数学模型吕跃进数学建模A试卷及参考答案

数学建模A试卷参考答案
一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）
1、什么是数学模型？(5分)
答：数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

2、数学建模有哪几个过程？(5分)
答：数学建模有如下几个过程：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。

3、试写出神经元的数学模型。

答：神经元的数学模型是
其中x＝（x1，…x m）T输入向量，y为输出，w i是权系数；输入与输出具有如下关系：
θ为阈值，f（X）是激发函数；它可以是线性函数，也可以是非线性函数．（5分）
二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）
1、（l）以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。

解释曲线为什么是你画的那种形状。

(5分)
（2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率(单位时间的工资)画出计时工资线族。

根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。

(5分)
答：（l）雇员的无差别曲线族f（w，t）=C是下凸的，如图1，因为工资低时，他愿以较多的工作时间换取较少的工资；而当工资高时，就要求以较多的工资来增加一点工作时间．
（2）雇主的计时工资族是w=at，a是工资率．这族直线与f（w，t）=c的切点P1，P2，P3，…的连线PQ为雇员与雇主的协议线．通常PQ是上升的（至少有一段应该是上升的），见图1．
2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。

(7分)又问命题对长凳是否成立，为什么？(3分)
答：(一)假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。

如图建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD的中心为坐标系原点。

记H为脚A,C与地面距离之和，
G为脚B,D与地面距离之和，
θ为AC连线与X轴的夹角，
不妨设H(0)>0,G(0)=0,(为什么?)
令X
f(θ)=H(θ)-G(θ)图二
则f是θ的连续函数,且f(0)=H(0)>0
将方凳旋转90°,则由对称性知H(π/2)=0,G(π/2)=H(0)
从而f(π/2)=-H(0)<0
由连续函数的介值定理知，存在θ∈(0,π/2)，使f(θ)=0
(二)命题对长凳也成立，只须记H为脚A,B与地面距离之和，
G为脚C,D与地面距离之和，
θ为AC连线与X轴的夹角
将θ旋转1800同理可证。

三、模型计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）
1、⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=13/15/1313
/1531A ，试用和法求其最大特征根及对应的特征向量及一致性指标。

(9分) 答：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13/15/1313
/1531A 中各列归一化⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛9/113/123/39/313/
323/59/513/923/15 各行求和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛318.0782.09.1再归一化⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛106.0261.0633.0=w
w 即为对应最大特征根的特征向量。

（3分）
而⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=320.0790.0946.1Aw ，（2分），
所以最大特征根为04.3)106
.0320.0261.0790.0633.0946.1(31)(3131=++==∑=i i i w Aw λ（2分） 其一致性指标为：CI=02.02
304.3133
=-=--λ（2分） 2、甲、乙、丙三人经商，若单干，每人仅能获利1元，甲乙合作可获利7元，甲丙合作可获利5元，乙丙合作可获利4元；三人合作可获利10元，问三人合作时怎样合理地分配10元的收入。

解：甲、乙、丙三人记为{
}3,2,1=I ，经商获利定义为I 上的特征函数，即()0=φv ，1)3()2()1(===v v v ，{
}7)2,1(=v ， {}5)3,1(=v ，{}4)3,2(=v ，10)(=I v ………3分
下表是关于甲的分配)(v y 的计算。

31=ϕ同法可算得：()5.32=v ϕ（元），5.2)(3=v ϕ（元）………………3分
3、产品每天需求量为常数r,每次生产准备费用为C 1,每天每件产品贮存费用为C 2,试作一合理假设，建立不允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。

解:模型假设:
1. 产品每天需求量为常数r
2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2
3. 生产能力无限大
4. 生产周期为T ，产量为Q (3分)
模型建立
一周期总费用如下:2
2
21rT C C C +=(1分) 一周期平均费用为2)(21rT C T C T f +=(1分)
模型求解:用微分法解得周期2
1
2rC C T =(2分) 产量2
1
2C rC Q =(2分) 4、设渔场鱼量满足下列方程：（10分）
试求其平衡点，并指出平衡点的稳定性。

解:
平衡点由0)()(=--=Ex x N r x F 确定,解得平衡点E
r rN x +=（4分） 0)()(<+-='E r x F 得平衡点E r rN
x +=是稳定的（5分）
5、某城市经过对300人的抽样调查得知：原饮水果酒的人仍然喜欢饮水果酒的占85%，改饮啤酒的人的占5%，改饮白酒的占10%，原饮啤酒的人仍然喜欢饮啤酒的占90%，改饮水果酒和白酒的各占5%，原饮白酒的仍喜欢饮白酒的占80%，改饮水果酒和啤酒的各占10%。

试构造马氏链模型，它是正则链吗？若是，请求其稳态概率。

解：状态定义为1=i （水果酒）2（啤酒）3（白酒）
容易求得，转移概率阵为：⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=80.010.010.005.090.005.010.005.085.0P （3分）
因为P>0,所以这是正则链（2分）
记),,(321w w w w =为稳态概率
则有)26.0,42.0,32.0(21321=⎩⎨⎧=++=⋅w ）（w w w w p w 解得分（2分）
四、 建模题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）
1、假设人对某种传染病一旦患病而痊愈，则以后就不会再患病。

将人群分为未感染者S 、患者I 、已治愈者（包括死亡者R ）三种人，试作出必要的假设并写出该传染病的扩散微分方程模型（不必求解）。

(10分)
答：
假设：(1)设一个病人在单位时间内能传染的病人数i(t)与当时的未感染人数s(t)成正比，比例系数为λ（称为感染率）；
(2)设在t 时刻，已治愈人数（包括死亡人数）为r(t)；
(3)设在单位时间内病人的治愈率为μ,即
)()(t i dt
t dr μ=； (4)病人痊愈后不会再被传染。

（4分）
则有：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====++-=-=0)0()0(,)0()()()()()()()
()()()(,00r s s i i N t r t i t s t i t s dt t ds t i t i t s dt t di λμλ（6分）
2、某食品加工厂拟安排生产计划，已知一桶牛奶加工12小时后可生产A 产品3公斤，A 产品可获利24元/公斤，或一桶牛奶加工8小时可生产B 产品4公斤，B 产品可获利16元/公斤。

现每天可供加工的牛奶为50桶，加工工时至多为480小时，且A 产品至多只能生产100公斤。

为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型（不必求解,10分）。

答：设每天安排x 1桶牛奶生产A 产品，x 2桶牛奶生产B 产品，则有：
参考评分标准：目标函数3分，约束条件7分。