格式求解非线性对流扩散方程的精度
非线性对流扩散方程的特征有限元法及其误差分析的开题报告
非线性对流扩散方程的特征有限元法及其误差分析的开题报告一、研究背景和意义对于非线性对流扩散方程，其解析解很难得到且常常不存在，因此通过数值方法求解是很有必要的。
目前可用的数值方法有很多种，其中特征有限元法是一种广泛应用的方法，其具有较高的准确性和适应性。
研究特征有限元法及其误差分析对深入理解非线性对流扩散方程的数值求解方法具有重要的意义。
二、研究内容和方法本研究将从以下两个方面进行探讨：1. 特征有限元法的理论框架及算法。
特征有限元法是一种基于特征变量构造数值解的方法，其基本思想是通过引入特征变量的方式消除因对流项带来的数值稳定性问题，在此基础上对扩散项进行有限元离散。
本研究将深入探究特征有限元法的具体实现方法和数值实现过程。
2. 特征有限元法误差分析。
误差分析是评价数值方法准确性的一种重要手段，可以通过分析离散误差、截断误差和舍入误差等来评估数值解的精确程度。
在本研究中，我们将对特征有限元法的误差来源及其分析方法进行深入研究，为进一步提高该方法的准确性提供理论支持。
三、研究目标和预期结果本研究的主要目标是深入理解非线性对流扩散方程的数值求解方法，研究特征有限元法及其误差分析方法，并在此基础上提出相应的改进措施，以进一步提高特征有限元法的求解精度和效率。
预期结果包括理论框架的建立、相关算法的开发和实现、误差分析的系统性研究和改进方向的探索。
四、研究难点和挑战特征有限元法在非线性对流扩散方程的数值求解中具有广泛的应用，并且其理论框架已经比较成熟，已有许多研究成果。
但是，在实际应用时，特征有限元法也存在着一些困难和挑战。
例如，在大规模问题上，计算量和存储量的增加会导致数值解的精度降低，对误差分析和改进方法的要求也更高。
因此，解决这些难点是本研究面临的最大挑战。
五、研究进展和计划安排目前，本研究已完成了部分文献调研和相关算法的初步了解，正在进行特征有限元法的实现和验证。
未来的计划安排包括进一步完善算法实现、开展误差分析工作并探索改进方案、编写研究报告等。
非线性对流扩散方程论文：非线性对流扩散方程 特征有限元法 误差估计
非线性对流扩散方程论文：非线性对流扩散方程的特征有限元法及其误差分析【中文摘要】对流扩散方程是一类基本的运动方程,它可描述质量、热量的运输问题以及反映扩散过程等众多物理现象,所以,寻找稳定快速的数值方法有着重要的理论和实际意义。
本文针对此类非线性对流扩散方程,构造了一种隐式特征有限元格式,并研究了此方程的收敛性。
当方程的非线性项b=b(x,t,u,▽u),f=f(x,t,u,▽u)时,我们得到了L2(Q)模次优、H1(Q)模最优的误差估计；而当方程的非线性项b=b(x,t,u), f=f(x,t,u)时, L2(Ω)模和H1(Ω)模都得到了最优的误差估计。
【英文摘要】Convection diffusion equation is a kind of basic equation of motion, it can describe the quality、the heat transport problems、reaction-diffusion process and many other physical phenomena. Therefore, it is very meaningful both in theoretical and practical points to find a steady and rapid numerical method to solve these kind of equations.In this paper, an implicit characteristic finite element scheme is constructed to solve such nonlinear diffusion equation and the convergence of the scheme is studied. Fo...【关键词】非线性对流扩散方程特征有限元法误差估计【英文关键词】Nonlinear convection diffusion equationCharacteristic finite element method Error estimate【索购全文】联系Q1：138113721 Q2：139938848 同时提供论文写作一对一辅导和论文发表服务.保过包发【目录】非线性对流扩散方程的特征有限元法及其误差分析摘要5-6ABSTRACT6引言8-10第一章非线性对流扩散方程的特征有限元法和L~2(Ω)模估计10-19§1.1预备知识10-12§1.2 特征有限元格式12-13§1.3L~2(Ω)模误差估计13-19第二章非线性对流扩散方程的特征有限元法和H~1(Ω)模估计19-23§2.1 特征有限元格式19-20§2.2 H~1(Ω)模误差估计20-23参考文献23-26致谢26。
求解空间分数阶扩散方程和对流扩散方程的有限差分格式研究
求解空间分数阶扩散方程和对流扩散方程的有限差分格式研究1 空间分数阶扩散方程有限差分格式研究空间分数阶扩散方程是一类非线性偏微分方程，广泛应用于化学、生物、地理、物理等领域的模拟和研究中。
由于其阶数为分数阶，因此其求解方法与常规的整数阶偏微分方程有所不同。
##1.1 基本方程及边值条件空间分数阶扩散方程基本形式为：$$\frac{\partial^{\alpha}u}{\partial t^{\alpha}}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$ 其中，$0<\alpha<1$为分数阶，$D$为扩散系数，$u(x,t)$为扩散物体在空间$x$和时间$t$的浓度分布。
边值条件通常为：$$u(x,0)=f(x)$$$$u(0,t)=u(L,t)=0$$其中，$f(x)$为初始浓度分布，$L$为空间长度。
##1.2 有限差分格式为了在计算机上求解空间分数阶扩散方程，需要将其离散化为有限差分格式。
常用的有限差分格式为Caputo分数阶导数格式和Grünwald-Letnikov分数阶导数格式。
这里以Caputo分数阶导数格式为例，其形式为：$$\frac{\partial^{\alpha}u}{\partial t^{\alpha}}\approx\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{\partial u}{\partial s}(t-s)^{-\alpha}ds$$$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\approx\frac{u(x+\Delta x)-2u(x)+u(x-\Deltax)}{\Delta x^2}$$将上述两式带入空间分数阶扩散方程中，得到：$$\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{\partial u(x,s)}{\partial s}(t-s)^{-\alpha}ds=D\frac{u(x+\Delta x)-2u(x)+u(x-\Delta x)}{\Delta x^2}$$可得到迭代公式：$$u_i^{n+1}=\frac{(1-\theta)\Delta t^{\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)\Deltax^2}u_{i+1}^n+\frac{2\theta\Delta t^{\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)\Deltax^2}u_i^{n+1/2}+\frac{(1-\theta)\Delta t^{\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)\Delta x^2}u_{i-1}^n+\frac{\Delta t}{\Delta x^2}f_i^n$$其中，$u_i^n$表示在$x=i\Delta x$、$t=n\Delta t$时的浓度值，$f_i^n$表示边界条件。
对流扩散方程的高精度多步显式差分格式
（） ７
（） ８
方 程 （） （） （） ６ 、７和 ８ 右端 的 （） Ｇ（ 是 ｔ ｔ和 。ｔ ） 的未知 函数 ， 虑求其 Ｌ ｇａｇ 近似 函数 ，用点 （ ｅｉ （ ） 考 ａｒｎｅ ，ｄｋ ） ， ｔ
（ ， ｄｋＩ （ ） ， ， ， ｉ￣Ｆ （＿ ） ｔ ｅｉ － ｔ ） … 、 ｄｋ ｔｐ ｔ ） 来构 造 ｋ ｐ
方程 （ 在 （ ｚ处 方 向四阶精度离散化为 １ ） ， ）
收 稿 日期 ：２ ０ － ３ １ ０ ７０—９
基 金项 目：国家 自然科学基金项 目（０ ７ 】 １ ； １３ １ １） 郑州轻工业学院校 内基金项 目（０ ４ｊ １） ２０ ｘ ０ ３ ｊ 作 者简 介：赵玲Ｄ （９ ６ ） 女 ， １６ 一 ， 河南沁阳人， 副教授 ， 硕士 ， 主要从事偏微 分方程方面 的研究 ．
（ １ ）
其中 ０ 口 ，ｆ（） ，ｆ（） ｓ Ｍ 是正 的实数． ＜ （） ｆ ｆ ， ６ ｃ
下面给 出高精度 多步显式差分格式的构造 ．
方程 （） 空 间坐 标按 差 分 法离 散 ， 方 向步 长 ｜ １中 ｝ ｌ ： ： 一 麓： ＋ｉ，＝ ， ， ， ， 时 间步 长 为 施， 口 ｈ ｉ０ １２ … ｍ，
维普资讯
２０ ０ ７年 ６月
赵玲玲等 ：对流扩散方程的高精度 多步 显式差分格式
— ４ — —３ ９—
：
！ ± 堑！ 二 Ｑ 篓！ ± 鱼 堑！ 二 丑 ＋ 鱼 ！ ＝ 垡 堑 ： ！
１ ２ｈ 。
特征差分格式和有限元方法Ｉ１ ｔ．但特征差分格式和有 限元方法构造起来很复杂， — ｓ 文献 ［］ 出一种添加罚 ６提
函数的 ｃ Ｎ方法， — 文献 ［］ ［］ ７对 ６稍加修改．文献 ［３ ８ 提出求解 Ｂ ｒ ｒ 方程的高精度显式多步方法 ．本文 ｕｅ ｇｓ 基 于文 献 ［１ ８ 的方法 ， 出对 流扩 散方 程 的几 种 高精度 显 式 多步 格式 ， 值试 验 采用 文 献 ［］ ［］ 的数值 提 数 ６和 ７ 中 例子 ．试验 结 果表 明 ， 文 方法 具有精 度 高 、 以进 行长 时 间稳 定计算 的优 点 ， 本 可 且是 显式 计算格 式 ．
守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析和快速求解_崔霞
，
6
［
1
为 迭 代 方 法 的理 论 分 析提供 了 有 力 的 工 具 其
？
一
非 线性 全 隐 离散格 式 的 Ｌ Ｈ 收敛性是 迭 代 解 的 收 敛性 和 收敛 速度证 明 的 个充 分条 事 恒 并 非 究 的 难 件 对于 非守 恒 型 扩 散方程 该 收 敛 性不 难 证 明 但 对 守 型 扩散 问 题 则 易 研 点 在于 守 恒型 扩散算 子 非 线 性 离 散 项 的 估 计 对 非 守 恒 型 扩 散 问 题 通 过 选 取 检 验 函 数 为 试探
）
二 阶 时 间 精度
；
存在 唯
一
性 迭代 加 速
；
2 0 0 0
主 题分 类
：
6 5
Ｍ
0 6
，
6 5
Ｍ
1
2
，
6 5Ｂ 9 9
1
．
引 言
1
－
它 能够 取 消 算 子 分裂 方 法 和 显 式 方法 的 稳 定 性 时 间 步 长 限 制 二 阶 时 间 精 度 非 线性 全 隐 离 散格 式 更 适 应 于 瞬变 问 题 的 更 精确 求 解 但对守恒 型 扩 散 问 题 这 类 离 散格式 的 理 论 分 析还 比 较少 关 于 其精 度 已
一
，
1
．
）
，
＊
2 0 1
4
年
1
2
月
1
0
日
收到
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基 金项
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目
：
国 家 自 然 科学基 金
，
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1
非线性扩散方程的精确解
非线性扩散方程的精确解
介绍
非线性扩散方程是一种在生物、物理过程中经常出现的基础方程，可以用来描述物质在空间中的迁移、随时间变化的聚集情况以及其它科学问题。
它描述的是物质在不同空间点之间的扩散过程，影响其扩散的因素包括：物质的初始分布、扩散系数、粘度系数等。
非线性扩散方程的求解有两种主要方法，一种是近似数值解法，另一种是精确解法。
数值解法可以在计算量较小的条件下计算出扩散方程的解，但是解的精度有限，有时会受到离散化造成的误差影响。
精确解法能够求出扩散方程的精确解，但往往结果要耗费更多的计算时间，而且可能有更多的参数要调整。
经典的精确求解方法有受限最小值算法（LMM）、拉普拉斯
增广算法（LALM）、带边界条件的最小二乘算法（LSBC）、多变量精确积分算法（MVIF）等。
至于精确解的应用，可以
用于评估情况（例如计算物质在空间中的分布情况），并且在建模中可以为政策和管理暗示新的方向。
总之，非线性扩散方程是一种非常重要的模型，它不仅描述物质在空间和时间中的扩散情况，而且可以用来研究各种科学问题。
它的精确解给了我们一种准确评估的方法，有助于后续的政策制定和管理工作。
求解对流扩散方程的一致高精度非振荡特征差分方法
（ １ ）
的一 致高 精度非 振荡 特 征差 分 解法 ， 中 其
ｏ＜ Ｃ ０≤ ｃ ， （ ）≤ Ｃ ， １ ０＜ 口 口（ ，ｊ Ｄ ｔ。
设 ｈ为 空间步 长 ． 为时 间步 长 ， ＝ ， ＝０ １ 。 Ｊ， ＝ １ ＝ ｎ ｆ ｎ Ａｔ ， ，～， ； △ ，
否则 ｍ（ ）： Ｏ用 Ｑ（ ） Ｘ． ｏ Ｘ； 表示 分段二 次插值 函数 且满足
）
∞
∈
ｑｊ（； ＝ ＋ ｊ （ ｘ ／＋ ｐ ｛ ｚ ） －ｔｈ， ２｛ ） ｄ｛ — ￣ｈ 寺 ， （一 （ ｚ ） ｌ ＋ ＋ ） ＋ 一ｊ ／ ＋
工
＋
ｄ＋ ＝ ＋一 ｆ ｉ ： … 一２ Ｈ， ＝ｍ（Ｊ Ｄ＋础） ８ ． ｌ ， ｗ ｛ Ｄ ｗ ＋Ｗ Ｄ＋ ｝ Ｄ ，Ｊ 。（） １
］
文 ［ ］ 明 ４证
（ ）＝ ｄ ｕ ｚ； ％ ＋ ｏ（ ＝０１ ， （） ９
且 Ｑ（ ） Ｘ； 为 的非 振荡 插值 ， Ｑ（ ） 即 ｚ； 的局 部极 值个 数不超 过 的局 部极值个 效 。 最后定 义周 期 网 函数 的 内积和范 数
７
（ ＝ ∑ ｚ ， ，） ｌ ｌ
）
（） ２
） （ 一
：！ ）蟹 ＝！墨！ ：
Ａ
Ｑ （
（） ３
（） ４
用 ｕ （ 表示 由 ｛ ｝ 于 ｚ的分 段插值 函数 ， 一 ｚ） ｕ 关 则问题 （ ）的特征 差分 格 式为 １
＝
』 ， ｃ， （‘ ｚ）
【 ｕ ＝ “ （ ， ０ Ｘ ）
较好地反 映 了对流 占优 的 物理 特 性 。这 一方 法 受 到人 们 的 重 视 ～ 。然 而我 们 发 现 特 征
tvd格式_对流扩散方程_解释说明
tvd格式对流扩散方程解释说明1. 引言1.1 概述对流扩散方程是描述物质传输中对流和扩散过程的数学模型，广泛应用于自然科学和工程领域。
为了准确地求解对流扩散方程，需要选择适当的数值方法。
TVD(Total Variation Diminishing)格式是一种被广泛应用于求解对流扩散方程的数值方法，具有一阶或高阶精度、小量级能量损失等优点。
1.2 文章结构本文分为五个部分来讨论TVD格式与对流扩散方程。
首先，在引言部分概述了文章的背景和主要内容。
其次，在第二部分将简要介绍TVD格式和对流扩散方程，并探讨了TVD格式在解决对流扩散方程中的应用。
接下来，在第三部分详细介绍了TVD格式的原理和推导过程，还讨论了TVD限制器的作用和选择方法。
第四部分将通过数值实验和应用案例的分析，深入研究TVD格式的效果，并探讨其在实际问题中的应用意义。
最后，在第五部分总结本文研究工作并给出未来研究方向展望。
1.3 目的本文的主要目的是介绍TVD格式在求解对流扩散方程中的应用，并探讨其原理和推导过程。
希望通过数值实验和应用案例分析，验证TVD格式的有效性，同时提出改进方法。
本文还将总结研究工作的贡献点，并展望未来在这一领域的深入研究方向。
通过本文的撰写，旨在增加人们对TVD格式与对流扩散方程相关知识的了解，并为相关领域研究者提供参考和启示。
以上是“1. 引言”部分内容，包括概述、文章结构以及目的三个小节。
下文将继续详细阐述其他部分内容。
2. TVD格式与对流扩散方程2.1 TVD格式简介TVD（Total Variation Diminishing）格式是求解对流扩散方程的一种数值方法。
它在处理具有激烈变化、激波或阶跃的解时表现出色，并且能够有效地抑制数值耗散和震荡现象。
TVD格式广泛应用于流体力学、传热学等领域中。
2.2 对流扩散方程概述对流扩散方程是描述一维物理过程中物质输运的数学模型。
它由对流项和扩散项组成，其中对流项描述了物质通过速度场的输运，而扩散项则描述了物质因浓度或温度差异而发生的不规则传播。
一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高阶紧致差分格式
西安理工 大学学报 Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｘ ｉ ’ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ （ ２ ０ １ ３ ）Ｖ ｏ １ ． ２ ９ Ｎ ｏ ． ４ 文章编号 ： １ ０ ０ ６ － ４ ７ １ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ － ０ ４ ７ ５ － ０ ６
ｔ ｈ ｅ １ Ｄ ｕ ｎ ｓ ｔ ｅ ａ ｄ ｙ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｉ ｆ ｆ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ．Ｔｈ ｅ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ｉ ｓ ｔ ｈｅ ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ ｏｒ ｆ ｔ ｉ ｍｅ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ
Ａ Ｈｉ ｇ ｈ Ｏｒ ｄ ｅ ｒ Ｃｏ ｍ ｐａ ｃ ｔ Ｄｉ ｆｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｓｃ ｈ ｅ ｍｅ ｏ ｎ Ｎｏ ｎ－ Ｕｎｉ ｆ ｏ ｒ ｍ Ｇｒ ｉ ｄｓ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ １ Ｄ Ｕｎ ｓ ｔ ｅ ａ ｄ ｙ Ｃｏ ｎｖ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｄｉ ｆｕ ｓ ｉ ｏ ｎ Ｅｑ ｕａ ｔ ｉ ｏ ｎ
４ ７ ５
一
维 非 定 常对 流 扩 散 方 程 非 均 匀 网格 上 的高 阶紧致 差 分格 式
Burgers方程高精度差分格式分析
中图分 类号 ： ２ １３ Ｖ ３ ，
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： ７ ． ５ Ｘ（０ ８ ０ ． ０ ４ ０ １ １ ６４ ２ ０ ） ３ ０７ ．４ ６
引 言
在 Ｃ Ｄ应 用 中 ， 值实 验 已经 证 明 高精 度 格式 具 Ｆ 数 有很 强 的激 波 捕 捉能 力 ， 而高 精 度 格 式 另 一个 重 要 优 点在 于求解 Ｎ Ｓ方程 时 ， 低 阶格 式 相 比 ， 同样 网格 与 在
，
Байду номын сангаас
（ ｃ ［ｃ —３ （ １＿ ）２ ＿１ 呻
ｕ
（） ４
其中， ＝Ａ （ 是 通 量 限制器 ，ｊ÷ ＋ 一 ， ｃ ｔ ） ａ＋ ＝ ・ ＝
Ａｙ
＿
￣ｔ ｔ
，
的模型方程 ， 在计算 中常来考核程序的正确性 。
在本 文 中采 用 Ｒ ｅ的 Ｍｎ ｄ限制 器 ， ）＝ 。 ｉｍ。 （
＝
这里 ｕ 看作 是广 义速 度 。 由方 程 （ ） 以看 出 ，ｕ－ 被 １可 Ｂｒ
ｇｒ 方 程既有 非 线 性 的对 流 项 又 有 扩 散 项 ， 描 述 对 ｅ ｓ 是
（ ｃ １ｃ １一 ） ２ 小
３ ㈩ ］ ］ 呻
＋
流、 扩散之 间相互影 响 的最原 始 的模型 方程 ， 因而 Ｂ ｒ ｕ— ｇｒ方 程 可以作 为 Ｎ ｅ ｓ ｓ方 程 的某 种 简化 形 式 ， 有 Ｎ 具 ｓ 方程 的特 性 ， 而且 数 值 求 解 方 法也 很 相 似 。在 对 复 杂 的Ｎ ｓ方程进 行 数 值 求 解 中 ， ｕｇｒ 方 程 是 一 个 很 好 Ｂ ｒｅｓ
１ 万 程 相 关差 分 格 式 的 分 析
求解 方程 （ ） 当于依 次求 解如 下两 个 方程 １相
非定常对流扩散方程的高阶差分格式
摘
要 ：对流扩散 方程 主要 包含对流和扩散两项。在数值 计算中 ， 方程 中的扩散项一般 采用具有优 良物理特性和计算
精度 的中心差分 离散格 式 ， 而对对流项的处理就稍显 困难 ， 处理不 当便会产 生数值震 荡或数值 弥散 ， 给数值计算 带来
ＯＵ ０Ｕ ２
＝ ｓ
度 的差 分 格式 ， 志 峰 和陈 国谦 ［ 通 过 引入 一个 综 杨 ８ ］ 合 变 换 ， 对 流 扩 散 方 程 变 为纯 扩 散 方 程 ， 后 利 将 然 用 求解 扩 散方 程 的 已有 四阶格 式 ， 终建 立 了求 解 最 对 流扩 散方程 的一 种两 层 四阶 紧致 隐格式 。本 文构 造 了一 种 精度 高 的 紧致 隐式 差 分格 式 ， 过 引入 指 通 数 变换 将 对 流扩 散方 程 变为 扩 散方 程 ， 后 采用 时 然
困难 。针 对 对 流 扩 散 方 程 ， 过 引入 指数 变 换将 对 流 扩散 方程 变 为 扩散 方程 ， 免 对对 流项 的 直接 处理 。利 用 四阶 紧 通 避
致差 分格 式 ， 首先建立三类特殊方程 的高精度 差分格式 ， 此基础上建 立一 维非定常含源对流扩散 方程 的高阶格式 ， 在 并进行稳定性分析 ， 所得格式精度 高且绝对稳定。数值 算例表 明了该格式的有效性。
钭 撑虫崴 缸
、０１ ３ Ｎｏ． Ｊ ， ．４ ３ ｕｎ． ２０１ ２
编辑 部 网址 ：ｈ ｔ ／ ｔ ／ ｐ： ｗｗｗ． ｕ ｂ ｔ ｍ ｓ ｗｐ ｘ ．ｏ
文 章 编 号 ：１７ —５ ８ （０ ２０ —０ ４ —０ ６ ４ ０ ６２ １ ）３ １５ ５ 中图分类号 ：Ｔ ３ ２ Ｅ １
求解对流扩散方程的紧致二级四阶Runge—Kutta差分格式
ｄ ｏ ｉ ： １ ２ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ２— ８ ５ １ ３ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ５ ． ０ Ｏ ９
Ｃ Ｎ５ ３—１ １ ９ ２ ／ Ｎ Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ １ ６ ７ ２—８ ５ １ ３
Ｏ ｕ ＋ｋ Ｏ ｕ
ａ
，
一
１ ｕ （ ｘ ０ ｄ （ ｘ， 力， ）＝ ） ∈力，
ｔ ｕ （ ０ ， ）＝ （ １ ， ｔ ）＝０ ， ∈ａ ， ｔ ≥０ ．
０ 纛 ２ ｕ
㈩ 、
１ 格式的构造与截断误差
将 区域 ×［ Ｏ， ］ 进 行剖 分 ， 记 ＾和 ． ｒ 分别 是 方 向和 ｔ 方 向的 网格 步长 ， 其 中 ＝ １
） 应 用 于一 维对 流扩散 方程 ， 对 空 间 变量 应 用 紧致
差 分格 式 ， 时 间变量 ｚ 采 用二级 四阶 Ｒ ｕ ｎ ｇ ｅ— Ｋ ｕ ｔ ｔ ａ方 法 ， 提 出 了精 度 为 ０ （ ｒ ＋ ｈ ） 的绝对稳 定 的 差分 格式 ， 讨论 了稳 定性． 最后通 过数 值算例 说 明该格 式 的有效性 ．
＝
＋ ｏ （ 一 ｔ ｔ ） ， ’
（ ８ ）
Ａ－ １ 眺 （ ｔ ）
（ ９ ）
５
１
６ ｌ ２ １ ５
Ａ ＝
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．
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ｌ
对角 占优 矩 阵 ， 因此非 奇异．
（ ９ ）式用 二级 四阶隐式 Ｒ ｕ ｎ ｇ ｅ—Ｋ ｕ ｔ ｔ ａ格式 （ ７ ）得 到如下 格式
对流扩散方程的特征有限体积两重网格算法与误差估计
有 限体 积 法 （ ｉｉ ｏｕ ｅＭ ｔｏｓ 是 求 解 偏 Ｆｎｔ Ｖ ｌｍ ｅ ｄ ） ｅ ｈ 微 分方程 的新 技术 ， １８ 被 提 出 ， 自 ９ ２年 至今 已获 得 很 大发展 ¨ ， 种 方 法 国 内也 被 称 为 广 义 差 分 法 引 这
ｓｍｐ ｉ ｅ ｃ ｍｐ ｔｔｏ ｄ ｉ ｒ ｖ ｅ ｃ ｍｐ ｔｔｏ ｆ ｃｅ ｃ ． ｉ ｌ ｙ ｔ ｏ ｕ ａｉｎ ａ ｍｐ ｅ ｔ ｏ ｕ ａｉｎ ｅ ｉ ｎ ｙ ｆ ｈ ｎ ｏ ｈ ｉ
Ｋｅ ｒ ｓ ｃ ｎ ｅ ｔ ｎ ｄ ｍ ｎ ｔ ｄ ｄｆ ｓ ｎ ｅ ｕ ｔ ｎ； ｃ ａ ａ ｔｒｓ ｃ ｎ ｔ ｏｕ ｔ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｖ ｃｉ ｏ ｏ ｉ ａｅ － ｉ ｕ ｉ ｑ ａ ｉ ｏ ｏ ｈ ｒ ｃｅ ｔ ｓ ｆ ｉ ｖ ｌ ｍｅ ｍｅ ｄ；ｔ —ｒ ｉｉ ｉ ｅ ｈ ｗｏ ｇｉ ｄ
网格 △ 上的近似解 （ 。理论分析及数值例子的计算结果均表明， Ｈ＞ ） 在收敛阶保持 不变的情 况下 ， 算法既 可消除 非线性对 流 占优 扩散 问题 数值震 荡现 象 ， 可 简化 计算 ， 高计 算效 率。 此 又 提
关键 词 ： 对流 占优 扩散 方程 ； 特征 有 限体 积 法 ；两重 网格 算法 ； 差估 计 误
ｔｒｓｉ ｎ ｔ ｏｕ ｏｕ ｉｎ ｉ ｒ ｐ ｓ ｄ ｉ ｉ ｔ ｄ ．Ｔ ｏ ｌｎ ａｉ ｅ ｅ ｅ ｐ ｎ ｅ ｂ ｕｔｔ ｅ ｃ ｓ ｓ ｅｉｔｃ ｆ ｉｅ ｖ ｌ ｍｅ ｓ ｌ ｔ ｓｐ ｏ ｏ ｅ ｎ ｔ ｓｓｕ ｙ ｈｅ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｔ ｓａ ｘ ａ ｄ ｄ ａ ｏ ｏ ｘ ｅ ｉ ｏ ｈ ｉ ｒ ｈ
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非线性扩散方程在广义条件对称下的精确解
（ ３ ）
Ｏ， ＝ ， ＝， ｕ Ｄ ）ｏ０ ｋ （ Ｄ
１ 背 景 理 论 和 符 号
设 １＋１ 的非 线 性扩 散方 程 的一般 形式 为 维
收 稿 日期 ：０ １０ －１ ２ １ －３１
Ｗ ＡＮ ｉ Ｈｕ ．ＤＵ ｉ Ｋａ
（ ． ｅ ａ ｍ ｎ ｆ ｔｅ ｔｓ Ｎ ａ ｗ ｓ Ｕ ｉ ｒ ｔ， ｉ ｎ７ ０ ２ Ｃ ｉ ； ． ｉ ｎＳｔｌｔ Ｃ ｎ ｏ ｅｔ ， ｉ ｎ７ ０ ４ ，Ｃ ｉ ） １Ｄ ｐｒ ｅｔ Ｍａ ｍａｃ ， ｏ ｈ ｅｔ ｎｖ ｓ ｙ Ｘ １１７，ｈｎ ２ Ｘ ａｅ ｉ ｏｔ ｌ ｎｅ Ｘ １０ ３ ｈｎ ｔ ｏ ｈ ｉ ｅｉ ａ ａ ａ ｌｅ ｒ Ｃ ｒ ａ ａ
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其中 ，＝
ｄ
， 它在非李点无穷小变换群下是不变
的， 这个 变 换群 表示 为 Ｕ ＝Ｍ＋ （ ， ，１ … ，＿ ｔ ， Ｕ ， Ｕ ）＋０ ） ｌ ｖ （ ， ＵＩ＝ Ｕ ＋ｅ ｆ ｔ Ｕ Ｕ ， ，Ⅳ ‘ Ｄ （ ， ， １… Ｕ ）＋０ 占 ） ， （ ， Ｕ ＝ ＋８ ｔ ， ｌ… ，Ⅳ ’ Ｄ 田（， ， Ｕ ， Ｍ ）＋０ ｚ ， （ ）
ｏ ｔｉ ｅ ．Ｃｏ ｃ ｕ ｉ ｎ Ｔ ｅ ｒ ｎ ｅ ｏ ｘ ｃ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｎ ｎ ｉｅ ｉ ｕ ｉｎ ｅ ｕ ｎ ｉ ｄ ｖ ｌ ｐ ｄ ａ ｄ ｅ ｌ ｇ ｄ ｂ ａｎ ｄ ｎ ｌ ｓｏ ｈ ａ ｇ ｆｅ ａ ｔｓ ｌ ｔ ｓｔ ｏ ｌ ａ ｄ ｆ ｓ ｑ ａｉ ｓ ｅ ｅｏ ｅ ｎ ｎ ａ ｅ ． ｏ ｎｒ ｆ ｏ ｏ ｒ Ｋｅ ｒ ｓ ｅ ｅ ａｉｅ ｏ ｄ ｔ ｎ ｙ ｙ ｗｏ ｄ ：ｇ ｎ ｒ ｚ ｄ ｃ ｎ ｉ ｏ ａ ｓ ｍｍｅ ｒ ；ｅ ａ ｔｓ ｌ ｔ ｎ ；ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｄ ｆ ｓｏ ｑ ａｉ ｎ ｌ ｉ ｌ ｔ ｙ ｘ ｃ ｏｕ ｉ ｓ ｏ ｌ ａ ｉ ｕ ｉｎ ｅ ｕ ｔ ｏ ｎ ｏ
非线性对流扩散问题特征-有限体积法及其误差估计
ｌ ｅ ｕ ｔ ｎ ． ｈ ｓ ｗｏ ｍｅｈ ｒ ｏ ｉ ｅ ｎ ｔ ｓ ａ ｅ ｏ ｆ ｍ ｕ ｌ ｄ ｓ ｅｅ ｈ ｃｅ ｉｔ — ｎ ｔ ｖ ｌ ｍｅ ｍｅｈ ｄ ｆ ａ ｑ ａ ｏ ｓ Ｔ ｅ ｅ ｔ ｔｏ ｓ ａ ｅ ｃ ｍｂ ｎ ｄ ｉ ｉ ｐ ｐ ｒｔ ｒ ａ ｆ ｌ ｉ ｒ ｔ ｃ ａａ ｔｒｓｉｓｆ ｉ ｏｕ ｔ ｏ ｒ ｉ ｄ ｈ ｏ ｙ ｃ ｒ ｃ ｉ ｅ ｏ ｎ ｎ ｉｅ ｏ ｖ ｃｉｎ ｄ ｍｉ ａｅ ｉ ｕ ｉｎ ｐ ｏ ｌｍ． ｙ ｄ ｍｉ ｄ ｔ ｅ ｒｔ ａ ｎ ｙ ｉ ， ｐ ｉ ｌ ｒ ｅ ｏ ｌ ａ ｃ ｎ ｅ ｔ ． ｏ ｎ ｔｄ ｄｆ ｓｏ ｒ ｂｅ Ｂ ｅ ｌ ｏｅ ｉｌ ａ ａ ｓｓ ｏ ｔ ｎｒ ｏ ｅ ｈ ｃ ｌ ｍａ ｏ ｄ ｒＨ ｎ ｒ ｅＴ ｒｅ ｔ ｔ ｓａ ｅ ｏ ｍ ｌｏ ｓｉ ｅ ｒ ｍａ
Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｌｎ ａ ；ｃ ｎ ｅ ｔ ｎ ｄ ｆ ｓ ｎ；ｃ ａ ａ ｔｒ ｔ ｓ ｉ ｉ ｏｕ ｌｍｅ ｔ ｒｏ ｓｉ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ：ｎ ｎ ｉｅ ｒ ｏ ｖ ｃｉ ｉ ｕ ｉ ｏ ｆ ｏ ｈ ｃｅ ｓｉ ；ｆ ｔ ｖ ｌ ｍｅ ｅｅ ｎ ；ｅ ｒ ｒｅ ｔ ｒ ｉ ｃ ｎｅ ｍａｅ
维普资讯
第２卷 ３
第２ 期
天
津
理
工
大
学
学
报
Ｖｏ ． ３ Ｎ ． １２ ｏ ２ Ａｐ ． ０ ７ ｒ２ ０
一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式
一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式黄雪芳;郭锐;葛永斌【摘要】A high accuracy compact finite difference scheme with non-uniform grids is pro-posed to solve unsteady convection diffusion equations, which are used to describe boundary layer problems or locally large gradient problems, etc. The new method starts from the dis-cretization of the steady convection diffusion equation. Firstly, the spatial derivatives are discretized by using the Taylor series expansion on non-uniform grids. Then, the second order backward Eulerian difference formula is used to discretize the temporal derivative term. The three-level full implicit compact difference scheme on non-uniform grids for solving the one-dimensional unsteady convection diffusion equation is derived. The new scheme has the second order accuracy in time and the third to fourth order accuracy in space and is unconditionally stable. Finally, some numerical experiments are conducted to demonstrate the high accuracy and the advantages in solving boundary layer problems or locally large gradient problems.%本文在非均匀网格上给出了求解非定常对流扩散方程的一种高精度紧致差分格式，特别适合边界层和大梯度等问题的求解。
非线性对流扩散方程不同解法稳定性比较
2013—2014学年第二学期 《Matlab 编程技术》作业专业班级 石工博13-02研究方向 油气田开发姓 名 王壮壮学 号B********结合自己研究方向，运用Matlab编写科学计算及可视化或其它相关程序。
要求：1）将要解决的问题交代清楚（数学模型、目标等）；2）编写的程序的关键语句要有注释说明；3）程序能顺利运行，运行结果和编写的m文件一并提交；4）独立完成。
非线性对流扩散方程不同解法稳定性比较流体力学基本方程组本身就是非线性的对流扩散方程，非线性Burgers 方程就是N-S 方程很好的模型方程，它的一维形式如下：L x xu x u u t u ≤≤∂∂=∂∂+∂∂022μ (1) 边界条件为⎩⎨⎧====0,,00u L x u u x (2) 初始条件是任意可以给出的。
我们知道，遇到对流项，我们用迎风格式是绝对没有问题，无论是一阶迎风还是二阶迎风格式都是能够解决非线性对流方程的，如果网格Peclet 数允许的话，中心差分也是可以考虑的。
不过，对于非线性对流，我们来看看另外两个G-S 格式，一个是G-S 型迎风半隐格式，另一个是G-S 型Samarskii 半隐格式，对于任何类型的对流扩散方程，可以收敛到定常解，并且是绝对稳定的，特别适合于解决定常问题。
对于式(1)这两个格式分别为()211111111212h u u u R h u u u u u n i n i n i n i n i n i nini n i +-+++-+++-+=-+-μτ (3) 2111111112112h u u u R R h u u u u u n i n i n i n i n i n i n i nini n i +-+++-+++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+-μτ(4) 其中μ2h u R n i n i =式(3)就是G-S 型迎风半隐格式，它具有一阶精度，是从一阶迎风格式发展而来的；式(4)是G-S 型Samarskii 半隐格式，具有二阶精度，它是从Samarskii 格式发展而来的。
具幂律扩散性非线性扩散方程的精确解
ｐ ｒ ｅ ｖ ｉ ｏ ｕ ｓ ｌ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｕ ｒ ｅ ｓ ａ ｒ ｅ ｓ ｕ ｐ ｐ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｅ ｄ ａ ｎ ｄ ｅ ｘ ｔ ｅ ｎｄ ｅ ｄ ｇ ｒ ｅ ａ ｔ ｌ ｙ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ：ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｄ ｉ ｆ ｆ ｕｓ ｉ ｏ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ；ｐ ｏ ｗｅ ｒ ｌ ａ ｗ ｄ ｉ ｆ ｆ ｕｓ ｉ ｖ ｉ ｔ ｙ；ｓ ｅ ｐ ａ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｖ ａ ｉａ ｒ ｂ ｌ ｅ ｓ：ｓ ｉ ｍｉ ｌ ａ ｒ ｉ ｔ ｙ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍａ —
要： 提 出了通过 分 离变量方法 和相似 变换 获得 带有 幂律扩 散性 的一 类非线 性扩 散方 程显 式精确 解 的框
架， 进而获得 了某些重要 的幂律 扩散 性物 理过程 的丰 富的 显式精 确解． 进 一步考 察 了某些 解的行 为和 爆破性
质， 推 广 补 充 了先 前 文 献 中 的 已知 结 果 ． 关 键 词 ：非 线 性 扩 散 方 程 ； 幂律扩散性 ； 分 离 变量 ； 相 似 变换 ； 显 式精 确 解
Ｓ ＨＡＮＧ Ｙ ａ — ｄ ｏ ｎ ｇ
（ ａ ． Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ； ｂ ． Ｋ ｅ ｙ Ｌ ａ ｂ ｏ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｙ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｄ ｉ ｓ ｃ ｉ ｐ ｌ ｉ ｎ ａ ｒ ｙ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ｏ ｆ
Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｈｉ ｇ ｈ ｅ ｒ Ｅｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ，Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
一阶迎风差分格式求解非线性对流扩散方程的精度
第 36 卷 第 5 期 2003 年 10 月武汉大学学报(工学版) Engineering Journal of Wuhan UniversityVol. 36 No. 5Oct. 2003文章编号 :167128844 (2003) 052001204一阶迎风差分格式求解非线性对流扩散方程的精度张小峰 , 张艳霞 , 谢作涛(武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室 ,湖北 武汉 430072)摘要 :采用一阶迎风格式分别对一维线性对流扩散方程和非线性对流扩散方程进行了求解 ,检验了一阶迎风格式用于求解一维线性对流扩散方程和一维非线性对流扩散方程的适用性. 多个计算算例的结果表明 :一阶迎风差分格式用于求解线性对流扩散方程的结果不甚理想 ,但用于求解非线性对流扩散方程时能获得相当精度. 工 程计算中 ,该格式可用于求解水流运动方程 ,但不宜用于求解被水流输移的物质对流扩散方程.关键词 :迎风差分格式 ; 对流扩散方程 ; Burgers 方程 ; 计算水动力学 中图分类号 : TV 131. 4文献标识码 :ASimulated accuracy of nonlinear convection diffusionequation by f irst order upwind difference schemeZHAN G Xiao 2feng , ZHAN G Yan 2xia , XIE Zuo 2tao( State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science ,Wuhan University Wuhan , 430072 , China )Abstract : Through the numerical computation and comparison with the exact solutions of one dimensional lin 2 ear and nonlinear convection diffusion equations , simulated accuracy by the first order conservative upwind difference scheme was analyzed in detail. It shows that the first order upwind difference scheme has high ac 2 curacy in simulating nonlinear convection diffusion equation , although it could not repeat the exact solution of linear convection diffusion equation well. In engineering application , this scheme can be used to compute mo 2 mentum equation of flow and is not suitable to simulate material mixing process driven by the flow.Key words : upwind difference scheme ; convection diffusion equation ; Burgers equation ; computational fluid dynamics一维对流扩散方程用于水利工程 、环境工程及航空 、航海 、化工 、冶金5 s 5 s52s等领域 , 因此对流扩散方程的求解方法在这些领域 5 t + u 5 x = μ 5 x 2(1)其中 u 是对流速度 ; s 是任一物理量 , 可以包括 s ≡u 的情况 , 此时式( 1) 为一维非线性对流扩 散(Burgers ) 方程 ,μ 是扩散系数. 式 ( 1) 常用来描 述水流运动 、物质传输和扩散的综合过程 , 广泛适都受到充分重视.一阶迎风差分格式用于线性对流扩散方程求 解时 , 虽然其形式简单 , 但因有一定的数值扩散问 题 ,其计算结果往往不令人满意. 线性方程数值计 算的稳定性分析也证明了这一点. 围绕提高对流收稿日期 :2002 - 11 - 12作者简介 :张小峰 (1962 - ) ,男 ,浙江嵊州人 ,教授 ,主要从事水力学及河流动力学研究.基金项目 :中国欧盟国际合作研究 ANFAS 项目资助和国家自然科学基金项目资助(50279035) .= μ 5 s , t > 0 , - ∞ < x < ∞ 2 1 +2μt 2武汉大学学报 (工学版)2003扩散方程数值求解的精度问题 , 先后提出的有欧拉 s n +1 - s ns n - s nsn+ sn- 2 sn———拉 格 朗 日 型 方 法[ 1 ] , 半 隐 式 指 数 型 差 分 格i ii τ + ui - 1h= μi +1i - 1h 2i( 2)式[ 2 ] , 交替分组显示方法[ 3 , 4 ] , 特征型 Garlerkin 方 法[ 5 ]等. 最近还有李炜提出的混合有限分限分析 解法[ 6 ] , 它是在局部单元线性化微分方程和插值 近似边界条件下 , 求局部单元上的精确解 , 从而构 成整体的线性代数方程组求解.文献[ 7 ]曾对一阶守恒型迎风格式用于一维对 其中 :τ, h 分别为差分网格的时间步长和空间步长.为检验迎风格式求解线性对流扩散方程的计 算精度 , 下面给出了 2 个有代表性的具体算例.算例 1 方波问题[ 6 ] , 其控制方程和定解条件 为5 s + u 5 s 流方程计算的精度问题进行过讨论. 发现用于计 算一维线性纯对流方程时 , 其计算结果的精度不够 理想 , 但当用于计算非线性对流方程时却是可以获 5 t 5x s ( x , 0) = 5 x 1 , x 0 ≤ x ≤ x 10 , - ∞ < x < x 0 , x 1< x < ∞(3)得较高精度的 , 由此说明 , 人们对迎风格式需有更 新的认识. 本文拟在文献 [ 7 ]的基础上 , 进一步检 其中 : u ,μ为常数 ,μ> 0. 定解问题的精确解为s ( x , t ) = 验该格式用于求解一维线性对流扩散方程和一维 非线性对流扩散方程的适用性. 由于数值计算稳 1erf 2x 1 - x + ut + erf 2 μt - x 0 + x - ut (4) 2 μt 定性分析不能用于非线性方程 , 本文将结合实际算 2 x- t例 ,将计算结果与理论解进行比较 , 来检验该格式 式中 , 误差函数 erf ( x ) =π∫0ed t .的计算精度.1 求解线性对流扩散方程的精度当 u ,μ为常数且 u > 0 时 , 采用迎风差分格式对式 (1) 进行离散 , 得计算时参数取 μ = 0. 01 m 2/ s , u = 50 m/ s ,x 0 = 0. 1 m , x 1 = 0. 2 m , 时间步长τ= 10 - 4 s ,空间 步长 h = 0. 01 m , t = 6 ×10 - 3s ,计算结果与理论解如图 1 (a ) 所示.图 1 迎风格式求解线性对流扩散问题的数值计算结果及与精确解比较算例 2瞬时波问题[ 6 ] , 考虑某一时刻原点2x长τ= 0. 01 s ,空间步长 h = 0. 1 m , t = 0. 15 s , 计 算结果与理论解如图 1 ( b ) 所示.周围的一个以 e-2 分布的污染源, 在强对流作用 从图 1 可见 ,迎风格式由于明显的数值效应 ,计算 下它的对流扩散由下列定解问题决定 :结果与理论解符合较差 ,不能重现实际的物理过程.5 s 5 s 52s 5 t+ u5 x= μ5 x2 , t > 0 , - ∞ < x < ∞2xs ( x , 0) = e -2 , - ∞ < x < ∞(5) 2 求解非线性对流扩散方程的精度一维非线性对流扩散方程 :其中 : u ,μ为常数 ,μ> 0. 定解问题的精确解为2 5 u + u5 u 52u= ε 2(7)s ( x , t ) = 1 e -( x - ut) (6)5 t 5 x 5 x1 + 2μt计算时参数取 μ= 0. 001 m 2/ s , u = 20 m/ s ,时间步因具有 Navier 2Stokes 方程的特性 ,而且数值求解 方法也很相似 ,所以在复杂的 N - S 方程的数值求222第 5 期 张小峰等 :一阶迎风差分格式求解非线性对流扩散方程的精度 3解中 ,该方程是一个很好的模型方程 ,且在某些初 算例 3 非线性对流扩散方程初边值问题[ 6 ]边值条件下存在理论解 , 对检验数值格式的精度有 5 u 5 u 1 52u 重要意义.当 u > 0 时 , 采用守恒型迎风差分格式对式5 t + u 5 x = Re 5 x 2, - 1 < x < 1 , t > 01 , - 1 ≤ x ≤0(7) 进行离散 , 得u ( x , 0) = u 0 ( x ) =0 , 0 < x ≤1u n +1 - u n( ii 1 τ +2nn ) 2 - ( u n ) 2i i - 1 h nnu ( - 1 , t ) = 1 , u (1 , t ) = 0 , t > 0(9)其中雷诺数 Re > 0.= εu i +1 + u i - 1 - 2 u ih 2(8)计算时选取 2 组参数 :1) Re = 10 , τ= 0. 01 s , h = 0. 05 m , t = 0. 92 s ; 2) Re = 100 , τ= 0. 001 s , 以下给出了 4 个非线性对流扩散方程存在理 论解的算例 , 用以检验该格式求解非线性对流扩散 方程的计算精度.h = 0. 01 m , t = 0. 92 s . 计算结果与精确解如图 2 所示.图 2 算例 3 数值计算结果及与精确解的比较算例 4 非线性对流扩散方程初边值问题[ 6 ]如下 :当时间充分长时 , 解趋向于定常解c 1 Re 5 u 5 u 1 52uu ( x ) = c 1 th ( c 2 -2x )(11)5 t + u 5 x =Re 5 x 2, 0 < x < 1 , t > 0其中 : c 1 , c 2为独立的任意常数.u ( x , 0) = 0 , 0 ≤ x ≤1u (0 , t ) = 1 , u (1 , t ) = 0 , t > 0(10)其中雷诺数 Re > 0.计算时选取 2 组参数 : ①Re = 10 , τ= 0. 000 2s , h = 0. 01m ; ②Re = 1 000 , τ= 0. 001s , h = 0. 01m. 计算结果与精确解如图 3 所示.算例5图 3 算例 4 数值计算结果及与精确解的比较ε εu (2 , t ) = [ 2 + tg ] , t > 0 (12)5 u 5 u52 u1 + εt1 + εt5 t+ u5 x= ε5 x2 , 0 < x < 2 , t >u (0 , t ) = 0 , t > 0该问题有解析解[ 8 ]εx u ( x , t ) =[ x + tg ] (13)1 + εt2 (1 +εt )计算时选取 2 组参数 : ①Re = 10,τ= 0. 000 5s ,uh = 0. 01 m , t = 0. 05 s ; ②Re = 200 , τ= 0. 001 s , h = 0. 01 m , t = 0. 1 s. 计算结果与精确解如图4 所示.图4 算例5 数值计算结果及与精确解的比较算例6 非线性对流扩散方程初边值问题[ 2 ]如下:其定态解析解为(15)(14)计算时选取2 , τ = 0. 000 1 s ,u 1 , t= - 1h = 0. 01 m; ②Re , h = 0. 01 m. 初值由边值插值得到,计算结果与精确解如图5 所示.图5 算例6 数值计算结果及与精确解的比较从图2～5 可见, 迎风格式计算一维线性对流扩散方程时, 其计算结果的精度不够理想, 但当用于计算非线性对流扩散方程时, 计算结果与理论解相当吻合. 同时也说明, 同样的一个数值计算格式分别用于求解线性和非线性方程时, 其计算精度可能存在相当大的差别;以线性方程为基础得到的计算格式稳定性分析结论对非线性方程不一定适用.产生这种差异的原因可能是:线性对流扩散方程描述的是输移量(如浓度场) 在速度场中的对流扩散方程, 浓度场的变量浓度s 和速度场中的流速u 是相对独立的2 个变量, 当速度场中各点的流速u 为常量时, 由于对流扩散作用, 浓度s 仍将随时间和地点发生变化;而非线性对流扩散方程描述的是速度本身的对流扩散过程, 当流速场中各点的流速为常量时, 非线性对流扩散方程中的各项为零. 由于这一原因, 导致计算结果的迥异.3 结语通过计算算例,检验了一阶迎风格式用于求解一维线性对流扩散方程和一维非线性对流扩散方程的适用性. 得到与一阶对流方程相似的结论,即虽然用一阶迎风格式计算一维线性对流扩散方程时,其计算结果的精度不够理想,但当用于计算非线性对流扩散方程时却是可以获得较高精度的. 根据这一认识,进行具体的工程问题计算时可以认为:一阶守恒型迎风格式用于求解水流运动方程时可以获得较高精度数值解,但不宜用于求解被水流输移的物质对流扩散方程. (下转第8 页)d p U - u cos θ程中将产生一系列变形行为 ,由此而生成的溅抛水L Jp = U w T m -K 1ln 1 + K 1wSS (19)滴的运动速度及溅抛角可用式(2) 、(4) 进行估算. (2) 溅抛水滴将形成一定范围的溅水区 ,该区式 (19) 中 , T m 为溅抛水滴在空中运动的时间.图 4 给出了根据式( 19) 进行计算所得溅水长 度 L Jp 与模型试验[ 1 , 3 ]及原型观测[ 2 ]相应溅水长度 L J mp 的比较 , 图中直线为 L Jp = L J mp . 由图可知 , 两 者甚为一致.为雾化流的暴雨中心 ,对工程的潜在威胁最大. 溅水区的纵向范围可用式 (19) 进行估算. 参考文献 :[ 1 ] 李奇伟. 库区雾化运动规律研究 [ D ] . 武汉 : 武汉水 利电力学院 ,1985.[ 2 ] 王 翔. 挑流雾化溅水区范围的确定 [ D ] . 武汉 : 武 汉水利电力学院 ,1989.[ 3 ] 刘永川. 安康水电站厂区雾化预报 [ R ] . 陕西 : 水电 部西北水科所 ,1988.[ 4 ] E ngle O G. Crater depth in fluid impacts[J ] . Journal ofApplied Physics , 1996 ,37 (4) :178921808. [ 5 ]蔡一坤. 液滴和液面碰撞 [J ] . 力学学报 , 1989 , 21(3) :2732279.图 4 溅水长度试验及原型观测成果与计算成果的比较4 结 论(1) 挑流水舌外缘的水滴在与下游水面碰撞过(上接第 4 页)参考文献 :[ 1 ] 忻孝康 ,黄光伟. 对流扩散方程的一种简单有效的欧拉 ———拉格朗日分裂格式 [J ] . 空气动力学报 ,1986 ,4 (1) :65273.[ 2 ] 王汝权 ,周保民. 一个半隐式指数型差分格式[J ] . 计算数学 ,1986 ,8 (1) :1092113.[ 3 ] Evans D J ,SahimiMS.Thenumerical 2solutionofBurgersequationbythealternatinggroupexplicit (A GE ) method[J ] . 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(1+1)维带有对流项和源项的非线性扩散方程的新精确解
引言
相似解在刻 画非线 性抛 物方 程解 的爆 破性 和 长
（ ＋１ 维 带有 源项 的 反应 扩散 方 程 一Ａ（ ＋ ２ ） ） Ｂ（） ｙ＋Ｃ ＋Ｄ（ ） ： ｕｕ ￣ （） Ｕ ＋Ｑ（ ） 讨论 中 ，通 过 的
引入 函数 不变集 Ｓ 一 ｛ Ｕ 一 Ｆ（ ）Ｕ ＝ Ｆ（ ）来 ：ｘ ， 甜） 构 建 其 精 确 解 ． 屈 改 珠 等［ 利 用 Ｓ 。得 到 了 （ ＋１ 维 带有源 项 的反应扩 散方 程 、（ ＋ １ 维非线 ３ ） ２ ） 性 波动方程 以及 （ ＋ １ 维 拟 线 性 扩 散 方程 的精 确 ２ ） 解． 本文 通过建 立不 变集 Ｅ 一 ｛ “ 一厂（ ） ） ｏ ： ｚ Ｆ（ ｝
ｉ ａ ｉ ｎ ｅ ， ｓ ｍｅ ｓ ｃａ ｏｌ ｔｏ ｈｅ ａ ｏｖ ｑ ａ ｉ ｎ ａ ｅ ｏ ａ ｎ ｄ． ｎｖ ｒａ ｔｓ ｔ ｏ ｐｅ ｉ ｌｓ ｕ ｉ ｎｓｏｆｔ ｂ ｅ ｅ ｕ ｔｏ ｒ ｂｔ ｉ ｅ
Ｋｅ ｏ ｄ ： ｒ ａ ｔ ｎ ｄ ｆｕ ｉ ｎ ｅ ｕ ｔ ｎ； ｉ ｖ ｒａ ｔｓ ｔ ｅ ａ ｔｓ ｌ ｔｏ ｙ ｗ ｒ ｓ ｅ ｃ ｉ — ｉ ｓｏ ｑ ａ ｉ ｏ ｆ ｏ ｎ ａ ｉｎ ｅ ； ｘ ｃ ｏ ｕ ｉ ｎ
收稿 日期 ：２ ０ ２０ ；修 改 稿 收 到 日期 ：２ １ 。 １０ ０ ９１—４ ０００ —１
２ （ ＋ １ 维非 线 性 扩 散 方 程 的新 精 确 解 １ ）
考虑 （ ＋１ 维 带有对 流项 和源项 的非线 性 扩散 １ ） 方 程
基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（０ ７ １６ ；渭 南 师 范 学 院科 研计 划 项 目（９ ＫＺ ０ ） １６ １ ５ ） ０ Ｙ Ｏ ３
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图 !" 算例 $ 数值计算结果及与精确解的比较
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近似边界条件下， 求局部单元上的精确解， 从而构 成整体的线性代数方程组求解! 文献 ［&］ 曾对一阶守恒型迎风格式用于一维 对流方程计算的精度问题进行过讨论! 发现用于 计算一维线性纯对流方程时， 其计算结果的精度不 够理想， 但当用于计算非线性对流方程时却是可以 获得较高精度的， 由此说明， 人们对迎风格式需有 更新的认识! 本文拟在文献 ［&］ 的基础上， 进一步 检验该格式用于求解一维线性对流扩散方程和一 维非线性对流扩散方程的适用性! 由于数值计算 稳定性分析不能用于非线性方程， 本文将结合实际 算例， 将计算结果与理论解进行比较， 来检验该格 式的计算精度!
［ &］ 拉— — —拉格朗日型方法 ， 半隐式指数型差分格 ［ $］ ［ !， G］ 式 ， 交替分组显示方法 ， 特征型 M0,1+,]*( 方
收稿日期： $%%$ ? && ? &$ 作者简介： 张小峰 （ &@"$ ? ） ， 男， 浙江嵊州人， 教授， 主要从事水力学及河流动力学研究; 万方数据 基金项目： 中国欧盟国际合作研究 A<BAC 项目资助和国家自然科学基金项目资助 （ #%$D@%!# ） ;
! ! 以下给出了 ) 个非线性对流扩散方程存在理 论解的算例， 用以检验该格式求解非线性对流扩散 方程的计算精度!
图 #" 算例 ! 数值计算结果及与精确解的比较
［ *］ ! ! 算例 $" 非线性对流扩散方程初边值问题
! ! 当时间充分长时， 解趋向于定常解 " （ *） ( /& /0 （ /’ & 其中： /& ， /’ 为独立的任意常数! 计算时选取 ’ 组参数： !+, , &$，! , $! $$$ ’-， /& +, *） ’ （ && ）
KLA<M N*0.E2+()，KLA<M O0(EP*0，NQ’ K/.E80.
（ C808+ R+9 S0T.,08.,9 .2 308+, U+7./,>+7 0(V L9V,.W.X+, ’()*(++,*() C>*+(>+， 3/40( 5(*6+,7*89 3/40(， G!%%D$ ，Y4*(0）
第 !" 卷 第 # 期 $%%! 年 &% 月
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一阶迎风差分格式求解非线性对流 扩散方程的精度
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武汉大学学报 （ 工学版）
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图 !" 算例 # 数值计算结果及与精确解的比较
［ !］ $ $ 算例 $" 非线性对流扩散方程初边值问题
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其中： "， ! 为常数， ! ) " ! 定解问题的精确解为 （ # +， *） ) + ’ + % "* ’ +" % + ’ "* ’ +,- ’ % +,（.） ! ! ! ! ! !* !* ! + ’*! 式中， 误差函数 +,（ +） ) + /*! !" ! 计算时 参 数 取 ! 0 " ! "’ 1! 2 3， " 0 $" 1 2 3，
关键词： 迎风差分格式；对流扩散方程；I/,)+,7 方程；计算水动力学 中图分类号： J: &!&; GH H H 文献标识码： A
!"#$%&’() &**$+&*, -. /-/%"/(&+ *-/0(*’"-/ )"..$1"-/ (2$&’"-/ 3, ."+1’ -+)(+ $45"/) )"..(+(/*( 1*6(#(
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’( 求解线性对流扩散方程的精度
当 "， 采用迎风差分格式 ! 为常数且 " ) " 时， 对式 （’） 进行离散， 得
%’ $ $ $ #$ ’ #$ #$ #$ & & & ’ # & ’’ & %’ % # & ’’ ’ ! # & ) ! %" （!） ( " (!
+" 0 " ! ’ 1 ， +’ 0 " ! ! 1 ， 时间步长 " 0 ’" 4 . 3， 空间步 长 ( 0 " ! "’ 1， * 0 % 5 ’" 4 # 3， 计算结果与理论解如 图’ （ 6） 所示!
! （ + ’"*） ’ （ # +， *） ) + ’! !’ %!!* （%） ’ % ! !* ! 计算时参数取 ! 0 " ! ""’ 1! 2 3， " 0 !" 1 2 3， 时间步
!( 求解非线性对流扩散方程的精度
一维非线性对流扩散方程：
! !" !" !" %" ) # ! （&） !* !+ !+ 而且数值求解方 因具有 869:+,;<=>?+3 方程的特性，
731’+&*’ ：J4,./)4 84+ (/Z+,*>01 >.ZW/808*.( 0(V >.ZW0,*7.( X*84 84+ +P0>8 7.1/8*.(7 .2 .(+ V*Z+(7*.(01 1*(+0, 0(V (.(1*(+0, >.(6+>8*.( V*22/7*.( +[/08*.(7， 7*Z/108+V 0>>/,0>9 T9 84+ 2*,78 .,V+, >.(7+,608*6+ /WX*(V V*22+,+(>+ 7>4+Z+ X07 0(019\+V *( V+80*1; Q8 74.X7 8408 84+ 2*,78 .,V+, /WX*(V V*22+,+(>+ 7>4+Z+ 407 4*)4 0>>/,0>9 *( 7*Z/E 108*() (.(1*(+0, >.(6+>8*.( V*22/7*.( +[/08*.( ，0184./)4 *8 >./1V (.8 ,+W+08 84+ +P0>8 7.1/8*.( .2 1*(+0, >.(6+>8*.( V*22/7*.( +[/08*.( X+11; Q( +()*(++,*() 0WW1*>08*.( ，84*7 7>4+Z+ >0( T+ /7+V 8. >.ZW/8+ Z.Z+(8/Z +[/08*.( .2 21.X 0(V *7 (.8 7/*80T1+ 8. 7*Z/108+ Z08+,*01 Z*P*() W,.>+77 V,*6+( T9 84+ 21.X; 8(, 5-+)1：/WX*(V V*22+,+(>+ 7>4+Z+；>.(6+>8*.( V*22/7*.( +[/08*.(；I/,)+,7 +[/08*.( ；>.ZW/808*.(01 21/*V V9(0Z*>7 H H 一维对流扩散方程 $ !! !! !! #$ & ! $ （&） !" !% !% H H 其中 $ 是对流速度； ! 是任一物理量， 可以包 括 !"$ 的情况， 此时式 （&） 为一维非线性对流扩散 方程， （&） 常用来描述 （ I/,)+,7） ! 是扩散系数’ 式 水流运动、 物质传输和扩散的综合过程， 广泛适用 于水利工程、 环境工程及航空、 航海、 化工、 冶金等 领域， 因此对流扩散方程的求解方法在这些领域都 受到充分重视’ 一阶迎风差分格式用于线性对流扩散方程求 解时， 虽然其形式简单， 但因有一定的数值扩散问 题， 其计算结果往往不令人满意’ 线性方程数值计 算的稳定性分析也证明了这一点’ 围绕提高对流 扩散方程数值求解的精度问题， 先后提出的有欧