分数指数幂1
分数指数幂
第1、2课时【学习题目】 分数指数幂 【学习目标】（1） 复习整数指数幂的知识； （2）了解n 次根式的概念； （3） 理解分数指数幂的定义；（4）掌握根式与分数指数幂之间的转化；（5）会利用计算器求根式和分数指数幂的值，培养计算工具使用技能.【教学重点】分数指数幂的定义； 【教学难点】根式和分数指数幂的互化 【教具】多媒体课件、板书 【教学进程】一、创设问题情境----引入新知【课前导学】问题一：1、 如果29x =，则x = ；x 叫做9的 ；2、如果23x =，则x = ；x 叫做3的 ；3、如果38x =，则x = ；x 叫做8的 ；4、如果38x =-，则x = ；x 叫做-8的 ．解 决 如果2x a =，那么x =a 的平方根（二次方根）a 的算术平方根；如果3x a =，那么x =a 的立方根（三次方根）． 二、师生互动----探究新知： 问题二：1、n 次方根的概念？ （一般地，如果(n x a n n =∈+N 且＞1），那么x 叫做a 的n 次方根） 说明（1）当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，分别表示为a的n 次算数根；零的n 次方根是零；负数的n 次方根没有意义．例如，81的4次方根有两个,它们分别是3和−3,其中3叫做 81的4次算术根，3=．（2）当n 为奇数时，实数a 的n例如，32-的5次方根仅有一个是−2 ， 2-． 2、n 次根式的概念？1n n ∈>+N 且)的式子叫做a 的n 次根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．3、 读出下列各根式，并计算出结果？（1 （2 （3） （4． 4、 填空：（1）25的3次方根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ； （2）12的4次算术根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ；（3）-7的5次方根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ； （4）8的平方根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ． 5、计算：32= ；23-= ；= ；423⎛⎫ ⎪⎝⎭= ；215-⎛⎫⎪⎝⎭= ． 6、整数指数幂，当*n ∈N 时，na = ；并且规定当0a ≠时，0a = ； n a -= ． 探究：将整数指数幂的概念进行推广：124= ． *动脑思考 探索新知 概念规定：m na=其中m n n +∈N 、且＞1．当n 为奇数时，a ∈R ；当n 为偶数时，0a …．当mna 有意义，且0a ≠，m n n +∈N 、且＞1时，（1）mna-=（2）0的正分数指数幂等于0；(3)0的负分数指数幂无意义.这样就将整数指数幂推广到有理数指数幂． 三、师生协作------实践新知 问题三：1、 将下列各分数指数幂写成根式的形式：（1）47a ； （2）35a ； （3）32a-．分析 要把握好形式互化过程中字母的位置对应关系，按照规定，先正确找出公式中的m与n ，再进行形式的转化．解 （1）7n =，4m =，故47a = （2）5n =，3m =，故35a =（3）2n =，3m =，故32a-=．2、 将下列各根式写成分数指数幂的形式：（1（2（3．分析 要把握好形式互化过程中字母位置的对应关系，按照规定逆向进行形式的转化． 解 （1）3n =，2m =23x ； （2）3n =，4m =43a ；（3）5n =，3m =35a-=．说明：将根式写成分数指数幂的形式或将分数指数幂写成根式的形式时，要注意规定中的m 、n 的对应位置关系，分数指数的分母为根式的根指数，分子为根式中被开方数的指数． 四、技能训练1．将下列各根式写成分数指数幂的形式：；；2．将下列各分数指数幂写成根式的形式： (1)354-； （2）323； (3) 25(8)--； (4)341.2．3、用分数指数幂的形式表示下列各式：2(1)a3(2)a式中a ＞0)五、课堂小结，板书设计六、布置作业课本p71 第1、2题；。
分数指数幂 课件
2
1.3 3
可化为(
)
A. 2
3 C. 9
B. 3 D． 9
[答案] C
[解析]
2
33
＝3 32＝3 9.
2．若 a>0，n，m 为实数，则下列各式中正确的是( )
A．am÷an＝amn
B．an·am＝am·n
C．(an)m＝am＋n
D．1÷an＝a0－n
[答案] D [解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确， 故选D.
3 a15÷
a－3 a－1.
2
[思路分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指 数幂的运算性质计算．
[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)12 ＝1＋16－110＝1165.
37 3 (2)原式＝ a2 a－2 ÷
8
a－3
15
a3
3 ÷
3
a－2
1
a－2
＝3 a2÷
7
a3
3 ÷
[思路分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式
化为分数指数幂的形式．
(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．
23
23
13
[解析] (1)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 ；
111
111
111
7
(2)原式＝[a·(a·a2 )2 ]2 ＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 ；
有条件的求值问题
已知
1
a2
＋a－12
＝3，求下列各式的值.
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
3
a2
－a－32
(3) 1 a2
高中数学第21课时分数指数幂教案1苏教版必修1
江苏省新沂市第二中学高中数学第21课时分数指数幂教案1 苏教版必修1课题第十四课时分数指数幂（1）课型新授课教学目标1．理解n次方根及根式的概念；2．掌握n次根式的性质,并能运用它进行化简，求值；3．提高观察、抽象的能力．重点掌握n次根式的性质,并能运用它进行化简难点掌握n次根式的性质,并能运用它进行化简教法讲授法、讨论法、探究法教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动自学评价1．如果2x a=，则x称为a的平方根；如果3x a=，则x称为a的立方根．2. 如果*(1,)nx a n n N=>∈，则x称为a的n次实数方根；0的n次实数方根等于0．3. 若n是奇数，则a的n次实数方根记作n a；若0>a则n a为正数，若oa<则n a为负数；若n是偶数，且0>a，则a的n次实数方根为n a±；负数没有n次实数方根．4. 式子n a()1,n n N*>∈叫根式，n叫根指数，a叫被开方数；()nn a=a．5. 若n是奇数，则n n a=a；若n是偶数，则n n a=||a．【精典范例】例1：求下列各式的值：（1）2(5)（2）33(2)-（3）44(2)-（4）()23π-【解】（1）2(5)5=（2）33(2)2-=-（3）4444(2)22-==（4）()23|3|3πππ-=-=-点评: 正确的领会求n n a的值的公式是求根式值的关键。
例2：设－3<x<3，化简961222++-+-xxxx追踪训练一1. 27的平方根与立方根分别是（B）（A）33,3（B）33,3±（C）33,3±（D）33,3±±2．2211x xx x--=--成立的条件是（()D）()A21xx-≥-()B1x≠()C1x<()D2x≥3．在①24(4)n-；②214(4)n+-；③54a；解：因为－3<x<3 所以x+3>0所以原式=|x －1|+|x+3| 当1≤x<3时，原式=2x+2当－3<x<1时，原式=1－x+x+3=4 综上所述原式=⎩⎨⎧<<≤+1x 3-43122，x ，x π例3．计算：625625++- 解：原式=22)23()23(++- =2323++-=23 ④54a （,n a ∈∈N R ）各式中，有意义的是（ ()B ）()A ①② ()B ①③ ()C ①②③④ ()D ①③④板书设计当堂作业课外作业教师札记根式 根式定义 根式的性质 根式与方程关系根式的运算。
分数指数幂(1)_韦余玲
6
a
数学应用：
巩固练习：
（1）
3
(8) 3 4 (3 2) 4 3 (2 3 ) 3
4
9 3
（2）
(4 ) 4 3 (3 ) 3
7 2
情境问题：
问题2:初中整数指数幂的概念及其性质有哪些？ 如下内容,你能补充完整吗?
n *
n
次方
探讨1：27的3次方根表示为
3
27 ，－32的5次方根表示为 5 32 ，
3 6
a 6 的3次方根表示为 a 。 x2 探讨2： 4，则x＝ 2 ，那么4的平方根是 2 。 x4 16 ，则x＝ 2 ，那么16的4次方根是 2 。
思考⑴：对于探讨2中问题，你有何发现？
a.a. (n N* ) ＝ ⑴整数指数幂的概念： aa
n个a
an ，
a
0
＝
1
(a≠0) ， a ＝
m n
n
am n (m, nZ) ； ⑵运算性质： a ＝ a
(a m ) n ＝பைடு நூலகம்a
⑶注意：①
mn
m
1 an
(a 0, n N*． )
(m, nZ) ； ab) n ＝ anbn (n Z) ． (
3.有理指数幂的运算性质
数学运用：
例2 求值 ：
2 3
— 1 2
8
； 100
1 ； ( ) 3 ； 4
16 ( ) 4 81
3
数学应用：
练习： 下列说法：(1)正数的n次方根是正数；(2)负数的n次方根是负数； (3)0的n次方根是0；(4) 正确命题的序号)．
分数指数幂1(新编2019)
一复习回顾
• 1.提问：正方形面积公式？正方体的体积 公式？
• 2.回顾初中根式的概念：如果一个数的平 方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如 果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根. → 记法： a, 3 a
二讲授新课
• 1.指数函数模型及背景 • 实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，
1990年人口数为a万，则x年后人口数为多 少万？ • 实例2例（细胞分裂）. • 实例3. 给一张报纸，先实验最多可折多少 侯 冬十月 傉檀奔于南山 其将牵腾帅众降 义弗可矣 在北河西北 宗之破振将温楷于柞溪 秋七月 三柱一曰三泉 六月 遂泛舟东下 自馀封赏各有差 吴将陶璜等围交趾 武帝受禅 大旱 愍帝崩问至 癸酉 靡不由之 十一月 用告祸福 追复故皇太子位 而其妃后躬行四教 州县 讨斩之 天下同 八月 杀之 缪胤各还本部 异不得至寿春 进安西将军庾翼为征西将军 九坎间十星曰天池 依阿无心者皆名重海内 死之 八月 成帝因削弱之资 及岁常调非军国要急者 死者数千人 敕收其馀 百揆时叙于上 以为远近之数 奏事不名 降于石勒 藩镇有疆理之务 己巳 以兖州刺 史朱序为南中郎将 身服厥劳 斗 迁大将军 禁酒 九卿西五星曰内五诸侯 亦何足特痛哉 获石季龙将支重 谓千年而永治 三月 遣兼司空 右掖门也 章武王范之薨 必以文武为谥 夜行于平地 九月癸酉 十二月庚午 然少为舅氏所制 翟钊寇河南 大破之 舆鬼五星 刺史吴隐之为循所败 二曰宣 夜 示之以好恶 为文所败 众溃 天地之体 帝患之 封新城乡侯 进慕容皝为安北将军 改元 六月 范文寇九德 乞襦 己卯 而鸿雁之歌方远 地震水旱为变者相属 是岁 李雄将李寿寇巴东 色白 固辞策命 帝在长安 使两婢侍 令外人知 其北都没之顷 及帝登阼 天若如推磨右转而日西行者 以 挫其锋 获之 改元 石季龙寇历阳 愍帝奔播之
第三章 §1 指数幂的拓展
§1 指数幂的拓展学习目标 1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.了解无理指数幂和实数指数幂的含义．知识点一 分数指数幂 1．正分数指数幂给定正数a 和正整数m ，n (n >1，且m ，n 互素)，若存在唯一的正数b ，使得b n ＝a m ，则称b 为a 的mn 次幂，记作b ＝mn a .这就是正分数指数幂．2．负分数指数幂给定正数a 和正整数m ，n (n >1，且m ，n 互素)，定义m na -＝1m na＝1nam，这就是负分数指数幂． 思考 因为5－32＝－2，所以()15322,-=-这种说法正确吗？答案 不正确，因为在指数幂的概念中，总有a >0. 知识点二 无理数指数幂无理数指数幂的定义：一般地，给定正数a ，对于任意的正无理数α，可以定义一个实数a α，自然地，规定a －α＝1aα.1．0的指数幂总等于0.( × ) 2．指数幂m na ，总有a >0.( √ )3．分数指数幂m na 可以理解为mn 个a 相乘．( × )4．138-＝12.( √ )一、n 次方根例1 (1)若81的平方根为a ，－8的立方根为b ，则a ＋b ＝________. 答案 7或－11解析 81的平方根为－9或9，即a ＝－9或9， －8的立方根为－2，即b ＝－2， ∴a ＋b ＝－11或7.(2)若4x －2有意义，求实数x 的取值范围． 解 ∵4x －2有意义，∴x －2≥0， ∴x ≥2，即x 的取值范围是[2，＋∞)．(学生)反思感悟 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．(2)符号：根式na 的符号由根指数n 的奇偶性及被开方数a 的符号共同确定． ①当n 为偶数，且a ≥0时，na 为非负实数； ②当n 为奇数时，na 的符号与a 的符号一致． 跟踪训练1 (1)已知x 7＝8(x >0)，则x 等于( ) A ．2 2 B.78 C ．－78 D ．±78 答案 B解析 因为7为奇数，8的7次方根只有一个78. (2)若42x ＋5有意义，则x 的取值范围是________； 若52x ＋5有意义，则x 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－52，＋∞ R 二、根式与分数指数幂的互化例2 用分数指数幂表示下列各式(a >0)：(1)3a 2；(2)a 3b 4；(3)a a . 解 (1)原式＝23a . (2)原式＝3432222a b a b =. (3)令b ＝a a ＝()12a a ，∴b 2＝aa ，∴b 2a＝a ＝12a ，∴⎝⎛⎭⎫b 2a 2＝a ，即b 4a 2＝a ， ∴b 4＝a 3，∴b ＝34a ，即原式＝34.a 反思感悟 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数幂的分母．(2)被开方数(式)的指数分数指数幂的分子．跟踪训练2 用分数指数幂表示下列各式(a >0，b >0)： (1)ab 3；(2)a 3·a . 解 (1)原式＝1322a b . (2)令b ＝a 3a ，∴ba3＝a ＝12a ，∴⎝⎛⎭⎫b a 32＝a ，即b 2a 6＝a ，∴b 2＝a 7. ∴b ＝72a ，即a 3·a ＝72a . 三、指数幂的计算 例3 计算：12(1)64； 231(2)27⎛⎫ ⎪⎝⎭；-32(3)16；- 131(4)8⎛⎫. ⎪⎝⎭ 解 (1)令12=64b ，∴b 2＝64，∴b ＝8(b >0)，1264=8.∴223323111(2)==2727127b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-令∴b 3＝⎝⎛⎭⎫1272＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1332＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1323， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫132＝19，2311==9.1279⎛⎫ ⎪⎝⎭-∴ (3)332232116,=1616b =，-令∴b 2＝163＝(42)3＝(43)2，∴b ＝43＝64(b >0)，32116=64.-∴ (4)令b ＝1318⎛⎫⎪⎝⎭， ∴b 3＝18＝⎝⎛⎭⎫123，∴b ＝12，1311=82⎛⎫. ⎪⎝⎭∴ 反思感悟 指数幂的运算，一般用待定系数法，把分数指数幂转化为整数指数幂，利用整数指数幂的运算性质求解指数幂．跟踪训练3 把下列各式中的正数b 写成分数指数幂的形式． (1)b 3＝32；(2)b 2＝14；(3)b －3＝34；(4)b －3m ＝42n (m ，n ∈N ＋)．解 (1)b 3＝32＝25，53=2b .∴ (2)b 2＝14，1214b ⎛⎫=. ⎪⎝⎭∴(3)b －3＝34，433b =.-∴ (4)b －3m ＝42n ＝(22)2n ＝24n ，43=2n mb .-∴1．233可化为( ) A. 2 B. 3 C.39 D.9 答案 C解析 233＝332＝39.2.5a －2(a >0)可化为( ) A ．25a- B ．25a C ．75a D ．72a -答案 A3．已知(a －b )2＝a －b ，则( ) A ．a >b B ．a ≥b C ．a <b D ．a ≤b答案 B 解析(a －b )2＝|a －b |＝a －b ，所以a －b ≥0，所以a ≥b . 4．m 6(m >0)的平方根为( ) A ．m 3 B ．－m 3 C ．±m 3 D ．|m |3 答案 C5．若b －5＝32－3(b >0)，则b ＝________. 答案 8解析 b －5＝32－3＝(25)－3＝2－15，1535=2=2=8.b --∴1．知识清单：(1)正分数指数幂和负分数指数幂． (2)无理数指数幂和实数指数幂．2．常见误区：0的零指数幂和任意负实数指数幂没有意义．1．2的10次方根为( ) A.102 B －102 C.210 D ．±102 答案 D 2.13m 2(m >0)化为分数指数幂为( )A ．23m-B ．23m C ．32m-D ．32m答案 A 解析13m2＝23231=m m.-3．()3432x --中x 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 答案 C解析 要使该式有意义，需3－2x >0，即x <32.4．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是( ) A ．5－2a B ．2a －5 C ．1 D ．－1 答案 C解析 ∵2<a <3，∴a －2>0，a －3<0， ∴(2－a )2＋4(3－a )4＝|2－a |＋|3－a |＝a －2＋3－a ＝1. 5．若b －3n＝5m (b >0，m ，n ∈N ＋)，则b 等于( )A ．35n m- B ．35m n- C ．35n mD ．35m n答案 B解析 若x p ＝y q (p ，q ∈N ＋，x >0，y >0)，则3==5p m qny x b ，.-所以6．计算：148116⎛⎫⎪⎝⎭-＝________. 答案 237．若31a －3有意义，则实数a 的取值范围是________． 答案 {a |a ≠3}解析 要使31a －3有意义，则a －3≠0，即a ≠3.所以a 的取值范围是{a |a ≠3}． 8．计算：23827⎛⎫ ⎪⎝⎭＋⎝⎛⎭⎫340＋3－2＝________. 答案149解析 令b ＝23827⎛⎫⎪⎝⎭，∴b 3＝⎝⎛⎭⎫8272＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2332＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2323， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫232，∴原式＝⎝⎛⎭⎫232＋1＋19＝149. 9．计算下列各式的值：12(1)121; 1264(2);49-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 34(3)10;-000 23125(4)27-⎛⎫. ⎪⎝⎭解 (1)令12121,b = ∴b 2＝121，∴b ＝11(b >0)，12121=11.∴(2)11221264164==49496449b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，，令 ∴b 2＝6449，∴b ＝87(b >0)，12647=498⎛⎫. ⎪⎝⎭-∴ (3)3434110=10000000，-34=10b 000，令∴b 4＝10 0003＝(104)3＝(103)4， ∴b ＝103(b >0)，∴3410000-＝1103＝11 000.(4)2233231251125=272712527b-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，，令∴b3＝⎝⎛⎭⎫125272＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5332＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5323，∴b＝⎝⎛⎭⎫532(b>0)，∴2312527⎛⎫⎪⎝⎭-＝1⎝⎛⎭⎫532＝925.10．已知4a4＋4b4＝－a－b，求4(a＋b)4＋3(a＋b)3的值．解因为4a4＋4b4＝－a－b，所以4a4＝－a，4b4＝－b，所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.11．(多选)下列互化不正确的是()A.－x＝()12x-(x>0)B.6y2＝13y(y<0)C．2132x y-＝3y2x(x>0，y>0)D．13x-＝－3x(x≠0)答案ABD解析对于A，－x＝12x，-故A错误；对于B，当y<0时，6y2>0，13y<0，故B错误；对于C，2132x y-＝3y2x(x>0，y>0)，故C正确；对于D，13x-＝13x(x>0)，故D错误．12．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是()A．()()123611--和B．12200和-C．112424和D．332142⎛⎫⎪⎝⎭和--答案 C解析选项A中，()()123611--和均不符合分数指数幂的定义，故A不满足题意；选项B中，0的负实数指数幂没有意义，故B不满足题意；选项D中，332142⎛⎫⎪⎝⎭--和虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；选项C中，111422422=24=2=2=2，，满足题意．13.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则4(a－b)4的值为()A．a＋bB．－(a＋b)C．a－bD．b－a答案 D解析由题图知f(－1)＝a－b＋0.1<0，∴a－b<0.∴4(a－b)4＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a.14．若x2－2x＋1＋y2＋6y＋9＝0，则(x2 020)y＝________.答案 1解析因为x2－2x＋1＋y2＋6y＋9＝0，所以(x－1)2＋(y＋3)2＝|x－1|＋|y＋3|＝0，所以x＝1，y＝－3.所以(x2 020)y＝(12 020)－3＝1－3＝1.15．若代数式2x－1＋2－x有意义，则4x2－4x＋1＋24(x－2)4＝________.答案 3解析∵2x－1＋2－x有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤2，∴12≤x ≤2.∴4x 2－4x ＋1＋24(x －2)4＝(2x －1)2＋24(x －2)4＝|2x －1|＋2|x －2|＝2x －1＋2(2－x )＝3. 16．化简下列各式： (1)5－26＋7－43；(2)a ＋2a －1＋a －2a －1(a ≥1)． 解 (1)原式＝3－26＋2＋4－43＋3＝(3－2)2＋(2－3)2＝(3－2)＋(2－3)＝2－ 2. (2)原式＝(a －1)＋2a －1＋1＋(a －1)－2a －1＋1＝(a －1＋1)2＋(a －1－1)2＝(a －1＋1)＋|a －1－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，1≤a ≤2，2a －1，a >2.。
高中-数学-人教版-4.1.1 n次方根与分数指数幂(一)
4.1.1 n 次方根与分数指数幂（一）一、选择题1、计算129=4⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ）A.8116B.32C.98D.232、已知0a >=（ ）A.12aB.32aC.23aD.13a3、下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ）A. 12()(0)x x =-≥B.13(0)x x =≤C. 340)xx -=>D. 130)x x -=≠4、若48x =，则x =（ ）A. 2B. 4C.12D.325、式子 ）A.B.C.D. 6的结果是（ ）A.132- B.122- C.232- D.322-二、填空题7=______． 8、1230.523274(3)0.008825-⎛⎫-+⨯⎪⎝⎭=______． 9、已知m =2，n =3，则3的值是______．10、已知121217a a+=，则1a a -+=______．三、解答题11、计算：（1(0.5934-⎛⎫+- ⎪⎝⎭﹣（2）设0a >（3）若1122x x-+=12212x x x x --+-+-的值． 12、设22332100064a =⨯++ （1）化简上式，求a 的值；（2）设集合{}A x x a =>，全集为R ，B A =⋂RN ，求集合B 中的元素个数．参考答案1、【答案】B【分析】本题考查分数指数幂的运算.【解答】由题意可得111222229333===4222⨯⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，选B.2、【答案】D【分析】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算.23a=2113323aa aa-===.选D.3、【答案】C【分析】本题考查根式与分数指数幂的互化.【解答】12(0)x x=-≥，故A13x=，故B错，130)x x-=≠，故D 错，选C.4、【答案】D【分析】本题考查分数指数幂的运算.【解答】由48x=得2322x=，∴23x=，∴32x=．选D.5、【答案】D【分析】本题考查根式的化简运算.【解答】∵a＜0，∴==．选D.6、【答案】B【分析】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算.13111323222222.⨯⎛⎫==-⨯=-=-⎪⎝⎭选B.7、【答案】8【分析】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算.()1344322=8⎡⎤==⎢⎥⎣⎦．8、【答案】52答案第1页，共2页【分析】本题考查分数指数幂的运算. 【解答】120.5233274()(3)(0.008)825--+⨯211332332314()3()2525⎛⎫⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭=-+⨯353422=-+=． 9、【答案】227 【分析】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算.【解答】m =n =3，则原式=3231345323221322213m n mn m n m n nm nm ------⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥÷=⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=m •n -3=2×3-3=227. 10、【答案】47【分析】本题考查分数指数幂的运算.【解答】2111221122117247a a a a a a -⎛⎫⎪+=∴+=+-=⎪⎝⎭，. 11、【答案】（1）4π3+；（2）116 a -；（3）14．【分析】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 【解答】（1）原式2411ππ33=+-+-=+；（2）原式4111326223a aaa a --⋅==⋅；（3）若1122x x-+=则14x x -+=，2214x x -+=，故122141121424x x x x --+--==+--. 12、【答案】（1）218；（2）219个.【分析】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，集合的补集运算. 【解答】（1）原式223320002164=⨯++2100162=⨯++218=.（2）{}218A x x =>，{}218A x x =≤R，{}0218B x x x =≤≤∈N ，，∴B 中元素个数为219．。
人教版数学必修12.1.1分数指数幂
37
9
（2）
(
1
)
1 2
( 4ab1 )3
4
1
0.1 2 (a3b 3) 2
1.
(
27
1
)3
(1)2 ( 1 )2
(
25
)
1 2
1
10
49
5
1
45
1000
7
9
3
3
13
2.
42 42
3
3
3
3
a2 a 2 b2 b 2
4
a0 b0
4
100Leabharlann 2525知识层面： 1.分数指数幂的意义就是正数的正分数指数幂的意义是
n
am n am (a > 0, m, n N* n > 1)
,零正的数正的分负数分次数幂指等数于幂零的，意零义的是负分a数mn 指a数1mn 幂没n 1有am意(a义>.
0,
m,
n
,
N*
n > 1)
2.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有
引入新课
回顾整数指数幂的定义与运算性质：
整数指数幂 an的含义为
an a a a (n N*）， n个a
同时规定：a0
1
(a
0)，an
1 an
(a 0, n N*）；
整数指数幂的运算律⑴ am an amn；⑵ (am )n amn ；
⑶ (ab)n anbn ，以上 m、n Z．在各运算律中，
1
m
(a
>
0, m, n
N * ,且n
> 1)
an
数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂(1)
积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，
再把所得的幂相乘
m
n
正数的正分数指数幂：a n a m (a 0, m, n N * , n 1)
正数的负分数指数幂： a
m
n
1
a
m
n
1
n
a
m
(a 0, m, n N * , n 1)
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．
指数运算性质
① = + > , , ∈
②
③
= > , , ∈
=
> , ∈
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
同底数幂相除，底数不变，指数相减
幂的乘方，底数不变，指数相乘
指数运算性质：
(1) a a a
r
s
rs
(a 0, r , s Q);
(2) (a r ) s a rs (a 0, r , s Q);
(3) (ab) a b (a 0, b 0, r Q).
r
r r
例2 求值：（1） ；（2）
−
.
例3 用分数指数幂的情势表示并计算下列各式( 其中a>0).
( a) a
n
n
性质二： ①当n为奇数时，
②当n为偶数时，
m
n
正数的正分数指数幂：a n a m (a 0, m, n N * , n 1)
正数的负分数指数幂： a
12.7 分数指数幂(1)
81
1 4
（2）
1 ( ) 8
1 3
问题拓展
例3、计算：
（1） (8 27)
（2）
1 3
2 8
1 2
1 2
课堂练习：
P32页11.7(1)
巩固练习
1、把下列方根化为幂的形式：
（1）
（3）
4
6
1 3
3
（2）
5
7
3
4
（4） 3
5
2
巩固练习
2、计算： （1）
1 (3 3 1 2 )6 2
a p a q a pq ， p a q a p q a （ⅰ）
（ⅱ） (a ) a
p q
pq
a p a p p p ( ) p （ⅲ） (ab) a b ， b b
p
例题分析
例1、把下列方根化为幂的形式：
（1）
3
5
5
3
；
；
（2）
（4）
1
3
5
2
；
.
4 （3）
4
9
例题分析
概念辨析
n m
分数指数幂
a
m an
(a 0) (a 0)
m an
1
n
a
m
m a n
n （其中 m 、 为整数， n 1 ）
和a
m n
上面规定中的
叫做分数指数幂，
a 是底数 .
有理数指数幂 整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂 .
， 有理数指数幂的运算性质： ，
设a 0 ，b 0 ，p 、 q 为有理数，那么
2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数
2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数【教材回扣】1．分数指数幂(1)a m n ＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；a －mn＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝________，(a r )s ＝________，(ab )r ＝________，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质y ＝a x a>10<a <1图象定义域 ________ 值域________ 性质过定点________当x >0时，________；当x <0时，□10________ 当x >0时，□11________；当x <0时，□12________ 在(－∞，＋∞)上是□13________ 在(－∞，＋∞)上是□14________【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1.n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( ) 2．2a ·2b ＝2ab .( )3．函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1都不是指数函数．( ) 4．若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( ) 题组二 教材改编1．(多选题)设a >0，则下列运算中不正确的是( )A ．a 43 a 34＝a B ．a ÷a 23 ＝a 32C ．a 23a -23＝0 D ．(a 14 )4＝a2．如图，①②③④中不属于函数y ＝2x ，y ＝6x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的一个是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④3．已知函数f (x )＝a －22x ＋1(a ∈R )为奇函数，则a ＝________.题组三 易错自纠1．式子a －1a化简得( )A.－aB.aC ．－aD ．－－a2．若函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a 的值为( )A.12B.32C.23或2D.12或323．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b，则下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ，不可能成立的是________．题型一 指数幂的运算[例1] (1)⎝⎛⎭⎫14 －12 ·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12(a >0，b >0)＝________.(2)若x 12 ＋x －12 ＝3，则x 32＋x －32－3x 2＋x －2－2＝________.(3)已知常数a >0，函数f (x )＝2x2x ＋ax的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫p ，65，Q ⎝⎛⎭⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________.[听课记录]类题通法(1)指数幂运算常用技巧①有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． ②负指数幂化为正指数幂的倒数．③底数是小数，一般要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后尽可能用幂的形式表示，便于指数幂的运算．(2)对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法\”巧妙地求出代数式的值.巩固训练1：(1)计算23·612·332＝________.(2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，则x 12－y12x 12＋y 12 ＝________.题型二 指数函数的图象及应用角度|与指数函数有关的图象识别[例2] (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫52－|x －1|的大致图象为图中的( )(2)函数y ＝xax|x |(a >1)的大致图象是( )[听课记录]类题通法识别与指数函数图象有关的策略(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.巩固训练2：函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )角度|指数函数图象的应用[例3] 若函数y ＝|2x －1|的图象与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围为________． [听课记录]类题通法解答此类问题的关键是画出已知函数的图象，利用数形结合方法求解.巩固训练3：若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．题型三 指数函数的性质及其应用 高频考点 角度|比较大小[例4] (1)已知a ＝⎝⎛⎭⎫4313 ，b ＝223 ，c ＝⎝⎛⎭⎫3412 ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b (2)已知0<a <b <1，则( )A ．(1－a )1b >(1－a )bB ．(1－a )b >(1－a )b2C ．(1＋a )a >(1＋b )bD ．(1－a )a >(1－b )b [听课记录]类题通法利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是：先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.巩固训练4：已知0<a <b <1，则在a a ，a b ，b a ，b b 中，最大的是( ) A ．a a B ．a b C ．b a D ．b b角度|解简单的指数方程或不等式[例5] (1)已知函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )>0的解集是( ) A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．[听课记录]类题通法利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.巩固训练5：若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x<1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．角度|与指数函数有关的复合函数[例6] (1)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2](2)[2020·全国卷Ⅱ]若2x －2y <3－x －3－y ，则( ) A ．ln(y －x ＋1)>0 B ．ln(y －x ＋1)<0 C ．ln|x －y |>0 D ．ln|x －y |<0 [听课记录]类题通法求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.巩固训练6：已知函数f (x )＝cos x x ＋12x ＋1＋a 是奇函数，则实数a 的值为________．[预测1] 核心素养——直观想象若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是________．[预测2] 新题型——多选题若实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．0<a <b <1 B ．b <a <0 C ．1<a <b D ．a ＝b2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数答案[教材回扣]□1 na m □2 1amn□3 a r ＋s □4 a rs □5 a r b r □6 R □7 (0，＋∞) □8 (0，1) □9 y >1 □10 0<y <1 □11 0<y <1 □12 y >1 □13 增函数 □14 减函数 [题组练透] 题组一1．× 2.× 3.√ 4.× 题组二1．解析：由已知a >0.a 43 a 34＝a 43 ＋34＝a 2512≠a ，A 错；a ÷a 23＝a 1－23 ＝a 13≠a 32，B 错；a 23·a －23 ＝a 23 ＋(－23 )＝a 0＝1≠0，C错；(a 14)4＝a 14 ×4＝a ，D正确．答案：ABC2．解析：已知三个函数都是指数函数，指数函数的图象一定过点(0，1)，图象②不过点(0，1)，故选B.答案：B3．解析：由f (－x )＝－f (x )，得：a －22－x ＋1 ＝－a ＋22x ＋1，即2a ＝22x ＋1 ＋22－x ＋1 ，∵22x ＋1 ＋22－x ＋1＝2，∴a ＝1. 答案：1 题组三1．解析：由题意知a <0， ∴a－1a＝a －aa2 ＝－－a .故选D. 答案：D2．解析：当a >1时，y ＝a x 在[1，2]上的最大值为a 2，最小值为a ， 故有a 2－a ＝a 2 ，解得a ＝32或a ＝0(舍去)当0<a <1时，y ＝a x 在[1，2]上的最大值为a ，最小值为a 2，故有a －a 2＝a2，解得a ＝12 或a ＝0(舍去).综上a ＝32 或a ＝12 .答案：D3．解析：画出指数函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 x，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13 x的图象：满足等式⎝⎛⎭⎫12 a＝⎝⎛⎭⎫13 b，有①0<b <a ； ②a <b <0；⑤a ＝b ＝0三个．而③0<a <b ；④b <a <0不能成立． 答案：③④课堂题型讲解题型一例1 解析：(1)原式＝412·432·a 32·b－3210·a 32·b－32＝2×45 ＝85 . (2)∵x 12＋x －12＝3，∴(x 12＋x－12 )2＝9，∴x ＋x －1＝7，∴原式＝（x 12＋x －12）（x －1＋x －1）－3（x ＋x －1）2－4 ＝3×（7－1）－372－4＝13. (3)由已知条件知f (p )＝65 ，f (q )＝－15，所以⎩⎨⎧2p 2p ＋ap ＝65①，2q 2q＋aq ＝－15②， ①＋②，得2p （2q ＋aq ）＋2q （2p ＋ap ）（2p ＋ap ）（2q＋aq ）＝1，整理得2p ＋q ＝a 2pq ，又2p ＋q ＝36pq ，所以36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，所以a 2＝36，所以a ＝6或a ＝－6，又a >0，得a ＝6.答案：(1)85 (2)13(3)6巩固训练1 解析：(1)原式＝2·312 ·1216·⎝⎛⎭⎫32 13＝2·312 ·(3×4)16 ·313·⎝⎛⎭⎫12 13 ＝2·312＋16 ＋13 ·213 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝2×3×1＝6.(2)∵x ＋y ＝12，xy ＝9，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 12－y 12x 12＋y 12 2 ＝x ＋y －2（xy ）12x ＋y ＋2（xy ）12 ＝12－2×91212＋2×912＝618 ＝13 . ∵x <y ，∴x 12－y 12<0，∴x 12－y12x 12＋y 12 <0，∴原式＝－33. 答案：(1)6 (2)－33题型二例2 解析：(1)y ＝⎝⎛⎭⎫52 －|x －1|＝⎝⎛⎭⎫25|x －1|，y >0，且x >1时，为减函数，x <1时为增函数，故选B.(2)当x >0时，y ＝a x 为单调递增函数；当x <0时，y ＝－a x 为单调递减函数． 答案：(1)B (2)C巩固训练2 解析：当a >1时，函数单调递增，且函数图象恒过点(0，1－1a )，因为0<1－1a <1，故A ，B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点(0，1－1a )，且1－1a<0.故选D.答案：D 例3 解析：曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示．由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0，1).答案：(0，1)巩固训练3 解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].答案：[－1，1] 题型三例4 解析：(1)a ＝⎝⎛⎭⎫43 13>1，0<c ＝⎝⎛⎭⎫34 12 <1， a ＝⎝⎛⎭⎫43 13 <213 <223＝b ， ∴c <a <b .(2)∵y ＝(1－a )x 是减函数， ∴(1－a )a >(1－a )b ，又y ＝x b 在(0，＋∞)上是增函数，1－a >1－b ， ∴(1－a )b >(1－b )b ，∴(1－a )a >(1－b )b .D 对，其余皆错． 答案：(1)B (2)D巩固训练4 解析：∵0<a <b <1， ∴b a >a a >a b 且b a >b b ， ∴最大的是b a . 答案：C例5 解析：(1)函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )>0的解集即2x >x ＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝2x ，y ＝x ＋1的图象(图略)，结合图象易得2x >x ＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D.(2)当a <0时，⎝⎛⎭⎫12 a－7<1， ∴⎝⎛⎭⎫12 a<8， ∴－3<a <0；当a ≥0时， a <1，∴0≤a <1. 综上a 的取值范围是(－3，1). 答案：(1)D (2)(－3，1) 巩固训练5解析：(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12 x <1可变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12 x ＋[⎝⎛⎭⎫12 x]2，设t ＝⎝⎛⎭⎫12 x，则原条件等价于不等式m 2－m <t ＋t 2在t ≥2时恒成立，显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m <6，解得－2<m <3.答案：(－2，3)例6 解析：(1)由f (1)＝19 ，得a 2＝19 ，所以a ＝13 或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 |2x －4|由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增则y ＝⎝⎛⎭⎫13 t在R 上单调递减．所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞).(2)因为2x －2y <3－x －3－y ，所以2x －3－x <2y －3－y .设f (x )＝2x －3－x ，则f ′(x )＝2x ln 2－3－x ×ln3×(－1)＝2x ln 2＋3－x ln 3，易知f ′(x )>0，所以f (x )在R 上为增函数．由2x －3－x <2y －3－y 得x <y ，所以y －x ＋1>1，所以ln (y －x ＋1)>0，故选A.答案：(1)B (2)A巩固训练6 解析：∵函数y ＝cos xx是奇函数，∴要使f (x )＝cos x x ＋12x ＋1 ＋a 是奇函数，只需g (x )＝12x ＋1 ＋a 是奇函数．由g (－1)＝－g (1)得12－1＋1 ＋a ＝－12＋1 －a ，∴a ＝－12 .(经检验符合题意)答案：－12高考命题预测预测1 解析：因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝－1，所以f (x )＝2|x－1|.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．当m <n ≤1或1≤m <n 时，离对称轴越远，m 与n 的差越小，由y ＝2x －1与y ＝21－x 的性质知极限值为0.当m <1<n 时，函数f (x )在区间[m ，n ]上的最大值与最小值的差为f (x )max －f (x )min ＝2|±2|－20＝3，则n －m 取得最大值3－(－1)＝4，所以n －m 的取值范围是(0，4].答案：(0，4]预测2 解析：因为实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ， 设f (x )＝2x ＋3x ，g (x )＝3x ＋2x . 由图象可知：①当x <0时，f (x )<g (x )，所以2a＋3a＝3b＋2b，即b<a<0，故B正确；②当x＝0时，f(x)＝g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即a＝b＝0，故D正确；③当0<x<1时，f(x)>g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即0<a<b<1，故A正确；④当x＝1时，f(x)＝g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即a＝b＝1，故D正确；⑤当x>1时，f(x)<g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即1<b<a，故C错误．答案：ABD第11页共11页。
分数指数幂计算题
分数指数幂计算题
摘要：
1.分数指数幂的定义与性质
2.分数指数幂的计算方法
3.分数指数幂的应用举例
4.结论
正文：
分数指数幂是一种特殊的指数幂，它在数学中具有重要的性质和应用。
在这篇文章中，我们将讨论分数指数幂的定义与性质，计算方法以及应用举例。
1.分数指数幂的定义与性质
分数指数幂是指形如a^（m/n）的表达式，其中a 为正实数，m 和n 为整数，且n≠0。
分数指数幂的性质包括：
(1) 当m 为整数时，a^（m/n）= (a^m)^(1/n)
(2) 当n 为整数时，a^（m/n）= (a^(m/n))^n = a^m/n
2.分数指数幂的计算方法
计算分数指数幂的方法主要有两种：
(1) 直接计算法：将底数a 连续乘以自身m/n 次方，即a^（m/n）=
a ×a^(m/n-1)
(2) 换底数法：将分数指数幂转化为整数指数幂，再进行计算。
例如，a^（m/n）= (a^(m/n))^n = a^m/n
3.分数指数幂的应用举例
分数指数幂在实际问题中有广泛的应用，例如：
(1) 计算复利：若本金为P，年利率为r，存款时间为t 年，则未来的本息总和S 可表示为S = P ×(1 + r/n)^(nt)
(2) 计算概率：若事件A 的概率为P，事件B 的概率为Q，则事件A 且事件B 的概率可表示为P(A∩B) = P ×Q^(1-P)
4.结论
分数指数幂作为一种特殊的指数幂，具有重要的性质和应用。
【数学课件】分数指数幂(1)
如何求p呢？
数学建构：
1．平方根与立方根．
如果一个数的平方等于a，那么这个数是a的一个平方根， 也就是说，如果x2=a，那么x就是a的一个平方根． 如果一个数的立方等于a，那么这个数是a的立方根， 也就是说，如果x3=a，那么x就是a的立方根．
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
0的n次实数方根等于0
数学建构：
3．根式及其性质．
我们把 n a叫n次根式，n是根指数，a是被开方数．
a
数学应用：
数学应用：
例2．计算下列各式的值．
(1) 2 1 0 24 13 162 81 42 24 32
3
4
……
数学建构：
2．n次方根． 一般地，如果一个实数x的满足xn=a(n＞0，nN*)，那么称x为a的n次实数方根． 当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根 是一个负数．这时，a的n次实数方根只有一个，记为n a ． 当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次实数方根是两个，它们互为相反数，正数 a 的正 n 次实数方根用符号n a表示，负的 n 次实数方根用符号－n a表示， 它们可以合并写成的形式±n a(a＞0)．
分数指数幂的运算公式
分数指数幂的运算公式分数指数幂的运算公式是数学中经常用到的重要工具，它可以帮助我们简化复杂的运算，提高计算的效率。
在本文中，我们将深入探讨分数指数幂的运算公式，并解释其应用。
首先，让我们回顾一下指数的基本定义。
指数是数学中表示幂运算的一种方法。
例如，a的n次方（或称为a的指数n）可以表示为an。
在这里，a是底数，n是指数。
在分数指数幂中，指数可以是一个分数，这给了我们一个新的计算方式。
让我们看一个分数指数幂的例子：2的1/2次方。
这意味着我们需要计算2的平方根。
根据常识，我们知道2的平方根是1.414。
那么我们可以得出2的1/2次方等于1.414。
一般来说，分数指数幂的运算公式可以表示为：a的m/n次方 = (a的m)的1/n次方这个公式实际上是分数指数幂规律的推广。
根据这个公式，我们可以先对底数a进行m次幂运算，然后再将结果开n次方。
举个例子来说明这个公式的应用。
假设我们要计算4的3/2次方。
根据上述公式，我们可以先计算4的3次方，结果为64。
然后我们再将64开2次方，结果为8。
所以4的3/2次方等于8。
这个公式对于分数指数幂数的运算非常有用，它可以帮助我们解决一系列的问题。
让我们再来看一个例子。
假设我们要计算16的2/3次方。
根据公式，我们可以计算16的2次方，结果为256。
然后我们再对256开3次方，结果为16。
所以16的2/3次方等于16。
分数指数幂的运算公式还可以推广到更复杂的情况。
比如，一个分数的指数也可以是一个分数。
在这种情况下，我们可以将其转化为两个整数的比例，并按照以上公式进行运算。
总结一下，分数指数幂的运算公式可以极大地简化复杂的运算问题。
通过将分数指数幂转化为整数指数和开方运算，我们可以更轻松地进行计算。
这个公式不仅适用于整数幂，还适用于各种分数幂的情况。
因此，它在数学领域具有广泛的应用价值。
希望通过本文的讲解，您能更好地理解和运用分数指数幂的运算公式。
在解决数学问题时，这个公式将成为您的有力工具。
《分数指数幂》课件
目录
• 分数指数幂的定义 • 分数指数幂的运算 • 分数指数幂的应用 • 分数指数幂的扩展知识 • 练习题与答案
01
分数指数幂的定义
分数指数幂的数学定义
分数指数幂的数学定义
对于任意实数a和正整数m、n，a的m/n次方定义为a的m次方根的n次方。即 ，如果b是a的m次方根，那么a^(m/n) = b^n。
3}{2}}$
分数的指数幂应用练习题
总结词
应用分数指数幂解决实际问题
练习题1
已知 $a^{frac{1}{2}} = frac{1}{2}$，求 $a$ 的值。
练习题2
已知 $left(frac{a}{b}right)^{-frac{1}{2}} = frac{1}{3}$，求 $a$ 和 $b$ 的值。
分数指数幂在解决化学问题中的应用
在解决化学问题时，分数指数幂也具有广泛的应用。例如，在计算化学键的强度、研究分子的性质和 行为以及解决化学反应的平衡问题时，使用分数指数幂可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
04
分数指数幂的扩展知识
分数指数幂与整数指数幂的关系
分数指数幂是整数指数幂的扩展，当分数指数的分子大于分母时，相当于整数指 数幂的指数加1；当分子等于分母时，相当于整数指数幂的指数；当分子小于分 母时，相当于整数指数幂的指数减1。
ac{1}{2}}$
感谢您的观看
THANKS
运算规则一
乘法运算。当底数相同时，分 数指数幂相乘等于将指数相加 。即，a^(m/n) * a^(m/n) =
a^(m/n+m/n)。
举例
2^(2/3) * 2^(2/3) = 2^(4/3) 。
运算规则二
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)(1)
幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
2.在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，
则可以对根式进行化简运算．
3.对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的情势表示．
五、巩固训练
1.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( C )
1.化简 时,第一明确根指数n是奇数还是偶数,然后根据根式的性质
进行化简;化简( )n时,关键是明确 是否有意义,只要 有意义,则
( )n=a.
2.在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参
数的取值范围,即确定 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
a
①( )n=____；②
=
a
______，n为奇数；
|a|
______，n为偶数.
3.分数指数幂的意义
正分数指数幂
规定：
=_____（a＞0，m，
∗
n∈N ，且n＞1）
分数指数幂 负分数指数幂
规定：
−
=____=____（a＞0，
∗
m，n∈N ，且n＞1）
例2 求值：（1）8
2
3；
2Байду номын сангаас
3
16 34
（2）( ) .
81
2
3 3
解：（1） 8 (2 )
3
2
2
3
22 4；
16 34
2 4( 34 ) 2 3 27
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*
64 个细胞 .
在上述例子中 x 只能取正整数我们还知道 , .
x
对于式子 2 , x 取 负 整 数和0 也是有意义的那 . 么, x 能取分数甚至无理数吗 ?
学习目标
1.理解n次实数方根与n次根式的概念. 2.理解分数指数幂的含义. 3.熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正 实数的算术根.
2 .2
指 数函数
某细胞分裂时由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个, , 4 个分裂成 8 个, 如果分裂一次需要 min, 那 10 么,1 个细胞1 h 后分裂成多少个细胞 ?
假设细胞分裂的次数为
x
x , 相应的细胞个数为
6
y,则
y 2 .当 x 6 时 , y 2 64 ,
1
m
(a 0, m, n 均为正整数).
a
n
且0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
分层训练
必做题: 书本P47 1 选做题:
x y
5 4
求
4
z
3
的值.
作业: 书本P48 习题2.2(1) 1
平方根
, 如果 x a , 那么 x 称为 a 的
2
( quadratic
root
); 如 ( cubic
果 x a, root ) .
n
3
那么称
x 为 a 的 立方根
一 般 地 , 如 果一个实
*
数 x满 足 x
a
( n 1 , n N ), 那么 称 x 为 a 的 n 次实数
方根 n th root .
(
_
)
当 n 为奇数时, x
n
a,
当n 为偶数时, x
n
a或x a， 0 ) (a
n
需要注意的是, 0的 n 次实数方根等于 0.
式子
n
a 叫做 根 式 ( radical ) , 其中 n 叫做根指数,
a 叫做被开方数 .
例:
求下列各式的值 : 5
自学指导
1.什么是平方根、立方根? 2. n次实数方根与根式是怎样下定义的?
考 3. 思
( )
n
a
n
,
n
an
.
4.理解分数指数幂的含义.
自学检测
求下列各式的值 :
(1) ( ( 3)
5
8
)
2
;
5
( 2) (
;
4
3
9
)
3
;
4
( 2 )
( 4) (3 )
.
反馈评价
1. 根式
我们知道
a
当n 为偶数时, a 0.
a, n为正奇数
an
a , n为正偶数.
2.
分 数 指数 幂
m n
一般地, 我们规定 a
n
a
m
(a 0, m, n 均为正整数).
这就是正数 的正分数指数幂的意义 a .
1 1
由此可知 2 2 的意义为2 2 ,
m n
2.
仿负整数指数幂的意义, a
(1) (
)
2
;
4
(2) (
;
32ຫໍສະໝຸດ )3;2
(3) 4 ( 2)
解
(4) (3 )
.
(1) ( (2) (
4
5
3
)
2
5.
2
)
4
3
2 .
4
(3) ( 2)
2
2
4
2.
(4 ) (3 )
( 3)
2
3.
思考
(
n
n
a
)
n
,
n
a
n
.
( a)
n n
当n 为奇数时, a R,