中外数学史第3章

460（2×230）×5=2300，5×5=25。
分数开方：
b ab a a
开带从平方：勾股章第20题
x 2 34 x 71000
二、《九章算术》的开立方法
开立方公式：
(a b)3 a 3 3a 2b 3ab2 b 3 (a b c) 2 (a b)3 3(a b) 2 c 3(a b)c 2 c 3
三、不定（方程）问题——五家共井
五家井问题：我国古代数学巨著《九章算数》卷第八第13题为 “五家共井，家二绠（汲水用的井绳）不足，如（接上）乙一绠；乙 三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠； 戊六绠不足，如甲一绠，皆及。 问井深、绠长几何。 答日：井深七丈二尺一寸，甲绠长二丈六尺五寸，乙绠长一丈九尺
一、对“方程”模型及其解之构造
“方程”的本意是“并而程 之”，即把诸物之间的各数量 关系并列起来，考核其度量标 准。刘徽认为：“方程”为按 照一定的规程进行试验考核而 得到的数字模式。每做一次抽 样试验就叫“程”，将结果记 录在筹算板上，排成由上到下 的数码竖行，有几物便有几行。
二、对“方程”的程序设计——《九章算术》的“遍乘直除”程序
二、约分与最大公约数算法程序
中国古算约分术（更相减损求等法） 可半者半之，（若分子、分母都是偶数，可先取其半）不可半者， 副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数减之。
a bq1 r1 (0 r1 b) b r1q2 r2 r1 r2 q3 r3 rn 2 rn 1qn rn rn 1 rn qn 1 (0 r2 r1 ) (0 r3 r2 )
Βιβλιοθήκη Baidu0 5 1
3 2 1
26 34 39 0 0 4 0 4 0 12 0 0 0 0 4
26 24 39 0 4 0 4 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0
39 24 39
11 17 111
11 17 37
11 17 37 4 4 4
”遍乘直除“就是用一个方程某项系数乘以第二个方程所有的项（遍乘），再从 变换后的方程各项反复减去第一个方程的相应项，直至该未知数的系数化为0为 止。
a bq1 r1 b r1q2 r2 r1 r2 q3 r3
(0 rn rn 1 ) rn 2 rn 1qn rn rn 1 rn (qn 1 1) rn
[49,91] [49,42] [7,42] [7,35] [7,28] [7,7]
四、《九章算术》的历史地位及其影响
1.在中国数学史上的地位和影响 （1）为中国古代数学著作提供了数学著作的范例和样板；
（2）建立了中国古代数学的基本框架；
（3）奠定了中国古代数学教育体系的基础； 2.在世界数学史上的地位 （1）决定了世界数学研究重心由地中海沿岸的希腊地区转换到了太平洋沿 岸的华夏大地。 （2）标着着数学研究的对象和成果形态的重要转变，即由以空间形式的性 质为主，以几何学研究重心，以严密的公理化体系为理论系统的数学向以数量 关系为研究对象，以计算为中心，以术文统帅应用问题为体例的数学转换。
九章算术刻本
张苍
阳武(今河南省原阳县)人，他生于战国末年(公元前256年)，死 于汉景帝五年(公元前152年)，战国末期曾在荀子的门下学习，与李 斯、韩非等人是同门师兄弟。在秦朝时曾经当过御史。刘邦起义，他 归顺了刘邦，西汉王朝建立之后，他先后担任过代相、赵相等官职。 因为他帮助刘邦清除燕王臧荼叛乱有功，被汉高祖晋封为北平侯，以 后又迁升为计相、主计。 汉文帝时陈平去世后接任丞相一职，汉文 帝后元元年因政见不同而自动引退。主要门生为是洛阳人贾谊。 张苍这个人非常博学，很有学问。他在历法、算学方面取得了很 大的成就。 一、他提出和制订了一套比较完整的关于度、量、衡方面的理论， 他把算学研究成果直接用于国计民生。 二、在采用历法方面，张苍提倡采用《颛顼历》。 三、增订、删补《九章算术》。
三、通分和最小公倍数算法程序
少广章第7题：
1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 840 420 180 210 168 140 120 105 2283 840 840 1
少广章推演的算法程序： 全步 1 1. 置全步及分、母子； 1 2 2. 以最下分母遍乘诸分 8 8 子及全步； 2 3. 各以其母除其子； 8 4 4. 又以分母遍乘诸分子 及已通者； 56 28 5. 皆通而同之。
168 84
最下
1 3 8 3 8 3 56 3 56 1 4 8 4 2 14 42 210 1 5 8 5 8 5 56 5 168 5 168 1 6 8 6 8 6 56 6 28 140 1 7 8 7 8 7 8 24 1 8 1 1 7 21
最小公分母 8×7×3×5=840
840 420 280
长等； 第五章“商功”： （28问）土石工程、体积计算； 第六章“均输”： （28问）合理摊派赋税； 第七章“盈不足”： （20问）即双设法问题； 第八章“方程”： （28问）一次方程组问题； 第九章“勾股”： （24问）利用勾股定理求解的各种问题。
三、《九章算术》的主要数学成就
《九章算术》中的数学成就是多方面的：
“方程‘章第一 问： 3 x 2 y z 39
2 x 3 y z 34 x 2 y 3 z 26
1 2 3
2 3 1
3 2 1 3( 2(1) )2
1 2 3
0 5 1
3 2 1 3( 3 ) ) (1
0 4 8
耿寿昌
西汉理财家，历算家。宣帝时任大司农中丞，在 西北设置“常平仓”，用来抑制粮价的上涨。白令边 郡皆筑仓，以谷贱时增其价而籴，以利农谷，贵时减 其价而粜，以赡贫民，名曰常平仓。后来被封为关内 侯。精通数学，修订《九章算术》，又铸造浑天仪观 天象，著有《月行帛图》等，现不存。
“九数”是指“数”学这门功课有九个细目。关于“九数” 的细目，东汉的郑玄在他的《周礼注疏· 地官司徒· 保氏》中引郑司 农（郑众）所言：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、 方程、赢不足、旁要；今有重差、夕桀、勾股也。” ；刘把“差 分”改为“衰（cui）分” ，用“勾股代替了“旁要”。
(a b c) 2 (a b) 2 2(a b)c c 2
少广章第12题：今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？ 百位数字：55225－40000（200的平方）=15225； 十位数字：400（2×200）×30=12000； 个位数字：55225－52900（230的平方）=2325，
生面的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位。 2.从分数算法的出现，到盈不足的问世，我国古代 数学家在寻求数学应用问题的普遍解法的道路上，经过 了长期的探索而卓有建树，中算理论在数学问题模式化 与解法程序化方面不断进入更高的水平，充分现实出古 代传统数学构造线与机械化的特色。
第四节 对“方程”模型及其解的构造
中外数学史
聊城大学数学科学学院 房元霞 2013.09
第三章 《九章算术》及其突出成就
第一节 《九章算术》简介 一、成书 《九章算术》是中国最 重要的数学经典，是算经十 书中最重要的一种。该书内 容十分丰富，系统总结了战 国、秦、汉时期的数学成就。 由九数发展而来，因秦朝焚 书而散坏，西汉张苍、耿寿 昌收集秦火遗残，加以整理 删补，便成《九章算术》。
第二节
中国古代分数算法
一、《九章算术》中的分数四则运算 《九章》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算、 通分、约分、化带分数为假分数等，步骤与现代大体相同。 1.分数加法法则——合分术；2.分数减法法则——减分术； 3.分数乘法法则——乘分术；4.分数除法发展——经分术；
此外，还提出了比较分数大小的方法——课分术以及求分 数平均值的方法——平分术。
a b ab 约实 2 1 1 2 a1 a2 以少减多 [a2 a1 ] a1 a2 约法 b1 b2 a1 a2 设人数为x，物价为y，则
物价
人数
a1 x y b1 y a2 x b2
对盈不足术的评价 1.盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开
例如：1.今有田广十五步，从十六步。问为亩几何。
答曰：一亩。 2.今有田广十二步，从十四步。问为亩几何。
答曰：一百六十步。
方田术曰：广从相乘得积步。以亩法二百四十步除之， 即亩数。百亩为一顷。
2.《九章》各章的主要内容
《九章算术》的九章的主要内容分别是： 第一章“方田”：（38问）田亩面积计算； 第二章“粟米”：（46问）谷物粮食的按比例折换； 第三章“衰分”：（20问）比例分配问题； 第四章“少广”： （24问）已知面积、体积、求其一边长和 径
1.在算术方面的主要成就，建立了世界上最系统的分数理论，包括分数 的四则运算及比较分数的大小，求整数的最大公约数和最小公倍数算法、从 最简单的比例问题到“盈不足”算法以及”方程术“都体现了中国以率作为” 算法之纲纪“的特点。 2.在几何方面，主要是提出了各种平面图形的面积、多面体体积的计算 公式，给出了重要的”以盈补虚“的方法和勾股理论的应用。 3.在代数方面，主要有线性方程组的解法、不定方程及解、开平方、开 立方、一般二次方程解法等。“方程”一章还在世界数学史上首次引入了负 数及其加减法运算法则。作为一部世界科学名著，《九章算术》在隋唐时期 就已传入朝朝鲜、日本。现在它已被译成日、俄、德、英、法等多种文字。
一寸，丙绠长一丈四尺八寸，丁绠长一丈三尺九寸，戊绠长七尺六寸。”
2 x y w 3y z w 4z u w 5u v w x 6v w
第五节《九章算术》的开方算法
一、《九章算术》的开平方算法 开方公式： (a b) 2 a 2 2ab b 2
少广章第19题：又有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？ 百位数字：1860867－1000000（100的立方）=860867； 十位数字：860867－30000（3×100的平方）×20=260867； 260867－3×100×400－8000=132867； 个位数字：132867－3×14400（120的平方）×3=12900， 3267－3×120×9－27=0。
合分术：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。
a c ad bc b d bd
a c ad bc b d bd
减分术：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。
乘分术：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。
a c ac b d bd
经分术：以人数为法，钱数为实，实如法而一。 有三人三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三，问人得几何？ 答曰：人得二钱八分钱之一
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第三节 中国古代盈不足算法及方法论意义
第三节 中国古代盈不足算法及方法论意义
今有共买物，人出钱a1，盈b1,；人出钱a2，不足b2，问人数、物价各几何？ 每人应出钱数：
a2 a1 维乘 a2b1 置所出率盈、不足 b2 b1 b1 a1b2 相秉 a2b1 a1b2 a b ab 2 1 1 2 b2 b1 b2 b1 b2
《九章算术》确定了中国古代数学的框架、形式、 风格和思想方法的特点。全书共分九章，有246道例 题及其解法，采取算法统帅应用题的形式，包括丰富 的算术、代数和几何知识。
二、《九章算术》的结构、内容和体例
1. 结构 《九章算术》是以计算为中心以解决实际问题为目的的 算法体系，在结构上总体课分为：“问”、“答”、“术”。 如果几个相连的题的解法完全相同，就把“术”改在这类题 的最后一题的“答”之后，作为一般性的算法。