正项级数敛散性的判断及其应用

正项级数敛散性的判断及其应用

摘要

级数是高等数学教学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分,敛散性问题级数理论的一个基本问题，判别正项级数敛散性的方法很多.本文总结了正项级数的各种敛散性判别法,主要有比较判别法及其推广、积分判别法及其推广、导数判别法和一般项级数敛散性判别法;简单介绍了它们强弱性关系,给出了典型例题验证上述判别法的有效性.

关键词

正项级数；判别法；敛散性

The Convergence Tests and Application

for Series of Positive Terms

!

Abstract

Higher Mathematics series is an important part of teaching, The series of positive terms is an important series Part, Positive identification of Convergence and Divergence of many paper has summarized a variety of convergence judge methods for positive terms series, including comparison principle and its extension, integrated judge method and its extension, derivate judge method and judge methods of general series, some famous tests such as Cauchy Test, D’Alembert Test, Kummer Test and Gauss Test come from Comparison principle; given a brief introduction of their week and strong relationship of convergence, set examples for identifying the effectiveness of these judge methods.

Key words

positive terms series; judge methods; convergence

1 前言

历史上，人们曾把无穷个实数相加12n u u u +++

看成无穷个数

的和.恰如有限个数的和一样，这在直观上容易被人接受.在《庄子·天下篇》中提到“一尺之捶，日取半截，万世不竭”，把每天截下的那一部分的长度加起来：

23111

1

222

2

n ++++，

从直观上看，它的和是1，但是下面“无限个实数相加”

111111-+-+-

的和是多少

如果写成

()(11)11(11)

00-+-+-=++

其结果是0.

如果写成

1(11)(11)(11)

100------=---

其结果是1.

两个结果完全不同.因此提出这样的问题：“无限个数相加”是否存在“和”如果存在,“和”是多少

十七八世纪的一些著名的数学家曾对此感到迷惑，并有许多争论，并给出了这个级数“和”的不同结果.例如莱布尼兹认为这个“和”是0到1之间的一个数.他论证说，这个级数前n 项和形成一个数列

12341,0,1,0,

S S S S ====，其中0和1出现的机会相同，因此取它的平

均数

011

22

+=为这个级数的和.这一说法得到了著名数学家伯努利(Bernouli)兄弟的首肯.有人做过如下论证：既然111111-+-+-是

一个数，记为S ，由于11(1111)1111S S -=--+-+=-+-+

=，即为

1S S -=，得1

2

S =

.大数学家欧拉(Euler)也主张用等比公式：23111q q q q ++++

=

-，把1q =-代入得到111+112

=--+，他用同样的

讨论得到其他的一些结果.例如把2q =-代入得1

12483

=-+-+，而这

些结果现在看起来都是荒谬的.

后来人们认识到“无穷多个数相加”，这是一个根本无法操作的过程，人们不知道怎样把无穷多个数相加.经过很长一段时间，数学家柯西(Cauchy)给出了无穷级数的严格定义，之后级数理论得到了充分地发展.

无穷级数是表示函数、研究函数和数值计算的重要工具，我国古代数学家刘徵创立的“割圆术”对圆面积的近似计算已具有了初步的无穷级数的概念，无穷级数在自然科学与工程技术中具有广泛的应用.级数是否存在和，即为判断级数是否收敛的问题.级数的收敛性是级数首要的重要性质.因此对于一个给定的级数，首先应判断它是否收敛.

若数项级数各项符号都相同称为同号级数.对于同号级数，只须研究各项是正数组成的级数---正项级数.定义在区间I 的函数项级数()1n n u x ∞

=∑，当在I 内任意取定一点0x 时, 便得到一个数项级数.自然,

对函数项级数的研究极大地依赖于对数项级数的研究，而正项级数是数项级数中最基础的级数，研究数项级数的性质如绝对收敛、条件收敛，需要用到正项级数敛散性判别法，在函数项级数如幂级数收敛半

径求解，函数项级数一致收敛Weierstrass 判别法(M 判别法或优级数判别法)中也用到了正项级数敛散性. 1 正项级数的定义和收敛的充要条件

正项级数的定义

如果级数1n n u ∞

=∑中各项均有0n u ≥,这种级数称为正项级数.

正项级数收敛的充要条件

如果级数1n n u ∞

=∑中，部分和数列{}n S 有界，即存在某正数M ，对0,n ∀>有

{}n S M <.

2 比较判别法及其推广

比较判别法【 1】

设n u ∑和n v ∑是两个正项级数，如果存在某个正数N ，对一切n>N 都有n u

n v ≤，那么

(1) 若级数n v ∑收敛，则级数n u ∑也收敛； (2) 若级数n u ∑发散，则级数n v ∑也发散.

推论：比较判别法的极限形式：

设n u ∑和n v ∑是两个正项级数.若lim

n

n n

u l v →∞=，则 （1）当0l <<+∞时，n u ∑和n v ∑同时收敛或同时发散； （2）当0l =时，若级数n v ∑收敛，则级数n u ∑也收敛； （3）当l =+∞，若级数n v ∑发散，则级数n u ∑也发散.