《何时获得最大利润》中考题解析

《何时获得最大利润》中考题解析

“何时获得最大利润”是以二次函数知识点为依托，以生产、生活为背景，考查建立数学模型的能力．现采撷几多浪花奉献给大家．

例1(贵阳实验区)某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：

若日销售量y是销售价x的一次函数．

(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；

(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

解析：(1)设此一次函数解析式为y kx b

=+．

则

1525

2020

k b

k b

+=

⎧

⎨

+=

⎩

，解得：k =-1，b=40．

即：一次函数解析式为y =－x＋40．

(2)设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元．

w =(x－10)(40－x)=－x2＋50x－400

=－(x－25)2＋225．

则当产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

例2(山东青岛实验区)某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件不变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．

(1)增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x的函数关系式。

(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？

解析：(1)根据题意，得y =(80＋x)(384－4x)

整理，得y =－4x2＋64x＋30720．

(2)由y =－4x2＋64x＋30720=－4(x－8)2＋30976，

则当x = 8时，y的最大值= 30976．

故增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是30976件． 例3(安徽实验区)某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元．该生产线投产后，从第一年到第x 年的维修、保养费用累计为y (万元), 且y =ax 2＋bx ，若第一年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元．

(1)求y 得解析式；

(2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资？

解析：由题意，当x = 1时，y = 2；当x = 2时，y = 2＋4 = 6．

分别代入y =ax 2＋bx ，得

2642.

a b a b =+⎧⎨+⎩， 解得，a = 1，b = 1． 则 y = x 2＋x ．

(2)设w = 33x －100－x 2－x ，

则w =－x 2＋32x －100 =－(x －16)2＋156．

由1≤x ≤16时，w 的值随x 的增大而增大，且当x = 1，2，3时，w 的值均小于0，当x = 4时，w =－122＋156 > 0，故投产后，这个企业在第4年就能收回投资．