机械优化设计课后习题答案学习资料

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机械优化设计课后习

题答案

第一章习题答案

1-1 某厂每日(8h 制)产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员,一级检验员的标准为:速度为25件/h ,正确率为98%,计时工资为4元/h ;二级检验员标准为:速度为15件/h ,正确率为95%,计时工资3元/h 。检验员每错检一件,工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为:一级8人和二级10人。为使总检验费用最省,该厂应聘请一级、二级检验员各多少人? 解:(1)确定设计变量;

根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为X = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡二级检验员一级检验员

21x x ;

(2)建立数学模型的目标函数;

取检验费用为目标函数,即:

f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2(8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ) =40x 1+ 36x 2

(3)本问题的最优化设计数学模型:

min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3·

s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0

g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0

g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤0

1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ,剪切弹性模量G ,材料重度r ,许用剪切应力[]τ,许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d

x x x ][][2

32

1

==X 使弹簧重量最轻,同时满足下列限制条件:弹簧圈数3n ≥,

簧丝直径0.5d ≥,弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。

注:弹簧的应力与变形计算公式如下

3

22234

881

,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比),

解: (1)确定设计变量;

根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为X = ⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n D d x x x 2321; (2)建立数学模型的目标函数;

取弹簧重量为目标函数,即:

f (X ) =

322

12

4

x x rx π

(3)本问题的最优化设计数学模型:

min f (X ) =

322

12

4

x x rx π X ∈R 3·

s.t. g 1(X ) =0.5-x 1 ≤0

g 2(X ) =10-x 2 ≤0 g 3(X ) =x 2-50 ≤0 g 4(X ) =3-x 3 ≤0 g 5(X ) =[]τπ-+

31

2

218)21(x Fx x x ≤0 g 6(X ) =[]λ-4

1

3

3

28Gx x Fx ≤0

1-3 某厂生产一个容积为8000 cm 3

的平底、无盖的圆柱形容器,要求设计此容器消耗原材料最少,试写出这一优化问题的数学模型。

解:根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为X = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡h r x x

21高底面半径 , 表面积为目标函数,即:

m i n f (X ) = πx 12 + 2π x 1 x 2

考虑题示的约束条件之后,该优化问题数学模型为:

m i n f (X ) = πx 12 + 2π x 1 x 2

X =[x 1,x 2]T

∈R 2

s.t . g 1(X ) = -x 1 ≤0

g 2(X ) = -x 2 ≤0

h 1(X ) = 8000 - πx 12 x 2 = 0

1-4 要建造一个容积为1500 m 3

的长方形仓库,已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。基于美学的考虑,其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低,试导出相应优化问题的数学模型。

解:(1)确定设计变量;

根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为X = ⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡高宽长321x x x ; (2)建立数学模型的目标函数;

取总价格为目标函数,即:

f (X ) = 8(x 1 x 3 + x 2 x 3) + 6 x 1 x 2 + 12 x 1 x 2

(3)建立数学模型的约束函数;

1)仓库的容积为1500 m 3

。即:

1500-x 1 x 2 x 3 =0

2)仓库宽度为高度的两倍。即:

x 2 -2 x 3 = 0

3)各变量取值应大于0,即:

x 1 > 0, x 2 .> 0.,则 -x 1 ≤0,-x 2 ≤0

(4)本问题的最优化设计数学模型:

min f (X ) = 8(x 1 x 3 + x 2 x 3) + 18 x 1 x 2 X ∈R 3·

s.t. g 1(X ) = -x 1 ≤0

g 2(X ) = -x 2 ≤0 g 3(X ) = -x 3 ≤0 h 1(X ) = 1500-x 1 x 2 x 3 =0 h 2(X ) = x 2 -2 x 3 = 0

1-5 绘出约束条件:

82

22

1≤+x x ; 822

21≤+-x x ; 421≤x x 所确定的可行域 1-6 试在三维设计空间中,用向量分别表示设计变量:

1[132]T =X ; 2[234]T =X ; 3[414]T =X 。

第二章习题答案

2-1 请作示意图解释:(1)

()()()k k k k α+=+X

X S 的几何意义。

2-2 已知两向量12[1

220],[2021]T T P P =-=,求该两向量之间的夹角θ。

2-3 求四维空间内两点)2,1,3,1(-和)0,5,6,2(之间的距离。

2-4 计算二元函数321121()56f x x x x =-+-X 在(0)[11]T =X 处,沿方向[12]T =-S 的方向导数

(0)'()s f X 和沿该点梯度方向的方向导数(0)'()f ∇X 。 2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为

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