2021高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第1节导数的概念及运算课件

答案：D
[典例 2] (2020·泉州质检)若曲线 y＝x2 与 y＝aln x(a
≠0)存在公共切线，则实数 a 的取值范围是( )
A．(0，2e]
B．(0，e]
C．(－∞，0)∪(0，2e] D．(－∞，0)∪(0，e] 解析：设曲线 y＝x2 的切点坐标为(x0，x20)，则切线方 程为 y＝2x0x－x20.
B．2
C．－2 D．e
解析：由已知得 f′(x)＝2f′(1)－1x，令 x＝1 得 f′(1)＝
2f′(1)－1，解得 f′(1)＝1，则 f(1)＝2f′(1)＝2.
答案：B
考点 2 导数的几何意义(自主演练)
1．(2020·安徽江南十校联考)曲线 f(x)＝1－2xln x在点
P(1，f(1))处的切线 l 的方程为( )
角度 抽象函数的导数 [典例 2] 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足关 系式 f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则 f(1)＝________． 解析：因为 f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x， 所以 f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x， 令 x＝2，得 f′(2)＝4＋3f′(2)＋12，则 f′(2)＝－94. 所以 f(1)＝1＋3×1×－94＋0＝－243. 答案：－243
(2)函数 f(x)的导函数． 函数 f′(x)＝ f（x＋ΔxΔ）x－f（x）为 f(x)的导函数． 2．导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义，就是 曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点 P 的 切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
解析：(1)f′(x0)表示 y＝f(x)在 x＝x0 处的切线斜率，(1)错． (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则 f′(x)＝－cos x，(2)错． (3)求 f′(x0)时，应先求 f′(x)，再代入求值，(3)错．
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
[教材衍化] 2．(人 A 选修 2－2·习题改编)已知函数 f(x)＝x＋x 2， 则函数在 x＝－1 处的切线方程是( ) A．2x－y＋1＝0 B．x－2y＋2＝0 C．2x－y－1＝0 D．x＋2y－2＝0 解析：由 f(x)＝x＋x 2，得 f′(x)＝（x＋22）2， 所以 f(－1)＝－1，f′(－1)＝2. 因此切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 2x－y＋1＝0. 答案：A
1．f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′ 是函数值 f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.
2.f（1x）′＝－[ff（′（xx））]2. 3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一 个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变 化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映 了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
由题意知 k1k2＝－1，即 1·－x120＝－1，解得 x20＝1， 又 x0>0，
所以 x0＝1. 又因为点 P 在曲线 y＝1x(x>0)上，所以 y0＝1， 故点 P 的坐标为(1，1)． 答案：(1，1)
1．求曲线在点 P(x0，y0)处的切线，则表明 P 点是切 点，只需求出函数在 P 处的导数，然后利用点斜式写出 切线方程，若切线垂直于 x 轴，则切线方程为 x＝x0.
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
Baidu Nhomakorabea
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
解析：因为 y′＝aex＋ln x＋1，所以 k＝ae＋1，
所以切线方程为 y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即 y＝(ae＋1)x－1.
因为已知切线方程为 y＝2x＋b，
所以abe＝＋－1＝1，2，解得ab＝ ＝e－－11，.
6．(2018·全国卷Ⅲ)曲线 y＝(ax＋1)ex 在点(0，1)处的 切线的斜率为－2，则 a＝________．
解析：因为 y′＝(ax＋a＋1)ex，所以当 x＝0 时，y′＝ a＋1，
所以 a＋1＝－2，得 a＝－3. 答案：－3
考点 1 导数的运算(多维探究) 角度 根据求导法则求函数的导数 [典例 1] 求下列函数的导数． (1)f(x)＝x2e＋x x； (2)f(x)＝x3＋2x－xx22ln x－1； (3)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2.
4.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)gf（（xx））′＝f′（x）g（x[g）（－x）f（]2x）g′（x）(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导 数间的关系为 yx′＝yu′·ux′．
y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝ x的导数.
2018·全国卷Ⅱ，T13
1.数学运算 2.直观想象
4.能利用基本初等函数的导数公式和导 2018·全国卷Ⅲ，T14
数的四则运算法则求简单函数的导数，
能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax
＋b)的导数).
1．导数的概念 (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数． 一般地，函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是 ΔΔxy＝ f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0），我们称它为函数 y＝f(x) 在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝ f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）．
1．求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函 数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
2．抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程 思想求解．
3．复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要 进行换元．
1．(角度 1)(2020·日照一中月考)已知函数 f(x)＝(x2 －a)ln x，f′(x)是函数 f(x)的导函数，若 f′(1)＝－2.则 a＝ ________．
设 y＝aln x 的切点为(x1，aln x1)，
该切线方程为 y＝xa1x－a＋aln x1. 由于两曲线有相同的公切线，
因此xa1＝2x0，－x20＝aln x1－a，
消去 x0，得 a＝4x21－4x21ln x1.
[概念思辨] 1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打 “×”)． (1)f′(x0)是 函 数 y＝ f(x) 在 x＝ x0 附 近 的 平 均 变 化 率．( ) (2)函数 f(x)＝sin(－x)的导数 f′(x)＝cos x．( ) (3)求 f′(x0)时，可先求 f(x0)，再求 f′(x0)．( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( )
[典题体验] 4．(2019·全国卷Ⅱ)曲线 y＝2sin x＋cos x 在点(π，－ 1)处的切线方程为( ) A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0 C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
解析：设 y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则 f′(x)＝2cos x－ sin x，
所以 f′(π)＝－2. 所以曲线在点(π，－1)处的切线方程为 y－(－1)＝－ 2(x－π)， 即 2x＋y－2π＋1＝0. 答案：C
5．(2018·天津卷)已知函数 f(x)＝exln x，f′(x)为 f(x) 的导函数，则 f′(1)的值为________．
解析：因为 f(x)＝exln x， 所以 f′(x)＝exln x＋exx， 所以 f′(1)＝e. 答案：e
解析：设 A(m，n)，则曲线 y＝ln x 在点 A 处的切线 方程为 y－n＝m1 (x－m)．
又切线过点(－e，－1)，所以有 n＋1＝m1 (m＋e)． 再由 n＝ln m，解得 m＝e，n＝1. 故点 A 的坐标为(e，1)． 答案：(e，1)
3．(2020·佛山调研)若曲线 y＝aln x＋x2(a>0)的切线
解析：设切点 P 的横坐标为 x0(x0>0)， 因为函数 y＝ex 的导函数为 y′＝ex， 所以曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线的斜率 k1＝e0＝1. 设 P(x0，y0)(x0>0)，因为函数 y＝1x的导函数为 y′＝－x12， 所以曲线 y＝1x(x>0)在点 P 处的切线的斜率 k2＝－x120，
解析：由 f(x)＝(x2－a)ln x，得 f′(x)＝2xln x＋x2－x a. 所以 f′(1)＝1－a＝－2，解得 a＝3.
答案：3
2．(角度 2)(2020·雅礼中学月考)已知函数 f(x)的导函
数是 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(1)＋ln 1x，则 f(1)＝( )
A．－e
第三章 一元函数的导数及其应用
第 1 节 导数的概念及运算
课程标准
考情索引
核心素养
1.了解导数概念的实际背景，知道导数
是瞬时变化率的数学表达，体会导数的
内涵与思想，体会极限的思想.
2.通过函数图象直观理解导数的几何意 2019·全国卷Ⅰ，T13
义.
2019·全国卷Ⅲ，T6
3.能根据导数的定义求函数 y＝c，y＝x，2019·江苏卷，T11
解：(1)f′(x)＝（2x＋1）（exe－x）（2x2＋x）ex＝1＋xex－x2. (2)由已知 f(x)＝x－ln x＋2x－x12. 所以 f′(x)＝1－1x－x22＋x23＝x3－x2－x3 2x＋2. (3)因为 y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin 4x， 所以 y′＝－12sin 4x－12x·4cos 4x＝－12sin 4x－2xcos 4x.
的倾斜角的取值范围是π3，π2，则 a＝(
)
1
3
A.24
B.8
3
3
C.4
D.2
解析：因为 y＝aln x＋x2(a>0)，所以 y′＝ax＋2x≥2 2a.
因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是π3，π2.
则斜率 k≥ 3，因此 3＝2 2a，所以 a＝38. 答案：B
4．设曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线与曲线 y＝1x(x>0) 上点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为________．
A．x＋y－2＝0
B．2x＋y－3＝0
C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0
解析：因为
f(x)＝1－2xln
x，所以
f′(x)＝－3＋x22ln
x .
所以 f(1)＝1，且 f′(1)＝－3.
故所求切线方程为 y－1＝－3(x－1)，即 3x＋y－4＝0.
答案：D
2．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 曲线 y＝ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(－e， －1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是________．
2．求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处” 的切线方程的不同．切点不知道，要设出切点，根据斜 率相等建立方程(组)求解，求出切点是解题的关键．
考点 3 导数几何意义的应用(讲练互动)
[典例 1] (2019·全国卷Ⅲ)已知曲线 y＝aex＋xln x 在
点(1，ae)处的切线方程为 y＝2x＋b，则( )
3．(人 A 选修 2－2·习题改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是 h(t)＝－4.9t2＋ 6.5t＋10，则运动员的速度 v＝________m/s，加速度 a＝ __________m/s2.
解析：v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8. 答案：－9.8t＋6.5 －9.8
3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数
f(x)＝C(C 为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex
f(x)＝ax(a＞0，a≠1)
f(x)＝ln x
f(x)＝logax (a＞0，且 a≠1)
导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝ex f′(x)＝axln a f′(x)＝1x f′(x)＝xln1 a