格式求解非线性对流扩散方程的精度

KLA<M N*0.E2+()，KLA<M O0(EP*0，NQ’ K/.E80.
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近似边界条件下， 求局部单元上的精确解， 从而构 成整体的线性代数方程组求解! 文献 ［&］ 曾对一阶守恒型迎风格式用于一维 对流方程计算的精度问题进行过讨论! 发现用于 计算一维线性纯对流方程时， 其计算结果的精度不 够理想， 但当用于计算非线性对流方程时却是可以 获得较高精度的， 由此说明， 人们对迎风格式需有 更新的认识! 本文拟在文献 ［&］ 的基础上， 进一步 检验该格式用于求解一维线性对流扩散方程和一 维非线性对流扩散方程的适用性! 由于数值计算 稳定性分析不能用于非线性方程， 本文将结合实际 算例， 将计算结果与理论解进行比较， 来检验该格 式的计算精度!
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长 " 0 " ! "’ 3， 空间步长 ( 0 " ! ’ 1， * 0 " ! ’$ 3， 计算 万方数据 结果与理论解如图 ’ （ 7） 所示!
法也很相似， 所以在复杂的 8 4 < 方程的数值求解 中， 该方程是一个很好的模型方程， 且在某些初边
! 第" 期
关键词： 迎风差分格式；对流扩散方程；I/,)+,7 方程；计算水动力学 中图分类号： J: &!&; GH H H 文献标识码： A
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张小峰等： 一阶迎风差分格式求解非线性对流扩散方程的精度
2
值条件下存在理论解， 对检验数值格式的精度有重 要意义! 当 " # $ 时， 采用守恒型迎风差分格式对式 （%） 进行离散， 得
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［ *］ 算例 !" 非线性对流扩散方程初边值问题
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其中： "， ! 为常数， ! ) " ! 定解问题的精确解为 （ # +， *） ) + ’ + % "* ’ +" % + ’ "* ’ +,- ’ % +,（.） ! ! ! ! ! !* !* ! + ’*! 式中， 误差函数 +,（ +） ) + /*! !" ! 计算时 参 数 取 ! 0 " ! "’ 1! 2 3， " 0 $" 1 2 3，
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［ &］ 拉— — —拉格朗日型方法 ， 半隐式指数型差分格 ［ $］ ［ !， G］ 式 ， 交替分组显示方法 ， 特征型 M0,1+,]*( 方
收稿日期： $%%$ ? && ? &$ 作者简介： 张小峰 （ &@"$ ? ） ， 男， 浙江嵊州人， 教授， 主要从事水力学及河流动力学研究; 万方数据 基金项目： 中国欧盟国际合作研究 A<BAC 项目资助和国家自然科学基金项目资助 （ #%$D@%!# ） ;
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’( 求解线性对流扩散方程的精度
当 "， 采用迎风差分格式 ! 为常数且 " ) " 时， 对式 （’） 进行离散， 得
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图 !" 算例 $ 数值计算结果及与精确解的比较
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武汉大学学报 （ 工学版）
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［ $］ 法 等! 最近还有李炜提出的混合有限分限分析
解法
［ %］
， 它是在局部单元线性化微分方程和插值
其中： ( 分别为差分网格的时间步长和空间步长! "， 为检验迎风格式求解线性对流扩散方程的计 算精度， 下面给出了 ! 个有代表性的具体算例!
［ %］ 算例 !" 方波问题 ， 其控制方程和定解条件
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!( 求解非线性对流扩散方程的精度
一维非线性对流扩散方程：
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第 !" 卷 第 # 期 $%%! 年 &% 月
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文章编号： &"D&EFFGG （ $%%! ） %#E%%&E%G
一阶迎风差分格式求解非线性对流 扩散方程的精度
张小峰，张艳霞，谢作涛
（ 武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室， 湖北 武汉H G!%%D$ ）
摘要： 采用一阶迎风格式分别对一维线性对流扩散方程和非线性对流扩散方程进行了求解， 检验了一阶迎风格
式用于求解一维线性对流扩散方程和一维非线性对流扩散方程的适用性; 多个计算算例的结果表明： 一阶迎风 差分格式用于求解线性对流扩散方程的结果不甚理想， 但用于求解非线性对流扩散方程时能获得相当精度; 工 程计算中， 该格式可用于求解水流运动方程， 但不宜用于求解被水流输移的物质对流扩散方程;
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武汉大学学报 （ 工学Biblioteka Baidu）
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图 !" 算例 # 数值计算结果及与精确解的比较
［ !］ $ $ 算例 $" 非线性对流扩散方程初边值问题
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其中雷诺数 +, # $ ! 计算时选取 ’ 组参数： &） +, , &$ ，! , $ ! $& -， ’ , $ ! $" .， ) , $ ! +’ -； ’） +, , &$$ ，! , $ ! $$& -， ’ , $ ! $& .， ) , $ ! +’ -! 计算结果与精确解如图 ’ 所示!
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图 !" 迎风格式求解线性对流扩散问题的数值计算结果及与精确解比较
( ( 算例 # "
［ %］ 瞬时波问题 ， 考虑某一时刻原点
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从图 ’ 可见， 迎风格式由于明显的数值效应， 计算结果与理论解符合较差， 不能重现实际的物理 过程!
周围的一个以 +
分布的污染源， 在强对流作用下
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它的对流扩散由下列定解问题决定： !# !# !# %" ) ! !， * , " ，’ * - + - * !* !+ !+ ，’ * - + - * （$） 其中： "， ! 为常数， ! ) " ! 定解问题的精确解为
! ! 以下给出了 ) 个非线性对流扩散方程存在理 论解的算例， 用以检验该格式求解非线性对流扩散 方程的计算精度!
图 #" 算例 ! 数值计算结果及与精确解的比较
［ *］ ! ! 算例 $" 非线性对流扩散方程初边值问题
! ! 当时间充分长时， 解趋向于定常解 " （ *） ( /& /0 （ /’ & 其中： /& ， /’ 为独立的任意常数! 计算时选取 ’ 组参数： !+, , &$，! , $! $$$ ’-， /& +, *） ’ （ && ）