第二节留数的计算方法

C
C1
C2
Cn
C
.zn
两边同时除以 2i 且
z1 . .z2

D
1 2i

C1
f
( z )dz

1 2i

C2
f
( z )dz


1 2i

Cn
f
( z )dz
Res[ f (z), z1] Res[ f (z), z2] Res[ f (z), zn]
n
Res[ f (z), zk ] 即可得.
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值除
C
以 2i 后所得的数称为 f (z)在 z0 的留数.
记作 Res[ f (z), z0 ]. (即 f (z)在 z0 为中心的圆环
域内的洛朗级数中负幂项c1(z z0 )1的系数.)
4
二、利用留数求积分
1.留数定理 函数 f (z) 在区域 D内除有限个孤 立奇点 z1 , z2 ,, zn 外处处解析, C 是 D内包围诸奇
c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 )
(z z0 )m f (z) cm cm1(z z0 ) c1(z z0 )m1
c0(z z0 )m c1(z z0 )m1
8
两边求 m 1 阶导数,
证 因为 Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0
所以z0为 Q(z) 的一级零点, 1
z0 为 Q(z) 的一级极点.
10
因此 1 1 (z),
Q(z) z z0
其中 (z)在 z0 解析且 (z0 ) 0,
f (z) 1 P(z) (z) . z z0 在 z0 解析且 P(z0 ) (z0 ) 0.
k 1
[证毕]
6
2.留数的计算方法
(1) 如果 z0 为 f (z) 的可去奇点, 则Res[ f (z), z0 ] 0. (2) 如果 z0为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
成洛朗级数求 c1.
(3) 如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
•规则1 如果 z0为 f (z)的一级极点, 那末
Res[
f
(z),
z0
]

lim
zz0
(z

z0
)
f
(z).
7
•规则2 如果 z0为 f (z)的 m 级极点, 那末
Res[
f
(z), z0]

(m
1
dm1

1)!
lim
zz0
dz
m
1
[(
z

z0 )m
f
(z)].
证 f (z) cm (z z0 )m c2(z z0 )2
第二节 留 数
一、留数的引入 二、利用留数求积分 三、在无穷远点的留数 四、典型例题 五、小结与思考
一、留数的引入
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C .z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R C:邻域内包含z0 的任一条正向简单闭曲线
f (z) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
C
C
C
0 (柯西-古萨基本定理)
2ic1 洛朗级数中负幂项c1(z z0 )1的系数
3
即
Baidu Nhomakorabea
1
c1

2i C
f
(z)dz
Res[ f (z), z0 ] f (z)在 z0的留数
定义 如果 z0 为函数 f (z) 的一个孤立奇点, 则沿
在 z0的某个去心邻域0 z z0 R内包含 z0 的
所以 z0 为 f (z) 的一级极点,
P(z)
Res[
f
( z ), z0 ]

lim(z
zz0

z0 )
f
(z)

lim
zz0
Q(z)

Q(z0 )
P(z0 ) . Q(z0 )
z z0
11
三、在无穷远点的留数
1.定义 设函数 f (z)在圆环域 R z 内解析，
C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，
点的一条正向简单闭曲线, 那末
n
f (z)dz 2i Res[ f (z), zk ].
C
k 1
说明: 1. f (z)在C上及C内部处处解析；
2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数.
5
证 如图
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
m
1
[(
z

z0 )m
f
(z)].
[证毕]
9
•规则3
设
f
(z)

P(z) Q(z)
,
P(z)
及
Q(z)
在
z0都解析，
如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0, 那末 z0 为
f (z) 的一级极点,
且有
Res[
f
( z ),
z0 ]

P(z0 ) Q(z0 )
.
那末积分 1 f (z)dz的值与C无关，则称此定值
2 i C1
为 f (z)在点的留数，
记作
Res[
f
(z),]

1 2i

C
f
(z)dz

1 2i

C
f
(z)dz
注意积分路线取顺时针方向
说明 Res[ f (z),] c1
c1
12
2.定理二 如果函数 f (z) 在扩充复平面内只有有限个
得
dm1 dz m 1
[(z

z0
)m
f (z)]
(m 1)!c1 +(含有 z z0 正幂的项)
lim
z z0
dm1 dzm1 [(z

z0 )m
f
(z)]

(m
1)!c1,
所以 Res[ f (z), z0 ] c1

(m
1
dm1

1)!
lim
zz0
dz
孤立奇点, 那末 f (z) 在所有各奇点 (包括点)
的留数的总和必等于零.
证 .
. z1 .z2
. zk .
. C (绕原点的并将 zk包含在 . 内部的正向简单闭曲线)
由留数定理有:
n
Res[ f (z),] Res[ f (z), zk ]
c1(z z0 ) cn(z z0 )n
2
积分 f (z)dz
C
cn (z z0 )ndz c1 (z z0 )1dz
C
C
(高阶导数公式)
2i
0
c0dz c1(z z0 )dz cn(z z0 )ndz