机械优化设计课后习题答案学习资料
机械优化设计习题参考答案--孙靖民-第四版第6章习题解答-1教学内容
第六章习题解答1．已知约束优化问题：2)(0)()1()2()(min 21222112221≤-+=≤-=⋅-+-=x x x g x x x g ts x x x f试从第k 次的迭代点[]T k x21)(-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点)1(+k x 。
并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。
[解] 1）确定本次迭代的随机方向：[]T TRS 0.4120.9110.2540.5620.2540.2540.5620.5622222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=2) 用公式：R k k S x xα+=+)()1( 计算新的迭代点。
步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。
到第二个约束边界上的步长可取为2，则：176.1)412.0(22822.0911.0212212111=-⨯+=+==⨯+-=+=++R kk R k k S x x S x xαα⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+176.1822.01k X即： 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。
2．已知约束优化问题：)(0)(025)(124)(m in 231222211221≤-=≤-=≤-+=⋅--=x x g x x g x x x g ts x x x f试以[][][]T T T x x x 33,14,12030201===为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。
[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：[][][]935120101-=⇒==⇒=-=⇒=030302023314f x f x f x 经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。
为最好点，0203x x2）计算去掉最坏点 02x 后的复合形的中心点：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑≠=3325.221132103312i i i c x Lx3）计算反射点1R x （取反射系数3.1=α）20.693.30.551422.51.322.5)(1102001-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=R R c c R f x x x x x 值为可行点，其目标函数经判断α 4）去掉最坏点1R0301x x x x 和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，011R x x ，进行新的一轮迭代。
《机械优化设计》复习题答案
《机械优化设计》复习题解答一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为 [-47,-50]T 。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。
3、当优化问题是凸规划的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高－低－高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数C X B HX X T T++21的梯度为B 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在共轭关系。
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是，充分条件是(正定 。
10、 K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36 10] 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
13、牛顿法的搜索方向d k= ，其计算量大 ，且要求初始点在极小点 附近 位置。
14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 。
15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足d 1T Hd 2=0，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。
机械优化设计题目答案
1—1.简述优化设计问题数学模型的表达形式.答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式.求设计变量向量[]12Tn xx x x =使()min f x →且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l == ()0(1,2,)j g x j m ≤=利用可行域概念,可将数学模型的表达进一步简练.设同时满足()0(1,2,)j g x j m ≤=和()0(1,2,)k h x k l ==的设计点集合为R ，即R 为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成求x 使 min ()x Rf x ∈ 符号“∈"表示“从属于”。
在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化()min f x →或目标函数极大化()max f x →。
由于求()f x 的极大化与求()f x -的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小化形式。
1—2.简述优化设计问题的基本解法。
（不要抄书，要归纳） 答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法.解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型）描述出来，然后再用数学解析方法(如微分、变分方法等）求出有化解.但是，在很多情况下,优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于甚至不可能用解析方法求解;另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述,而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解，并通过试验来验证；或直接以数学原理为指导,从任取一点出发通过少量试验(探索性的计算）,并根据试验计算结果的比较，逐步改进而求得优化解。
这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。
数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解,也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题.因此，它是实际问题中常用的方法,很受重视。
其中具体方法较多,并且目前还在发展。
《机械优化设计》复习题答案
《机械优化设计》复习题解答、填空题1、 用最速下降法求 f(X)=100(x 2- X 12) 2+(1- x i ) 2 的最优解时，设 X (°)=[-0.5,0.5]T ，第一 步迭代的搜索方向为 [-47,-50]T 。
2、 机械优化设计采用数学规划法，其核心一是 寻找搜索方向，二是计算最优步长。
3、 当优化问题是凸规划的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、 应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成—高一低一高 _________ 趋势。
5、 包含n 个设计变量的优化问题，称为 ___ n _____ 维优化问题。
16、 函数 —X T HX B T X C 的梯度为B 。
2 _7、 设G 为n>n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 3 4，满足(d 0)T Gd 1=0, 则d 0、d 1之间存在共轭关系。
& ___ 设计变量 ____________ 、 __ 目标函数 ___ 、 __ 约束条件 是优化设计问题数学 模型的基本要素。
9、 对于无约束二元函数 f (X 1,X 2)，若在X 0(X 10,X 20)点处取得极小值，其必要条件是15、 存在矩阵H ，向量d 1，向量d 2，当满足d 1T Hd 2=0，向量d 1和向量d 2是关于H 共 轭。
16、 采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因 子r 数列，具有单调递增特点。
17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求 最优步长。
二、选择题13、 牛顿法的搜索方向d k =—H k g k ，其计算量大且要求初始点在极小点 附近—位，充分条件是 • (—一一L 正定 ______ 。
10、 _ K-T ____________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
机械优化设计题目答案
解；由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向， 这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模|(x0)。
求f (x1, x2)在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就 可以表示成一般数学形式。
求设计变量向量x x 2 L x n J 使f (X )T min 且满足约束条件 h k (x) =0 (k =1,2,L I) g j (x)乞0 (j =1,2,L m)利用可行域概念，可将数学模型的表达进一步简练。
设同时满足g j (x)乞0 (j =1,2丄 m )和 n(x)=0 (k=1,2,L I)的设计点集合为R ，即R 为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成 求x 使 min f(X) 符号“ •二”表示“从属于”。
x W R 在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化f(x)「. min 或目标函数极大化 f(x)—： max 。
由于求f(x)的极大化与求「f(x)的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小 化形式。
1-2.简述优化设计问题的基本解法。
(不要抄书，要归纳) 答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。
解析解法就是把所研究的对象用数学方程(数学模型)描述出来，然后再用数学解析方法(如微分、变分方法等)求出有 化解。
但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有时对象本身的机 理无法用数学方程描述，而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解，并通过试验来验 证；或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过少量试验(探索性的计算) ，并根据试验计算结果的比较，逐步改进而求 得优化解。
(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
2.黄金分割法（0.618法）
原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短率λ相同。左右对称。
程序：p52
（四）插值方法
1.抛物线法
原理：任意插3点：
算得： ； ；
要求：
设函数 用经过3点的抛物线 代替，有
解线代数方程
解得：
程序框图p57
网格法 ，缩小区间，继续搜索。
Monte Carlo方法 ， ，随机数。
比较各次得到的 得解
遗传算法(专题)
（二）区间消去法（凸函数）
1.搜索区间的确定：高—低--高（ ）则区间内有极值。
2.区间消去法原理：在区间[a, b]内插两个点a1, b1保留有极值点区间，消去多余区间。
缩短率：
（三）0.618法
可行方向—约束允许的、函数减小的方向。（图）约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域。
数学模型
用内点法或混合法，取 ，
直接方法
（一）随机方向法
1.在可行域产生一个初始点 ，因 （约束），则
--（0，1）的随机数。
2.找k个随机方向，每个方向有n个方向余弦，要产生kn个随机数 ， ， ，随机方向的单位向量为
3.取一试验步长 ，计算每个方向的最优点
4.找出可行域中的最好点 得搜索方向 。以 为起点， 为搜索方向得 。最优点必须在可行域内或边界上，为此要逐步增加步长。
得
穷举下去得递推公式
3.算例
p73
4.框图p72
5.特点
作业：1. 2.
（六）变尺度法
1.引言
坐标变换
二次函数
令 为尺度变换矩阵
《机械优化设计》复习题 答案
《机械优化设计》复习题解答一、填空题1、用最速下降法求ｆ(X ）=100(x 2－ x １2） 2＋(1- ｘ1) ２的最优解时,设X （0)＝[-０.5,0．5］Ｔ,第一步迭代的搜索方向为 [-47,-5０]Ｔ。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。
３、当优化问题是凸规划的情况下,任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成 高-低－高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
６、函数C X B HX X T T++21的梯度为Ｂ。
7、设G 为ｎ×n 对称正定矩阵,若n 维空间中有两个非零向量ｄ0,d 1,满足（ｄ０)T G ｄ1=０，则d 0、ｄ1之间存在共轭关系。
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(21x x f ,若在),(x 20100x x 点处取得极小值,其必要条件是,充分条件是（正定 。
10、 K －T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ,经第一次区间消去后得到的新区间为 [－２.36 １0] 。
1２、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
1３、牛顿法的搜索方向d k= ,其计算量大 ,且要求初始点在极小点 附近位置。
1４、将函数f(X ）=ｘ１２＋ｘ22-ｘ1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 。
15、存在矩阵Ｈ,向量 d 1,向量 d 2,当满足ｄ1T Hd 2＝０，向量 d １和向量 ｄ２是关于Ｈ共轭。
１６、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有单调递增特点。
机械优化设计课后习题答案
2、 3、 4 时的四条等值线，并在图上 (1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为 f ( X) 1、
画出可行区的范围。 (2) 找出图上的无约束最优解 X1 和对应的函数值 f ( X1 ) ， 约束最优解 X 2 和 f ( X2 ) ； (3) 若加入一个等式约束条件：
h(X) x1 x2 0
1-3 某厂生产一个容积为 8000 cm 的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗 原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。 解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = 表面积为目标函数，即： minf(X) =
3
x1 底面半径r , h x2 高
求此时的最优解 X3 ， f ( X3 ) 。
解：下图为目标函数与约束函数（条件） 设计平面 X1OX2 。其中的同心圆是目标 函数依次为 f(X)=1、2、3、4 时的四条等 值线；阴影的所围的部分为可行域。 由于目标函数的等值线为一同心圆，所以 无约束最优解为该圆圆心即： X1*＝[3，4]T 函数值 f(X1*)= 0 。
3·
g1(X) =1800-8*25x1+8*15x2≤0 g2(X) =x1 -8≤0 g3(X) =x2-10≤0 g4(X) = -x1 ≤0 g5(X) = -x2 ≤0
1-2
已知一拉伸弹簧受拉力 F ，剪切弹性模量 G ，材料重度 r ，许用剪切应力 [ ] ，
许用最大变形量 [ ] 。欲选择一组设计变量 X [ x1
6
a 各阶主子式： a11 2 0，11 a 21
a12 a 22
2 1 0 1 2
H(X)是正定的， 所以， f (X) 为凸函数。
《机械优化设计》第6章习题解答-2资料
8． 有一汽门用弹簧，已知安装高度H1=50.8mm,安装（初始）载荷F1=272N ，最大工作载荷F2=680N ，工作行程h=10.16mm 弹簧丝用油淬火的50CrV A 钢丝，进行喷丸处理； 工作温度126°C ；要求弹簧中径为20mm ≤D2≤50mm ，弹簧总圈数4≤n1≤50，支 承圈数n2=1.75，旋绕比C ≥6；安全系数为1.2；设计一个具有重量最轻的结构方案。
[解] 1．设计变量：影响弹簧的重量的参数有弹簧钢丝直径：d ，弹簧中径D1和弹簧总圈数n1，可取这三个参数作为设计变量：即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=H D x x x 212．目标函数：弹簧的重量为式中 ρ――钢丝材料的容重，目标函数的表达式为3221611262101925.0108.725.0)(x x x n D d x F --⨯=⨯⨯=π３．约束条件：１）弹簧的疲劳强度应满足min S S ≥式中 2.1m i n m i n =--S S ，可取最小安全系数，按题意S ――弹簧的疲劳安全系数，由下式计算：m s s s S ττττττττα⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002式中 ：劳极限，计算方法如下弹簧实际的脉动循环疲--0τ初选弹簧钢丝直径：4mm ≤d ≤8mm ，其抗拉强度MPa b 1480=σ，取弹簧的循环工作次数大于710，则材料的脉动循环疲劳极限为MPa b 44414803.03.0'0=⨯==στ设可靠度为90％，可靠性系数 868.0=r k ； 工作温度为126°C ，温度修正系数 862.0126273344273344=+=+=T k t再考虑到材料经喷丸处理，可提高疲劳强度10％，则弹簧实际的脉动循环疲劳极限为MPa k k t r 4.365444862.0868.01.1)1.01('00=⨯⨯⨯=+=ττ36/107.8mm kg -⨯=ρρπ12220.25n D d W =--s τ弹簧材料的剪切屈服极限，计算公式为MPa b s 74014805.05.0=⨯==στ--ατ弹簧的剪应力幅，计算公式为328dD F ka πτα=式中 k ――曲度系数，弹簧承受变应力时，计算公式为14.02)(6.1615.04414d D C C C k ≈+--=a F ――载荷幅，其值为N F F F a 2042/)272680(2/)(12=-=-=m τ――弹簧的平均剪应力，计算公式为328dD F k m sm πτ=式中s k ――应力修正系数，计算公式为dD C k s /615.01615.012+=+= m F ――平均载荷，其值为N F F F m 4762/)272680(2/)(12=+=+=由此，得到弹簧疲劳强度的约束条件为 计算剪应力幅ατ：86.2186.023214.023.8308)/(6.1x x d D F d D dD F ka a =⋅==ππτα328 计算平均应力幅m τ：21312246.74512.1212615.01x x x d D F Dd dD F k m m sm +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==33288ππτ 计算弹簧的实际疲劳安全系数S ：mms s s S τττττττττταα494.0506.14.365+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0002从而得到弹簧的疲劳强度约束条件为012.1)(min 1≤-=-=SS S S x g ２）根据旋绕比的要求，得到约束条件016)(21min 2≤-=-=x x C C C x g３）根据对弹簧中径的要求，得到约束条件50222≤-=-=≤-=-=1)4(0120)3(max max 242min 3x D D D g x D D D g４）根据压缩弹簧的稳定性条件，要求：c F F ≤2式中 c F ――压缩弹簧稳定性的临界载荷，可按下式计算：K H D H F C ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2022085.611813.0μ 式中 K ――要求弹簧具有的刚度，按下式计算：mm N h F F K /2.4016.1027268012=-=-=0H ――弹簧的自由高度，按下式计算： 当mm K F 16.9240.26802===λ 时， 304.20)5.0(2.1)5.0(310+-=+-=x n H λμ――长度折算系数，当弹簧一端固定，一端铰支时，取 7.0=μ；则：[][]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-=221398.1311304.20)5.0(268.320.3040.5)(13x x x x x F C于是得 01680)(25≤-=-=CC C F F F F x g5）为了保证弹簧在最大载荷作用下不发生并圈现象，要求弹簧在最大载荷2F 时的高度2H 应大于压并高度b H ，由于13112)5.0()5.0(64.4016.108.50x x d n H h H H b -=-==-=-=于是得到010123.00246.0)(131226≤--=-=x x x H H H x g b６）为了保证弹簧具有足够的刚度，要求弹簧的刚度αK 与设计要求的刚度K 的误差小于1/100，其误差值用下式计算：401.02.40)75.1(8100/)(33241---=--=x x Gx K K K αθ式中 G ――弹簧材料的剪切弹性模量，取G=80000Mpa 。
《机械优化设计》复习题-答案
《机械优化设计》复习题解答一、填空题1、用最速下降法求f （X)=1０0(x 2- x 12） 2+(1- x 1) 2的最优解时,设X (０)＝[-0.5，０.5］Ｔ,第一步迭代的搜索方向为 ［-47,-５0]T 。
２、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。
3、当优化问题是凸规划的情况下,任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点,即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高-低－高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题,称为 n 维优化问题。
6、函数C X B HX X T T++21的梯度为B 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵,若n 维空间中有两个非零向量d 0,d 1,满足(d 0)T Gd 1=0，则ｄ０、ｄ1之间存在共轭关系。
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(x x f ，若在),(x 0x x 点处取得极小值，其必要条件是,充分条件是(正定 。
１０、 K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点,初始搜索区间]10,10[],[-=b a ,经第一次区间消去后得到的新区间为 ［-2.３6 10] 。
１２、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量大 ，且要求初始点在极小点 附近 位置。
14、将函数f(X)=x １２+x 22-x 1x 2－1０x １－4ｘ2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 。
１5、存在矩阵H,向量 d 1，向量 ｄ２,当满足ｄ1ＴHd 2=0，向量 ｄ1和向量 ｄ２是关于Ｈ共轭。
１6、采用外点法求解约束优化问题时,将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有单调递增特点。
《机械优化设计》复习题 答案 (2)
机械优化设计复习题解答一、填空题1、用最速下降法求fX=100x 2- x 12 2+1- x 1 2的最优解时,设X 0＝,T ,第一步迭代的搜索方向为 -47,-50T ;2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是寻找搜索方向,二是计算最优步长;3、当优化问题是凸规划的情况下,任何局部最优解就是全域最优解;4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点,即为搜索区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成 高－低－高 趋势;5、包含n 个设计变量的优化问题,称为 n 维优化问题;6、函数C X B HX X T T++21的梯度为B ; 7、设G 为n×n 对称正定矩阵,若n 维空间中有两个非零向量d 0,d 1,满足d 0T Gd 1=0,则d 0、d 1之间存在共轭关系;8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素;9、对于无约束二元函数),(21x x f ,若在),(x 20100x x 点处取得极小值,其必要条件是f(x 10,x 20)=0 ,充分条件是2fx 10,x 20)=0正定 ;10、 K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合; 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点,初始搜索区间]10,10[],[-=b a ,经第一次区间消去后得到的新区间为 10 ; 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件;13、牛顿法的搜索方向d k = ,其计算量大 ,且要求初始点在极小点 附近 位置; 14、将函数fX=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 12[x 1x 2][2−1−12][x 1x 2]+[−10−4][x 1x 2]+60 ;15、存在矩阵H,向量 d 1,向量 d 2,当满足d 1T Hd 2=0,向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭; 16、采用外点法求解约束优化问题时,将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列,具有单调递增特点;17、采用数学规划法求解多元函数极值点时,根据迭代公式需要进行一维搜索,即求最优步长;1k k H g --二、选择题1、下面C 方法需要求海赛矩阵; A 、最速下降法 B 、共轭梯度法 C 、牛顿型法 D 、DFP 法2、对于约束问题根据目标函数等值线和约束曲线,判断()1[1,1]T X =为 ,()251[,]22TX =为 ;D A ．内点；内点 B. 外点；外点 C. 内点；外点 D. 外点；内点3、内点惩罚函数法可用于求解B 优化问题; A 无约束优化问题B 只含有不等式约束的优化问题C 只含有等式的优化问题D 含有不等式和等式约束的优化问题4、对于一维搜索,搜索区间为a,b,中间插入两个点a 1、b 1,a 1<b 1,计算出fa 1<fb 1,则缩短后的搜索区间为D ; A a 1,b 1 B b 1,b C a 1,b D a,b 15、D 不是优化设计问题数学模型的基本要素; A 设计变量 B 约束条件 C 目标函数 D 最佳步长6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k -αk H k ▽fx k ,下列不属于H k 必须满足的条件的是C ;A. Hk之间有简单的迭代形式B.拟牛顿条件C.与海塞矩阵正交D.对称正定7、函数)(Xf在某点的梯度方向为函数在该点的A;A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四种无约束优化方法中,D在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数;A 梯度法B 牛顿法C 变尺度法D 坐标轮换法9、设)(Xf为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数,则)(Xf在R上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵GX在R上处处B;A 正定B 半正定C 负定D 半负定10、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述,错误的是D,假设要求在区间a,b插入两点α1、α2,且α1<α2;A、其缩短率为B、α1=b-λb-aC、α1=a+λb-aD、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法;11、与梯度成锐角的方向为函数值A方向,与负梯度成锐角的方向为函数值B方向,与梯度成直角的方向为函数值 C方向;A、上升B、下降C 、不变D 、为零12、二维目标函数的无约束极小点就是 B ; A 、等值线族的一个共同中心 B 、梯度为0的点C 、全局最优解D 、海塞矩阵正定的点13、最速下降法相邻两搜索方向d k 和d k+1必为 B 向量; A 相切 B 正交 C 成锐角 D 共轭14、下列关于内点惩罚函数法的叙述,错误的是A ; A 可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题; B 惩罚因子是不断递减的正值C 初始点应选择一个离约束边界较远的点;D 初始点必须在可行域内 三、问答题看讲义1、试述两种一维搜索方法的原理,它们之间有何区别2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路;4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点;5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式,并说明公式中各变量的意义,并说明迭代公式的意义;6、什么是共轭方向满足什么关系共轭与正交是什么关系 四、解答题1、试用梯度法求目标函数fX=+ x 1x 2-2x 1的最优解,设初始点x 0=-2,4T ,选代精度ε=迭代一步;解：首先计算目标函数的梯度函数 f =[3∗x1−x2−2x2−x1],计算当前迭代点的 梯度向量值 f(X (0))=[−3∗2−4−24+2]=[−126]梯度法的搜索方向为 S （k ）=−f , 因此在迭代点x 0 的搜索方向为12,－6T在此方向上新的迭代点为：X （k+1）=X （k ）+αS （k ）=X （0）+αS （0）=[−24]+α[12−6]=[−2+12α4−6α]把新的迭代点带入目标函数,目标函数将成为一个关于单变量α的函数F(α) f(X (k+1))=f ([−2+12α4−6α])=1.5(−2+12α)2+0.5(4−6α)2−(−2+12α)(4−6α)− 2(−2+12α)＝F(α) 令dF(α)dα=−180+612α＝0,可以求出当前搜索方向上的最优步长α＝517≈0.2941新的迭代点为X （0）+αS （0）＝ [1.52922.2354]当前梯度向量的长度‖f ‖=√12x12+6x6=13.4164>ε, 因此继续进行迭代; 第一迭代步完成;2、试用牛顿法求f X =x 1-22+x 1-2x 22的最优解,设初始点x 0=2,1T ; 解1：注：题目出题不当,初始点已经是最优点,解2是修改题目后解法; 牛顿法的搜索方向为S (k)=−2(f )−1(f),因此首先求出当前迭代点x 0的梯度向量、海色矩阵及其逆矩阵(f )＝[4∗x1 − 4∗x2 − 48∗x2 − 4∗x1](f （x (0)）)=[00]2(f )＝[4−4−48] 2(f )−1= 14[2111]S (k)=−2(f )−1(f )=[00]不用搜索,当前点就是最优点;解2：上述解法不是典型的牛顿方法,原因在于题目的初始点选择不当;以下修改求解题目的初始点,以体现牛顿方法的典型步骤;以非最优点x 0=1,2T 作为初始点,重新采用牛顿法计算牛顿法的搜索方向为S (k)=−2(f )−1(f),因此首先求出当前迭代点x 0的梯度向量、以及海色矩阵及其逆矩阵梯度函数：(f )＝[4∗x1 − 4∗x2 − 48∗x2 − 4∗x1]初始点梯度向量：(f （x (0)）)=[−812]海色矩阵：2(f )＝[4−4−48]海色矩阵逆矩阵：2(f )−1 = 14[2111]当前步的搜索方向为： S (k)=−2(f )−1(f)＝− 14[2111][−812]＝[−11] 新的迭代点位于当前的搜索方向上 ： X （k+1）=X （k ）+αS （k ）=X （0）+αS （0） ＝[12]＋α[−11]＝[1−α2＋α]把新的迭代点带入目标函数,目标函数将成为一个关于单变量α的函数F(α) f(X (k+1))=f ([1−α2＋α])=(α + 1)2 + (3α + 3)2＝F(α) 令dF(α)dα=20α+ 20＝0,可以求出当前搜索方向上的最优步长α＝−1新的迭代点为 X (1)=X （0）+αS （0）＝ [12] –[−11]＝ [21]当前梯度向量的长度‖f ‖=√12x12+8x8=14.4222>ε, 因此继续进行迭代; 第二迭代步：(f )＝[4∗x1 − 4∗x2 − 48∗x2 − 4∗x1](f （x (1)）)=[0]‖f ‖=0<ε因此不用继续计算,第一步迭代已经到达最优点;这正是牛顿法的二次收敛性;对正定二次函数,牛顿法一步即可求出最优点; 3、设有函数 fX=x 12+2x 22-2x 1x 2-4x 1,试利用极值条件求其极值点和极值; 解：首先利用极值必要条件(f )=[00]找出可能的极值点：令(f )＝[2∗x1 − 2∗x2 − 44∗x2 − 2∗x1]＝[00]求得[x1x2]=[42],是可能的极值点;再利用充分条件2(f )正定或负定确认极值点;2(f )＝[2−2−24]|2|＝2>0|2−2−24|＝8−4＝4>0 因此2(f )正定, X ∗=[x1x2]=[42]是极小点,极值为fX=-84、求目标函数f X =x 12+x 1x 2+2x 22 +4x 1+6x 2+10的极值和极值点; 解法同上5、试证明函数 f X =2x 12+5x 22 +x 32+2x 3x 2+2x 3x 1-6x 2+3在点1,1,-2T 处具有极小值; 解： 必要条件：(f )＝[ 4∗x1 + 2∗x310∗x2 + 2∗x3 − 62∗x1 + 2∗x2 + 2∗x3]将点1,1,-2T 带入上式,可得(f )＝[ 000]充分条件2(f )＝[4020102222] |4|＝4>0|40010|＝40>0|4020102222|＝80−40−16＝24>0 2(f )正定;因此函数在点1,1,-2T 处具有极小值 6、给定约束优化问题min fX=x 1-32+x 2-22 . g 1X=－x 12－x 22＋5≥0 g 2X=－x 1－2x 2＋4≥0 g 3X= x 1≥0 g 4X=x 2≥0验证在点T X ]2[，１=Kuhn-Tucker 条件成立; 解：首先,找出在点T X ]2[，１=起作用约束： g 1X ＝0 g 2X ＝0 g 3X ＝2 g 4X ＝1因此起作用约束为g 1X 、g 2X;然后,计算目标函数、起作用约束函数的梯度,检查目标函数梯度是否可以表示为起作用约束函数梯度的非负线性组合;(f )＝[2∗x1 − 6 2∗x2 − 4]＝[−2−2](g1)＝[ −2∗x1 −2∗x2]＝[−4−2], (g2)＝[−1−2]求解线性组合系数 (f )=λ1?(g1)+λ2?(g2) [−2−2]=λ1[−4−2]+λ2[−1 −2] 得到 λ1＝13,λ2=23, 均大于0因此在点T X ]2[，１=Kuhn-Tucker 条件成立 7、设非线性规划问题用K-T 条件验证[]TX 0,1*=为其约束最优点;解法同上8、已知目标函数为fX= x 1+x 2,受约束于：g 1X=-x 12+x 2≥0 g 2X=x 1≥0 写出内点罚函数; 解：内点罚函数的一般公式为其中： r 1>r 2 >r 3… >r k … >0 是一个递减的正值数列 r k＝Cr k-1, 0＜C ＜1 因此 罚函数为：(X,r(k ))=x1+x2+r(k )(1−x12+x2+1x1) 9、已知目标函数为fX= x 1-12+x 2+22受约束于：g 1X=-x 2-x 1-1≥0g 2X=2-x 1-x 2≥0 g 3X=x 1≥0 g 4X=x 2≥0试写出内点罚函数; 解法同上10、如图,有一块边长为6m 的正方形铝板,四角截去相等的边长为x 的方块并折转,造一个无盖的箱子,问如何截法x 取何值才能获得最大容器的箱子;试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序;11、某厂生产一个容积为8000cm 3的平底无盖的圆柱形容器,要求设计此容器消耗原材料最少,试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序;12、一根长l 的铅丝截成两段,一段弯成圆圈,另一段弯折成方形,问应以怎样的比例截断铅丝,才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序;13、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积;试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序;14、薄铁板宽20cm,折成梯形槽,求梯形侧边多长及底角多大,才会使槽的断面积最大;写出这一优化设计问题的数学模型,并用matlab软件的优化工具箱求解写出M文件和求解命令;15、已知梯形截面管道的参数是：底边长度为c,高度为h,面积A=64516mm2,斜边与底边的夹角为θ,见图1;管道内液体的流速与管道截面的周长s的倒数成比例关系s只包括底边和两侧边,不计顶边;试按照使液体流速最大确定该管道的参数;写出这一优化设计问题的数学模型;并用matlab软件的优化工具箱求解写出M文件和求解命令;16、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品;力缆每米需用材料9kg,3个工时,消耗电能4kW·h,可得利润60元；话缆每米需用材料4kg,10个工时,消耗电能5kW·h,可得利润120元;若每天材料可供应360kg,有300个工时消耗电能200kW·h可利用;如要获得最大利润,每天应生产力缆、话缆各多少米写出该优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序;。
《机械优化设计》习题及答案1word版本
机械优化设计习题及参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。
求设计变量向量[]12Tn x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d fρ令xo Tx f x f x f x fx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。
（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。
（2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。
梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。
负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。
2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。
解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。
求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x f x f x f 2221)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p ϖ2-3.试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。
《机械优化设计》复习题答案
《机械优化设计》复习题解答一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为 [-47,-50]T 。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。
3、当优化问题是凸规划的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高－低－高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数C X B HX X T T++21的梯度为B 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在共轭关系。
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是，充分条件是(正定 。
10、 K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36 10] 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
13、牛顿法的搜索方向d k= ，其计算量大 ，且要求初始点在极小点 附近 位置。
14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式。
15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足d 1T Hd 2=0，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。
机械优化设计课后答案
机械优化设计课后答案【篇一：机械优化设计第5章习题参考答案】?4000.333?时， f(x*)??cjxj??5.567。
t第2题答案：x??2024840 0?，z??428。
*t第3题提示：求解方法可参考第四节中的应用实例。
第4题提示：如果设x1、x2、x3、x4、x5分别以Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ五种下料方式所用钢材的件数，则此问题的数学模型是：求一组xj(j?1,2,?,5)的值，满足下列限制条件x1?2x2 ?x4 ?100?2x3?2x4?x5 ?100???3x1?x2?2x3 ?3x5?100?xj?0 (j?1,2,?,5)??使总的尾料z?0.1x2?0.2x3?0.3x4?0.8x5 达到最小。
【篇二：《机械优化设计》复习题答案】xt>一、填空题1、用最速下降法求f(x)=100(x2- x12) 2+(1- x1) 2的最优解时，设x（0）＝[-0.5,0.5]t，第一步迭代的搜索方向为 [-47,-50]t。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是，二是。
3、当优化问题是的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高－低－高趋势。
5、包含n个设计变量的优化问题，称为维优化问题。
6、函数 1txhx?btx?c的梯度为。
28模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数f(x1,x2)，若在x0(x10,x20)点处取得极小值，其必要条件是10约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数f(x)?x2?10x?36的极小点，初始搜索区间[a,b]?[?10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为12、优化设计问题的数学模型的基本要素有、。
?1?h13、牛顿法的搜索方向dkkgk，其计算量且要求初始点在极小点置。
14、将函数f(x)=x12+x22-x1x2-10x1-4x2+60表示成1txhx?btx?c 的形式215、存在矩阵h，向量 d1，向量 d2，当满足t d1和向量 d2是关于h共轭。
《机械优化设计》孙靖民哈尔滨工业大学课后答案
2）计算去掉最坏点
x
0 2
后的复合形的中心点：
∑ x
0 c
=
1 L
3 i =1
x
0 i
=
1 2
⎜⎜⎝⎛
⎡2⎤ ⎢⎣1 ⎥⎦
+
⎡3⎤ ⎢⎣3⎥⎦
⎟⎟⎠⎞
=
⎡2.5⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
+
⎡3⎤ ⎢⎣3⎥⎦
i ≠2
3）计算反射点
x
1 R
（取反射系数α = 1.3 ）
x
1 R
=
x
0 c
+ α (x
0 c
−
x
0 2
试求在 x k = [0 1/4 1/2]T 点的梯度投影方向。
[解] 按公式 6-32 d k = −P∇f (x k ) / P∇f (x k ) 计算适用的可行方向：
x k 点的目标函数梯度为： ∇f (x k ) = [− 0.125 0.25 − 1]T
x k 点处起作用约束的梯度 G 为一个 n ⋅ J 阶的矩阵，题中：n=3，J=1：
s ⋅t
g1(x ) = − ln x 1 ≤ 0
h2 (x ) = x 1 + x 2 −1 ≤ 0
[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型：
subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=x(2)-x(1) end subroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg) gx(1)=-log(x(1))] gx(2)=-x(1) gx(3)=-x(2) end subroutine hhx(n,kh,x,hx) domension x(n),hx(kh) hx(1)=x(1)+x(2)-1 end 然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：
《机械优化设计》习题与答案
《机械优化设计》习题与答案机械优化设计习题及参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、⽬标函数之后，优化设计问题就可以表⽰成⼀般数学形式。
求设计变量向量[]12Tn x x x x =L 使 ()min f x →且满⾜约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：⼆元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的⽅向导数的表达式可以改写成下⾯的形式：??=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d fρ令xo Tx f x f x f x fx f ??=????=?21]21[)0(，则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。
（1）梯度⽅向是函数值变化最快⽅向，梯度模是函数变化率的最⼤值。
（2）梯度与切线⽅向d 垂直，从⽽推得梯度⽅向为等值⾯的法线⽅向。
梯度)0(x f ?⽅向为函数变化率最⼤⽅向，也就是最速上升⽅向。
负梯度-)0(x f ?⽅向为函数变化率最⼩⽅向，即最速下降⽅向。
2-2.求⼆元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最⼤的⽅向和数值。
解：由于函数变化率最⼤的⽅向就是梯度的⽅向，这⾥⽤单位向量p表⽰，函数变化率最⼤和数值时梯度的模)0(x f ?。
求f （x1，x2）在x0点处的梯度⽅向和数值，计算如下：()-=??+-==?120122214210x x x x f x f x f 2221)0(??+ =x f x f x f =5-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p ?2-3.试求⽬标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降⽅向，并求沿着该⽅向移动⼀个单位长度后新点的⽬标函数值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
机械优化设计课后习题答案第一章习题答案1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。
计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。
检验员每错检一件，工厂损失2元。
现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。
为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡二级检验员一级检验员21x x ；（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ） =40x 1+ 36x 2（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3·s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤01-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。
欲选择一组设计变量T T n D dx x x ][][2321==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。
试建立该优化问题的数学模型。
注：弹簧的应力与变形计算公式如下322234881,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比），解： （1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：f (X ) =322124x x rx π（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) =322124x x rx π X ∈R 3·s.t. g 1(X ) =0.5-x 1 ≤0g 2(X ) =10-x 2 ≤0 g 3(X ) =x 2-50 ≤0 g 4(X ) =3-x 3 ≤0 g 5(X ) =[]τπ-+312218)21(x Fx x x ≤0 g 6(X ) =[]λ-413328Gx x Fx ≤01-3 某厂生产一个容积为8000 cm 3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。
解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡h r x x21高底面半径 , 表面积为目标函数，即：m i n f (X ) = πx 12 + 2π x 1 x 2考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：m i n f (X ) = πx 12 + 2π x 1 x 2X =[x 1,x 2]T∈R 2s.t . g 1(X ) = -x 1 ≤0g 2(X ) = -x 2 ≤0h 1(X ) = 8000 - πx 12 x 2 = 01-4 要建造一个容积为1500 m 3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。
基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。
现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。
解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡高宽长321x x x ； （2）建立数学模型的目标函数；取总价格为目标函数，即：f (X ) = 8(x 1 x 3 + x 2 x 3) + 6 x 1 x 2 + 12 x 1 x 2（3）建立数学模型的约束函数；1）仓库的容积为1500 m 3。
即：1500-x 1 x 2 x 3 =02）仓库宽度为高度的两倍。
即：x 2 -2 x 3 = 03）各变量取值应大于0，即：x 1 > 0, x 2 .> 0.，则 -x 1 ≤0，-x 2 ≤0（4）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) = 8(x 1 x 3 + x 2 x 3) + 18 x 1 x 2 X ∈R 3·s.t. g 1(X ) = -x 1 ≤0g 2(X ) = -x 2 ≤0 g 3(X ) = -x 3 ≤0 h 1(X ) = 1500-x 1 x 2 x 3 =0 h 2(X ) = x 2 -2 x 3 = 01-5 绘出约束条件：82221≤+x x ； 82221≤+-x x ； 421≤x x 所确定的可行域 1-6 试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：1[132]T =X ; 2[234]T =X ; 3[414]T =X 。
第二章习题答案2-1 请作示意图解释：(1)()()()k k k k α+=+XX S 的几何意义。
2-2 已知两向量12[1220],[2021]T T P P =-=,求该两向量之间的夹角θ。
2-3 求四维空间内两点)2,1,3,1(-和)0,5,6,2(之间的距离。
2-4 计算二元函数321121()56f x x x x =-+-X 在(0)[11]T =X 处，沿方向[12]T =-S 的方向导数(0)'()s f X 和沿该点梯度方向的方向导数(0)'()f ∇X 。
2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为2212121122123142min ()(3)(4)[,]()50() 2.50()0()0Tf x x x xg x x g x x g x g x =-+-==+-≤=--≤=-≤=-≤X X X X X X求：(1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为()1234f =X 、、、时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。
(2) 找出图上的无约束最优解1*X 和对应的函数值1()f *X ，约束最优解2*X 和2()f *X ； (3) 若加入一个等式约束条件：12()0h x x =-=X求此时的最优解3*X ，3()f *X 。
解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X 1OX 2 。
其中的同心圆是目标函数依次为f (X )=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。
由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：X 1*＝[3，4]T函数值 f (X 1*)= 0 。
而约束最优解应在由约束线g 1(X)=0，g 2(X)=0，g 3(X)=0，g 4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧）内寻找，即约束曲线g 1(X)=0与某一等值线的一个切点X 2*，可以联立方程：⎩⎨⎧=+-=-+01052121x x x x ，解得X 2*=[2，3] 。
函数值 f (X 2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2 。
加入等式约束条件，则X 3*为可行域上为h 1(X )=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程：⎩⎨⎧=-=-+052121x x x x ， 解得X 3*=[5/2，5/2] 。
函数值 f (X 3*)= (5/2-3)2 + (5/2-4)2 = 2.5 。
2-6 试证明在(1,1)点处函数522)(1222122141+-++-=x x x x x x f X 具有极小值。
证明：求驻点：2244)(121311-+-=∂∂x x x x x X f ，221222)(x x x X f +-=∂∂ 0)(0)(21=∂∂=∂∂x X f x X f ，由，4)(]11[**==x f x T ，极值得：驻点 2)(4)()(2412)(2221122212221212=∂∂-=∂∂∂=∂∂∂+-=∂∂x X f x x x X f x x X f x x x X f ，， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=24410)(X H 海赛矩阵 0244100102221121111>--=>=a a a aa ，各阶主子式：H (X )是正定的， 所以驻点必定是极小点。
故在(1,1)点处函数)(X f 具有极小值。
2-7 求函数221212()32210f x x x x =+--+X 的极值点，并判断其极值的性质。
解：26)(11-=∂∂x x X f ，14)(22-=∂∂x x X f 0)(0)(21=∂∂=∂∂x X f x X f ，由，24/229)(]4/13/1[**==x f x T ，极值得：极值点 4)(0)()(6)(222122212212=∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂x X f x x X f x x X f x X f ，， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4006)(X H 海赛矩阵 04006062221121111>=>=a a a aa ，各阶主子式：H (X )是正定的，所以，)(X f 为凸函数。
24/229)(]4/13/1[**==x f T ，极值得：极值点X2-8 试判断函数2212121()221f x x x x x =+-++X 的凸性。
解：124)(211+-=∂∂x x x X f ，12222)(x x x X f -=∂∂ 2)(2)(2)(5)(222122212212=∂∂-=∂∂∂-=∂∂∂=∂∂x X f x x X f x x X f x X f ，，， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2225)(X H 海赛矩阵 02225052221121111>--=>=a a a aa ，各阶主子式：H (X )是正定的， 所以，)(X f 为凸函数。
2-9 试用向量及矩阵形式表示221212()10460f x x x x =+--+X 并证明它在12{,,1,2}i x x x i =-∞<<∞=D 上是一个凸函数。
解：211210)(x x x X f -+-=∂∂，12224)(x x x X f -+-=∂∂ 2)(1)(2)(222212212=∂∂-=∂∂∂=∂∂x X f x x X f x X f ，， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2112)(X H 海赛矩阵 02112022221121111>--=>=a a a aa ，各阶主子式：H (X )是正定的， 所以，)(X f 为凸函数。
2-10 现已获得优化问题212221122221212223124152min ()412..()250()1010340()(3)(1)0()0()0f x x s tg x x g x x x x g x x g x g x =--=+-≤=+--+≤=----≤=-≤=-≤X X X X X X的一个数值解[1.000,4.900]T=X ,试判定该解是否上述问题的最优解。