福建省泉州一中高三数学五月模拟考试 理 新人教A版
《精编》福建省泉州五中高三数学5月月考试题 理 新人教A版.doc
泉州五中届高考模拟试卷〔理科数学〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕，第二卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷总分值150分,考试时间120分钟． 第一卷一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1. 向量(1,1)a =-,(3,)b m =,//()a a b +,那么m =〔 〕A ．2B ．2-C ．3-D ．32. 设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，那么43S a 的值为〔 〕 A ．154 B ．152 C ．74 D ．723. 复数1cos23sin 23z i =︒+︒和复数2cos37sin37z i =︒+︒，那么12z z ⋅为〔 〕A12i + B．12+ C．12- D12i - 4. 设01b a <<<，那么以下不等式恒成立的是〔 〕A ．21ab b << B ．122<<abC ．0log log 2121<<b a D ．02log 2log <<b a5. 设n m ,是空间两条直线，α，β是空间两个平面，那么以下四个命题中正确的选项是〔 〕A ．“m 垂直于α内无数条直线〞是“α⊥m 〞的充要条件；B ．“存在一条直线m ，m //α，m //β〞是“//αβ〞的一个充分不必要条件；C ．当⊥αβ时，“β//m 〞是“⊥m α〞的必要不充分条件；D ．当α⊂m 时，“β⊥m 〞是“βα⊥〞的充分不必要条件。
输入开始p1,0k S ==输出k 开始S p<12k S S -=+1k k =+否是6. 执行如以以下图的程序框图，假设输出的5k =，那么输入的整数p 的最小．值为〔 〕 A. 7B. 8C. 15D. 167．函数sin ,0()1,0x x x x f x e x -≥⎧=⎨-<⎩ ，假设2(2)()f a f a ->，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞B ．(2,1)-C ．(1,2)-D ．(,2)(1,)-∞-⋃+∞8. 假设一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，那么称这个数为“中优数〞，现在从1、2、3、4、5、6这六个数字中任取三个数，组成无重复数字的三位数，其中“中优数〞的个数为〔 〕A ．120B ．80C ．40D ．20 9．函数)sin()(ϕω+=x x f (0,02)ωϕπ><<的导函数()y f x '=的局部图像如以以下图，其中P 为图像与y 轴的交点，C A ,为图像与x 轴的两个交点，且3π=AC ，B 为图像的最低点，点P 的坐标为)233,0(，假设在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，记该点落在ABC ∆内的概率为a ，那么ϕ与a 的值分别为〔 〕 A ．6π，8π B ．32π，8π C ．32π，4π D ．6π，4π10．定义全集U 的子集的P 特征函数为1,()0,P U x Pf x x C P∈⎧=⎨∈⎩，这里U C P 表示集合P 在全集U 的补集，,P U Q U ⊆⊆，给出以下结论：① 假设P Q ⊆，那么对于任意x U ∈，都有()()P Q f x f x ≤；)(x f y '=② 对于任意x U ∈都有()1()u C P P f x f x =-； ③ 对于任意x U ∈，都有()()()P QP Q f x f x f x =⋅； ④ 对于任意x U ∈，都有()()()PQP Q f x f x f x =+。
《精编》福建省泉州市高三数学5月质检试卷 理(含解析)新人教A版.doc
年福建省泉州市高三5月质检数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕〔•泉州模拟〕a∈R，且0＜a＜1，i为虚数单位，那么复数z=a+〔a﹣1〕i在复平面内所对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：根据复数z=a+〔a﹣1〕i在复平面内所对应的点的坐标为〔a，a﹣1〕，它的横坐标为正实数，纵坐标为负实数，可得结论解答：解：a∈R，且0＜a＜1，i为虚数单位，那么复数z=a+〔a﹣1〕i在复平面内所对应的点的坐标为〔a，a﹣1〕，它的横坐标为正实数，纵坐标为负实数，故对应点在第四象限，应选D．点评：此题主要考查复数的代数表示及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，属于根底题．2．〔5分〕〔•泉州模拟〕两条直线a，b和平面α，假设b⊂α，那么a∥b是a∥α的〔〕A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：直线与平面平行的判定；充要条件．分析：我们先判断a∥b⇒a∥α与a∥α⇒a∥b的真假，然后利用充要条件的定义，我们易得到a∥b是a∥α的关系．解答：解：当b⊂α是假设a∥b时，a与α的关系可能是a∥α，也可能是a⊂α，即a∥α不一定成立，故a∥b⇒a∥α为假命题；假设a∥α时，a与b的关系可能是a∥b，也可能是a与b异面，即a∥b不一定成立，故a∥α⇒a∥b也为假命题；故a∥b是a∥α的既不充分又不必要条件应选D点评：此题考查的知识点是充要条件，直线与平面平行关系的判断，先判断a∥b⇒a∥α与a∥α⇒a∥b的真假，然后利用充要条件的定义得到结论是证明充要条件的常规方法，要求大家熟练掌握．3．〔5分〕〔•泉州模拟〕假设公比为2且各项均为正数的等比数列{a n}中，a4•a12=64，那么a7的值等于〔〕A．2B．4C．8D．16考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质可得=a4•a12=64，从而求得a8的值，再根据公比等于2求得a7的值．解答：解：公比为2且各项均为正数的等比数列{a n}中，a4•a12=64，那么由等比数列的性质可得=a4•a12=64，∴a8=8．再由=q=2，可得 a7=4，应选B．点评：此题主要考查等比数列的性质的应用，属于中档题．4．〔5分〕〔•泉州模拟〕某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：零件数x〔个〕10 20 30加工时间y〔分钟〕21 30 39现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，那么据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为〔〕A．84分钟B．94分钟C．102分钟D．112分钟考点：回归分析的初步应用．专题：应用题．分析：根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．将x=100代入回归直线方程，得y，可以预测加工100个零件需要102分钟，这是一个预报值，不是生产100个零件的准确的时间数．解答：解：由表中数据得：=20，=30，又值为0.9，故a=30﹣0.9×20=12，∴y=0.9x+12．将x=100代入回归直线方程，得y=0.9×100+12=102〔分钟〕．∴预测加工100个零件需要102分钟．应选C．点评：此题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确应用最小二乘法求出线性回归方程的系数的运算，再一点就是代入样本中心点可以求出字母a的值，是一个中档题目．5．〔5分〕〔•泉州模拟〕点P〔x，y〕在直线x﹣y﹣1=0上运动，那么〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2的最小值为〔〕A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2表示点P〔x，y〕与〔2，2〕距离的平方，求出〔2，2〕到直线x﹣y﹣1=0的距离，平方即可得到最小值．解答：解：∵点〔2，2〕到直线x﹣y﹣1=0的距离d==，∴〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2的最小值为．应选A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，熟练掌握距离公式是解此题的关键．6．〔5分〕〔•泉州模拟〕执行如以以下图程序框图所表达的算法，输出的结果是〔〕A．99 B．100 C．120 D．142考点：循环结构．专题：图表型．分析：由图知，每次进入循环体后，新的s值是s加上2n+1得到的，故由此运算规律进行计算，经过10次运算后输出的结果即可．解答：解：由图知s的运算规那么是：s=s+〔2n+1〕，故有：第一次进入循环体后s=3，n=2，第二次进入循环体后s=3+5，n=3，第三次进入循环体后s=3+5+7，n=4，第四次进入循环体后s=3+5+7+9，n=5，…第10次进入循环体后s=3+5+7+9+…+21，n=11．由于n=11＞10，退出循环．故该程序运行后输出的结果是：s=3+5+7+9+…+21=120．应选C．点评：此题考查循环结构，运算规那么与运算次数，求最后运算结果的一个题，是算法中一种常见的题型．7．〔5分〕〔•泉州模拟〕向量=〔1，2〕，=〔m﹣1，m+3〕在同一平面内，假设对于这一平面内的任意向量，都有且只有一对实数λ，μ，使=λ+μ，那么实数m的取值范围是〔〕A．B．m≠5C．m≠﹣7 D．考点：平面向量的坐标运算；平面向量的根本定理及其意义；平面向量的正交分解及坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得，向量=〔1，2〕，=〔m﹣1，m+3〕是同一平面内不平行的两个向量，故有，由此求得m的范围．解答：解：由题意可得，向量=〔1，2〕，=〔m﹣1，m+3〕在同一平面内，且不平行．故有，解得m≠5，应选B．点评：此题主要考查平面向量根本定理的应用，两个向量共线的性质，属于根底题．8．〔5分〕〔•泉州模拟〕公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排〞的方式进行编排．某人欲选由A、B、C、D、E中的两个不同字母，和0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的3个不同数字，组成的三个数字都相邻的一个号牌，那么他选择号牌的方法种数最多有〔〕A．7200种B．14400种C．21600种D．43200种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：先选字母，有种方法，再选3个数字，有种方法，把三个数字看做一个整体进行排列有种方法，再把3个数字做成的一个整体和2个字母进行全排列，有=6种方法，再根据分步计数原理运算求得结果．解答：解：先选字母，有=10种方法，再选3个数字，有=120种方法，把三个数字看做一个整体进行排列有=6种方法，再把3个数字做成的一个整体和2个字母进行全排列，有=6种方法，再根据分步计数原理求得他选择号牌的方法种数最多有10×120×6×6=42200种，应选D．点评：此题主要考查排列与组合及两个根本原理的应用，属于中档题．9．〔5分〕〔•泉州模拟〕周期函数f〔x〕的定义域为R，周期为2，且当﹣1＜x≤1时，f〔x〕=1﹣x2．假设直线y=﹣x+a与曲线y=f〔x〕恰有2个交点，那么实数a的所有可能取值构成的集合为〔〕A．或，k∈Z} B．或，k∈Z}C．{a|a=2k+1或，k∈Z}D．{a|a=2k+1，k∈Z}考点：函数的周期性；元素与集合关系的判断；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意画出函数f〔x〕的图象，并在图中画出关键直线，再由条件转化为求出相切时的切点坐标，利用导数的几何意义，然后再把坐标代入切线方程求出a的值，解答：解：由题意画出函数f〔x〕的图象，如以以以下图：其中图中的直线l的方程为：y=﹣x+1，此时恰有两个交点，由图得，当﹣1＜x≤1时，直线l向上平移过程中与曲线y=f〔x〕恰有3个交点，直到相切时，设切点为p〔x，y〕，那么f′〔x〕=﹣2x，∴﹣1=﹣2x，解得x=，即y=f〔〕=，∴p〔，〕，代入切线y=﹣x+a，解得a=，∵f〔x〕的定义域为R，周期为2，∴所求的a的集合是：{a|a=2k+1或，k∈Z}，应选C．点评：此题考查了函数的性质以及图象的应用，导数的几何意义，考查了数形结合思想，关键正确作图．10．〔5分〕〔•泉州模拟〕如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x〔x∈〔0，1〕〕．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，那么e1+e2的取值范围为〔〕A．[2，+∞〕B．〔，+∞〕C．[，+∞〕D．〔，+∞〕考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：连接BD、AC，设∠DAB=θ，θ∈〔0，〕，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1，同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的值，最后利用根本不等式求出e1+e2的取值范围即可．解答：解：连接BD，AC，设∠DAB=θ，θ∈〔0，〕，那么BD==，∴双曲线中a=，e1=．∵AC=BD，∴椭圆中CD=2t〔1﹣cosθ〕=2c′，∴c'=t〔1﹣cosθ〕，AC+AD=+1，∴a'=〔+1〕e2==，∴e1e2=×=1，∴e1+e2=2，即那么e1+e2的取值范围为[2，+∞〕．应选A．点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、双曲线的简单性质等根底知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置. 11．〔4分〕〔•泉州模拟〕设全集U=R，A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2x≤1}，那么A∩〔∁U B〕= {﹣1，0，3} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：规律型．分析：先求出集合B，然后求出∁U B，利用集合的运算求A∩〔∁U B．解答：解：因为B={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，所以∁U B={x|x＞2或x≤0}，所以A∩〔∁U B〕={﹣1，0，3}．故答案为：{﹣1，0，3}．点评：此题的考点是集合的交集和补集运算，要求熟练集合的交，并，补的根本运算．12．〔4分〕〔•泉州模拟〕a＜b，那么在以下的一段推理过程中，错误的推理步骤有③．〔填上所有错误步骤的序号〕∵a＜b，∴a+a＜b+a，即2a＜b+a，…①∴2a﹣2b＜b+a﹣2b，即2〔a﹣b〕＜a﹣b，…②∴2〔a﹣b〕•〔a﹣b〕＜〔a﹣b〕•〔a﹣b〕，即2〔a﹣b〕2＜〔a﹣b〕2，…③∵〔a﹣b〕2＞0，∴可证得 2＜1．…④考点：进行简单的合情推理．专题：证明题．分析：此题是一道不等式证明题，要保证每步中能正确应用不等式性质逐一判断．解答：解：步骤①用的是，不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，正确．步骤②用的是，不等式两边同减去一个数，不等号方向不变，正确．步骤③，由于a＜b，所以a﹣b＜0，根据“不等式两边同乘以一个负数，不等号方向改变〞，步骤③错误．步骤④根据“不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变〞，正确．综上所述，错误的推理步骤有③．故答案为：③点评：此题考查逻辑推理，知识和工具是不等式性质．13．〔4分〕〔•泉州模拟〕△ABC的三个内角A，B，C满足sinA•sinB=sin2C，那么角C的取值范围是．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得ab=c2．再由余弦定理可得cosC==，再利用根本不等式求得cosC的最大值为，由此可得角C的取值范围．解答：解：△ABC中，满足sinA•sinB=sin2C，由正弦定理可得ab=c2．再由余弦定理可得 cosC==≥=，当且仅当a=b时，取等号，故 0＜C≤，故答案为．点评：此题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．14．〔4分〕〔•泉州模拟〕如以以下图的三个等腰直角三角形是某几何体的三视图，那么该几何体的外接球的外表积为3π．考点：由三视图求面积、体积；球的体积和外表积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的外接球的外表积即可．解答：解：由几何体的三视图知，几何体如以以下图的三棱锥，∵几何体的三视图均为腰长为1的等腰直角三角形，∴SC=AC=BC=1，且∠SCA=∠SCB=∠ACB=90°，∵它是棱长为1的正方体的一个角，∴它的外接球就是棱长为1的正方体的外接球，外接球的半径R=，∴外接球的外表积S=4π〔〕2=3π．故答案为：3π．点评：此题考查由三视图求几何体的外表积，考查由三视图复原直观图形，考查三棱锥的外接球的外表积，此题是一个根底题．15．〔4分〕〔•泉州模拟〕设集合P⊆Z，且满足以下条件：〔1〕∀x，y∈P，x+y∈P；〔2〕﹣1∉P；〔3〕P中的元素有正数，也有负数；〔4〕P中存在是奇数的元素．现给出如下论断：①P可能是有限集；②∃m，n∈P，mn∈P；③0∈P；④2∉P．其中正确的论断是②③④．〔写出所有正确论断的序号〕考点：命题的真假判断与应用．专题：规律型．分析：①P={0}时，利用性质〔1〕〔3〕，可得结论；③利用反证法，假设0不在P里面，不妨设P中的最小正整数为a，最大负整数为b，从而可引出矛盾；②列举反例，可得结论；④利用反证法，结合性质〔1〕引出矛盾．解答：解：①P={0}时，∀x，y∈P，x+y∈P，∵P中的元素有正数，也有负数，∴P不可能是有限集；③假设0不在P里面，不妨设P中的最小正整数为a，最大负整数为b，那么a+b不为零，不妨设a＞﹣b，当a＞0且a+b＜a，又a+b在P中，这与a为P中的最小正整数矛盾，故0在P中，∴③对；②∃m=0，n是奇数∈P，那么mn=0∈P，∴②对④假设2∈P，又P中存在一个负奇数，不妨记为b，且b必小于等于﹣3，由性质〔1〕，不断的运用性质〔1〕，将数a不断的加2，肯定能得到﹣1属于P，与题意矛盾，故④对；故答案为：②③④点评：本小题主要考查复合命题的真假、实数的性质等知识，解答关键是利用反证法的思想方法．三、解答题：本大题共8小题，共80分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．〔13分〕〔•泉州模拟〕ω＞0，函数f〔x 〕=sinωx•cosωx+的最小正周期为π．〔Ⅰ〕试求w的值；〔Ⅱ〕在图中作出函数f〔x〕在区间[0，π]上的图象，并根据图象写出其在区间[0，π]上的单调递减区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：〔Ⅰ〕利用倍角公式和两角差的正弦公式即可化简函数f〔x〕=sinωx•cosωx+==，再利用周期公式即可得出ω．〔II〕利用，x∈[0，π]，找出区间端点、最大值点、最小值点及函数的零点并列对应值表，描点，并参照弦形曲线的走向特征，用光滑曲线把各对应点顺次联结起来画图，得函数f〔x〕在区间[0，π]上的图象及其单调递减区间．解答：解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕=sinωx•cosωx+==．因为函数f〔x 〕的最小正周期为，且ω＞0，所以ω=1．〔Ⅱ〕因为，x∈[0，π]．列对应值表：x 0 π0 πf〔x〕0 1 0 ﹣1描点，并参照弦形曲线的走向特征，用光滑曲线把各对应点顺次联结起来画图，得函数f〔x〕在区间[0，π]上的图象如以以下图．根据图象可得单调递减区间为．点评：本小题主要考查三角恒等变型、三角函数的图象和性质等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等．17．〔13分〕〔•泉州模拟〕小王经营一家面包店，每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售．每卖出一个现烤面包可获利10元，假设当天卖不完，那么未卖出的现烤面包因过期每个亏损5元．经统计，得到在某月〔30天〕中，小王每天售出的现烤面包个数n及天数如下表：售出个数n 10 11 12 13 14 15天数 3 3 3 6 9 6试依据以频率估计概率的统计思想，解答以下问题：〔Ⅰ〕计算小王某天售出该现烤面包超过13个的概率；〔Ⅱ〕假设在今后的连续5天中，售出该现烤面包超过13个的天数大于3天，那么小王决定增加订购量．试求小王增加订购量的概率．〔Ⅲ〕假设小王每天订购14个该现烤面包，求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列和数学期望．考离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．点：专题：概率与统计．分析：〔Ⅰ〕由图表可得频率，用频率估计概率可知：P=0.2+0.3=0.5；〔Ⅱ〕记售出超过13个的天数为ξ，那么ξ～B〔5，〕可得P=P〔ξ=4〕+P〔ξ=5〕计算可得；〔Ⅲ〕设其一天的利润为η元，那么η的所有可能取值为80，95，110，125，140．分别计算概率可得分布列，进而可得所求的期望．解答：解：〔Ⅰ〕记事件A=“小王某天售出超过13个现烤面包〞，…〔1分〕用频率估计概率可知：P〔A〕=0.2+0.3=0.5．…〔2分〕所以小王某天售出超过13个现烤面包的概率为0.5．…〔3分〕〔Ⅱ〕设在最近的5天中售出超过13个的天数为ξ，那么ξ～B〔5，〕．…..〔5分〕记事件B=“小王增加订购量〞，那么有P〔B〕=P〔ξ=4〕+P〔ξ=5〕==，所以小王增加订购量的概率为．…〔8分〕〔Ⅲ〕假设小王每天订购14个现烤面包，设其一天的利润为η元，那么η的所有可能取值为80，95，110，125，140．…..〔9分〕其分布列为：利润η80 95 110 125 140概率P…〔11分〕所以小王每天出售该现烤面包所获利润的数学期望为123.5元．…..〔13分〕点评：此题考查离散型随机变量及其分布列，涉及二项分布的知识，属中档题．18．〔13分〕〔•泉州模拟〕椭圆C的对称中心为坐标原点，上焦点为F〔0，1〕，离心率e=．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设A〔m，0〕〔m＞0〕为x轴上的动点，过点A作直线l与直线AF垂直，试探究直线l与椭圆C的位置关系．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：〔Ⅰ〕由题意可知c，由离心率求出a，结合b2=a2﹣c2可求b，那么椭圆的标准方程可求；〔Ⅱ〕由题意知直线AF的斜率存在且求得其斜率，求出直线l的斜率，写出直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，写出判别式后由m的范围得到判别式的符号，从而直线和椭圆的位置关系．解答：解：〔Ⅰ〕由条件可知c=1，∵e==，∴a=2，那么b2=a2﹣c2=4﹣1=3，所以b=，所以椭圆C的标准方程为；〔Ⅱ〕∵k AF=﹣，∴直线l的斜率k1=m，那么直线l：y=m〔x﹣m〕．联立y=m〔x﹣m〕与，有〔4+3m2〕x2﹣6m3x+3m4﹣12=0，那么△=36m6﹣4〔4+3m2〕•〔3m4﹣12〕=﹣48〔m4﹣3m2﹣4〕=﹣48〔m2+1〕〔m2﹣4〕=﹣48〔m2+1〕〔m﹣2〕〔m+2〕，∵m＞0，∴m2+1＞0，m+2＞0，那么当0＜m＜2时，△＞0，此时直线l与椭圆C相交；当m=2时，△=0，此时直线l与椭圆C相切；当m＞2时，△＜0，此时直线l与椭圆C相离．点评：此题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等根底知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，是中档题．19．〔13分〕〔•泉州模拟〕如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD．〔Ⅰ〕从以下①②③三个条件中选择一个做为AC⊥BD1的充分条件，并给予证明；①AB⊥BC，②AC⊥BD；③ABCD是平行四边形．〔Ⅱ〕设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠BA D为锐角，求平面BDD1与平面BC1D1所成锐二面角θ的取值范围．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．专题：空间角；空间向量及应用．分析：〔Ⅰ〕要使AC⊥BD1，只需AC⊥平面BDD1，易知DD1⊥AC．故只需满足条件②即可；〔Ⅱ〕设AC∩BD=0，O1为B1D1的中点，易证OO1、AC、BD交于同一点O且两两垂直．以OB，OC，OO1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，设OA=m，OB=n，其中m＞0，n＞0，m2+n2=1，根据法向量的性质求出平面BC1D1的一个法向量，又=〔0，2m，0〕是平面BDD1的一个法向量，那么cosθ=，利用向量的数量积运算表示出来，然后借助函数的性质即可求得其范围；解答：解：〔Ⅰ〕条件②AC⊥BD，可作为AC⊥BD1的充分条件．证明如下：∵AA1⊥平面ABCD，AA1∥DD1，∴DD1⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC．假设条件②成立，即AC⊥BD，∵DD1∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1，又BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．〔Ⅱ〕由，得ABCD是菱形，∴AC⊥BD．设A C∩BD=0，O1为B1D1的中点，那么OO1⊥平面ABCD，∴OO1、AC、BD交于同一点O且两两垂直．以OB，OC，OO1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如以以下图．设OA=m，OB=n，其中m＞0，n＞0，m2+n2=1，那么A〔0，﹣m，0〕，B〔n，0，0〕，C〔0，m，0〕，C1〔0，m，1〕，D1〔﹣n，0，1〕，=〔﹣n，m，1〕，=〔﹣2n，0，1〕，设=〔x，y，z〕是平面BC1D1的一个法向量，由得，令x=m，那么y=﹣n，z=2mn，∴=〔m，﹣n，2mn〕，又=〔0，2m，0〕是平面BDD1的一个法向量，∴cosθ===，令t=n2，那么m2=1﹣t，∵∠BAD为锐角，∴0＜n＜，那么0＜t＜，cosθ==，因为函数y=﹣4t在〔0，〕上单调递减，∴y=＞0，所以0＜cosθ＜，又0＜θ＜，∴，即平面BDD1与平面BC1D1所成角的取值范围为〔〕．点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等根底知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等．20．〔14分〕〔•泉州模拟〕函数f〔x〕=alnx+bx〔x＞0〕，g〔x〕=x•e x﹣1〔x＞0〕，且函数f〔x〕在点P〔1，f〔1〕〕处的切线方程为y=2x﹣1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的解析式；〔Ⅱ〕设点Q〔x0，f〔x0〕〕，当x0＞1时，直线PQ的斜率恒小于m，试求实数m的取值范围；〔Ⅲ〕证明：g〔x〕≥f〔x〕．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．专综合题；导数的综合应用．题：分析：〔Ⅰ〕由函数f〔x〕在点P〔1，f〔1〕〕处的切线方程为y=2x﹣1，得f〔1〕=1，f′〔1〕=2，解出即可；〔Ⅱ〕∴“当x0＞1时，直线PQ的斜率恒小于m〞⇔当x0＞1时，＜m恒成立⇔lnx0+〔1﹣m〕〔x0﹣1〕＜0对x0∈〔1，+∞〕恒成立．令h〔x0〕=lnx0+〔1﹣m〕〔x0﹣1〕，〔x0＞1〕，那么问题等价于h〔x0〕的最大值小于m，求出导数h′〔x0〕，然后分m≤1、1＜m＜2、m≥2三种情况进行讨论可得；〔Ⅲ〕令h〔x〕=g〔x〕﹣f〔x〕=x•e x﹣lnx﹣x﹣1〔x＞0〕，那么问题转化为证明h 〔x〕≥0，求导得h′〔x〕=，由g′〔x〕可判断存在唯一的c∈〔0，1〕使得g〔c〕=0，且当x∈〔0，c〕时，g〔x〕＜0；当x∈〔c，+∞〕时，g〔x〕＞0，从而得h〔x〕在〔0，c〕上递减，在〔c，+∞〕上递增，故有h〔x〕≥h〔c〕，再g〔c〕=0可得结论；解答：解：〔Ⅰ〕f〔x〕=alnx+bx〔x＞0〕，∴f′〔x〕=．∵函数f〔x〕在点P〔1，f〔1〕〕处的切线方程为y=2x﹣1，∴，即，解得a=b=1，∴f〔x〕=lnx+x〔x＞0〕．〔Ⅱ〕由P〔1，1〕、Q〔x0，lnx0+x0〕，得，∴“当x0＞1时，直线PQ的斜率恒小于m〞⇔当x0＞1时，＜m恒成立⇔lnx0+〔1﹣m〕〔x0﹣1〕＜0对x0∈〔1，+∞〕恒成立．令h〔x0〕=lnx0+〔1﹣m〕〔x0﹣1〕，〔x0＞1〕，那么h′〔x0〕==，〔ⅰ〕当m≤1时，由x0＞1，知h′〔x0〕＞0恒成立，∴h〔x0〕在〔1，+∞〕上单调递增，∴h〔x0〕＞h〔1〕=0，不满足题意的要求．〔ⅱ〕当1＜m＜2时，1﹣m＜0，，h′〔x0〕==，∴当x0∈〔1，〕，h′〔x0〕＞0；当x0∈〔，+∞〕，h′〔x0〕＜0，即h〔x0〕在〔1，〕上单调递增；在〔，+∞〕上单调递减．所以存在t∈〔1，+∞〕使得h〔t〕＞h〔1〕=0，不满足题意要求．〔ⅲ〕当m≥2时，0＜1，对于x0＞1，h′〔x0〕＜0恒成立，∴h〔x0〕在〔1，+∞〕上单调递减，恒有h〔x0〕＜h〔1〕=0，满足题意要求．综上所述：当m≥2时，直线PQ的斜率恒小于m．〔Ⅲ〕证明：令h〔x〕=g〔x〕﹣f〔x〕=x•e x﹣lnx﹣x﹣1〔x＞0〕，那么h′〔x〕=〔x+1〕•e x﹣﹣1==，∵g′〔x〕=〔x+1〕•e x＞0〔x＞0〕，∴函数g〔x〕在〔0，+∞〕上递增，g〔x〕在〔0，+∞〕上的零点最多一个．又∵g〔0〕=﹣1＜0，g〔1〕=e﹣1＞0，∴存在唯一的c∈〔0，1〕使得g〔c〕=0，且当x∈〔0，c〕时，g〔x〕＜0；当x∈〔c，+∞〕时，g〔x〕＞0，即当x∈〔0，c〕时，h′〔x〕＜0；当x∈〔c，+∞〕时，h′〔x〕＞0．∴h〔x〕在〔0，c〕上递减，在〔c，+∞〕上递增，从而h〔x〕≥h〔c〕=ce c﹣lnc﹣c﹣1．由g〔c〕=0得c•e c﹣1=0且lnc+c=0，∴h〔c〕=0，∴h〔x〕≥h〔c〕=0，从而证得g〔x〕≥f〔x〕．点评：本小题主要考查函数、导数等根底知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．21．〔14分〕〔•泉州模拟〕如图，单位正方形区域OABC在二阶矩阵M的作用下变成平行四边形OAB1C1区域．〔Ⅰ〕求矩阵M；〔Ⅱ〕求M2，并判断M2是否存在逆矩阵？假设存在，求出它的逆矩阵．考点：二阶行列式与逆矩阵．专题：计算题．分析：〔I〕利用待定系数法，先假设所求的变换矩阵M=，再利用点C〔0，1〕、A〔1，0〕分别变换成点C1〔1，1〕、A〔1，0〕，可构建方程组，从而得解．〔II〕先利用矩阵的乘方求出M2，再直接利用求逆矩阵的公式可求即得．解答：解：〔Ⅰ〕设M=，由=，得a=1，c=0，由=，得b=1，d=1，∴M=．〔Ⅱ〕M2==，∵|M2|=1≠0，∴M2存在逆矩阵，M2的逆矩阵为．点评：此题以变换为依托，考查矩阵及其逆矩阵，关键是利用待定系数法，利用矩阵的乘法公式．22．〔•泉州模拟〕在平面直角坐标系xOy中，直线l 的参数方程为：〔t为参数〕．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为．〔Ⅰ〕求曲线C的平面直角坐标方程；〔Ⅱ〕设直线l与曲线C交于点M，N，假设点P的坐标为〔1，0〕，求|PM|•|PN|的值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：〔Ⅰ〕把给出的等式右边展开两角和的正弦公式，两边同时乘以ρ后代入公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，整理即可得到答案；〔Ⅱ〕直接把直的参数方程代入曲线C的方程，化为关于t的一元二次方程后利用参数t的几何意义可得结论．解答：解：〔Ⅰ〕由，得==2sinθ+2cosθ．所以ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ．即x2+y2﹣2x﹣2y=0．所以曲线C的平面直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0；〔Ⅱ〕由直线l 的参数方程为：〔t为参数〕，知直线l是过点P〔1，0〕，且倾斜角为的直线，把直线的参数方程代入曲线C 得，．所以|PM|•|PN|=|t1t2|=1．点评：此题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，考查了直线和圆的关系，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义，是中档题．23．〔•泉州模拟〕函数f〔x〕=|x|，x∈R．〔Ⅰ〕解不等式f〔x﹣1〕＞2；〔Ⅱ〕假设[f〔x〕]2+y2+z2=9，试求x+2y+2z的最小值．考点：一般形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：〔Ⅰ〕把要解的不等式f〔x﹣1〕＞2等价转化为与之等价不等式|x﹣1|＞2，再利用绝对值不等式的解法即得所求．〔II〕利用题中条件：“x2+y2+z2=9”构造柯西不等式：〔x2+y2+z2〕×〔1+4+4 〕≥〔x+2y+2z〕2这个条件进行计算即可．解答：解：〔Ⅰ〕不等式f〔x﹣1〕＞2即|x﹣1|＞2．解得 x＜﹣1，或 x＞3．故原不等式的解集为 {x|x＜﹣1，或 x＞3}．〔II〕[f〔x〕]2+y2+z2=9，即x2+y2+z2=9，由于〔x2+y2+z2〕×〔1+4+4 〕≥〔x+2y+2z〕2，∴9×〔1+4+4 〕≥〔x+2y+2z〕2，∴﹣9≤x+2y+2z≤9．那么x+2y+2z的最小值为：﹣9．点评：〔I〕本小题主要考查绝对值不等式的解法，〔II〕本小题考查用综合法证明不等式，关键是利用〔x2+y2+z2〕×〔1+4+4 〕≥〔x+2y+2z〕2．。
高考专题 泉州一中高中毕业班5月模拟质检.docx
泉州一中2015届高中毕业班5月模拟质检数学（文科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：锥体体积公式 13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高球的表面积、体积公式 2344,3S R V R ==ππ 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合{1,0,1,2,3},{2,0}M N =-=-，则下列结论正确的是 A ．N M ⊆ B ．M N N = C ．M N M = D ．{}0MN =2．下列说法正确的是 A ．“若3x π=，则3sin 2x =”的逆命题为真B ．,,a b c 为实数，若a b >，则22ac bc >C ．命题p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，使得210x x +->D ．若命题p q ⌝∧为真，则p 假q 真3．设向量a 、b 均为单位向量，且1a b +=，则a 、b 的夹角为A ．3π B ．2π C ．23π D ．34π 4．设变量x 、y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =-+的最大值为A.-2B.0C.1D.2 5．已知函数21()cos 2f x x =-，则 A ．()f x 为偶函数且最小正周期为π B.()f x 为奇函数且最小正周期为π C. ()f x 为偶函数且最小正周期为2π D.()f x 为奇函数且最小正周期为2π6．已知βα,表示两个互相垂直的平面，b a ,表示一对异面直线， 则b a ⊥的一个充分条件是A.βα⊥b a ,//B.βα//,//b aC.βα//,b a ⊥D.βα⊥⊥b a , 7．执行如右图1所示的程序框图，则输出S 的值是 A ．10 B ．17 C ．26 D ．288．设图2是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．942π+B ．9122π+ C. 3618π+D. 9182π+开始 S =1，i =1 结束 i =i +2i >7?输出S 是否S =S +i图19．已知抛物线24y x =，过其焦点F 作倾斜角为4π的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，则弦BC 的长为 A.103B. 2C.4D. 810．在ABC ∆中， ︒=∠120A ，1AB AC ⋅=-，则||BC 的最小值是 A ．2 B ．2 C ．6 D ．6 11．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-<-=.0ln ,0),ln()(x x x x x f ， 若)()(m f m f ->,则实数m 的取值范围是A ．)1,0()0,1( - B.)1,0()1,( --∞ C ．),1()0,1(+∞-D ．),1()1,(+∞--∞12．已知中心均在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、右焦点分别为1F 、2F , 这两条曲线在第一象限的交点为P , 12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =, 椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e , 则12e e 的取值范围为 A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()2,+∞ D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上.） 13．i 是虚数单位，复数21ii-的模为__________. 14．已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，3sin cos a b A a B =-则角B =__________.15．已知1x >-，0y >且满足21x y +=，则121x y++的最小值为_____________. 16．定义在实数集R 上的函数()y f x =的图象是连续不断的，若对任意实数x ，存在实数t使得()()f t x tf x +=-恒成立，则称()f x 是一个“关于t 的函数”.给出下列“关于t 的函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“关于t 的函数”；频率/组距 0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 时间（小时）0.160.24 0.32 0.400.80 ②“关于12的函数”至少有一个零点； ③2()f x x =是一个“关于t 的函数”．其中正确结论的序号是__________.三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列且公差0d >，*n N ∈，12a =，3a 为1a 和9a 的等比中项．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()22n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分） 已知函数()cos3sin(05)66f x x x x ππ=-≤≤的图像过点(,)B m 4，（Ⅰ）若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边过点B ，求sin α2的值； （Ⅱ）求函数)(x f y =的最值.19．（本小题满分12分）某校高三年有375名学生，其中男生150人，女生225人.为调查该校高三年学生每天课外阅读的平均时间（单位：小时），采用分层抽样的方法从中随机抽取25人获得样本数据，该样本数据的频率分布直方图如下图. （Ⅰ）应抽取男生多少人? 并根据样本数据，估计该校高三年学生每天课外阅读的平均时间； （Ⅱ）在这25个样本中，从每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生中任意抽取两人，求抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率.20．（本小题满分12分） 如图所示，几何体ABCDE 中，A BC ∆为正三角形，CD ⊥ABC 面, //BE CD ,BC CD BE ==2,（Ⅰ）在线段AD 上找一点F ，使//EF 平面ABC ，并证明； （Ⅱ）求证：面ADE ⊥面ACD .21．（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在直线2-=x y 上 （Ⅰ）若圆经过)2,3(-A 和(0,5)B -两点．i ）求圆C 的方程；ii ）设圆C 与y 轴另一交点为P ，直线l 过点P 且与圆C 相切．设D 是圆C 上异于,P B 的动点，直线BD 与直线l 交于点R ．试判断以PR 为直径的圆与直线CD 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）设点)3,0(M ，若圆C 半径为3，且圆C 上存在点N ，使||2||NO MN =，求圆心C 的横坐标的取值范围． 22．（本小题满分14分） 已知函数()1ln 2a xf x x x =-+（Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 在点A ()1,0处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 有两个极值点1x 和2x ，设过()()11,M x f x ，()()22,N x f x 的直线的斜率为k ，求证：2k a >+．BAC DE泉州一中2015届高中毕业班5月模拟质检数学（文科）试卷参考答案及评分 标准一、选择题1-5 D D C C A 6-10 D B D D C 11-12 B A 二、填空题 13. 2 14.3π15. 92 16. ②三、解答题17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列且公差0d >，*n N ∈，12a =，3a 为1a 和9a 的等比中项．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()22n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）12a =，3a 为1a 和9a 的等比中项．2319a a a ∴=，即()2222(28)d d +=+，……………………………………… 2分化简得 22d d =……………………………………… 4分0d >，解得2d =22(1)2n a n n ∴=+-=；………………………………………6分 （Ⅱ）()22n n b n a =+()222n n =+()11n n =+111n n =-+，………………………………………8分 12n n S b b b =++⋅⋅⋅⋅⋅+1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1nn +.……………………………12分 18．（本小题满分12分） 已知函数()cos3sin(05)66f x x x x ππ=-≤≤的图像过点(,)B m 4，（Ⅰ）若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边过点B ，求sin α2的值； （Ⅱ）求函数)(x f y =的最值. 解：（Ⅰ）函数()cos3sin(05)66f x x x x ππ=-≤≤的图像过点(,)B m 4，∴22cos 3sin33m ππ=- 2=- ………………………………………………………………………… 2分即点(,)B -42，()OB =+-=224225，sin ,cos ,a a -\==-==25425552525……………………………………… 4分sin sin cos a a a 骣÷ç÷\==??-ç÷ç÷ç桫5254222555.………………………………6分;（Ⅱ）()2cos()63f x x ππ=+,…………………………………………………………7分 05x ≤≤,73636x ππππ∴≤+≤,………………………………………8分 当633x πππ+=时，即0x =时，max ()1f x =，………………………10分 当63x πππ+=时，即4x =时，min ()2f x =-.………………………12分19．（本小题满分12分）某校高三年有375名学生，其中男生150人，女生225人.为调查该校高三年学生每天课外阅读的平均时间（单位：小时），采用分层抽样的方法从中随机抽取25人获得样本数据，该频率/组距0.080 0.511.522.53时间（小时）0.16 0.24 0.32 0.40 0.80样本数据的频率分布直方图如下图. （Ⅰ）应抽取男生多少人? 并根据样本数据，估计该校高三年学生每天课外阅读的平均时间；（Ⅱ）在这25个样本中，从每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生中任意抽取两人，求抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率.解：应抽取男生2515010375⨯=人，……………………………………………… 2分 该校高三年学生每天课外阅读的平均时间为()0.50.400.250.800.750.32 1.250.24 1.750.16 2.250.08 2.75 1.05⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，………………………………………………………………………………………… 5分（Ⅱ）从每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生有6人，…………………………… 6分其中读平均时间不少于2小时有3人，………………………… 7分令这三人分别为,,A B C .另外三人为,,a b c ，设抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时为事件E ，………………………………………………………………………………… 8分 从中抽中的这两个人所有情况为(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),a b ，(),a c ，(),b c 共15种，………………………………………………………………………………………… 10分 这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的情况为(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c 共9种…………………………………………………………………………………11分\抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率为()93155P E ==. …………………………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）如图所示，几何体ABCDE 中，A BC ∆为正三角形，CD ⊥ABC 面, //BE CD ,2BC CD BE ==,（Ⅰ）在线段AD 上找一点F ，使//EF 平面ABC ，并证明； （Ⅱ）求证：面ADE ⊥面ACD .解：（Ⅰ）点F 为线段AD 中点，…………………………………………………………2分证明如下：取线段AC 中点M ，连结BM ，FM ,EF//BE CD ，2BC CD BE ==则////FM CD BE ，且12FM CD BE ==，所以四边形BEFM 平行四边形，则//EF BM ，………………………………………4分又EF ⊄平面ABC ，BM ⊆平面ABC//EF ∴平面ABC ；…………………………………………6分 （Ⅱ）ABC ∆为正三角形， BM ∴⊥AC ，CD ⊥ABC 面,BM ⊆平面ABC ，CD BM ∴⊥， CD AC C ⋂=，BM ∴⊥面ACD ………………………………………8分//EF BMEF ∴⊥面ACD ………………………………………10分 又EF ⊆平面ADE∴面ADE ⊥面ACD .…………………………………………12分21．（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在直线2-=x y 上 （Ⅰ）若圆经过)2,3(-A 和(0,5)B -两点．i ）求圆C 的方程；ii ）设圆C 与y 轴另一交点为P ，直线l 过点P 且与圆C 相切．设D 是圆C 上异于,P BMF BACDE的动点，直线BD 与直线l 交于点R ．试判断以PR 为直径的圆与直线CD 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）设点)3,0(M ，若圆C 半径为3，且圆C 上存在点N ，使||2||NO MN =，求圆心C 的横坐标的取值范围．解：（Ⅰ）设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则圆心为(,)22D E--.……………1分i ）由题意知222133202550E DD E F E F ⎧-=--⎪⎪⎪+-+=⎨⎪⎪-+=⎪⎩ ………………………………………2分解得：0,4,5D E F ===-∴圆9)2(22=++y x C ： ………………………………3分 ii ）知(0,1)(0,5)P B -、， 则1=y l ： 设)0(),(≠m n m D55n DB y x m+=-：，)1,56(+n mR以PR 为直径的圆的圆心)1,53(+n mS ，半径|5|||3+=n m r ………………….5分22-+=x mn y CD ： 即02)2(=--+m my x n ……………………………… 6分 以PR 为直径的圆的圆心S 到CD 的距离设为d则2222)2(|5|||9)2(35)2(3mn n m mn mn n m d +++=++-++=. ………………………………7分又点D 在圆C 上，9)2(22=++∴n mr n m d =+=∴|5|||3故以PR 为直径的圆与直线CD 总相切 ………………………………………………8分（Ⅱ）设圆心(,2)C a a -，设),(y x N||2||NO MN =222244)3(y x y x +=-+∴∴点N 在圆4)1(22=++y x E ：上 ………………………………10分又点N 在圆C 上∴圆E 与圆C 有公共点 23122||232+≤+-=≤-∴a a EC ………………………………11分03≤≤-∴a 或41≤≤a ……………………………….12分22．（本小题满分14分）已知函数()1ln 2a x f x x x =-+ （Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 在点A ()1,0处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 有两个极值点1x 和2x ，设过()()11,M x f x ，()()22,N x f x 的直线的斜率为k ，求证：2k a >+．解：（Ⅰ）当1a =-时，()1ln 2x f x x x =--，则()'21112f x x x=+-……………………1分 ()'312f ∴=……………………2分 ∴函数()f x 在点A ()1,0处的切线方程()312y x =-， 化简得3230x y --=……………………3分（Ⅱ）()2'221221(0)22a x ax f x x x x x ++=++=>，令()222(0)g x x ax x =++> ①当2160a ∆=-≤时，()0g x ≥，220x >，则()'0f x ≥在(0,)+∞恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………5分②当2160a ∆=->时（ⅰ）当4a >时，()0g x >，则()'0f x ≥在(0,)+∞恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………6分（ⅱ）当4a <-时，()0g x =有两根，又()020g =>， 对称轴14a x =->，且211604a a x ---<=,22164a a x -+-= 令()0g x >，解得10x x <<或2x x >此时()'0f x >令()0g x <，解得12x x x <<，此时()'0f x <……………………8分综上所述：当44a -≤≤或4a >时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当4a <-时，()f x 在2160,4a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭和216,4a a ⎛⎫-+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 在221616,44a a a a ⎛⎫----+- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减。
2025届福建省泉州市安溪一中高三5月学情检测试题数学试题
2025届福建省泉州市安溪一中高三5月学情检测试题数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m ααβ∥∥，则m β∥ B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥ C ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥ D ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥2．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB ACC ．12+33AB ACD ．1233AB AC -3．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2B ．3C ．-2D ．-34．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ） A ．1112- B ．31- C ．221-D ．325．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）A ．58B ．57C ．56D ．556．已知复数21iz i=+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．2D ．27．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且8．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( ) A ．()112n n + B ．()1312n n - C ．2n n 1-+D ．222n n -+9．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>10．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（ ） A ．5B 5 C ．25D 2511．已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ） A 5B ．52C ．32D ．512．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省泉州五中届高三数学模拟试题 理 新人教A版
泉州五中2011届理科数学模拟试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答题卡上）1.已知集合A ＝{2x，y }，集合B ＝{-x 2，4}，若A ＝B ，则x 2+y 2的值为（ ）A.8B.20C.16D.122.已知i 是虚数单位，则2011)11(ii +-等于（ ） A.1B.-1C. iD.- i3.数列{a n }为递增等比数列，若a 1=1,且2a n+1+2a n -1=5a n (n ≥2)。
则此数列的前5项的和S 5＝（ ）A.1631 B.31C.32D.15 4.一个算法的流程图如图1所示，则输出i 的数为（ ）A.4B.5C.6D.75.一个几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积 （单位：cm 3）为（ ）A.π+33B.π+3C.2π+33D.2π+36.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所查的数据画了样本分布直方图（如图3），为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出300人作进一步的调查，其中低于1500元的称为低收入者，高于3000元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中分别抽取的人数是（ ）A.1000，2000B.60，120C.30，60D.10，20图2俯视图7.某班周四上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、英语、物理、体育、音乐6门课，若要求体育不排在上午第一、二节，并且体育课与音乐课不相邻，（上午第四节与下午第一节理解为相邻），则不同的排法总数为（ ）A.312B.288C.480D.4568.已知)(x f ＝cos （ωx +3π）(ω>0)的图象与y=-1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y=)(x f 的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象（ ）A.向左平移125π个单位B.向右平移125π个单位 C.向左平移127π个单位D.向右平移127π个单位9.若抛物线C 1：y 2=2Px(p>0)与双曲线C 2：0.0(12222>>=-b a by a x ）有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥X 轴，记θ为双曲线C 2的一条渐近线的倾斜角，则θ所在的区间是（ ）A.（0，4π） B.（6π，4π） C.（4π，3π） D.（3π，2π） 10.定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同），称为平面斜坐标系。
福建省泉州市高一下学期5月月考数学试题(解析版)
高一年段五月月考数学科试题（考试时间：120分钟；满分：150分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，若，则（）()()2,4,6,a b m ==-()a a b⊥+ m =A. B.C. 0D. 32-1-【答案】A 【解析】【分析】求出，利用向量垂直列出方程，求出答案.()4,4a b m +=-+【详解】因为，由，得，所()()()2,4,6,,4,4a b m a b m ==-+=-+()a ab ⊥+ ()8440m -+⨯+=以． 2m =-故选：A ．2. 已知函数是定义在上的单调减函数：若，则的取值范围是（ ） ()f x [)0,∞+()1213f a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭a A. B. C. D.2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭12,23⎛⎫⎪⎝⎭2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭12[,23【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性即可解不等式． 【详解】由已知，解得， 10213a ≤-<1223a ≤<故选：D3. 已知复数是关于的方程的一个根，则 （ ）2i -x ()20,x px q p q R ++=∈pi q +=A. 25B. 5C.D. 41【答案】C 【解析】【分析】将代入原方程，然后根据复数相等求解出的值，则可求.2i -,p q pi q +【详解】因为复数是关于的方程的一个根， 2i -x 20x px q ++=所以，所以， ()()2220i p i q -+-+=423pi q i p +=+-所以，所以， 4,23p q p ==-4,5p q ==则，45pi q i +=+=故选：C .4. 设有两条不同的直线和两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） m n 、αβ、A. 若，则,m n αα∥∥m n ∥B. 若，则 ,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥αβ∥C. 若，则 ,m n m α⊂∥n α∥D. 若，则 ,m αβα⊂∥//m β【答案】D 【解析】【分析】根据线面平行的性质与判定逐个选项分析即可.【详解】若，则可以平行､相交或异面，故A 错误； ,m n αα∥∥,m n 若与相交，则，故B 错误； ,,,,m n m n m ααββ⊂⊂∥∥n αβ∥若，则或，故C 错误； ,m n m α⊂∥n α∥n ⊂α若，则，故D 正确. ,m αβα⊂∥//m β故选：D.5. 如图是底面半径为的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆3S 锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，则该圆锥的表面积为（ ）3A. B.C.D.36π27π9π【答案】A 【解析】【分析】设圆锥的母线长为，题意可知，再利用圆锥的表面积公式进行计算． l 2π33πl l =⨯【详解】设圆锥的母线长为，以为圆心，母线为半径的圆的面积为， l S l 2πS l =又圆锥的侧面积，π3πS rl l ==圆锥侧因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了周，所以，解得，32π33πl l =⨯9l =所以圆锥的表面积，23π9π336πS S S =+=⨯⨯+⨯=圆锥侧底故选：A ． 6. 函数的图象大致是（ ） ()21sin 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性和的符号，使用排除法可得. ()2f 【详解】的定义域为R ，()f x 因为 ()e 12122e e 1sin()1sin sin 11e e x x xx x f x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎭⎝-⎝⎝⎭⎭，所以为偶函数，故CD 错误；1sin 1sin ()e e 2211x x x x f x ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()f x 又因为，，所以，故B 错误. ()2221sin 21e f ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭2210,sin 201e -<>+()20f <故选：A7. 正方体的棱长为2，点分别是棱中点，则过点三点1111ABCD A B C D -,,P Q R 1111,,A D C D BC ,,P Q R 的截面面积是（ ）A.B.C. D. 【答案】D 【解析】【分析】作图作出过点三点的截面，说明截面为正六边形，求得边长皆可求得截面面积. ,,P Q R 【详解】如图，设AB 的中点为H ，连接HR 并延长，交DA 延长线于E ,交DC 延长线于F ，连接PE 交于G ,连接QF 交 于I ，连接GH,RI ,则六边形PQIRHG 为过点三点的截面，1A A 1C C ,,P Q R由题意可知， ,则 ,AHE BHR A A ≌1AE BR ==故,可知 ,即G 为的中点， 1AGE AGP A A ≌1AG A G =1A A 同理可证I 为的中点，故可知六边形PQIRHG 为正六边形， 1C C，故其面积为 ，即过点三点的截面面积是， 26=,,P Q R 故选：D8. 将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的ABC ∆AD 120BDC ∠= A B C D 、、、O 表面上，则球的表面积为（ ）OA.B. C.D.72π7π132π133π【答案】B 【解析】【分析】通过底面三角形BCD 求出底面圆的半径DM ，判断球心到底面圆的距离OM ，求出球O 的半径，即可求解球O 的表面积．【详解】△BCD 中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为：r,由余弦定理得到，再由正弦定理得到2 1.r r =⇒=见图示：AD 是球的弦，，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径.∴球的半径． 该球的表面积为：4π×OD 2=7π； 故选B ．【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知向量，，则（ ）()2,1a = ()1,3b =-A.B.1a b ⋅= 2-=a b C. 与同向的单位向量是D. 向量在上的投影向量是aa b 110b 【答案】ABD 【解析】【分析】由向量的数量积的坐标运算可判断A ；由向量的坐标减法运算和模长计算可判断B ；由单位向量的定义可判断C ；由投影向量的定义可判断D.【详解】对于A ，由题意可得，则A 正确．()21131⋅=⨯-+⨯=a b 对于B ，因为，，所以，所以，则B正确．()2,1a = ()1,3b =-()25,1-=-ab2-=a b 对于C ，与同向的单位向量是，则C 错误．a )2,1==对于D ，向量在上的投影向量是，则D 正确． a b110a b b b bb ⋅⋅=故选：ABD.10. 若函数图象的一个最高点为，且相邻两条对()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭π,26⎛⎫⎪⎝⎭称轴间的距离为，则下列各选项正确的是（ ） π2A.π2,2,6A ωϕ===B. 在上单调递增()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.是的一个零点 5π12()f x D. 的图象向右平移个单位得到的图象()f x π62sin2y x =【答案】AC 【解析】【分析】根据已知可求出，，进而得出，.代入点的坐标，结合2A =πT =2ω=()()2sin 2x x f ϕ=+的范围即可得出，，得出A 项；求出，根据正弦函数ϕπ6ϕ=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ7π2666x ≤+≤的单调性，即可判断B 项；将代入解析式，即可判断C 项；根据图象平移变换得出解析式，即可判5π12断D 项.【详解】对于A 项，由已知可得，，，所以，，，2A =π22T =πT =2π2πω==所以，. ()()2sin 2x x f ϕ=+又， πππ2sin 22sin 2663f ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，，所以，sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭ππ2π,32k k ϕ+=+∈Z 所以，. π2π,6k k ϕ=+∈Z 因为，所以，，故A 项正确； π02ϕ<<π6ϕ=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于B 项，因为，所以， π02x ≤≤ππ7π2666x ≤+≤函数在上单调递增，在上单调递减，故B 项错误； sin y x =ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于C 项，因为，所以是的一个零点，故C 项正5π5ππ2sin 22sin π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π12()f x 确；对于D 项，将的图象向右平移个单位，可以得到的图()f x π6πππ2sin 22sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦象，故D 错误. 故选：AC.11. 对于，角所对的边分别为，下列说法正确的有（ ） ABC A ,,A B C ,,a b c A. 若，则一定为等腰三角形 sin2sin2A B =ABC A B. 若，则一定为等腰三角形 sin sin A B =ABC A C. 若，则有两解 ,5π6,4A b a ===ABC A D. 若，则一定为锐角三角形 tan tan tan 0A B C ++>ABC A 【答案】BD 【解析】【分析】根据已知可得或，即可判断A 项；根据正弦定理可得，即可判断22A B =22πA B +=a b =B 项；根据已知可推得只有一解，即可判断C 项；根据两角和的正切公式，可推得B ，即可得出D 项.tan tan tan 0A B C ⋅⋅>【详解】对于A 项，由可知，或， sin2sin2A B =22A B =22πA B +=所以，或， A B =π2A B +=所以，为等腰三角形或直角三角形，故A 错误； ABC A 对于B 项，根据正弦定理可得，，所以， sin sin a bA B =sin 1sin a A b B==a b =所以一定为等腰三角形，故B 正确； ABC A 对于C 项，因为，所以，又， a b >A B >sin 20sin 15b A B a <==<所以只有一解，所以，有一解，故C 错误； B ABC A 对于D 项，因为， ()πC A B =-+所以，，()tan tan tan tan 1tan tan A B C A B A B+=-+=--整理可得，. tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅因为，所以，tan tan tan 0A B C ++>tan tan tan 0A B C ⋅⋅>所以，都是锐角，所以一定为锐角三角形，故D 正确. ,,A B C ABC A 故选：BD .12. 已知点O 为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（）ABC A 230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r rA.1324AO AB AC =+u u u r u u u r u u u rB. 直线必过边的中点 AO BCC.:3:2AOB AOC S S =△△D. 若，且，则1OB OC ==u u u r u u u r OB OC ⊥OA =u u r 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设条件，化简得到，可判定A 是正确的；根据向量的线性运算法423AO AB AC =++u u u r u u u r u u u r则，化简得到，可判定B 不正确；根据，得到，结2()4OB OC AC OD +=-=- 4AC OD =- 32BE EC =合三角形的面积公式，可判定C 正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D 是正确的.【详解】如图所示，点O 为所在平面内一点，且，ABC A 230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r可得，即，223350AO OB OA OC OA OA +-+-+=u u u r u u u r u u r u u u r u u r u u r r()()23AO OB OA OC OA =-+- 即，所以，所以A 是正确的；423AO AB AC =+1324AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r 在中，设为的中点，ABC A D BC 由，可得，230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r()2()0AO OC OB OC +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r 所以，所以直线不过边的中点，所以B 不正确；2()4OB OC AC OD +=-=-AO BC 由，可得且，4AC OD =-4AC OD = //AC OD 所以，所以，可得，所以 14DE OD EC AC ==14DE EC =25EC BC =32BE EC =所以，所以C 正确； 1sin 3212sin 2AOB AOC AD BE AEB S BE S EC AD EC OEC ⨯∠===⨯∠△△由，可得230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 23OA OB OC =+u u r u u u r u u u r 因为，且，1OB OC ==u u u r u u u r OB OC ⊥ 可得， 222223412913OA OB OC OB OB OC OC =+=+⋅+=u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u uu r u u u r 所以D 是正确的.OA =u u r故选：ACD.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数满足（是虚数单位），则 ．z ()117i z i +=-i z =【答案】5 【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【详解】由（1+i ）z=1﹣7i ， 得， ()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-则． 5=故答案为5．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 14. 如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是________.AOB A AOB A【答案】. 16【解析】 【分析】根据斜二测法，所得直观图中三角形的高为4，即有的高为8，而底边为4不变，根据三角形面积AOB A 公式即可求的面积.AOB A 【详解】由斜二测法画图原则：横等纵半， ∴的高为8，即， AOB A 184162AOB S =⨯⨯=A 故答案为：.16【点睛】本题考查了根据斜二测法所得直观图求原图面积，属于基础题. 15. 图（1）阴影部分是由长方体和抛物线围成，图（2）阴影部分是由半径为3的半圆ABCD 213y x =和直径为3的圆围成的，这两个阴影部分高度相同，利用祖暅原理，可得出图（1）阴影部分绕轴O P y 旋转而成的几何体的体积为______．【答案】## 272π13.5π【解析】【分析】分析图一与图二旋转后的几何体的结构特征，根据祖暅原理，求几何体一的体积. 【详解】图一绕轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分， y 将图二以小圆的直径为轴旋转一周可得一个半球挖去一个小球，将两个几何体放在同一水平面上，用与圆柱下底面距离为的平面截两个几何体，可得截面都(03)t t <<为圆环，纵截面图如下，几何体一的截面面积为223=93t ππππ⨯--几何体二的截面面积为，22=93t ππππ⨯--又两几何体等高，由祖暅原理可得两几何体的体积相等，又几何体二的体积332144327323322V πππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=⎪⎝⎭所以几何体一的体积, 1272V π=故答案为：272π16. 如图，在Rt △AOC 中，，圆O 为单位圆．3AO CO ==（1）若点P 在圆O 上，，则______________60AOP ∠=︒AP =（2）若点P 在△AOC 与圆O 的公共部分的圆弧上运动，则的取值范围为__________14PA PC ⋅ 【答案】 ①.②.12⎡⎤--⎣⎦【解析】【分析】（1）根据结合数量积的运算律即可求出；AP =AP （2）法一：根据，结合余弦函数的性()()1,PA PC PO OA PO OC PO OA OC ⋅=+⋅+=++质即可得解.法二：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴，OC 所在直线为x 轴建立坐标系，设，再根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质即可得解.()πcos ,sin ,0,2P θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）在△AOP 中，，，，3AO =1OP =60AOP ∠=︒，AP OP OA =- 则，AP ====即AP =（2）法一：()()()2PA PC PO OA PO OC PO PO OA OC OA OC ⋅=+⋅+=+⋅++⋅()11cos ,PO OA OC PO OA OC PO OA OC =+⋅+=+++，1,PO OA OC =++因为，所以，3,π,π4PO OA OC ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦cos ,1,PO OA OC ⎡+∈-⎢⎣ 故的取值范围为．PA PC ⋅12⎡⎤--⎣⎦法二：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴，OC 所在直线为x 轴建立坐标系， 设，，，()πcos ,sin ,0,2P θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0,3A ()3,0C 所以，，()cos ,3sin PA θθ=-- ()3cos ,sin PC θθ=--则 ()()22cos cos 3sin sin 3cos sin 3cos 3sin PA PC θθθθθθθθ⋅=-+-=+--，()π13cos sin 14θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭∵，则，∴， π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦πsin 4θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦， π1124θ⎛⎫⎡⎤-+∈-- ⎪⎣⎦⎝⎭即．12PA PC ⎡⎤⋅∈--⎣⎦故答案为：（1；（2）.12⎡⎤--⎣⎦【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方； 22a a =（2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化； 22a a a a ⋅== = a （3）一些常见的等式应熟记：如，等.()2222a ba ab b ±=±⋅+()()22a b a b a b +⋅-=- 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为（1）求圆锥的表面积；（2）如图，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体AO 1O 积．【答案】（1）；9π（2）. 158π【解析】【分析】（1）设圆锥的底面半径为r ，高为h ，分别求出侧面积和底面积即可得到答案.（2）先求出圆锥的体积，为的中点，利用相似比求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的体积，剩1O AO 下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，即可得到答案. 【小问1详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h由题意，得：，∴，∴2r π=r =3h =∴圆锥的侧面积 16S rl ππ===圆锥的底面积 223S r ππ==∴圆锥的表面积 129S S S π=+=【小问2详解】由（1）可得：圆锥的体积为 211133333V r h πππ==⨯⨯=又圆柱的底面半径为，高为 2r =322h =∴圆柱的体积为 2233922428r hV πππ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭∴剩下几何体的体积为 12915388V V V πππ=-=-=18. 如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记.45,60ABC BCD ∠=∠= ,AB a AC b →→→→==（1）试用表示向量; ,a b →→,AD CD →→（2）若，求.1b →=AB CD →→⋅【答案】（1），；（2.AD a →→=+)1CD a b →→→=+-1+【解析】【分析】（1）由题易知，再结合即可得，进而即CB a b →→→=-BD →=AD a →→=CD AD AC →→→=-可得答案；（2）由题知，，进而根据向量数量积运算求解即可.1a b →→⋅=a →=【详解】（1）因为，所以，,AB a AC b →→→→==CB AB AC a b →→→→→=-=-由题意可知， ，//,AC BD BD ==所以，则，BD →=AD AB BD a →→→→=+=)1CD AD AC a b →→→→→=-=+（2）因为，所以， ，1b →=a →=cos 114a b a b π⋅=⋅==所以))211211AB CD a a b a a b →→→→→→→→⎡⎤⋅=⋅+=+-⋅==+⎢⎥⎣⎦19. 某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段表示角楼的高，为AB ,,C D E 三个可供选择的测量点，点在同一水平面内，与水平面垂直.从以下六个几何量中选择三个进行,B C CD 测量，并根据所选择的几何量测量故宫角楼高度，请写出选择的编号（只需写出一种方案）①D ，E 两点间的距离； ②C ，E 两点间的距离； ③由点观察点A 的仰角； C α④由点观察点A 的仰角； D β⑤和； ACE ∠AEC ∠⑥和.ADE ∠AED ∠【答案】①③④（答案不唯一，也可选择②③⑤） 【解析】【分析】要想求出角楼的高，应该知道其中一边的长度，即应选择①②中的一个，然后在对应的三角形中，找寻其他的量，逐步求解，即可得出答案.【详解】若要求角楼的高即长，必要知道一边长，若知，两点间的距离长，在梯形AB C D CD ABCD 中解和即可，此时可选①③④；若知，两点间的距离即长，则解和ACD A ABC A C E CE ACE △即可得解，此时可选②③⑤.ABC A 若选①③④，由已知可得，， π2ABC BCD ∠=∠=在中，，，， ACD A π2ACD α∠=-π2ADC β∠=+CAD αβ∠=-所以， πsin()sin 2AC CDαββ=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以，cos sin()AC CD βαβ=⋅-所以，其中各个量均已知；cos sin sin sin()AB AC CD βαααβ=⋅=⋅-若选②③⑤，已知和，则，ACE ∠AEC ∠πCAE ACE AEC ∠=-∠-∠由，sin sin sin()AC CE CEAEC CAE ACE AEC ==∠∠∠+∠所以，sin sin()AECAC CE ACE AEC ∠=⋅∠+∠所以 其中各个量均已知.sin sin sin sin()AEC AB AC CE ACE AEC αα∠⋅==⋅∠+∠其他选择方案均不可求得长.AB 20. 如图：在正方体中，，为的中点.1111ABCD A B C D -2AB =M 1DD（1）求证：平面；1//BD AMC （2）若为的中点，求证：平面平面. N 1CC //AMC 1BND 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，由已知可证明，再根据线面平行的判定BD AC O OM 1//OM BD 定理即可得证；（2）证明四边形为平行四边形，从而可得，即可证得平面，再根据1CND M 1//D N CM 1//D N AMC 面面平行的判定定理即可得证. 【小问1详解】如图1，连接，交于点，连接， BD AC O OM 根据正方体的性质可知，是中点. O BD 因为是的中点，M 1DD 所以在中，有.1DBD △1//OM BD 因为平面，平面， 1BD ⊄AMC OM ⊂AMC 所以，平面. 1//BD AMC 【小问2详解】如图2，连接，1,D N BN 因为为的中点，为的中点， N 1CC M 1DD 所以.1CN D M =根据正方体的性质可知，，所以. 11//CC DD 1//CN D M 所以，四边形为平行四边形， 1CND M 所以.1//D N CM 因为平面，平面，1D N ⊄AMC CM ⊂AMC 所以，平面.1//D N AMC 因为，平面，平面， 111D N BD D = 1D N ⊂1BND 1BD ⊂1BND 所以，平面平面.//AMC 1BND 21. 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知. ABC A sin sin (sin sin )bA CBC a c-=-+（1）求角A ；（2）从三个条件：①；②；③的面积为周3a =3b =ABC A ABC A长的取值范围. 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析.3A π=【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，可得，然后利用余弦定理，可得. 222b c a bc +-=A （2）若选①，使用正弦定理以及辅助角公式可得，根据的范围可得结果；选6sin 36π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭l B B ②，利用正弦定理可得，可得结果.选③结合不等式可得结果. 92=+l 【详解】（1）因为， sin sin (sin sin )bA CBC a c-=-+所以，得， ()ba cbc a c-=-+222b c a bc +-=所以，因为，所以. 2221cos 22b c a A bc +-==(0,)A π∈3A π=（2）分三种情况求解： 选择①，因为，3a =,33Aa π==由正弦定理得sin sin sin b c aB CA===即的周长ABC A 3=++=++l ab c B C233π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭l B B3cos 3B B =++，6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为，所以， 20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭51,sin 166626B B ππππ⎛⎫<+<<+ ⎪⎝⎭…即周长的取值范围是. ABC A (6,9]选择②,因为，3b=,33A b π==由正弦定理得=a23sin 3sin 33sin sin 2π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+B C c B B 即的周长ABCA 92=++=+l a b c992222B B =+=+，92=+因为，所以，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭023B π<<0tan 2B <<即周长的取值范围是.ABC A (6,)+∞选择③. ABC S =A 因为，得， 1,sin 32ABC A S bc A π====A 12bc =由余弦定理得， 22222()3()36a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-即的周长，ABCAl a b c b c =++=++因为，当且仅当时等号成立，b c +=…b c ==所以l +=…即周长的取值范围是.ABC A )+∞【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，熟练掌握公式，边角互化化繁为简，考查分析问题的能力，属中档题.22. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向O ()sin cos f x a x b x =+(),OM a b =()f x 量，同时称函数为向量的伴随函数.()f x OM（1）设函数，试求的伴随向量；()2π3πsin cos 32g x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x OM（2）记向量的伴随函数为，求当且时，的值；(ON = ()f x ()65f x =ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin x （3）当向量时，伴随函数为，函数，求在区间OM = ()f x ()()2h x f x =()h x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上最大值与最小值之差的取值范围.【答案】（1）12OM ⎛= ⎝ （2）sin x =（3）【解析】【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量.()g x OM （2）先求得，由求得，进而求得，从而求得. ()f x ()65f x =πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin x （3）先求得，然后根据三角函数的最值求得正确答案.()h x 【小问1详解】()2π3πsin cos 32g x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11sin sin sin 22x x x x x =-++=所以.12OM ⎛= ⎝ 【小问2详解】依题意， ()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由得， ()65f x =π6π32sin ,sin 3535x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以， ππππ,,0,3632x x ⎛⎫⎛⎫∈-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π4cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以ππ1ππsin sin sin 33233x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【小问3详解】的函数解析式， ()f x ()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以 ()sin 24h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭区间的长度为，函数的周期为， ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦4π()sin 24h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π若的对称轴在区间内， ()h x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦不妨设对称轴在内，最大值为1， 8x π=,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦当即在区间上的最大值与最小值之差取得()π4h t h t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()π04h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭()h x ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦最小值为； 1=其它的对称轴在， ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最()h x ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()h x ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦小值，则最大值与最小值之差为：()sin 2sin 24244h t h t t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()cos 2sin 2224π⎛⎫⎛⎛=+-+≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎝t t t t故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 ()sin 24h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法.。
福建省泉州高三数学第一次质量检查试题 理 新人教A版
高中毕业班第一次质量检查理 科 数 学参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式s=V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V=Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U =R ，集合2{0}M x x x =->，则M C U =( )A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x ≤≤C ．{|01}x x x <>或D ．{|01}x x x ≤≥或2．如图，在复平面内，若复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB，则复数12z z +所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设函数)()(R x x f ∈满足)()(x f x f =-，)()2(x f x f =+，则函数)(x f y =的图像可 以是( )A. B.C. D.4.已知,l m 为两条不同的直线，α为一个平面。
若α//l ，则“m l //”是“α//m ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件5.若等比数列{}n a 的首项为19，且241(2)a x dx =⎰，则数列{}n a 的公比是( )A. 3B.13 C. 27 D. 1276.若双曲线2219x y m -=的渐近线方程为30y ±=，则椭圆2214x y m +=的离心率为( ) A.21 B. 22215- 7. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，在包围 该三棱锥的外接球内任取一点，则该点落在三棱锥内部的概率为 ( ) A. 49π B. 227π C. 427π D. 29π8. 有四个关于三角函数的命题： ①∃x ∈R, 2sin2x +2cos 2x =12②,x y R ∃∈, sin()sin sin x y x y -=-③三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边的长分别为a 、b 、c ，若 a 、b 、c 成等差数列，则30π≤<B ④sin cos 2x y x y π=⇒+=其中假命题．．．的是( ) A. ①④ B.②④ C. ①③ D.②③9. 如图，已知圆C 直径的两个端点坐标分别为()()010,9，B A --、，点P 为圆C 上（不同于B 、A ）的任意一点，连接PB 、AP 分别交y 轴于M 、N 两点，以MN 为直径的圆与x 轴交于D 、F 两点，则弦长DF 为( )A. 7B. 6C. 72D. 6210.对于定义域为[0,1]的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件：①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ②1)1(=f ③若0,021≥≥x x ，121≤+x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+ 成立； 则称函数)(x f 为ϖ函数.下面有三个命题：(1)若函数)(x f 为ϖ函数，则0)0(=f ； （2）函数])1,0[(12)(∈-=x x f x 是ϖ函数；（3）若函数)(x f 是ϖ函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00)]([x x f f =，442正视图侧视图俯视图第7题图第9题图则00)(x x f =； 其中真命题．．．个数有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答） 12．已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则11()()42x yz =⋅的最小值为_____．13．定义一种运算S a b =⊗，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“⊗”的含义。
福建省福州第一中学2024届高三下学期5月模拟数学试题
福建省福州第一中学2024届高三下学期5月模拟数学试题一、单选题1．已知{}21x A x =>，{}220B x x x =+-≤，则A B ⋃=（ ）A ．{}2x x >-B ．{}2x x ≥-C ．{}01x x <≤D ．{}01x x ≤≤2．已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-r r ，若||||a b a b +=-r r r r，则实数n =（ ）A ．BC ．-2D ．23．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a ⋅=，则5S =（ ） A ．30B ．31C ．62D ．634．将甲、乙等5名同学分配到3个社区进行志愿服务，要求每人只去一个社区，每个社区不能少于1人，且甲、乙在同一社区，则不同的安排方法数为（ ） A ．54B ．45C ．36D ．275．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()32f x x x =+，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为（ ） A ．52y x =--B ．58y x =--C ．52y x =+D ．58y x =+6．已知圆锥的顶点为S ，母线,SA SB 所成角的余弦值为78，倍，若SAB △的面积为 ）A ．B ．(40π+C ．D ．(40π+7．当药品A 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少，另一种药物B 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少．现同时给两位患者分别注射800mg 药品A 和500mg 药品B ，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（ ）（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈） A ．0.57hB ．1.36hC ．2.58hD ．3.26h8．在ABC V 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，点M 为边BC 的中点，若AM AC =，()cos 2cos B A C =+，则sin BAC ∠=（ ）A B C D二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．数据40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位数为32B ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=；则()240.34P ξ<<=C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为ˆˆˆy a bx =+；若ˆ2b=，1x =，3y =，则ˆ1a= D ．若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为2，则数据121021,21,,21x x x --⋅⋅⋅-的方差为410．已知12,F F 为椭圆()222Γ:11x y a a+=>的左，右焦点，P 为平面上一点，若120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，则（ ）A ．当P 为Γ上一点时，12PF F △的面积为1B ．当P 为Γ上一点时，1211PF PF +的值可以为1 C ．当满足条件的点P 均在Γ内部时，则ΓD ．当点P 在Γ的外部时，在Γ上必存在点M ，使得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是1111,,AA CC C D 的中点，Q 是线段11D A 上的动点（不含端点），则（ ）A ．存在点Q ，使//PQ 平面MBNB ．存在点Q ，点Q 到直线BP 的距离等于23C ．过,,,A M B N 四点的球的体积为9π2D ．过,,Q M N 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为六边形三、填空题12．已知复数z 满足()()234i 1i z -=+（i 是虚数单位），则z =．13．能够说明“若()(0)<f x f 对任意的(]0,2x ∈都成立，则函数()f x 在[]0,2是减函数”为假命题的一个函数是．（答案不唯一）14．设集合A 为含有n 个元素的有限集．若集合A 的m 个子集12,,,m A A A ⋅⋅⋅满足以下3个条件：①12,,,m A A A ⋅⋅⋅均非空；②12,,,m A A A ⋅⋅⋅中任意两个集合交集为空集；③12m A A A A ⋅⋅⋅=U U U ．则称12,,,m A A A ⋅⋅⋅为集合A 的一个m 阶分拆．若{}1,2,3,,2024A =⋅⋅⋅，12,A A 为A 的2阶分拆，集合1A 所有元素的平均值为P ，集合2A 所有元素的平均值为Q ，则P Q -的最小值等于，最大值等于．四、解答题15．已知数列{}n a 中，112a =，1ππ23cos()36n n n a a +=-．(1)证明：数列π{cos}3n n a -为常数列； (2)求数列{}n na 的前2024项和．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD V 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，PC ,E F 分别为,PD BE 的中点.(1)证明：,,,P A C F 四点共面；(2)求直线DF 与平面PAC 所成角的正弦值.17．某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店外卖覆盖A ，B 两个区域，骑手入职只能选择其中一个区域.其中区域A 无底薪，外卖业务每完成一单提成5元；区域B 规定每日底薪150元，外卖业务的前35单没有提成，从第36单开始，每完成一单提成8元.为激励员工，快餐连锁店还规定，凡当日外卖业务超过55单的外卖骑手可额外获得“精英骑手”奖励50元.该快餐连锁店记录了骑手每天的人均业务量，整理得到如图所示的两个区域外卖业务量的频率分布直方图.（1）从以往统计数据看，新入职骑手选择区域A 的概率为0.6，选择区域B 的概率为0.4， （i ）随机抽取一名骑手，求该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率；（ii ）若新入职的甲，乙､丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人区域选择相互独立，求至少有两名骑手选择区域A 的概率；（2）若仅从人均日收入的角度考虑，新聘骑手应选择入职哪一区域？请说明你的理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）.18．已知双曲线22:13x C y -=的上、下顶点分别为,A B ．(1)若直线:2l y kx =+与C 交于,M N 两点，记直线AM 与BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值；(2)过C 上一点D作抛物线2x =的切线1l 和2l ，切点分别为,P Q ，证明：直线PQ 与圆221x y +=相切．19．已知函数()e xf x =，()sin cosg x x x =+，其中e 为自然对数的底数.(1)证明：0x ≥时，e 1sin x x x -≥≥；(2)求函数()()()h x f x g x =-在5π,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内的零点个数；(3)若()()2f x g x ax +≥+，求a 的取值范围.。
福建省泉州三中2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
福建省泉州三中2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则AB =（ ）A ．{}2345，，，B ．{}234，，C ．{}1234，，，D ．{}01234，，，， 2．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB BAC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心3．已知集合{}15{|},|2M x x N x x =-≤<=<，则MN =（ ）A ．{|12}x x -≤<B ．{}|25x x -<<C ．{|15}x x -≤<D ．{}|02x x <<4．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．46．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④ B ．①③ C ．②③D ．①②④7．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）A ．68B ．64C ．32π D ．23π 9．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111bba a ->- B ．()()211b ba a ->- C ．()()11ab a b +>+ D ．()()11a ba b ->-10．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（ ）A ．8B ．7C ．4D ．311．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=12．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建泉州市2020年高三数学(理)5月质检试卷附答案解析
2． (x 1)(x 2)7 的展开式中 x6 的系数为（ ）
A．14
【答案】D
B． 28
C． 70
D． 98
【解析】将 x 27 展开，从而得到含 x6 的项为 1 C71x6 21 x C72 x5 22 ，计算其系数，即可得答案；
【详解】
将 x 27 展开，得 C70 x7 20 C71x6 21 C72 x5 22 C77 x0 27 ，
PB _______． QB 15． ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ， a sin B 3b cos A, a 3 ．若点 D 在边 BC 上，且
2
BD 2DC ，则 AD 的最大值是_______． 16．若存在过点 (1, a ) 的直线 l 与函数 f (x) x e x ， g(x) x eax 的图象都相切，则 a _______．
二、填空题
13．在复平面中，复数 z1, z2 对应的点分别为 Z1 1, 2 , Z2 2, 1 ．设 z1 的共轭复数为 z1 ，则 z1 z2 _______． 14．已知点 A 1, 0 ， B 1,0 ，过 A 的直线与抛物线 y2 4x 相交于 P,Q 两点．若 P 为 AQ 中点，则
P( 3 X 3 ) 0.9974 ．
4
21．已知函数 f (x) (1 x2 ax) ln x 1 x2 ax ．
2
4
（1）若 f (x) 在 (0, ) 单调递增，求 a 的值；
（2）当 1 a 3 e 时，设函数 g x f x 的最小值为 ha ，求函数 ha 的值域．
A．14
B． 28
C． 70
3．已知向量 AB 1, 2 ， AC 4, 2 ，则 ABC 的面积为（
2020年福建省泉州一中高三数学普通高中毕业班模拟考试理
2020年泉州一中普通高中毕业班模拟考试理科数学（2020.5.26）命题 邱形贵本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚。
4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：样本数据11,,n x x x …，的标准差 锥体体积公式13V Sh =s = 其中S 为底面面积，h 为高其中x 为样本平均数 球的表面积、体积公式柱体体积公式V Sh = 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡上。
1．已知复数z 满足(12i)z 5i +=，则z 等于（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i + D ．12i -2．设集合},2|{},,|{2R x y y B R x x y y A x∈==∈==,则B A I 等于( ) A ．{2,4} B ．{|0}y y > C ．{(2,4),(4,16)} D ．{4,16}3．已知 a r ，b r 是两个非零向量，给定命题p: |a r ·b r |=|a r ||b r |，命题q:∃t ∈R,使得a r =t b r，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知圆22:8O x y +=，点(2,0)A ，动点M 在圆上，则OMA ∠的最大值为（ ） A ．512πB ．6πC ．3πD ． 4π5．设11, 2OM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，()0, 1ON =u u u r，则满足条件01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ，01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r 的动点P 的变化范围(图中阴影部分含边界)是（ ）6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．15B ．29C ．31D ．637．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )s tO A ．stO st OstOB ．C ．D ．8．编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小球放在如图所示五个盒子中。
福建省泉州市重点中学2025届高考数学五模试卷含解析
福建省泉州市重点中学2025届高考数学五模试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列与函数1y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x=D ．14y x =2．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．3．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）． A ．15±B ．15-C ．15D ．75-4．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是A ．6m ≠B ．5m ≠C ．4m ≠D ．3m ≠5．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ） A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a b -)D ．a ⊥( a b -)6．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米7．不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（ ）A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>C ．(),x y ∀∈Ω，231y x +>- D ．(),x y ∃∈Ω，251y x +>- 8．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月9．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．3410．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29B ．30C ．31D ．3211．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e ⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） A ．1eBCD ．21e12．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74B ．32C ．2D ．54二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建泉州一中2022高三5月抽考-数学(理)
福建泉州一中2022高三5月抽考-数学（理）数学（理工农医类） Ⅰ卷（满分：150分 考试时刻:120分钟 ）一、选择题（请把选项代号填入．．．．．．．．Ⅱ．卷相应位置上．．．．．．，每题5分。
本题满分50分） 1. i 是虚数单位，集合35{,3,}12A i i i=--中的元素之和为（ ）A ．1B ．0C ．2D ．32．）（0360sin 2log 的值是（ ）A ．21B ．23 C ．21- D ．23-3. 在等差数列}{n a 中,=+++=10752111111a a a a S ，则项和若前( )A. 5 B ．6 C ．4 D ．84．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1111AA A B C ⊥面，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为（ ）.A.B. 4C. 22D.35．已知随机变量X 服从正态分布N (3，41)，且P （X >27）=0.1587，则P (25≤X ≤27)=（ ）A ．0.6588B ．0.6883C ．0.6826D ．0.65866．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若)3sin 2,4(tan ),23sin ,32(tan ππππ==b a ,则a b ⨯=（ ）A B. 2 C ． 23D ．47．设B A ,为x 轴上两点,点M 的横坐标为2,且()MA MB AB +⊥,若直线MA 的方程为01=+-y x ,则直线MB 的方程为( )A.072=-+y xB.012=--y x C .042=+-y x D.05=-+y x1 1 _ B_ A _ _ _正视图 俯视图 B 1 A 18．在531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为p ，则=+⎰dx p x)3(12（ ）A ．1B ．3C ．7D ．119. 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点为1F 和2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于Q P ,两点，22,0PQ PF PQ PF =⋅=且，则椭圆的离心率为（ ）A ．12-B ．36-C ．236- D ．263-10．如图，三行三列的方阵中，从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1 的概率是 （ ） A 8413B 72⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛55331135217532C 8471D 75二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把答案填入．．．．．．Ⅱ．卷相应位置上．．．．．．)。
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数 学 试 题（理科）（考试时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置． 1．复数i34ia z +=∈+R ，则实数a 的值是（ ）． A ．43-B ．43C ．34D ．34-2.设随机变量X 服从正态分布N （0，1），P （X>1）= p,则P （X>－1）=（ ） A ．p B ．1－p C ．1－2p D ．2p3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2086=+a a ，那么13S 的值是( ) A ．20 B ． 40 C ． 130 D ．260 4．下列结论错误的．．．是（ ） A ．命题“若p ，则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题; B ．命题:[0,1],1xp x e ∀∈≥，命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为真;C ．若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题．D ．“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题;5.已知直线α平面⊥l ，直线β平面⊂m ，则“βα//”是“m l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.一个几何体的三视图如图所示，其中 俯视图是一个菱形，则该几何体的体积 为（ ） A．3 B ．4 C ．D．7．已知角α的终边上有一点21(,)(0)4P t t t +>，则tan α的最小值为（ ） A ．12B ．1 CD ．28．某客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过25kg 按0.5元/kg 收费， 超过25kg 的部分按0.8元/kg 收费，计算收费的程序框图如右图所示，则①②处应填( )正视图 侧视图俯视图A ．0.8y x = 0.5y x =B ．0.5y x = 0.8y x =C ． 0.812.5y x =+ 0.8y x =D ．0.87.5y x =- 0.5y x =9．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个， 记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好 取5次球时停止取球的概率为( )A ．815 B ．8114 C ．8122 D ．812510．已知方程(1)(||2)4y x ++=,若对任意[,](,)x a b a b Z ∈∈，都存在唯一的[0,1]y ∈使方程成立；且对任意[0,1]y ∈，都有[,](,)x a b a b Z ∈∈使方程成立，则a b +的最大值等于（ ）A ．-2B ． 0C ．1D ． 2第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.()22xx e dx -=⎰ .12. 已知实数,x y 满足0,,260x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2y x +的最小值等于 ．13.对称中心为原点的双曲线2122=-y x 与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数， 则该椭圆的标准方程为__________________。
14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知点D 是BC 边的中点，且21()2AD BC a ac •=-，则角B =________.15.函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域内任意1x 、2x 12()x x ≠，有121212()()()2f x f x x xf x x -+'=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=f x x；④()=xf x e ；⑤()=ln f x x ． 其中为恒均变函数的序号是 .（写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）函数2()3cos sin cos f x x x x ωωω=+，其中0ω>，且()f x 的图像在y 轴右侧第一个最高点的横坐标为6π， （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）由x y sin =的图象，经过怎样的变换，可以得到()f x 的图象？17. （本小题满分13分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)， 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第 2小组的频数为12.（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数;（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60公斤 的学生人数，求X 的分布列和数学期望.18. （本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形， 且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=的菱形， M 为PB 的中点.(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小； (Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ；(Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.19. （本小题满分13分）设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x ，其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为π5. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 与椭圆相交于B A ,两点,设直线OB l OA ,,的斜率分别为)0(,,,21>k k k k 其中.OAB ∆的面积为S ,以OB OA ,为直径的圆的面积分别为21,S S .若21,,k k k 恰好构成等比数列,求SS S 21+的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数()241x af x x -=+在区间[],m n 上为增函数， （Ⅰ）若=0,=1m n 时,求实数a 的取值范围;（Ⅱ）若()()4f m f n =-。
则当()()f n f m -取最小值时， （ⅰ）求实数a 的值；（ⅱ）若112212(,),(,)()P x y Q x y a x x n <<<是()f x 图象上的两点，且存在实数()0,x a n ∈使得21021()()'()f x f x f x x x -=-，证明：210x x x <<.21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分. 作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4—2；矩阵与变换已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下，点A(1,2)变成了点A′(4, 5)，点B(3，－1)变成了点B′(5,1)． （Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）若在矩阵M 的逆矩阵的变换作用下，点C(x,0)变成了点C′(4，y)，求x+y 的值. （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆O的参数方程为cos sin x r y r θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(θ为参数，0r >).以O为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()sin 4πρθ+=（Ⅰ）写出圆心的极坐标，（Ⅱ）求当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲（Ⅰ）设a a ∈≠R 且a 的大小．（Ⅱ）求函数y =福建省泉州一中2012年5月高三模拟质量检查数 学 试 题（理科） 参考答案与评分标准一、选择题：1-5：B B C D A 6-10:A B D B D二、填空题：11.25e - 12. 2 . 13. 1222=+y x 14. 3π 15. ①②三、解答题： 16．（本小题满分13分）函数2()3sin cos f x x x x ωωω=+，其中0ω>，且()f x 的图像在y 轴右侧第一个最高点的横坐标为6π， （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）由x y sin =的图象，经过怎样的变换，可以得到()f x 的图象？解: （Ⅰ）．2()3sin cos f x x x x ωωω=+1cos 213sin 222x x ωω+=+……1分3sin(2)3x πω=++………………………………………………………………………3分∵()f x 的图像在y 轴右侧第一个最高点的横坐标为6π∴2632πππω⋅+=，解得12ω=………………………………………………………6分 ∴3()sin()3f x x π=+7分 （Ⅱ）将sin y x =的图象向左平移3π个单位,………………………………………10分 3个单位，就得到()f x 的图象。
……………………………13分17. （本小题满分13分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)， 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12.（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数;（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考 飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60 斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望. 解：（Ⅰ）设报考飞行员的人数为n ,前三小组的频率分别为321,,p p p ,则由条件可得:⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++++==15)013.0037.0(323211312p p p p p p p解得375.0,25.0,125.0321===p p p ………………………………………………4分又因为np 1225.02==，故48=n ……………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为855)013.0037.0(3=⨯++=p p ………………………………………………………8分 所以x 服从二项分布,kk k C k x p -==33)83()85()(∴x0 1 2 3p51227 51213551222551212512分则815512125351222525121351512270=⨯+⨯+⨯+⨯=Ex ………………………………13分 (或: 815853=⨯=Ex )18. （本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=的菱形， M 为PB 的中点.(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小； (Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ；(Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.解：(I)取DC 的中点O ，由ΔPDC 是正三角形，有PO ⊥DC ．又∵平面PDC ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD 于O ．连结OA ，则OA 是PA 在底面上的射影．∴∠PAO 就是PA 与底面所成角．∵∠ADC =60°，由已知ΔPCD 和ΔACD 是全等的正三角形，从而求得OA =OP =3．∴∠PAO =45°．∴PA 与底面ABCD 可成角的大小为45°．……………………………4分 (II)由底面ABCD 为菱形且∠ADC =60°，DC =2，DO =1，有OA ⊥DC ．建立空间直角坐标系如图，………………………………………………………………5分则(3,0,0),(0,0,3),(0,1,0)A P D -, (3,2,0),(0,1,0)B C ． 由M 为PB 中点，∴33(,1,)M ．∴33(,2,),(3,0,DM PA ==(0,2,0)DC =．∴3200PA DM ⋅=⨯=，0200(0PA DC ⋅=⨯+⨯=．∴PA ⊥DM ，PA ⊥DC ． ∴PA ⊥平面DMC ．……………………………8分(III)33(,0,),(3,1,0)CM CB ==．令平面BMC 的法向量(,,)n x y z =， 则0n CM ⋅=，从而x +z =0； ……①, 0n CB ⋅=，从而30y +=． ……②由①、②，取x =−1，则1y z ==． ∴可取(1,3,1)n =-．……………10分由(II)知平面CDM 的法向量可取(3,0,PA =，…………………………11分∴cos ,5||||5n PA n PA n PA ⋅<>===-．∴所求二面角的余弦值为－．…………………………………………………13分 法二：（Ⅰ）方法同上（Ⅱ）取AP 的中点N ，连接MN ，由（Ⅰ）知，在菱形ABCD 中，由于60ADC ∠=，则AO CD ⊥，又PO CD ⊥，则CD APO ⊥平面，即CD PA ⊥，又在PAB ∆中，中位线//MN 12AB ，1//2CO AB ，则//MN CO ，则四边形OCMN 为，所以//MC ON ，在APO ∆中，AO PO =，则ON AP ⊥，故AP MC ⊥而MC CD C =，则PA MCD ⊥平面……………………………………………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知MC PAB ⊥平面，则NMB ∠为二面角D MC B --的平面角，在Rt PAB ∆中，易得PA =PB ===cosAB PBA PB ∠===，cos cos()NMB PBA π∠=-∠=故，所求二面角的余弦值为.…………13分19. （本小题满分13分）设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x ，其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为π5. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 与椭圆相交于B A ,两点,设直线OB l OA ,,的斜率分别为)0(,,,21>k k k k 其中.OAB ∆的面积为S ,以OB OA ,为直径的圆的面积分别为21,S S .若21,,k k k 恰好构成等比数列,求SS S 21+的取值范围. 解：(Ⅰ)由题可知，b a 2=且522=+b a ，解得：1,2==b a ，故椭圆的方程为：1422=+y x ………………………………………………………4分 (Ⅱ)设直线l 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ，由韦达定理有： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=∆m k …………………………………6分 21,,k k k 构成等比数列，∴212k k k ==2121))((x x m kx m kx ++，即：0)(221=++m x x km由韦达定理代入化简得：412=k . 0>k ，∴21=k ……………………………8分 此时0)2(162>-=∆m ，即)2,2(-∈m .故d AB S ⋅=||2122121||||121km x x k +⋅-+=||4)(2121221m x x x x ⋅-+=||22m m ⋅-=……………………………10分 又=+21S S )(422222121y x y x +++⋅π)24343(42221++⋅=x x π2]2)[(16321221ππ+-+⋅=x x x x 45π=为定值. ……………………………12分 ∴S S S 21+⋅=45π||212m m ⋅-⋅≥45π当且仅当1=m )2,2(-∈时等号成立. 综上：S S S 21+⋅+∞∈),45[π………………………………………………………13分20．（本小题满分14分）已知函数()241x af x x -=+在区间[],m n 上为增函数， （Ⅰ）若=0,=1m n 时,求实数a 的取值范围;（Ⅱ）若()()4f m f n =-。