高考数学中档大题规范练中档大题6
2019年高考数学(文科)中档大题规范练(三角函数)(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5中档大题规范练中档大题规范练——三角函数1．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －2cos 2x＝sin 2x －(1＋cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值．(1)求f (x )的值域及周期；(2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3. 因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]．(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π， 故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值， 所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝c sin π4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34. 3．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a .(1)求函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2)当x ∈[0，π4]时，函数f (x )有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z . 故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3]， 从而sin(2x ＋π6)∈[12，1]． ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]， ∵f (x )有最大值4，∴a ＋3＝4，故a ＝1.4．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12， 所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12. 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1， 所以f (x )的最大值为32. 5．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)． 最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1， 从而f (x )＝2sin(2x －π6)． 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]， 所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 6.在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ， 所以∠ACB ＝30°. 由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°. 在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ， 由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)， 解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.。
高高考数学中档大题规范练(数列).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作中档大题规范练——数列1．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2a 4＝64，a 1＋a 5＝18.(1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值．(2)设b n ＝n (2n ＋1)S n，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．解 (1)数列{a n }为等差数列，因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d >0，所以a 2<a 4，所以a 2＝5，a 4＝13.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，① 所以a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝4n －3.由1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，所以a 1a 21＝a 2i ，即1×81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， 所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，② 所以b 1＋b 2＋…＋b n＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， 因为n 2n ＋1＝12－12(2n ＋1)<12，③ 所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立．2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1.于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．因此，a n ＝2n －1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1. 记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1.① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .②①－②，得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .即数列{na n }的前n 项和为1＋(n －1)·2n .3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3. (1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n －2n ＋1 ⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ， 故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列，b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ， a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n .(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n， 故T n ＝3－n ＋13n －1<3. 4．已知单调递增数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝12(a 2n ＋n )． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)n ＝1时，a 1＝12(a 21＋1)，得a 1＝1， 由S n ＝12(a 2n ＋n )，① 则当n ≥2时，S n －1＝12(a 2n －1＋n －1)，② ①－②得a n ＝S n －S n －1＝12(a 2n －a 2n －1＋1)， 化简得(a n －1)2－a 2n －1＝0， a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)，又{a n }是单调递增数列，故a n －a n －1＝1，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .(2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c n )＝(122－1＋142－1＋…＋1n 2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n －1)＋n 2 ＝11×3＋13×5＋…＋1(n －1)×(n ＋1)＋3×2(1－4n 2)1－4＋n 2 ＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1)＋2×(4n 2－1)＋n 2 ＝2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1). 当n 为奇数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n )＋(c 2＋c 4＋…＋c n －1)＝[122－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1]＋3×(21＋23＋…＋2n －2)＋n －12 ＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＋2×(4n －12－1)＋n －12＝2n＋n 2－2n －92(n ＋2). 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＋n 2－2n －92(n ＋2)(n 为奇数)，2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1)(n 为偶数).5．已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0142对一切n ∈N *恒成立，求最小正整数m .解 (1)∵a n ＋1＝f (1a n )＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以1为首项，23为公差的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×23＝23n ＋13. (2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1(23n －13)(23n ＋13) ＝1(2n －1)(2n ＋1)9＝92(12n －1－12n ＋1)，又b 1＝3＝92(1－13)， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝92(1－12n ＋1)＝9n 2n ＋1， ∵S n <m －2 0142对一切n ∈N *恒成立， 即9n 2n ＋1<m －2 0142对一切n ∈N *恒成立， 又9n 2n ＋1<92，∴m －2 0142≥92， 即m ≥2 023.∴最小正整数m 为2 023.6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式；(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，所以a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列， 则此时a n ＝16×⎝⎛⎭⎫54n －7，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝⎛⎭⎫54n －7，n ≥8.(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋3n ， 当n ≥8时，由S 7＝72＋3×7＝70，则S n ＝70＋16×54×1－⎝⎛⎭⎫54n －71－54＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10， ∴该生产线前n 年每年的平均维护费用为S n n ＝⎩⎨⎧ n ＋3，1≤n ≤7，80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n，n ≥8. 当1≤n ≤7时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递增数列，当n ≥8时，∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －6－10n ＋1－80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7·⎝⎛⎭⎫n 4－1＋10n (n ＋1)>0， ∴S n ＋1n ＋1>S n n. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为递增数列．又∵S 77＝10<12，S 88＝80×54－108＝11.25<12， S 99＝80×⎝⎛⎭⎫542－109≈12.78>12， 则第9年年初需更新生产线．。
高考数学(文科)中档大题规范练(立体几何)(含答案)
中档大题规范练——立体几何1．如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC；(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积．(1)证明由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC.(2)证明因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)解由(2)知，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱锥D－BCM的一条高，又AB＝20，BC＝4，△PMB为正三角形，M，D分别为AB，PB的中点，经计算可得MD＝53，DC＝5，S△BCD＝12×BC×BD×sin∠CBD＝12×5×4×215＝221.所以V D－BCM＝V M－DBC＝13×S△BCD×MD＝13×221×53＝107. 2．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝30°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)试问：当点E 在何处时，四棱锥P —EFCB 的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P —EFCB 的体积．(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ，∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE .又BE ∩PE ＝E ，∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴EF ⊥PB .(2)解 设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4.∴S △PEB ＝12BE ·PE ·sin ∠PEB＝14xy ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝1.当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大．此时，BE ＝PE ＝2.由(1)知EF ⊥平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面EFCB ，在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于O ，则PO ⊥平面EFCB .即PO 为四棱锥P —EFCB 的高．又PO ＝PE ·sin 30°＝2×12＝1.S 梯形EFCB ＝12×(2＋4)×2＝6.∴V P —BCFE ＝13×6×1＝2.3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P 、Q 分别是线段AB 、CD 的中点，EP ⊥平面ABCD .(1)求证：DP ⊥平面EPC ；(2)问在EP 上是否存在点F ，使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出FP AP的值；若不存在，说明理由．(1)证明 ∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥DP .又ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，连接PQ ，则PQ ⊥DC 且PQ ＝12DC .∴DP ⊥PC .∵EP ∩PC ＝P ，∴DP ⊥平面EPC .(2)解 假设存在F 使平面AFD ⊥平面BFC ，∵AD ∥BC ，BC ⊂平面BFC ，AD ⊄平面BFC ，∴AD ∥平面BFC .∴AD 平行于平面AFD 与平面BFC 的交线l .∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥AD ，而AD ⊥AB ，AB ∩EP ＝P ，∴AD ⊥平面EAB ，∴l ⊥平面F AB .∴∠AFB 为平面AFD 与平面BFC 所成二面角的平面角．∵P 是AB 的中点，且FP ⊥AB ，∴当∠AFB ＝90°时，FP ＝AP .∴当FP ＝AP ，即FP AP ＝1时，平面AFD ⊥平面BFC .4．(2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积．(1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解 因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .又因为AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D .所以1C A DE V －＝13×S △A 1ED ×CD ＝13×12×6×3×2＝1.5．(2013·辽宁)如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC . 证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC .(2)连接OG 并延长交AC 于M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点．由Q 为P A 中点，得QM ∥PC ，又O 为AB 中点，得OM ∥BC .因为QM ∩MO ＝M ，QM ⊂平面QMO ，MO ⊂平面QMO ，BC ∩PC ＝C ，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC .所以平面QMO ∥平面PBC .因为QG ⊂平面QMO ，所以QG ∥平面PBC .6．(2014·四川)在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ∩AC ＝A ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1∩AC ＝A ，AA 1⊂平面ACC 1A 1，AC ⊂平面ACC 1A 1， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点． 由题意知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，OM ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ， 因此MD 綊OE .从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .。
高考数学中档大题规范练中档大题5
中档大题5 圆锥曲线1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝22，右焦点到直线2ax ＋by －2＝0的距离为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知椭圆C 的方程与直线x －y ＋m ＝0交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内，求m 的取值范围.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，12在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过顶点A (－2，0)的直线l 1交y 轴于点Q ，交曲线C 于点R ，过坐标原点O 作直线l 2，使得l 2∥l 1，且l 2交曲线C 于点S ，证明：AQ ，2OS ，AR 成等比数列.3.(2015·无锡模拟)如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，已知点B 在直线l ：y ＝－1上，且椭圆的离心率e ＝32. (1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的中点，求证：OM ⊥MN .4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点N (3,2)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值.5.已知双曲线M ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上焦点为F ，上顶点为A ，B 为虚轴的端点，离心率e ＝233，且S △ABF ＝1－32.抛物线N 的顶点在坐标原点，焦点为F . (1)求双曲线M 和抛物线N 的方程；(2)设动直线l 与抛物线N 相切于点P ，与抛物线的准线相交于点Q ，则以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由.6.在平面直角坐标系xOy 中，点P 是圆x 2＋y 2＝4上一动点，PD ⊥x 轴于点D .记满足OM →＝12(OP →＋OD →)的动点M 的轨迹为Г.(1)求轨迹Г的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与轨迹Г交于不同两点A ，B ，点G 是线段AB 中点，射线OG 交轨迹Г于点Q ，且OQ →＝λOG →，λ∈R .①证明：λ2m 2＝4k 2＋1.②求△AOB 的面积S (λ)的解析式，并计算S (λ)的最大值.答案精析中档大题5 圆锥曲线1.解 (1)由题意，知e ＝c a ＝22， 所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12， 所以a 2＝2b 2.所以a ＝2c ＝2b .因为右焦点(c,0)，则|2ac －2|4a 2＋b2＝23， 所以b ＝1，所以a 2＝2，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋m ＝0，x 22＋y 2＝1， 消去y ，可得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0，解得－3<m < 3.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3， y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝－4m 3＋2m ＝2m 3， 所以MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 3，13m ，又MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32≥1，解得m ≥355或m ≤－355. 综上可知－3<m ≤－355或355≤m < 3. 2.(1)解 因为椭圆C 的左焦点为F 1(－1,0)，所以c ＝1，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，12代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1， 得4b 4－3b 2－1＝0，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 由题意可知直线l 1和l 2的斜率都存在且相同，设直线l 1：y ＝k (x ＋2)，则Q (0，2k )， 又直线OS ：y ＝kx ，代入x 22＋y 2＝1， 化简得(1＋2k 2)x 2＝2，所以OS ＝1＋k 2|x s －0|，从而2(OS )2＝2(1＋k 2|x s －0|)2＝4＋4k 21＋2k 2. 将y ＝k (x ＋2)代入x 22＋y 2＝1， 化简得(1＋2k 2)x 2＋42k 2x ＋4k 2－2＝0，所以AR ＝1＋k 2|x A －x R |＝22＋2k 21＋2k 2， 又有AQ ＝2＋2k 2，所以AQ ·AR ＝4＋4k 21＋2k2＝2(OS )2， 所以AQ ，2OS ，AR 成等比数列.3.(1)解 依题意，得b ＝1.因为e ＝c a ＝32，又a 2－c 2＝b 2，所以a 2＝4. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，x 0≠0，因为P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，所以x 204＋y 20＝1. 因为PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，所以点Q 坐标为(0，y 0). 因为M 为线段PQ 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 0. 又点A 的坐标为(0,1)，可得直线AM 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1. 因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 01－y 0，－1. 因为点B 的坐标为(0，－1)，点N 为线段BC 的中点，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02(1－y 0)，－1. 所以向量NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－x 02(1－y 0)，y 0＋1. 又OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 0， 所以OM →·NM →＝x 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 02－x 02(1－y 0)＋y 0(y 0＋1) ＝x 204－x 204(1－y 0)＋y 20＋y 0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20－x 204(1－y 0)＋y 0 ＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0.所以OM ⊥MN .4.(1)解 依题意，得c ＝2，所以a 2－b 2＝2，由点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，得b ＝OM ＝1，所以a ＝3，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)证明 当直线l 的斜率不存在时，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x 23＋y 2＝1，解得x ＝1，y ＝±63. 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－63， 则k 1＋k 2＝2－632＋2＋632＝2为定值. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1).将y ＝k (x －1)代入x 23＋y 2＝1化简整理，得(3k 2＋1)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－33k 2＋1.又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，所以k 1＋k 2＝2－y 13－x 1＋2－y 23－x 2＝(2－y 1)(3－x 2)＋(2－y 2)(3－x 1)(3－x 1)(3－x 2)＝[2－k (x 1－1)](3－x 2)＋[2－k (x 2－1)](3－x 1)9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝12－2(x 1＋x 2)＋k [2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋6]9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝12－2×6k 23k 2＋1＋k (2×3k 2－33k 2＋1－4×6k23k 2＋1＋6)9－3×6k 23k 2＋1＋3k 2－33k 2＋1＝12(2k 2＋1)6(2k 2＋1)＝2.综上，得k 1＋k 2＝2为定值.5.解 (1)在双曲线中，c ＝a 2＋b 2，由e ＝233，得a 2＋b 2a ＝233，解得a ＝3b ，故c ＝2b .所以S △ABF ＝12(c －a )×b ＝12(2b －3b )×b＝1－32，解得b ＝1.所以a ＝3，c ＝2，其上焦点为F (0,2).所以双曲线M 的方程为y 23－x 2＝1， 抛物线N 的方程为x 2＝8y .(2)由(1)知抛物线N 的方程为y ＝18x 2， 故y ′＝14x ，抛物线的准线为y ＝－2. 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝18x 20， 且直线l 的方程为y －18x 20＝14x 0(x －x 0)， 即y ＝14x 0x －18x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝14x 0x －18x 20，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 20－162x 0，y ＝－2.所以Q (x 20－162x 0，－2). 假设存在点R (0，y 1)，使得以PQ 为直径的圆恒过该点，也就是RP →·RQ →＝0对于满足y 0＝18x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立. 由于RP →＝(x 0，y 0－y 1)，RQ →＝(x 20－162x 0，－2－y 1)， 由RP →·RQ →＝0， 得x 0·x 20－162x 0＋(y 0－y 1)(－2－y 1)＝0， 整理得x 20－162－2y 0－y 0y 1＋2y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋2y 1－8)＋(2－y 1)y 0＝0，(*)由于(*)式对满足y 0＝18x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－y 1＝0，y 21＋2y 1－8＝0，解得y 1＝2. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点，定点坐标为(0,2). 6.(1)解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则点D (x 0,0)，且x 20＋y 20＝4.(a )∵OM →＝12(OP →＋OD →)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝2y .(b ) 将(b )代入(a )，得x 2＋4y 2＝4，∴轨迹Г的方程为x 24＋y 2＝1. (2)①证明 令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4消去y ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(8km )2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)>0，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2<1＋4k 2，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.(c )∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m＝k (－8km )1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2. 又由中点坐标公式，得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km1＋4k 2，m1＋4k 2. 根据OQ →＝λOG →，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4λkm 1＋4k 2，λm 1＋4k 2， 将其代入椭圆方程，得4λ2k 2m 2(1＋4k 2)2＋λ2m 2(1＋4k 2)2＝1. 化简得λ2m 2＝1＋4k 2.(d )②解 由(c )，(d )得m ≠0，λ>1.|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 22－4×4m 2－41＋4k 2 ＝41＋4k 2－m 21＋4k2.(e ) 在△AOB 中，S △AOB ＝12|m ||x 1－x 2|，(f )由(d )，(e )，(f )可得S (λ)＝2|m |λ2m 2－m 2λ2m 2＝2λ2－1λ2(λ>1). 令λ2－1＝t ∈(0，＋∞)，则S ＝2t t 2＋1＝2t ＋1t ≤221＝1(当且仅当t ＝1，即λ＝2时取“＝”).∴当λ＝2时，S (λ)＝2λ2－1λ2取得最大值，其最大值为1.。
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高考中档大题规范练(二)数 列1．已知函数f (x )＝7x ＋5x ＋1，数列{a n }满足：2a n ＋1－2a n ＋a n ＋1a n ＝0且a n ≠0.数列{b n }中，b 1＝f (0)且b n ＝f (a n －1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列{|b n |}的前n 项和T n .2．已知等差数列{a n }是递增数列，且满足a 4·a 7＝15，a 3＋a 8＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝19a n －1a n(n ≥2)，b 1＝13，求数列{b n }的前n 项和S n .3．(2015·天津)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.(1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n <7时n 的最大值．5．(2015·广东)数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *. (1)求a 3的值；(2)求数列{a n }前n 项和T n ；(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .答案精析高考中档大题规范练(二)数 列1．(1)证明 由2a n ＋1－2a n ＋a n ＋1a n ＝0得1a n ＋1－1a n ＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．(2)解 因为b 1＝f (0)＝5，所以7a 1－1＋5a 1－1＋1＝5， 7a 1－2＝5a 1，所以a 1＝1，1a n ＝1＋(n －1)×12，所以a n ＝2n ＋1. b n ＝7a n －2a n＝7－(n ＋1)＝6－n . 当n ≤6时，T n ＝n 2(5＋6－n )＝n 11－n 2； 当n ≥7时，T n ＝15＋n －62(1＋n －6) ＝n 2－11n ＋602. 所以，T n ＝⎩⎨⎧ n 11－n 2，n ≤6，n 2－11n ＋602，n ≥7.2．解 (1)根据题意a 3＋a 8＝8＝a 4＋a 7，a 4·a 7＝15，所以a 4，a 7是方程x 2－8x ＋15＝0的两根，且a 4<a 7，解得a 4＝3，a 7＝5.设数列{a n }的公差为d ，由a 7＝a 4＋(7－4)·d ，得d ＝23. 故等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 4＋(n －4)·d ＝3＋(n －4)·23＝2n ＋13. (2)当n ≥2时，b n ＝19a n －1a n ＝19·2n －13·2n ＋13＝12n －12n ＋1 ＝12(12n －1－12n ＋1)， 又b 1＝13＝12(1－13)， 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. 即数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2n ＋1. 3．解 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2.由递推公式得当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12； 当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2. 所以，{a n }的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n －12，n 为奇数，22n ，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2n －1. 设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n 1－12－n 2n ＝2－22n －n 2n ， 整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *. 所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *. 4．解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1，两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1.∴a n ＝2n ＋1，∴3n b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3，∴b n ＋1＝4n ＋33n ， ∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式， ∴b n ＝4n －13n －1. (2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1， ∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，① 13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n ＝3＋4·131－13n －11－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n . ∴T n ＝152－4n ＋52·3n －1. T n －T n ＋1＝4n ＋1＋52·3n －4n ＋52·3n －1＝－4n ＋33n<0. ∴T n <T n ＋1，即{T n }为递增数列．又T 3＝599<7，T 4＝649>7， ∴T n <7时，n 的最大值为3.5．(1)解 a 1＝1，a 1＋2a 2＝2，a 2＝12，a 1＋2a 2＋3a 3＝4－54，a 3＝14. (2)解 n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋(n －1)·a n －1＝4－n ＋12n －2， 与原式相减，得na n ＝n 2n －1，a n ＝12n －1，n ＝1也符合，T n ＝1－12n 1－12＝2－12n －1. (3)证明 n ≥2时，b n ＝T n －1n＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1n＋ ⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n a n ，故S n ＝∑i ＝1n b i ＝a 1＋a 12＋⎝⎛⎭⎫1＋12a 2＋a 1＋a 23＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13a 3＋…＋a 1＋a 2＋…＋a n －1n＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i T n ＝ ⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n ⎝⎛⎭⎫2－12n －1 <2⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n ， 只需证明2⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n <2＋2ln n ，n ∈N *. 对于任意自然数k ∈N ，令x ＝－1k ＋1∈ (－1,0)时，ln ⎝⎛⎭⎫－1k ＋1＋1＋1k ＋1<0，即1k ＋1<ln(k ＋1)－ln k . ∴k ＝1时，12<ln 2－ln 1，k ＝2时，13<ln 3－ln 2. …k ＝n －1时，1n<ln n －ln(n －1)． ∴1＋12＋13＋ (1)<1＋(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n －ln(n －1)]， 即1＋12＋13＋…＋1n <1＋ln n ，∴n ≥2时，2⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋ (1)<2＋2ln n ，综上n ∈N *时，S n <2＋2ln n .。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b ≥1)的离心率e ＝22，右焦点到直线2ax ＋by －2＝0的距离为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知椭圆C 的方程与直线x －y ＋m ＝0交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内，求m 的取值范围.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P ⎝⎛⎭⎫62，12在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过顶点A (－2，0)的直线l 1交y 轴于点Q ，交曲线C 于点R ，过坐标原点O 作直线l 2，使得l 2∥l 1，且l 2交曲线C 于点S ，证明：|AQ |，2|OS |，|AR |成等比数列.3.(2015·天津模拟)如图所示，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，已知点B在直线l：y＝－1上，且椭圆的离心率e＝3 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN.4.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N(3,2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2为定值.5.已知双曲线M ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的上焦点为F ，上顶点为A ，B 为虚轴的端点，离心率e ＝233，且S △ABF ＝1－32.抛物线N 的顶点在坐标原点，焦点为F . (1)求双曲线M 和抛物线N 的方程；(2)设动直线l 与抛物线N 相切于点P ，与抛物线的准线相交于点Q ，则以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由.6.在平面直角坐标系xOy 中，点P 是圆x 2＋y 2＝4上一动点，PD ⊥x 轴于点D .记满足OM →＝12(OP →＋OD →)的动点M 的轨迹为Г.(1)求轨迹Г的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与轨迹Г交于不同两点A ，B ，点G 是线段AB 中点，射线OG 交轨迹Г于点Q ，且OQ →＝λOG →，λ∈R .①证明：λ2m2＝4k2＋1.②求△AOB的面积S(λ)的解析式，并计算S(λ)的最大值.答案精析中档大题规范练51.解 (1)由题意，知e ＝c a ＝22， 所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12， 所以a 2＝2b 2.所以a ＝2c ＝2b .因为右焦点(c,0)，则|2ac －2|4a 2＋b 2＝23， 所以b ＝1，所以a 2＝2，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋m ＝0，x 22＋y 2＝1，消去y ，可得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0，解得－3<m < 3.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3， y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝－4m 3＋2m ＝2m 3， 所以MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－2m 3，13m ，又MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内，所以⎝⎛⎭⎫－2m 32＋⎝⎛⎭⎫m 32≥1，解得m ≥355或m ≤－355. 综上可知－3<m ≤－355或355≤m < 3. 2.解 (1)因为椭圆C 的左焦点为F 1(－1,0)，所以c ＝1，将点P ⎝⎛⎭⎫62，12代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1， 得4b 4－3b 2－1＝0，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知直线l 1和l 2的斜率都存在且相同，设直线l 1：y ＝k (x ＋2)，则Q (0，2k )，又直线OS ：y ＝kx ，代入x 22＋y 2＝1， 化简得(1＋2k 2)x 2＝2，所以|OS |＝1＋k 2|x s －0|，从而2|OS |2＝2(1＋k 2|x s －0|)2＝4＋4k 21＋2k 2. 将y ＝k (x ＋2)代入x 22＋y 2＝1， 化简得(1＋2k 2)x 2＋42k 2x ＋4k 2－2＝0，所以|AR |＝1＋k 2|x A －x R |＝22＋2k 21＋2k 2， 又有|AQ |＝2＋2k 2，所以|AQ |·|AR |＝4＋4k 21＋2k 2＝2|OS |2， 所以|AQ |，2|OS |，|AR |成等比数列.3.(1)解 依题意，得b ＝1.因为e ＝c a ＝32，又a 2－c 2＝b 2，所以a 2＝4. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，x 0≠0，因为P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，所以x 204＋y 20＝1. 因为PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，所以点Q 坐标为(0，y 0).因为M 为线段PQ 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫x 02，y 0. 又点A 的坐标为(0,1)，可得直线AM 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1. 因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1，得C ⎝⎛⎭⎫x 01－y 0，－1. 因为点B 的坐标为(0，－1)，点N 为线段BC 的中点，所以N ⎝⎛⎭⎫x 02(1－y 0)，－1. 所以向量NM →＝⎝⎛⎭⎫x 02－x 02(1－y 0)，y 0＋1.又OM →＝⎝⎛⎭⎫x 02，y 0， 所以OM →·NM →＝x 02⎣⎡⎦⎤x 02－x 02(1－y 0)＋y 0(y 0＋1) ＝x 204－x 204(1－y 0)＋y 20＋y 0＝⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20－x 204(1－y 0)＋y 0＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0.所以OM ⊥MN .4.(1)解 依题意，得c ＝2，所以a 2－b 2＝2，由点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，得b ＝|OM |＝1，所以a ＝3，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)证明 当直线l 的斜率不存在时，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x 23＋y 2＝1， 解得x ＝1，y ＝±63. 设A ⎝⎛⎭⎫1，63，B ⎝⎛⎭⎫1，－63， 则k 1＋k 2＝2－632＋2＋632＝2为定值. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1).将y ＝k (x －1)代入x 23＋y 2＝1化简整理， 得(3k 2＋1)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－33k 2＋1. 又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，所以k 1＋k 2＝2－y 13－x 1＋2－y 23－x 2＝(2－y 1)(3－x 2)＋(2－y 2)(3－x 1)(3－x 1)(3－x 2)＝[2－k (x 1－1)](3－x 2)＋[2－k (x 2－1)](3－x 1)9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝12－2(x 1＋x 2)＋k [2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋6]9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝12－2×6k 23k 2＋1＋k (2×3k 2－33k 2＋1－4×6k 23k 2＋1＋6)9－3×6k 23k 2＋1＋3k 2－33k 2＋1＝12(2k 2＋1)6(2k 2＋1)＝2. 综上，得k 1＋k 2＝2为定值.5.解 (1)在双曲线中，c ＝a 2＋b 2，由e ＝233，得a 2＋b 2a ＝233， 解得a ＝3b ，故c ＝2b . 所以S △ABF ＝12(c －a )×b ＝12(2b －3b )×b ＝1－32，解得b ＝1. 所以a ＝3，c ＝2，其上焦点为F (0,2).所以双曲线M 的方程为y 23－x 2＝1， 抛物线N 的方程为x 2＝8y .(2)由(1)知抛物线N 的方程为y ＝18x 2， 故y ′＝14x ，抛物线的准线为y ＝－2. 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝18x 20， 且直线l 的方程为y －18x 20＝14x 0(x －x 0)， 即y ＝14x 0x －18x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝14x 0x －18x 20，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－162x 0，y ＝－2.所以Q (x 20－162x 0，－2). 假设存在点R (0，y 1)，使得以PQ 为直径的圆恒过该点，也就是RP →·RQ →＝0对于满足y 0＝18x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立.由于RP →＝(x 0，y 0－y 1)，RQ →＝(x 20－162x 0，－2－y 1)， 由RP →·RQ →＝0，得x 0·x 20－162x 0＋(y 0－y 1)(－2－y 1)＝0， 整理得x 20－162－2y 0－y 0y 1＋2y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋2y 1－8)＋(2－y 1)y 0＝0，(*)由于(*)式对满足y 0＝18x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－y 1＝0，y 21＋2y 1－8＝0，解得y 1＝2. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点，定点坐标为(0,2).6.(1)解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则点D (x 0,0)，且x 20＋y 20＝4.(a )∵OM →＝12(OP →＋OD →)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .(b ) 将(b )代入(a )，得x 2＋4y 2＝4，∴轨迹Г的方程为x 24＋y 2＝1. (2)①证明 令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4消去y ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(8km )2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)>0，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2<1＋4k 2，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.(c )∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m＝k (－8km )1＋4k 2＋2m ＝2m 1＋4k 2.又由中点坐标公式，得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 根据OQ →＝λOG →，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4λkm 1＋4k 2，λm 1＋4k 2， 将其代入椭圆方程，得4λ2k 2m 2(1＋4k 2)2＋λ2m 2(1＋4k 2)2＝1. 化简得λ2m 2＝1＋4k 2.(d )②解 由(c )，(d )得m ≠0，λ>1.|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 22－4×4m 2－41＋4k 2 ＝41＋4k 2－m 21＋4k 2.(e ) 在△AOB 中，S △AOB ＝12|m ||x 1－x 2|，(f ) 由(d )，(e )，(f )可得S (λ)＝2|m |λ2m 2－m 2λ2m 2＝2λ2－1λ2(λ>1). 令λ2－1＝t ∈(0，＋∞)，则S ＝2t t 2＋1＝2t ＋1t ≤221＝1 (当且仅当t ＝1，即λ＝2时取“＝”). ∴当λ＝2时，S (λ)＝2λ2－1λ2取得最大值，其最大值为1.。
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中档大题规范练7 综合练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，且sin A sin C ＝34.(1)求角B 的大小；(2)若x ∈[0，π)，求函数f (x )＝sin(x －B )＋sin x 的值域． 解 (1)因为a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac . 由正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C . 又sin A sin C ＝34，所以sin 2B ＝34.因为sin B >0，则sin B ＝32. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3或2π3.又b 2＝ac ，则b ≤a 或b ≤c ，即b 不是△ABC 的最大边，故B ＝π3.(2)因为B ＝π3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋sin x ＝sin x cos π3－cos x sin π3＋sin x＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 因为x ∈[0，π)，则－π6≤x －π6<5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1.故函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 2．2015届高三学生参加自主招生考试，某辅导学校针对自主招生计划开设a ，b ，c 三个班，据统计，某班每位同学报名参加这三个班的概率分别为34，13，12，并且报名参加三个班之间互不影响．(1)该班现有甲、乙、丙、丁4名同学，求这4名同学中至少有3名同学报名参加a 班的概率；(2)若用X 表示该班甲同学报名参加的班次，求X 的分布列与数学期望． 解 (1)记“这4名同学中至少有3名同学报名参加a 班”为事件M ，则P (M )＝C 34⎝⎛⎭⎫343⎝⎛⎭⎫1－34＋C 44⎝⎛⎭⎫344⎝⎛⎭⎫1－340 ＝189256. (2)记“甲同学报名参加a 班”为事件A ，“甲同学报名参加b 班”为事件B ，“甲同学报名参加c 班”为事件C ，由条件可知X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝P (A B C )＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－12＝112， P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝34×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－34×13×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－13×12＝924＝38， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝34×13×⎝⎛⎭⎫1－12＋34×⎝⎛⎭⎫1－13×12＋⎝⎛⎭⎫1－34×13×12＝1024＝512， P (X ＝3)＝P (ABC )＝34×13×12＝18.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P1123851218故X 的数学期望为E (X )＝0×112＋1×38＋2×512＋3×18＝1912.3.如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，ED ∥FB ，ED ⊥平面ABCD ，AD ＝BD ＝2，BF ＝2DE ＝2 2.(1)求证：AE ⊥CF ；(2)求二面角A —FC —E 的余弦值．(1)证明 方法一 在△AEF 中，AE ＝6，EF ＝6，AF ＝23，∴AE 2＋EF 2＝AF 2，∴AE ⊥EF . 在△AEC 中，AE ＝6，EC ＝6，AC ＝23， ∴AE 2＋EC 2＝AC 2，∴AE ⊥EC . 又∵EF ∩EC ＝E ，∴AE ⊥平面ECF ， 又∵FC ⊂平面ECF ，∴AE ⊥FC . 方法二 ∵ABCD 是菱形，AD ＝BD ＝2， ∴AC ⊥BD ，AC ＝2 3.∵ED ⊥平面ABCD ，BD ＝2，BF ＝2DE ＝22，故可以O 为坐标原点，以OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (3，0,0)，E (0，－1，2)，C (－3，0,0)，F (0,1,22)， ∴AE →＝(－3，－1，2)，CF →＝(3，1,22)． ∴AE →·CF →＝(－3，－1，2)·(3，1,22) ＝－3－1＋4＝0. ∴AE ⊥CF .(2)解 由(1)知A (3，0,0)，C (－3，0,0)，F (0,1，22)，E (0，－1，2)，则AF →＝(－3，1,22)，AC →＝(－23，0,0)，EF →＝(0,2，2)，EC →＝(－3，1，－2)， 设平面AFC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 由AF →·n 1＝0，AC →·n 1＝0，得－3x 1＋y 1＋22z 1＝0且－23x 1＝0， 令z 1＝1，得n 1＝(0，－22，1)．设平面EFC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由EF →·n 2＝0，EC →·n 2＝0，得2y 2＋2z 2＝0且－3x 2＋y 2－2z 2＝0，令y 2＝－1，得n 2＝(－3，－1，2)． 设二面角A —FC —E 的大小为θ，则 cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝0＋22＋23·6＝33.即二面角A —FC —E 的余弦值为33. 4．数列{a n }的前n 项和为S n ，且点(n ，S n )在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m60对所有的n ∈N *都成立的最小值m .解 (1)因为点(n ，S n ) (n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，所以S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5， 所以，a n ＝6n －5 (n ∈N *)． (2)由(1)得知b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n ＋1)－5]＝12⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1， 故T n ＝∑ni ＝1b i＝12[⎝⎛⎭⎫1－17＋⎝⎛⎭⎫17－113＋… ＋⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1]＝12⎝⎛⎭⎫1－16n ＋1. 因此，要使12⎝⎛⎭⎫1－16n ＋1<m 60 (n ∈N *)成立的m ，必须且仅须满足12≤m60，即m ≥30，所以满足要求的最小值m 为30.5．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx ，且f (1)＝－1，f ′(1)＝0， (1)求f (x )； (2)求f (x )的最大值；(3)若x >0，y >0，证明：ln x ＋ln y ≤xy ＋x ＋y －32.(1)解 由b ＝f (1)＝－1，f ′(1)＝a ＋b ＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＝ln x －x 为所求． (2)解 ∵x >0，f ′(x )＝1x －1＝1－x x，x0<x <1x ＝1x >1f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗极大值↘∴f (x )在x ＝1处取得极大值－1，即所求最大值为－1. (3)证明 由(2)得ln x ≤x －1恒成立，∴ln x ＋ln y ＝ln xy 2＋ln x ＋ln y 2≤xy －12＋x －1＋y －12＝xy ＋x ＋y －32成立．6．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和等于4. (1)写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)过点P ⎝⎛⎭⎫1，14的直线与椭圆交于两点D 、E ，若DP ＝PE ，求直线DE 的方程； (3)过点Q (1,0)的直线与椭圆交于两点M 、N ，若△OMN 面积取得最大，求直线MN 的方程． 解 (1)椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2； 又点A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上， 因此122＋34b2＝1.得b 2＝1，于是c 2＝3；所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)．(2)∵P 在椭圆内，∴直线DE 与椭圆相交， ∴设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，代入椭圆C 的方程得x 21＋4y 21－4＝0，x 22＋4y 22－4＝0，相减得2(x 1－x 2)＋4×2×14(y 1－y 2)＝0，∴斜率为k ＝－1.∴DE 方程为y －14＝－(x －1)，即4x ＋4y －5＝0.(3)直线MN 不与y 轴垂直，∴设MN 方程为my ＝x －1，代入椭圆C 的方程得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，且Δ>0成立．又S △OMN ＝12|y 1－y 2|＝12×4m 2＋12(m 2＋4)m 2＋4＝2m 2＋3m 2＋4，设t ＝m 2＋3≥3，则S △OMN ＝2t ＋1t ，⎝⎛⎭⎫t ＋1t ′＝1－t －2>0对t ≥3恒成立，∴t ＝3时，t ＋1t取得最小，S △OMN 最大，此时m ＝0，∴MN 方程为x ＝1.。
甘肃省武威市铁路中学2014届高三数学(文)专题训练：中档大题保分练(六)Word版含答案
(推荐时间：50分钟)1． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)用θ表示点B 的坐标及|OA |；(2)若tan θ＝－43，求OA →·OB →的值． 解 (1)由题意，可得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．在△ABO 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ. 由正弦定理，得|OB |sin π4＝|OA |sin B ， 即|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.(2)由(1)，得OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝42sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θcos θ.因为tan θ＝－43，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以sin θ＝45，cos θ＝－35. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4sin θ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－⎝⎛⎭⎫－22×45＝210， 故OA →·OB →＝42×210×⎝⎛⎭⎫－35＝－1225. 2． 设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段．(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13. (2)设其中两条线段长度分别为x 、y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<6－x －y <6，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<x ＋y <6， 所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >6－x －y x ＋6－x －y >y y ＋6－x －y >x，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >3y <3x <3， 所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.3． 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，棱AA 1与底面ABC 垂直，△ABC为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ， BC 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求证：平面AB 1F ⊥平面AEF .证明 (1)取AB 中点G ，连接DG ，GC .因为D 是AB 1的中点，所以DG ∥BB 1，且DG ＝12BB 1， 又因为BB 1∥CC 1，CE ＝12CC 1， 所以DG ∥CE 且DG ＝CE ，所以四边形DGCE 为平行四边形，所以DE ∥GC . 又DE ⊄平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .(2)因为△ABC 为等腰直角三角形，F 为BC 的中点， 所以BC ⊥AF ，由题意知B 1B ⊥平面ABC ，所以B 1B ⊥AF .又因为B 1B ∩BC ＝B ，所以AF ⊥平面B 1BF ，所以AF ⊥B 1F .设AB ＝AA 1＝2，则B 1F ＝6，EF ＝3，B 1E ＝3， 所以B 1F 2＋EF 2＝B 1E 2，所以B 1F ⊥EF ， 又AF ∩EF ＝F ，所以B 1F ⊥平面AEF . 又因为B 1F ⊂平面AB 1F ，所以平面AB 1F ⊥平面AEF .4． 已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(2＋q 2)＝3a 1q ， ①a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2＋4， ② 由①，得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2. 当q ＝1时，不合题意舍去；当q ＝2时，代入②，得a 1＝2.则a n ＝2·2n －1＝2n . (2)因为b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n ＋log 212n ＝2n －n ， 所以S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－12n －12n 2. 因为S n －2n ＋1＋47<0， 所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0， 即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10. 又n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.。
高考数学中档大题规范练中档大题3.docx
扩大我国中等收入阶层比重的对策研究作者：牟粼琳王刚来源：《群文天地》2011年第02期扩大中等收入阶层比重是我国现代化发展的必然趋势，其研究对加快我国现代化进程具有深刻意义。
本文对我国收入分配的现状进行分析，找出现阶段贫富差距扩大的根本原因，针对多元原因，提出培养和扩大中等收入阶层比重的对策，以期为我国解决贫富差距的问题，实现共同富裕做出贡献。
一、我国中等收入阶层现状分析目前中国经济社会发展的总体水平不是很高，导致中等收入者的比重相对过低。
根据中科院的测算标准，家庭财产在15万元至30万元之间可以算作是“中产”。
目前中国城市居民中有49％的家庭符合这一标准，但考虑到中国农村大多数家庭收入偏低的现实，最终可以推测出，目前我国的中等收入阶层人数只占全国人口的19％左右，这个比例很低。
而我国2002年全年城镇居民人均可支配收入为7500元，农民人均纯收入仅为2470元，我们的中收系数较高是建立在总体收入水平不高和高收入人群过于集中的基础之上的，这导致拥有有效需求能力和稳定心态的中等收入者的比重在这一经济发展阶段相对较低。
从纵向比较来看，中等收入者比重的增幅小于高收入者，1986至1999年，10％的最高收入户的收入就增长了8倍，远远高于中低收入层的增长，而且这种趋势还没有明显缓和的迹象，这使中等收入者比重趋于降低。
二、扩大中等收入阶层比重的积极作用1、扩大中等收入者比重有助于刺激消费，拉动经济增长。
我国现阶段消费差距很大：低收入人群收入太低，消费不足；而高收入阶层虽然拥有巨额财富，应有尽有，但他们要么不消费，导致资金闲置，要么过度消费，导致浪费资源，这种消费很不持续。
而我国中等收入阶层，他们消费意识和消费能力很强，为了过上更好的生活，他们积极工作，努力拼搏。
如果我国中等阶层人数占绝大多数，这意味将有一个庞大的消费市场，这有利于缓解和消除“需求不足”的市场经济问题；同时，中等收入阶层可以理性消费，可持续消费，对其它阶层有很好的示范作用，可以促进整个国家的经济持续、有序的发展。
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中档大题2 概率与统计1.某校为了了解学生孝敬父母的情况(选项，A：为父母洗一次脚；B：帮父母做一次家务；C：给父母买一件礼物；D：其他).在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到如下图表(部分信息未给出)：学生孝敬父母情况统计表学生孝敬父母情况条形统计图根据以上信息解答下列问题：(1)这次被调查的学生有多少人？(2)求表中m、n、p的值，并补全条形统计图.(3)该校有1 600名学生，估计该校全体学生中选择B选项的有多少人？2.为使学生更好地了解中华民族伟大复兴的历史知识，某校组织了一次以“我的梦，中国梦”为主题的知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图：请根据以上提供的信息解答下列问题： (1)把一班竞赛成绩统计图补充完整. (2)写出下表中a ，b ，c 的值：(3)请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析； ①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成绩； ②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成绩；③从B 级以上(包括B 级)的人数方面来比较一班和二班的成绩.3.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响. (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，则乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？4.小昆和小明相约玩一种“造数”游戏，游戏规划如下：同时抛掷一枚均匀的硬币和一枚均匀的骰子，硬币的正、反面分别表示“新数”的符号(约定硬币正面向上记为“＋”号，反面向上记为“－”号)，与骰子投出面朝上的数字组合成一个“新数”；如抛掷结果为硬币反面向上，骰子面朝上的数字是“4”，记为“－4”.(1)利用树状图或列表的方法(只选其中一种)表示出游戏可能出现的所有结果； (2)写出组合成的所有“新数”；(3)若约定投掷一次的结果所组合的“新数”是3的倍数，则小昆获胜；若是4或5的倍数，则小明获胜.你觉得他们的约定公平吗？为什么？5.2014年12月初，南京查获了一批问题牛肉，滁州市食药监局经民众举报获知某地6个储存牛肉的冷库有1个冷库牛肉被病毒感染，需要通过对库存牛肉抽样化验病毒DNA 来确定感染牛肉，以免民众食用有损身体健康.下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验样品，直到能确定感染冷库为止.方案乙：将样品分为两组，每组3个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA ，则表明感染牛肉在这3个样品当中，然后逐个化验，直到确定感染冷库为止；若结果不含病毒DNA ，则在另外一组样品中逐个进行化验.(1)求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率；(2)首次化验化验费10元，第二次化验化验费8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的概率分布，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？ (3)试比较两种方案，估计哪种方案有利于尽快查找到感染冷库.6.某次知识竞赛中，从6道备选题中一次性随机抽取3道，并独立完成所抽取的3道题.甲选手能正确完成其中4道题；乙选手能正确完成每道题的概率都为23，且每道题正确完成与否互不影响.规定至少正确答对其中2道题目便可过关. (1)求甲选手能晋级的概率；(2)记所抽取的3道题中，甲选手答对的题目数为ξ，写出ξ的概率分布，并求E (ξ)； (3)记乙选手能答对的题目数为η，求η的概率分布与V (η).7.我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A ，B 两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：00－9：00，9：00－10：00两个时间段内各发一趟由A 城开往B 城的列车(两车发车情况互不影响)，A 城发车时间及其概率如表所示：若甲、乙两位旅客打算从A 城到B 城，假设他们到达A 城火车站候车的时间分别是周六8：00和周日8：20(只考虑候车时间，不考虑其他因素).(1)求甲、乙二人候车时间相等的概率；(2)设乙候车所需时间为随机变量ξ，求ξ的概率分布和均值E(ξ).答案精析中档大题2 概率与统计1.解(1)∵48÷0.2＝240，∴这次被调查的学生有240人.(2)m＝240×0.15＝36，n＝240×0.4＝96，p＝60÷240＝0.25.补全条形统计图如图.(3)∵1 600×0.25＝400.∴估计该校全体学生中选择B选项的有400人.2.解(1)25－6－12－5＝2(人).(2)a ＝87.6，b ＝90，c ＝100.(3)①一班和二班平均数相等，一班的中位数大于二班的中位数，故一班的成绩好于二班. ②一班和二班平均数相等，一班的众数小于二班的众数，故二班的成绩好于一班； ③B 级以上(包括B 级)一班18人，二班12人，故一班的成绩好于二班. 3.解 (1)甲至少有一次未击中目标的概率为P 1＝P 1(1)＋P 1(2)＋P 1(3)＋P 1(4)＝1－P 1(0)＝1－(23)4(13)0＝6581.(2)甲射击4次恰击中2次的概率为P 2＝C24(23)2(13)2＝827，乙射击4次恰击中3次的概率为P 3＝C34(34)3×14＝2764，由乘法公式，所求概率P ＝P 2·P 3＝827×2764＝18.(3)乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为P ＝(34)3(14)2＋C12(34)2(14)3＝451 024. 4.解 (1)根据题意画树状图如下：(2)组合成的新数为1,2,3,4,5,6，－1，－2，－3，－4，－5，－6.(3)所有的组合成的新数中是3的倍数的有3,6，－3，－6这四个，因此P (3的倍数)＝412＝13，是4或5的倍数的有4,5，－4，－5这四个，因此P (4或5的倍数)＝412＝13，由于两者的概率相同，所以他们的约定公平.5.解 (1)方案乙所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA ，再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为C 35C 36×1C 13＝16.第二种，先化验一组，结果含有病毒DNA ，再从中逐个化验，恰第1个样品含有病毒的概率为C 25C 36×1C 13＝16. 所以依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为 16＋16＝13. (2)设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1,2,3,4,5，对应的化验费用为η元，则P (ξ＝1)＝P (η＝10)＝16，P (ξ＝2)＝P (η＝18)＝56×15＝16，P (ξ＝3)＝P (η＝24)＝56×45×14＝16，P (ξ＝4)＝P (η＝30)＝56×45×34×13＝16，P (ξ＝5)＝P (η＝36)＝56×45×34×23＝13. 则其化验费用η的概率分布为所以E (η)＝10×16＋18×16＋24×16＋30×16＋36×13＝773(元).所以方案甲平均需要化验费773元. (3)由(2)知方案甲平均化验次数为E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×13＝103.设方案乙化验的次数为δ，则δ可能的取值为2,3， 所以P (δ＝2)＝13，P (δ＝3)＝1－P (δ＝2)＝23，所以E (δ)＝2×13＋3×23＝83.则E (ξ)>E (δ)，所以方案乙化验次数的期望值较小，可以尽快查找到感染冷库. 6.解 (1)记甲选手能晋级为事件A ，则基本事件总数n ＝C 36＝20， 事件A 包含的基本事件m ＝C 34＋C 24C 12＝16，所以P (A )＝m n ＝45.(2)ξ的所有可能取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 36＝15.则ξ的概率分布为所以E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.(3)依题意知，η服从B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23. P (η＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝⎛⎭⎪⎫1－233－k，k ＝0,1,2,3. 即P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫230⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，P (η＝1)＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝49，P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝827. 则η的概率分布为所以V (η)＝3×23×13＝23.7.解 (1)甲到达火车站的时间为周六8：00，所以甲的候车时间有三种情况，如表所示.乙到达火车站的时间为周日8：20，所以乙的候车时间有五种情况，如表所示.根据表格可知：甲、乙二人候车时间均为10分钟的概率为：16×13＝118；甲、乙二人候车时间圴为30分钟的概率为：13×12＝16；甲、乙二人候车时间均为50分钟的概率为：12×16×16＝172.所以甲、乙二人候车时间相等的概率为： 118＋16＋172＝1772. (2)乙候车所需时间为随机变量ξ＝10,30,50,70,90.P (ξ＝10)＝13；P (ξ＝30)＝12；P (ξ＝50)＝16×16＝136；P (ξ＝70)＝16×13＝118； P (ξ＝90)＝16×12＝112.所以ξ的概率分布为：均值E (ξ)＝10×13＋30×12＋50×136＋70×118＋90×112＝2809.。
高考数学中档大题规范练中档大题1.docx
中档大题规范练中档大题1 三角函数1.设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的值域.2.已知0<α<π2，π2<β<π且tan α2＝12，sin(α＋β)＝513.(1)分别求cos α与cos β的值； (2)求tan α－β2的值.3.(2015·无锡模拟)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2.(1)求实数a 的值及f (x )的最小正周期； (2)在坐标纸上作出f (x )在[0，π]上的图象.4.(2015·苏州二模)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x · cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合.5.(2015·盐城二模)如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米).如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?6.设f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3，x ∈[0,2π]. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调区间；(2)在锐角△ABC 中，若f (A )＝2，a ＝2，b ＝6，求∠C 及边c .答案精析中档大题规范练中档大题1 三角函数1.解 (1)由于|a |＝(3sin x )2＋(sin x )2＝2|sin x |， |b |＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 而|a |＝|b |，则有2|sin x |＝1，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则有sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)由于f (x )＝a·b ＝3sin x cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则有2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取得最大值1，此时f (x )取得最大值32；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取得最小值－12，此时f (x )取得最小值0. 故f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，32. 2.解 (1)cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝35，∵0<α<π2，∴sin α＝45.∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，sin(α＋β)＝513，∴cos(α＋β)＝－1213.∴cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1213·35＋513·45＝－1665. (2)∵2cos 2β2－1＝cos β＝－1665且β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴cos β2＝7130，∴sin β2＝9130.∴tan β2＝97.∴tan α－β2＝tan α2－tanβ21＋tan α2tanβ2＝－1123.3.解 (1)f (x )＝4cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1， 最大值为3＋a ＝2，∴a ＝－1.T ＝2π2＝π.(2)列表如下：2x ＋π6π6 π2 π 3π2 2π 13π6 x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π f (x )12－21画图如下：4.解 (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos 2x －14，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π (k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为{x |x ＝k π－π8，k ∈Z }.5.解 设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin 60°＝AMsin (120°－θ).因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ).在△AMP 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ). AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)cos(60°＋θ) ＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°). 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3. 所以设计∠AMN ＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小.6.解 (1)因为f (x )＝sin x ＋sin x cos π6＋cos x sin π6－⎝⎛⎭⎫cos x cos 4π3－sin x sin 4π3 ＝sin x ＋32sin x ＋12cos x ＋12cos x －32sin x ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π.由x ∈[0,2π]，可知x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，9π4. 当x ＋π4∈⎣⎡⎭⎫π4，π2，即x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，f (x )为单调递增函数； 当x ＋π4∈⎣⎡⎭⎫π2，3π2，即x ∈⎣⎡⎭⎫π4，5π4时，f (x )为单调递减函数； 当x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤3π2，9π4，即x ∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π时，f (x )为单调递增函数. 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫0，π4，⎣⎡⎦⎤5π4，2π， 函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫π4，5π4. (2)由f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝2， 得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1，故A ＋π4＝π2，得A ＝π4. 由正弦定理知b sin B ＝a sin A ，即6sin B ＝2sinπ4，得sin B ＝32，又B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 因此B ＝π3，所以C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝5π12. 由正弦定理知，c sin C ＝a sin A ＝222＝22，得c ＝22sin5π12＝22·6＋24＝3＋1.。
高考数学(文科)中档大题规范练(三角函数)(含答案)
中档大题规范练中档大题规范练——三角函数1．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －2cos 2x＝sin 2x －(1＋cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值．(1)求f (x )的值域及周期；(2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3. 因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]．(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π， 故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值， 所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝c sin π4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34. 3．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a .(1)求函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2)当x ∈[0，π4]时，函数f (x )有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3]， 从而sin(2x ＋π6)∈[12，1]． ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]， ∵f (x )有最大值4，∴a ＋3＝4，故a ＝1.4．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12， 所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12. 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1， 所以f (x )的最大值为32. 5．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)． 最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1，从而f (x )＝2sin(2x －π6)． 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]， 所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 6.在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ， 所以∠ACB ＝30°. 由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°. 在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ， 由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)， 解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.。
高高考数学中档大题规范练4.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a n a n S n －S 2n＝1 (n ≥2).求数列{a n }的通项公式.2.已知各项均不为零的数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1 (其中p 为非零常数，n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .3.(2015·广州模拟)设等差数列{a n}的公差为d，点(a n，b n)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*).若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b2n}的前n项和S n.4.(2015·南京模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3.5.(2015·长沙模拟)已知数列{a n }中，a 2＝p (p 是不等于0的常数)，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对任意的正整数n 都有S n ＝n (a n －a 1)2. (1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)记b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)记c n ＝T n －2n ，是否存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝⎛⎭⎫52，3.若存在，证明你的结论，并给出一个具体的N 值；若不存在，请说明理由.6.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a2a4＝65，a1＋a5＝18.(1)若1<i<21，a1，a i，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(2)设b n＝n(2n＋1)S n，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋b n<m对于任意的正整数n均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由.答案精析中档大题规范练41.解 由已知，当n ≥2时，2a n a n S n －S 2n＝1， 所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n＝1， 即2(S n －S n －1)－S n －1S n＝1， 所以1S n －1S n －1＝12. 又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列. 所以1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. 2.解 (1)由a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n . 令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝1，c n ＋1＝pc n . 所以c n ＋1c n ＝p (p 为非零常数)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公比为p 的等比数列， 所以a n ＋1a n＝p n －1. 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝p n －2·p n －3·…·p 0·1＝p n 2－3n ＋22， 因为a 1也满足上式，所以a n ＝p n 2－3n ＋22，n ∈N *. (2)a n ＋2a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝p n ·p n －1＝p 2n －1， b n ＝na n ＋2a n＝np 2n －1.S n ＝1×p 1＋2×p 3＋…＋n ×p 2n －1，① p 2S n ＝1×p 3＋…＋(n －1)×p 2n －1＋n ×p 2n ＋1，② 当p 2≠1，即p ≠±1时，由①－②得(1－p 2)S n ＝p 1＋p 3＋…＋p 2n －1－np 2n ＋1 ＝p (1－p n )1－p 2－np 2n ＋1， 即S n ＝p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1. 而当p ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 当p ＝－1时，S n ＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n )＝－n (n ＋1)2. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，p ＝1，－n (n ＋1)2，p ＝－1，p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1. 3.解 函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n . 于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n ，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)·4n ＋n ·4n ＋1. 因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝(1－3n )4n ＋1－43. 所以S n ＝(3n －1)4n ＋1＋49. 4.(1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n －2n ＋1 ⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ， 故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列，b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n .(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1， 则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n， 故T n ＝3－n ＋13n －1<3. 5.(1)证明 由a 1＝S 1＝a 1－a 12＝0，得a 1＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n 2－(n －1)a n －12， 故(n －2)a n ＝(n －1)a n －1.故当n >2时，a n ＝n －1n －2a n －1＝n －1n －2×n －2n －3×…×43×32×21×a 2＝(n －1)p ，由n ＝2时，a 2＝p ，n ＝1时，a 1＝0也适合该式，故对一切正整数n ，有a n ＝(n －1)p ，a n ＋1－a n ＝p ，由于p 是常数，故数列{a n }是以首项为0，公差为p 的等差数列.(2)解 由(1)，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n －1)p 2， 故b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝2n ＋2(1－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝2n ＋2(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝2n ＋3－2(1n ＋1＋1n ＋2). (3)解 c n ＝T n －2n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2<3对所有正整数n 都成立. 若c n >52，则3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2>52，即1n ＋1＋1n ＋2<14，记f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2，则f (n )单调递减， 又f (6)＝17＋18>18＋18＝14， f (7)＝18＋19<18＋18＝14， 故只要取N ＝6，故当n >N 时，f (n )<14. 故存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝⎛⎭⎫52，3，N 可以取所有不小于6的正整数.6.解 (1){a n }为等差数列，∵a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18， 又a 2·a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d >0，∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13， ∴a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.由于1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项， ∴a 1·a 21＝a 2i ，即1·81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ， 所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<12， 所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立.。
辽宁省2023届高考数学复习：近年真题模拟题专项(多选中档题)练习(附答案)
辽宁省2023届高考数学复习：近年真题模拟题专项（多选中档题）练习1．（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，//FB ED ，2AB ED FB ==．记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为1V ，2V ，3V ，则( )A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =2．（2021•新高考Ⅱ）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是( )A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切3．（2022•沈阳一模）已知圆22:2O x y +=，直线:40l x y +-=，P 为直线l 上一动点，过点P 作圆O 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则( )A ．点P 到圆心的最小距离为B ．线段PA 长度的最小值为C ．PA PB ⋅的最小值为3D ．存在点P ，使得PAB ∆的面积为34．（2022•沈阳一模）已知棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中M 为11B C 中点，点P 在正方体的表面上运动，且总满足MP 垂直于MC ，则下列结论正确的是( ) A ．点P 的轨迹中包含1AA 的中点B ．点P 在侧面11AA D D 内的轨迹的长为4C ．MPD ．直线1CC 与直线MP5．（2022•沈河区校级二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，(1)(1)f x f x +=-，且当[0x ∈，1]时，2()2f x x x =-+，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 的图象关于直线1x =对称B ．当[2x ∈，3]时，2()66f x x x =-+-C ．当[2x ∈，3]时，()f x 单调递增D ．(2022)0f =6．（2022•大连模拟）已知抛物线2:2C y px =，C 的准线与x 轴交于K ，过焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，连接AK 、BK ，设AB 的中点为P ，过P 作AB 的垂线交x 轴于Q ，下列结论正确的是( ) A ．||||||||AF BK AK BF ⋅=⋅B ．tan cos AKF PQF ∠=∠C ．AKB ∆的面积最小值为22pD ．||2||AB FQ =7．（2022•辽宁一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是( ) A ．1ab a b +>+B ．2log ()1a b +>C ．11a b a b+<+ D ．11a b a b+>+ 8．（2022•辽宁模拟）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为2的正三角形，14AA =，M 为1CC 的中点，P 为线段1A M 上的点（不包括端点），则下列说法正确的是( )A ．1A M ⊥平面ABMB ．三棱锥P ABM -的体积的取值范围是C ．存在点P ，使得BP 与平面111A B C 所成的角为60︒D ．存在点P ，使得AP 与BM 垂直9．（2022•沙河口区校级模拟）已知函数()(1)x a f x a x a =->的定义域为(0,)+∞，且()f x 仅有一个零点，则下列选项正确的是( ) A ．e 是()f x 的零点 B ．()f x 在(1,)e 上单调递增 C ．1x =是()f x 的极大值点D ．f （e ）是()f x 的最小值10．（2022•辽宁模拟）在菱形ABCD 中，1AB =，120ABC ∠=︒，将ABD ∆沿对角线BD 折起，使点A 至点(P P 在平面ABCD 外）的位置，则( ) A ．在折叠过程中，总有BD PC ⊥B ．存在点P ，使得2PC =C ．当1PC =时，三棱锥P BCD -的外接球的表面积为32πD ．当三棱锥P BCD -的体积最大时，32PC =11．11．（2022•望花区校级模拟）已知函数满足，且函数与的图象的交点为，，，，，，，，则 A ．B ．C ．D ．12．（2022•辽宁模拟）如图，几何体ABCDEFG 的底面是边长为3的正方形，AE ⊥平面ABCD ，////AE CF DG ，1AE CF ==，3DG =，则下列说法正确的是( )A ．BF 与EG 为异面直线B ．几何体ABCDEFG 的体积为12C ．三棱锥G BCD -的外接球表面积为27πD ．点A 与点D 到平面BFG 的距离之比为3:213．（2022•辽宁一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率()f x ()()f x f x π-=--()f x ()cos (2g x x x π=≠-1(x 1)y 2(x 2)y 3(x 3)y 4(x 4)y ()412i i x π==∑412i i x π==-∑412i i y π==-∑410i i y ==∑存在的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且2222AB BF BF F A F A AB ⋅=⋅=⋅，则下列说法正确的是( ) A ．A ，B 两点不可能同在C 的左支上B ．2ABF ∆为直角三角形C ．若11||||BF AF >，则1||2AF a =D ．若x 轴上存在点D 满足230BD F A +=，则C14．（2022•辽宁模拟）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24n nn S a a b =-+，在数集{1-，0，1}中随机抽取一个数作为a ，在数集{3-，0，3}中随机抽取一个数作为b ．在这些不同数列中随机抽取一个数列{}n a ，下列结论正确的是( ) A ．{}n a 是等差数列的概率为13B ．{}n a 是递增数列的概率为29C ．{}n a 是递减数列的概率为13D ．*2()n S S n N ∈…的概率为1315．（2022•抚顺一模）已知函数3()f x x ax b =++，其中a ，b R ∈，则下列条件中使得函数()f x 有且仅有一个零点的是( ) A ．a b <，()f x 为奇函数 B ．2(1)a ln b =+C ．1a =-，1b =D ．3a =-，240b -…16．（2022•丹东模拟）设0a >，1a ≠，0b >，1b ≠，()f x '为函数()x x f x a b =+的导函数，已知()f x 为偶函数，则( )A ．f （1）的最小值为2B ．()f x '为奇函数C ．()f x '在R 内为增函数D ．()f x 在(0,)+∞内为增函数17．（2022•铁东区校级模拟）已知函数224,0()21,0xx x x f x x -⎧+<=⎨-⎩…，若关于x 的方程24()4()230f x a f x a -⋅++=有5个不同的实根，则实数a 的取值可以为( ) A ．32-B ．43-C ．65-D ．76-18．（2022•沈河区校级四模）数列{}n a 的首项12a =，对一切正整数n ，都有121n n n a a a +=-，则( ) A ．对一切正整数n 都有1n a >B ．数列{}n a 单调递减C ．存在正整数n ，使得22n n a a =D ．*10()101nnn N ∈-都是数列{}n a 中的项 19．（2022•锦州模拟）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率80%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，用1A ，2A ，3A 分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B 表示买到的是优质品，则( ) A ．2()30%P A =B ．3()70%P BA =C ．1(|)80%P B A =D ．P （B ）81%=20．（2022•大连二模）已知在平面直角坐标系中，(1,0)A -，(1,0)B ，(1,1)C ，(2,0)D -，(2,0)E ，P 为该平面上一动点，记直线PD ，PE 的斜率分别为1k 和2k ，且1234k k ⋅=-，设点P 运动形成曲线F ，点M ，N是曲线F 上位于x 轴上方的点，且//MA NB ，则下列说法正确的有( )A ．动点P 的轨迹方程为22143x y +=B ．PAB ∆C ．||||PA PC +的最大值为5D ．||||MA NB ⋅的最小值为9421．（2022•辽宁模拟）使直线y ax b =+与曲线3y x =有且只有一个公共点的一组a ，b 的值为( ) A ．3a =，2b =-B ．3a =，3b =-C ．1a =，2b =-D ．1a =-，2b =-22．（2022•辽宁二模）已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是( ) A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b >D ．||1ab b>+ 23．（2022•辽宁模拟）对于非零向量,m n ，定义运算“:||||sin?,?m n m n m n ''=⊗⊗．已知两两不共线的三个向量,,a b c，则下列结论正确的是( )A ．若a b ⊥ ，则||||a b a b =⊗B ．()()a b c a b c =⊗⊗C ．()a b a b =-⊗⊗D ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗24．（2022•鞍山模拟）已知函数22log ,(02)()813,(2)x x f x x x x ⎧<<=⎨-+⎩…，若()f x a =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且满足1234x x x x <<<，则下列命题正确的是( )A ．01a <<B ．1292)2x x +∈C ．123421(10,)2x x x x +++∈ D ．122x x +∈25．（2022•辽宁三模）已知函数()2cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为2π，图象沿x 轴向左平移12π单位后，得到一个偶函数的图象，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 图像的一个对称中心为5(,0)12πB ．当[,]62x ππ∈时，函数()f x 的最小值为C ．若444sin cos ((0,52πααα-=-∈，则()4f πα+的值为45-D ．函数()f x 的减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈26．（2022•沈阳模拟）函数()sin(2)(0f x A x A ϕ=+>，||)2πϕ…的部分图像如图所示，且f （a ）f =（b ）0=，对不同的1x ，2[x a ∈，]b ，若12()()f x f x =，有12()f x x +=，则( )A ．(0)f =B ．3a b π+=C ．()f x 在5(12π-，)12π上单调递增D ．()f x 在区间(3π，5)6π内有极大值27．（2022•辽宁模拟）已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，点M 为双曲线右支上一点，设12F MF θ∠=，则下列说法正确的是( ) A ．线段1F M 长度的最小值为a c +B ．线段2F M 长度的最小值为2b aC ．若当2πθ=时，2(OMF O ∆为坐标原点）恰好为等边三角形，则双曲线C 1+D ．当6πθ=时，若直线1F M 与圆222x y a +=相切，则双曲线C 的渐近线的斜率的绝对值为3-28．（2022•辽阳二模）已知0ω>，函数()sin()6f x x πω=-在[,63ππ上单调递增，且对任意[,]84x ππ∈，都有()0f x …，则ω的取值可以为( ) A ．1B ．43C ．53D ．229．（2022•葫芦岛二模）已知0a b >>，115a b a b+++=，则下列不等式成立的是( ) A ．14a b <+< B ．11()()4b a a b ++…C ．2211()()b a a b+>+D ．2211()()a b a b+>+30．（2022•中山区校级一模）将数列{21}n -中的各项依次按如下规律组成有序数组：第一组1个数，第二组2个数，第三组4个数，第四组8个数， ，即（1），(3,5)，(7，9，11，13)，(15，17，19，21，23，25，27，29)， ，则以下结论中正确的是( ) A ．第10组的第一个数为1023B ．2021在第11组内C ．前10组一共有1023个数D ．第10组的数字之和19(2S ∈，202)31．（2022•沈阳模拟）如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为形，底面ABCD 为矩形，CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的有( )A ．CQ ⊥平面PADB ．直线QC 与PB 是异面直线C ．三棱锥B ACQ -的体积为D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为32．（2022•辽宁模拟）已知函数2()cos()(0)3f x x πωω=->在区间[0，]π上恰好能取到2次最大值，则下列说法中正确的有( ) A ．()f x 在(0,)π上有5个零点B ．ω的取值范围为814[,)33C ．()f x 在(0,)6π上一定有极值D ．()f x 在(0,3π上不单调33．（2022•沙河口区校级一模）下列说法中正确的是( ) A ．若20352049x y =，则0x y ==B ．若22x x <，则12x <<C ．若定义域为R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且f （2）0=，则满足()0xf x …的x 的取值范围为(-∞，2][2- ，)+∞D ．若25log 3m =，2log n =，则0mn m n <+<34．（2022•辽宁三模）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>在[,36ππ-上单调，且4()()(633f f f πππ==--，则ω的取值可能为( ) A ．35B ．75 C ．95D ．12735．（2022•沈河区校级模拟）下列说法正确的是( )A ．命题“0x ∀>，30x x π+…”的否定是“30000,0x x x π∃+<…” B ．用二分法求函数3()22f x x x =-+在(2,0)x ∈-内的零点近似解时，在运算过程中得到(1)0f ->，( 1.5)0f ->，( 1.75)0f ->，则可以将 1.875-看成零点的近似值，且此时误差小于18C ．甲乙丙丁四人围在圆桌旁，有6种不同的坐法D ．已知(,)P a b 为平面直角坐标系中一点，将向量OP绕原点O 逆时针方向旋转θ角到OQ 的位置，则点Q 坐标为(cos sin ,sin cos )a b a b θθθθ-+36．（2022•和平区校级模拟）已知O 是ABC ∆所在平面内一点，则下列说法正确的是( ) A ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 是ABC ∆的重心B ．若向量0OA OB OC ++=，且||||||OA OB OC == ，则ABC ∆是正三角形C ．若O 是ABC ∆的外心，3AB =，5AC =，则OA BC ⋅的值为8-D ．若240OA OB OC ++=，则::4:1:2OAB OBC OAC S S S ∆∆∆=37．（2022•葫芦岛一模）如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线//MN 平面ABC 的是( )A ．B ．C ．D ．38．（2022•丹东模拟）已知a ，b ，c 为单位向量，若230a b c ++= ，则( ) A ．||2a c -=B ．b c =C ．0a b b c ⋅+⋅=D ．320a b c ++=参考答案1．（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，//FB ED ，2AB ED FB ==．记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为1V ，2V ，3V ，则( )A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =【答案】CD【答案详解】设22AB ED FB ===，ED ⊥ 平面ABCD ，||ED ∴为四棱锥E ABCD -的高， //FB ED ，||FB ∴为三棱锥F ABC -的高，平面//ADE 平面FBC ，∴点E 到平面FBC 的距离等于点D 到平面FBC 的距离， 即三棱锥E FBC -的高||2DC ==，几何体的体积111||||||4333E ABCD E FBC E ABF ABCD FBC ABF V V V V S ED S DC S AB ---∆∆=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，114||33ACD V S ED ∆=⨯⨯=，212||33ABC V S FB ∆=⨯⨯=，3122V V V V =--=．故C 、D 正确，A 、B 错误． 故选：CD ．2．（2021•新高考Ⅱ）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是( )A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案详解】 点A 在圆C 上， 222a b r ∴+=，圆心(0,0)C 到直线l 的距离为22d r ===，∴直线与圆C 相切，故A 选项正确，点A 在圆C 内， 222a b r ∴+<，圆心(0,0)C 到直线l 的距离为22d r ==>，∴直线与圆C 相离，故B 选项正确，点A 在圆C 外， 222a b r ∴+>，圆心(0,0)C 到直线l 的距离为22d r ==<，∴直线与圆C 相交，故C 选项错误，点A 在直线l 上， 222a b r ∴+=，圆心(0,0)C 到直线l 的距离为22d r ===，∴直线与圆C 相切，故D 选项正确．故选：ABD ．3．（2022•沈阳一模）已知圆22:2O x y +=，直线:40l x y +-=，P 为直线l 上一动点，过点P 作圆O 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则( )A ．点P 到圆心的最小距离为B ．线段PA 长度的最小值为C ．PA PB ⋅的最小值为3D ．存在点P ，使得PAB ∆的面积为3【答案详解】点P 到圆心的最小距离为圆心到直线的距离d ==A 正确；由平面几何知识知线段PA ==B 错误；由向量运算可知PA PB ⋅的最小值为PA 长度的最小同时APB ∠最大时，所以PA =60APB ∠=︒，所以cos 603PA PB ⋅=︒=，故C 正确；由平面几何知识知线段PA 长度的最小时，PAB ∆的面积最小值为1322ABP S APB ∆=∠=<， 所以存在点P ，使得PAB ∆的面积为3．故D 正确； 故选：ACD ．4．（2022•沈阳一模）已知棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中M 为11B C 中点，点P 在正方体的表面上运动，且总满足MP 垂直于MC ，则下列结论正确的是( ) A ．点P 的轨迹中包含1AA 的中点B ．点P 在侧面11AA D D 内的轨迹的长为4C ．MP 长度的最大值为4D ．直线1CC 与直线MP 所成角的余弦值的最大值为5【答案】BCD【答案详解】如图，取11A D 的中点E ，分别取11A AB B 上靠近1A ，1B 的四等分点F ，G ，连接EM ，EF ，FG ，MG ，易知//EM FG 且EM FG =，所以E ，M ，F ，G 四点共面，连接GC ，因为22222222222255325((),(),(241624416a a a a a a a MG MC a GC a =+==+==+=，因此222MG MC GC +=，所以MG MC ⊥， 易知ME MC ⊥，所以MC ⊥平面MEFG ，即点P 的轨迹为四边形MEFG （不含点)M ，易知点P 的轨迹与侧面11AA D D 的交线为EF ， 由EF 不过1AA 的中点，故A 选项错误；又4EF MG a ==，故B 选项正确； 根据点P 的轨迹可知，当P 与F 重合时，MP 最大， 易知FG ⊥平面11BB C C ，则FG MG ⊥，连接MF，所以4MF ==，故C 选项正确；由于点P 的轨迹为四边形MEFG （不含点M )，所以直线1CC 与直线MP 所成的最小角就是直线1CC 与平面MEFG 所成的角，又向量1CC 与平面MEFG 的法向量CM的夹角等于1C CM ∠，且1sin 2aC CM ∠==，所以直线1CC 与平面MEFG即直线1CC 与直线MP所成角的余弦值的最大值等于5，故D 选项正确． 故选：BCD ．5．（2022•沈河区校级二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，(1)(1)f x f x +=-，且当[0x ∈，1]时，2()2f x x x =-+，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 的图象关于直线1x =对称B ．当[2x ∈，3]时，2()66f x x x =-+-C ．当[2x ∈，3]时，()f x 单调递增D ．(2022)0f =【答案】ACD【答案详解】因(1)(1)f x f x +=-，则有函数()f x 图象关于1x =对称，A 正确；由(1)(1)f x f x +=-得(2)()f x f x +=-，又R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，因此有(2)()f x f x +=， 于是得函数()f x 是周期为2的周期函数， 当[2x ∈，3]时，2[0x -∈，1]，则22()(2)(2)2(2)68f x f x x x x x =-=--+-=-+-，B 不正确；因当[2x ∈，3]时，2()68f x x x =-+-，因此()f x 在[2，3]上单调递增，C 正确； 因函数()f x 是周期为2的周期函数，则(2022)(0)0f f ==，D 正确； 故选：ACD ．6．（2022•大连模拟）已知抛物线2:2C y px =，C 的准线与x 轴交于K ，过焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，连接AK 、BK ，设AB 的中点为P ，过P 作AB 的垂线交x 轴于Q ，下列结论正确的是( ) A ．||||||||AF BK AK BF ⋅=⋅B ．tan cos AKF PQF ∠=∠C ．AKB ∆的面积最小值为22pD ．||2||AB FQ =【答案】BD【答案详解】设直线AB 的倾斜角为α，即AFx α∠=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，0)y ， 对于A 选项： 设直线AB 为2p x my =+， 联立直线AB 与抛物线方程222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，化简整理可得，2220y pmy p --=，由韦达定理可得，122y y pm +=，212y y p =-， (,0)2pK -， 2212121212*********()220()()()()22AK BKy y y y my y p y y mp p mk k p p my p my p my p my p my p my p x x ++-+∴+=+=+===++++++++，x ∴轴为AKB ∠的角平分线，∴根据角平分线的性质可得，||||||||AF AK BF BK =，即||||||||AF BK AK BF ⋅=⋅，故A 正确， 对于B 选项：过A 作AD x ⊥轴，垂足为D ， 则11tan 2y AFK p x ∠=+，111cos cos()sin 2||2y y PQF pAF x παα∠=-===+， 所以tan cos AFK PQF ∠=∠，故B 正确； 对于C 选项：212121||||||2222AKB AKF BKF p pS S S KF y y y y p p ∆∆∆=+=-=-⋅=…， 当12||||2y y AB p -==，即AB x ⊥时，取等号，故AKB ∆的面积最小值2p ，故C 错误；对于D 选项：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式相减121212()()2()y y y y p x x +-=-，12121202tan y y p px x y y y -===-+， 所以PQ 方程为000()y y y x x p -=--，令0y =，000()yy x x p-=--，则0x p x =+， 所以0(Q p x +，0)， 所以00||22p pFQ p x x =+-=+，所以120||22||AB x x p x p FQ =++=+=，故D 正确； 故选：BD ．7．（2022•辽宁一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是( ) A ．1ab a b +>+B ．2log ()1a b +>C ．11a b a b+<+ D ．11a b a b+>+ 【答案】BD【答案详解】对于AC ，取2a =，1b =，显然错误， 对于B ，0a > ，0b >，1ab >且a b ≠，222log ()log log 21a b ∴+>>=，故B 正确，对于D ，1111()(()(1)()0ab a b a b a b a b ab ab-+-+=+-=+⋅> ，11a b a b∴+>+，D 正确， 故选：BD ．8．（2022•辽宁模拟）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为2的正三角形，14AA =，M 为1CC 的中点，P 为线段1A M 上的点（不包括端点），则下列说法正确的是( )A ．1A M ⊥平面ABMB ．三棱锥P ABM -的体积的取值范围是(0,)3C ．存在点P ，使得BP 与平面111A B C 所成的角为60︒D ．存在点P ，使得AP 与BM 垂直【答案】BC【答案详解】由题意得1112A C MC ==．则1AM A M BM =====1A B ==，所以1A M 与BM 不垂直．故A 错误；由22211AM A M A A +=，所以1AM A M ⊥，所以1AM A M BM =====又PM ∈，则1(0,)333P ABM B AMP AMP V V S PM --∆===∈，故B 正确； BP 与平面111A B C 所成的角即为BP 与平面ABC 所成的角，设为α，易知当点P 与M 重合时，α最小，此时45MBC α=∠=︒，当点P 与1A 重合时，α最大，此时11,tan 2AA ABA ABαα=∠==，此时60α>︒， 故存在点P ，使得BP 与平面111A B C 所成的角为60︒，故C 正确； 若AP BM ⊥，设AC 中点为N ，所以BN AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC ⋂平面11ACC A AC =，BN ⊂平面ABC ，所以BN ⊥平面11ACC A ，AP ⊂平面11ACC A ，所以BN AP ⊥，又BN BM B = ，则AP ⊥平面BNM ， 因为MN ⊂平面BNM ，所以AP MN ⊥，因为tan 2MNC ∠=，tan 0PAC ∠>，故AP 与MN 不垂直，故不合题意，故D 错误．故选：BC ．9．（2022•沙河口区校级模拟）已知函数()(1)x a f x a x a =->的定义域为(0,)+∞，且()f x 仅有一个零点，则下列选项正确的是( ) A ．e 是()f x 的零点 B ．()f x 在(1,)e 上单调递增 C ．1x =是()f x 的极大值点D ．f （e ）是()f x 的最小值【答案】ACD【答案详解】取()0x a f x a x =-=，即x a a x =，两边取对数得，xlna alnx =，即lnx lnax a=有且只有一个解， 设()lnxh x x=，21()lnx h x x -'=， 函数()h x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，画出图象如图所示， 故1lna a e =或0lnaa<，解得a e =或01a <<（舍去），故a e =， ()x e f x e x =-，可得f （e ）0=，e 是()f x 的零点，故A 正确； 1()x e f x e ex -'=-，令1()0x e f x e ex -'=-=，即1x e e ex -=， 两边取对数1(1)x e lnx =+-， 画出函数11x y e -=-和y lnx =的图象，根据图象知， 当(1,)x e ∈时，11x lnx e -<-，故1()0x e f x e ex -'=-<，函数()f x 单调递减；当(0,1)x ∈和(,)e +∞时，1()0x e f x e ex -'=->， 函数()f x 单调递增，所以1x =是()f x 的极大值点，f （e ）是()f x 的极小值，又0x →时，()1f x →， 可得f （e ）是()f x 的最小值． 故B 错误，CD 正确． 故选：ACD ．10．（2022•辽宁模拟）在菱形ABCD 中，1AB =，120ABC ∠=︒，将ABD ∆沿对角线BD 折起，使点A 至点(P P 在平面ABCD 外）的位置，则( ) A ．在折叠过程中，总有BD PC ⊥B ．存在点P ，使得2PC =C ．当1PC =时，三棱锥P BCD -的外接球的表面积为32πD ．当三棱锥P BCD -的体积最大时，32PC =【答案】AC【答案详解】如图所示，取PC 的中点E ，连接BE ，DE ，则BE PC ⊥，DE PC ⊥，因为BE DE E = ，BD ，DE ⊂平面BDE ， 所以PC ⊥平面BDE ，又BD ⊂平面BDE ， 所以BD PC ⊥，A 项正确；在菱形ABCD 中，1AB =，120ABC ∠=︒，所以AC =，当ABD ∆沿对角线BD 折起时，0PC <<，所以不存在点P ，使得2PC =，B 项错误； 当1PC =时，将正四面体补成正方体，根据正方体的性质可知，三棱锥P BCD -的外接球就是该正方体的外接球， 因为正方体的各面的对角线长为1．所以正方体的棱长为2，设外接球的半径为R ，则222341()22R =+=， 所以三棱锥P BCD -的外接球的表面积2342S R ππ==，C 项正确； 当三棱锥P BCD -的体积最大时，平面PBD ⊥平面BCD ， 取BD 的中点O ，连接PO ，OC ， 易知PO ⊥平面BCD ，则PO OC ⊥，又12PO OC AC ===所以2PC ==，D 项错误． 故选：AC ．11．（2022•望花区校级模拟）已知函数满足，且函数与的图象的交点为，，，，，，，，则 A ．B ．C ．D ．【答案】【答案详解】由，可得的图象关于点，对称，的图象也关于点，对称，则，，故选：．12．（2022•辽宁模拟）如图，几何体ABCDEFG 的底面是边长为3的正方形，AE ⊥平面ABCD ，////AE CF DG ，1AE CF ==，3DG =，则下列说法正确的是( )A ．BF 与EG 为异面直线B ．几何体ABCDEFG 的体积为12C ．三棱锥G BCD -的外接球表面积为27πD ．点A 与点D 到平面BFG 的距离之比为3:2【答案】ABC()f x ()()f x f x π-=--()f x ()cos ()2g x x x π=≠-1(x 1)y 2(x 2)y 3(x 3)y 4(x 4)y ()412i i x π==∑412i i x π==-∑412i i y π==-∑410i i y ==∑BD ()()f x f x π-=--()f x (2π-0)()cos ()2g x x x π=≠-(2π-0)412()2i i x ππ==⨯-=-∑41200i i y ==⨯=∑BD【答案详解】在DG 上取两个点H ，I ，使得||||||1DH HI IG ===，连接AH ，HF ，EI ， 由//DH CF 且DH CF =，则四边形DHFC 为平行四边形，则//HF DC 且HF DC =， 又//DC AB 且DC AB =，所以//HF AB 且HF AB =， 所以四边形AHFB 为平行四边形，则//AH BF ，同理可得AEIH 为平行四边形，则//EI AH ，所以//EI BF ， 而GE EI E = ，则GE 与BF 不平行．BF ⊂/平面ADGE ，AH ⊂平面ADGE ，所以//BF 平面ADGE ，所以BF 与EG 为异面直线，故选项A 正确． 由底面ABCD 为正方形，则AB AD ⊥，AE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AE AB ⊥， 又AE AD A = ，所以AB ⊥平面ADGE ，由//AE CF ，则CF ⊥平面ABCD ，同理可证CB ⊥平面CFGD ，所以几何体ABCDEFG 的体积为1133B AEGD B CFGD ADGE CDQF V V S AB S BC --+=⨯+⨯1131133333123232++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选项B 正确． 取BG 的中点K ，连接DK ，CK ，由上可知BDG ∆，CBG ∆均是以BG 为斜边的直角三角形， 所以1||||||||||2DK KC BK KG BG ====， 所以D ，B ，C ，G 四点在以K 为球心，1||2BG 为半径的球面上，又||BG ===，所以三棱锥G BCD -的外接球表面积为24()272ππ⨯=，故选项C 正确． 设点A 与点D 到平面BFG 的距离分别为1h ，2h ，连接AC 交BD 于O ，则OC BD ⊥，由条件可得DG ⊥平面ABCD ，所以DG OC ⊥，且DB DG G = ，所以OC ⊥平面DBG，1||||2OC AC ==，所以211119||3333222D BFG BFG F BDG BDG V S h V S CO --=⨯==⨯=⨯⨯⨯=， 由题意2GH DH =，所以G 点到平面ABFH 的距离是D 点到平面ABFH 的距离的2倍， 11112223313332A BFG BFG G ABF D ABF F ABD V S h V V V -∆---=====⨯⨯⨯⨯⨯=，所以1232932A BFG D BFG V h V h --===，故选项D 不正确．故选：ABC ．13．（2022•辽宁一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率存在的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且2222AB BF BF F A F A AB ⋅=⋅=⋅，则下列说法正确的是( ) A ．A ，B 两点不可能同在C 的左支上B ．2ABF ∆为直角三角形C ．若11||||BF AF >，则1||2AF a =D ．若x 轴上存在点D 满足230BD F A +=，则C【答案】ACD【答案详解】由222AB BF BF F A ⋅=⋅ ，得2BF ．2()0AB AF +=， 记线段2BF 的中点为E ，则222()20BF AB AF BF AE ⋅+=⋅=， 所以直线AE 是线段2BF 的垂直平分线，所以2||||AB AF =，同理可证得2||||AB BF =，所以2ABF ∆为等边三角形，画图可知，此时A ，B 不可能同在C 的左支上，A 项正确，B 项错误； 如图所示，若11||||BF AF >，则点A 在线段1BF 上，1211||||||||||2BF BF BF BA AF a -=-==，C 项正确； 不妨设点A 在点B 的左侧，设12||2F F c =， 因为230BD F A += ，所以2//BD F A ， 所以△12F AF ∽△1F BD ，所以2||4F D c =，在等边三角形2ABF 中，设22||||||AF BF AB m ===，则1||3,||2m BD m AF ==， 由双曲线的定义可得21||||2AF AF a -=，所以22mm a -=，即4m a =，① 因为2ABF ∆是等边三角形，所以2260F BD AF B ∠=∠=︒，在△2F BD 中，2222222222||||||9161cos 2||||232BF BD F D m m c F BD BF BD m m +-+-∠===⋅⋅， 化简可得22716m c =，②由①②可得227c a =，所以e =D 项正确； 故选：ACD ．14．（2022•辽宁模拟）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24n nn S a a b =-+，在数集{1-，0，1}中随机抽取一个数作为a ，在数集{3-，0，3}中随机抽取一个数作为b ．在这些不同数列中随机抽取一个数列{}n a ，下列结论正确的是( ) A ．{}n a 是等差数列的概率为13B ．{}n a 是递增数列的概率为29C ．{}n a 是递减数列的概率为13D ．*2()n S S n N ∈…的概率为13【答案】AB【答案详解】24n nn S a a b =-+ ，∴当1n =时，13a b a =-， 当1n >时，125n n n n a S S a a -=-=-，若{}n a 是等差数列，则2153a a b a ⨯-=-，解得0b =， ∴在数集{3-，0，3}中取到0即可，概率为13，故A 正确；若{}n a 是递增数列，则1a =，且12a a <，即3b a a -<-，解得2b a <， 3b ∴=-或0b =，{}n a ∴是递增数列的概率为122339⨯=，故B 正确；与证明B 的结论同理得到C 错误； 由已知得2(2)4n S a n b a =-+-，若0a =，则n S n =，满足2n S S …，概率为13，若0a ≠，2S 是n S 的最小值，则1a =-，概率为13，2n S S ∴…的概率为112333+=，故D 错误．故选：AB ．15．（2022•抚顺一模）已知函数3()f x x ax b =++，其中a ，b R ∈，则下列条件中使得函数()f x 有且仅有一个零点的是( ) A ．a b <，()f x 为奇函数 B ．2(1)a ln b =+C ．1a =-，1b =D ．3a =-，240b -…【答案】BC【答案详解】由题知2()3f x x a '=+，对于A ，由()f x 是奇函数，知0b =，因为0a <，所以()f x 存在两个极值点，易知()f x 有三个零点，A 错误；对于B ，因为211b +…，所以0a …，()0f x '…，所以()f x 单调递增，则()f x 仅有一个零点，B 正确；对于C ，2()313(f x x x x '=-=-+，()f x 的极大值为(10f =->，极小值为10f =->， 可知()f x 仅有一个零点，C 正确，对于D ，若取2b =，则()f x 的极大值为(1)4f -=，极小值为f （1）0=，此时()f x 有两个零点，D 错误； 故选：BC ．16．（2022•丹东模拟）设0a >，1a ≠，0b >，1b ≠，()f x '为函数()x x f x a b =+的导函数，已知()f x 为偶函数，则( )A ．f （1）的最小值为2B ．()f x '为奇函数C ．()f x '在R 内为增函数D ．()f x 在(0,)+∞内为增函数【答案】BCD【答案详解】()f x 是偶函数， ()()f x f x ∴-=，即x x x x a b a b --+=+， 即11x x x x a b a b+=+， 得x xx x x x a b a b a b +=+，得()1x ab =，得1ab =，即1b a=， 则()x x f x a a -=+， 0a > ，1a ≠，f ∴（1）12a a =+=…，当且仅当1a =时，取等号，但1a ≠，f ∴（1）2>，故A 错误，()()x x x x f x a lna a lna lna a a --'=-=-，则()()()()x x x x f x lna a a lna a a f x --'-=-=--=-'，即()f x '为奇函数，故B 正确，当1a >时，0lna >，x y a =为增函数，x y a -=为减函数，则x x y a a -=-为增函数，此时()f x '为增函数， 当01a <<时，0lna <，x y a =为减函数，x y a -=为增函数，则x x y a a -=-为减函数，此时()f x '为增函数，综上()f x '为增函数，故C 正确，当0x >时，由C 知，()f x '在(0,)+∞上为增函数，则()(0)110f x f '>'=-=，即()0f x '>恒成立，则()f x 在(0,)+∞上为增函数，故D 正确，故选：BCD ．17．（2022•铁东区校级模拟）已知函数224,0()21,0x x x x f x x -⎧+<=⎨-⎩…，若关于x 的方程24()4()230f x a f x a -⋅++=有5个不同的实根，则实数a 的取值可以为( ) A ．32-B ．43-C ．65-D ．76-【答案】BCD【答案详解】画出()f x 的图象如右上图，令()f x t =， 要使x 的方程有5个不同的实根，∴由()f x 图象可知关于t 的方程244230t at a -++=必须有2个不等实根1t ，2t ，∴关于x 的两个简单方程1()f x t =与2()f x t =总共有5个不同实根，即如图()y f x =分别与1y t =与2y t =一共有5个交点，交点的横坐标即为根， 110t ∴-<<，221t -<<-或20t =或21t =-，①当20t =时，代入方程244230t at a -++=， 得32a -=，2460t t ∴+=，∴13(1,0)2t =-∉-，∴32a ≠-； ②当21t =-时，代入方程244230t at a -++=，得76a =-，26710t t ∴++=，∴11(1,0)6t =-∈-，∴76a =-；③当1(1,0)t ∈-，2(2,1)t ∈--时，设2()4423g t t at a =-++，结合右图，∴(2)10190(1)670(0)230g a g a g a -=+>⎧⎪-=+<⎨=+>⎪⎩，∴3726a -<<-，综合①②③可得37(,]26a ∈--，BCD ∴都正确．故选：BCD ．18．（2022•沈河区校级四模）数列{}n a 的首项12a =，对一切正整数n ，都有121n n n a a a +=-，则( ) A ．对一切正整数n 都有1n a >B ．数列{}n a 单调递减C ．存在正整数n ，使得22n n a a =D ．*10()101nnn N ∈-都是数列{}n a 中的项 【答案】ABD【答案详解】因为121n n n a a a +=-，所以11n n n n a a a a +-=-，即1(1)1n n n a a a +-=-，即111n n na a a +--=． 所以1111111111n n n n n n a a a a a a +-+===+----，故111111n n a a +-=--，1111a =-． 所以1{}1n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以11(1)1n n n a =+-=-，故11n a n=+． 因为111n+>，所以A 选项正确，又因为11111(1)01(1)n n a a n n n n +--=+-+=<++，所以 1n n a a +<，故B 选项正确，因为对任意正整数n 都有11n a a <…，即12n a <…，所以222n a >．所以不存在正整数n 使2n n a a =，所以C 选项不正确，又因为*10(101)1()101101n n nnn N -+=∈--． 且*(101)nN -∈，所以10101nn-都是数列{}n a 的项，故D 选项正确． 故选：ABD ．19．（2022•锦州模拟）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率80%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，用1A ，2A ，3A 分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B 表示买到的是优质品，则( ) A ．2()30%P A = B ．3()70%P BA = C ．1(|)80%P B A = D ．P （B ）81%=【答案】ACD【答案详解】 乙品牌市场占有率为30%，2()30%P A ∴=，故A 正确； 333()()(|)20%70%14%P BA P A P B A ==⨯=，故B 错误；1(|)80%P B A =，故C 正确；P （B ）112233()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A =++ 50%80%30%90%20%70%=⨯+⨯+⨯ 81%=，故D 正确．故选：ACD ．20．（2022•大连二模）已知在平面直角坐标系中，(1,0)A -，(1,0)B ，(1,1)C ，(2,0)D -，(2,0)E ，P为该平面上一动点，记直线PD ，PE 的斜率分别为1k 和2k ，且1234k k ⋅=-，设点P 运动形成曲线F ，点M ，N是曲线F 上位于x 轴上方的点，且//MA NB ，则下列说法正确的有( )A ．动点P 的轨迹方程为22143x y += B ．PAB ∆ C ．||||PA PC +的最大值为5D ．||||MA NB ⋅的最小值为94【答案】【答案详解】由题意得， 设点0(P x ，00)(0)y y ≠，则001200,22y y k k x x ==+-， 由1234k k =-，得00003224y y x x ⨯=-+-，整理，得220001(0)43x y y +=≠，BCD即动点P 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠，故A 错误； 当点P 运动到椭圆的上顶点时，APB ∆的面积最大，此时122APB S ∆=⨯=，故B 正确； 由椭圆的定义，得||2||4||PA a PB PB =-=-， 而||||||1PC PB BC -=…，当且仅当P 、B 、C 三点共线且点P 位于第四象限时等号成立， 所以(||||)4(||||)5max max PA PC PC PB +=+-=，故C 正确；由椭圆的焦半径公式，得22||,||cos cos b b MA NB a c a c αα==-+，（其中)MAE NBE α=∠=∠， 有4222||||cos b MA NB a c α⋅=-， 当即时，取得最小值， 此时，得，所以，故正确． 故选：．21．（2022•辽宁模拟）使直线与曲线有且只有一个公共点的一组，的值为 A ．， B ．，C ．，D ．，【答案】【答案详解】由题知直线与曲线有且只有一个公共点，即只有一个零点，即是单调函数或该函数的极小值大于零或极大值小于零，，当时，恒成立，此时原函数单调递增，则函数只有一个零点，故正确； 当时，由得， 当时，时，，故是的极大值点，是的极小值点， 所以①，或②， 易知选项、满足①式，正确，选项①②式都不满足错误．cos 0α=90α=︒||||MA NB ⋅33(1,),(1,)22M N -33||,||22MA NB ==9||||4MA NB⋅=D BCD y ax b =+3y x =a b ()3a =2b =-3a =3b =-1a =2b =-1a =-2b =-BCD y ax b =+3y x =3()f x x ax b =--()f x 2()3f x x a '=-0a …()0f x '…()f x D 0a >()0f x '=x =(,)x ∈-∞+∞ ()0f x '>(x ∈()0f x '<x =()f x x =()f x 0f b =-> (0f b =-< B C BC A A故选：．22．（2022•辽宁二模）已知非零实数，满足，则下列不等关系一定成立的是 A ． B ．C ．D ． 【答案】【答案详解】对于，， 则，故正确，对于，，，故正确，对于，由可得，，则， ，故正确，对于，令，，满足，但，故错误． 故选：．23．（2022•辽宁模拟）对于非零向量，定义运算“．已知两两不共线的三个向量，则下列结论正确的是A ．若，则B ．C ．D ．【答案】【答案详解】对于，因为，所以，所以则，所以对； 对于，在棱长为1的正方体中，三个向量，如图所示，则左式，右式，所以左式右式，所以错；对于，因为，所以右式，，左式，所以对；对于，在棱长为1的正方体中，三个向量，如图所示，则左式，右式，所以左式右式，所以错．BCD a b ||1a b >+()221a b >+122a b +>24a b >||1ab b>+ABC A ||10110a b >++=>…2222(||1)||2||11a b b b b >+=++=+A B ||11a b b >++ …122a b +∴>B C A 222||1a b b >++222242||142||14||(||1)0a b b b b b b b b ->++-++-=-厖24a b ∴>C D 4a =2b =||1a b >+||||1ab b<+D ABC ,m n :||||sin?,?m n m n m n ''=⊗⊗,,a b c()a b ⊥ ||||a b a b =⊗()()a b c a b c =⊗⊗()a b a b =-⊗⊗()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗AC A a b ⊥ ,90a b <>=︒ ||||sin 90||||a b a b a b =⋅︒=⋅⊗A B ,,a b c c = a =≠B C ,,a b a b π<>=-<->||||sin a b a =-⋅⋅<- ||||sin b a b a >=⋅⋅< b >= C D ,,a b c1==11112=⋅=⋅=≠D故选：．24．（2022•鞍山模拟）已知函数，若有四个不同的实数解，，，，且满足，则下列命题正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】【答案详解】分别画出与的图象，如图所示：若有四个解，则，故正确； ，AC 22log ,(02)()813,(2)x x f x x x x ⎧<<=⎨-+⎩…()f x a =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<()01a <<1292)2x x +∈123421(10,2x x x x +++∈122x x +∈ACD ()y f x =y a =()f x a =01a <<A 2122|log ||log |x x =， ， ，， 由于在为增函数， ，， ，故错误；， ，， 易知在为增函数， ， ，，故正确； ， ，， 由于在递减，在，为增函数，取最小值是，且， 故的取值范围是，故正确； 故选：．25．（2022•辽宁三模）已知函数的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为，图象沿轴向左平移单位后，得到一个偶函数的图象，则下列结论正确的是A ．函数图像的一个对称中心为B ．当时，函数的最小值为2122log log x x ∴-=∴211x x =1222122x x x x ∴+=+212x <<2212y x x =+(1,2)∴2212123x x +>+=12192422x x +<+=1292(3,)2x x ∴+∈B211x x =12221x x x x ∴+=+212x <<221y x x =+(1,2)12522x x ∴<+<348x x += 123421(10,)2x x x x ∴+++∈C211x x =122222x x x x ∴+=+212x <<222y x x =+2)2x ∴=y 3y <122x x +3)D ACD ()2cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><2πx 12π()()f x 5(,0)12π[,62x ππ∈()f xC ．若，则D ．函数的减区间为【答案】【答案详解】函数的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为，所以：，故； 由于函数的图象沿轴向左平移单位后，得到偶函数，故为偶函数．因为就是偶函数，所以，，，．所以；对于：当时，，故错误；（小技巧：将原函数向左平移个单位，若得到的是奇函数，即对称中心为，，题中向左平移后不是奇函数所以不对：若向左平移个单位得到偶函数，即可得到对称轴为．对于：当时，，函数的最小值为正确； 对于：利用平方差公式原式，，． （展开），故正确； 对于的单调减区间为．．，故正确； 故选：．26．（2022•沈阳模拟）函数，的部分图像如图所示，且（a ）（b ），对不同的，，，若，有444sin cos ((0,52πααα-=-∈()4f πα+()f x 7[,],1212k k k Z ππππ++∈BCD ()2cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><2πT π=2ω=x 12π()2cos(())2cos(2)126g x x x ππωϕϕ=++=++cos x 6k πϕπ+=6k πϕπ=-+||2πϕ<∴6πϕ=-()2cos(26f x x π=-A 512x π=52(2cos 01232f ππ==-≠A 12π(12π0)12π12πB [,]62x ππ∈52666x πππ-剟5()2cos 6min f x π==B C 2222224(sin cos )(sin cos )(sin cos )5αααααα=+-=-=-224cos sin 5αα-=4cos 25α∴=(2cos(22cos(2)4263f ππππααα+=+-=+41342(cos 2cossin 2sin )2(3352525ππαα-=-=⨯-⨯=C :cosD x (02,2)k k πππ++∴2226k x k ππππ-+剟∴71212k x πππ+剟D BCD ()sin(2)(0f x A x A ϕ=+>||2πϕ…f f =0=1x 2[x a ∈]b 12()()f x f x =12()f x x +=()A ．B ．C ．在，上单调递增D ．在区间，内有极大值 【答案】【答案详解】根据函数，的部分图像，可得，周期， 由（a ）（b ）得． ，，，，．由图像可得，， ，即．，，， ， ，，可得，故正确；根据，可得，故错误；在，上，，，函数单调递增，故正确； 在区间，内，，有极大值，故正确， 故选：．27．（2022•辽宁模拟）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，设，则下列说法正确的是(0)f =3a b π+=()f x 5(12π-)12π()f x (3π5)6πACD ()sin(2)(0f x A x A ϕ=+>||2πϕ…2A =22T ππ==f f =0=22T b a π-==1x 2[x a ∈]b 12()()f x f x =12x x a b ∴+=+1212(2sin()2sin()22x x f x x a b ϕϕ+=++=++=2a b πϕ∴++=2a b πϕ+=-12()f x x +=()f a b ∴+=2sin(22)a b ϕ∴++=sin(22)sin(2)sin()sin 2a b ϕπϕϕπϕϕ∴++=-+=-==3πϕ∴=()2sin(2)3f x x π=+(0)2sin(03f π=+=A 2a b πϕ+=-6a b π+=B 5(12π-)12π2(32x ππ+∈-)2π()f x C (3π56π2(,2)3x πππ+∈()f x D ACD 1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>M 12F MF θ∠=()。
高考数学中档大题规范练中档大题6.docx
中档大题6 导数应用1.已知函数f (x )＝e x (x 2＋bx ＋c )，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋1. (1)求f (x )的解析式； (2)讨论f (x )的单调区间.2.(2015·苏州模拟)已知函数f (x )＝12x 2＋2a ln x (a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x ＋f (x )在区间[1,4]上是单调递增函数，求实数a 的取值范围.3.设函数f (x )＝x 2＋b ln(x ＋1)，其中b ≠0. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：当b ＝1时，对于任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>52.4.已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围.5.已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)若函数f (x )在区间[2,6]内有极值，求a 的取值范围.6.已知函数f (x )＝ln x －32＋ax，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[4，＋∞)上的最小值； (2)令g (x )＝f (x )＋32－ax.①若方程e 2g (x )＝ln x －f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上有解，求实数a 的取值范围；②若G (k )＝g (k )＋g (k ＋1)，k ≥2，k ∈N *，证明：当n ≥2，n ∈N *时，总有G (2)＋G (3)＋…＋G (n )>43.答案精析中档大题6 导数应用1.解 (1)因为f (x )＝e x (x 2＋bx ＋c )， 所以f ′(x )＝e x [x 2＋(2＋b )x ＋b ＋c ].因为y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋1， 又f ′(0)＝4，所以b ＋c ＝4. 又f (0)＝c ＝1，所以b ＝3. 所以f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1). (2)由(1)得f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1)， 所以f ′(x )＝e x (x 2＋5x ＋4). 令f ′(x )>0，即x 2＋5x ＋4>0， 解得x <－4或x >－1； 令f ′(x )<0，即x 2＋5x ＋4<0， 解得－4<x <－1.综上，f (x )的单调递增区间为(－∞，－4]和[－1，＋∞)，单调递减区间为[－4，－1]. 2.解 (1)因为f (x )＝12x 2＋2a ln x (a ∈R )，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋2a x ＝x 2＋2ax.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). ②当a <0时，令f ′(x )＝0⇒x 2＋2a ＝0⇒x 2＝－2a ， 解得x ＝－2a 或x ＝－－2a (舍). 所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x (0，－2a )－2a (－2a ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－2a ]，单调递增区间是[－2a ，＋∞).综上，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递减区间是(0，－2a ]，单调递增区间是[－2a ，＋∞). (2)因为g (x )＝2x ＋f (x )＝2x ＋12x 2＋2a ln x ，所以g ′(x )＝－2x 2＋x ＋2a x ＝x 3＋2ax －2x 2，因为g (x )＝2x ＋f (x )在区间[1,4]上是单调递增函数，所以g ′(x )≥0，即x 3＋2ax －2≥0在区间[1,4]上恒成立， 即2a ≥2x －x 2在区间[1,4]上恒成立.设h (x )＝2x－x 2 (x ∈[1,4])，则h ′(x )＝－2x2－2x ＝－⎝⎛⎭⎫2x 2＋2x <0， 所以h (x )在[1,4]上单调递减，则h (x )∈⎣⎡⎦⎤－312，1. 所以2a ≥1，即a ≥12.故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 3.(1)解 函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 求导得f ′(x )＝2x ＋bx ＋1＝2x 2＋2x ＋b x ＋1，令g (x )＝2x 2＋2x ＋b ，①当g (x )＝0在(－1，＋∞)上无解，即b >12时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增.②当g (x )＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根，即2x 2＋2x ＋b ＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8b >0，g (－1)>0，即0<b <12，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－1－1－2b 2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1－2b 2，－1＋1－2b 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1＋1－2b 2，＋∞上单调递增.③当g (x )＝0在(－1，＋∞)上有两个相等的实根，即b ＝12时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增.(2)证明 当b ＝1时，f (x )＝x 2＋ln(x ＋1)， 令h (x )＝f (x )－52x ＝x 2＋ln(x ＋1)－52x (x ≥1)，h ′(x )＝2x ＋1x ＋1－52＝(4x ＋3)(x －1)2(x ＋1)，当x ≥1时，h ′(x )≥0，所以函数h (x )在[1，＋∞)上是增函数. 由已知，不妨设1≤x 1<x 2，则h (x 1)<h (x 2)， f (x 1)－52x 1<f (x 2)－52x 2，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>52.4.解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (a ≠0，x ≠0)，令x ＝－1，得f (－1)＝1－a . 令x ＝1，得f (1)＝1＋a .∴f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1).∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. (2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数， 则f ′(x )≥0在[2，＋∞)上恒成立， 即2x －ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 3在[2，＋∞)上恒成立， 只需a ≤(2x 3)min ，x ∈[2，＋∞)， ∴a ≤16，∴a 的取值范围是(－∞，16]. 5.解 (1)因为f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －a ＋1x ＝x 2－ax ＋1x.令f ′(x )＝0，即x 2－ax ＋1＝0，则Δ＝a 2－4. ①若a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，f ′(x )≥0，所以当－2≤a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点. ②若a 2－4>0，即a <－2或a >2时， 方程x 2－ax ＋1＝0的解为x ＝a ±a 2－42.(ⅰ)当a >2时，0<a －a 2－42<a ＋a 2－42.所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a －a 2－42和⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －a 2－42，a ＋a 2－42. 所以f (x )的极大值点为a －a 2－42，f (x )的极小值点为a ＋a 2－42.(ⅱ)当a <－2时，a －a 2－42<0，a ＋a 2－42<0.所以当a <－2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点. 综上，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点；当a >2时，f (x )的极大值点为a －a 2－42，f (x )的极小值点为a ＋a 2－42.(2)因为函数f (x )在区间[2,6]内有极值， 所以f ′(x )＝0在区间[2,6]内有解， 所以x 2－ax ＋1＝0在区间[2,6]内有解， 所以a ＝x ＋1x 在区间[2,6]内有解.设h (x )＝x ＋1x，对x ∈[2,6]，h ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x2>0，所以h (x )在[2,6]内单调递增. 所以h (x )∈⎣⎡⎦⎤52，376. 故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤52，376.6.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －32＋1x ，当x ∈[4，＋∞)时，f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2>0，所以函数f (x )在[4，＋∞)上单调递增，当x ＝4时，f (x )取得最小值f (4)＝ln 4－54.(2)g (x )＝f (x )＋32－ax＝ln x .①因为原方程即e 2ln x ＝32－a x 在⎣⎡⎦⎤12，2上有解，所以x 2＝32－a x 在⎣⎡⎦⎤12，2上有解，所以a ＝－x 3＋32x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2.令y ＝－x 3＋32x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则y ′＝－3x 2＋32，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，由y ′＝0，得x ＝22(舍去－22)，则x ∈⎣⎡⎭⎫12，22时，y ′>0，函数y ＝－x 3＋32x 在⎣⎡⎭⎫12，22上递增，x ∈⎝⎛⎦⎤22，2时，y ′<0，函数y ＝－x 3＋32x 在⎝⎛⎦⎤22，2上递减，所以当x ＝22时，y 取得极大值22. 又x ＝12时，y ＝58，x ＝2时，y ＝－5，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－5，22. ②因为G (k )＝g (k )＋g (k ＋1)＝ln k ＋ln(k ＋1)＝ln k (k ＋1)，k ≥2，k ∈N *.由(1)可知函数f (x )＝ln x －32＋1x ≥f (4)＝ln 4－54>0，即ln x >32－1x 对x ∈[4，＋∞)恒成立，而k (k ＋1)>4，k ≥2，k ∈N *，所以G (k )＝ln k (k ＋1)>32－1k (k ＋1)，k ≥2，k ∈N *恒成立，所以G (2)＋G (3)＋…＋G (n )>32(n －1)－⎝⎛⎭⎫12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝32(n －1)－(12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝3(n －1)2－12＋1n ＋1＝3n 2＋1n ＋1－2＝3(n ＋1)2＋1n ＋1－72，n ≥2，n ∈N *恒成立.又3(n ＋1)2＋1n ＋1－72在[2，＋∞)上递增，且n ＝2时，3(n ＋1)2＋1n ＋1－72＝92＋13－72＝43，所以当n ≥2，n ∈N *时，总有G (2)＋G (3)＋…＋G (n )>43.。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作中档大题规范练 中档大题规范练1 三角函数1．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的值域．解 (1)由于|a |＝(3sin x )2＋(sin x )2＝2|sin x |， |b |＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 而|a |＝|b |，则有2|sin x |＝1，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则有sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)由于f (x )＝a·b ＝3sin x cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则有2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取得最大值1，此时f (x )取得最大值32；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取得最小值－12，此时f (x )取得最小值0. 故f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，32. 2．已知0<α<π2，π2<β<π且tan α2＝12，sin(α＋β)＝513.(1)分别求cos α与cos β的值； (2)求tanα－β2的值． 解 (1)cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝35，∵0<α<π2，∴sin α＝45.∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，sin(α＋β)＝513， ∴cos(α＋β)＝－1213.∴cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1213·35＋513·45＝－1665. (2)∵2cos 2β2－1＝cos β＝－1665且β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴cos β2＝7130，∴sin β2＝9130.∴tan β2＝97.∴tan α－β2＝tan α2－tanβ21＋tan α2tanβ2＝－1123.3．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2.(1)求实数a 的值及f (x )的最小正周期； (2)在坐标纸上作出f (x )在[0，π]上的图象． 解 (1)f (x )＝4cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1， 最大值为3＋a ＝2，∴a ＝－1.T ＝2π2＝π.(2)列表如下：2x ＋π6π6 π2 π 3π2 2π 13π6 x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π f (x )12－21画图如下：4．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos 2x －14，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π (k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为{x |x ＝k π－π8，k ∈Z }．5．如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解 设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin 60°＝AM sin (120°－θ).因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ)．在△AMP 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)cos(60°＋θ) ＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)． 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3. 所以设计∠AMN ＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小． 6．设f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3，x ∈[0,2π]． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调区间；(2)在锐角△ABC 中，若f (A )＝2，a ＝2，b ＝6，求∠C 及边c .解 (1)因为f (x )＝sin x ＋sin x cos π6＋cos x sin π6－⎝⎛⎭⎫cos x cos 4π3－sin x sin 4π3＝sin x ＋32sin x ＋12cos x ＋12cos x －32sin x ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π. 由x ∈[0,2π]，可知x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，9π4. 当x ＋π4∈⎣⎡⎭⎫π4，π2，即x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，f (x )为单调递增函数； 当x ＋π4∈⎣⎡⎭⎫π2，3π2，即x ∈⎣⎡⎭⎫π4，5π4时，f (x )为单调递减函数； 当x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤3π2，9π4，即x ∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π时，f (x )为单调递增函数． 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫0，π4，⎣⎡⎦⎤5π4，2π， 函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫π4，5π4. (2)由f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝2， 得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1，故A ＋π4＝π2，得A ＝π4. 由正弦定理知b sin B ＝a sin A ，即6sin B ＝2sinπ4，得sin B ＝32，又B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 因此B ＝π3，所以C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝5π12. 由正弦定理知，c sin C ＝a sin A ＝222＝22，得c ＝22sin 5π12＝22·6＋24＝3＋1.。
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中档大题8综合练1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sin A＋3cos A＝2sin B.(1)求角C的大小；(2)求a＋bc的最大值.2.某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如图.(1)比较这两名队员在比赛中得分的平均值和方差的大小；(2)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超．．过．15分次数X的概率分布和均值.3.如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面ABB 1A 1为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1＝60°，AB ⊥B 1C .(1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面BB 1C 1C ；(2)求二面角B —AC —A 1的余弦值.4.设公差不为0的等差数列{a n }的首项为1，且a 2，a 5，a 14构成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .5.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)经过点M (－2，－1)，离心率为22.过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q .(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：直线PQ 的斜率为定值，并求这个定值；(3)∠PMQ 能否为直角？证明你的结论.6.已知f (x )＝e x(x －a －1)－x 22＋ax . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若x ≥0时，f (x )＋4a ≥0，求正整数a 的值.(参考值：e 2≈7.389，e 3≈20.086)答案精析中档大题8 综合练1.解 (1)sin A ＋3cos A ＝2sin B ，即2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝2sin B ，则sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝sin B . 因为0<A ，B <π，又a ≥b 进而A ≥B ，所以A ＋π3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝π3. (2)由正弦定理及(1)得a ＋bc ＝sin A ＋sin B sin C＝23[sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3] ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 当A ＝π3时，a ＋b c取最大值2. 2.解 (1)x 甲＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x 乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75， s 2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. 甲、乙两名队员的得分平均值相等；甲的方差比乙的方差大.(2)根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝38，p 2＝12，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316，依题意，X ～B ⎝⎛⎭⎫2，316，P (X ＝k )＝C k 2⎝⎛⎭⎫316k ⎝⎛⎭⎫13162－k ，k ＝0,1,2.X 的概率分布为 X0 1 2 P169256 78256 9256X 的均值E (X )＝2×316＝38.3.(1)证明 由侧面ABB 1A 1为正方形，知AB ⊥BB 1.又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB ⊥平面BB 1C 1C ，又AB ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面BB 1C 1C .(2)解 建立如图所示的坐标系O —xyz .其中O 是BB 1的中点，Ox ∥AB ，OB 1为y 轴，OC 为z 轴.设AB ＝2，则A (2，－1,0)，B (0，－1,0)，C (0,0，3)，A 1(2,1,0).AB →＝(－2,0,0)，AC →＝(－2,1，3)，AA 1→＝(0,2,0).设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ABC 的法向量，则n 1·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 1＝0，－2x 1＋y 1＋3z 1＝0.取z 1＝－1，得n 1＝(0，3，－1).设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面ACA 1的法向量，则n 2·AA 1→＝0，n 2·AC →＝0， 即⎩⎨⎧2y 2＝0，－2x 2＋y 2＋3z 2＝0.取x 2＝3，得n 2＝(3，0,2).所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－77. 因此二面角B —AC —A 1的余弦值为－77. 4.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 25＝a 2a 14，即(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )，解得d ＝0(舍去)或d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，当n ＝1时，b 1a 1＝12； 当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝12n . ∴b n a n ＝12n ，n ∈N *. 由(1)知a n ＝2n －1，n ∈N *，∴b n ＝2n －12n ，n ∈N *. ∴T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ， 12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1. 两式相减，得12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝32－12n －1－2n －12n ＋1， ∴T n ＝3－2n ＋32n . 5.(1)解 由题设，得4a 2＋1b 2＝1，① 且a 2－b 2a ＝22，② 由①②解得a 2＝6，b 2＝3，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)证明 记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2).设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得(1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2. 设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2. 因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k 28k 1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值.(3)解 设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ，假设∠PMQ 为直角，则k ·(－k )＝－1，k ＝±1.若k ＝1，则直线MQ 的方程为y ＋1＝－(x ＋2)，与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0，该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；同理，若k ＝－1也不合题意.故∠PMQ 不可能为直角.6.解 (1)f ′(x )＝e x (x －a )－x ＋a ＝(x －a )(e x －1)，由a >0，得：x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.所以，f (x )的增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)；减区间为(0，a ).(2)由(1)可知，x ≥0时，f (x )min ＝f (a )＝－e a＋a 22， 所以f (x )＋4a ≥0，得e a－a 22－4a ≤0. 令g (a )＝e a－a 22－4a ，则g ′(a )＝e a －a －4； 令h (a )＝e a －a －4，则h ′(a )＝e a －1>0，所以h (a )在(0，＋∞)上是增函数，又h (1)＝e －5<0，h (2)＝e 2－6>0，所以∃a 0∈(1,2)使得h (a 0)＝0，即a ∈(0，a 0)时，h (a )<0，g ′(a )<0；a ∈(a 0，＋∞)时，h (a )>0，g ′(a )>0，所以g (a )在(0，a 0)上单调递减，在(a 0，＋∞)上单调递增.又因为g (1)＝e －12－4<0，g (2)＝e 2－10<0，g (3)＝e 3－92－12>0， 所以a ＝1或2.。
高考理科数学总复习中档大题规范练6：新定义、推理证明含真题分类
6.与新定义、推理证明有关的压轴小题1.有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍，在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票，则只持有B股票的股民人数是()A.7B.6C.5D.4答案A解析设只持有A股票的人数为X(如图所示)，则持有A股票还持有其它股票的人数为X－1(图中d＋e＋f的部分)，因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B或C股票，则只持有了B或C股票的人数和为X(图中b＋c部分).假设只同时持有了B和C股票的人数为a，那么X＋X－1＋X＋a＝28，即3X＋a＝29，则X的取值可能是：9，8，7，6，5，4，3，2，1.与之对应的a值为：2，5，8，11，14，17，20，23，26.因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得b＋a＝2(c＋a)，即X－a＝3c，故X＝8，a＝5时满足题意，故c＝1，b＝7，故只持有B股票的股民人数是7，故选A.2.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A.77B.49C.45D.30答案C解析因为集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}所以集合A中有5个元素(即5个点)，集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)，集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的横纵坐标都为整数的点(除去四个顶点)，即7×7－4＝45(个).3.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ](其中[x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋510 B.y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋410 C.y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋310 D.y ＝⎣⎡⎦⎤x 10 答案 C解析 根据题意，当x ＝16时，y ＝1，所以选项A ，B 不正确，当x ＝17时，y ＝2，所以D 不正确，故选C.4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A.设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B.由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C.由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πab D.由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 答案 A解析 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确.5.给出以下数对序列： (1，1) (1，2)(2，1) (1，3)(2，2)(3，1) (1，4)(2，3)(3，2)(4，1) …若第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3，2)，则a nm 等于( )A.(m ，n －m ＋1)B.(m －1，n －m )C.(m －1，n －m ＋1)D.(m ，n －m ) 答案 A解析 由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，∴a nm ＝(m ，n －m ＋1).6.若函数f (x )，g (x )满足ʃ1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析 对①，ʃ1－1⎝⎛⎭⎫sin 12x ·cos 12x d x ＝ʃ1－112sin x d x ＝－12cos x|1－1＝0，则f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的正交函数；对②，ʃ1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ1－1(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x |1－1≠0，则f (x )，g (x )不是区间[－1，1]上的正交函数；对③，ʃ1－1x 3d x ＝14x 4|1－1＝0，则f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的正交函数. 7.已知点A (0，1)，点B 在曲线C 1：y ＝e x －1上，若线段AB 与曲线C 2：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点，则称点B 为曲线C 1与曲线C 2的一个“相关点”，记曲线C 1与曲线C 2的“相关点”的个数为n ，则( ) A.n ＝0 B.n ＝1 C.n ＝2 D.n ＞2 答案 B解析 设B (t ，e t－1)，则AB 的中点为P ⎝⎛⎭⎫t 2，e t2，所以有e t2＝2t ，e t ＝4t，所以“相关点”的个数就是方程e x ＝4x 解的个数，由于y ＝e x 的图象在x 轴上方，且是R 上的增函数，y ＝4x 在(0，＋∞)上是减函数，所以它们的图象只有一个交点，即n ＝1，故选B.8.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n ，则n 等于( )A.7B.8C.11D.15 答案 C解析 由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个盘子不同时操作的次数(23－1)要多，比四个盘子不同时操作的次数(24－1)要少，相当于与操作三个不同盘子的时候相比，最上面的那个动了几次，就会增加几次，故游戏结束需要移动的最少次数为11.9.定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )图象的两个端点为A ，B ，M (x ，y )是f (x )图象上任意一点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b ，λ∈[0，1].已知向量ON →＝λOA →＋(1－λ)OB →，若不等式|MN →|≤k 恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”.若函数y ＝x －1x在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为( )A.[0，＋∞)B.⎣⎡⎭⎫112，＋∞C.⎣⎡⎭⎫32＋2，＋∞D.⎣⎡⎭⎫32－2，＋∞ 答案 D解析 由题意可知，A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，32， M ⎝⎛⎭⎫2－λ，2－λ－12－λ，N ⎝⎛⎭⎫2－λ，32(1－λ)， ∴|MN →|＝⎪⎪⎪⎪32－32λ－(2－λ)＋12－λ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ2＋12－λ－32，∵2－λ2＋12－λ≥22－λ2·12－λ＝2，当且仅当2－λ2＝12－λ，λ＝2－2时，等号成立， 又∵λ∈[0，1]，∴2－λ∈[1，2]， ∴2－λ2＋12－λ≤32，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ2＋12－λ－32max ＝32－2，即实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32－2，＋∞. 10.(四川遂宁、广安、眉山、内江四市联考)已知函数y ＝f (x )与y ＝F (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝F (x )在区间[a ，b ]同时递增或同时递减时，把区间[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y ＝||2x －t 的“不动区间”，则实数t 的取值范围是( ) A.(0，2] B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤12，2 D.⎣⎡⎦⎤12，2∪[4，＋∞) 答案 C解析 易知y ＝|2x －t |与y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x －t 在[1，2]上单调性相同，当两个函数递增时，y ＝|2x －t |与y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x －t 的图象如图1所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log 2t ≤1，－log 2t ≤1，解得12≤t ≤2；当两个函数递减时，y ＝|2x －t |的图象如图2所示，此时y ＝|2x －t |关于y 轴对称的函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x －t 不可能在[1，2]上为减函数.综上所述，12≤t ≤2，故选C.11.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10…根据以上排列规律，数阵中第n (n ＞3)行从左至右的第3个数是________. 答案 n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)＝n (n －1)2个，即n 2－n2个，因此第n 行从左至右的第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.12.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”. 已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为__________.答案 b n ＝2n －1(n ∈N *)解析 设等差数列{b n }的公差为d ，由S n S 2n 为常数，设S n S 2n ＝k 且b 1＝1，得n ＋12n n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0， 因为对任意正整数n 上式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧d (4k －1)＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *). 13.已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， …，(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；(2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5，a 3＝cos π7cos 2π7cos 3π7，…，前n 项和S n ＝1 0231 024，则n ＝________.答案 (1)cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) (2)10解析 (1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ，故可以猜想出结论为cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cosn π2n ＋1＝12n (n ∈N *). (2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n ＝2n －12n ＝1 0231 024，解得n ＝10.14.(·四川)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) 答案 ②③解析 对于①，若令A (1，1)，则其伴随点为A ′⎝⎛⎭⎫12，－12，而A ′⎝⎛⎭⎫12，－12的伴随点为(－1，－1)，而不是P .故错误；对于②，令单位圆上点的坐标为P (cos x ，sin x )，其伴随点为P ′(sin x ，－cos x )仍在单位圆上，故②正确；对于③，设曲线f (x ，y )＝0关于x 轴对称，则f (x ，－y )＝0与曲线f (x ，y )＝0表示同一曲线，其伴随曲线分别为f n ⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0与f n⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0与f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0的图象关于y 轴对称，所以③正确；对于④，反例为直线y ＝1，取三个点A (0，1)，B (1，1)，C (2，1)，这三个点的伴随点分别是A ′(1，0)，B ′⎝⎛⎭⎫12，－12，C ′⎝⎛⎭⎫15，－25，而这三点不在同一条直线上.故④错误.所以正确的序号为②③.。
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中档大题6 导数应用1.已知函数f (x )＝e x(x 2＋bx ＋c )，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋1. (1)求f (x )的解析式； (2)讨论f (x )的单调区间.2.(2015·苏州模拟)已知函数f (x )＝12x 2＋2a ln x (a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在区间[1,4]上是单调递增函数，求实数a 的取值范围.3.设函数f (x )＝x 2＋b ln(x ＋1)，其中b ≠0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：当b ＝1时，对于任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>52.4.已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R ). (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围.5.已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)若函数f (x )在区间[2,6]内有极值，求a 的取值范围.6.已知函数f (x )＝ln x －32＋ax，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[4，＋∞)上的最小值； (2)令g (x )＝f (x )＋32－ax .①若方程e2g (x )＝ln x －f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解，求实数a 的取值范围； ②若G (k )＝g (k )＋g (k ＋1)，k ≥2，k ∈N *，证明：当n ≥2，n ∈N *时，总有G (2)＋G (3)＋…＋G (n )>43.答案精析中档大题6 导数应用1.解 (1)因为f (x )＝e x (x 2＋bx ＋c )， 所以f ′(x )＝e x [x 2＋(2＋b )x ＋b ＋c ].因为y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋1， 又f ′(0)＝4，所以b ＋c ＝4. 又f (0)＝c ＝1，所以b ＝3. 所以f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1). (2)由(1)得f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1)， 所以f ′(x )＝e x (x 2＋5x ＋4). 令f ′(x )>0，即x 2＋5x ＋4>0， 解得x <－4或x >－1； 令f ′(x )<0，即x 2＋5x ＋4<0， 解得－4<x <－1.综上，f (x )的单调递增区间为(－∞，－4]和[－1，＋∞)，单调递减区间为[－4，－1]. 2.解 (1)因为f (x )＝12x 2＋2a ln x (a ∈R )，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x ＋2a x ＝x 2＋2ax.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). ②当a <0时，令f ′(x )＝0⇒x 2＋2a ＝0⇒x 2＝－2a ， 解得x ＝－2a 或x ＝－－2a (舍). 所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：↘由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－2a ]，单调递增区间是[－2a ，＋∞).综上，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递减区间是(0，－2a ]，单调递增区间是[－2a ，＋∞). (2)因为g (x )＝2x ＋f (x )＝2x ＋12x 2＋2a ln x ，所以g ′(x )＝－2x 2＋x ＋2a x ＝x 3＋2ax －2x2， 因为g (x )＝2x＋f (x )在区间[1,4]上是单调递增函数，所以g ′(x )≥0，即x 3＋2ax －2≥0在区间[1,4]上恒成立， 即2a ≥2x－x 2在区间[1,4]上恒成立.设h (x )＝2x－x 2(x ∈[1,4])，则h ′(x )＝－2x2－2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋2x <0，所以h (x )在[1,4]上单调递减，则h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－312，1.所以2a ≥1，即a ≥12.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 3.(1)解 函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 求导得f ′(x )＝2x ＋bx ＋1＝2x 2＋2x ＋bx ＋1，令g (x )＝2x 2＋2x ＋b ，①当g (x )＝0在(－1，＋∞)上无解，即b >12时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增.②当g (x )＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根，即2x 2＋2x ＋b ＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8b >0，g (－1)>0，即0<b <12，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－1－1－2b 2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1－2b 2，－1＋1－2b 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1＋1－2b 2，＋∞上单调递增.③当g (x )＝0在(－1，＋∞)上有两个相等的实根，即b ＝12时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增.(2)证明 当b ＝1时，f (x )＝x 2＋ln(x ＋1)， 令h (x )＝f (x )－52x ＝x 2＋ln(x ＋1)－52x (x ≥1)，h ′(x )＝2x ＋1x ＋1－52＝(4x ＋3)(x －1)2(x ＋1)，当x ≥1时，h ′(x )≥0，所以函数h (x )在[1，＋∞)上是增函数. 由已知，不妨设1≤x 1<x 2，则h (x 1)<h (x 2)，f (x 1)－52x 1<f (x 2)－52x 2，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>52.4.解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax(a ≠0，x ≠0)， 令x ＝－1，得f (－1)＝1－a . 令x ＝1，得f (1)＝1＋a .∴f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1). ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. (2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数， 则f ′(x )≥0在[2，＋∞)上恒成立， 即2x －a x2≥0在[2，＋∞)上恒成立， 即a ≤2x 3在[2，＋∞)上恒成立， 只需a ≤(2x 3)min ，x ∈[2，＋∞)， ∴a ≤16，∴a 的取值范围是(－∞，16]. 5.解 (1)因为f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x －a ＋1x ＝x 2－ax ＋1x.令f ′(x )＝0，即x 2－ax ＋1＝0，则Δ＝a 2－4. ①若a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，f ′(x )≥0，所以当－2≤a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点. ②若a 2－4>0，即a <－2或a >2时， 方程x 2－ax ＋1＝0的解为x ＝a ±a 2－42. (ⅰ)当a >2时，0<a －a 2－42<a ＋a 2－42.所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a －a 2－42和⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －a 2－42，a ＋a 2－42.所以f (x )的极大值点为a －a 2－42，f (x )的极小值点为a ＋a 2－42.(ⅱ)当a <－2时，a －a 2－42<0，a ＋a 2－42<0.所以当a <－2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点. 综上，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点； 当a >2时，f (x )的极大值点为a －a 2－42，f (x )的极小值点为a ＋a 2－42.(2)因为函数f (x )在区间[2,6]内有极值， 所以f ′(x )＝0在区间[2,6]内有解， 所以x 2－ax ＋1＝0在区间[2,6]内有解， 所以a ＝x ＋1x在区间[2,6]内有解.设h (x )＝x ＋1x，对x ∈[2,6]，h ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x2>0，所以h (x )在[2,6]内单调递增.所以h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，376.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，376. 6.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －32＋1x ，当x ∈[4，＋∞)时，f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2>0，所以函数f (x )在[4，＋∞)上单调递增，当x ＝4时，f (x )取得最小值f (4)＝ln4－54.(2)g (x )＝f (x )＋32－ax ＝ln x .①因为原方程即e2ln x＝32－a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解，所以x 2＝32－a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解，所以a ＝－x 3＋32x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.令y ＝－x 3＋32x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则y ′＝－3x 2＋32，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，由y ′＝0，得x ＝22(舍去－22)，则x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时，y ′>0，函数y ＝－x 3＋32x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22上递增，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2时，y ′<0，函数y ＝－x 3＋32x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2上递减，所以当x ＝22时，y 取得极大值22. 又x ＝12时，y ＝58，x ＝2时，y ＝－5，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，22. ②因为G (k )＝g (k )＋g (k ＋1)＝ln k ＋ln(k ＋1)＝ln k (k ＋1)，k ≥2，k ∈N *.由(1)可知函数f (x )＝ln x －32＋1x ≥f (4)＝ln4－54>0，即ln x >32－1x 对x ∈[4，＋∞)恒成立，而k (k ＋1)>4，k ≥2，k ∈N *，所以G (k )＝ln k (k ＋1)>32－1k (k ＋1)，k ≥2，k ∈N *恒成立，所以G (2)＋G (3)＋…＋G (n )>32(n －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝32(n －1)－(12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝3(n －1)2－12＋1n ＋1＝3n 2＋1n ＋1－2＝3(n ＋1)2＋1n ＋1－72，n ≥2，n ∈N *恒成立.又3(n ＋1)2＋1n ＋1－72在[2，＋∞)上递增，且n ＝2时，3(n ＋1)2＋1n ＋1－72＝92＋13－72＝43，所以当n ≥2，n ∈N *时，总有G (2)＋G (3)＋…＋G (n )>43.。