stewart运动学分析

Stewart型并联支撑机构运动学公式推导

一、构型分析及坐标系建立

静基座自动调平系统Stewart平台型并联支撑机构为双三角形机构，由一个活动上平台和一个固定的下平台所组成。上平台铰链点和基座平台铰链点的分布形式相同，但铰接点相互交错，六根支链分别用移动副和两个球铰链与上下平台连接。并联机构示意图如图1所示。

图1 Stewart并联机构示意图

支链与动平台铰接点为A1,A2,A3,支链与基座铰接点标记为B1，B2,B3。坐标系选在平台的三角几何中心，由右手螺旋法则确定。动平台三角边长为a，定平台三角边长为b，动平台起始高度为h。根据设定的初始值，各支链与定平台、动平台铰接点的坐标如表一所示。

二、并联支撑机构正反解

两个坐标系，o 和o ′，其中，o 为固定坐标系。 （1）将坐标系o 绕自身的x 轴旋转γ；

（2）将旋转后的坐标系绕固定坐标系的y 轴旋转β； （3）将第二步的坐标系绕固定坐标系的z 轴旋转α； 旋转矩阵分别为

R x =[1000cγ−sγ0sγcγ

]

R y =[cβ

0sβ0

10−sβ

0cβ

] R z =[cα−sα0sαcα0001

]

按上述方式得到的总旋转变换矩阵为：

R o ′o

=R z R y R x =[cαcβcαsβsγ−sαcγcαsβcγ

sαcβsαsβsγ+cαcγsαsβcγ−cαsγ−sβcβsγcβcγ]

设动平台的平移参数为（d x ,d y ,d z ）,则坐标的齐次变换矩阵为：

T o ′o

=[

cαcβ

cαsβsγ−sαcγcαsβcγ+sαsγ0sαcβsαsβsγ+cαcγ

sαsβcγ−cαsγ

0−sβcβsγcβcγ00

1

] 对于与动平台铰接的各点A i (i=1,2,3),点的齐次坐标为p A i ,经过变换后的点对应标记为A i ′,变换后的齐次坐标为p A i

′,则， p A i

′=T o ′o

p A i 带入初始坐标后，得出变换后与动平台铰接的各点坐标值为： [A 1x

′

A 1y ′

A 1z ′

]=[ −√3

6acαcβ+1

2a (sαcγ−cαsβsγ)+ℎ(cαsβcγ+sαsγ)+d x −√36asαcβ−12

a (sαsβsγ+cαcγ)+ℎ(sαsβcγ−cαsγ)+d y √3

6

asβ−12acβsγ+ℎcβcγ+d z ]

[A 2x

′A 2y ′

A 2z ′]=[ √3

3acαcβ+ℎ(cαsβcγ+sαsγ)+d x √3

3

asαcβ+ℎ(sαsβcγ−cαsγ)+d y −√3

3asβ+ℎcβcγ+d z ]

[A 3x

′A 3y ′

A 3z ′

]=[ −√36acαcβ+1

2a (cαsβsγ−sαcγ)+ℎ(cαsβcγ+sαsγ)+d x −√36asαcβ+12

a (sαsβsγ+cαcγ)+ℎ(sαsβcγ−cαsγ)+d y √3

6asβ+12

acβsγ+ℎcβcγ+d z ]

设六个驱动器的伸展长度为∆l i (i=1--6),则与之相应的六个方程式表示为：

∆l 1=A 1′B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√(A 1x ′−B 1x )2+(A 1y ′−B 1y )2+(A 1z ′−B 1z )2−l 1 ∆l 2=A 2′B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√(A 2x ′−B 1x )2+(A 2y ′−B 1y )2+(A 2z ′−B 1z )2−l 2 ∆l 3=A 2′B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√(A 2x ′−B 2x )2+(A 2y ′−B 2y )2+(A 2z ′−B 2z )2−l 3 ∆l 4=A 3′B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√(A 3x ′−B 2x )2+(A 3y ′−B 2y )2+(A 3z ′−B 2z )2−l 4 ∆l 5=A 3′B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√(A 3x ′−B 3x )2+(A 3y ′−B 3y )2+(A 3z ′−B 3z )2−l 5 ∆l 6=A 1′B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√(A 1x ′−B 3x )2+(A 1y ′−B 3y )2+(A 1z ′−B 3z )2−l 6

由α、β、γ、d x 、d y 、d z 经过上式推导得出∆l i 的过程，称为Stewart 平台的反解过程。

三、并联支撑机构速度/加速度分析

设S i 为沿驱动器i 的单位矢量，l i 为驱动器i 的长度，r o ′B 运动平台质心o ′到B i 点的位置矢量。ωo ′和v o ′分别是运动平台在惯性参考系中的角速度和线速度矢量，则运动平台上B i 点处的速度矢量为：

v B i =ωo ′×r o ′B +v o ′

矩阵形式为：

v B i =[−r

̂o ′B I][ωo ′

v o

′]

式中^表示矢量的反对称矩阵。对一个矢量x ，有

x ̂=[0−x 3x 2

x 3

0−x 1−x 2x 10

] 通过将运动平台上B i 点处的速度矢量v B i 向驱动器方向投影（即用单位矢量S i 点乘B i 点的速度矢量v B i ），可以得到驱动器i 的上下两部分沿驱动器方向的相对移动速度：