高中数学 1.4.3课后练习同步导学新人教A版选修11

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高中数学 3.2课后练习同步导学新人教A版选修11

高中数学 3.2课后练习同步导学新人教A 版选修11(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1解析：因为y ′＝x －2－x x －22＝－2x －22，则曲线在点(1，－1)处的切线的斜率k ＝－21－22＝－2，所以所求切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.故选D.答案： D2．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：因为f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋1，所以f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，即x 0＝e. 答案： B3．若函数f (x )＝exx在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值等于( )A ．0B ．1 C.12D ．不存在解析：由于f (x )＝e xx ，∴f (x 0)＝e x 0x 0，又f ′(x )＝e x ·x －e x x2＝exx －1x 2， ∴f ′(x 0)＝e x 0x 0－1x 20，依题意知f (x 0)＋f ′(x 0)＝0，所以e x 0x 0＋e x 0x 0－1x 2＝0，∴2x 0－1＝0，得x 0＝12，故选C.答案： C4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，直线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564.当x 0＝32时，直线方程为y ＝274x －274.由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，得a ＝________，b ＝________.解析： (0，b )在切线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1，又y ′＝2x ＋a ，y ′|x ＝0＝a ＝1. 答案： 1 16．函数f (x )＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于________．解析： f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，f ′(x )＝3x 2＋2x －1，f ′(1)＝3＋2－1＝4.答案： 4三、解答题(每小题10分，共20分)7．曲线y ＝x (1－ax )2(a ＞0)，且y ′|x ＝2＝5，求实数a 的值．解析： ∵y ′＝(1－ax )2＋x [(1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x (1－2ax ＋a 2x 2)′＝(1－ax )2＋x (－2a ＋2a 2x )， ∴y ′|x ＝2＝(1－2a )2＋2(－2a ＋4a 2)＝5，即3a 2－2a －1＝0. ∵a ＞0，∴a ＝1.8．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积．解析： (1)∵y ′＝2x ＋1，直线l 1的方程为y ＝3x －3. 设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2切于点A (a ，a 2＋a －2)，则l 2的方程为y ＝(2a ＋1)x －a 2－2，因为l 1⊥l 2，则有2a ＋1＝－13，a ＝－23.所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，l 1、l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，所以所求三角形的面积S ＝12×253×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．解析： (1)由f (x )＝x 3＋x －16，可得f ′(x )＝3x 2＋1，所以曲线在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13，切线方程为y ＋6＝13(x －2)，即y ＝13x －32.(2)设切点为P (x 0，y 0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，直线l的方程为y－y0＝(3x20＋1)(x－x0)，即y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又因直线l过点(0,0)，所以(3x20＋1)(0－x0)＋x30＋x0－16＝0，解得x0＝－2.代入f(x)＝x3＋x－16中可得y0＝－26，斜率为3x20＋1＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．。

高中数学 2章质量评估课后练习同步导学新人教A版选修11

高中数学 2章质量评估课后练习同步导学新人教A 版选修11(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析：将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0. 答案： C2．设P 是椭圆x 2169＋y 2144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( ) A ．22 B ．21 C ．20D ．13解析：由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26，又∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝26－4＝22. 答案： A3．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1解析：双曲线x 24－y 212＝－1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，故所求椭圆的焦点在y 轴上，a ＝4，c ＝23， ∴b 2＝4，所求方程为x 24＋y 216＝1，故选D.答案： D4．若抛物线x 2＝2py 的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则p 的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－2解析：椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点为(0，－1)，∴p2＝－1，即p ＝－2. 答案： D5．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的条件是(k －3)(k ＋3)>0，即k >3或k <－3. 故k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件．故选A.答案： A6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：由MF 1→·MF 2→＝0可知点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，要使点M 总在椭圆内部，只需c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22. 因为0<e <1，所以0<e <22.即椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22.故选C. 答案： C7．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：点P 在抛物线上，则由抛物线定义可得点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图，点Q 在抛物线内部，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，所以点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.故选A. 答案： A8．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，因tan ∠COx ＝2，∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15，则C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 35，2a 35，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.答案： C9．已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)解析：设圆与直线PM 、PN 分别相切于E 、F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |. ∴|PM |－|PN |＝|PE |＋|ME |－(|PF |＋|NF |) ＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |.所以点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的一支，且a ＝1， ∴c ＝3，b 2＝8，∴所以双曲线方程是x 2－y 28＝1(x >1)．答案： A10．设M (x 0，y 0)为拋物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为拋物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和拋物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析： ∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由拋物线的定义知|MF |＝y 0＋2，以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 的圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4＜y 0＋2，∴y 0＞2.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是________．解析：由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个焦点是(10，0)，知a 2＋b 2＝10，因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝112．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．解析：设直线方程为y －1＝k (x －2)，与双曲线方程联立得(1＋4k 2)x 2＋(－16k 2＋8k )x ＋16k 2－16k －12＝0，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，所以直线方程为x ＋2y －4＝0. 答案： x ＋2y －4＝013.如图，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析： ∵△POF 2是面积为3的正三角形， ∴12c 2sin 60°＝3， ∴c 2＝4， ∴P (1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋3b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解之得b 2＝2 3.答案： 2 314．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．解析： ∵x 24＋y 2k＝1表示双曲线，∴k <0，∴a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e 2＝4－k k ＝1－k 4.又∵e ∈(1,2)，∴1<1－k4<4.∴－12<k <0. 答案： (－12,0)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．解析：由椭圆方程可得椭圆的焦点为F (0，±4)，离心率e ＝45，所以双曲线的焦点为F (0，±4)，离心率为2，从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3. 所以双曲线方程为y 24－x 212＝1.16．(本小题满分12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝32得a ＝2b .|PM |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )，若b <12，则当y ＝－b 时，|PM |2最大，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322＝7，则b ＝7－32>12，故舍去．若b ≥12时，则当y ＝－12时，|PM |2最大，即4b 2＋3＝7，解得b 2＝1.∴所求方程为x 24＋y 2＝1.17．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．解析：设M (x ，y )、P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，易求y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)． ∵M 是FQ 的中点， ∴x ＝1＋x 22，y ＝y 22.∴x 2＝2x －1，y 2＝2y ，又Q 是OP 的中点． ∴x 2＝x 12，y 2＝y 12，∴x 1＝2x 2，y 1＝2y 2， ∴x 1＝4x －2，y 1＝4y . ∵P 在抛物线y 2＝4x 上， ∴(4y )2＝4(4x －2)，所以M 点的轨迹方程为y 2＝x －12.18．(本小题满分14分)已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |.(1)求椭圆的方程； (2)求直线l 的方程．解析： (1)∵F 1到直线x ＝－a 23的距离为33， ∴－3＋a 23＝33.∴a 2＝4. 而c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． ∵|F 2B |＝3|F 2A |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝x 2＋3x 11＋3，0＝y 2＋3y11＋3，⎩⎨⎧x 2＝43－3x 1，y 2＝－3y 1.∵A 、B 在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 21＝1，43－3x 124＋－3y 12＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1033，y 1＝233取正值.∴l 的斜率为233－01033－3＝ 2.∴l 的方程为y ＝2(x －3)，即2x －y －6＝0.。

人教A版高中数学选修新课标同步导学课后练习(1)(1)(1)

第1章 1.3.2(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫33x ＋1x n 的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P ＋S ＝272，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析： 4n ＋2n ＝272，∴2n ＝16，n ＝4. 答案： A2．已知C n 0＋2C n 1＋22C n 2＋…＋2n C n n ＝729，则C n 1＋C n 3＋C n 5的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63D ．31 解析： C n 0＋2C n 1＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729. ∴n ＝6，∴C 61＋C 63＋C 65＝32. 答案： B3．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝( ) A ．32 B ．－32 C ．－33D ．－31解析：令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝32 ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝a 0－32 ＝1－32＝－31. 答案： D4．(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5 解析：令x ＝0，y ＝1得(1＋b )n ＝243，令y ＝0，x ＝1得(1＋a )n ＝32，将选项A 、B 、C 、D 代入检验知D 正确，其余均不正确．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．若(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝________.(用数字作答)解析：在(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝(－1)2 004＝1，故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝2 003a0＋a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝2 004.答案： 2 0046．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝________.解析：x3＋x10＝(x＋1－1)3＋(x＋1－1)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10∴(x＋1)9项的系数为C101(x＋1)9(－1)1＝－10(x＋1)9∴a9＝－10.答案：－10三、解答题(每小题10分，共20分)7．在(x－y)11的展开式中，求(1)通项T r＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项；(5)项的系数最小的项；(6)二项式系数的和；(7)各项系数的和．解析：(1)T r＋1＝(－1)r C11r x11－r y r；(2)二项式系数最大的项为中间两项：T6＝－C115x6y5，T7＝C116x5y6；(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：T6＝－C115x6y5，T7＝C116x5y6；(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T7＝C116x5y6；(5)项的系数最小的项为T6＝－C115x6y5；(6)二项式系数的和为C110＋C111＋C112＋…＋C1111＝211；(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.8．已知(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…a 9y 9，求： (1)各项系数之和； (2)所有奇数项系数之和； (3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．解析： (1)令x ＝1，y ＝1，得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1 (2)由(1)知，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59 将两式相加，可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和． (3)方法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59；方法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得， |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59. (4)奇数项二项式系数和为： C 90＋C 92＋…＋C 98＝28.偶数项二项式系数和为：C 91＋C 93＋…＋C 99＝28. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，求n .解析： a 0＝1＋1＋…＋1＝n ，a n ＝1.令x ＝1，则2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2…＋a n ， ∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(1－2n )1－2－a 0－a n＝2(2n －1)－n －1＝2n ＋1－n －3， ∴2n ＋1－n －3＝29－n ，∴n ＝4.。

高中数学质量检测B课后练习同步导学新人教A版选修11

高中数学质量检测B 课后练习同步导学新人教A 版选修11(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)(考试时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝1 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x>0解析： A 、B 、D 三项正确．C 错误．答案： C2．已知命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，那么函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)点对称，则( )A ．“p ∧q ”为真B ．“p ∨q ”为假C ．p 假q 真D ．p 真q 假解析：命题p 是真命题，命题q 是假命题．答案： D3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A.14 B.12 C ．2D ．4解析：由x 2＋my 2＝1，得x 2＋y 21m＝1，又∵椭圆的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍， ∴1m ＝4，即m ＝14. 答案： A4．若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,0)D ．(－1,0)解析： f ′(x )＝4x 3－1设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝4x 30－1＝3， ∴x 0＝1，y 0＝f (1)＝1－1＝0， ∴点P 的坐标为(1,0)．答案： C5．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或32解析：显然该曲线不可能是抛物线，不妨从Γ是椭圆和双曲线两方面着手分析，若Γ是椭圆，∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，从而e ＝c a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；同理可求得当Γ是双曲线时，e ＝32，故选A.答案： A6．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：⎭⎪⎬⎪⎫a >0b >0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >0ab >0∴“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件．答案： C7．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数解析： f ′(x )＝2－1x 2＝2x 2－1x2，方程f ′(x )＝0在x <0内有解，当x ＝－22时，f ′(x )＝0；当x <－22时，f ′(x )>0；当－22<x <0时，f ′(x )<0.故函数f (x )在x ＝－22时有极大值，也是最大值．答案： A8．有下列四个命题：①若“x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题，其中真命题为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③解析： ①③正确，②④错误．答案： D9．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]D ．(1,3)解析：函数f (x )的值域是(－1，＋∞)，要使得f (a )＝g (b )，必须使得－x 2＋4x －3>－1.即x 2－4x ＋2<0，解得2－2<x <2＋ 2. 答案： B10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：根据双曲线的性质，过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan 60°＝3，即ba≥3，则c 2－a 2a2＝e 2－1≥3，故有e 2≥4，e ≥2.故选C.答案： C11．已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ＞12B ．m ＜12C ．m ≥12D ．m ≤12解析： f ′(x )＝2mx ＋1x－2，由题意，当x ＞0时，2mx ＋1x－2≥0，即2mx 2－2x ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，令f (x )＝2mx 2－2x ＋1(x ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0－－22×2m ＜02m ＞0f 0≥0或⎩⎪⎨⎪⎧2m ＞0Δ≤0，解得m ≥12.故选C.答案： C12．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a4，则l 与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，在△OAF 中，OA ⊥OF ，|OA |＝|a2|，|OF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4，则△OAF 的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x .故选B.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．命题“∃x 0∈R ，x 20－1<0”的否定为________．答案： ∀x ∈R ，x 2－1≥014．若双曲线x 216－y 2m＝1的焦距为10，则双曲线的渐近线方程为________．解析： 16＋m ＝25， ∴m ＝9，∴a 2＝16，b 2＝9. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .答案： y ＝±34x15．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导得f ′(x )＝e x－2，∴当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0；当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，∴f (x )min ＝f (ln 2)＝2－2ln 2＋a ，则函数有零点即f (x )min ≤0，∴2－2ln 2＋a ≤0，∴a ≤2ln 2－2.答案： (－∞，2ln 2－2]16．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上的三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|等于________．解析： F 为(1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＋x 3－3＝0.即x 1＋x 2＋x 3＝3，∴|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6. 答案： 6三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解析：由p 得－2≤x ≤10，由q 得1－m ≤x ≤1＋m . ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，∴实数m 的取值范围是[9，＋∞)．18．(本小题满分12分)命题p ：x 2－4mx ＋1＝0有实数解，命题q ：∃x 0∈R ，使得mx 20－2x 0－1>0成立．(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； (2)若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；(3)若命题綈p ∨綈q 为真命题，且命题p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围．解析： (1)∵x 2－4mx ＋1＝0有实根， ∴Δ＝16m 2－4≥0， ∴m ≤－12或m ≥12.∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(2)设f (x )＝mx 2－2x －1，当m ＝0时，f (x )＝－2x －1，q 为真命题，当m >0时，q 为真命题；当m <0时，需有Δ＝4＋4m >0， ∴m >－1，∴－1<m <0，综上，m >－1.(3)∵綈p ∨綈q 为真，p ∨q 为真， ∴p ，q 为一真一假．p 、q 范围在数轴上表示为∴满足条件的m 的取值范围是m ≤－1或－12<m <12.19．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝x 和直线l ：y ＝kx ＋34，要使C 上存在着关于l 对称的两点，求实数k 的取值范围．解析：设关于l 对称的弦为AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中点为M (x 0，y 0)，则y 21＝x 1①y 22＝x 2②①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝1y 1＋y 2， ∵y 0＝y 1＋y 22，又∵AB ⊥l ， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1k. ∴y 0＝－k 2，x 0＝y 0－34k ＝－34k －12，∵点M 在抛物线内部， ∴y 2<x 0，即k 24<－34k －12，∴－1<k <0.20．(本小题满分12分)已知f (x )＝ax 3＋bx 2－2x ＋c ，在x ＝－2时有极大值6，在x ＝1时有极小值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求f (x )在区间[－3,3]上的最大值和最小值．解析： (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧f ′－2＝12a －4b －2＝0，f ′1＝3a ＋2b －2＝0，f －2＝－8a ＋4b ＋4＋c ＝6.解得a ＝13，b ＝12，c ＝83.(2)由(1)知f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋83，f ′(x )＝x 2＋x －2，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －3 (－3，－2)－2 (－2,1) 1 (1,3) 3 f ′(x )＋－＋f (x )4166321016由上表知，在区间[－3,3]上，当x ＝3时，f (x )max ＝106；当x ＝1时，f (x )min ＝32.21．(本小题满分12分)已知定点C (－2,0)，D (2,0)，动点P 满足直线PC 与PD 的斜率之积为－14.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)已知M ()－3，0，N ()3，0，过点M 的直线交轨迹E 于A 、B 两点．求证：△ABN 的周长l 为定值．解析： (1)设点P (x ，y )，则直线PC 的斜率为k PC ＝yx ＋2(x ≠－2)．直线PD 的斜率为k PD ＝yx －2(x ≠2)，由已知，有yx ＋2·y x －2＝－14(x ≠±2)．化简整理，得轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)证明：由(1)可知，椭圆x 24＋y 2＝1中，a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴M 、N 为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点．如上图，由椭圆的定义，知|AM|＋|AN|＝2a＝4，|BM|＋|BN|＝2a＝4.又∵|AM|＋|MB|＝|AB|，∴△ABN的周长l＝|AB|＋|BN|＋|AN|＝8.即△ABN的周长l为定值．22．(本小题满分14分)a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：a>ln 2－1时，且x>0，e x>x2－2ax＋1.解析：(1)由f(x)＝e x－2x＋2a，a∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0得x＝ln 2.于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，ln 2)ln 2(ln 2，＋∞) f′(x)－0＋f(x)2(1－ln 2＋a)故f单调递增区间是(ln 2，＋∞)．f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．(2)证明：设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知，当a>ln 2－1时，g′(x)最小值为g(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0，于是对任意x∈R，都有g′(x)>0.所以g(x)在R内单调递增，于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)都有g(x)>g(0)，而g(0)＝0. 从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.。

新课标同步导学数学人教A选修111章质量评估课后练习

1章整合(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2>2；③sin π2＝1；④x2－4x＋4＝0.其中是命题的有()A．4个B．3个C．2个D．1个解析：只有②和③是命题，语句①是疑问句，语句④含有变量x，不能判断真假．答案： C2．与命题：“若a∈P，则b∉P”等价的命题是()A．若b∈P，则a∉P B．若b∉P，则a∈PC．若a∉P，则b∈P D．若a∉P，则b∉P答案： A3．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是()A．全称命题B．特称命题C．p∨q形式D．p∧q形式解析：因为命题中含存在量词“有且只有一个”，所以是特称命题．答案： B4．对命题p：1∈{1}，命题q：1∉∅，下列说法正确的是()A．p且q为假命题B．p或q为假命题C．非p为真命题D．非q为假命题解析：∵p、q都是真命题，∴綈q为假命题．答案： D5．下列四个命题中真命题的个数为()①若x＝1，则x－1＝0；②“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题；③“等边三角形的三边相等”的逆命题；④“全等三角形的面积相等”的逆否命题．A．4 B．3C ．2D ．1解析： ①是真命题；②逆否命题为“若b ≠0，则ab ≠0”，是假命题；③“等边三角形的三边相等”改为“若p ，则q ”的形式为“若一个三角形为等边三角形，则这个三角形的三边相等”，其逆命题为“若一个三角形的三边相等，则这个三角形为等边三角形”，是真命题；④“全等三角形的面积相等”改为“若p ，则q ”的形式为“若两个三角形为全等三角形，则这两个三角形的面积相等”，其逆否命题为“若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不是全等三角形”，是真命题．答案： B6．若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件解析：由a 2＋b 2＝a ＋b ，可得a 2＋b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0a ＋b ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0a ≥0，b ≥0，故φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件．答案： C7．命题“存在实数x ，x 2＋1<2x ”的否定为( )A ．存在实数x ，x 2＋1≥2xB ．对所有的实数x ，x 2＋1<2xC ．不存在实数x ，x 2＋1≥2xD ．对所有实数x ，x 2＋1≥2x 答案： D8．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)解析：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a(a >0)，∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b2a .当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值． ∴∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，故选C. 答案： C9．关于命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋3>0.下列结论中正确的是( )A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“p ∧(綈q )”是真命题C ．命题“(綈p )∨q ”是真命题D ．命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题解析： ∵p 是假命题，q 是真命题，故选C. 答案： C10．对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0是真命题，则k 的取值范围是( ) A ．－4<k ≤0 B ．－4≤k <0 C ．－4≤k ≤0D ．－4＜k ＜0解析：依题意，有k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2＋4k <0.解得－4<k ≤0.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．“若x 2＝y 2，则x ＝－y ”的逆命题是________命题，否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析：若x 2＝y 2，则x ＝－y 的逆命题为：若x ＝－y ，则x 2＝y 2，是真命题；否命题为：若x 2≠y 2，则x ≠－y ，是真命题．答案：真真12．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．解析：由a ＋b ＝0得a ＝－b ，即a ∥b ，但a ∥b 不一定有a ＝－b ，所以“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．答案：充分不必要 13．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③命题“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0－1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题有________．(填序号)解析： ①中不等式x 2＋2x >4x －3⇔x 2－2x ＋3>0⇔x ∈R . ∴对∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3成立．①是真命题．②中log 2x ＋log x 2≥2⇔(log 22x －2log 2x ＋1)log 2x≥0⇔log 2x >0或log 2x ＝1⇔x >1.∴②是真命题．③中⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0⇒1a <1b c <0⇒c a >c b ，原命题为真命题，逆否命题为真命题，∴③是真命题． ④中p 为真命题，q 为真命题，命题p ∧綈q 是假命题．答案： ①②③14．设命题p ：点(2x ＋3－x 2，x －2)在第四象限；命题q ：x 2－(3a ＋6)x ＋2a 2＋6a <0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3－x 2>0x －2<0⇔－1<x <2，所以命题綈p ：x ≤－1或x ≥2；命题q ：a <x <2a ＋6，所以命题綈q ：x ≤a 或x ≥2a ＋6.设集合M ＝{x |x ≤－1或x ≥2}，N ＝{x |x ≤a 或x ≥2a ＋6}，依题意有：N 是M 的真子集．所以：⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－12a ＋6>2或⎩⎪⎨⎪⎧a <－12a ＋6≥2⇔－2<a ≤－1或－2≤a <－1⇔－2≤a ≤－1. 答案： [－2，－1]三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)写出下列命题的“若p ，则q ”形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．(1)全等三角形的对应边相等； (2)四条边相等的四边形是正方形．解析： (1)“若p ，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等；是真命题．逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等；是真命题．否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应边不全相等；是真命题．逆否命题：若两个三角形的对应边不全相等，则这两个三角形不全等；是真命题． (2)“若p ，则q ”的形式：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；是假命题．逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；是真命题．否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；是真命题．逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等；是假命题．16．(本小题满分12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假：(1)p ：3是质数，q ：3是偶数；(2)p ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解，q ：x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解．解析：(1)p或q：3是质数或3是偶数；p且q：3是质数且3是偶数；非p：3不是质数．因为p真，q假，所以“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“非p”为假命题．(2)p或q：x＝－2是方程x2＋x－2＝0的解或x＝1是方程x2＋x－2＝0的解；p且q：x＝－2是方程x2＋x－2＝0的解且x＝1是方程x2＋x－2＝0的解；非p：x＝－2不是方程x2＋x－2＝0的解．因为p真，q真，所以“p或q”为真命题，“p且q”为真命题，“非p”为假命题．17．(本小题满分12分)已知命题p：对∀x∈R，函数y＝lg(2x－m＋1)有意义．命题q：函数f(x)＝(5－2m)x是增函数．(1)写出命题p的否定；(2)若“p∧q”为真，求实数m的取值范围．解析：(1)綈p，∃x∈R，函数y＝lg(2x－m＋1)无意义．(2)若“p∧q”为真，则p真q真．当p为真时，∀x∈R，y＝lg(2x－m＋1)有意义．∴∀x∈R,2x－m＋1>0恒成立，∴m<2x＋1.∵2x＋1>1，∴m≤1.当q为真时，∴5－2m>1，∴m<2.综上可得“p∧q”为真，则m≤1，即m的取值范围是(－∞，1]．18．(本小题满分14分)已知数列{a n}的前n项和S n＝p n＋q(p≠1)，求数列{a n}成等比数列的充要条件．解析：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(p－1)p n－1，由于p≠0，p≠1，∴当n≥2时，{a n}为公比为p的等比数列．要使{a n}是等比数列(当n∈N*时)，则a2a1＝p.又a2＝(p－1)p，∴(p－1)pp＋q＝p，∴p2－p＝p2＋pq，∴q＝－1，即{a n}是等比数列的必要条件是p≠0，且p≠1，且q＝－1. 再证充分性：当p≠0，且p≠1，且q＝－1时，S n＝p n－1.当n＝1时，S1＝a1＝p－1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(p－1)p n－1，显然当n＝1时也满足上式，∴a n＝(p－1)p n－1，n∈N*，∴a na n－1＝p(n≥2)．∴{a n}是等比数列．综上可知，数列{a n}成等比数列的充要条件是p≠0，p≠1，且q＝－1.。

高中数学质量检测A课后练习同步导学新人教A版选修11

高中数学质量检测A 课后练习同步导学新人教A 版选修11(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)(考试时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1<0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R,2x 4－x 2＋1<0 B ．存在x ∈R,2x 4－x 2＋1<0 C ．存在x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0 D ．对任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0解析：全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0. 答案： C2．命题“若a >b ，则ac <bc (a ，b ，c ∈R )”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．0解析：原命题为假，逆命题为假，否命题及逆否命题也为假．答案： D3．已知p ：2x －3<1，q ：x (x －3)<0，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： ∵p ：{x |x <2}，q ：{x |0<x <3}， ∴p ⇒/ q ，q ⇒/ p . 答案： D4．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(2,8)或(－1，－4)解析：设P 0(x 0，y 0)，由f (x )＝x 3＋x －2，得f ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝3x 2＋1，令f ′(x 0)＝4，即3x 20＋1＝4，得x 0＝1 或x 0＝－1，∴P 0(1,0)或P 0(－1，－4)．故选C. 答案： C5．若双曲线经过点(6，3)，且渐近线方程是y ＝±x3，则这条双曲线的方程是( )A.x 236－y 29＝1 B.x 281－y 29＝1 C.x 29－y 2＝1 D.x 218－y 23＝1 解析：设双曲线方程为y 2－x 29＝λ(λ≠0)将点(6，3)代入求出λ.故选C.答案： C6．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0；命题q ；若a ＞b ，则1a ＜1b，给出下列四个复合命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③¬p ；④¬q .其中真命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：因为p 真q 假，所以p ∨q 为真，¬q 为真．故选B. 答案： B7．下列求导正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x ＋ln 3)′＝3x·ln 3＋13D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 答案： B8．方程x 215－k ＋y 2k －9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(9,12)B ．(12,15)C ．(12，＋∞)D ．(9,15)解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧15－k >0k －9>015－k <k －9∴9<k <12. 答案： A9．函数y ＝1＋x ＋cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上是( )A ．单调递增函数B ．单调递减函数C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π2上是递增函数，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是递减函数D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π2上是递减函数，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是递增函数解析： y ′＝1－sin x ≥0，∴y ＝1＋x ＋cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上是增函数．答案： A10．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：由题意知，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，由抛物线的定义知，点P 的轨迹是抛物线．答案： D11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2解析： ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，又∵函数f (x )有极大值和极小值， ∴f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，解之得a <－3或a >6. 答案： C12．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋1解析：设MF 1的中点为P ，在Rt △PMF 2中，|PF 2|＝|MF 2|·sin 60°＝2c ·32＝3c ， ∵|PF 2|－|PF 1|＝2a ， ∴a ＝3－12c ，e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：导函数在某点处的函数值表示曲线上该点的切线的斜率． ∵k ＝f ′(1)＝12，f (1)＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3. 答案： 314．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析： ∵∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案： [－22，22]15．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为________．解析： |MF |可以看做是点M 到准线的距离，当点M 运动到和点A 一样高时，|MF |＋|MA |取得最小值，即y M ＝2，代入y 2＝2x ，得x M ＝2，即M (2,2)．答案： (2,2)16．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于________．解析：若焦点在x 轴上，则m －4＝1，∴m ＝5，若焦点在y 轴上，则4－m ＝1，∴m ＝3. 答案： 3或5三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知命题p ：x 22m ＋y 29－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．解析： p 真，则有9－m >2m >0，即0<m <3.q 真，则有m >0，e ＝c a ，c 2a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，即52<m <5.若p 、q 中有且只有一个为真命题，则p 、q 一真一假． ①若p 真，q 假，则0<m <3，且m ≥5或m ≤52，即0<m ≤52；②若p 假，q 真，则m ≥3或m ≤0，且52<m <5，即3≤m <5.故所求m 的范围为：0<m ≤52或3≤m <5.18．(本小题满分12分)已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间．解析： (1)因为f ′(x )＝a1＋x ＋2x －10，所以f ′(3)＝a4＋6－10＝0，因此a ＝16.(2)由(1)知，f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞) f ′(x )＝2x 2－4x ＋31＋x＝2x －1x －31＋x当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0所以f (x )的单调增区间是(－1,1)，(3，＋∞)f (x )的单调减区间是(1,3)．19．(本小题满分12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O为坐标原点，若直线OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －1.则k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－x 222＋x 212x 2－x 1＝－x 1＋x 22由k OA ＋k OB ＝y 1x 1＋y 2x 2＝1. 即－x 212x 1＋－x 222x 2＝1.∴－x 12－x 22＝1， ∴k ＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝－x 22得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2＝0Δ＝4＋8>0符合题意，∴直线l 的方程为y ＝x －1.20．(本小题满分12分)某物理实验室做实验时，需要一个体积为32m 3，高为2 m 的长方体封闭纸盒，若用x (2≤x ≤a ，a 为常数)表示长方体底面的一边的长，S 表示长方体的侧面积．(1)试写出S 与x 间的函数关系式；(2)当x 取什么值时，做一个这样的长方体纸盒用纸最少？(纸的厚度忽略不计) 解析： (1)由题意知，该长方体的底面积为322＝16(m 2)，故它的底面另一边长为16x(m)，所以S (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋32x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (2≤x ≤a )．(2)要使用纸最少，即是使方长体的表面积最小，而底面积是16保持不变，从而就是求S的最小值，S ′＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－16x 2当a <4时，S ′<0，S (x )在[2，a ]上是减函数，故当x ＝a 时，S 有最小值S (a )＝4⎝⎛⎭⎪⎫a ＋16a .当a ≥4时，令S ′＝0，解得x 1＝4或x 2＝－4(舍去)．易得S (x )在[2,4]上是减函数，在[4，a ]上是增函数，故当x ＝4时，S 取得最小值S (4)＝32.综上所述，当a <4时，S 有最大值S (a )＝4⎝⎛⎭⎪⎫a ＋16a (m 2)，当a ≥4时，S 取最大值32(m 2)．21．(本小题满分12分)已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －m )2＝9(m ∈R )，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，当m ＝5时，求双曲线G 的方程．解析：椭圆D ：x 250＋y 225＝1的两焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则G 的渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25，当m ＝5时，圆心为(0,5)，半径为r ＝3. ∴|5a |a 2＋b 2＝3⇒a ＝3，b ＝4.∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1. 22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23x ＋12，h (x )＝x .(1)设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值；(2)设a ∈R ，解关于x 的方程lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32fx －1－34＝2lg h (a －x )－2lg h (4－x )．解析： (1)F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2＝－x 3＋12x ＋9(x ≥0)．所以F ′(x )＝－3x 2＋12.令F ′(x )＝0，得x ＝2(x ＝－2舍去)．当x ∈(0,2)时，F ′(x )>0；当x ∈(2，＋∞)时，F ′(x )<0. 故当x ∈[0,2)时，F (x )为增函数；当x ∈[2，＋∞)时，F (x )为减函数．x ＝2为F (x )的极大值点，且F (2)＝－8＋24＋9＝25.(2)原方程变为lg(x －1)＋2lg 4－x ＝2lg a －x ，⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >1，4－x >0，a －x >0，x －14－x ＝a －x .⇔⎩⎪⎨⎪⎧1<x <4，x <a ，a ＝－x －32＋5.①当1<a ≤4时，原方程有一解x ＝3－5－a ；②当4<a <5时，原方程有两解x 1＝3＋5－a 或x 2＝3－5－a ；③当a ＝5时，原方程有一解x ＝3； ④当a ≤1或a >5时，原方程无解．。

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第3章 3.1.4(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知A 、B 、C 、D 、E 是空间五点，若{AB →，AC →，AD →}、{AB →，AC →，A E →}均不能构成空间的一个基底，则在下列各结论中，正确的结论共有( )①{A B →，A D →，AE →}不构成空间的一个基底；②{AC →，A D →，A E →}不构成空间的一个基底；③{B C →，CD →，D E →}不构成空间的一个基底；④{A B →，C D →，E A →}构成空间的一个基底． A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个解析：由A B →、A C →、A D →与AB →、A C →、A E →均不能构成空间的一个基底可知A B →、A C →、A D →、A E →为共面向量，即A 、B 、C 、D 、E 五点共面，故①②③为真命题．答案： B 2．给出下列命题：①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；②若a ∥b ，则a ，b 与任一个向量都不能构成空间的一个基底；③A 、B 、C 、D 是空间四点，若B A →，BM →，B N →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 共面．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析： ①②③都是真命题．答案： D3．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ分别为( )A.52，－1，－12B.52，1，12 C ．－52，1，－12D.52，1，－12解析： d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3 又∵d ＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1α＋β－γ＝2α－β＋γ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.答案： A4.如图所示，已知平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，OA →＝a ，OC →＝c ，OO →′＝b ，D 是四边形OABC 的中心，则( )A.O ′D →＝－a ＋b ＋cB.O ′D →＝－b －12a －12cC.O ′D →＝12a －b －12cD.O ′D →＝12a －b ＋12c解析： O ′D →＝O ′O →＋OD →＝O ′O →＋12OB →＝O ′O →＋12(OA →＋OC →)＝12a －b ＋12c . 答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则从以下各向量a 、b 、c 、a ＋b 、a －b 、a ＋c 、a －c 、b ＋c 、b －c 中选出三个向量，有些可构成空间的基底，请你写出三个基底：____________.答案： ①{c ，a ＋b ，a －b } ②{b ，a ＋c ，a －c } ③{a ，b ＋c ，b －c }6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0(λ∈R )，则λ＝________.解析：如图，连结A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上，易知EF 綊12A 1D ，∴EF →＝12A 1D →，即E F →－12A 1D →＝0，∴λ＝－12.答案：－12三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设O A →＝a ，O C →＝b ，O P →＝c ，E 、F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：B F →、B E →、A E →、E F →.解析：连结BO ，则B F →＝12B P →＝12(B O →＋O P →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .B E →＝BC →＋C E →＝－a ＋12C P →＝－a ＋12(C O →＋O P →)＝－a －12b ＋12c .A E →＝A P →＋P E →＝A O →＋O P →＋12(P O →＋O C →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .E F →＝12C B →＝12O A →＝12a .8．已知正四面体ABCD 棱长为a ，试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标．解析：过A 作AG 垂直于平面BCD ，由于AB ＝AC ＝AD ，所以G 为△BCD 的中心，过G 作GF ∥CD ，E 为CD 的中点，以G 为原点，GA →，G E →，G F →分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为△BCD 的边长为a ，则BE ＝32a ，GE ＝36a ，又GF CE ＝23，所以GF ＝23×12a ＝13a ，又BG ＝33a ，所以AG ＝a 2－a 23＝63a ，所以A ⎝⎛⎭⎫0，0，63a ，B ⎝⎛⎭⎫0，－33a ，0，C ⎝⎛⎭⎫a 2，36a ，0， D ⎝⎛⎭⎫－a 2，36a ，0.尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面； (2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .解析： (1)证明：∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AA 1→＋⎝⎛⎭⎫AD →＋23AA 1→＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →， ∴A 、E 、C 1、F 四点共面．(2)∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13，∴x ＋y ＋z ＝13.。

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第1章 1.1.1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列语句中命题的个数是()①－5∈Z；②π不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④2是无理数．A．1B．2C．3 D．4解析：①②③④都是命题．答案： D2．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.答案： D3．设l、m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列结论正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：由线面平行、垂直的判定定理及性质定理知B正确．答案： B4．下列语句中假命题的个数是()①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？④3小于2；⑤矩形的对角线相等；⑥9的平方根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是自然数，也是偶数．A．2 B．3C．4 D．5解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题．答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ；②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数又是增函数；③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是________．解析： ①∠A ＞∠B ⇒a ＞b ⇒sin A ＞sin B ．②③易知正确．④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象．答案： ①②③6．命题“末位数字是0的整数能被5整除”．条件p 是____________________，结论q 是________________，是________命题．(填“真”或“假”)答案：一个整数的末位数字是0 这个整数能被5整除真三、解答题(每小题10分，共20分)7．指出下列命题的条件p 和结论q ：(1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数；(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数．(2)条件p ：一个函数的图象是一条直线，结论q ：这个函数为一次函数．8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．解析：命题p 是真命题，则x 2－2x －2≥1，∴x ≥3或x ≤－1，命题q 是假命题，则x ≤0或x ≥4.∴x ≥4或x ≤－1.尖子生题库☆☆☆9．(10分)(1)已知下列命题是真命题，ax 2＋bx ＋1＝0有解．求a 、b 满足的条件．(2)已知下列命题是假命题，若x 1<x 2<0，则a x 1>a x 2，求a 满足的条件．解析： (1)∵ax 2＋bx ＋1＝0有解．∴当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时，方程有解x ＝－1b. 当a ≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0.综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)∵命题当x 1<x 2<0时，a x 1>a x 2为假命题， ∴应有当x 1<x 2<0时，a x 1≤a x 2.即a (x 2－x 1)x 1x 2≤0. ∵x 1<x 2<0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∴a ≤0.。

高中数学 3.3.3课后练习同步导学新人教A版选修11

高中数学 3.3.3课后练习同步导学新人教A 版选修11(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )＝x 3－3x ＋3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，52时，函数f (x )的最小值是( )A.338B ．－5C ．1D.898解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.根据x 1，x 2列表，分析导函数的符号得到函数的单调性和极值点.x －32⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1 －1 (－1,1) 1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5252 f ′(x )＋0 －0 ＋f (x )338极大值5极小值1898答案： C2．函数f (x )＝13x 3－2x 2在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析： f ′(x )＝x 2－4x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4.f (－1)＝－73，f (0)＝0，f (4)＝－323，f (5)＝－253，∴函数最小值为－323，最大值为0.答案： B3．若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A ．－5B ．7C ．10D ．－19解析： f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9，令f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 当－2≤x ≤－1时，f ′(x )<0. ∴f (x )在[－2，－1]上是减函数．f (x )max ＝f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2，a ＝0. f (x )min ＝f (－1)＝1＋3－9＋0＝－5.答案： A4．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )解析：设φ(x )＝f (x )－g (x )，φ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0 ∴φ(x )在[a ，b ]上是减函数，φ(x )的最大值为φ(a )＝f (a )－g (a )．答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________．解析：因为x ∈(0,1]，f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝31－2xx 4.令g ′(x )＝0，得x ＝12.当0<x <12时，g ′(x )>0；当12<x ≤1时，g ′(x )<0. 所以g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，它也是最大值，所以a ≥4. 答案： [4，＋∞)6．设a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－3x 2，若函数g (x )＝f (x )＋f ′(x )，x ∈[0,2]在x ＝0处取得最大值，则a 的取值范围是________．解析： g (x )＝ax 3－3x 2＋3ax 2－6x ＝ax 2(x ＋3)－3x (x ＋2)．当g (x )在区间[0,2]上的最大值为g (0)时，g (0)≥g (2)，即0≥20a －24，得a ≤65.反之，当a ≤65时，对任意x ∈[0,2]，g (x )≤65x 2(x ＋3)－3x (x ＋2)＝3x5(2x 2＋x －10)＝3x5(2x ＋5)(x －2)≤0，而g (0)＝0，故g (x )在区间[0,2]上的最大值为g (0)．综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，65. 答案： ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，65三、解答题(每小题10分，共20分)7．若方程3x 4－4mx 3＋1＝0没有实数根，求实数m 的取值范围．解析：令f (x )＝3x 4－4mx 3＋1，则f ′(x )＝12x 3－12mx 2＝12x 2(x －m )．令f ′(x )>0，得x >m ；令f ′(x )<0，得x <m .所以y ＝f (x )在(－∞，m )上单调递减，在(m ，＋∞)上单调递增，即函数在x ＝m 处取得极小值，同时也是函数在定义域R 上的最小值，f (m )＝－m 4＋1.要使方程没有实数根，如图，应有f (m )＝－m 4＋1>0，解得－1<m <1.8．已知函数f (x )＝1＋ln x x ，若函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在最大值，求实数a 的取值范围．解析：因为f (x )＝1＋ln xx，x >0，所以f ′(x )＝－ln xx2.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.所以f (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．所以函数f (x )在x ＝1处取得极大值．因为函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在最大值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ＋12>1，解得12<a <1.尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞ln xx －1.解析： (1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x x ＋12－bx2.由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1，f ′1＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x －x 2－1x . 考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1x(x ＞0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－x 2－1x 2＝－x －12x2.所以当x ≠1时，h ′(x )＜0.而h (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h (x )＞0，可得11－x2h (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得11－x2h (x )＞0.从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－ln x x －1＞0，即f (x )＞ln xx －1.。

人教A版高中数学选修新课标同步导学课后练习(1)(2)

第1章 1.4.3(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．命题：对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0的否定是( )A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≥0C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0D ．对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析：由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0”．故选C.答案： C2．命题p ：∃m 0∈R ，使方程x 2＋m 0x ＋1＝0有实数根，则“綈p ”形式的命题是( ) A ．∃m 0∈R ，使得方程x 2＋m 0x ＋1＝0无实根 B ．对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 C ．对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根解析：由特称命题的否定可知，命题的否定为“对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根”．故选B.答案： B3．“∃x 0∉M ，p (x 0)”的否定是( ) A ．∀x ∈M ，綈p (x ) B ．∀x ∉M ，p (x ) C ．∀x ∉M ，綈p (x ) D ．∀x ∈M ，p (x )答案： C4．已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧¬q ”是假命题；③命题“¬p ∨q ”是真命题；④命题“¬p ∨¬q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析：当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题．由x 2－3x ＋2<0得1<x <2，∴命题q 为真命题． ∴p ∧q 为真，p ∧¬q 为假，¬p ∨q 为真，¬p ∨¬q 为假．答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题綈p：________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥0恒成立，所以命题p是假命题．答案：特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0真6．(1)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．(2)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．答案：(1)∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3(2)∀x∈R，x2＋2x＋5≠0三、解答题(每小题10分)7．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)所有正方形都是矩形；(2)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(3)∃θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数；(4)正数的对数都是正数．解析：(1)命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题．(2)命题的否定：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．(3)命题的否定：∀θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．(4)命题的否定：存在一个正数，它的对数不是正数，真命题．8．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．解析：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时只需m＞－4.(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4.∴m>4.尖子生题库☆☆☆9．(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．(1)∀a，b∈R，若a＝b，则a2＝ab；(2)若a·c＝b·c，则a＝b；(3)若b2＝ac，则a，b，c是等比数列．解析：(1)否命题：∀a，b∈R，若a≠b，则a2≠ab，假；命题的否定：∃a，b∈R，若a＝b，则a2≠ab，假；(2)否命题：若a·c≠b·c，则a≠b.真；命题的否定：∃a，b，c，若a·c＝b·c，则a≠b，真；(3)否命题：若b2≠ac，则a，b，c不是等比数列，真．命题的否定：∃a，b，c∈R，若b2＝ac，则a，b，c不是等比数列，真．。

人教A版高中数学选修新课标同步导学课后练习

第1章 1.2(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： |x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |. 故|x |＝|y |是x ＝y 的必要不充分条件．答案： B2．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝2k π＋π4时，tan x ＝1，而tan x ＝1得x ＝k π＋π4，所以“x ＝2k π＋π4”是“tan x ＝1”成立的充分不必要条件．故选A.答案： A3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析： ∵x ≥2且y ≥2， ∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成立，故x ≥2且y ≥2不是x 2＋y 2≥4的必要条件．答案： A4．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由题意得：故D 是A 的必要不充分条件答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．下列命题中是假命题的是________．(填序号) (1)x >2且y >3是x ＋y >5的充要条件 (2)A ∩B ≠∅是A B 的充分条件(3)b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的充要条件(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形解析： (1)因x >2且y >3⇒x ＋y >5， x ＋y >5⇒/ x >2且y >3，故x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件． (2)因A ∩B ≠∅⇒/ A B, A B ⇒A ∩B ≠∅. 故A ∩B ≠∅是A B 的必要不充分条件． (3)因b 2－4ac <0⇒/ ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ， ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ⇒a <0且b 2－4ac <0，故b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的既不必要也不充分条件． (4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形．答案： (1)(2)(3)6．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x x －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．解析： A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x x －1<0＝{x |0<x <1}．m ∈A ⇒m ∈B ，m ∈B ⇒/ m ∈A .∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．解析： q 是p 的必要不充分条件，则p ⇒q 但q ⇒/p .∵p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1.∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤12.∴满足条件的a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，12. 8．求证：0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件．证明：充分性：∵0<a <45，∴Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0，则ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立．而当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0可变成1>0.显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立．必要性：∵ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立，∴a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a (1－a )<0.解得0≤a <45.故0≤a ＜45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解析：先化简B ，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}， ①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥13a 2＋1≤3a ＋12a ≥2，解得1≤a ≤3.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a 2＋1≤22a ≥3a ＋1，解得a ＝－1.综上，所求a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．。

2022高中数学1.4.3课后练习同步导学新人教A版选修2-1

第 1 章本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！一、选择题每题5分，共 20分1．命题：对随意∈ R ， 3－ 2＋1≤0的否认是B ．存在 0∈R ，错误 ! －错误 ! ＋1≥0 A ．不存在 ∈ R ，错误 ! －错误 ! ＋1≤0 C ．存在 0∈R ，错误 ! －错误 ! ＋ 1>0 D ．对随意∈ R ， 3－ 2＋1>0分析：由全称命题的否认可知，命题的否认为“存在 0∈R ，错误 ! －错误 ! ＋1>0”．故选 C答案：C2．命题 0∈R ，使方程 22无实根＋ m ＋ 1＝ 0 有实数根，则“綈 ∈ R ，使得方程＋ m ＋1＝ 0 B ．对 ? m ∈R ，方程 2＋ m ＋ 1＝ 0 无实根C ．对 ? m ∈R ，方程 2＋ m ＋ 1＝ 0 有实根D ．至多有一个实数 m ，使得方程 2＋ m ＋ 1＝ 0 有实根分析：由特称命题的否认可知，命题的否认为“对 ? m ∈R ，方程 2＋m ＋ 1＝ 0 无实根”．故选 B答案：B3．“ ? 0? ，3”0”，使不等式＋＞ 0 关于随意∈ R 恒建立，并说明原因．Mm f2 若存在一个实数0，使不等式m － f ＞ 0 建立，务实数m 的取值范围．分析：1 不等式 m ＋f ＞ 0 可化为 m ＞－ f ，即 m ＞－ 2＋ 2－ 5＝－－ 12－ 4要使 m ＞－－ 12－ 4 关于随意∈ R 恒建立，只要 m ＞－ 4 即可．故存在实数 m ，使不等式 m ＋ f ＞0 关于随意∈ R 恒建立，此时只要 m ＞－ 42 若 m － f 0>0，∴m >f 0．∵ f 0＝错误 ! － 20＋5＝ 0－ 12＋4≥4 ∴m >4尖子生题库☆☆☆9．10 分写出以下各命题的否命题和命题的否认，并判断真假．1? a ， b ∈ R ，若 a ＝ b ，则 a 2＝ ab ；2若 a· c＝b· c，则 a＝ b；3若 b2＝ ac，则 a， b， c 是等比数列．2分析： 1 否命题： ? a，b∈ R，若a≠b，则a≠ab，假；2命题的否认： ? a，b∈ R，若a＝b，则a≠ab，假；2 否命题：若a· c≠ b· c，则 a≠ b 真；命题的否认： ? a，b，c，若a·c＝b·c，则a≠b，真；3否命题：若 b2≠ ac，则 a， b，c 不是等比数列，真．命题的否认： ? a，b，c∈ R，若b2＝ac，则a，b，c不是等比数列，真．。