江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试卷

徐州市2017-2018学年度高三第一次质量检测

数学I 参考答案与评分标准

一、填空题

1．{1,0,1}- 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 6

7．5

9

8．54 9．4 10

．14 12

．1] 13．[2,2]- 14．27

7

- 二、解答题

15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =

，得A

为锐角，所以4sin 5

A =， 所以sin 4

tan cos 3

A A A =

=，………………………………………………………………2分 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A A

B B A A B A A

-+=-+=

--⋅. ………………………………4分

1433314133

+

==-⨯ …………………………………………………………6分

（2）在三角形ABC 中,由tan 3B =

，所以sin B B =

=， ……8分

由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=

，…………………………10分 由正弦定理sin sin b c B C =

,

得13sin sin c B b C ==，………………………12分 所以ABC △的面积114

sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分

16．（1）取AB 的中点P ，连结1,.PM PB 因为,M P 分别是,AC AB 的中点，

所以//,PM BC 且1

.2PM BC =在直三棱柱

111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =，

（第16

1

A

1

B

N

M 1

C

C

B A

P

又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N =. ……………………2分 所以四边形1PMNB 是平行四边形， 所以1//MN PB ， ……………………4分 而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ， 所以//MN 平面11ABB A . ……6分

（2）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥平面111A B C ，

又因为1BB ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面111A B C ，…………………8分 又因为90ABC ∠= ，所以1111B C B A ⊥，平面11ABB A 平面11111=A B C B A ， 11111B C A B C ⊂平面，所以11B C ⊥平面11ABB A ，…………………………………10分

又因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，

因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ，所以11AB A B ⊥，又因为111=NB AB B ， 且1AB ，1NB ⊂平面1AB N ，所以1A B ⊥平面1AB N ，………………………12分 而AN ⊂平面1AB N ，所以1A B AN ⊥.…………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E

在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==，…2分

在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，………4分

所以1

220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅

2400sin cos θθ=π，(0)2

π

θ<<

……………………6分

（2）要使侧面积最大，由（1）得：

23400sin cos 400(sin sin )S θθθθ=π=π-,…………8分 设3(),(01)f x x x x =-<< 则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=

得：x =

当x ∈时，()0f x '>

，当x ∈时，()0f x '<， 所以()f x

在区间

上单调递增，在区间上单调递减， 所以()f x

在x =

所以当sin θ=

时，侧面积S 取得最大值， …………………………11分

此时等腰三角形的腰长20cos AB θ== 答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB

．…………14分

18．（1）由题意知：22

1,2

191,4c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………………………………………………2分

解之得：2,

a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆方程为22143x y +

=． ……………………………4分 （2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2

A ，所以3

(1,)2 B --，

此时直线BF 方程为3430x y --=， ……………………………………………6分 由223430,

1,4

3x y x y --=⎧⎪

⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分

故

1(1)7

13317

BF FD --==-．…………………………………………………………………10分 （3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为0

0(1)1

y y x x =

--， 代入椭圆方程22143

x y +

=，得222

0000(156)815240x x y x x x ---+=， 因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标0

8552C x x x -=-，…………………12分 又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00

00

3(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(

52x x ++，

3)52y x +， ……………………………………………14分 所以000002100000

3355

52528585335252y y y x x k k x x x x x --

+-===+--

+-，即存在53m =，使得2153k k =．…………16分

19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞． 当1a =时，

2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，

所以1(21)(1)

()21x x h x x x x

-+'=+-

=

，……………………………………………2分 所以当102x <<时，()0h x '<，当1

2x >时，()0h x '>，

所以函数()h x 在区间1

(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，

所以当12x =

时，函数()h x 取得极小值为11

+ln24

，无极大值．………………4分 （2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则

121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-， 故21121212

1(ln )

12x ax x a x a x x x ++--+==-， …6分