人教版七年级数学下册相交线

35°
A
1
B O
D
垂线的定义
定义
图示 文字语言 几何语言 两层含义
当两条直 线所成的 四个角中 有一个角 是直角时, C 我们就说 这两条直 线互相垂 直．
A
直线AB垂
┓1
直于直线
O D CD，O为
垂足．
B
AB⊥CD，
O为垂 足．
含义1： ∵AB⊥CD ∴∠1=90°
（符来读垂号表作直 示 ““用，垂⊥”含∵∴义∠AB21⊥=：9C0D° 直于” ）
一对邻补角一定互补吗？ 一对互补的角一定是邻补角吗？
A
2
DA
O
1 O3
1O
4
C
4
BC
C
B
图中，∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4，∠1 和∠4都是邻补角，它们是相互的、成对出现的， 如∠2是∠3的邻补角，∠1是∠4的邻补角，单独的 一个∠1或单独的一个∠4都不能叫邻补角．
下列图中∠1、∠2还是邻补角吗？
（2）汽车在哪一段路上行驶时,与P村的距离 越来越近？汽车在哪一段路上行驶时,与P村的距离 越来越远？
P
┓
A
B
O
答案：（1）在O点下车走的路程最短. 原因：垂线段最短．
（2）在AO路段上行驶时,与P村的距离 越来越近,在OB路段上行驶时,与P 村的距离越来越远．
只要找到两条直线相交时四个 交角中一个角是直角．
生活中常见的互相垂直的例子
例2 如图．直线AB、CD相交于点O，
OE⊥AB于O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°，
解:
求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数．E
因为AB⊥OE （已知）
D
所以 ∠EOB=90°(垂直的定义)
因所所为以以∠∠∠DADOOOECB===54∠00°°DO(（互B=已余4知0的°）定（义对) 顶A角C相等）O
P
A
B
PO为所求
垂线的的画法
1．一落：把三角尺的一条直角边落在已知直线上； 2．二过：让三角尺的另一条直角边经过已知的点； 3．三画：沿着直角边经过已知点画直线．
P
A
B
短线和线段的垂线应怎么画？
AO
B
A
O
B
结合以上的作图．请你思考：在同一 平面内．过一点可以作几条直线与已知直 线垂直？
P
A
P
B
∠AOC＝（ α ）°
A
∠BOC＝（ 180－ α ）°
C
B O
D
当α ≠90°时，AB与CD不垂直，此时 我们说AB与CD斜交．
两条直线相交
斜交
垂直——相交的特殊情况
┓
知识要点
垂直
当两条直线相交所成的四个角中，有一
个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中
一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点
叫垂足．
知识要点
对顶角性质
对顶角相等.
例：如图所示，直线m，n相交， ∠1＝60°，求∠2，∠3，∠4的度 数．
解：由邻补角的定义，可得：
∠2＝180°－∠1 ＝180°－60°
2
1
n
3
＝120°；
4
由对顶相等，可得：
∠3＝∠1＝60°，
m
∠4＝∠2＝120°．
角的 名称
特 征 课性质堂小相结同 点 不 同 点
练一练
如图,CD ⊥EF, ∠1= ∠2,则AB⊥EF．请说
明理由（补全解答过程）
A
F
解： ∵ CD ⊥EF（已知）
∴∠1= _9_0_°_ ( 垂线的定义 )C
2
B
∵ ∠1= ∠2=_9_0_°_
11
∴ AB_⊥__EF ( 垂线的定义 ) E
D
例：如图，直线AB与直线CD相交于点O，
OE⊥AB，已知∠BOD=45°，求∠COE的度
A
左图中，线段 AO的长度，就是点 ┓ m A到直线m的长度．
O
在体育课上，老师是怎样测量同学 们的跳远成绩的？你能尝试说明其中的 理由吗？
┛
将尺子拉直与踏板边所在直线垂直，取最近 的脚印后跟与踏板边沿之间的距离就是跳远成 绩．
理由是：直线外一点与直线上各点连结的所 有线段中，垂线段最短．
如图所示．从A地走到B地有多条道路，一般地，人们会 走中间的直路，而不会走其它的曲折的路，这是为什么？
垂线段最短．
A D
B C
如图，三角形ABC，从图中找出与线段AB、 线段BC、线段AB垂直的线段，并指出三角形的 三条边中，哪条边最长？
例1 如图．直线AB、CD相交于点 O．OE⊥AB．∠1=55°．求∠EOD的度数．
CE
解: 因为 AB⊥OE （已知）
1
Байду номын сангаасAO
B
所以 ∠EOB=90°(垂直的定义)
新课导入
生 活 中 的 相 交 直 线
生 活 中 的 相 交 直 线
知识要点
相交线的定义
23
●O
14
二线四角图
有一个公共点的两条直线形成 相交直线．
请你画出任意两条相交直线， 看看这四个角有什么关系?
两条相交直线形成的小于平角的角有几个?
如图1所示，∠1与∠2有什么特点？
A
2
D
1
3
O
4
B
C
（1）有公共顶点且相等的两个角是对顶
角．（ × ） （2）两条直线相交，有两组对顶角．（ √ ）
2．如右图直线AB、CD交于点O，OP为 射线，那么（ C ）
A．∠AOC和∠BOC是对顶角
B．∠BOC和∠AOP是对顶角
C．∠BOC和∠AOD是对顶角
D．∠AOC和∠DOP是对顶角
C
B
O
A
D
P
3．如图，直线a，b相交于点O，若∠1＝ 40°，则∠2＝（ D ）
B F
又因为OB平分∠DOF
所以∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义）
所以∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130°
所以∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100°
(邻补角定义)
练一练
如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠1=125°，求∠C COEE的度 数．
判断两个角是不是对顶角：
（1）两个角是由两条直线相交而形成的 （由两条直线相交保证了所形成的角有公 共顶点）；
（2）两个角的两边无公共边．
下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？
1 2
1
12
2
A
2
D
1 O3
A2
D
O
4
C
4
B
O
C
B
对顶角是成对出现的．上图中，∠2和∠4 它们是相互的，∠2是∠4的对顶角， ∠4是 ∠2的对顶角，而单独的一个∠2或一个单独 的∠4都不能叫对顶角．
1． 已知：如图AB⊥CD．垂足为O，EF为过点 O的一条直线．则∠1与∠2的关系一定成立的是 （ Ｂ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
1
2
┓
2． 下面四种判定两条直线的垂直的方
法．正确的个数为（ B ）
①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直
角．则这两条直线互相垂直
②两条直线相交．只要有一组邻补角相等．则这
数．
E
D
解：因为 OE⊥AB （已知）
A
所以∠AOE=90°（垂线的定义）
┓
B O
又因为∠ AOC=∠BOD=45 °
（对顶角的性质）
C
所以∠COE= ∠ AOC+ ∠ AOE
= 45 °+90 °=135 °
画一画：
请用三角尺和量角器过点P画直线AB的垂线．
P
O
AO
BA
B
PO为所求
P
PO为所求
如果点P在直线上呢？请作图． O
两条直线互相垂直
③两条直线相交．所成的四个角相等．这两条直
线互相垂直
④两条直线相交．有一组对顶角互补．则这两条
直线互相垂直
A．5 B．4 C．3
D．2
3．如图,一辆汽车在一段笔直的公路上从Ａ 村开往B村,Ｐ村不在路AB 上．
（1）如果有一人想在Ａ、Ｂ两村之间下车, 前往P村,他在哪里下车走的路程最短？请画出图 形,并说明原因．
12
12
1
2
如图1所示，∠1与∠3有什么特点？
A
2
D
1O3
4
B
C
∠1与∠3是直线AB与CD相交得到的， 它们有一个公共顶点O，没有公共边．
知识要点
对顶角
如果一个角的两边是另一个角
的两边的反向延长线，那么这两个
角互为对顶角． A 2 D
右图中互为对顶角的为：
1 O3
∠1与∠3； ∠2与∠4．
C
4
B
两条直线相交，有__2__组对顶角． 三条直线相交于一点，有__6__组对顶角．
四条直线相交于一点，有__1_2_组对顶角． ｎ条直线相交于一点，有_n_（__n_－__1_）_组对顶角．
A
2
D
1 O3
C
4
B
∠1与∠2互补， ∠2 与∠3互补
∠1＝ ∠3 （同角的补角相等）
∠2＝∠4
对顶角相等．
m
图中m与n互相垂直， 其中，m叫n的垂线， n 叫m的垂线，垂足为 O．
┓
n
O
垂直的表示：
用“⊥”和直线字母表示垂直
例如，如图，m、n互相垂直， 垂足 为O，则记为：m⊥n或n⊥m．
m
┓n O
若要强调垂足，则记为：a⊥b， 垂足为O．
垂直的书写形式：
A
D
如图，当直线AB与CD相交于O
点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，
对 顶 角
①两条直线相 交形成的角； ②有公共顶点;
③没有公共边
对顶 角相 等
①都是两条 直线相交而 成的角；
①有无公共边 ②两直线相
邻 补
①两条直线相 交而成； ②有公共顶点;
②都有一个 公共顶点； 邻补
角互 ③都是成对
交时，对顶 角只有两对 邻补角有四 对
角
③有一条公共 边
补
出现的
随堂练习
1．判断
A．60° B．100° C．120° D．140°
1
2
O a
b
2．直线AB、CD交于点O，OP是∠BOC的
平分线，已知∠AOC=54°．求∠BOP的度数．
P
解： 由邻补角的定义可得：
C
B
∠BOC＝180°－∠AOC
＝180°－54° ＝126°； 因为OP平分∠BOC，
AO D
所以∠BOP= 1∠AOD
∠1与∠2有一条公共边OA，它们的另一 边互为反向延长线．
知识要点
邻补角
如果两个角有一条公共边，它们的另一边 互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角．
A
2
D
1 O3
C
4
B
图中互为邻补角的有：∠1与∠2， ∠2与∠3， ∠3与∠4， ∠1与∠4．
判断两个角是不是邻补角： （1）有一个公共顶点； （2）有一条公共边．
= 2 ×126°
＝613°.
2
生活中的垂线
生 活 中 的 垂 线
C
当∠BOD＝90°时．
∠AOD＝__9_0_°___； A ∠AOC＝__9_0_°___；
B O
∠BOC＝__9_0_°___； D
此时我们说，AB与CD互相垂直．
当∠BOD＝α°（ α≠90°）时．
∠AOD＝（ 180－ α ）°
因为∠BOD= ∠1=55° （对顶角相等） D
所以∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD
=90 °+55 °=145 °
课堂小结
斜交
两直线相交
垂直
两线段垂直 两射线垂直 线段与射线垂直 线段与直线垂直 射线与直线垂直
定义
过一点有且只有一条 性质 直线与已知直线垂直
垂线段最短
点到直线的距离
随堂练习
A
B
知识要点
垂线的性质1： 在同一平面内．过一点有 且只有一条直线垂直于已知直
线．
比较过直线m外一点O与m相交的 所有线段中，哪一条最短？
O
D′ C′
B′
A BC
OA最短
m
D
知识要点
垂线的性质2 直线外一点与直线上各点连结的所有线
段中．垂线段最短． 即：垂线段最短．
知识要点
点到直线的距离 直线外一点到已知直线的垂线段 的长度就叫做点到直线的距离．
O
书垂写足形为式O1．：
C
B
因为∠AOD=90°（已知）
所以AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足
为O，那么，∠AOD=90°．
书写形式2：因为AB⊥CD （已知）
所以∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
判断两条直线互相垂直的关键：