解三角形难题及答案
解直角三角形及相似三角形运用难题及答案
解直角三角形及相似三角形运用难题及答案1．（2009•西城区一模）已知：，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．【分析】（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD ≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB=180°﹣∠APP'=135°．【解答】解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E，∵△APE中，∠APE=45°，PA=，∴AE=PE=×=1，∵PB=4，∴BE=PB﹣PE=3，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴AB==．②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，PD=P'B，PA=P'A．∴∠PAP'=90°，∠APP'=45°，∠P'PB=90°∴PP′=PA=2，∴PD=P′B===；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的延长线交PB于G．在Rt△AEG中，可得AG===，EG=，PG=PE﹣EG=．在Rt△PFG中，可得PF=PG•cos∠FPG=PG•cos∠ABE=，FG=．在Rt△PDF中，可得，PD===．（2）如图所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′=PA=2，PB=4，且P、D两点落在直线AB的两侧，∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）此时P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值为6．此时∠APB=180°﹣∠APP'=135度．【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中要求学生充分发挥想象空间，确定P′B取得最大值时点P′的位置．2．（2012•渝北区一模）如图1，在平面直角坐标系中有一个Rt△OAC，点A（3，4），点C（3，0）将其沿直线AC翻折，翻折后图形为△BAC．动点P从点O出发，沿折线0⇒A ⇒B的方向以每秒2个单位的速度向B运动，同时动点Q从点B出发，在线段BO上以每秒1个单位的速度向点O运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）如图2，固定△OAC，将△ACB绕点C逆时针旋转，旋转后得到的三角形为△A′CB′设A′B′与AC交于点D当∠BCB′=∠CAB时，求线段CD的长；（3）如图3，在△ACB绕点C逆时针旋转的过程中，若设A′C所在直线与OA所在直线的交点为E，是否存在点E使△ACE为等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据勾股定理和折叠的性质易求得OA=AB=5，OB=6，可用t表示出OP、OQ的长，分两种情况讨论：①点P在线段OA上运动，即0≤t≤2.5，以OQ为底，OP•sin∠AOC为高，即可得S、t的函数关系式；②点P在线段AB上运动，即2.5＜t≤5，以OQ为底，BP•sin∠ABC为高，即可得S、t的函数关系式．（2）若∠BCB′=∠CAB，那么∠DCB′、∠ABC为等角的余角，而根据旋转的性质知：∠ABC=∠B′，通过等量代换后可发现此时D点是斜边A′B′的中点，即CD=A′B′，由此得解．（3）首先根据A点坐标，求出直线OP的解析式，然后设出点E的坐标；再根据A、C的坐标，分别表示出AE2、CE2的长，然后分三种情况讨论：①AE=CE，②AE=AC，③CE=AC；根据上述三种情况所得不同等量关系，即可求得符合条件的E点坐标．【解答】解：（1）由题意知：OA=AB=5，OC=BC=3，OB=6；P从O→A→B，所用的总时间为：（5+5）÷2=5s；Q从B→O所用的总时间为：6÷1=6；因此t的取值范围为：0≤t≤5；①当0≤t≤2.5时，点P在线段OA上；OP=2t，OQ=OB﹣BQ=6﹣t；∴S=×2t××（6﹣t）=﹣t2+t；②当2.5≤t≤5时，点P在线段AB上；OP=2t，BP=10﹣2t，OQ=6﹣t；∴S=×（10﹣2t）××（6﹣t）=t2﹣t+24；综上可知：S=．（2）∵∠BCB′=∠CAB，∴∠DCB′=∠ABC=90°﹣∠CAB=90°﹣∠BCB′，由旋转的性质知：∠ABC=∠B′，即∠DCB′=∠B′；∴∠A′=∠A′CD=90°﹣∠DCB′=90°﹣∠B′，∴A′D=DB′=CD，即CD=A′B′=AB=2.5．（3）由A（3，4），可得直线OA：y=x；设点E（x，x），已知A（3，4），C（3，0）；∴AE2=（x﹣3）2+（x﹣4）2，CE2=（x﹣3）2+（x）2，AC=4；①当AE=CE时，AE2=CE2，则有：（x﹣3）2+（x﹣4）2=（x﹣3）2+（x）2，解得x=，∴E1（，2）；②当AE=AC时，AE2=AC2=16，则有：（x﹣3）2+（x﹣4）2=16，整理得：25x2﹣150x+81=0，解得：x=，x=；∴E2（，），E3（，）；③当CE=AC时，CE2=AC2=16，则有：（x﹣3）2+（x）2=16，整理得：25x2﹣54x﹣63=0，解得：x=﹣，x=3（舍去）；∴E4（﹣，﹣）；综上可知：存在符合条件的E点：E1（，2），E2（，），E3（，），E4（﹣，﹣）．【点评】此题是一次函数的综合题，涉及到图形的旋转、图形面积的求法、等腰三角形的构成情况等知识，难度较大．3．如图，在直角坐标系中，点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，1），E、F是线段AB 上的两个动点，且∠EOF=45°，过点E、F分别作x轴和y轴的垂线CE、DF相交于点P，垂足分别为C、D、设P点的坐标为（x，y），令xy=k，（1）求证：△AOF∽△BEO；（2）当OC=OD时，求k的值；（3）在点E、F运动过程中，点P也随之运动，探索：k是否为定值？请证明你的结论．【分析】（1）要证明△AOF∽△BEO，由题意可知OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAF=∠OBE=45°，看边角关系，只要证∠AOF=∠BEO即可∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∵∠EOF=45°，∴∠AOF=∠BEO．问题得证．（2）当OC=OD时，作OM⊥AB于M，，由OC=OD，OA=OB=1，可以得到CE=DF，又∠OCE=∠ODF，∴△OCE≌△ODF，故有OF=OE，，而∠COE=∠AOM﹣∠EOM=45°﹣22.5°=22.5°=∠EOM，∴，k值可求．（3）假设k的值为定值，即PC•PD=定值，作FK⊥OA于点K，EH⊥OB于点H，由△AOF∽△BEO得，∴AF×BE=OA×OB=1，，于是FK=1，即HE×FK=，，问题可求．【解答】（1）证明：由题意得OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAF=∠OBE=45°；又∵∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∠EOF=45°，∴∠AOF=∠BEO，∴△AOF∽△BEO．（2）解：作OM⊥AB于M，则∵OC=OD，OA=OB=1，∴CE=DF，又∵∠OCE=∠ODF，∴△OCE≌△ODF，∴OF=OE，∵，又∠COE=∠AOM﹣∠EOM=45°﹣22.5°=22.5°=∠EOM∴，∴．（3）解：如图，作FK⊥OA于点K，EH⊥OB于点H，∵△AOF∽△BEO，∴，∴AF×BE=OA×OB=1，∵，∴FK=1，即HE×FK=，∴，∴k的值为定值．【点评】本题综合运用了全等、相似三角形的判定和性质，及三角形的内外角关系等，来解题，综合性强，属能力拔高题．4．（2015•抚顺）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）【分析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案；（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；（3）AD=DE•tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴=，在Rt△BDG中，=tanα，则=tanα，∴AD=DE•tanα．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，得出△EBD∽△AGD是解题关键．5．（2013•常德）已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．【分析】（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可，（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME= AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．【解答】（1）证法一：如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，∴点B为线段AD的中点，又∵点M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线，∴BM∥CF．证法二：如答图1b，延长BM交EF于D，∵∠ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM=MF，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，∴BE=DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM=45°，∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，∴∠EBM=∠ECF，∴MB∥CF；（2）解法一：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a，∴BM=ME=×a=a．解法二：如答图1b．∵CB=a，CE=2a，∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，∵△ABM≌△FDM，∴BM=DM，又∵△BED是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，∴BM=ME=BE=a；（3）证法一：如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=EG，CF=CG，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．在△ACG与△DCF中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF=AG，∴BM=ME．证法二：如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，∵∠BCE=45°，∴∠ACD=45°×2+45°=135°∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，∴AB∥CF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM=FM，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，BM=DM，∴AB=BC=DF，在△BCE和△DFE中，，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵BM=DM，∴BM=ME=BD，故BM=ME．【点评】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．6．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．【解答】（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sinB==，∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：=：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．7．（2012•成都）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，继而求得AQ与AP的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴，∵BP=a，CQ=a，BE=CE，∴，∴BE=CE=a，∴BC=3a，∴AB=AC=BC•sin45°=3a，∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a，在Rt△APQ中，PQ==a．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的应用．8．（2011•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM•EN．【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出=；（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1）==，从而得出答案．【解答】（1）证明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴=，同理在△ACQ和△APE中，=，∴=．（2）①作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高AQ=，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB=1：3，∴AD=，DE=，∵DE边上的高为，MN：GF=：，∴MN：=：，∴MN=．故答案为：．②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC，∴=，∴DG•EF=CF•BG，又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF•BG，由（1）得==，∴×=•，∴（）2=•，∵GF2=CF•BG，∴MN2=DM•EN．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．9．（2009•绵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF=90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．（1）若m=n时，如图，求证：EF=AE；（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF=AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若m=tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF=（t+1）AE成立？并求出点E的坐标．【分析】（1）根据m=n，我们可得出四边形AOBC应该是个正方形．要证EF=AE，可通过构建全等三角形来实现，在OA上取点C，使AG=BE，则OG=OE．那么我们的目的就是证三角形ABE和EBF全等，这两个三角形中已知的条件只有AG=BE，我们发现∠AGE和∠EBF都是90+45=135°，而∠GAE和∠FEB都是∠AEO的余角，那么这两组对应角就相等，构成了三角形全等的条件，于是EF=AE了．（2）可用反证法来求解，方法同（1）类似，也是通过构建全等三角形来求解．作FH⊥x 轴于H，假设题目给出的条件成立，通过证明三角形AOE和EHF全等来得出线段相等，即AO=EH，OE=FH，根据FBH=45°，设E（a，0）．那么FH=BH=OE=a，那么不难得出EH=EB+BH=OE+EB=m，又根据AO=EH，m=n，因此不存在点E．（3）可根据相似三角形来得出线段之间的比例关系来求得．辅助线作法同（2），我们不难证得三角形AOE和FEH相似（根据同角的余角相等和一组直角即可得出相似），那么就能将EF=（t+1）AE转换为FH=（t+1）OE，根据相似我们还可得出关于AO、EH、OE、FH 的比例关系，那么就能得出一个关于OE、FH、m、n的关系式，将这式子进行化简，即可得出OE与m、n的关系，便能求出E的坐标了．【解答】解：（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形．如图，在OA上取点G，使AG=BE，∵正方形OACB，OA=OB，∴OG=OE．∴∠EGO=∠GEO=（180°﹣90°）=45°，从而∠AGE=90°+45°=135°．由BF是外角平分线，得∠EBF=135°，∴∠AGE=∠EBF．∵∠AEF=90°，∴∠FEB+∠AEO=90°．在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90°，∴∠EAO=∠FEB，在△AGE和△EBF中∵∴△AGE≌△EBF，EF=AE．（2）假设存在点E，使EF=AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．由（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．∴FH=OE，EH=OA．∴点F的纵坐标为a，即FH=a．由BF是外角平分线，知∠FBH=45°，∴BH=FH=a．又由C（m，n）有OB=m，∴BE=OB﹣OE=m﹣a，∴EH=m﹣a+a=m．又EH=OA=n，∴m=n，这与已知m≠n相矛盾．因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．（3）如（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH﹣OE=h+m﹣a．由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF，∴EF=（t+1）AE等价于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a，且，即，整理得nh=ah+am﹣a2，∴h=．把h=（t+1）a代入得=（t+1）a，即m﹣a=（t+1）（n﹣a）．而m=tn，因此tn﹣a=（t+1）（n﹣a）．化简得ta=n，解得a=．∵t＞1，∴＜n＜m，故E在OB边上．∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．【点评】本题解题的关键是根据全等三角形的判定或相似三角形得出线段相等或成比例．相似三角形经典大题解析1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MN BC ∥AMN ABC ∴△∽△ 68h x ∴= 34x h ∴=（2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ， 则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN ∴∥△∽△11AMN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=△ 22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所以 291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2912248y x x =-+-， 取163x =，8y =最大 86>∴当163x =时，y 最大，8y =最大M NCBEFAA 12．如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．【答案】（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C 点的坐标为()56，． ∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·． （2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，． ∴D 点坐标为()88，．又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．． ∴E 点坐标为()48，． ∴8448OE EF =-==，．（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++．当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=32838)8(32t t -=+-,∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s 当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，4883)12)(328(212+-=--=t t t t s3．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．（图3）（图1）（图2）【答案】解： （1）34PM =，（2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--==，，(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+，3t ≤，636aa∴+≤，则636a a ∴<≤，≤， （4）36a <≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3t a t t a ∴-=-，把66a t a=+代入，解之得a =±a = 所以，存在a ，当a =PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．N4．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？【答案】 解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=－23t 2+33t ； (3)因为Q R ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600, 所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ～△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-tt,所以t=56, 所以当t=56时, △APR ～△PRQ5．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠CO A＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2E B，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图7-2AD O BC 21MN图7-1AD BMN 12图7-3A D OBC21MNO.6．在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3，求ACBD的值． 【答案】 解：（1）AO = BD ，AO ⊥BD ；（2）证明：如图4，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠ACO = ∠BEO ．又∵AO = OB ，∠AOC = ∠BOE ，∴△AOC ≌ △BOE ．∴AC = BE ． 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°． ∴∠DEB = 45°．∵∠2 = 45°，∴BE = BD ，∠EBD = 90°．∴AC = BD ． 延长AC 交DB 的延长线于F ，如图4．∵BE ∥AC ，∴∠AFD = 90°．∴AC ⊥BD ．（3）如图5，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠BEO = ∠ACO ． 又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC ．∴AOBO AC BE =． 又∵OB = kAO ，由（2）的方法易得 BE = BD ．∴k ACBD=．10．如图，已知过A （2，4）分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，若点P 从O 点出发，沿OM 作匀速运动，1分钟可到达M 点，点Q 从M 点出发，沿MA 作匀速运动，1图4A DO B C21 MNE FAO BC1D 2图5 M NE分钟可到达A点。
解三角形(含答案)
解三角形一、单选题(共9道，每道11分)1.由下列条件解△ABC，其中有两解的是( )A.b=20，A=45°，C=80°B.a=30，c=28，B=60°C.a=12，c=15，A=120°D.a=5，，A=30°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形2.在△ABC中，已知下列条件解三角形，其中有唯一解的是( )A.A=30°，a=6，b=10B.A=30°，a=1，b=2C.A=133°，a=22，b=25D.A=90°，a=5，c=10答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形3.在△ABC中，，则角B的解的个数是( )A.0B.1C.2D.不确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形4.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，则B=( )A.45°或135°B.135°C.45°D.不确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形5.在△ABC中，已知，则C=( )A.30°B.60°C.120°D.30°或150°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，B=45°，则角A=( )A.30°B.30°或105°C.60°D.60°或120°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果满足的三角形恰有一个，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形8.若满足的△ABC有两个，那么a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形9.如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=a的△ABC恰有一个，那么a的取值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形。
全等三角形难题(含答案.解析)
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE
CE平分∠BCD
CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
8. 已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C
ED
C
F
AB
AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，
1＜AD＜3
∴AD=2
1
2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：
CDAB
2
A
D
CB
延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB
∴ACBP为平行四边形
又∠ACB=90
∴平行四边形ACBP为矩形
∴AB=CP=1/2AB
3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴三角形ABF和三角形AEF全等。
∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
A
2
1
F
C
D
E
B
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD
DE＝DC
∠FDE＝∠GDC（对顶角）
∴△EFD≌△CGD
EF＝CG
∠CGD＝∠EFD
又，EF∥AB
∴，∠EFD＝∠1
∠1=∠2
∴∠CGD＝∠2
解三角形难题及答案
解三角形难题及答案1、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B b A a sin cos =，则=+B A A 2cos cos sin ___D______A 、21- B 、21 C 、-1 D 、1 2、在ABC ∆的三个内角满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ，则ABC ∆=_C____A 、一定是锐角三角形B 、一定是直角三角形C 、一定是钝角三角形D 、可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3、ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ，若b a 25=，B A 2=，则=B cos （ B ）A 、35B 、45C 、55D 、65 4、在ABC ∆中，D 为BC 边上的一点，BC=3BD ，2=AD ，ο135=∠ADB ，若AC=AB 2，则BD=_52+_______5、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若C a A c b cos cos )3(=-，则=A cos ___33___ 6、设A 、B 、C 为三角形的三内角，且方程0)sin (sin )sin (sin )sin (sin 2=-+-+-B C x C A x A B 有等根，那么B ∠=___B_____A 、︒〉60B B 、︒≥60BC 、︒〈60BD 、︒≤60B解析：0)(42222=+---+-ab ac b bc c ac a04)(4)(22=++-+b c a b c a0)2(=-+b c a ac b c a 22≥=+123cos 2-=acb B1cos 21≤≤B 7、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若C=120°，a c 2=，则（） A 、b a 〉 B 、b a 〈 C 、a=b D 、a 与b 的大小关系不能确定5、满足A=45°，6=c ，a=2的△ABC 的个数记为m ，则m a 的值为（ A ）A 、4B 、2C 、1D 、不定3、在三角形ＡＢＣ中，ａ＝５，ｂ＝４，3231)cos(=-B A ，则=cos ＿81＿＿＿＿＿ 4、在△ABC 中，︒=60B ，ac b =2，则三角形的形状为____等边三角形_________1、已知△ＡＢＣ三内角Ａ、B 、C 满足B C A 2=+，B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求2cos C A -的值。
完整版)全等三角形难题题型归类及解析
完整版)全等三角形难题题型归类及解析1.在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，AE=AC，DE=2cm，BD=3cm，求BC的长度。
为了解决这个问题，我们可以利用角平分线的轴对称性，构造全等三角形ADE和ABC。
因为AE=AC，所以三角形ADE和三角形ABC的两边分别相等，因此它们是全等的。
根据全等三角形的性质，∠DAE=∠CAB，∠AED=∠ACB。
又因为AD是角BAC的平分线，所以∠DAE=∠EAC，因此∠CAB=2∠EAC。
设BC=x，则根据正弦定理可得：3/x=sin(2EAC)/sin(EAC)，化简后得到x=6.2.在三角形ABC中，BD是角ABC的平分线，AB=BC，P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求解PM与PN 的关系。
首先，我们可以利用角平分线的性质，构造等腰三角形ABD和CBD。
因为AB=BC，所以三角形ABD和三角形CBD的两边分别相等，因此它们是全等的。
根据全等三角形的性质，∠BDA=∠BDC，∠ADB=∠CDB。
又因为BD是角ABC的平分线，所以∠ADB=∠BDC，因此∠BDA=∠CDB。
因此，三角形APM和三角形CPN是全等的。
因为全等三角形的对应边相等，所以PM=PN。
3.在三角形OAB中，P是角OAB的平分线上的一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，OC=4cm，求解AO+BO的值。
我们可以利用角平分线的轴对称性，构造全等三角形OAC和OBC。
因为∠OAP+∠OBP=180°，所以∠AOP=∠BOP=90°。
因此，三角形OAP和三角形OBP是直角三角形。
设AO=x，BO=y，则根据勾股定理可得：x^2+PC^2=OP^2，y^2+PC^2=OP^2.又因为OC=4cm，所以PC=2cm。
将PC代入上面的两个式子中，得到x^2+y^2=OP^2-4.又因为三角形OAC和三角形OBC是全等的，所以x=y，因此2x^2=OP^2-4，即OP^2=2x^2+4.因此，AO+BO=2x=2√((OP^2-4)/2)=2√(2x^2)=2√(2y^2)=2√(2x^2+4)/2=2√(OP^2)/2=OP√2=2√6.4.在三角形ABC中，E在边AC上，且∠XXX∠ABC。
专题解三角形大题(含答案)
专题解三角形大题(含答案)靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。
今天，你，做数学题了吗？1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC的面积。
根据正弦定理和余弦定理，可以得到sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。
代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4.2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2，求角C的度数和△ABC面积的最大值。
同样利用正弦定理和余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。
解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是钝角三角形，求其面积。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得sinC=√3/2，若△ABC是钝角三角形，面积为0.4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C和如果c=2，求△ABC面积的最大值。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得S△ABC=√3.5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。
根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以解得S△ACD=8√3和AB=2√7.6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。
代入正弦定理和已知条件，解得sinB=1/2，周长为3c。
1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。
由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。
全等三角形难题(含答案解析)
E
O
D
B
C
证明： ∵DC ∥AB ∴∠CDE ＝∠AED
∵DE ＝ DE ， DC ＝ AE
∴△AED ≌△EDC
∵E 为 AB 中点
∴AE ＝ BE
∴BE ＝ DC
∵DC ∥AB
∴∠DCE ＝∠BEC
∵CE ＝ CE
∴△EBC ≌△EDC
∴△AED ≌△EBC
17. 已知， E 是 AB 中点， AF=BD ， BD=5 ， AC=7 ，求 DC
D
F
C
A
E
B
∵作AG ∥BD 交 DE 延长线于 G
∴AGE 全等 BDE
∴AG=BD=5
∴AGF ∽CDF
AF=AG=5
∴DC=CF=2
18 ．如图，在△ ABC 中， BD =DC ，∠1= ∠2，求证： AD⊥BC．
24 ．（ 7 分）如图，△ ABC 中，∠BAC =90 度， AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线， BD 的延长
线垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F．
求 证：
BD =2CE ．
F
A E
D
B
C
证明： ∵∠CEB= ∠CAB=90 ° ∴ABCE 四点共元
∵∠AB E= ∠CB E ∴AE=CE ∴∠ECA= ∠EAC 取线段 BD 的中点 G，连接 AG ，则： AG=BG=DG ∴∠GAB= ∠ABG 而：∠ECA= ∠GBA ( 同弧上的圆周角相等） ∴∠ECA= ∠EAC= ∠GBA= ∠GAB 而： AC=AB ∴△AEC ≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE 25 、如图： DF=CE ， AD=BC ，∠D= ∠C。求证：△ AED ≌△BFC 。
解三角形难题
1、△ABC中,sin²A=sin²B+sinBsinC+sin²C,则∠A=_________. 用正弦定理sina=a/2r，r为外接圆半径 可得a²=b²+bc+c²,接着余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/2bc,得A=120° 主要是考公式应用，不算难题2、在三角形ABC中,a.b.c分别是叫A.B.C的对边,且cosB／cosC=-b/(2a+c) 1。
求角B的大小；若b＝根号13，a＋c＝4，求三角形的面积 解析如下： 1。
右边=-sinB/(2sinA+sinC) 两边同时乘以(2sinA+sinC)*cosC 化简可得cosB=1/2 角B=60度 2。
cosB=1/2=(a^2+c^2-b^2)/2ac.....1 (a+c)^2=a^2+c^2+2ac=16......2 b^2=13.....3 s=0.5ac*sinB 由1，2，3得ac=1 所以s=根号3/43、边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和？ 最大角就是最大边所对应的角，最小角，就是最短边对应的角 余弦公式，三角形ABC中，三个内角角A、角B、角C的对边为a、b、c，则 a^2=b^2+c^2-2bccosA b^2=a^2+c^2-2accosB c^2=a^2+b^2-2abcosC 已知a、b、c，代入就行了 角CosB= 0.5,角B=60度或120度，根据体已，显然角B为120度不可能，只能为30度，180度－角B＝120度。
4、天晚8点时，一台风中心位于点O正北方向160千米点处， 台风中心以每小时20 千米的速度向东南方向移动，在距台风中心小于 等于120千米的范围内将受到台风影响，同时在点O有一辆汽车以 每小时40千米的速度向东行驶。
（1）汽车行驶了多少时间受到台风的影响？v （2）汽车受到台风影响的时间有多少？5、在三角形ABC中，若a=7，b=3，c=8 则其面积等于？ 三角形三边长为a,b,c 设s=(a+b+c)/2 则面积的平方=s(s-a)(s-b)(s-c)， 则面积的平方＝108，108开方即为面积。
高中数学解三角形精选题目(附答案)
高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
(专题精选)初中数学三角形难题汇编及答案解析
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵AB= BC，
∴AE=BE= BC，
∴AE=CE，故①正确；
∴∠EAC=∠ACE=30°
∴∠BAC=90°，
∴S△ABC= AB•AC，故②错误；
∵BE=EC，
∴E为BC中点，O为AC中点，
（专题精选）初中数学三角形难题汇编及答案解析
一、选择题
1．如图，已知 ，若 ， ， ，下列结论：① ；② ；③ ；④ 与 互补；⑤ ，其中正确的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定得出AC∥DE，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．
∴S△ABE=S△ACE=2S△AOE，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=CO，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴EO= EC，
∵EC= AB，
∴OE= BC，故④正确；
故正确的个数为3个，
故选：C．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是解题关键．
15．如图，四边形 和 都是正方形，点 在 边上，点 在对角线 上，若 ，则 的面积是()
A．6B．8C．9D．12【答Βιβλιοθήκη 】B【解析】【分析】
根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由四边形EFGH是正方形，推出△AEF与△DFH是等腰直角三角形，于是得到DE＝ EH＝ EF，EF＝ AE，即可得到结论．
(完整版)相似三角形经典解答题难题含答案个人精心整理,推荐文档
一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB1∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度；（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．2.如图，在△ABC 中，ABC ＝90°，AB=6m ，BC=8m ，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q 以1m/s 的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s 时，求△CPQ 的面积；②求△CPQ 的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；（2）在P ，Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，求出t 的值．3.如图1，在Rt △ABC 中，ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD ，垂足为M ，EN ⊥CD ，垂足为N ．（1）当AD ＝CD 时，求证：DE ∥AC ；（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？4.如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P 点到达B 点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x ．（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）△APQ 与△CQB 能否相似？若能，求出AP 的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0＜t ＜6）。
三角形解析含答案
【答案】C
【解析】根据出水量假设出第一次分流都为1，可以得出下一次分流的水量，依此类推得出最后得出每个出水管的出水量，进而得出答案．
解：根据图示可以得出：
①根据图示出水口之间存在不同，故此选项错误；
②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；
根据第二个出水口的出水量为：[（ + ）÷2+ ]÷2+ = ，
故选：D．
【点睛】
此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．
4．下列命题是假命题的是（）
A．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
B．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16
C．将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限
A． B．5C．4D．
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°，
若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．
∴∠AOC=180°－∠ACO－∠CAO=90°．
在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC= ．
同理可求得：AO=OC=3．
在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1－OC=4，
∴AO＝ ，
∴AC＝16，BD＝12，
∴菱形面积＝ ＝96，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．
6．如图，在 中， ，CD是高，BE平分∠ABC交CD于点E，EF∥AC交AB于点F，交BC于点G．在结论：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 中，一定成立的有( )
(专题精选)初中数学三角形难题汇编含答案
（专题精选）初中数学三角形难题汇编含答案一、选择题1．如图所示，将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=38°，则∠2的度数（）A．28°B．22°C．32°D．38°【答案】B【解析】【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．【详解】解：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC=60°，∵∠1=38°，∴∠AEC=∠ABC-∠1=22°，∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=22°，故选B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm【答案】B【解析】【分析】 根据“AAS”证明 ΔABD ≌ΔEBD .得到AD ＝DE ，AB ＝BE ，根据等腰直角三角形的边的关系，求其周长.【详解】∵ BD 是∠ABC 的平分线，∴ ∠ABD ＝∠EBD .又∵ ∠A ＝∠DEB ＝90°，BD 是公共边，∴ △ABD ≌△EBD (AAS)，∴ AD ＝ED ，AB ＝BE ，∴ △DEC 的周长是DE ＋EC ＋DC＝AD ＋DC ＋EC＝AC ＋EC ＝AB ＋EC＝BE ＋EC ＝BC＝10 cm.故选B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．3．如图，ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=︒，若23AD =．则OC 的长为（ ）A ．3B ．3C 21D ．6【答案】C【解析】【分析】 先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得OC OA ==【详解】解：∵AD BD ⊥∴90ADB ∠=︒∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=︒，AD =∴2AB AD ==∴6BD ==∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴132OB OD BD ===，12OA OC AC ==∴在Rt AOD △中，AD =3OD =∴OA =∴OC OA ==故选：C【点睛】本题考查了含30角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．2, 2,5B ．C ．3,4,8D ．4,5,6【答案】D【解析】【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．【详解】根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．A 、2+2=4＜5，此选项错误；B 、＜3，此选项错误；C 、3+4＜8，此选项错误；D 、4+5=9＞6，能组成三角形，此选项正确．故选：D ．【点睛】此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．5．如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被BC 所截，E 点在BC 上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°【答案】D【解析】【分析】 由平行线的性质可求得∠C ，在△CDE 中利用三角形外的性质可求得∠3．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠C ＝∠1＝45°，∵∠3是△CDE 的一个外角，∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，故选：D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c ．6．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF ，CDG ，DAH 全等，AEH △，BEF ，CFG △，DGH 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（ ）A ．2B ．169C ．32D 2【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EG FH =，∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∵ABE △≌CDG ，∴CDG 为等腰三角形，∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ，EM GN ，∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CDAD BC ， ∴4MN =， 设EM GN x ，则42EG FH x ， ∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等， 即2114(42)22x x ，解得：121,4x x ==，∵4x =不符合题意，故舍去，∴1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=ABE S ， ∵ABE △，BCF ，CDG ，DAH 全等， ∴2====ABE BCF CDG DAHS S S S ， ∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF ，CFG △，DGH 也全等， ∴1(4=AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=ABE S ， 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．7．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】D【解析】 从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角，故选D ．8．如图，直线a b ∥，点A 、B 分别在直线a 、b 上，145∠︒＝，若点C 在直线b 上，105BAC ∠︒＝，且直线a 和b 的距离为3，则线段AC 的长度为（ ）A ．32B ．33C ．3D ．6【答案】D【解析】【分析】 过C 作CD ⊥直线a ，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论．【详解】过C 作CD ⊥直线a ，∴∠ADC =90°．∵∠1=45°，∠BAC =105°，∴∠DAC =30°．∵CD =3，∴AC =2CD =6．故选D ．【点睛】本题考查了平行线间的距离，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．9．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8，BD ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴22，34作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．10．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝12∠CGE．其中正确的结论是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE，，正确．故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．11．如图，△ABC ≌△A E D ，∠C =40°，∠E AC =30°，∠B =30°，则∠E AD =（ ）；A ．30°B ．70°C ．40°D ．110°【答案】D【解析】【分析】【详解】∵△ABC ≌△AED ， ∴∠D=∠C=40°，∠C=∠B=30°，∴∠E AD=180°－∠D －∠E ＝110°，故选D.12．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（ ）A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒【答案】A【解析】【分析】 首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，∴FB=FC ，∴∠FBC=∠FCB=25°，∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，故选：A ．【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，0），B （0，3），以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的正半轴于点C ，则点C 的横坐标介于（ ）A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间【答案】B【解析】【分析】 先根据点A ，B 的坐标求出OA ，OB 的长度，再根据勾股定理求出AB 的长，即可得出OC 的长，再比较无理数的大小确定点C 的横坐标介于哪个区间．【详解】∵点A ，B 的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），∴OA ＝2，OB ＝3，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB 222+313=∴AC ＝AB 13，∴OC 132，∴点C 132，0）， ∵3134<< ， ∴11322<< ，即点C 的横坐标介于1和2之间，故选：B ．【点睛】本题考查了弧与x 轴的交点问题，掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键．14．满足下列条件的是直角三角形的是（ ）A ．4BC =，5AC =，6AB =B ．13BC =，14AC =，15AB = C ．::3:4:5BC AC AB =D ．::3:4:5A B C ∠∠∠= 【答案】C【解析】【分析】要判断一个角是不是直角，先要知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【详解】A．若BC=4，AC=5，AB=6，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；B.若13BC=，14AC=，15AB=，则AC2+AB2≠CB2，故△ABC不是直角三角形；C．若BC：AC：AB=3：4：5，则BC2+AC2=AB2，故△ABC是直角三角形；D．若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C＜90°，故△ABC不是直角三角形；故答案为：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．15．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，则等腰三角形顶角的度数是（）A．140B．20或80C．44或80D．140或44或80【答案】D【解析】【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，①x是顶角，2x-20°是底角时，x+2（2x-20°）=180°，解得x=44°，∴顶角是44°；②x是底角，2x-20°是顶角时，2x+（2x-20°）=180°，解得x=50°，∴顶角是2×50°-20°=80°；③x与2x-20°都是底角时，x=2x-20°，解得x=20°，∴顶角是180°-20°×2=140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故答案为：D．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．16．如图，90ACB ∠=︒，AC CD =，过D 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E ，若2AB DE =，则BAC ∠的度数为（ ）A ．45°B ．30°C ．22.5°D ．15°【答案】C【解析】【分析】 连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，求出∠CAB=∠CDM ，根据全等三角形的判定得出△ACB ≌△DCM ，求出AB=DM ，求出AD=AM ，根据等腰三角形的性质得出即可．【详解】解：连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，∵∠ACB=90°，AC=CD ，∴∠DAC=∠ADC=45°，∵∠ACB=90°，DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM ，∵∠ABC=∠DBE ，∴∠CAB=∠CDM ，在△ACB 和△DCM 中CAB CDM AC CDACB DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACB ≌△DCM （ASA ），∴AB=DM ，∵AB=2DE ，∴DM=2DE ，∴DE=EM ，∵DE ⊥AB ，∴AD=AM ，114522.522BAC DAE DAC ︒︒∴∠=∠=∠=⨯= 故选：C ．【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM 是解此题的关键．17．如图为一个66⨯的网格，在ABC ∆，A B C '''∆和A B C ''''''∆中，直角三角形有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 根据题中的网格，先运用勾股定理计算出各个三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形即可．【详解】设网格的小正方形的边长是1，由勾股定理（两直角边的平方等于斜边的平方）可知，ABC ∆的三边分别是：10，5，5； 由于2225510+=， 根据勾股定理的逆定理得：ABC ∆是直角三角形； '''A B C ∆的三边分别是：''A B 10， ''B C 5 ，''AC 13 由于22210513，根据勾股定理的逆定理得：'''A B C ∆不是直角三角形；A B C ''''''∆的三边分别是：A B ''''18B C ''''8 ，A C ''''26；由于22218826， 根据勾股定理的逆定理得：A B C ''''''∆是直角三角形；因此有两个直角等三角形；故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能灵活运用所学知识是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(12，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为( )A．132B．312C．3+192D．2 7【答案】B【解析】如图，作点A关于OB的对称点点D，连接CD交OB于点P，此时PA＋PC最小，作DN⊥x 轴交于点N，∵B（33OA=3，AB3OB3BOA=30°，∵在Rt△AMO中，∠MOA=30°，AO=3，∴AM=1.5，∠OAM=60°，∴∠ADN=30°，∵在Rt△AND中，∠ADN=30°，AD=2AM=3，∴AN=1.5，DN 33 2∴CN=3－12－1.5=1，∴CD2=CN2+DN2=12+3322=314，∴CD=312.故选B.点睛：本题关键在于先借助轴对称的性质确定出P点的位置，然后结合特殊角30°以及勾股定理计算.19．如图，Rt△ABC中，∠C =90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若AD =5cm，CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm【答案】C【解析】 ∵点D 到AB 的距离是DE ，∴DE ⊥AB ，∵BD 平分∠ABC ，∠C =90°，∴把Rt △BDC 沿BD 翻折后，点C 在线段AB 上的点E 处，∴DE=CD ，∵CD =3cm ，∴DE=3cm.故选：C.20．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，60CAB ∠=︒，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于点P 和Q ． ②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若4CE =，则AE 的值为（ ） A ．6B ．2C ．43D ．8 【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ 是AB 的垂直平分线，进而得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°，即可得出AE 的长．【详解】由题意可得出：PQ 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠CBA＝30°，∴∠EAB＝∠CAE＝30°，∴CE＝12AE＝4，∴AE＝8．故选D．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB＝∠CAE＝30°是解题关键．。
解三角形答案
解三角形1. 在△ABC中，已知A=75°，B=45°，则AC=.【答案】2【解析】在△ABC中，由正弦定理可知，000sin[180-(7545)]AB+=0sin45AC，即=0sin45AC，解得AC=2.2.已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则角A等于.30°3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=7，bc，则△ABC最小的内角为.【答案】π6【解析】，所以C<B<A，又因为cos C=222-2a b cab+=，所以角C=π6.4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a+2c=2b，sin B=2sin C，则cos A=.【答案】【解析】由sinB=sin C，得b=c.又因为a+c=2b，所以a=c，所以cosA=222-2b c abc+222=.5.在△ABC中，已知sinsin sinb a Ba B A+=-，且2sinAsinB=2sin2C，则△ABC的形状为.【答案】直角三角形【解析】由题意知，sinsin sinb a Ba B A+=-=-bb a，所以b2-a2=ab.又2sin Asin B=2sin2C，所以2ab=2c2，所以b2=a2+c2，即△ABC为直角三角形.6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，22a bc-=3，则c=.【答案】4【解析】方法一：由tanA=7tanB ，可得sin cos A A =7sin cos BB ，即sinAcosB=7sinBcosA ，所以sinAcosB+sinBcosA=8sinBcosA ，即sin(A+B)=sinC=8sinBcosA.由正、余弦定理可得c =8b ×222-2b c a bc +，即c 2=4b 2+4c 2-4a 2，又22-a b c =3，所以c 2=4c ，即c =4.方法二：由tanA=7tanB ，得sinAcosB=7sinBcosA ，再由余弦定理可得a ×222-2a c b ac +=7×b ×222-2b c a bc +，解得c 2=4b 2+4c 2-4a 2，以下同方法一.7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cosB=3，sin(A+B)= 9ac求sin A 和c 的值.【解答】在△ABC 中，由得因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B)= 因为sin C<sin B ，所以C<B ，C 为锐角，所以cos C=，因此sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=.由sin aA =sin c C ，可得a =sin sin c A C=9，又acc =1.【点评】本题考查了两角和差的三角函数、正弦定理及函数与方程思想，在正确理解题意的情况下，准确计算是关键.解答本题的一个易错点是忽视对角的范围的讨论，使解答陷入误区.8.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知222222sin 2sin sin C b a c A C c a b --=---.(1) 求角B 的大小；(2) 设T=sin 2A+sin 2B+sin 2C ，求T 的取值范围.【分析】(1) 观察已知条件中的等式，思路有二，一是左边利用正弦定理角化边，二是右边利用余弦定理边化角.(2) 此种问题往往转化为关于某一个角的三角函数求值域问题.【解答】(1) 在△ABC 中，sin 2sin -sin CA C =222222----b a c c a b =-2cos -2cos ac B ab C =cos cos c B b C =sin cos sin cos C B B C .因为sin C≠0，所以sin Bcos C=2sin Acos B-sin Ccos B ，所以2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A.因为sin A ≠0，所以cos B=12. 因为0<B<π，所以角B=π3.(2) T=sin 2A+sin 2B+sin 2C=12(1-cos 2A)+34+12(1-cos 2C) =74-12(cos 2A+cos 2C)=74-14πcos2cos -223A A ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =74-11cos222A A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭ =74-12cosπ23A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为0<A<2π3，所以0<2A<4π3，所以π3<2A+π3<5π3，所以-1≤cos π23A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭<12， 所以32<T ≤94，即T ∈3924⎛⎤ ⎥⎝⎦，.9.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=．（Ⅰ）求sin sin CA的值；（Ⅱ）若1cos ,24B b ==，求ABC ∆的面积S ．解：（I ）由正弦定理，设,sin sin sin a b ck A B C === 则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C Ab k B B ---== 所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C AB B --=即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-， 化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=， 所以sin 2sin C A =因此sin 2.sin C A =（II ）由sin 2sin CA =得2.c a =由余弦定理22222212cos cos ,2,4144.4b a c ac B B b a a =+-==+-⨯及得4=a解得a=1。
解三角形难题及答案
解三角形难题及答案1、在ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为a、b 、c，若acos A b s in B ，则2sin Aco s A co s B ___D______A、12B、12C、-1D、12、在ABC 的三个内角满足sin A :sin B : sin C 5 :11 :13 ，则ABC =_C____A、一定是锐角三角形B、一定是直角三角形C、一定是钝角三角形D、可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形53、ABC 的三内角A、B、C 的对边边长分别为a、b、c，若a b，A 2B ，则c o s B2（ B ）A、53B、54C、55D、564、在ABC 中，D 为BC 边上的一点，BC=3BD ，AD 2 ，ADB 135 ，若AC= 2AB ，则BD=_ 2 5 _______5、在ABC 中，角 A 、B、C 所对的边分别为a、b、c，若(3b c) c os A a c osC ，则cos A ___33___6、设 A 、 B 、 C 为三角形的三内角，且方程(sin 2 A C x C BB sin A)x (sin sin ) (sin sin ) 0有等根，那么B=___B_____A、B 60B、B 60C、B 60D、B 602 ac c bc b ac ab2 2解析：a 2 4( ) 0(a 2 b a c b2c) 4 ( ) 4(a c 2b) 0a c 2b 2 accos B23b2ac112cos B 17、在△ABC 中，角 A 、B、C 所对的边分别为a、b、c，若C=120°，c 2a ，则（）A、a bB、a bC、a=bD、a 与b 的大小关系不能确定5、满足A=45 °，c 6 ，a=2 的△ABC 的个数记为m，则m a 的值为（ A ）A、4B、2C、1D、不定3、在三角形ＡＢＣ中，ａ＝５，ｂ＝４，31cos(A B) ，则cos ＿3218＿＿＿＿＿2 ，则三角形的形状为____等边三角形_________ 4、在△ABC 中，B 60 ，b ac1 1、已知△ＡＢＣ三内角Ａ、B、C 满足A C 2B ，cos12BA cos C cos，求c o sA C2的值。
人教版八年级上册数学第十一章三角形解答题(难题)专项练习【答案】
《三角形》解答题（难题）专项练习【答案】1．探究与发现：如图①，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连结DE．（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）深入探究：如图②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其它条件不变，试继续探究∠BAD 与∠CDE的数量关系．2．如图，直线AE⊥BF于O，将一个三角板ABO如图放置（∠BAO＝30°），两直角边与直线BF，AE重合，P为直线BF上一动点，BC平分∠ABP，PC平分∠APF，点D在直线PC 上，且OD平分∠POE．（1）求∠BGO的度数；（2）试确定∠C与∠OAP之间的数量关系并说明理由；（3）P在直线上运动，∠C+∠D的值是否变化？若发生变化，说明理由；若不变求其值．3．（1）问题发现：如图1，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC和∠ACB的平分线交于P，则∠BPC的度数是（2）类比探究：如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的外角∠ACE的角平分线交于P，则∠BPC 与∠A的关系是，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的外角∠ACE的角平分线交于P，请直接写出∠BPC与∠A的关系是．4．（1）如图（1），在△ABC中，∠A＝62°，∠ABD＝20°，∠ACD＝35°，求∠BDC的度数．（2）图（1）所示的图形中，有点像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，观察“规形图”图（2），试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由．（3）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（3），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝42°，则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（4），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝60°，∠DBE＝140°，求∠DCE的度数．③如图（5），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝68°，求∠A的度数．5．如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于O点．（1）若∠A＝40°，则∠BOC＝°；（2）若∠A＝n°，则∠BOC＝°；（3）若∠A＝n°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于O点，∠ABO的平分线与∠ACO的平分线交于点O1，…，∠ABO2016的平分线与∠ACO2016的平分线交于点O2017，则∠O2017＝°．6．如图，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．①如图1，若α+β＞180°，求∠P的度数．（用α、β的代数式表示）②如图2，若α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并求得∠P＝．（用α、β的代数式表示）7．（1）如图（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°求∠BOC 的度数．（2）如图（2），△A′B′C′外角的平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数．（3）由（1）、（2）可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？设∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的数量关系？这个结论你是怎样得到的？8．（1）如图①，△ABC的三边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6分别两两相交，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6等于多少度？（2）如图②，四边形ABCD的四边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6、A7A8分别两两相交，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠7+∠8的度数；（3）若n边形的n条边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6、…、A2n﹣1A2n分别两两相交，求∠A1+∠A2+…+∠A2n＝．9．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．（1）∠E＝°；（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形；②求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM＝∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN＝∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．10．老师给了小胖同学这样一个问题：如图1，△ABC中，BE是∠ABC的平分线，点D是BC延长线上一点，2∠D＝∠ACB，若∠BAC＝60°，求∠BED小胖通过探究发现，过点C作CM∥AD（如图2），交BE于点M，将∠BED转移至∠BMC 处，结合题目已知条件进而得到CM为∠ACB的平分线，在△ABC中求出∠BMC，从而得出∠BED．（1）请按照小胖的分析，完成此题的解答：（2）参考小胖同学思考问题的方法，解决下面问题：如图3，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG 平分∠ABC，DG与BG交于点G，若∠A＝m°，求∠G的度数（用含m的式子表示）11．图1所示的图形中，有像我们常见的学习用品﹣﹣圆规，我们不妨把这样的图形叫做“规形图”．观察“规形图”．（1）如图1，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由．（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：如图2，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．12．已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，求∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：解：∵∠AOC是△AOD的外角（外角定义），∴∠AOC＝（三角形的外角等于它不相邻的两个内角和），∵∠AOC是△COB的外角（外角定义），∴∠AOC＝，∴∠A+∠D＝．（2）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠B、∠D之间存在着怎样的数量关系，说明理由．13．【问题背景】小明在学习多边形时，把如图1的图形成为“8”字形，并得出如下结论：∠A+∠B＝∠C+∠D，请你说明理由；（2）【尝试应用】如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；小明结合（1）中的结论并利用方程思想轻松解答如下：解：由AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，可设∠1＝∠2＝x，∠3＝∠4＝y，由（1）的结论得：，①+②，得2∠P+x+y＝x+y+∠B+∠D∴（∠B+∠D）＝26°（3）【拓展延伸】如图3，已知∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，请利用上述结论或方法求∠P的度数．14．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当△PMN所放位置如图①所示时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．15．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A．1（1）当∠A为70°时，∵∠ACD﹣∠ABD＝∠∴∠ACD﹣∠ABD＝°∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线∴∠A1CD﹣∠A1BD＝（∠ACD﹣∠ABD）∴∠A1＝°；（2）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、…、A n，请写出∠A与∠A n的数量关系；（3）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D＝230度，则∠F＝．（4）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q﹣∠A1的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．。
高考数学 解三角形难题
解三角形难题1、在锐角ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，若C b a sin 2=，则C B A tan tan tan ++的最小值为解析：2sin sin 2sin sin sin(B )2sin sin a b C A B C C B C =⇔=⇔+=cos cos sin cos cos sin 2sin sin tan tan 2tan tan B CB C B C B C B C B C ⇔+=−−−−−−−→+=两边同时除以又因为tan tan(B C)A =-+，则tan tan tan tan tan tan tan tanC=tanBtanC tan tan 1B CA B C A B B C +++=-所以2tan tan tan tan tan tanBtanC tan tan 1B CA B C B C ++=-令tan tan 10t B C =->，则()2(t 1)2tan tan tan 1248A B C t t t t +++=+=++≥当且仅当1tan tan 2t A B ==即时取等号. 2、在锐角ABC ∆中，若C B A sin sin 2sin =，则C B A tan tan tan 的最小值为 同上 3、在锐角ABC ∆中，若A B b 2,2==，则c 的取值范围是解析：由正弦定理得：()sin sin sin cos 2cos sin 222sin sin sin sin sin 2A B b c b C A A A Ac B C B B A++=⇒=== 即2sin cos 2cos sin 2cos 22cos sin cos cos A A A A A Ac A A A++==，令cos t A =，因锐角ABC ∆，且2B A =，则020*******A A A A ππππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⇔<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，即cos 22t A ⎛=∈ ⎝⎭，所以2cos 22cos 1=4cos cos cos A A c A A A +=-∈ 4、在锐角ABC ∆中，2,22==-∆ABC S bc b a ，则2c 的取值范围是解析：因为：2222cos 2cos 122b c a c bc cA A bc bc b+--==⇔=+…………① 而14sin 22sin ABC S bc A bc A∆==⇔=……………………………………② 将①式两边乘以bc 可得：()22cos 1c A bc =+，将②式代入其中可得：()242cos 1sin c A A=+⋅所以()242cos 1sin c A A=+⋅又2222222cos 2cos a b bc a c b bc c ac B b c a B -=⇔+-=+=⇔+=所以sin sin 2sin cosB sin sin()2sin cos sin sin(A )B C A B A B A B B B +=⇔++=⇔=- 即B A B =-或B A B π+-=（舍）又锐角ABC ∆，所以0022002223200222A A A B A A C A πππππππππ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇔<<⇔<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<<<--<⎪⎪⎩⎩()21cos 42cos 1128=8sin sin sin 1cos 2A A c A A AA ++==⋅+，而sin 3,212cos 2AA ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭+，即2164,33c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5、设ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对的边，ABC ∆的面积)273(41222a c b S ABC -+=∆，则=A cos解析：易知2221372sin 24b c a bc A +-=,所以222237237sin 222b c a b c a A bc c b bc +-==+- 又2222cos 2222b c a b c a A bc c b bc +-==+-，所以5sin 2cos 522b cA A c b-=+≥而sin 2cos 5sin()5A A A θ-=-≤，所以sin 2cos 5A A -=（其中12cos ,sin 55θθ==） 所以()()22cos cos[()]cos cos sin sin 555A A A A θθθθθθ=-+=---=-=-6、在锐角ABC ∆中，A C B A C B 222sin 2sin sin sin 2sin 7sin 3+=+，则=+)4sin(πA解析：2222223sin 7sin 2sin sin sin 2sin 3722sin B C A B C A b c a bc A +=+⇔+-=即2221372sin 24b c a bc A +-=（同上题）则()210sin()sin cos 4210A A A π+=+=-7、在ABC ∆中，若3tan tan tan tan =+CAB A ，则sin A 的最大值为 解析：由()sin tan tan cos cosC3tan ()tan 3tan tan sin sin sin sin B C A A B A A B C B C B C++=⇔+== 22tan sin 3sin sin sin 3sin sinCsinA 3cos A A B C A B a bc A ⇔=⇔=⇔=又2222cosA a b c bc =+-可得：2212cos 555b c b c A bc c b +⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时取等号。
解三角形专题17题练习含答案
1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，，且sin cos 0a B b A -=．〔1〕求角A 的大小：〔2〕假设a =，2b =．求ABC △的面积．2.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B b A c +=．〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设a =ABC ∆，求b c +的值． 3.〔12分〕在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为5,,,cos cos 3a b c c a B b A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.〔1〕求cos B 的值；〔2〕假设2,cos 17a C ABC ==-∆的外接圆的半径R. 4在中，内角，，的对边分别为，，，且.〔1〕求；〔2〕假设，，为边上一点，且，求的长. 5．在ABC △内，角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且()cos cos cos b A c B c a B -=-．〔1〕求角B 的值；〔2〕假设ABC △的面积为b =ac +的值．6. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin ()sin sin b B c b C a A +-=.〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设3sin sin 8B C =，且ABC △的面积为a .1．【答案】〔1〔2〕4． 【解析】〔1〕在ABC △中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=．······1分 即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，ABC ∆A B C a b c cos cos 2cos c B b C a A +=A 2a =2sin sin sin B C A =D BC 13BD BC =AD所以sin cos 0A A -=，···········3分···········4分 又因为()0,πA ∈，所以···········6分 〔2〕在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，···········7分即2160c -=．···········8分解得c =-c =···········10分所以1242S =⨯⨯=．···········12分 2.解：(1)由及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin in cos sin Bs A A B ∴=，sin 0sin cos B A A ≠∴=(0,)4A A ππ∈∴=(2)11sin 2242ABC S bc A bc ===∴=又22222cos 2()(2a b c bc A b c bc=+-∴=+-+所以，2()4, 2.b c b c +=+=．4.解：〔1〕∵，∴.∴，∴.∵，∴，∴，∴. 〔2〕∵，，∴.由，得，∴，又，∴.cos cos 2cos c B b C a A +=sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=()sin 2sin cos B C A A +=sin 2sin cos A A A =()0,A π∈sin 0A ≠1cos 2A =3A π=2a =2sin sin sinBC A =24bc a ==2222cos a b c bc A =+-2244b c =+-228b c +=4bc =2b c ==那么为等边三角形，且边长为，∴. 在中，，，，由余弦定理可得. 5．【答案】〔1〕3B π=；〔2〕7． 【解析】〔1〕∵()cos cos cos b A c B c a B -=-．∴由正弦定理，得()sin cos sin cos sin sin cos B A C B C A B -=-．···········1分∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=．()sin 2sin cos A B C B ∴+=．···········3分 又++=πA B C ，∴()sin sin A B C +=．···········4分又∵0<<πC ，1cos 2B ∴=．··········5分 又()0∈π，B ，3π∴=B ．··········6分 〔2〕据〔1〕求解知3π=B ，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-．①··········8分又1sin 2S ac B ==·········9分 ∴12ac =，②··········10分 又13b =，∴据①②解，得7a c +=．··········12分6.〔1〕由sin ()sin sin b B c b C a A +-=，由正弦定理得22()b c b c a +-=，即222b c bc a +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，∴3A π=. 〔2〕由正弦定理simA sin sin a b cBC ==，可得sin sin a B b A =，sin sin a C c A=， 所以1sin 2ABC S bc A =△1sin sin sin 2sin sin a B a C A A A =⋅⋅2sin sin 2sin a B C A ==又3sin sin 8B C =，sin 2A =，∴28a =4a =.ABC ∆223BD =ABC ∆2AB =23BD =3B π=AD =。
一题打天下之解三角形(原创45问含答案)
= 3a，求
sin A sin C
的值；
（26）若
a
+
√ 2b
=
2c，求
sin C
的值；
（27）若 b 是 a 与 c 的等比中项，求证：△ABC 为正三角形；
（28）若 a，b，c 成等差数列，求证：△ABC 为正三角形；
（29）若 sin A sin C = cos2 B ，求证：△ABC 为正三角形； 2 √
（12）7；
（13）直角三角形；
（14）直角三角形；
（15）等边三角形；
（16）等边三角形；
（17）等边三角形；
（18） 1 ； 2
( （19）
√ 3
,
]
√ 3
；
2
(]
（20）
13 ,
；
24
（21）(√3, 2√3]；
[)
（22）
1 ,1
；
2
（23）[2, +∞)；
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√ （24） 3 ；
（09）若 b2 = (a − c)2 + 6，求 △ABC 的面积；
√ （10）若 △ABC 的面积 S = 5 3，且 a = 5，求 sin A • sin C 的值；
√
（11）若
b
=
4，且
△ABC
的面积
S△ABC
=
3 3 ，求 4
−−→ −−→ AB • BC
及
a+c
的值；
（12）若
a
−
b
=
（22）若 a + c = 1，求 b 的取值范围； （23）若 △ABC 的面积 S = √3，求 b 的取值范围；
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解三角形难题及答案
1、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B b A a sin cos =，则=+B A A 2cos cos sin ___D______
A 、21-
B 、2
1 C 、-1 D 、1 2、在ABC ∆的三个内角满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ，则ABC ∆=_C____
A 、一定是锐角三角形
B 、一定是直角三角形
C 、一定是钝角三角形
D 、可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
3、ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ，若b a 25=
，B A 2=，则=B cos （ B ）
A 、35
B 、45
C 、55
D 、6
5 4、在ABC ∆中，D 为BC 边上的一点，BC=3BD ，
2=AD ， 135=∠ADB ，若AC=AB 2，则BD=_52+_______
5、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若C a A c b cos cos )3(=-，则=A cos ___
33___ 6、设A 、B 、C 为三角形的三内角，且方程0)sin (sin )sin (sin )sin (sin 2=-+-+-B C x C A x A B 有等根，那么B ∠=___B_____
A 、︒〉60
B B 、︒≥60B
C 、︒〈60B
D 、︒≤60B
解析：0)(422
22=+---+-ab ac b bc c ac a
04)(4)(22=++-+b c a b c a
0)2(=-+b c a ac b c a 22≥=+
123cos 2
-=ac
b B
1cos 2
1≤≤B 7、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若C=120°，a c 2=
，则（） A 、b a 〉 B 、b a 〈 C 、a=b D 、a 与b 的大小关系不能确定
5、满足A=45°，6=c ，a=2的△ABC 的个数记为m ，则m a 的值为（ A ）
A 、4
B 、2
C 、1
D 、不定
3、在三角形ＡＢＣ中，ａ＝５，ｂ＝４，3231)cos(=
-B A ，则=cos ＿81＿＿＿＿＿ 4、在△ABC 中，︒=60B ，ac b =2，则三角形的形状为____等边三角形_________
1、已知△ＡＢＣ三内角Ａ、B 、C 满足B C A 2=+，
B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求2
cos C A -的值。
B C A 2=+
120=+C A 60=∠B
22)
120cos(1cos 1-=-+A A )120cos(cos 22cos )120cos(A A A A -︒-=+-︒
a C A =-2
，则a A +︒=60，a C -︒=60 )60cos()60cos(22)60cos()60cos(a a a a -︒+︒-=+︒+-︒
023cos 2cos 242=-+a a
0)3cos 22)(2cos 2(=+-a a
2
2cos =a ， 即2
22cos =-C A 2、判断下列条件三角形的形状：)sin()()sin()(2222B A b a B A b a -+=+-
)
sin()sin(2222B A B A b a b a +-=+-
B
A B A B A B A b a b a sin cos cos sin sin cos cos sin 2222+-=+- 222
2cos cos cos cos b
a b a A b B a A b B a +-=+- )cos cos )(()cos cos )((2222A b B a b a A b B a b a +-=-+ A b a B ab cos 2cos 222=
A a
B b cos cos =
A B 2sin 2sin =
B A =或者︒=+90B A。