2019年湖南省怀化市高三二模数学（理）试题
湖南省怀化市2019届高三4月第二次模拟考试 数学(理)(pdf版,含答案)
3
84
3
3
或 ( 2 6 , 2 6 ) 满足 OA OB ,
3
3
综上, 存在圆心在原点的圆 x2 y2 8 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A, B ， 3
且 OA OB …………………12 分
21 解：（Ⅰ）设切点 P(x0,0)
u ' x
ax x2
,
k
a x0 x02
C
F
y
则
AD m 0
，
即
ax
3
ay
2
3 2
az
0
z
3y 3,
所
以
DE m 0
ax 2ay 0
x 2 y
m (2 y, y, 3y ) …………………10 分 3
所以 cos
nm nm
a
3 ay 3
41 1y
1 4
，即 sin
3
15 . …………………12 分 4
19 解：（Ⅰ）由图（二）可知，100 株样本树苗中高度高于 1.60 米的共有 15 株，以样本的频率估计总
an,2
an1,2
an1,1
1
1 2n2
, (n
3)
即 an,2
an1,2
1
1 2n2
, (n
3)
又 an,2 (an,2 an1,2 ) (an1,2 an2,2 )
1
5
(a3,2
a2,2 ) a2,2
2n2
n
, 2
数列 an,2 显然为递增数列，又易知 a102,2 100 a103,2 ，所以 m 的最小值为 103．
即 AC CD 5 2 ，解得： AC 8,CD 2 …………………6 分 4 22 5 10 2
2019届湖南省怀化市高三下学期统一模拟考试数学(理)试题(一)(含答案)
则直线 B1M 与直线 CD 所成的角的正弦值的最小值是
A. 3 3
B. 3 C. 2 D. 1
2
22
11.过抛物线 C: x2 4 y 的焦点 F 作斜率分别为k1, k2 的两条直线 l1,l2 ，其中 A 交 C 于 A、B
两 点， l2 交 C 于 D、E 两点，若 k1k2 2 ,则|AB| + |DE|的最小值为
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分）
已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且c cos A (13 b a) cos C . 12
(1)若 sin B 4 ，求 sin A的大小； 5
(2)若△ABC 的面积为 5 ，且△ABC 的外接圆半径为13 ，求△ABC 的周长.
，且
a4
>
0
,则
t an( a6 3
)
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
3
3
8.《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥
为阳马，如图，某阳马的三视图如图所示，则该阳马的最长棱的长
度为
A.1 B. 2 C. 3 D.2 9.如图所示为函数 f (x) Asin(x )( > 0, ) 的部分图象，点 M、N 分别为图象的最
13.已知向量 a,b 的夹角为 120°， a 2b 2a 2 ,则 b
.
14.已知 x3(3 1 )n ,(n N) 的展开式的系数和为 16,则展开式中的常数项为
.
x
15.某学校 2019 年元旦晚会准备了 6 个节目，考虑整体效果，其中节目甲必须在前三位，且
湖南省怀化市高考数学二模试卷(理科)
湖南省怀化市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·伊春期中) 设全集，则等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·黄冈月考) 复数满足，则复数的共轭复数的虚部为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二下·九江期末) 已知m，n∈R，则“m＞n＞0”是“ =1（m＞0，n＞0）为椭圆方程”的（）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）在贵阳市创建全国文明城市工作验收时，国家文明委有关部门对我校高二年级6名学生进行了问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）执行右面的程序框图，若输入的n=6，m=4，那么输出的p是（）A . 120B . 240C . 360D . 7206. （2分） (2019高二下·奉化期末) 函数在上的极大值为（）A .C .D .7. （2分） (2019高二上·分宜月考) 设满足约束条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为（）A .B .C .D . 48. （2分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 200＋9πB . 200＋18πC . 140＋9πD . 140＋18π9. （2分） (2017高二下·和平期末) 4名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的标报名方法共有（）B . 16种C . 64种D . 256种10. （2分）已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2012·湖南理) 不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为________．12. （1分） ||=1，||=2，=+，且，则与的夹角为________13. （1分） (2015高二下·九江期中) 函数f（x）= ，则 f（x）dx的值为________．14. （1分）四面体A﹣BCD中，AB=CD=1，其余各棱长均为2，则VA﹣BCD=________ ．15. （1分） (2017高三上·湖南月考) 若二次函数有两个零点、，则，类比此，若三次函数有三个零点、、，则________．三、解答题 (共6题；共60分)16. （10分） (2019高三上·潍坊期中) △ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知且．（1）求角；（2）如图，D为△ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，，求△ACD面积的最大值．17. （10分）(2020·吉林模拟) 移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下：（参考公式：（其中）（1）将上列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为，求的分布列及期望.18. （5分） (2017高二下·温州期中) 如图，将正六边形ABCDEF中的一半图形ABCD绕AD翻折到AB1C1D，使得∠B1AF=60°．G是BF与AD的交点．（Ⅰ）求证：平面ADEF⊥平面B1FG；（Ⅱ）求直线AB1与平面ADEF所成角的正弦值．19. （15分） (2017高一下·钦州港期末) 设数列{an}的前n项和为Sn ，若对于任意的n∈N* ，都有Sn=2an ﹣3n．（1）求证{an+3}是等比数列（2）求数列{an}的通项公式；（3）求数列{an}的前n项和Sn ．20. （10分）(2018·长安模拟) 已知椭圆：的离心率为，圆的圆心与椭圆C的上顶点重合，点P的纵坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为2的直线l与椭圆C交于A ， B两点，探究：在椭圆C上是否存在一点Q ，使得，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21. （10分）(2019·新疆模拟) 已知函数，（1）若是函数的一个极值点，求实数的值；（2）设，当时，，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
2019年湖南省怀化市城关中学高三数学理模拟试题含解析
2019年湖南省怀化市城关中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知sin2α＝，则＝A．－B．－C．D．－参考答案：D略2. 如图程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入m，n分别为225、135，则输出的m=（）A．5 B．9 C．45 D．90参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；m=225，n=135，225÷135=1…90，r=90，不满足退出循环的条件；m=135，n=90，135÷90=1…45，r=45不满足退出循环的条件m=90，n=45，90÷45=2…0，r=0满足退出循环的条件故输出m=45．故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．3. 已知全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|log3x＞0}，则A∩（?U B）=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}参考答案：D【考点】指、对数不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先化简集合A、B，求出?U B，然后借助数轴即可求得答案．【解答】解：A={x|x＜0}，B={x|x＞1}，则C U B={x|x≤1}，∴A∩（?U B）={x|x＜0}，故选D．【点评】本题考查指数、对数不等式的解法和集合的运算，属基础题，指数、对数不等式常化同底后利用函数单调性求解．4. 在中，点是上的一点，且，是的中点，与的交点为，又，则的值为（）A. B. C.D.参考答案：C5. 已知函数的最小正周期为2，且，则函数的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为（A） (B)(C) (D)参考答案：A略6. 已知命题，则A． B．C． D．参考答案：A略7. 若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( )（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）参考答案：【解】：如图在三棱柱中，设，由条件有，作于点，则∴∴∴故选B【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力；【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键；8. 已知集合A={x|y=}，集合B={x|x≥2}，A∩B=（）A．[0，3] B．[2，3] C．[2，+∞） D．[3，+∞）参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|y=}={x|3﹣x≥0}={x|x≤3}，集合B={x|x≥2}，则A∩B={x|2≤x≤3}=[2，3]．故选：B．【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．9.“,成立”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B10. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是( ▲ )A．27 B．30 C．33 D．36参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，.若存在，使得，则实数b的取值范围是．参考答案：(－2,0)当时，在恒成立在为减函数，当时；当时，.综上，欲使成立需：.12. 已知全集，集合，．若，则实数的取值范围是．参考答案：13. 二项式的展开式中常数项为 . （用数字表达）参考答案：-16014. 已知a>0，且a≠1，,则实数a的取值范围是 .参考答案：15. 一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为．第14题图参考答案：略16. 由曲线y＝－x2＋2x与直线y＝x围成的封闭图形的面积为参考答案：17. 已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＜0，给出下列四个命题：①f（﹣2）=0；②直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，6]上为增函数；④函数y=f（x）在（﹣8，6]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】数形结合；转化法；简易逻辑．【分析】①令x=﹣2，可得f（﹣2）=0，从而可判断①；②由（1）知f（x+4）=f （x），所以f（x）的周期为4，再利用f（x）是R上的偶函数，根据函数对称性从而可判断②；③依题意知，函数y=f（x）在[0，2]上为减函数结合函数的周期性，从而可判断③；④由题意可知，y作出函数在（﹣8，6]上有的图象，从而可判断④．【解答】解：①：对于任意x∈R，都有f（x+4）=f （x）+f （2）成立，令x=﹣2，则f （﹣2+4）=f（﹣2）+f （2）=f（2），即f（﹣2）=0，即①正确；②：由（1）知f（x+4）=f （x），则f（x）的周期为4，又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x+4）=f（﹣x），而f（x）的周期为4，则f（x+4）=f（﹣4+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣4），∴f（﹣4﹣x）=f（﹣4+x），则直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即②正确；③：当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，∴函数y=f（x）在[0，2]上为减函数，而f（x）的周期为4，∴函数y=f（x）在[4，6]上为减函数，故③错误；④：∵f（2）=0，f（x）的周期为4，函数y=f（x）在[0，2]上为增函数，在[﹣2，0]上为减函数，∴作出函数在（﹣8，6]上的图象如图：则函数y=f（x）在（﹣8，6]上有4个零点，故④正确．故答案为．①②④【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、周期性、对称性及零点的确定的综合应用，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
湖南省怀化市2019届高三数学统一模拟考试试题(二)理.doc
湖南省怀化市2019 届高三数学统一模拟考试试题（二）理本试卷共 4 页 ,23 题 ( 含选考题 ) 。
全卷满分150 分。
考试用时120 分钟。
注意事项 :1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答 : 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 填空题和解答题的作答: 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。
5.考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看考题视频讲解。
第 I 卷一、选择题 : 本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知 i 为虚数单位，a, b R，复数1i i a bi ，则 a biA. 12 i 1 2 i2 i2 1 i 2 1 iB. C. D.5 5 5 5 5 5 5 52. 已知集合 A x 2 x 3 , B x log(2x2 2x 2) 0，则A B =A. 2, 1B. [ 2, 1)C. (1,3]D. 0,2,33.某地的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改变.教育督导一年后 . 分别随机抽查了初中 ( 用 A 表示 ) 与小学( 用 B表示 ) 各 10 所学校 . 得到相关指标的综合评价得分( 百分制 ) 的茎叶图如图所示 . 则从茎叶图可得出正确的信息为 (80 分及以上为优秀)①初中得分与小学得分的优秀率相同②初中得分与小学得分的中位数相同③初中得分的方差比小学得分的方差大④初中得分与小学得分的平均分相同A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④4. 等差数列 a 的前 n 项和为S n，且a3a7 22, S11 143 ，若 S n 195 ，则 n 的最小值为nA. 13B. 14C. 15D.165. 函数 f ( x) ln x (cos x 1) sin x 的部分图象大致是6. 已知抛物线 C：x2 1 y 的焦点为F，点P为抛物线C上任意一点，过P 点作抛物线的切线交 y2轴于点 Q，. 若2 OQ PF (O为坐标原点)，则点P的横坐标为2 2 2 1A. B. C'. D.4 4 4 47.某组合体的三视图如图所示 . 则该组合体的体积为A. 4B. 84 8C. D.3 38. 如图所示，在边长为 2 的菱形 ABCD中，BAD 120 ，点E，F分别为对角线BD上两个三等分点，则 AE CF4 4 28 28A. B. C. D.3 3 3 310. 已知点 G在△ ABC内，且满足2GA 3GB 4GC 0 ，现在△ABC内随机取一点，此点取自?GAB、?GAC、?GBC的概率分别记为P1、 P2、 P3，则A.P =P=PB. P3 >P>P C. P1> P >P3D. P >P >P1 2 3 2 1 2 2 1 311. 已知双曲线 C：x2y21(a 0, b 0) ，O为坐标原点，F:为C的右焦点，过点 F 作倾斜角为a2 b2135 的直线与C在第一象限的渐近线及y 轴的交点分别为M，N。
湖南省三湘名校2019届高三第二次大联考数学理试题(解析版)
三湘名校教育联盟·2019届高三第二次大联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已经集合{|40}A x x =-<，{}1x B x e =，则A B ?A. RB. (,4]-?C. (0,4)D. (4,)+? 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，先求出集合{|4}A x x =<，{}0B x x =，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|40}{|4}A x x x x =-<=<，{}{}10x B x e x x ==， 则{|04}A B x x ?<<，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合,A B ，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.复数z 的共轭复数为A. 22i +B. 22i -C. 1i +D. 1i - 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】∵3i z -=＝21i += ()21221(1)(1)2i i i i i --==-+-∴复数z 的共轭复数z ＝1+i ．故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数概念和复数模的求法．3.下列有关命题的说法正确的是A. 若""p q Ù为假命题，则,p q 均为假命题B. "1"x =-是2"560"x x --=的必要不充分条件C. 命题"若1,x >则11x< "的逆否命题为真命题 D. 命题0",x R $?使得20010"x x ++<的否定是：",x R $?均有210x x ++?"【答案】C 【解析】 【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】A. 若""p q Ù为假命题，则,p q 中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B. "1"x =-是2"560"x x --=的充分不必要条件，因为由2"560"x x --=得到“x=-1或x=6”，所以该选项是错误的；C. 命题"若1,x >则11x< "的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；D. 命题0",x R $?使得20010"x x ++<的否定是：",x R Î均有210x x ++?"，所以该选项是错误的.故答案为：C【点睛】本题主要考查复合命题的真假和充要条件的判断，考查逆否命题及其真假，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，515S =，则数列11n n a a +禳镲睚镲铪的前2018项和为A.20182019 B. 20162019 C. 20162017 D. 20192018【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4=4，S 5=15，可得a 1=d=1，可得a n ，利用裂项相消法求解数列的和即可． 【详解】设等差数列{a n }的公差为d,55a315?,?a33,? S ==\=又a 4=4，∴d=1， a 4=a 1+3d=4，解得a 1=d=1，∴a n =1+（n-1）=n ． ∴11n n a a +=()11111n n n n =-++，则数列11n n a a +禳镲睚镲铪的前2018项和为 1111112018112232018201920192019-+-+鬃?-=-=故答案为：20182019．【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、主要考查分式“裂项相消求和”方法，考查了推理能力与计算能力．5.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案 A. 81种 B. 256种 C. 24种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】分配的方法分为两步求解，先将四位老师分为三组，再分到三个班，由乘法原理求解即可计算出答案. 【详解】第一步，将4名老师分成三组，不同的分法种数是C 42=6种 第二步，分到三个班的不同分法有A 33=6种 故不同的分配方案为6×6=36种 故选：D ．【点睛】排列组合的应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．6.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln xx xp »的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（素数即质数，lg 0.43429e »，计算结果取整数）A. 1089B. 1086C. 434D. 145 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知10000以内的素数的个数为()1000010000ln10000p »，计算即可得到答案.【详解】由题可知小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln x x x p »，则10000以内的素数的个数为()1000010000ln10000p »=100004ln10=10000lg 4e=2500lg 0.4342925001086e 换， 故选：B.【点睛】本题考查对数运算性质的简单应用，考查学生的审题能力. 7.已知{}n a 满足12n n a a n +=+，且132a =，则na n的最小值为 （ ）A. 1B. 525C. 313D. 10 【答案】C 【解析】{}n a 满足12n n a a n +=+，即12n n a a n +-=，∴()()()()()11221121222132n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+?()()2111232322n n n n +--=?=-+.则232n a n n =-+，32n 1n a n n=+- 令()()321,1f x x x x=+-…,则()22232321x f x x x -=-=¢,在x éÎêë上单调递减;在)32,x ??上单调递增.()()()32523231551,6555563f f f =+-==+=<. ∴n=6时,f(x)取得最小值,因此n a n 的最小值为313.故选C.8.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. 4643p-B. 64－4πC. 64－6πD. 64－8π 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体， 其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4， 则组合体的体积：()3214246444V p p =-创?-.本题选择B 选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9.已知直线1:1l x =-，2:10l x y -+=，点P 为抛物线24y x =上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为A. 2 C. 1 D. 22【答案】B 【解析】 【分析】1l 是抛物线的准线，利用抛物线的定义可把P 到准线的距离转化为P 到焦点的距离，故可得P 到两条直线的距离之和的最小值就是焦点到直线2l 的距离.【详解】抛物线24y x =，其焦点坐标()1,0F ，准线为1x =-也就是直线1l ，故P 到直线1l 的距离就是P 到F 的距离.如图所示，设P 到直线2l 的距离为d，则d PF +?，当且仅当,,P E F 三点共线时等号成立，故选B.【点睛】抛物线上的动点满足到焦点的距离等于它到准线的距离，我们常常利用这个性质实现两类距离的转换.10.已知x ，y 满足约束条件1010220x y x y x y ì+-?ïï-+?íï--?ïî，若z mx y =+的取值集合为A ，且[1,8]A Í，则实数m 的取值范围是 A. 12[,]33 B. [1,8] C. 114[,]93- D. 4[1,]3【答案】D 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，求出最优解，然后推出m 的范围．【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中()1,0A ，()0,1B ，()3,4C ，z mx y =+的最值一定在顶点处取到，所以181348m m ì＃ïí??ïî，解得：41,3m 轾Î犏犏臌 【点睛】简单的线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值．11.已知函数22,0(),0x x x f x e x ì£ï=í>ïî，若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根1x ，2x 则12x x +的最大值是A. -1B. 3ln 22-C. 2ln 22-D. 22ln 2- 【答案】B 【解析】 【分析】作出()f x 图像, 由已知得()f x t用t 表示出两个实数根1x ，2x ，然后令12x x +=g(t) ln t =-对函数g(t)求导即可得到所求最大值. 【详解】作出()f x 的函数图像如图所示：由()2f x a 轾=臌可得()f x a 1a >，即1a >.不防设12x x <，则2212x x e a =，(1)t t =>，则12tx =，2ln x t =， ∴12ln 2tx x t +=-()ln 2t g t t =-()42t g t -¢= ∴当18t <<时，()0g t ¢>，当8t >时，()0g t ¢<，∴当8t =时，()g t 取得最大值()8ln823ln22g =-=-.【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题． 12.已知函数()3sin()(0,0)f x x w j w j p =+><<，()03f p-=，对任意的x R Î恒有()()3f x f p £，且在区间(0,)2p上有且只有一个0x 使得0()3f x =，则w 的最大值为A. 274B. 8C. 214D. 154【答案】C 【解析】 【分析】由()033f f x f p p 骣骣琪琪-=?琪琪桫桫和知03p 骣琪-琪桫，为函数对称中心，x 3p =为函数对称轴，从而得到()321424k k w p p j ì+ï=ïí¢ï=+ïî，要使f （x ）在区间0,2p 骣琪琪桫上有且只有一个最大值，且要求ω最大，则0,2p 骣琪琪桫区间包含的周期应该最多，所以22T p£，得到0＜ω≤8，从而可得k≤4，然后分别取k=4，k=3进行检验即可得ω最大值．【详解】由题意知12332k k p w j pp p w j p ì-+=ïïíï+=+ïî，1k ，2k Z Î，则()321424k k w p pj ì+ï=ïí¢ï=+ïî，k ，k Z ¢Î，其中21k k k =-，1212k k k k k =+=+¢，故k 与k ¢同为奇数或同为偶数. ()f x 在0,2p 骣琪琪桫上有且只有一个最大值，且要求w 最大，则区间0,2p 骣琪琪桫包含的周期应该最多，所以22T p£，得08w <?，即()32184k +£，所以4k £当4k =时，274w =，k ¢为偶数，4pj =，此时2729,4444x p p p 骣琪+?琪桫，当1270.544x pp +=或2.5p 或6.5p 时，()03f x =都成立，舍去；当3k =时，244w =，k ¢为奇数，34p j =，此时213327,4448x p p p 骣琪+?琪桫，当且仅当213 2.544x pp +=时，()03f x =成立.【点睛】本题考查y=Asin （ωx+φ）型函数的性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查分类讨论的数学思想方法．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知倾斜角为a 的直线的斜率等于双曲线2213y x -=的离心率，则sin()p a -=__________．【解析】 【分析】求出双曲线的离心率e ，由已知得tan e a =，再由诱导公式和同角三角函数关系式即可得到答案.【详解】由2213y x -=知双曲线的离心率e=2, 即tan e a ==2，且倾斜角[)0,a p Î，所以sin a =， 则()sin p a -= 25sin a =.【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式的应用，同时考查了双曲线离心率的求法，属于基础题. 14.在区间[0,1]内任取一个实数x ，在区间[0,3]内任取一个实数y ，则点(,)x y 位于曲线x y e =的图像上方的概率为__________． 【答案】43e- 【解析】 【分析】由已知点(),x y 满足的区域是一个长方形，利用定积分求出长方形内位于y=e x 上方的面积，根据几何概型的概率公式可求出答案.【详解】由题意在区间[0，1]内任取一个实数x ，在区间[0，3]内任取一个实数y ， 则（x ，y ）满足的区域是一个长方形且面积为3，在此范围内位于y=e x上方部分的面积为110033|4x x e dx e e-=-=-ò，则所求概率为43e-． 故答案为：43e-． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据积分的知识求出对应的面积是解决本题的关键．15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l ，2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，2.点M ，N 分别在1l ，2l 上，5PM PN +=，则PM PN ×的最大值为__________．【答案】6 【解析】 【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量PM ，PN ，根据5PM PN +=求出PM PN ×的解析式，再利用基本不等式即可求出最大值．【详解】解：过点P 作1l 的垂线为y 轴，以1l 为x 轴，建立平面直角坐标系，1:0l y =，2:1l y =，()0,1P -，设(),0M a ，(),1N b ，所以(),1PM a =，(),2PN b =，(),3PM PN a b +=+， 由5PM PN +=，可知()2925a b++=，∴4a b +=或4a b +=-，()22264a b PM PN ab +?+?=【点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式以及向量坐标形式的运算问题，同时考查了利用基本不等式求函数的最值.16.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱11A D 、11C D 的中点，N 是线段1BC 上的点，且114BN BC =，若P 、M 分别为线段1D B 、EF 上的动点，则PM PN +的最小值为__________．【解析】 【分析】连接B 1D 1交EF 于G ，通过证明 EF ⊥平面B 1D 1DB 可知EF ⊥PG ，从而PM 的最小值为PG ，连接BD ，设其中点为H ，通过△D 1DB ≌△D 1C 1B ，得到PN=PH ，由GH 交BD 1于K ，则当P 为K 时，PM+PN 取得最小值，所求最小值为GH ，即可得出结论．【详解】解：首先PM 的最小值就是P 到EF 的距离.连接11B D 交EF 于G ，连接PG ，则EF ^平面11B D DB ，故E F P G ^，从而PM 的最小值PG ，可知G 为EF 的中点，1D G 为11D B 的四分之一.其次，连接BD ，在线段BD 上取点H ，使BH BN =，连接PH ，则111D DB D C B D @D ，从而PN PH =，最后，连接GH 交1BD 于K ，则当P 为K 时，PM PN +取得最小值，所求最小值为GH .∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，∴GH =.【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查学生分析解决问题的能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17.在ABC D 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3cos (2)cos 0,cos 5a Bbc A B +-==.（1）求cos C 的值；（2）若15,a D =为边AB 上的点，且2AD BD =，求CD 的长.【答案】(Ⅰ)2cos 10C =; (Ⅱ)CD = 13． 【解析】试题分析:（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简可得cos 2A =，最后根据两角和余弦公式求cos C 的值；（2）先根据正弦定理求得BD ，再根据余弦定理求CD 的长. 试题解析：(Ⅰ)解：由()cos 2cos 0a B b c A +-=得：()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=即()sin cos cos sin 2cos sin sin 2cos sin A B A B A C A B A C +?sin sin C A C ?∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴sin 0C ¹因此，2cos A =0A p <<，故4A p =由3cos 5B =得：4sin 5B =∴()()cos cos cos coscos sin sin 4410C A B A B B B p p p 轾=-+=-+=-+=臌(Ⅱ)解：由2cos C 得：2272sin 11010C 骣琪=-=琪桫由正弦定理得：152172sin410c p =?，∴2143BD c ==在△BCD 中，22231514215141695CD =+-创? ∴CD = 13．18.如图，菱形ABCD 与正BCE D 所在平面互相垂直，FD ^平面ABCD ，2BC =，3FD =（1）证明：EF 平面ABCD ； （2）若60CBA??，求直线EF 与平面AFB 所成角的正弦值.【答案】(1)证明过程详见解析（2）4228【解析】 【分析】（1）过点E 作EH BC ^于H ，由面面垂直的性质可知EH ^平面ABCD ，又FD ^平面ABCD ，可得//FD EH ，即四边形EHDF 为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系H xyz -，求出平面ABF 的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.【详解】解：（1）如图，过点E 作EH BC ^于H ，连接EH ，∴3EH =. ∵平面ABCD ^平面BCE ，EH Í平面BCE ， 平面ABCD Ç平面BCE 于BC ，∴ EH ^平面ABCD .又∵FD ^平面ABCD，FD =∴//FD EH ， ∴四边形EHDF 为平行四边形. ∴//EF HD ， ∵EF Ë平面ABCD ，HD Í平面ABCD ， ∴//EF 平面ABCD .（2）连接HA .由（1）得H 为BC 中点，又60CBA??，ABC D 为等边三角形，∴HA BC ^.分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则()1,0,0B ，()3,3F -，()0,03E ，()3,0A.()3BF =-，()3,0BA =-，=(2,3,0)EF - =(-2,3,0)EF ，设平面ABF 的法向量为()2222,,n x y z =.由2200n BF n BA ì?ïíï?î，得22222333030x y z x ì-=ïíï-=î令21y =，得)23,1,2n =. 42sin cos ,28EF n a ==， 直线EF 与平面AFB 42. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k ，当85k ³时，产品为一等品；当7585k?时，产品为二等品；当7075k ?时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.（以下均视频率为概率）甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：（1）若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；（2）若该产品的利润率y 与质量指标值k 满足关系：22,855,7585,7075t k y t k t k ì³ïï=?íï?ïî，其中105t <<，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由. 【答案】（1）7250（2）甲 【解析】 【分析】（1）先求出随机抽取一次抽中三等品的概率，然后利用互斥事件的概率公式计算所求概率值；（2）分别计算甲、乙生产线生产产品的利润分布列，作差比较大小即可得到结论.【详解】解：（1）由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为110，所以23231917101010250P C 骣骣琪琪=创+=琪琪桫桫. （2）甲生产线生产的产品的利润分布列为所以()E y 甲 20.62t t =+，乙生产线生产的产品的利润分布列为所以 ()20.5 2.1E y t t =+乙， 因为105t <<，所以()()()20.10.10.110E y E y t t t t -=-=-<乙甲 所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法.20.已知椭圆2222:1(1)y x C a b a b+=>?的离心率为22，其上焦点到直线220bx ay +-=的距离为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(,0)3P 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【答案】（1）2212y x +=（2）详见解析【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率结合222a b c =+得到a,b,c 之间的关系，计算焦点到直线的距离得到a,b 的值，从而得到椭圆方程;（2）当直线l 斜率不存在时，得到AB 为直径的圆的方程，当直线l 斜率为0时，得到AB 为直径的圆的方程，从而得到两圆的交点Q ，然后只需证明当直线l 的斜率存在且不为0时AB 以为直径的圆恒过点Q 即可.【详解】解：（1） 由题意，22c e a ==，222212a b e a -==，所以2a b =，c b ＝. 23=，1a b >?，所以1b ＝，22a ＝，故椭圆C 的方程为2212y x += （2）当AB x ^轴时，以AB 为直径的圆的方程为2211639x y 骣琪-+=琪桫 当AB y ^轴时，以AB 为直径的圆的方程为221x y ＋＝.可得两圆交点为()10Q -，．由此可知，若以AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为()10Q -，． 下证()10Q -，符合题意．设直线l 的斜率存在，且不为0，则方程为13y k x 骣琪=-琪桫，代入2212y x += 并整理得()22222122039k x k x k +-+-=， 设()11A x y ，，()22B x y ，， 则()2122232k x x k +＋＝， ()21221892k x x k -+＝， 所以()()121211QA QB x x y y ?++＝ 1212x x x x +＝＋ 21211133k x x 骣骣琪琪++--琪琪桫桫 ()()22212121111139k x x k x x k 骣琪=+-+琪桫＋＋＋()()22218192k kk -+＝＋ 2113k 骣琪+-琪桫 ()22232k k + 21109k ++= 故QA QB ^，即()10Q -，在以AB 为直径的圆上． 综上，以AB 为直径的圆恒过定点()10-，．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数2(ln )3ln 3()x x f x x++=.（1）求函数()f x 在区间1[,3]()a a a e+?上的最大值； （2）证明：(0,)x "??，22((ln )3ln 3)30x e x x x ++->.【答案】（1）()2max13,1ln 3ln 3,1a e f xa a a a ì＃ïï=í++ï>ïî（2）证明过程详见解析 【解析】【分析】（1）对函数求导，判断单调性，由单调性即可得到函数的最值; （2）由题意可知只需证明()3x xf x e>，结合（1）的单调性和最值即可得到证明. 【详解】解：（1）()2ln 3ln 3x x f x x ++=，()()2ln ln 1x x f x x ¢-+=， ()101f x x e¢>?<知：()f x 在10,e骣琪琪桫和()1,+?上递减，在1,1e 骣琪琪桫上递增，当11a e＃时，()()max 13f x f ==； 当1a >时，()()2maxln 3ln 3a a f xf a a++==， 故()2max13,1ln 3ln 3,1a e f x a a a a ì＃ïï=í++ï>ïî（2）由（1）知()f x 在10,e 骣琪琪桫和()1,+?上递减，在1,1e 骣琪琪桫上递增，①当()0,1x Î时，()1f x f e e 骣琪?琪桫，而()'313xxx xe e 骣-琪=琪桫，故3x xe在()0,1上递增， ∴33x x e e e <<，∴()3xx f x e>，即()22ln 3ln 330x e x x x ++->； ②当[)1,x ??时，2ln 3ln 30033x x ++?+=，令()23x x g x e =，则()()232xx x g x e=¢-， 故()g x 在[)1,2上递增，()2,+?上递减，∴()()21223g x g e?< ∴223ln 3ln 3x x x x e++>，即()22ln 3ln 330X e x x x ++->，综上，0x ">，()22ln 3ln 330x e x x x ++->.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值和证明不等式问题,考查学生的综合分析能力.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为14232x ty ì=+ïïíï=ïî（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标，曲线C 的极坐标方程为2cos r q =. （1）写出曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程； （2）若直线()6R pq r =?与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求AB 的值. 【答案】（1）2220x y x +-=3cos sin 3r q r q -= （2）33. 【解析】 【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C ，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将6pq =分别代入直线l 和曲线C 的极坐标方程求出A ，B 到原点的距离，作差得出|AB|． 【详解】（1）∵2cos r q =，∴22cos rr q =，∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=．∵直线l 的参数方程为1423x ty ì=+ïïíïïî（t 为参数）33x y -=．∴直线l 3cos sin 43r q r q -= （2）将π6q =代入曲线C 的极坐标方程2cos r q =得3r = ∴A 点的极坐标为π3,6骣琪琪桫． 将π6q =代入直线l 的极坐标方程得314322r r -=3r = ∴B 点的极坐标为π3,6，∴AB =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题． 23.已知函数()211f x x x =+--.（1）求不等式()2f x <的解集； （2）若不等式1()123m f x x x -?-+-有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）243x x 禳镲-<<睚镲铪；（2）3m ?或5m ³ 【解析】 【分析】(1)去掉绝对值得到分段函数形式，分段求解即可；（2）()123=2123f x x x x x +-+-++-，根据绝对值三角不等式求得最值.【详解】（1）()211f x x x =+-- 12,21=3,122,1x x x x x x ì--<-ïïïï-＃íïï+>ïïî,1222x x ì<-ï\íï--<î或11232x x ì-＃ïíï<î或122x x ì>ïí+<ïî，解得：142x -<<-或1223x -?或无解， 综上，不等式()2f x <的解集是243x x 禳镲-<<睚镲铪（2）()123f x x x +-+- =211+1+23x x x x +---- =2123x x ++-()21234x x ?--=，当1322x -＃时等号成立， 不等式()112-3m f xx x -?-+有解，()min1123m f x x x 轾\-?-+-臌14m \-?，14m \-?或14m -?，即3m ?或5m ³，\实数m 的取值范围是3m ?或5m ³【点睛】这个题目考查了绝对值不等式的解法，通常是去掉绝对值分段解决；考查到了绝对值三角不等式求最值的应用，不等式求最值常见的做法有绝对值三角不等式的应用，均值不等式的应用.。
2019届湖南省怀化三中高三5月模拟考试数学(理)(2)试卷及答案
2019届怀化三中高三5月模拟考试数学（理）（2）试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1．设集合，集合，则等于 ( )A ．B ．C ．D ．2．若i 为虚数单位，复数z 满足()11z i i i +=-+，则z 的虚部为（ ）A ．12B ．1C ．12iD ．12- 3．设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） （注：若，则，）A ．7539B ．6038C ．7028D ．65874．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ）A ．升B ．升C ． 升D ．升 5．已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．C ．D ．86．某城市有连接8个小区、、、、、、、和市中心的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区前往小区，则他不经过市中心的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知△的内角的对边分别为，若，，则△面积的最大值是A． B． C． D．8．执行如图所示的程序框图，输出的值等于（）A． B． C． D．9．已知非空集合满足以下两个条件：（ⅰ），；（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为（）A．B．C．D．10．设分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．12．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．设平面向量，若，则等于 ______．。
湖南省三湘名校2019届高三第二次大联考数学理试题(解析版)
三湘名校教育联盟·2019届高三第二次大联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已经集合{|40}A x x =-<，{}1x B x e =，则A B ?A. RB. (,4]-?C. (0,4)D. (4,)+? 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，先求出集合{|4}A x x =<，{}0B x x =，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|40}{|4}A x x x x =-<=<，{}{}10x B x e x x ==， 则{|04}A B x x ?<<，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合,A B ，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.复数z 的共轭复数为A. 22i +B. 22i -C. 1i +D. 1i - 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】∵3i z -=＝21i+= ()21221(1)(1)2i i i i i --==-+-∴复数z 的共轭复数z ＝1+i ．故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数概念和复数模的求法．3.下列有关命题的说法正确的是A. 若""p q Ù为假命题，则,p q 均为假命题B. "1"x =-是2"560"x x --=的必要不充分条件C. 命题"若1,x >则11x< "的逆否命题为真命题 D. 命题0",x R $?使得20010"x x ++<的否定是：",x R $?均有210x x ++?"【答案】C 【解析】 【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】A. 若""p q Ù为假命题，则,p q 中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B. "1"x =-是2"560"x x --=的充分不必要条件，因为由2"560"x x --=得到“x=-1或x=6”，所以该选项是错误的；C. 命题"若1,x >则11x< "的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；D. 命题0",x R $?使得20010"x x ++<的否定是：",x R Î均有210x x ++?"，所以该选项是错误的. 故答案为：C【点睛】本题主要考查复合命题的真假和充要条件的判断，考查逆否命题及其真假，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，515S =，则数列11n n a a +禳镲睚镲铪的前2018项和为A.20182019 B. 20162019 C. 20162017 D. 20192018【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4=4，S 5=15，可得a 1=d=1，可得a n ，利用裂项相消法求解数列的和即可． 【详解】设等差数列{a n }的公差为d,55a315?,?a33,? S ==\=又a 4=4，∴d=1， a 4=a 1+3d=4，解得a 1=d=1，∴a n =1+（n-1）=n ．∴11n n a a +=()11111n n n n =-++， 则数列11n n a a +禳镲睚镲铪的前2018项和为 1111112018112232018201920192019-+-+鬃?-=-=故答案为：20182019．【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、主要考查分式“裂项相消求和”方法，考查了推理能力与计算能力．5.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案 A. 81种 B. 256种 C. 24种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】分配的方法分为两步求解，先将四位老师分为三组，再分到三个班，由乘法原理求解即可计算出答案. 【详解】第一步，将4名老师分成三组，不同的分法种数是C 42=6种 第二步，分到三个班的不同分法有A 33=6种 故不同的分配方案为6×6=36种 故选：D ．【点睛】排列组合的应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．6.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln xx xp »的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（素数即质数，lg 0.43429e »，计算结果取整数） A. 1089 B. 1086 C. 434 D. 145 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知10000以内的素数的个数为()1000010000ln10000p »，计算即可得到答案.【详解】由题可知小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln xx xp »，则10000以内的素数的个数为()1000010000ln10000p »=100004ln10=10000lg 4e=2500lg 0.4342925001086e 换， 故选：B.【点睛】本题考查对数运算性质的简单应用，考查学生的审题能力. 7.已知{}n a 满足12n n a a n +=+，且132a =，则na n的最小值为 （ ）A. 1B. 525C. 313D. 10 【答案】C 【解析】{}n a 满足12n n a a n +=+，即12n n a a n +-=，∴()()()()()11221121222132n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+?()()2111232322n n n n +--=?=-+.则232n a n n =-+，32n 1n a n n=+- 令()()321,1f x x x x=+-…,则()22232321x f x x x -=-=¢,在x éÎêë上单调递减;在)32,x ??上单调递增.()()()32523231551,6555563f f f =+-==+=<. ∴n=6时,f(x)取得最小值,因此n a n 的最小值为313.故选C.8.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. 4643p-B. 64－4πC. 64－6πD. 64－8π 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体， 其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4， 则组合体的体积：()3214246444V p p =-创?-.本题选择B 选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9.已知直线1:1l x =-，2:10l x y -+=，点P 为抛物线24y x =上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为A. 22 C. 12【答案】B 【解析】 【分析】1l 是抛物线的准线，利用抛物线的定义可把P 到准线的距离转化为P 到焦点的距离，故可得P 到两条直线的距离之和的最小值就是焦点到直线2l 的距离.【详解】抛物线24y x =，其焦点坐标()1,0F ，准线为1x =-也就是直线1l ，故P 到直线1l 的距离就是P 到F 的距离.如图所示，设P 到直线2l 的距离为d ，则10122d PF -++?，当且仅当,,P E F 三点共线时等号成立，故选B.【点睛】抛物线上的动点满足到焦点的距离等于它到准线的距离，我们常常利用这个性质实现两类距离的转换.10.已知x ，y 满足约束条件1010220x y x y x y ì+-?ïï-+?íï--?ïî，若z mx y =+的取值集合为A ，且[1,8]A Í，则实数m 的取值范围是A. 12[,]33 B. [1,8] C. 114[,]93- D. 4[1,]3【答案】D 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，求出最优解，然后推出m 的范围．【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中()1,0A ，()0,1B ，()3,4C ，z mx y =+的最值一定在顶点处取到，所以181348m m ì＃ïí??ïî，解得：41,3m 轾Î犏犏臌【点睛】简单的线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值．11.已知函数22,0(),0x x x f x e x ì£ï=í>ïî，若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根1x ，2x 则12x x +的最大值是A. -1B. 3ln 22-C. 2ln 22-D. 22ln 2- 【答案】B 【解析】 【分析】作出()f x 图像, 由已知得()f x a 令t a 用t 表示出两个实数根1x ，2x ，然后令12x x +=g(t) ln t =-对函数g(t)求导即可得到所求最大值. 【详解】作出()f x 的函数图像如图所示：由()2f x a 轾=臌可得()f x a 1a >，即1a >.不防设12x x <，则2212x x e a =，(1)t t =>，则12tx =，2ln x t =， ∴12ln 2tx x t +=-()ln 2t g t t =-()42t g t -¢= ∴当18t <<时，()0g t ¢>，当8t >时，()0g t ¢<，∴当8t =时，()g t 取得最大值()8ln823ln22g =-=-.【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题． 12.已知函数()3sin()(0,0)f x x w j w j p =+><<，()03f p-=，对任意的x R Î恒有()()3f x f p £，且在区间(0,)2p上有且只有一个0x 使得0()3f x =，则w 的最大值为A.274 B. 8 C. 214 D. 154【答案】C 【解析】 【分析】由()033f f x f p p 骣骣琪琪-=?琪琪桫桫和知03p 骣琪-琪桫，为函数对称中心，x 3p =为函数对称轴，从而得到()321424k k w p p j ì+ï=ïí¢ï=+ïî，要使f （x ）在区间0,2p 骣琪琪桫上有且只有一个最大值，且要求ω最大，则0,2p骣琪琪桫区间包含的周期应该最多，所以22T p£，得到0＜ω≤8，从而可得k≤4，然后分别取k=4，k=3进行检验即可得ω最大值． 【详解】由题意知12332k k p w j pp p w j p ì-+=ïïíï+=+ïî，1k ，2k Z Î，则()321424k k w p pj ì+ï=ïí¢ï=+ïî，k ，k Z ¢Î，其中21k k k =-，1212k k k k k =+=+¢，故k 与k ¢同为奇数或同为偶数.()f x 在0,2p 骣琪琪桫上有且只有一个最大值，且要求w 最大，则区间0,2p 骣琪琪桫包含的周期应该最多，所以22T p£，得08w <?，即()32184k +£，所以4k £当4k =时，274w =，k ¢为偶数，4pj =，此时2729,4444x p p p 骣琪+?琪桫，当1270.544x pp +=或2.5p 或6.5p 时，()03f x =都成立，舍去；当3k =时，244w =，k ¢为奇数，34p j =，此时213327,4448x p p p 骣琪+?琪桫，当且仅当213 2.544x pp +=时，()03f x =成立.【点睛】本题考查y=Asin （ωx+φ）型函数的性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查分类讨论的数学思想方法．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知倾斜角为a 的直线的斜率等于双曲线2213y x -=的离心率，则sin()p a -=__________．【解析】 【分析】求出双曲线的离心率e ，由已知得tan e a =，再由诱导公式和同角三角函数关系式即可得到答案.【详解】由2213y x -=知双曲线的离心率e=2, 即tan e a ==2，且倾斜角[)0,a p Î，所以25sin a ， 则()sin p a -= 25sin a =. 25【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式的应用，同时考查了双曲线离心率的求法，属于基础题. 14.在区间[0,1]内任取一个实数x ，在区间[0,3]内任取一个实数y ，则点(,)x y 位于曲线x y e =的图像上方的概率为__________． 【答案】43e- 【解析】 【分析】由已知点(),x y 满足的区域是一个长方形，利用定积分求出长方形内位于y=e x 上方的面积，根据几何概型的概率公式可求出答案.【详解】由题意在区间[0，1]内任取一个实数x ，在区间[0，3]内任取一个实数y ， 则（x ，y ）满足的区域是一个长方形且面积为3，在此范围内位于y=e x上方部分的面积为110033|4x x e dx e e-=-=-ò，则所求概率为43e-． 故答案为：43e-． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据积分的知识求出对应的面积是解决本题的关键．15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l ，2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，2.点M ，N 分别在1l ，2l 上，5PM PN +=，则PM PN ×的最大值为__________．【答案】6 【解析】 【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量PM ，PN ，根据5PM PN +=求出PM PN ×的解析式，再利用基本不等式即可求出最大值．【详解】解：过点P 作1l 的垂线为y 轴，以1l 为x 轴，建立平面直角坐标系，1:0l y =，2:1l y =，()0,1P -，设(),0M a ，(),1N b ，所以(),1PM a =，(),2PN b =，(),3PM PN a b +=+， 由5PM PN +=，可知()2925a b++=，∴4a b +=或4a b +=-，()22264a b PM PN ab +?+?=【点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式以及向量坐标形式的运算问题，同时考查了利用基本不等式求函数的最值.16.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱11A D 、11C D 的中点，N 是线段1BC 上的点，且114BN BC =，若P 、M 分别为线段1D B 、EF 上的动点，则PM PN +的最小值为__________．【解析】 【分析】连接B 1D 1交EF 于G ，通过证明 EF ⊥平面B 1D 1DB 可知EF ⊥PG ，从而PM 的最小值为PG ，连接BD ，设其中点为H ，通过△D 1DB ≌△D 1C 1B ，得到PN=PH ，由GH 交BD 1于K ，则当P 为K 时，PM+PN 取得最小值，所求最小值为GH ，即可得出结论．【详解】解：首先PM 的最小值就是P 到EF 的距离.连接11B D 交EF 于G ，连接PG ，则EF ^平面11B D DB ，故E F P G ^，从而PM 的最小值PG ，可知G 为EF 的中点，1D G 为11D B 的四分之一.其次，连接BD ，在线段BD 上取点H ，使BH BN =，连接PH ，则111D DB D C B D @D ，从而PN PH =，最后，连接GH 交1BD 于K ，则当P 为K 时，PM PN +取得最小值，所求最小值为GH .∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，∴6GH =.【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查学生分析解决问题的能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17.在ABC D 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3cos (2)cos 0,cos 5a Bbc A B +-==.（1）求cos C 的值；（2）若15,a D =为边AB 上的点，且2AD BD =，求CD 的长.【答案】(Ⅰ)2cos C =; (Ⅱ)CD = 13． 【解析】试题分析:（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简可得cos A cos C 的值；（2）先根据正弦定理求得BD ，再根据余弦定理求CD 的长. 试题解析：(Ⅰ)解：由()cos 2cos 0a B b c A +-=得：()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=即()sin cos cos sin 2cos sin sin 2cos sin A B A B A C A B A C +?sin sin C A C ?∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴sin 0C ¹因此，2cos 2A =，又0A p <<，故4A p = 由3cos 5B =得：234sin 155B 骣琪-=琪桫∴()()2cos cos cos coscos sin sin 4410C A B A B B B p p p 轾=-+=-+=-+=臌(Ⅱ)解：由2cos 10C =得：2272sin 110C 骣琪-琪桫由正弦定理得：152172sin4c p =?，∴2143BD c ==在△BCD 中，22231514215141695CD =+-创? ∴CD = 13．18.如图，菱形ABCD 与正BCE D 所在平面互相垂直，FD ^平面ABCD ，2BC =，3FD =（1）证明：EF 平面ABCD ； （2）若60CBA??，求直线EF 与平面AFB 所成角的正弦值.【答案】(1)证明过程详见解析（2）4228【解析】 【分析】（1）过点E 作EH BC ^于H ，由面面垂直的性质可知EH ^平面ABCD ，又FD ^平面ABCD ，可得//FD EH ，即四边形EHDF 为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系H xyz -，求出平面ABF 的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.【详解】解：（1）如图，过点E 作EH BC ^于H ，连接EH ，∴3EH =. ∵平面ABCD ^平面BCE ，EH Í平面BCE ， 平面ABCD Ç平面BCE 于BC ，∴ EH ^平面ABCD . 又∵FD ^平面ABCD ，3FD =∴//FD EH ， ∴四边形EHDF 为平行四边形. ∴//EF HD ， ∵EF Ë平面ABCD ，HD Í平面ABCD ， ∴//EF 平面ABCD .（2）连接HA .由（1）得H 为BC 中点，又60CBA??，ABC D 为等边三角形，∴HA BC ^.分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则()1,0,0B ，()3,3F -，()0,03E ，()3,0A.()3BF =-，()3,0BA =-，=(2,3,0)EF - =(-2,3,0)EF ，设平面ABF 的法向量为()2222,,n x y z =.由2200n BF n BA ì?ïíï?î，得22222333030x y z x ì-=ïíï-=î令21y =，得)23,1,2n =. 42sin cos ,EF n a ==，直线EF 与平面AFB 42. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k ，当85k ³时，产品为一等品；当7585k?时，产品为二等品；当7075k ?时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.（以下均视频率为概率） 甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：（1）若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；（2）若该产品的利润率y 与质量指标值k 满足关系：22,855,7585,7075t k y t k t k ì³ïï=?íï?ïî，其中105t <<，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由. 【答案】（1）7250（2）甲 【解析】 【分析】（1）先求出随机抽取一次抽中三等品的概率，然后利用互斥事件的概率公式计算所求概率值；（2）分别计算甲、乙生产线生产产品的利润分布列，作差比较大小即可得到结论.【详解】解：（1）由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为110，所以23231917101010250P C 骣骣琪琪=创+=琪琪桫桫. （2）甲生产线生产的产品的利润分布列为所以()E y 甲 20.62t t =+， 乙生产线生产的产品的利润分布列为所以 ()20.5 2.1E y t t =+乙， 因为105t <<，所以()()()20.10.10.110E y E y t t t t -=-=-<乙甲 所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法.20.已知椭圆2222:1(1)y x C a b a b+=>?的离心率为22，其上焦点到直线220bx ay +-=的距离为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(,0)3P 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【答案】（1）2212y x +=（2）详见解析【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率结合222a b c =+得到a,b,c 之间的关系，计算焦点到直线的距离得到a,b 的值，从而得到椭圆方程;（2）当直线l 斜率不存在时，得到AB 为直径的圆的方程，当直线l 斜率为0时，得到AB 为直径的圆的方程，从而得到两圆的交点Q ，然后只需证明当直线l 的斜率存在且不为0时AB 以为直径的圆恒过点Q 即可.【详解】解：（1） 由题意，22c e a ==，222212a b e a -==，所以2a b =，c b ＝.23=，1a b >?，所以1b ＝，22a ＝，故椭圆C 的方程为2212y x += （2）当AB x ^轴时，以AB 为直径的圆的方程为2211639x y 骣琪-+=琪桫 当AB y ^轴时，以AB 为直径的圆的方程为221x y ＋＝. 可得两圆交点为()10Q -，．由此可知，若以AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为()10Q -，． 下证()10Q -，符合题意．设直线l 的斜率存在，且不为0，则方程为13y k x 骣琪=-琪桫，代入2212y x += 并整理得()22222122039k x k x k +-+-=， 设()11A x y ，，()22B x y ，， 则()2122232k x x k +＋＝， ()21221892k x x k -+＝， 所以()()121211QA QB x x y y ?++＝ 1212x x x x +＝＋ 21211133k x x 骣骣琪琪++--琪琪桫桫()()22212121111139k x x k x x k 骣琪=+-+琪桫＋＋＋()()22218192k kk -+＝＋ 2113k 骣琪+-琪桫 ()22232k k + 21109k ++= 故QA QB ^，即()10Q -，在以AB 为直径的圆上． 综上，以AB 为直径的圆恒过定点()10-，．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数2(ln )3ln 3()x x f x x++=.（1）求函数()f x 在区间1[,3]()a a a e+?上的最大值； （2）证明：(0,)x "??，22((ln )3ln 3)30x e x x x ++->.【答案】（1）()2max13,1ln 3ln 3,1a e f xa a a a ì＃ïï=í++ï>ïî（2）证明过程详见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，判断单调性，由单调性即可得到函数的最值; （2）由题意可知只需证明()3x xf x e>，结合（1）的单调性和最值即可得到证明. 【详解】解：（1）()2ln 3ln 3x x f x x ++=，()()2ln ln 1x x f x x ¢-+=，()101f x x e¢>?<知：()f x 在10,e骣琪琪桫和()1,+?上递减，在1,1e 骣琪琪桫上递增，当11a e＃时，()()max 13f x f ==； 当1a >时，()()2maxln 3ln 3a a f xf a a++==， 故()2max13,1ln 3ln 3,1a e f x a a a a ì＃ïï=í++ï>ïî（2）由（1）知()f x 在10,e骣琪琪桫和()1,+?上递减，在1,1e 骣琪琪桫上递增，①当()0,1x Î时，()1f x f e e 骣琪?琪桫，而()'313xxx xe e 骣-琪=琪桫，故3x xe在()0,1上递增， ∴33x x e e e <<，∴()3xxf x e>，即()22ln 3ln 330x e x x x ++->； ②当[)1,x ??时，2ln 3ln 30033x x ++?+=，令()23x x g x e =，则()()232xx x g x e=¢-， 故()g x 在[)1,2上递增，()2,+?上递减，∴()()21223g x g e?< ∴223ln 3ln 3x x x x e++>，即()22ln 3ln 330X e x x x ++->，综上，0x ">，()22ln 3ln 330x e x x x ++->.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值和证明不等式问题,考查学生的综合分析能力.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1423x ty ì=+ïïíï=ïî（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标，曲线C 的极坐标方程为2cos r q =. （1）写出曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程； （2）若直线()6R pq r =?与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求AB 的值. 【答案】（1）2220x y x +-=3cos sin 3r q r q -= （2）33. 【解析】 【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C ，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将6pq =分别代入直线l 和曲线C 的极坐标方程求出A ，B 到原点的距离，作差得出|AB|． 【详解】（1）∵2cos r q =，∴22cos rr q =，∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=．∵直线l 的参数方程为14232x ty ì=+ïïíï=ïî（t 为参数）343x y -=．∴直线l 3cos sin 43r q r q -= （2）将π6q =代入曲线C 的极坐标方程2cos r q =得3r =∴A 点的极坐标为π3,6骣琪琪桫． 将π6q =代入直线l 的极坐标方程得314322r r -=3r = ∴B 点的极坐标为π3,6，∴AB =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题． 23.已知函数()211f x x x =+--. （1）求不等式()2f x <的解集； （2）若不等式1()123m f x x x -?-+-有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）243x x 禳镲-<<睚镲铪；（2）3m ?或5m ³ 【解析】 【分析】(1)去掉绝对值得到分段函数形式，分段求解即可；（2）()123=2123f x x x x x +-+-++-，根据绝对值三角不等式求得最值.【详解】（1）()211f x x x =+-- 12,21=3,122,1x x x x x x ì--<-ïïïï-＃íïï+>ïïî ,1222x x ì<-ï\íï--<î或11232x x ì-＃ïíï<î或122x x ì>ïí+<ïî， 解得：142x -<<-或1223x -?或无解， 综上，不等式()2f x <的解集是243x x 禳镲-<<睚镲铪（2）()123f x x x +-+- =211+1+23x x x x +---- =2123x x ++-()21234x x ?--=，当1322x -＃时等号成立， 不等式()112-3m f xx x -?-+有解，()min1123m f x x x 轾\-?-+-臌14m \-?，14m \-?或14m -?，即3m ?或5m ³，\实数m 的取值范围是3m ?或5m ³【点睛】这个题目考查了绝对值不等式的解法，通常是去掉绝对值分段解决；考查到了绝对值三角不等式求最值的应用，不等式求最值常见的做法有绝对值三角不等式的应用，均值不等式的应用.。
2019届湖南省怀化市高三第二次模拟数学(文)试题(解析版)
2019届湖南省怀化市高三第二次模拟数学（文）试题一、单选题1．设集合{0,1}A =，{|(+2)(1)0,}B x x x x Z =-<∈，则A B =U （ ） A ．{2,1,0,1}-- B ．{1,0,1}-C ．{0,1}D ．{0}【答案】B【解析】{1,0}B =-{}1,0,1A B ∴⋃=-选B. 2．设复数z 满足(2)13z i i +=+，则||z 等于( )A ．BC ．D ．2【答案】A【解析】利用复数的四则运算求出z ，再利用复数的模的求法即可求解. 【详解】()()()()1321355(2)1312225i i i iz i i z i i i i +-+++=+⇒====+++-，所以||z ==故选：A 【点睛】本题考查了复数的四则运算、复数模的求法，属于基础题.3．在ABC V 中，D 为线段BC 上一点满足3BD CD =，则AD u u u r等于( )A ．1233AB AC +u u ur u u u rB ．2133AB AC +u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r【答案】D【解析】利用向量加法的三角形法则、向量减法的几何意义即可求解. 【详解】()3344AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1344AB AC =+u u ur u u u r . 故选：D 【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则、减法的几何意义，属于基础题. 4．已知等差数列{}n a 满足5628a a +=，则其前10项之和为( ) A ．140 B ．280C ．168D ．56【答案】A【解析】根据等差数列的性质可得1105628a a a a +=+=，再利用等差数列的前n 项和公式()12n n n a a S +=即可求解. 【详解】由1105628a a a a +=+=()1101010102814022a a S +⨯===.故选：A 【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 5．若x e k x ≥+在R 上恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞ B ．[1,)+∞C ．(,1]-∞-D ．[1,)-+∞【答案】A【解析】分离参数可得x e k x -≥，只需()minxk xe -≥，设()xf x e x =-，求导函数()f x '，分别令()0f x '>或()0f x '<或()0f x '=，求出函数的单调区间，进而求出函数的最小值即可. 【详解】x x e k x x e k ≥+⇔≥-，设()xf x e x =-，则()1xf x e '=-，令()0f x '>，则10x e ->，解得0x >，所以函数在()0,∞+上单调递增； 令()0f x '<，则10x e -<，解得0x <，所以函数在(),0-∞上单调递减； 令()0f x '=，则10x e -=，解得0x =，所以函数在0x =处取得极小值，故()()0min 001f x f e ==-=，所以1k ≤，所以实数k 的取值范围为(,1]-∞. 故选：A 【点睛】本题考查了分离参数法求参数的取值范围、利用导数求函数的最值，属于中档题. 6．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列四个命题：①函数()f x 的最小正周期为π；②函数()f x 在区间,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增；③函数|()|y f x =图像对称轴方程为()122k x k Z ππ=+∈；④若sin 203x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则tan 203x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭.其中错误．．的个数有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】利用三角函数的周期公式可判断①；利用正弦函数的单调区间可判断②；利用正弦函数的对称轴可判断③；利用正弦函数的象限符号可判断④. 【详解】由()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22T ππ==，故①正确；由,123x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则2,32x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，故②错误； 令()232x k k Z πππ+=+∈，解得()122k x k Z ππ=+∈， 即()f x 的对称轴为()122k x k Z ππ=+∈， 根据函数图像的翻折变换可知|()|y f x =的对称轴方程：()124k x k Z ππ=+∈，故③错误； 当sin 203x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭时，则()2223k x k k Z ππππ<+<+∈，当()22223k x k k Z πππππ+<+<+∈，即()123k x k k Z ππππ+<<+∈时，tan 203x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故④错误；所以②③④错误. 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，掌握正弦函数的性质是解决此题的关键，属于中档题.7．已知圆锥SC 的高和底面半径相等，且圆锥SC 的底面半径及体积分别与圆柱OM 的底面半径及体积相等则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为( ) A．2BCD．【答案】C【解析】设出圆锥的底面半径r ，圆柱的高h ，根据体积相等可得r 与h 的关系， 进而求出两者的侧面积比. 【详解】设圆锥的高与底面半径都为r ，圆柱的高为h ， 则2213r r r h ππ⋅=⋅，13h a ∴=，圆锥的母线长为l ==，∴圆锥的侧面积为2rl r r ππ==，圆柱的侧面积为2223rh r ππ=，22223r r π=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆柱、圆锥的体积、侧面积的求法，考查考生的运算求解能力以及空间想象能力.8．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色其面积称为朱实，黄实，利朱用2×勾×股+（股-勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为( )A ．886B ．500C ．300D ．134【答案】D【解析】设三角形的直角边分别为13概率即可得出结论. 【详解】设勾股形的勾股数分别为132，故大正方形的面积为4， 小正方形的面积为)231423=-，∴42323--=，∴落在黄色图形内的图钉数大约为231000134-≈.故选：D 【点睛】本题考查了几何概型的应用，解题的关键是求出面积比，属于基础题.9．已知函数2()2cos f x x x =+，若()22(2)0f a a f a ---<，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U【答案】A【解析】首先利用导数判断出函数在()0,∞+单调递增，利用函数为偶函数可得(],0-∞上单调递减， 再由不等式可得22a a a -<-，解不等式即可. 【详解】Q ()()()22()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()f x 为偶函数，由2()2cos f x x x =+则()()22sin 2sin f x x x x x '=-=-，当0x >时， 令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥， 所以()sin h x x x =-在()0,∞+为增函数，()()00h x h >=， 所以sin x x >，即()()2sin 0f x x x '=->， 所以函数在()0,∞+为增函数， 又因为函数在定义域内为偶函数， 则()f x 在(),0-∞为减函数， 由()22(2)0f a a f a ---<， 则()22(2)f a a f a -<-，所以222a a a -<-，化简可得1a <， 所以11a -<<. 故选：A 【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式、利用导数判断函数的单调性、函数奇偶性的应用，属于中档题.10．已知三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．1123π C ．283π D ．643π 【答案】B【解析】如图，取AC 中点F ，连接BF ，则在RT BCF ∆ 中23,2,4BF CF BC === ，在RT BCS ∆中，4CS = ，所以42BS =， 设球心到平面ABC 的距离为d因为SC ⊥平面ABC,且底面ABC n 为正三角形,所以2d =. 因为ABC n 43所以由勾股定理可得22243283R d =+=⎝⎭, 所以三棱锥外接球的表面积是21124ππ3R =,故选B. 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.11．已知圆22:(3)(2)1C x y -+-=和两点(,0),(,0)(0)A m B m m ->.若圆C 上存在点P ，使得90APB ︒∠=，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据题意可得以AB 为直径的圆与圆C 交于点P ，从而可得||PO m =，圆上的点到原点的距离的最大值转化为圆心到原点的距离加上半径即可求解. 【详解】该题的几何意义是：以AB 为直径的圆与圆C 交于点P且||PO m =，而圆C 上的点到原点O 的距离最大值为||15CO +=， 故m 最大值为5. 故选：B 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系、圆上的点到定点距离的最值，考查了转化与化归的思想，属于基础题.12．若点P 是椭圆22221(0)4x y b b b +=>上的点，且点I 是焦点三角形12PF F △的内心，12F PF ∠的角平分线交线段12F F 于点M ，则等于PIIM 等于( )A ．3B ．2C ．2D ．12【答案】A【解析】令P 到12F F 的高为h ，可得12122PF F S c h =⨯⨯V ，设内切圆的半径为r ，再利用椭圆的标准方程121(22)2PF F S a c r =⨯+⨯V ，根据面积相等可得rh ，最后利用三角形相似对应边成比例，即可求解. 【详解】令P 到12F F 的高为h ，则12122PF F S c h =⨯⨯V 由内切圆的定义知：1221112,222IF F IPF IPF S c r S S a r =⨯⨯+=⨯⨯V V V故12112(22)22PF F S c h a c r =⨯⨯=⨯+⨯V ，则r MI h MP ==∴PI IM ==. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的焦点三角形问题，考查了学生的分析问题的能力，属于中档题.二、填空题13．已知实数,x y 满足10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是_________.【答案】2【解析】作出可行域，变形目标函数，平移直线2y x =可得结论. 【详解】作出约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所对应的可行域如图（阴影部分）：变形目标函数可得2y x z =-，平移直线2y x =可知当直线经过点()1,0A 时，直线的截距最小，z 取最大值，代入计算可得max 2102z =⨯-=. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了线性规划的知识，考查了数形结合思想，考查的核心素养是数学运算，属于基础题.14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线的离心率等于________. 【答案】355【解析】先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率. 【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为b y x a=±，即0bx ay ±=，圆22:650C x y x +-+=化为标准方程()2234x y -+=，()3,0C ∴，半径为2，Q 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆22:650C x y x +-+=相切，2=，222944b b a ∴=+，2254b a ∴=，222b c a =-Q ， ()22254c a a ∴-=， 2295a c ∴=，c e a ∴==， ∴双曲线的离心率等于5.故答案为：5【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式，掌握双曲线的渐近线的求法是解题的关键，属于中档题.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =且当2n ≥时，1n n n a S S -=-⋅，则{}n a 的通项公式n a =_______.【答案】11212(1)n n n n ⎧=⎪⎪⎨-⎪≥+⎪⎩【解析】根据n S 与n a 的关系，当2n ≥时，可得1n n n a S S -=-，从而可得11n n n n S S S S ---⋅-=，从而可得1111n n S S --=，进而求出n S ，再根据n S 与n a 的关系即可求解. 【详解】当2n ≥时，1n n n a S S -=-⋅， 则11n n n n S S S S ---⋅-=，1111n n S S -∴-=， Q 112a =，∴112S =，即112S =， ()12111nn n S ∴=+-⨯=+， 所以11n S n =+， 所以当2n ≥时，()111111n n n a S S n n n n--=-=-=++， 当1n =时，112a =，不满足上式， 故11212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≥+⎪⎩，故答案为：11212(1)n n n n ⎧=⎪⎪⎨-⎪≥+⎪⎩【点睛】本题主要考查了n S 与n a 的关系、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题. 16．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f x f x π=--，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时 ()f x =则函数()y f x =在35,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为________.【答案】4【解析】根据函数为偶函数，可得()()f x f x π=--，从而可得函数的周期为2T π=，令2x π=，可得02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π，令,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求出函数的表达式，作出函数在一个周期内的图像即可求解. 【详解】因为()f x 为偶函数，则()()f x f x π=--，∴2T π=222f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π 令,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0,2x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， ∴,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()f x f x x ππ=--=-- 如图故答案为：4 【点睛】本题考查了利用函数的性质求函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于难题.三、解答题17．在ABC V 中，60C =︒，23BC AC == （1）求证：ABC V 是直角三角形； （2）若点D 在BC 边上，且27sin BAD ∠=CD ． 【答案】（1）直角三角形；（2）33【解析】分析：（1）先利用余弦定理得到AB 的值，再利用勾股定理进行证明；（2）先利用诱导公式和两角和的正弦公式求出相关角的正弦值，再利用正弦定理进行求解． 详解：（1）在ABC V 中，60C =︒，23BC =，3AC =由余弦定理，得2222cos 9AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅= 所以3AB =，所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥， 所以90A =︒，所以ABC V 是直角三角形． （2）设BAD α∠=，则27sin 7α=，90DAC α∠=︒-，090α︒<<︒， 所以()21sin sin 90cos 7DAC αα∠=︒-==， 在ACD V 中，()180180906030ADC DAC C αα∠=︒-∠-=︒-︒--︒=+︒，()sin sin 30ADC α∠=+︒ sin cos30cos sin30αα=︒+︒273211321727214=⨯+⨯=， 由正弦定理得，sin sin CD ACDAC ADC=∠∠，所以sin 23sin 3AC DAC CD ADC ⋅∠==∠ 点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式等知识，意在考查学生的数学分析能力和基本计算能力．18．如图，已知四棱锥P ABCD -，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒. （1）证明：PB BC ⊥；（2）若平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为线段PD 上的点，且2PE ED =，求三棱锥P ABE -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）23. 【解析】【详解】分析：（1）取AB 中点O 连接,PO OB ，先证明BC POB 面⊥，即得证PB BC ⊥. （2）利用体积变换P ABE V -=23B PAE B PAD V V --=求三棱锥P ABE -的体积.详解：（Ⅰ）取AB 中点O 连接,PO OB .∵PA PD =，∴OP AD ⊥Q ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，∴OB AD ⊥，∴AD POB ⊥面. 又//AD BC ，所以BC POB 面⊥.所以PB BC ⊥. （Ⅱ）由题知P ABE V -=23B PAE B PAD V V --=. 因为平面PAD ⊥底面ABCD ， 则,,OP OA OB 两两垂直. 则11233132B PAD V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 则P ABE V -=2233B PAD V -=.点睛：求体积常用的有三种方法，一是规则的公式法，二是不规则的割补法，三是体积变换.本题利用的就是第三种方法，P ABE V -=23B PAE B PAD V V --=，利用这种方法需要较强的观察能力和转化能力.19．某市房产中心数据研究显示，2018年该市新建住宅销售均价如下表.3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月份开始出台了相关限购政策，10月份开始房价得到了很好的抑制.均价（万元/2m ） 0.95 0.98 1.11 1.12 1.20 1.22 1.32 1.34 1.16 1.06 月份 3456789101112（Ⅰ）请建立3月至7月线性回归模型（保留小数点后3位），并预测若政府不宏观调控，12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）试用相关系数说明3月至7月各月均价y （万元/2m ）与月份x 之间可用线性回归模型（保留小数点后2位） 参考数据：5125ii x==∑，515.36i i y ==∑，()()510.64i i i x x y y =--=∑5215.789ii y=≈∑，2 1.149y ≈0.663≈回归方程斜率和截距最小二乘法估计公式()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑； 相关系数()()niix x y y r --=∑【答案】（Ⅰ）0.064 0.752y x =+，1.25万元/2m ；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据题意求出x ，将数据代入()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑，即可求解. （Ⅱ）根据题意()55222115 5.789 5.7450.044ii i i yy y y ==-=-=-=∑∑，将数据代入相关系数表达式求出相关系数，进而根据相关系数即可判断. 【详解】（Ⅰ）由题意知3456755x ++++==()52110i i x x =-=∑，511.0725ii yy ===∑，0.64ˆ0.06410b==∴ˆ 1.0720.06450.752a =-⨯= 所以3月至7月的线性回归方程为：0.064 0.752y x =+故当12x =时，ˆ 1.52y=万元/2m（Ⅱ）由题意知()55222115 5.789 5.7450.044ii i i yy y y ==-=-=-=∑∑故()()0.640.970.663niix x yy r --=≈≈∑ 因为||0.970.75r =>，则y 与x 具有强相关性，可用线性回归模型 【点睛】本题考查了利用最小二乘法求线性回归方程、相关系数，考查了学生的数据处理能力以及基本运算能力，属于基础题.20．已知点(0,1)F ，直线:1l y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足()()0PF PH PH PF -⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r.（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 作直线l '与轨迹C 交于,A B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MAMB ⊥，若MAB △的面积为l '的方程.【答案】（Ⅰ）24x y =；（Ⅱ）1y x =+或1y x =-+.【解析】（Ⅰ）由题意可得||||PH PF =，根据抛物线的定义即可求解.（Ⅱ）设()2212120,,,,,144x x A x B x M x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设直线：:1l y kx '=+，将直线代入抛物线方程，利用韦达定理求出弦长AB ，再由1||||2MNAB =，从而可表示出121||2MAB S MN x x =⋅-=V k ，进而可得直线. 【详解】（Ⅰ）由题意知：22()()0PF PH PF PH PF PH -+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴||||PH PF = 故P 点轨迹是以F 点为焦点的抛物线 ∴曲线2:4C x y =（Ⅱ）设()2212120,,,,,144x x A x B x M x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设直线：:1l y kx '=+，代入曲线C 整理有：2440x kx --=∴124x x k +=，124x x ⋅=- 则线段AB 中点()22,21N k k + 而MA MB ⊥故1||||2MN AB =又()21212||2244AB y y p k x x k =++=+++=+ ∴2||22MN k =+ 故MN x ⊥轴即()3221211||||4122MABS MN x x MN k =⋅-==+=V ∴1k =±故:1l y x '=+或1y x =-+ 【点睛】本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系中的面积问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.21．已知函数1()ln ,()()af x x a xg x a R x+=-=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()f x 在1x =取得极小值1，无极大值；（Ⅱ）21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞⎪-⎝⎭U . 【解析】（Ⅰ）首先求出函数的定义域，再求出导函数，利用导数求出函数的单调区间，进而求出函数的极值.（Ⅱ）令1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=+-，根据题意只需min ()0h x <，求出()h x '，分类讨论：当1a e +≥，当11a +≤或当11a e <+<，分别求出min ()h x 即可求解. 【详解】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，当1a =时，1()x f x x'-=所以()f x 在(0,1)x ∈上单调递减，在(1,)x ∈+∞上单调递增故()f x 在1x =取得极小值1，无极大值 （Ⅱ）令1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=+-， 若0[1,]x e ∃∈使()00h x <恒成立， 则对于[1,e]x ∈，min ()0h x <即可 而221(1)[(1)]()1a a x x a h x x x x++-+'=--=. ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，()h x 在[1,]e 上单调递减，则min 1()()0a h x h e e a e +==+-<，211e a >e +-， 而2111e e e +>--，∴211e a >e +- ②当11a +≤即0a ≤时()h x 在[1,]e 上单调递增， 则min ()(1)110h x h a ==++<，可得2a <-③当11a e <+<即01a e <<-时，()h x 在[1,1]a +上单调递减，()h x 在[1,]a e +上单调递增∴min ()(1)2ln(1)h x h a a a a =+=+-+， 而0ln(1)1a <+<，∴0ln(1)a a a <+< 故(1)2h a +>即()0h x <不成立综上：21(,2),1e a e ⎛⎫+∈-∞-⋃+∞ ⎪-⎝⎭【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值、利用导数研究不等式能成立问题，考查了分类讨论的思想，属于难题.22．已知直线l的参数方程为12019x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标为24cos sin 4ρρθθ=+-.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||||OA OB ⋅. 【答案】（Ⅰ）y =，22(2)(3x y -+-=；（Ⅱ）4.【解析】（Ⅰ）消去参数t 即可求出直线l 的普通方程；利用222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩代入即可求解.（Ⅱ）将直线化为极坐标方程为3πθ=，再代入曲线C 的极坐标，利用韦达定理即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题意知直线l的普通方程是1)y x -=-，即y =曲线C的直线方程是22440x y x +--+=即22(2)(3x y -+=（Ⅱ）∵直线:l y =，化为极坐标方程是3πθ=，代入曲线C 的极坐标方程，得2540ρρ-+=，∴4A B ρρ⋅=∴||||4A B OA OB ρρ⋅=⋅= 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化、利用极坐标方程求点到原点的距离，属于基础题.23．设函数()|3||2|f x x x =++-的最小值为m . （Ⅰ）求不等式|21|x x m -+<的解集；（Ⅱ）已知||,||1010m ma b <<，证明：|41|2||ab a b ->-. 【答案】（Ⅰ）(4,2)-；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式求出5m =，然后利用绝对值的几何意义解不等式即可.（Ⅱ）将不等式两边同时平方作差即可证出. 【详解】（Ⅰ）因为|3||2||(3)(2)|5x x x x ++-≥+--= 当(3)(2)0x x +-≤，即32x -≤≤时取等号 所以()f x 的最小值为5，所以5m = 由|21|5x x ++<，得210(21)5x x x -<⎧⎨--+<⎩或210(21)5x x x -≥⎧⎨-+≤⎩解得:142x -<<或122x ≤<，即42x -<< 所以不等式的解集是(4,2)-（Ⅱ）222222(41)4()16441ab a b a b a b ---=--+()()22244141a b b =---()()224141a b =--因为5m =，所以1||2a <，即241a <，同理241b <. 所以22(41)4()ab a b ->-，即|41|2||ab a b ->-. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式求最值、利用绝对值的几何意义解不等式、比较法证明不等式，属于中档题.。
2019届湖南省怀化市高三下学期期末数学试题(解析版)
2019届湖南省怀化市高三下学期期末数学试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，则复数122ii+-等于（ ） A ．i B ．i -C ．5iD ．45i + 【答案】A【解析】根据复数的运算,化简即可得解. 【详解】 复数122ii +-化简可得 122ii+- ()()()()122+=22+i i i i +- 22+52=5i i + =i所以选A 【点睛】本题考查了复数的乘法、除法和加法运算，属于基础题。
2．设集合{}0A x x =， 2{|5140}B x x x =--<，则A B ⋂等于（ ） A ．{|05}x x << B ．{|27}x x << C ．{|25}x x << D ．{|07}x x << 【答案】D【解析】试题分析：由2{|5140}{|27}B x x x x x =--<=-<<，所以{|07}A B x x ⋂=<<，故选D ．【考点】集合的运算． 3．设R θ∈，则“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分别判断充分性和必要性，得到答案. 【详解】 当6πθ=,可以得到1sin 2θ=, 反过来若1sin 2θ=，至少有6πθ=或56π，所以6πθ=为充分不必要条件故答案选A. 【点睛】本题考查了充分必要条件，属于基础题型.4．已知等比数列{}n a 中,33a =，则15a a 等于（ ） A ．9 B ．5C ．6D ．无法确定【答案】A【解析】根据等比中项定义，即可求得15a a 的值。
【详解】等比数列{}n a ，由等比数列中等比中项定义可知2153a a a =而33a =所以21539a a a ==所以选A 【点睛】本题考查了等比中项的简单应用，属于基础题。
湖南省三湘名校教育联盟2019届高三第二次大联考数学(理)试卷(有答案)
湖南省三湘名校教育联盟2019届高三第二次大联考理科数学试卷理科数学参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是10【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中 ， ， ， 的最值一定在顶点处取到，所以， 解得： 4311．【解析】作出f （x ）的函数图像如图所示：由[f （x ）]2=a 可得f （x ）= ，∴ ＞1，即a ＞1．不妨设x 1＜x 2，则2x 12=2xe = ， 令 =t （t ＞1），则x 1=x 2=lnt ， ∴x 1+x 2=lnt g （t ）=lnt g′（t ）== - ， ∴当1＜t ＜8时，g′（t ）＞0，当t ＞8时，g′（t ）＜0，∴当t=8时，g （t ）取得最大值g （8）=ln8﹣2=3ln2﹣2．12．【解析】由题意知 ， ,则，k ，其中k = ， ，故 与 同为奇数或同为偶数.在 上有且只有一个最大值，且要求 最大，则区间 包含的周期应该最多，所以 ，得 ＜ ，即，所以 当 时， ， 为偶数， ，此时，当或 或 时， 都成立，舍去；当 时，， 为奇数， ，此时 ，当且仅当 时， 成立。
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．5 14. 15．6 1615．6 过点P 作1l 的垂线为y 轴，以1l 为x 轴，建立平面直角坐标系，1l :y=0, 2:1l y =,P(0,-1),设()(),0,,1M a N b ， 所以()()(),1,,2,,3,PM a PN b PM PN a b ==+=+由5PM PN +=，可知()2925a b ++=， 4a b ∴+=或4a b +=-，2PM PN ab ⋅=+2()264a b +?=16首先PM 的最小值就是P 到EF 的距离．连接B 1D 1交EF 于G ，连接PG ，则EF ⊥平面B 1D 1DB ，故EF ⊥PG ，从而PM 的最小值PG ，可知G 为EF 的中点，D 1G 为D 1B 1的四分之一．其次，连接BD ，在线段BD 上取点H ，使BH=BN ，连接PH ，，则△D 1DB ≌△D 1C 1B ，从而PN=PH ．最后，连接GH 交BD 1于K ，则当P 为K 时，PM +PN 取得最小值，所求最小值为GH ．∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2， ∴三、解答题:本大题共70分。
2019届湖南省怀化市高三第二次模拟数学(理)试题(解析版)
2019届湖南省怀化市高三第二次模拟数学（理）试题一、单选题1．设全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}1,3,5M =，{}2,5N =，则Venn 图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}5B ．{}1,3C ．{}2,4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】试题分析：Venn 图中阴影部分表示的集合是(){}{}{}1,3,41,3,51,3U C M N ⋂=⋂=,故选B【考点】集合的运算 2．下列命题错误的是( )A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．若命题:p x R ∃∈，210x x ++=，则“p ⌝”为：x R ∀∈，210x x ++≠C ．若命题“p q ∨”为真命题，则p 为假命题D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 【答案】C【解析】A. 根据逆否命题的定义判断.B. 根据命题的否定的定义判断.C. 根据命题“p q ∨”，一真则真判断.D. 由2320x x -+>解得2x >或1x <，再用集合法判断. 【详解】A. 由逆否命题的定义知，正确.B. 由命题的否定的定义知，正确.C. 若命题“p q ∨”为真命题，则,p q 一真一假或都为真，所以p 可以为真命题，故错误.D. 因为2320x x -+>，解得2x >或1x <，故正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.不变；②将某校参加摸底测试的1200名学生编号为1，2，3，…，1200，从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为92；③线性回归方程$y bx a =+必经过点(,)x y ；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病.其中错误的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①根据均值与方差的计算公式判断.②根据系统抽样的间隔数判断.③根据线性回归分析判断.④根据独立性检验的前提判断. 【详解】①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，故错误； ②样本间隔为12002450=，若第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为()20412492+-⨯=，正确；③线性回归方程$y bx a =+必经过点(,)x y ，正确；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有1%的可能性使推断出现错误，故错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4．已知为等比数列，是它的前项和. 若，且与2的等差中项为，则= ( ) A ．31 B ．32C ．33D ．34【答案】A【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由已知可得q 和a 1，代入等比数列的求和公式即可． 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，则可得a 1q•a 1q 2=2a 1，因为即a 1q 3==2，又a 4与2a 7的等差中项为 ，所以a 4+2a 7=，即2+2×2q 3=，解得q=，可得a 1=16，故S 5==31．故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，也利用等差数列的性质，属基础题． 5．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++L ，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅L 的值为（ ）A ．201912--B ．201912-+C ．201912-D ．201912+【答案】A【解析】取1x =-，得到201902a =，取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L ，计算得到答案.【详解】取1x =-，得到201902a =；取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L . 故22019201912201933312a a a ⋅+⋅++⋅=--L . 故选：A . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取1x =-和2x =是解题的关键.6．已知向量,a b r r 满足||2a =r ，||3b =r ，()1a b a ⋅-=r r r ，则||a b -r r等于( )A ．23B ．22C 7D 3【答案】D【解析】根据||2a =r ，||3b =r ，由()1a b a ⋅-=r r r，求得a b ⋅r r，然后再由()()()222||2a b a ba ab b-=-=-⋅+r r r r r r r r .【详解】因为||2a =r ，||3b =r，所以()2()1a b a a b a ⋅-=⋅-=r r r r r r ，解得5a b ⋅=r r，所以()()()222||242593a b a ba ab b-=-=-⋅+=-⨯+=r r r r r r r r .故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下:（1）取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取112BC AB ==，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E .点E 即为线段AB 的黄金分割点｡若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE AF AE ≤≤的概率约为（ ）（参考数据:5 2.236≈）A ．0.236B ．0.382C ．0.472D ．0.618【答案】A【解析】由已知条件及勾股定理求出AE ,BE ，则0.764 1.236AF 剟，利用几何概型中的线段型计算公式计算即可. 【详解】由勾股定理可得22215,1AC CD =+==，则51 1.236AD =≈，1.236,20.764AE BE AE ==-=，所以0.764 1.236AF 剟，由几何概型中的线段型可知使得BE AF AE ≤≤的概率约为1.2360.7640.2362-=.故选：A 【点睛】本题考查几何概型，属于基础题.8．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b+的最小值是（ ） A ．74B ．94C ．52D ．2【答案】B【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当8,10x y ==时，810z a b =+有最大值为40，即81040z a b =+=，故4520a b +=.()()5115112541945252521002020204b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当254b a a b =，即104,33a b ==时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 9．已知函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x 的图象向左平移6π个单位后得到()g x ，()g x 在区间,246a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和4,23a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递减，则实数a 的取值范围是( )【答案】D【解析】由最小正周期为π，易得2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再由()f x 的图象向左平移6π个单位后得到2g()2sin 23x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求得其单调减区间，再根据()g x 在区间,246a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和4,23a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递减，则区间,246a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和4,23a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为()g x 减区间的子集求解. 【详解】因为函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以2ω=，2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由()f x 的图象向左平移6π个单位后得到2()2sin 22sin 2633g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令23222232k x k πππππ+≤+≤+，解得521212k x k ππππ-+≤≤+， 当50,,1212k ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，当11171,,1212k ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 因为()g x 在区间,246a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和4,23a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递减，所以5,,2461212a πππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，41117,,231212a πππ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即561211212a a ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得11562a ππ≤≤. 则实数a 的取值范围是11562a ππ≤≤. 故选：D本题主要考查三角函数的图象和性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．已知函数()f x 是奇函数，(1)f x +是偶函数，当[0,2)x ∈时，()2x f x =，当[2,0)x ∈-时，21()log f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则(0)(1)(2)(2018)(2019)f f f f f +++++L 等于( ) A ．1008 B ．1009 C ．1010 D ．1011【答案】C【解析】根据函数()f x 是奇函数，得到()()f x f x -=-，又(1)f x +是偶函数，得到(1)(1)f x f x +=-+，两者可推出()4()f x f x +=，得到函数()f x 是以4为周期的周期函数，可计算(2)(1)(0)(1)2f f f f -+-++=，然后利用周期性求解. 【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，又(1)f x +是偶函数， 所以(1)(1)f x f x +=-+，所以()(11)(11)(2)f x f x f x f x =---+=-++=-+， 所以()2(()4)f x f x f x -+=+=， 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，(2)(1)(0)(1)10122f f f f -+-++=-+++=，所以对任意整数t 均有()(1)(2)(3)2f t f t f t f t ++++++=， 所以(0)(1)(2)(2018)(2019)f f f f f +++++L ，50521010=⨯=.故选：C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对称性以及周期性的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在某个球面上，PC 为该球的直径，ABC V 是边长为4的等边三角形，三棱锥P ABC -的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积A ．683πB ．163πC ．643πD ．803π【答案】D【解析】根据题意作出图形，设球心为O ，半径为r ，过ABC 三点的小圆的圆心为1O ，利用截面圆的性质可求出1OO ，进而得到底面ABC 上的高，根据三棱锥的体积为163，求得半径即可. 【详解】 如图所示：设球心为O ，半径为r ，过ABC 三点的小圆的圆心为1O ， 则1OO ⊥平面ABC ，延长1CO 交球于点D ，则PD ⊥平面ABC ， 因为143CO =，所以21163OO r =-所以2116223PD OO r ==-23443ABC S ==V ， 所以V 三棱锥P-ABC 21161643333r =⨯-=， 解得2203r =， 所以三棱锥的外接球的表面积为28043r ππ=. 故选：D12．已知函数22ln (0)()3(0)2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在直线10kx y +-=上，则实数k 的取值范围为( )A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】将问题转化为()y f x =与直线1y kx =+的图象，在(),0-∞，()0,∞+上各有2各交点，借助函数图象与导数的几何意义求出直线1y kx =+与()y f x =的两段图象相切时的斜率，即可得到k 的范围. 【详解】因为函数22ln (0)()3(0)2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在直线10kx y +-=的图象上，而直线10kx y +-=关于直线1y =的对称图象为10kx y -+-=，所以函数22ln (0)()3(0)2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象与10kx y -+-=的图象有且仅有四个不同的交点.当0x >时，()1ln f x x '=-，所以当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减， 当0x ≤时，()232f x x x =--作出()y f x =与直线10kx y -+-=的图象， 如图所示：设直线1y kx =+与2ln y x x x =-相切于点(,2ln )C x x x x -，则1ln 2ln 1x k x x x kx -=⎧⎨-=+⎩，解得1x =，故1k =， 设直线1y kx =+与232y x x =--相切与点23,2B x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则2322312x k x x kx ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=+⎪⎩，解得1x =-，所以12k =， 因为函数()y f x =与10kx y -+-=的图象有且仅有四个不同的交点 所以函数()y f x =与1y kx =+的图象在(),0-∞，()0,∞+上各有2各交点. 故112k <<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数与方程，导数与函数的图象，导数的几何意义，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.二、填空题13．若复数z 满足(1)17i z i +=-，则||z =_____. 【答案】5再求模. 【详解】因为复数z 满足(1)17i z i +=-， 所以()()17(1)173411(1)i i i z i i i i ---===--++-，所以||5z ==.故答案为：5 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(2,0)F -，点A ，点P 为双曲线右支上的动点，且APF V 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为______. 【答案】2【解析】设双曲线的右焦点为()2,0F '，根据APF V 的周长为=++l AF PF AP ，结合双曲线的定义，转化为32l a PF AP '=+++，当,,A P F '三点共线时，周长l 取得最小值求解. 【详解】设双曲线的右焦点为()2,0F '，又3AF =，所以APF V 的周长为3=++=++l AF PF AP PF AP ， 由双曲线的定义得2PF PF a '-=，即2PF a PF '=+， 即32l a PF AP '=+++，当,,A P F '三点共线时，周长l 取得最小值. 此时，3PF AP AF ''+==， 所以3238a ++=， 解得1a =，所以2ce a==. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查双曲线的定义以及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15．,,A B C 为单位圆上三个不同的点，若4ABC π∠=，OB mOA nOC =+u u u r u u u r u u u r (,)m n R ∈，则m n +最小值为_____.【答案】 【解析】由4ABC π∠=，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，得到2AOC π∠=，设()()()1,0,0,1,cos ,sin ,,22A C B πθθθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再根据OB mOA nOC =+u u u r u u u r u u u r(,)m n R ∈，建立m n +关于θ的函数求解.【详解】因为,,A B C 为单位圆上三个不同的点，且4ABC π∠=，所以2AOC π∠=，不妨设()()()1,0,0,1,cos ,sin ,,22A C B πθθθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 因为OB mOA nOC =+u u u r u u u r u u u r(,)m n R ∈，所以cos ,sin m n θθ==，所以cos sin 4m n πθθθ⎛⎫+=+ ⎝+≥⎪⎭=，当且仅当54πθ=时，取等号.所以m n +最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．在下图所示的三角形数阵中，用(),i j a i j ≥表示第i 行第j 个数（*,i j N ∈），已知,1,1112i i i i a a -==-（*i ∈N ），且当3i ≥时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即,1,11,i j i j i j a a a ---=+（21)j i ≤≤-，若,2100m a >，则正整数m 的最小值为__________．【答案】103【解析】根据条件，利用数列的递推关系式，求得数列,2{}n a 的递推关系式，利用累加法和数列的单调性，即可求解． 【详解】 因为,11112n n a -=-，所以，()1,121122n n a n --=-≥ 由题意可知,21,11,2n n n a a a --=+，（3n ≥），∴,21,21,12112n n n n a a a ----==-，（3n ≥），即,21,22112n n n a a ---=-，（3n ≥），∴()(),2,21,21,22,2n n n n n a a a a a ---=-+- ()3,22,22,221522n a a a n -++-+=+-L ， 又由,21,2232321515111()[(1)]()110,(3)2222222n n n n n n n a a n n n -------=+--+-=-+=->≥所以当3n ≥时,数列{},2n a 显然递增，又易知102,2103,2100a a <<， ∴m 的最小值为103，故应填103. 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中结合数列的性质，求出数列{},2n a 的通项公式是解答本题的关键，综合性较强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．三、解答题17．如图，在ABC ∆中，,484C CA CB π=⋅=u u u v u u u v ，点D 在BC 边上，且352,cos 5AD ADB =∠=. （Ⅰ）求,AC CD 的长；（Ⅱ）求cos BAD ∠的值.【答案】(1) 8,2AC CD ==5cos BAD ∠=【解析】试题分析：（1）由34cos ,sin 55ADB ADB ∠=∠=得，进而得2sin CAD ∠=，然后利用正弦定理求边长；（2）由48CA CB ⋅=u u u v u u u v，得62CB =. 52BD =余弦定理得210AB =，从而5cos BAD ∠= 试题解析： （Ⅰ）在ABD ∆中，∵34cos ,sin 55ADB ADB ∠=∴∠=.∴()sin CAD sin ADB ACD ∠=∠-∠ sin coscos sin44ADB ADB ππ=∠-∠ 42322525210=⨯-⨯=. 在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin sin AC CD AD ADC CAD ACD==∠∠∠，即524225102AC ==，解得8,2AC CD ==（Ⅱ）∵48CA CB ⋅=u u u v u u u v，∴2848CB ⋅=，解得62CB =∴52BD CB CD =-=ABC ∆中，()22286228622102AB =+-⨯⨯⨯=ABD ∆中，22221052525cos 5221052BAD +-∠==⨯⨯.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18．已知正方形ABCD ，E F ，分别是AB CD ，的中点，将ADE ∆沿DE 折起，如图所示，记二面角A DE C --的大小为()0θθπ<<（1）证明：BF ADE ∥平面（2）若ACD ∆为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的身影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的正弦值. 【答案】（1）见证明；（2）154【解析】（1）ADE ∆沿DE 折起，其它边不变，可知EB FD ∥且EB FD =，则有四边形EBFD 为平行四边形，那么BF ED ∥，又由于ED AED ⊂平面，BF AED ⊄平面，故BF AED ∥平面；（2）解法一：过点A 作AG BCDE ⊥平面，垂足为G ，连接GC GD ，，由于AC AD =，则有AGD AGC ≅V V ，故点A 在CD 的中垂线EF 上，过点G 作GH ED ⊥，垂足为H ，连接AH ，由已知得ED AGH ⊥平面，故AH DE ⊥，则AHG ∠即是θ，设原正方形ABCD 的边长为2a ，根据已知边和角的关系可以求得sin θ；方法三：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上证法同法一，建立空间直角坐标系，先求平面CED 的法向量，再求平面ADE 的法向量，可得二面角的余弦值，进而得到sin θ． 【详解】解：（1）证明：E F ，分别是正方形ABCD 的边AB CD ，的中点， ∴EB FD ∥且EB FD =，则四边形EBFD 为平行四边形， ∴BF ED ∥.又ED AED ⊂平面，而BF AED ⊄平面， ∴BF AED ∥平面（2）解法一：过点A 作AG BCDE ⊥平面，垂足为G ，连接GC GD ，.∵ACD ∆为正三角形，AC AD ∴=，∴GC GD =， ∴G 在CD 垂直平分线上，又∵EF 是CD 的垂直平分线， ∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上过点G 作GH ED ⊥，垂足为H ，连接AH ，则AH DE ⊥，∴AHG ∠是二面角A DE C --的平面角，即AHG θ=∠.设原正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ，在折后图的AEF ∆中，322AF a EF AE a ===，，∴AEF ∆为直角三角形，AG EF AE AF ⋅=⋅，∴3AG a =. 在Rt ADE ∆中，AH DE AD AE ⋅=⋅，∴525AH GH ==，，则1cos 4GH AH θ==，即15sin 4θ=.解法二：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，连接AF ，在平面AEF 内过点A 作1AG EF ⊥，垂足为1G∵ACD ∆为正三角形，F 为CD 的中点， ∴AF CD ⊥.又∵EF CD ⊥，∴CD AEF ⊥平面. ∵1E G A A F ⊂平面，∴1CD AG ⊥平面 又∵1AG EF ⊥且CD EF F ⋂=，CD BCDE EF BCDE ⊂⊂平面，平面∴1D G C E A B ⊥平面∴1G 为A 在平面BCDE 内的射影G ，∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上过点G 作GH ED ⊥，垂足为H ，连接AH ，则AH DE ⊥，∴AHG ∠是二面角A DE C --的平面角，即AHG θ=∠.设原正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ，在折后图的AEF ∆中，322AF a EF AE a ===，，∴AEF ∆为直角三角形，AG EF AE AF ⋅=⋅，∴3AG a =. 在Rt ADE ∆中，AH DE AD AE ⋅=⋅，∴525AH GH ==，，则1cos 4GH AH θ==，即15sin θ=.解法三：（同解法一）点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，如图，连接AG ，以G 点为坐标原点，GA u u u v 为z 轴，GF u u u v为y 轴，过G 点作平行于DC的向量为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ，32AF a AE a EF a ===，，.所以()0,0,0G ，3002a A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，302a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，302a D a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，002a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，. 又平面DEC 的一个法向量为()001n =r，，，设平面ADE 的一个法向量为()m x y z =r，，.则00AD m DE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即3330322202y z ax ay az ax ay x y⎧⎧=-+-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩，所以32y m y y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭r ，， 所以3314131cos 4n mn may a yθ-⋅++⋅===⋅r rr r ，即15sin 4θ=. 【点睛】本题考查空间向量与立体几何的相关知识，是常考题型．19．某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理得到如图1所示的频率分布直方图，其中最高的16株树苗的高度的茎叶图如图2所示，以这100株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.（1）求这批树苗的高度于1.60米的概率，并求图1中,,a b c 的值；（2）若从这批树苗中随机选取4株，记ξ为高度在(]1.40,1.60的树苗数量，求ξ的分布列和数学期望；（3）若变量S 满足()06826P S μσμσ-<≤+>.且()220.9544P S μσμσ-<≤+>，则称变量S 满足近似于正态分布()2,N μσ的概率分布，如果这批树苗的高度近似于正态分布()1.5,0.01N 的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问：该批树苗是否被签收？ 【答案】（1）概率为0.15，0.2a =， 1.3b =， 3.5c =（2）详见解析（3）将顺利被公司签收【解析】（1）由图2可知，100株样本树苗中高度高于1.60米的共有15株，以样本的频率估计总体的概率，可知这批树苗的高度高于1.60米的概率为0.15，记X 为树苗的高度，结合图1，图2求得()1.20 1.30P X <≤，()1.70 1.80P X <≤，()()1.30 1.40, 1.60 1.70P X P X <≤<≤，()()1.40 1.50, 1.50 1.60P X P X <≤<≤，即可求得答案；（2）以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗中随机选取1株，高度在(]1.40,1.60的概率为()1.40 1.600.70P X <≤=，因为从树苗数量这批树苗中随机选取3株，相当于三次独立重复试验，可得随机变量()~4,0.7B ξ，即可求的分布列，进而求得()E ξ；（3）利用条件，计算出()P X μσμσ-<≤+= (1.40 1.60)0.7P X <≤=，从而给出结论. 【详解】（1）由图2可知，100株样本树苗中高度高于1.60米的共有15株，以样本的频率估计总体的概率，可知这批树苗的高度高于1.60米的概率为0.15， 记X 为树苗的高度，结合图1，图2可得：()()21.20 1.30 1.70 1.800.02100P X P X <≤=<≤==， ()()131.30 1.40 1.60 1.700.13100P X P X <≤=<≤==， ()()()11.40 1.50 1.50 1.60120.0220.130.352P X P X <≤=<≤=-⨯-⨯=， ∴组距为0.1，∴0.2a =， 1.3b =， 3.5c =.（3）以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗中随机选取1株，高度在(]1.40,1.60的概率为()1.40 1.600.70P X <≤=，因为从树苗数量这批树苗中随机选取3株，相当于三次独立重复试验，∴随机变量()~4,0.7B ξ，分布列为：ξ0 1 2 3 4 P0.00810.07560.26460.41160.2401∴()40.7 2.8E ξ=⨯=.（3）由()1.5,0.01N ，取 1.5μ=，0.1σ=， 由（2）可知()()1.40 1.600.70.6826P S P X μσμσ-<<+=<≤=>，又Q 结合（1）可得()()22 1.30 1.700.960.9544P S P X μσμσ-<<+=<≤=>，∴这批树苗的高度近似于正态分布()1.5,0.01N 的概率分布，应该认为这批树苗是合格的，将顺利被公司签收. 【点睛】本题解题关键是掌握频率直方图基础知识和求二项式分布列，及其正态分布的实际应用,考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 20．设椭圆E:（a,b>0）过M （22） ，6,1)两点，O 为坐标原点，（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．【答案】（1）22184x y +=（2）2283x y +=【解析】试题分析：（1）因为椭圆E:22221x y a b+=（a,b>0）过M （22），6,1)两点,所以2222421{611a b a b +=+=解得22118{114a b ==所以228{4a b ==椭圆E 的方程为22184x y +=（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22{184y kx m x y =++=得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>1222122412{2812km x x k m x x k +=-+-=+， 22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥u u u r u u u r,需使,即2222228801212m m k k k--+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>, 所以222{38m m >≥,所以283m ≥,即26m ≥26m ≤, 因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21m r k =+,222228381318m m r m k===-++,26r =, 所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足26m ≥26m ≤, 而当切线的斜率不存在时切线为26x =22184x y +=的两个交点为或2626()满足OA OB ⊥u u u r u u u r ,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r．【考点】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系． 点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理．存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备．（2）小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性．21．已知函数()ln ()au x x a R x=-∈ （Ⅰ）若曲线()u x 与直线0y =相切，求a 的值. （Ⅱ）若12e a e +<<设ln ()xf x ux x=-求证：()f x 有两个不同的零点12,x x ，且21x x e -<.（e 为自然对数的底数）【答案】(Ⅰ)1.a e=-(Ⅱ)证明见解析.【解析】（Ⅰ）设切点()0,0P x ，由导数的性质可得0.a x =-结合切点在函数()u x 上，可得1.a e=-（Ⅱ）不妨设12x x <，()210a u x x x'=--<Q ，则()u x 在()0,+∞上单调递减，由函数零点存在定理可得存在()0,2x e e ∈，使得()00u x =，分类讨论有：①当00x x <≤时，在区间(]00,x 上存在零点1x ，且10e x x <<.②当0x x >时,在区间()0,2x e 上必存在零点2x ，且022x x e <<.据此即可证得题中的结论. 【详解】（Ⅰ）设切点()()00022,0',0,.a x a x P x u x k a x x x ++=∴==∴=---Q 又切点在函数()u x 上，()00,u x ∴=即00001,alnx lnx x -=⇒=- 011,.x a e e∴=∴=-（Ⅱ）不妨设12x x <，()210a u x x x'=--<Q ，所以()u x 在()0,+∞上单调递减，又()()10,2202a a u e u e ln e e e=->=-<， 所以必存在()0,2x e e ∈，使得()00u x =，即.①当00x x <≤时，()()()2222111110lnx x a x x a a lnx f x x x x x x'--+---+-=---=≤<， 所以()f x 在区间(]00,x 上单调递减， 注意到()110a f e e e=-->，()00000000lnx lnx a f x lnx x x x =--=-< 所以函数()f x 在区间(]00,x 上存在零点1x ，且10e x x <<. ②当0x x >时,()()2221110lnx x a a lnx f x x x x x++---='=+>所以()f x 在区间()0,x +∞上单调递增，又，且()2124141122212?022*******a ln e ln f e ln e ln e ln e e e e e e=-->--->->->， 所以()f x 在区间()0,2x e 上必存在零点2x ，且022x x e <<.综上，()f x 有两个不同的零点1x 、2x ，且21212x x x x e e e -=-<-=. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的极坐标方程是2cos 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与曲线C 的交点为,O P ，与直线的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（Ⅰ）2cos ρθ=；（Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）根据C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数得到直角坐标方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简即可.（Ⅱ）由直线l 的极坐标方程与射线:3OM πθ=，联立求得交点P 到原点的距离1ρ，曲线C 的方程与射线:3OM πθ=，联立求得交点Q 到原点的距离2ρ，再由||PQ OQ OP =-求解.【详解】（Ⅰ）曲线C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数可得：22(1)1x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简得：2cos ρθ= 即曲线C 的极坐标方程为：2cos ρθ=（Ⅱ）直线l的极坐标方程是2cos 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:3OM πθ=相交，交点P到原点的距离132cos 36OQ ρππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 曲线C 与射线:3OM πθ=相交，交点距离22cos 13OP πρ===，则12||2PQ OQ OP ρρ=-=-=.【点睛】本题主要考查参数方程，直角坐标方程与极坐标方程的转化以及直线与直线，直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．设函数()|3||2|f x x x =++-的最小值为m . （Ⅰ）求不等式|21|x x m -+<的解集；（Ⅱ）已知||,||1010m ma b <<，证明：|41|2||ab a b ->-. 【答案】（Ⅰ）(4,2)-；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式求出5m =，然后利用绝对值的几何意义解不等式即可.（Ⅱ）将不等式两边同时平方作差即可证出. 【详解】（Ⅰ）因为|3||2||(3)(2)|5x x x x ++-≥+--= 当(3)(2)0x x +-≤，即32x -≤≤时取等号 所以()f x 的最小值为5，所以5m = 由|21|5x x ++<，得210(21)5x x x -<⎧⎨--+<⎩或210(21)5x x x -≥⎧⎨-+≤⎩解得:142x -<<或122x ≤<，即42x -<< 所以不等式的解集是(4,2)-（Ⅱ）222222(41)4()16441ab a b a b a b ---=--+()()22244141a b b =---()()224141a b =--因为5m =，所以1||2a <，即241a <，同理241b <. 所以22(41)4()ab a b ->-，即|41|2||ab a b ->-. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式求最值、利用绝对值的几何意义解不等式、比较法证明不等式，属于中档题.。
湖南省怀化市2019年高考数学二模试卷(理科)(II)卷
湖南省怀化市2019年高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二上·天津期末) 在复平面内,复数是虚数单位)对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）(2020·嘉祥模拟) 已知集合 ,则（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高三上·浦东期中) “2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）条件．A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分也不必要4. （2分） (2020高二上·青铜峡期末) 抛物线的准线方程是（）A . y=-1B .C . x=-1D .5. （2分）数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1，则{an}的前60项和为（）A . 3690B . 3660C . 1845D . 18306. （2分）已知点，动点的坐标满足，那么的最小值是（）A .B .C .D . 17. （2分） (2015高二上·怀仁期末) 一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为2 的正三角形及其内切圆，则侧视图的面积为（）A . 6+πB .C . 6+4πD .8. （2分）一射手对同一目标进行4次射击，且射击结果之间互不影响，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2020高一上·武汉期末) 已知函数是奇函数，则的可能取值是（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·宜宾模拟) 执行如图所示程序框图，若输入的k=4，则输出的s=（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·海南模拟) 已知向量，且函数的图象是一条直线，则（）A .B .C .D .12. （2分）已知幂函数的图像经过点，则f(4)的值等于（）A . 16B .C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求：A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为________．14. （1分）(2016·新课标Ⅲ卷文) 已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是________．15. （1分）等比数列中，为其前项和，若，则实数的值为________．16. （1分） (2018高二上·榆林期末) 已知分别是双曲线的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分）(2017·南京模拟) 已知△ABC是锐角三角形，向量 =（cos（A+ ），sin（A+ ））， =（cosB，sinB），且⊥ ．（Ⅰ）求A﹣B的值；（Ⅱ）若cosB= ，AC=8，求BC的长．18. （5分）(2018·荆州模拟) 手机中的“ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的朋友圈里有大量好友参与了“ 运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：男02472女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有名，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“ 运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”.根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型消极型总计男女总计附： .0.100.050.0250.012.7063.841 5.024 6.63519. （5分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD= ．（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°？20. （10分）(2017·河西模拟) 已知椭圆C1： + =1，圆C2：x2+y2=t经过椭圆C1的焦点．（1）设P为椭圆上任意一点，过点P作圆C2的切线，切点为Q，求△POQ面积的取值范围，其中O为坐标原点；（2）过点M（﹣1，0）的直线l与曲线C1 ， C2自上而下依次交于点A，B，C，D，若|AB|=|CD|，求直线l 的方程．21. （10分） (2020高二下·天津期末) 已知函数， .（1）若函数是R上的增函数求a的取值范围；（2）若函数恰有两个不等的极值点、，证明： .22. （10分）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为（φ为参数且0≤φ≤π）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）当曲线C1和曲线C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．23. （10分）定义对于两个量A和B，若A与B的取值范围相同，则称A和B能相互置换．例如f（x）=x+1，x∈[0，1]和，易知f（x）和g（x）能相互置换．（1）已知f（x）=x2+bx+c对任意x∈Z恒有f（x）≥f（0），又，判断a与b能否相互置换．（2）已知对于任意正数a，b，c，f（a），f（b），f（c）能构成三角形三边，又，若k与g（x）能相互置换，求m+n的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
湖南省怀化市数学高考理数二模试卷
湖南省怀化市数学高考理数二模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高一上·东台期中) 已知集合，，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）已知f(x)是以为周期的偶函数，且时，f(x)=1-sinx，则当时，f(x)等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高三上·辽宁期中) 对任意的非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，且min{a，b，c}表示a，b，c中的最小值，则2⊗min{1，log0.30.1，30.1}的值为（）A . -1B .C . 1D . 2﹣30.14. （2分）已知中，，则一定是（）A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形5. （2分）(2020·兴平模拟) “ ”是“ ”的（）条件A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分也不必要6. （2分）将5列车停在5条不同的轨道上，其中列车甲不停在第一轨道上，列车乙不停在第二轨道上，则不同的停放方法有（）A . 70种B . 72种C . 76种D . 78种7. （2分）设双曲线的半焦距为c，直线l过两点，若原点O到l的距离为，则双曲线的离心率为（）A . 或2B . 2C . 或D .8. （2分） (2019高二下·蓝田期末) 周末，某高校一学生宿舍有甲乙丙丁四位同学分别在做不同的四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信；②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信；④丙不在看书，也不在写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，乙同学正在做的事情是（）A . 玩游戏B . 写信C . 听音乐D . 看书二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2019高二下·汕头月考) 已知复数为虚数单位，那么z的共轭复数为________10. （1分）(2018高二上·深圳期中) 已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为________．11. （1分）(2017·辽宁模拟) 若向量，满足：| |=1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| |=________．12. （1分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为=2sin，则曲线C的直角坐标方程为________ 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019年湖南省怀化市高三二模数学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知为虚数单位，，复数，则（）A．B．C．D．
2. 已知集合，则=（）A．B．C．D．
3. 某地的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改变.教育督导一年后.分别随机抽查了初中（用表示）与小学（用表示）各10所学校.得到相关指标的综合评价得分（百分制）的茎叶图如图所示.则从茎叶图可得出正确的信息为（）（80分及以上为优秀）. ①初中得分与小学得分的优秀率相同；
②初中得分与小学得分的中位数相同③初中得分的方差比小学得分的方差大④初中得分与小学得分的平均分相同.
A．①②B．①③C．②④D．③④
4. 等差数列的前项和为，且，若，则
的最小值为（）
A．B．C．D．16
5. 函数的部分图象大致是（）
B．
A．
C．D．
6. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，过点作抛物线的切线交轴于点，若为坐标原点），则点的横坐标为（）
A．B．C．D．
7. 某组合体的三视图如图所示.则该组合体的体积为（）
A．B．
C．D．
8. 如图所示，在边长为2的菱形中，，点分别为对角线上两个三等分点，则（）
A．B．C．D．
9. 定义在上的单调函数满足，,则
（）
D．
A．B．C．
10. 已知点在内，且满足，现在内随机取一点，此点取自的概率分别记为，则（）A．B．C．D．
11. 已知双曲线为坐标原点，为的右焦点，过点作倾斜角为的直线与在第一象限的渐近线及轴的交点分别为，若，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．或D．或
12. 已知函数，若方程在区间上恰有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、填空题
13. 已知各项均为正数的等比数列中，与的等比中项为，则
的最小值为______.
14. 若满足约束条件，则的最大值为_______.
15. 甲、乙、丙、丁四人进行一项益智游戏，方法如下：第一步：先由四人看着平面直角坐标系中方格内的16个棋子（如图所示），甲从中记下某个棋子的坐标；第二步：甲分别告诉其他三人：告诉乙棋子的横坐标.告诉丙棋子的纵坐标，告诉丁棋子的横坐标与纵坐标相等；第三步：由乙、丙、丁依次回答.对话如下：“乙先说我无法确定.丙接着说我也无法确定.最后丁说我知道”.则甲记
下的棋子的坐标为_____.
16. 将函数的图象向右平移个单位，得到函
数的图象，若对满足的有，则
_____.
三、解答题
17. 如图所示，中，，，在内存在一点，满足，，外接圆的半径为.
（1）求，；
（2）求的长及的面积.
18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形
，，.
（1）证明：当点在上运动时，始终有平面平面；
（2）求锐二面角的余弦值.
19. 每年春晚都是万众瞩目的时刻，这些节目体现的文化内涵、历史背景等反映了社会的进步.国家的富强，人民生活水平的提高等.某学校高三年级主任开学初为了解学生在看春晚后对节目体现的文化内涵、历史背景等是否会在今年的高考题中体现进行过思考，特地随机抽取100名高三学生（其中文科学生50，理科学生50名），进行了调查.统计数据如表所示（不完整）：
“思考过”“没有思考
过”
总计
文科学生40 10
理科学生30
总计100
（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有的把握认为看春晚后会思考节目体现的文化内涵、历史背景等与文理科学生有关；
（2）①现从上表的”思考过”的文理科学生中按分层抽样选出7人.再从这7人中随机抽取4人，记这4人中“文科学生”的人数为,试求的分布列与数学期望；
②现设计一份试卷（题目知识点来自春晚相关知识整合与变化），假设“思考
过”的学生及格率为，“没有思考过”的学生的及格率为.现从“思考过”与“没有思考过”的学生中分别随机抽取一名学生进行测试，求两人至少有一个及格的概率.
附参考公式：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
20. 已知过椭圆的左焦点，作斜率为的直线，交椭圆于两点.
（1）若原点到直线的距离为，求直线的方程；
（2）设点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另
一点.设的斜率为，则是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21. 已知函数.
（1）当且时，求函数的单调区间；
（2）当时，若函数的两个极值点分别为、，证明.
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；
（2）若射线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，直线与极轴所在直线交于点.求的值.
23. 已知函数，且恒成立.
（1）求的值；
（2）当时，，证明：.。