6.1(4)(5)正弦函数和余弦函数的图像和性质
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5. y sin x sin x ，x R 3 2
二、新课讲解
2 sin x 1 例1.求函数 y 的值域 . 2 sin x 1 y 1 解 : sin x 2y 2
y 1 由 1 sin x 1 1 2y 2
例3 、 矩形ABCD的四个顶点分别在矩形 A' B' C ' D'的 四条边上， AB a, BC b，若AB与A' B'的夹角 为 , 则当为何值时矩形 A' B' C ' D'的周长最大？
解：由题意可知： Rt ABB '中，AB' a cos Rt ADA'中，AA' a sin
cos x 求函数 y 的值域 . cos x 2
二、新课讲解
例2.求下列函数的值域 . 2
1y sin x, x
3
,
“图像法”
3
2y sin x cos x, x 0,
已知函数 （Ⅱ）求
（Ⅰ）求 f x 的最小正周期；
三、课堂小结
今天这节课你学到了什么？
1、求三角函数的最值或值域．
(1)将函数化为y=Asin(ωx+ψ)+B 的形式； 方法：利用三角恒等式将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B 或y=Acos(ωx+φ)+B的形式即可求出函数的最值 或值域，尤其较多利用辅助角公式和降次公式． (2)换元法，转化为给定闭区间求二次函数的最值问题； (3)给定角的范围求三角函数的最值．
定义域 值 域 最大值 最小值
y sin x xR
y [1， 1]
y cos x
xR
y [1 ， 1]
ymax 1 ymin 1
2 3
2
ymax 1
ymin 1
x ?，ymax x 2k
x ?，ymin x 2k
，k Z
ห้องสมุดไป่ตู้
11 解：y sin( 2 x ) 6 2
13 所求值域为[5， ]． 2
2 x 7 0 x 6 6 6 2 1 sin( 2 x ) 1 2 6 11 13 5 sin( 2 x ) 6 2 2
，k Z
x 2k，k Z
x 2k ，k Z
一、值域和最大(小)值
求下列函数的最值 , 值域.
1. y sin x cos x, x R 2. y sin x 2 2 cos x, x R 3. y cos2x cos x, x R 4. y cos2 x 3 sin x cos x, x R
1 3 y 10 y 3 0 y 3或y 3 y 1 y 1 1 1 y 3或y 所求值域为(， ] [3， )． 3 3
2
y 1 2 y 2 y2 2 y 1 4 y2 8y 4 y 1 2 y 2 0
2 2a ex3、求使 3 cos x sin x 有意义的实数 a 1 a 的取值范围．
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@qq.com
第六章 三角比
一、值域和最大(小)值
f x 在区间 , 上的最大值和最小值.
6 3
3 3 f x 2 sin x sin x 2 2
.
求函数y 5 sin 2 x 3 sin x cos x 6 cos2 x， x [0， ]的值域． 2
A' a cos b sin
a sin b cos 2(a b)(cos sin ) 2 2 (a b) sin( ) D A D' 3 4 (0， ) a 2 由 B' 4 4 4 b C B 2 sin( ) 1 2 4 C' 当 ，即 时 矩形A' B' C ' D'的周长最大 4 2 4
练习: 在上面的问题中 , 能否求矩形ABC D 面积的最大值? 试试看.
A'
A D
A' B' a cos b sin
B' C' a sin b cos
B'
a
B
D'
b
C'
C
在一个半径为r的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形 ABCD，如何截取？并求这个最大矩形的面积.
2、利用三角函数解决实际问题中的最值问题， 注意定义域．
ex1、求下列函数的最值．
(1) y sin x cos x (3) y sin x cos2 x
2 2
(2) y 3 sin x cos x 2 (4) y cos x sin 2 x
ex2、已知函数y a b cos x的最大值为 1，最小值 为 7．求y b a sin x的最大值．
B'
A
A'
D
a
B
D'
b
C'
A' B' a cos b sin
同理可得：B' C ' a sin b cos
C
矩形A' B' C ' D'的周长为
l 2( A' B' B' C ' ) 2[( a cos b sin ) (b cos a sin )] 2[a(cos sin ) b(cos sin )]
二、新课讲解
2 sin x 1 例1.求函数 y 的值域 . 2 sin x 1 y 1 解 : sin x 2y 2
y 1 由 1 sin x 1 1 2y 2
例3 、 矩形ABCD的四个顶点分别在矩形 A' B' C ' D'的 四条边上， AB a, BC b，若AB与A' B'的夹角 为 , 则当为何值时矩形 A' B' C ' D'的周长最大？
解：由题意可知： Rt ABB '中，AB' a cos Rt ADA'中，AA' a sin
cos x 求函数 y 的值域 . cos x 2
二、新课讲解
例2.求下列函数的值域 . 2
1y sin x, x
3
,
“图像法”
3
2y sin x cos x, x 0,
已知函数 （Ⅱ）求
（Ⅰ）求 f x 的最小正周期；
三、课堂小结
今天这节课你学到了什么？
1、求三角函数的最值或值域．
(1)将函数化为y=Asin(ωx+ψ)+B 的形式； 方法：利用三角恒等式将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B 或y=Acos(ωx+φ)+B的形式即可求出函数的最值 或值域，尤其较多利用辅助角公式和降次公式． (2)换元法，转化为给定闭区间求二次函数的最值问题； (3)给定角的范围求三角函数的最值．
定义域 值 域 最大值 最小值
y sin x xR
y [1， 1]
y cos x
xR
y [1 ， 1]
ymax 1 ymin 1
2 3
2
ymax 1
ymin 1
x ?，ymax x 2k
x ?，ymin x 2k
，k Z
ห้องสมุดไป่ตู้
11 解：y sin( 2 x ) 6 2
13 所求值域为[5， ]． 2
2 x 7 0 x 6 6 6 2 1 sin( 2 x ) 1 2 6 11 13 5 sin( 2 x ) 6 2 2
，k Z
x 2k，k Z
x 2k ，k Z
一、值域和最大(小)值
求下列函数的最值 , 值域.
1. y sin x cos x, x R 2. y sin x 2 2 cos x, x R 3. y cos2x cos x, x R 4. y cos2 x 3 sin x cos x, x R
1 3 y 10 y 3 0 y 3或y 3 y 1 y 1 1 1 y 3或y 所求值域为(， ] [3， )． 3 3
2
y 1 2 y 2 y2 2 y 1 4 y2 8y 4 y 1 2 y 2 0
2 2a ex3、求使 3 cos x sin x 有意义的实数 a 1 a 的取值范围．
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@qq.com
第六章 三角比
一、值域和最大(小)值
f x 在区间 , 上的最大值和最小值.
6 3
3 3 f x 2 sin x sin x 2 2
.
求函数y 5 sin 2 x 3 sin x cos x 6 cos2 x， x [0， ]的值域． 2
A' a cos b sin
a sin b cos 2(a b)(cos sin ) 2 2 (a b) sin( ) D A D' 3 4 (0， ) a 2 由 B' 4 4 4 b C B 2 sin( ) 1 2 4 C' 当 ，即 时 矩形A' B' C ' D'的周长最大 4 2 4
练习: 在上面的问题中 , 能否求矩形ABC D 面积的最大值? 试试看.
A'
A D
A' B' a cos b sin
B' C' a sin b cos
B'
a
B
D'
b
C'
C
在一个半径为r的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形 ABCD，如何截取？并求这个最大矩形的面积.
2、利用三角函数解决实际问题中的最值问题， 注意定义域．
ex1、求下列函数的最值．
(1) y sin x cos x (3) y sin x cos2 x
2 2
(2) y 3 sin x cos x 2 (4) y cos x sin 2 x
ex2、已知函数y a b cos x的最大值为 1，最小值 为 7．求y b a sin x的最大值．
B'
A
A'
D
a
B
D'
b
C'
A' B' a cos b sin
同理可得：B' C ' a sin b cos
C
矩形A' B' C ' D'的周长为
l 2( A' B' B' C ' ) 2[( a cos b sin ) (b cos a sin )] 2[a(cos sin ) b(cos sin )]