )
2 E
2
2 ( E) E
E
2 E t2
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
X x vt Yy vt Zz vt
2
X x
2x2
vt
2Y y
2 y2
vt
2Zz
2z2
vt
X x vt Y y vt Z z vt （代入三维波动方程）
类似地有 2 v2 X x vt v2Y y vt v2Z z vt
自变量为（z-vt）的函数f（z-vt）表示以速度 v 沿着 Z 方向传播的行波（Traveling wave）
沿着 Z 方向传播的行波
以速度v向前传播的波
任何变量为(z-vt)的函数所描述的波是随时间变化沿着z轴正方向传播;
任何变量为(z+vt)的函数所描述的波则是随时间变化沿着z轴负方向传播
证明以 z vt 和 z vt 为变量的函数满足一维波动方程，
均匀平面波的场量除了是时间t的函数外，在空间坐标上可以仅是波阵 面所在位置的唯一坐标变量的函数。
均匀平面电磁波，波动方向沿z轴方向。波阵面为垂直于z轴的平面
由均匀平面波的定义可知：波阵面上，场量处处相等：大小和方向相
同
E E x y 0
H H x y 0
所以可简化为一维坐标变量的函数
t 2
这样便证明了函数: X x vt Yy vt Zz vt
满足三维波动方程
2
1 v2
2
t 2
平面电磁波
麦克斯韦方程指出：在空间任意点，变化的电场产生变化的磁场， 变化的磁场将产生变化的电场。这是电磁波传播的基本规律。
当空间存在一个受激发的波源时，这个波源能产生时变电磁场时， 由于上述时变电磁场相互转化的结果，从波源处必定会产生一个 以一定速度向外传播的电磁波动。这种以有限速度传播的电磁波 动称为电磁波。
t2
由此，可得：
2 H 2 H t2
2 E 2 E t2
分别为无界、均匀、线性、各向同性的理想介质中磁场强度 和电场强度的波动方程。即为无源的理想介质的齐次波动方程。
均匀平面电磁波波动方程
对于均匀平面电磁波，其场强度值在波阵面上处处相等，因此，描述 这种电磁波的波动方程，而且可在上列一般方程的基础上进行简化.可 简化为一维空间的方程，即一维波动方程。
z
t
Hz 0 t
得到同样的结果：Z方向的磁场为零
若设： E ax Ex
E(x, y, z,t) E(z,t) H(x, y, z,t) H(z,t)
由麦氏方程：
H
E t
由麦氏方程：
H
E t
ax H
x
ay y
az z
ax
Hy z
ay
Hx z
E t
Hx Hy Hz
∴
ax
Hy z ay
Hx z
(ax
Ex t
ay
Ey t面波是研究起来最简单同时也是最容易理 解的。
均匀（Uniform）:在任意时刻，在所在的平面中 场的大小和方向都是不变的。
6.3 三维波动方程
三维波动方程：
2
x2
2
y 2
2
z 2
1 v2
2
t 2
或
2 1 2
v 2 t 2
三个一维波叠加起来所得到结果也将会满足三维波动方程
证明： X x vt Yy vt Zz vt （三个一维波叠加）