第二节留数的计算方法
5.2留数
记为 1 ( ) , 相应地， f ( z ) f
因此， 函数 f ( z )在无穷远点 z 的性态可由 函数 ( ) 在原点 0 的性态来刻画。
四、函数在无穷远点的留数
1. 函数在无穷远点的性态
P112 例5.13
记为 1 1 ( ) , 解 令 z , 则 f (z) f 1 sin
2
1 1 ( 2 ) , 2! z 1
Res [ f ( z ) , 1 ] 1 .
三、留数定理
定理 设 f ( z ) 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1 , z2 , , zn 外
P114 定理 5.7
处处解析，在边界 C 上连续， 则
C
f ( z ) d z 2π i Res [ f ( z ) , zk ] .
事实上，此时 z0 为f ( z ) 的简单极点， 故有
P( z) Res[ f ( z ) , z0 ] lim ( z z0 ) z z0 Q( z )
lim
z 0
P ( z0 ) P(z) . Q( z ) Q( z0 ) Q( z0 ) z z0
解 (1) z 0 是 f1 ( z ) 的可去奇点，
d m 1 m [ ( z z ) f ( z )] ( m 1)! a1 ( z z0 ) ( z ) , 0 m 1 dz
二、留数的计算方法
3. 极点
方法 若 z 0 为 f ( z ) 的 m 阶极点，
(法则 ) P116 法则Ⅲ
特别 (1) 若 z 0 为 f ( z ) 的简单极点，则
P115 法则Ⅰ
Res[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z ) .
留数的计算方法
留数的计算方法留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中起着关键作用。
在计算留数时，我们需要首先了解什么是留数，然后掌握留数的计算方法。
接下来，我们将详细介绍留数的概念和计算方法。
留数是复变函数在孤立奇点处的一种特殊性质，它可以帮助我们计算复积分。
对于函数f(z)，如果z=a是它的孤立奇点，那么留数Res(f,a)的定义如下：Res(f,a) = 1/(2πi) ∮f(z)dz。
其中积分路径沿着a点的一个小圆周C进行，积分方向是逆时针方向。
这个公式是计算留数的基本公式，但在实际计算中，我们通常会结合留数的性质和定理来简化计算过程。
对于简单极点a，我们有留数的计算公式：Res(f,a) = lim(z→a) [(z-a)f(z)]对于高阶极点，我们可以利用洛必达法则来计算留数。
此外，如果函数f(z)可以分解为g(z)/h(z)，那么我们可以利用h(z)在点a处的零点和极点来计算f(z)在点a 处的留数。
在实际应用中，我们还可以利用留数定理来计算复积分。
留数定理指出，如果f(z)在闭合曲线C内除了有限个孤立奇点外是全纯的，那么沿着曲线C的复积分可以表示为这些孤立奇点处的留数之和。
这为复积分的计算提供了一种简便的方法。
在计算留数时，我们还需要注意一些特殊情况，比如当函数f(z)在点a处有可去奇点时，留数为0；当函数f(z)在点a处有极点但不是孤立奇点时，留数也为0。
因此，在计算留数时，我们需要仔细分析函数在各个点的性质，以便正确计算留数。
综上所述，留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中具有重要作用。
掌握留数的概念和计算方法，对于深入理解复变函数理论和进行相关计算具有重要意义。
希望本文介绍的内容能够帮助读者更好地理解留数的计算方法。
复分析中的留数定理和解析延拓理论
复分析中的留数定理和解析延拓理论复分析是数学领域中研究解析函数和复积分的分支，留数定理和解析延拓理论是复分析中的重要概念和工具。
本文将介绍留数定理和解析延拓理论的定义、基本原理以及应用。
一、留数定理1. 定义在复平面上，假设f(z)是一个解析函数，除去有限个点处存在极点（即函数在这些点处的值趋近于无穷大），留数定理给出了通过计算这些极点的留数（即在每个极点处的系数）来计算函数的复积分的方法。
2. 留数的计算留数的计算方法有多种，其中一种常用的方法是利用洛朗展开式。
假设f(z)在某个包含极点a的圆环区域内解析，则f(z)可以表示为洛朗级数的形式:f(z) = ∑[n=0到∞]Cn(z-a)^n + ∑[n=1到∞]Dn(z-a)^(-n)其中，Cn为f(z)在a处的留数。
通过计算Cn即可得到留数的值。
3. 应用留数定理在数学和物理学等领域有广泛的应用，例如在计算复积分、计算曲线围成的区域面积、计算无穷级数等方面都能够得到应用。
此外，留数定理还与复积分的辐角原理、复数的幅角原理等概念紧密相关，为复分析中的其他定理提供了基础。
二、解析延拓理论1. 定义解析延拓理论是复分析中研究解析函数定义域的扩展的理论。
在复平面上，解析延拓理论可以通过研究解析函数在定义域边界处的性质来对解析函数进行定义域的扩展，从而得到更广泛的函数定义域。
2. 边界函数和解析延拓在解析延拓理论中，边界函数是指解析函数在定义域边界处的性质的函数表示。
通过研究边界函数的性质，可以将解析函数的定义域延拓到更广的范围内。
3. 应用解析延拓理论在数学研究中有重要的应用，例如在数论中的黎曼函数，通过对黎曼函数的解析延拓研究可以得到黎曼猜想的一些结论。
此外，解析延拓理论还在物理学领域例如量子力学中的应用中发挥着重要的作用。
综上所述，复分析中的留数定理和解析延拓理论是该领域的重要概念和工具。
留数定理通过计算解析函数在极点处的留数来计算复积分，解析延拓理论通过研究解析函数定义域的边界函数来对函数进行定义域的扩展。
第二讲 留数的计算
注：由连续变形原理，留数与C的选取无关。 由留数定义 C f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z0 ]
其中C 为简单正向闭曲线，且f ( z ) 在 C 及 C 内只有 z0
一个奇点。 上页 返回 结束
第二讲 数及留数的计算规则
1、留数的定义
2、留数的计算法则 3、留数定理 4、思考与练习
返回
1. 留数的定义
定义： 设 f ( z ) 以有限点z0 为孤立奇点， 即在点 z0 的某去 心邻域 0 | z z0 | r 内解析，则称积分
1 C f ( z )dz 2i 为 f ( z ) 在点 z0 的留数，记作Re s[ f ( z ), z0 ] 。其中C 为去
上页 返回 结束
由规则 II，得
ze z ze z e Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 lim z 1 z 1 z 1 z 1 2
ze z ze z e 1 Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 lim z 1 z 1 z 1 z 1 2 ze z e e 1 因此 C 2 dz 2i ( ) 2ich1 2 2 z 1
c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) ,
( z z0 )m f ( z ) c m c m 1 ( z z0 ) c1 ( z z0 )m 1 c0 ( z z0 )m ,
两边求 m 1阶导数，得
由洛朗展式
sin z 1 z3 z2 f (z) ( z ) 1 z z 3! 3! 知 Re s[ f ( z ),0] c1 0 1 2) f ( z ) 2 在0 | z | 1内解析 z (1 z )
留数计算规则
例3： 计算积分
c
z4
z
1
dz
，
C
为正向圆周
z
3
。
解：
f
(z)
z z4 1
四个一级极点 z1,2 1, z3,4 i 都在C 内，
由规则Ⅲ，
P zk Q zk
zk 4 zk 3
1 4zk 2
故由留数定理
c
z4
z
1
dz
2
i
1 4
1 4
解：
f
(z)
ez
z z 12
的一级极点z 0 二级极点 z 1 都在C 内
由规则Ⅰ，
Res
f
z,0
lim z z0
ez
z z 12
lim
z0
z
ez
12
1
由规则Ⅱ ，
Res
f
z,1
(2
1 lim 1)! z1
d dz
Res f
z, z0
1
m 1
lim ! zz0
d m1 dz m1
z z0 m
f
z
规则Ⅲ
设
f
z
=
P Q
z z
，其中 P(z，) Q(z)
在
z0
处解析， 且 P(z0 ) 0
，
Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0 即 z0 为 f (z)的一级极点， 那么
即 z0 为 f (z)的一级极点， 那么
留数的计算
在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 定理二 如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 在所有各奇点(包括 的留数总和必等于零. 那末 f (z)在所有各奇点 包括∞点)的留数总和必等于零 在所有各奇点 包括∞ 的留数总和必等于零 证：除∞点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n). 且C为 一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单 闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有
1. 留数的计算规则 规则1 规则 如果z0为f (z)的一级极点, 则
Res[ f (z), z0 ] = lim(z − z0 ) f (z)
z→z0
规则2 规则 如果z0为f(z)的m级极点, 则 1 dm−1 Res[ f (z), z0 ] = lim m−1 {(z − z0 )m f (z)} (m −1)! z→z0 d z 事实上, 由于 f (z)=c−m(z−z0)−m+...+c−2(z−z0)−2+c−1(z−z0)−1+c0+c1(z−z0)+..., (z−z0)m f (z)=c−m+c−m+1(z−z0)+...+c−1(z−z0)m−1+c0(z−z0)m+...,
根据 规则1,Res[ f (z), z0 ] = lim(z − z0 ) f (z),而 Q(z0)=0.
z→z0
P( z0 ) P(z) 所 lim(z − z0 ) f (z) = lim 以 , = z→z0 z→z0 Q(z) − Q(z ) Q′( z0 ) 0 z − z0 即得 规则 规则3。
⇒ Ι = −2π i
数学物理基本方法5.2留数
通过构造合适的复变函数，将微分方程的求解转化为复平面上留数 的计算。
典型例题的解析
例题1
例题3
求解一阶常系数线性微分方程。通过 构造指数形式的复变函数，利用留数 定理求解。
求解带有初值条件的一阶非线性微分 方程。通过构造满足初值条件的复变 函数，利用留数定理进行求解。
例题2
计算实轴上的定积分
利用留数定理，可以将某些实 轴上的定积分转化为复平面上 的围道积分，从而简化计算过 程。
计算围道上的线积分
对于某些围道上的线积分，可 以通过计算围道内奇点的留数 之和来得到积分结果。
判断函数的解析性
如果一个函数在某区域内解析 ，那么该函数在该区域内的任 意闭曲线上的积分为零。利用 留数定理可以判断一个函数是 否在某区域内解析。
留数定理的应用举例
计算实函数的定积分
通过构造复变函数，将实函数的定积分转化为复变 函数的线积分，再利用留数定理计算。
计算复变函数的线积分
对于某些特殊的复变函数，可以直接利用留数定理 计算其在某条曲线上的线积分。
解决物理问题
在物理学中，许多问题可以通过构造复变函数并应 用留数定理来解决，如计算电场、磁场等物理量的 分布。
求解二阶常系数齐次线性微分方程。 通过构造多项式形式的复变函数，利 用留数定理求解。
06
总结与展望
本文工作总结
研究背景
介绍了数学物理基本方法5.2留数 的研究背景和意义，了本文的主要研究内容， 包括留数的定义、性质、计算方法 和应用等方面的研究。
研究结果
通过洛必达法则，可以将求留数的问题转化为求导数的问题，从 而简化计算过程。
其他方法
幂级数展开法
当函数$f(z)$在奇点$z_0$处可以展开为幂级数时，可以通过幂级数的系数来计算留数。具体地，如果 $f(z) = sum_{n=0}^{infty} a_n (z - z_0)^n$，则留数可以表示为$text{Res}[f(z), z_0] = a_{-1}$，即幂 级数中$(z - z_0)^{-1}$的系数。
留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数
( g ( z ) ( z ) p( z ) 在z0解析, 且 g ( z0 ) 0 )
则z0为f ( z)的一级极点,由规则
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
(5)
事实上，由条件
f ( z ) cm ( z z0 ) m c2 ( z z0 ) 2 c1 ( z z0 ) 1 c0 c1 ( z z0 ) , (cm 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 ,得
( z z0 ) m f ( z ) cm cm1 ( z z0 ) c1 ( z z0 ) m1 c0 ( z z0 ) m
当 m = 1时，式(5)即为式(4).
p( z ) , Q( z ) p( z ), Q( z )在z0 处解析,
规则III 设f ( z )
p( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , Q' ( z0 ) 0，则
z0 是f ( z )的一级极点 ,且 p( z0 ) Re s[ f ( z ), z0 ] Q' ( z 0 ) ( 6)
c k 1
n
k
]
(3)
证明
用互不包含 , 互不相交的正向简单闭 曲线ck (k 1,2,n)，将 c内的弧立奇点zk 围绕,
由复合闭路定理得：
f ( z)dz
c
c1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
c2 cn
第2节--用留数计算实积分
于是就有 g(z) , z R
g(z)eimzdz g(Rei )eimRei Rei id
R
0
R emRsin d , (6.13) 0
由于 g(Rei ) , Rei i R,以及
e e e . imRei
mRsin imR cos
mR sin
于是由Jordan不等式 2 sin (0 ),
形如 2π 0
R(cos
,
sin
)d
的积分
令 z ei
dz iei d d dz ,
iz
sin 1 (ei ei ) z2 1,
2i
2iz
3
cos 1 (ei ei ) z2 1,
2
2z
当 经历变程 [0,2π ] 时,
z 沿单位圆周 z 1的正方向绕行一周.
n
2π
0
R(cos ,sin )d
f
z 1
(z)dz
2 i
k 1
Re s
z ak
f
( z ).
z的有理函数 , 且在单位圆周上分 包围在单位圆周 母不为零 , 满足留数定理的条 内的诸孤立奇点. 注件:关.键是引进代换z ei , R(sin,cos )在[0, 2 ]上连续可
不必检验,只要看变换后被积函数在 z 1是否有奇点.
为互质函数,且合条件(1)n m 2, (2)在实轴上Q(z) 0, 于是有
f (x)dx 2πi Re s f (z). (6.11)
Im ak 0 zak
17
证明 由条件(1),(2)及数学分析的结论,知
f (x)dx存在,且等于它的主值
lim R f (x)dx. 记为P.V . f (x)dx.
留数的计算方法范文
留数的计算方法范文留数是计算除法运算中得到的余数。
在数学和计算机科学中，留数的计算方法有多种。
下面将介绍其中的几种常见的计算留数的方法。
1.除法法则：除法法则是最基本的计算留数的方法。
假设要计算被除数a除以除数b的留数。
首先，将a除以b，得到商q和余数r。
那么，a可以表示为a = bq+ r。
商q是被除数a除以除数b得到的整数商，余数r是除法运算的留数。
2.长除法法则：长除法法则是一种逐位计算留数的方法，适用于除数是多位数的情况。
长除法的基本步骤如下：a.将被除数从左到右逐位拆分，得到被除数的各个位数。
b.将除数从左到右逐位与被除数的位数进行比较。
c.如果被除数的位数大于等于除数的位数，进行一次除法运算，得到一位商和一位留数。
d.将商和留数写在左边的列上。
e.将下一个位数与留数组合成新的被除数，重复步骤b到d，直到所有位数计算完毕。
f.最后得到的留数就是除法运算的最终留数。
3.模运算法则：模运算法则是一种将除法运算转化为模运算的方法来计算留数。
假设要计算被除数a除以除数b的留数。
首先，将a对b取模，即计算a mod b。
这个结果就是除数b能够整除被除数a时得到的留数。
模运算的结果是0到b-1之间的整数，所以这种方法计算的留数范围是0到除数b-1之间。
4.位运算法则：位运算法则是一种将除法运算转化为位运算的方法来计算留数。
这种方法仅适用于除数为2的幂的情况，即除数是2的整数次幂。
在二进制形式中，被除数a和除数b都是由0和1组成的数字。
假设除数b是2的n次幂，可以通过右移操作将被除数a的二进制表示右移n位，然后取低n位作为留数。
综上所述，计算留数的方法有除法法则、长除法法则、模运算法则和位运算法则等。
具体选择哪种方法取决于被除数和除数的特性以及计算的要求。
《高等数学教学资料》第二节留数与留数定理
本节介绍高等数学中重要的留数与留数定理。掌握留数的概念、计算方法， 以及留数定理的应用与证明。
留数的概念
1 复数函数
留数是复数函数在奇点处的特殊数值，表示函数在该点的振荡与增长趋势。
2 奇点分类
简单极点、高阶极点和可去奇点是计算留数时常见的情况。
留数的计算方法
留数定理的条件
曲线内只包含有限个奇点，而且这些奇点都是简单极点。
留数定理的应用举例
1
计算积分
应用留数定理计算各类复杂积分，简化计算步骤。
2
计算级数和
利用留数定理求解级数和，加速计算结果的收敛性。
3
求解微分方程
通过留数定理将微分方程的解转换成复古底的积分，简化解题过程。
留数定理的证明
积分路径变形
通过曲线拓扑及路径变形证明留 数定理的成立。
1 留数是复数函数在奇 2 了解常见的奇点分类 3 掌握留数定理的概念、
点处的特殊数值，表
和计算留数的方法，
条件、应用和证明过
示函数的振荡和增长
为留数定理的应用打
程，提升数学问题的
趋势。
下基础。
解题能力。
洛朗展开运算
基于洛朗级数展开，从留数的角 度给出留数定理的证明过程。
柯西积分定理
由柯西积分定理推导出留数定理 的证明。
留数定理的推广
1 留数的互补性
对于一些特殊情况，留数可以相互抵消，使 得计算更加简洁。
2 多重极点的处理
对于高阶极点，可以通过留数的推广方式处 理，进一步扩展留数定理的应用。
总结和要点
剩余定理
通过与柯西积分定理联合使用， 利用奇点的留数计算复杂容朗级数，借助级数中的留数项 计算积分。
留数与积分计算公式
留数与积分计算公式留数与积分计算公式是数学中重要的概念和工具，它们在复变函数和实变函数中都有广泛的应用。
留数定理是复变函数中的一个重要定理，它提供了计算复变函数的积分的一种方法。
而积分计算公式则是实变函数中的重要工具，用于计算函数的积分。
首先我们来介绍留数定理。
留数定理是复变函数中的一个重要定理，它提供了计算复变函数的积分的一种方法。
留数定理的核心是留数的概念。
留数是在复变函数中用来计算函数在孤立奇点处的积分的一种方法。
在复变函数中，如果函数在某一点处有极点，那么我们可以通过计算留数来计算函数在该点处的积分。
留数的计算公式是Res(f, z0) = lim(z→z0) (z-z0)f(z)，其中f(z)是函数在z0处的极点，z0是函数的孤立奇点。
通过计算留数，我们可以得到函数在该点处的积分值。
留数定理的具体表述是，如果f(z)在闭合曲线C内部除有限个孤立奇点外是全纯函数，那么函数f(z)沿C内部的积分等于2πi乘以C内部的所有孤立奇点的留数之和。
这个定理为计算复变函数的积分提供了一种简单而有效的方法。
通过计算函数在孤立奇点处的留数，我们可以得到函数在闭合曲线C内部的积分值。
接下来我们来介绍积分计算公式。
积分计算公式是实变函数中的重要工具，用于计算函数的积分。
在实变函数中，我们经常需要计算各种函数的积分，而积分计算公式为我们提供了一种简单而有效的方法。
积分计算公式包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
这些公式和方法可以帮助我们计算各种函数的不定积分和定积分。
基本积分公式是计算各种函数的不定积分的基础。
基本积分公式包括常数函数的不定积分、幂函数的不定积分、指数函数的不定积分、三角函数的不定积分等。
这些基本积分公式可以帮助我们计算各种函数的不定积分，从而得到函数的原函数。
换元积分法是计算复合函数的积分的一种方法。
通过选择合适的代换变量，我们可以将复合函数的积分转化为简单的积分，从而得到函数的积分值。
留数计算规则
故
由留数定理得：
tanzdz 2i
k 1 n 2
z n
Re s(tanz ) 2i(
2n
) 4ni
如
(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留 数，不要死套规则。
P ( z ) z sinz f (z) Q( z ) z6
由 于p(0) 0
2
(cotz )' z k 1 csc2 z 0 1 zk 2 2 1 z k 为一级极点 ,由 法 则 III得 2 1 sinz 1 Re s[tanz , k ] ( k 0,1,) 2 (cosz )' z k
c0 c1 ( z z0 ) , (c m 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 ,得
( z z 0 ) f ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c 1 ( z z 0 )
m m 1
c0 ( z z 0 ) m
cos z dz 例3 计 算 3 z 1 z cos z 解 f (z) 3 有 一 个 z 0的 三 级 奇 点 z 由规则
1 d2 3 Re s[ f ( z ),0] l i m [ z f ( z )] 2 z 0 ( 3 1)! dz 1 1 lim (cosz )'' 2 z 0 2
1 d5 1 1 ( z sinz ) lim( cos z ) 5 5! dz 5! z 0 5!
两边求 m 1阶 导 数 得 d m 1 m {( z z ) f ( z )} ( m 1)!c1 m! ( z z0 ) 0 m 1 dz m 1 d lim m 1 {( z z0 )m f ( z )} ( m 1)!c1 , 移 项 得 (5)式. z z dz
留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数
留数(Residue)
1. 留数的定义
2. 留数定理
3. 留数的计算规则
4. 无穷远点的留数
1. 留数的定义
定义 设 z0为f (z)的孤立奇点， f (z)在 z0邻域内的 洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数(Residue)， 记作 Res[f (z), z0] 或 Res f (z0)。 由留数定义, Res[f (z), z0]= c–1
注：c 为 R z 内任意绕原点的闭简单 曲线 （沿负方向）
(1) 由闭路变形原理知上积 分与c的形状无关 一般地 1 Re s[ f ( z ), ] f ( z )dz ， : z R 2i
1 （2） Re s[ f ( z ), ] f ( z )dz c1 2i
利用定理简化计算： 由于 z i 为 f ( z)的10级极点，计算留数很繁！！ 原式 2iRe s[ f ( z ),i] Re s[ f ( z ) , 1] 2iRe s[ f ( z ) , 3] Re s[ f ( z ) , ]
(ii) 若z z0为本性奇点
f ( z)
展开 n c ( z z ) Re s[ f ( z), z0 ] c1 n 0
(iii) 若z z0为极点时，求Re s[ f ( z), z0 ]有以下几条规则
规则I
若z0是f ( z)的一级极点 ,则
z z0
n n c ( z z ) n 0
(1)
设f ( z )
( z0是f ( z )的弧立奇点 , c包含z0在其内部 )
设f ( z )
new第二节留数及留数定理
L
那么
( 0 z a ),
(z a)m f (z) cm cm1(z a) L c1(z a)m1 c0(z a)m
L cn(z a)mn L
d m1 dzm1
[(
z
a)m
f (z)]
c1(m 1)! c0m(m 1)L
2(z a)
L cn(m n)L (n 2)(z a)n1 L
记作
Re
s[
f
(z), ]或
Re s z
f
(z), 即
1
1
Re s[ f (z), ]
f (z)dz
f (z)dz.
2 i C
2 i C
无穷远点留数计算：
义：
Re
s[
f
(z),
]
1
2
i
C
n定0 c义nzn：dz
n0
2c定ni C义 zn：dz
C1 .
定义1 ：
1
作变换 z
,则
z3 3和 点,利用外部区域的留数定理,有
dz
C (z i)10(z 1)(z 3)
2i{Re s[ f (z), 3] Re s[ f (z), ]}
例12 设C为 | z | 2正向，计算积分
I
C
(
ez z(1
z
)2
sin
z
1) 4
dz.
解
I
C
ez z(1
z)2
dz
C
sin
z
1
4
dz
C
ez z(1
z)2
dz 0
由留数定理得
I
2 i
Re
第二节(应用留数定理计算实变函数定积分)
点的一条正向简单闭曲线, 则
n
包括无限远点和
f (z) d z 2 π i Res f (bj ). 有限远的奇点
l f (z)dz 2l if z在所有j有 1 限远点的留数之和
0 2if z在所有各点的留数之和
lim ( z
zz0
z0 )
f
(z) =
2
2z
4
例1 计算
2
I
dx ••(0 1)
0 1 cosx
解 由公式得
I
dz / iz
|z|1
1
z2
1
2 i
dz
|z|1 z2 2z
2z
dx dz iz
cos x 1 eix eix 2 z2 1 2z
而由上节例题可知
z2
|z|1
dz 2z
•
2i Re sf
(z0 )
2i
2
1
1 2
i 1 2
故可得结果为
2 i
2
I
i 12 12
5
例2
计算
I
2 0
1
2
dx c os x
2
••(0
1)
解 由公式得
dz / iz
i
I
|z|11 (z z 1) 2
1
1 z2 (z i)( z i)
具有单极点士i,其中+i在
上半平面,并且有
Re sf (i) limz i f z lim 1 1
留数定理的计算及应用
留数及其应用摘 要 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词 留数定理；留数计算；应用引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．一. 预备知识 孤立奇点1．设()f z 在点a 的某去心邻域内解析，但在点a 不解析，则称a 为f 的孤立奇点.例如sin zz，1z e 以0=z 为孤立奇点.z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sinz 以0=z 为奇点（又由1sin0=z ，得1(1, 2...,)π==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1()()()，∞∞-===+-∑∑-nnnnn n f z c z a c z a 称()n=1∞-∑-nnc z a 为()f z 在点a 的主要部分，称()∞=-∑nnn z a c 为()f z 在点a 的正则部分，当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点；当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()------+++≠---m mm m m c c c c z a z a z a称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…nC -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1[]1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k nz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰． （1）证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得 ()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．定理2 设a 为()f z 的n 阶极点，()()()nz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，()0a ϕ≠，则()()()()11!n z aa Res f z n ϕ-==-．这里符号()()0a ϕ代表()a ϕ，且有()()()()11lim n n z aa z ϕϕ--→=． 推论3 设a 为()f z 的一阶极点，()()()z z a f z ϕ=-， 则 ()()z aRes f z a ϕ==．推论4 设a 为()f z 的二阶极点，()()()2z z a f z ϕ=-， 则 ()()'z aRes f z a ϕ==．3. 留数的引理引理1 设()f z 沿圆弧:i R S z Re θ= (12θθθ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim R zf z λ→+∞=于R S 上一致成立(即与12θθθ≤≤中的θ无关)，则()()21limRS R f z dz i θθλ→+∞=-⎰．引理2(若尔当引理) 设函数()g z 沿半圆周:i R z Re θΓ= (0θπ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim00Rimz R g z e dz m Γ→+∞=>⎰．引理3 (1)设a 为()f z 的n 阶零点，则a 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且 ()()'z a f z Res n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； (2)设b 为()f z 的m 阶极点，则b 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且()()'z bf z Res m f z =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．三. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（. 2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： 211Re [,]Re [(),0]s f z s f z z∞=-⋅（）. 例 1 求函数2()1ize f z z=+在奇点处的留数． 解 ()f z 有两个一阶极点z i =±，于是根据（6.5）得2()Re (,)()22i P i e is f i Q i i e===-'2()Re (,)()22i P i e is f i e Q i i ---==='--例 2 求函数3cos ()zf z z=在奇点处的留数． 解 ()f z 有一个三阶极点0z =，故由（6.7）得33001cos 11Re (,0)lim()lim(cos )222z z z s f z z z →→''=⋅=-=-四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1. 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。
第二节(应用留数定理计算实变函数定积分)
∫
同理有
∞
0
1 ∞ F ( x) cos mxdx = ∫ F ( x ) e imx dx 2 −∞
∫
∞
0
1 ∞ G ( x) sin mxdx = ∫ G ( x)e imx dx 2i −∞
由此我们把类型三化为类型二来处理! 由此我们把类型三化为类型二来处理! 类型三化为类型二 在类型二中,要求z 在类型二中,要求z在上半平面或实轴上→ ∞ 时，zF(z)eimz 和 imz一致地 → 0 ， 但我们希望条件可以放宽一些,由此 但我们希望条件可以放宽一些, zG(z)e 我们引入约当引理 约当引理, 我们引入约当引理,此时我们可以把条件放宽为 F(z)和G(z)一致地 F(z)和G(z)一致地 → 0
∫ f ( z ) dz = 2π i{ f (z )在所有有限远点的留数
l j= 1
l
∫ f (z)dz = 2πi∑Res f (b ).
j
n
包括无限远点和 有限远的奇点
之和 }
0 = 2πi{ f ( z )在所有各点的留数之和}
z → z0
z→z0
lim ( z − z 0 ) f ( z ) = 非零有限值
b a
dz ix 作变换 z = e , Q dz = e idx, ∴ dx = iz 1 ix −ix z − z −1 z 2 − 1 sin x = e −e = = 2i 2i 2iz 1 ix − ix z2 + 1 z + z −1 cos x = ( e + e ) = = 2 2z 2
10
然后应用公式可求得结果
∫ (
−∞
∞
例5
解 这里积分区间为 [0,+∞ ) 不符合条件,不能直接应用公式! 不符合条件,不能直接应用公式!
5-2留数和留数定理
函数 f (z) 在区域 D内除有限个孤立 内除有限个孤立
奇点 z1 , z2 ,L, zn 外处处解析 C 是 D内包围诸奇 外处处解析, 内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 点的一条正向简单闭曲线 那么
C
∫ f (z)dz = 2πi∑Res[ f (z), zk ]. k=1
n
注:
留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求 留数定理将沿封闭曲线 积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数 被积函数在 内各孤立奇点处的留数. 内各孤立奇点处的留数
3
1 即 c −1 = ∫ 2πi C
f (z)在z0的 数 留 f ( z )dz = Res[ f (z), z0]
定义 如果 z0 为函数 f ( z ) 的一个孤立奇点 则沿 的一个孤立奇点,
z0 的某个去心邻域 0 < z − z0 < R 内，包含 z0 的
任意一条简单闭曲线 C 的积分
z 1 1 1 1 ∫ z 4 − 1 dz = 2πi 4 + 4 − 4 − 4 = 0 . C
14
ez 例4 计算积分 ∫ 为正向圆周: 为正向圆周 2 dz , C为正向圆周 z = 2. z ( z − 1) C
为一级极点, 解 z = 0 为一级极点
z = 1 为二级极点 为二级极点,
10
3 典型例题
ez 的留数. 例1 求 f ( z ) = n 在 z = 0 的留数 z
解
阶极点， 因为 z = 0 是 f ( z )的 n 阶极点，
1 d n −1 n e z ez lim n−1 z ⋅ n 所以 Res n ,0 = z z ( n − 1)! z →0 dz
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证 因为 Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0
所以z0为 Q(z) 的一级零点, 1
z0 为 Q(z) 的一级极点.
10
因此 1 1 (z),
Q(z) z z0
其中 (z)在 z0 解析且 (z0 ) 0,
f (z) 1 P(z) (z) . z z0 在 z0 解析且 P(z0 ) (z0 ) 0.
第二节 留 数
一、留数的引入 二、利用留数求积分 三、在无穷远点的留数 四、典型例题 五、小结与思考
一、留数的引入
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C .z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R C:邻域内包含z0 的任一条正向简单闭曲线
f (z) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
C
C1
C2
Cn
C
.zn
两边同时除以 2i 且
z1 . .z2
D
1 2i
C1
f
( z )dz
1 2i
C2
f
( z )dz
1 2i
Cn
f
( z )dz
Res[ f (z), z1] Res[ f (z), z2] Res[ f (z), zn]
n
Res[ f (z), zk ] 即可得.
Res[
f
(z),
z0
]limzz0(zz0
)
f
(z).
7
•规则2 如果 z0为 f (z)的 m 级极点, 那末
Res[
f
(z), z0]
(m
1
dm1
1)!
lim
zz0
dz
m
1
[(
z
z0 )m
f
(z)].
证 f (z) cm (z z0 )m c2(z z0 )2
那末积分 1 f (z)dz的值与C无关，则称此定值
2 i C1
为 f (z)在点的留数，
记作
Res[
f
(z),]
1 2i
C
f
(z)dz
1 2i
C
f
(z)dz
注意积分路线取顺时针方向
说明 Res[ f (z),] c1
c1
12
2.定理二 如果函数 f (z) 在扩充复平面内只有有限个
得
dm1 dz m 1
[(z
z0
)m
f (z)]
(m 1)!c1 +(含有 z z0 正幂的项)
lim
z z0
dm1 dzm1 [(z
z0 )m
f
(z)]
(m
1)!c1,
所以 Res[ f (z), z0 ] c1
(m
1
dm1
1)!
lim
zz0
dz
m
1
[(
z
z0 )m
f
(z)].
[证毕]
9
•规则3
设
f
(z)
P(z) Q(z)
,
P(z)
及
Q(z)
在
z0都解析，
如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0, 那末 z0 为
f (z) 的一级极点,
且有
Res[
f
( z ),
z0 ]
P(z0 ) Q(z0 )
.
孤立奇点, 那末 f (z) 在所有各奇点 (包括点)
的留数的总和必等于零.
证 .
. z1 .z2
. zk .
. C (绕原点的并将 zk包含在 . 内部的正向简单闭曲线)
由留数定理有:
n
Res[ f (z),] Res[ f (z), zk ]
k 1
[证毕]
6
2.留数的计算方法
(1) 如果 z0 为 f (z) 的可去奇点, 则Res[ f (z), z0 ] 0. (2) 如果 z0为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
成洛朗级数求 c1.
(3) 如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
•规则1 如果 z0为 f (z)的一级极点, 那末
c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 )
(z z0 )m f (z) cm cm1(z z0 ) c1(z z0 )m1
c0(z z0 )m c1(z z0 )m1
8
两边求 m 1 阶导数,
c1(z z0 ) cn(z z0 )n
2
积分 f (z)dz
C
cn (z z0 )ndz c1 (z z0 )1dz
C
C
(高阶导数公式)
2i
0
c0dz c1(z z0 )dz cn(z z0 )ndz
C
C
C
0 (柯西-古萨基本定理)
2ic1 洛朗级数中负幂项c1(z z0 )1的系数
3
即
1
c1
2i C
f
(z)dz
Res[ f (z), z0 ] f (z)在 z0的留数
定义 如果 z0 为函数 f (z) 的一个孤立奇点, 则沿
在 z0的某个去心邻域0 z z0 R内包含 z0 的
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值除
C
以 2i 后所得的数称为 f (z)在 z0 的留数.
记作 Res[ f (z), z0 ]. (即 f (z)在 z0 为中心的圆环
域内的洛朗级数中负幂项c1(z z0 )1的系数.)
4
二、利用留数求积分
1.留数定理 函数 f (z) 在区域 D内除有限个孤 立奇点 z1 , z2 ,, zn 外处处解析, C 是 D内包围诸奇
所以 z0 为 f (z) 的一级极点,
P(z)
Res[
f
( z ), z0 ]
lim(z
zz0
z0 )
f
(z)
lim
zz0
Q(z)
Q(z0 )
P(z0 ) . Q(z0 )
z z0
11
三、在无穷远点的留数
1.定义 设函数 f (z)在圆环域 R z 内解析，
C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，
点的一条正向简单闭曲线, 那末
n
f (z)dz 2i Res[ f (z), zk ].
C
k 1
说明: 1. f (z)在C上及C内部处处解析；
2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数.
5
证 如图
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz