数学模型吕跃进数学建模A试卷及参考答案
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数学建模A试卷参考答案
一.概念题(共3小题,每小题5分,本大题共15分)
1、什么是数学模型?(5分)
答:数学模型可以描述为,对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。
2、数学建模有哪几个过程?(5分)
答:数学建模有如下几个过程:模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用。
3、试写出神经元的数学模型。
答:神经元的数学模型是
其中x=(x1,…x m)T输入向量,y为输出,w i是权系数;输入与输出具有如下关系:
θ为阈值,f(X)是激发函数;它可以是线性函数,也可以是非线性函数.(5分)
二、模型求证题(共2小题,每小题10分,本大题共20分)
1、(l)以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标,画出雇员无差别曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。(5分)
(2)如果雇主付计时工资,对不同的工资率(单位时间的工资)画出计时工资线族。根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族,讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。(5分)
答:(l)雇员的无差别曲线族f(w,t)=C是下凸的,如图1,因为工资低时,他愿以较多的工作时间换取较少的工资;而当工资高时,就要求以较多的工资来增加一点工作时间.
(2)雇主的计时工资族是w=at,a是工资率.这族直线与f(w,t)=c的切点P1,P2,P3,…的连线PQ为雇员与雇主的协议线.通常PQ是上升的(至少有一段应该是上升的),见图1.
2、试作一些合理的假设,证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。(7分)又问命题对长凳是否成立,为什么?(3分)
答:(一)假设:电影场地面是一光滑曲面,方凳的四脚连线构成一正方形。
如图建立坐标系:其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD的中心为坐标系原点。
记H为脚A,C与地面距离之和,
G为脚B,D与地面距离之和,
θ为AC连线与X轴的夹角,
不妨设H(0)>0,G(0)=0,(为什么?)
令X
f(θ)=H(θ)-G(θ)图二
则f是θ的连续函数,且f(0)=H(0)>0
将方凳旋转90°,则由对称性知H(π/2)=0,G(π/2)=H(0)
从而f(π/2)=-H(0)<0
由连续函数的介值定理知,存在θ∈(0,π/2),使f(θ)=0
(二)命题对长凳也成立,只须记H为脚A,B与地面距离之和,
G为脚C,D与地面距离之和,
θ为AC连线与X轴的夹角
将θ旋转1800同理可证。
三、模型计算题(共5小题,每小题9分,本大题共45分)
1、⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=13/15/1313
/1531A ,试用和法求其最大特征根及对应的特征向量及一致性指标。(9分) 答:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13/15/1313
/1531A 中各列归一化⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛9/113/123/39/313/
323/59/513/923/15 各行求和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛318.0782.09.1再归一化⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛106.0261.0633.0=w
w 即为对应最大特征根的特征向量。(3分)
而⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=320.0790.0946.1Aw ,(2分),
所以最大特征根为04.3)106
.0320.0261.0790.0633.0946.1(31)(3131=++==∑=i i i w Aw λ(2分) 其一致性指标为:CI=02.02
304.3133
=-=--λ(2分) 2、甲、乙、丙三人经商,若单干,每人仅能获利1元,甲乙合作可获利7元,甲丙合作可获利5元,乙丙合作可获利4元;三人合作可获利10元,问三人合作时怎样合理地分配10元的收入。
解:甲、乙、丙三人记为{
}3,2,1=I ,经商获利定义为I 上的特征函数,即()0=φv ,1)3()2()1(===v v v ,{
}7)2,1(=v , {}5)3,1(=v ,{}4)3,2(=v ,10)(=I v ………3分
下表是关于甲的分配)(v y 的计算。
31=ϕ同法可算得:()5.32=v ϕ(元),5.2)(3=v ϕ(元)………………3分
3、产品每天需求量为常数r,每次生产准备费用为C 1,每天每件产品贮存费用为C 2,试作一合理假设,建立不允许缺贷的存贮模型,求生产周期及产量使总费用最小。
解:模型假设:
1. 产品每天需求量为常数r
2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2
3. 生产能力无限大
4. 生产周期为T ,产量为Q (3分)
模型建立
一周期总费用如下:2
2
21rT C C C +=(1分) 一周期平均费用为2)(21rT C T C T f +=(1分)
模型求解:用微分法解得周期2
1
2rC C T =(2分) 产量2
1
2C rC Q =(2分) 4、设渔场鱼量满足下列方程:(10分)
试求其平衡点,并指出平衡点的稳定性。
解:
平衡点由0)()(=--=Ex x N r x F 确定,解得平衡点E
r rN x +=(4分) 0)()(<+-='E r x F 得平衡点E r rN
x +=是稳定的(5分)
5、某城市经过对300人的抽样调查得知:原饮水果酒的人仍然喜欢饮水果酒的占85%,改饮啤酒的人的占5%,改饮白酒的占10%,原饮啤酒的人仍然喜欢饮啤酒的占90%,改饮水果酒和白酒的各占5%,原饮白酒的仍喜欢饮白酒的占80%,改饮水果酒和啤酒的各占10%。试构造马氏链模型,它是正则链吗?若是,请求其稳态概率。
解:状态定义为1=i (水果酒)2(啤酒)3(白酒)
容易求得,转移概率阵为:⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=80.010.010.005.090.005.010.005.085.0P (3分)
因为P>0,所以这是正则链(2分)
记),,(321w w w w =为稳态概率
则有)26.0,42.0,32.0(21321=⎩⎨⎧=++=⋅w )(w w w w p w 解得分(2分)
四、 建模题(共2小题,每小题10分,本大题共20分)
1、假设人对某种传染病一旦患病而痊愈,则以后就不会再患病。将人群分为未感染者S 、患者I 、已治愈者(包括死亡者R )三种人,试作出必要的假设并写出该传染病的扩散微分方程模型(不必求解)。(10分)
答:
假设:(1)设一个病人在单位时间内能传染的病人数i(t)与当时的未感染人数s(t)成正比,比例系数为λ(称为感染率);
(2)设在t 时刻,已治愈人数(包括死亡人数)为r(t);
(3)设在单位时间内病人的治愈率为μ,即
)()(t i dt
t dr μ=; (4)病人痊愈后不会再被传染。(4分)
则有: