福建省泉州一中高三数学五月模拟考试 理 新人教A版
数 学 试 题(理科)
(考试时间:120分钟;满分:150分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. 1.复数i
34i
a z +=
∈+R ,则实数a 的值是( )
. A .43
-
B .43
C .34
D .34-
2.设随机变量X 服从正态分布N (0,1),P (X>1)= p,则P (X>-1)=( ) A .p B .1-p C .1-2p D .2p
3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2086=+a a ,那么13S 的值是( ) A .20 B . 40 C . 130 D .260 4.下列结论错误的...
是( ) A .命题“若p ,则q ”与命题“若,q ?则p ?”互为逆否命题; B .命题:[0,1],1x
p x e ?∈≥,命题2
:,10,q x R x x ?∈++<则p q ∨为真;
C .若q p ∨为假命题,则p 、q 均为假命题.
D .“若2
2
,am bm <则a b <”的逆命题为真命题;
5.已知直线α平面⊥l ,直线β平面?m ,则“βα//”是“m l ⊥”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件 6.一个几何体的三视图如图所示,其中 俯视图是一个菱形,则该几何体的体积 为( ) A
.
3 B .
4 C .
D
.
7.已知角α的终边上有一点2
1(,)(0)4
P t t t +>,则tan α的最小值为( ) A .
1
2
B .1 C
D .2
8.某客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为:不超过25kg 按0.5元/kg 收费, 超过25kg 的部分按0.8元/kg 收费,计算收费的程序框图如右图所示,则①②处应填
( )
正视图 侧视图
俯视图
A .0.8y x = 0.5y x =
B .0.5y x = 0.8y x =
C . 0.812.5y x =+ 0.8y x =
D .0.87.5y x =- 0.5y x =
9.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个, 记下颜色后放回,当三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好 取5次球时停止取球的概率为( )
A .81
5 B .8114 C .8122 D .81
25
10.已知方程(1)(||2)4y x ++=,若对任意[,](,)x a b a b Z ∈∈,都存在唯一的[0,1]y ∈使
方程成立;且对任意[0,1]y ∈,都有[,](,)x a b a b Z ∈∈使方程成立,则a b +的最大值等于( )
A .-2
B . 0
C .1
D . 2
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.
()2
2x
x e dx -=? .
12. 已知实数,x y 满足0,
,260
x y x x y >??
≥??+-≤?
,则2y x +的最小值等于 .
13.对称中心为原点的双曲线2
1
22=
-y x 与椭圆有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数, 则该椭圆的标准方程为__________________。 14.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,已知点D 是BC 边的中点,且
21
()2
AD BC a ac ?=-,则角B =________.
15.函数()f x 的导函数为()f x ',若对于定义域内任意1x 、2x 12()x x ≠,有
121212()()()2
f x f x x x
f x x -+'=-恒成立,则称()f x 为恒均变函数.给出下列函数:
①()=23f x x +;②2
()23f x x x =-+;③1()=
f x x
;④()=x
f x e ;⑤()=ln f x x . 其中为恒均变函数的序号是 .(写出所有满足条件的函数的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答写在答题卡相应位置,应写出文字说明、证
明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)
函数2
()3cos sin cos f x x x x ωωω=+,其中0ω>,且()f x 的图像在y 轴右侧第一个
最高点的横坐标为
6
π, (Ⅰ)求()f x 的解析式;
(Ⅱ)由x y sin =的图象,经过怎样的变换,可以得到()f x 的图象?
17. (本小题满分13分)
为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图), 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第 2小组的频数为12.
(Ⅰ)求该校报考飞行员的总人数;
(Ⅱ)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行
员的同学中(人数很多)任选三人,设X 表示体重超过60公斤 的学生人数,求X 的分布列和数学期望.
18. (本小题满分13分)
如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PDC 是边长为2的正三角形, 且与底面垂直,底面ABCD 是60ADC ∠=的菱形, M 为PB 的中点.
(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小; (Ⅱ)求证:PA ⊥平面CDM ;
(Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.
19. (本小题满分13分)
设椭圆:C )0(122
22>>=+b a b
y a x ,其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点
的线段作为直径的圆的周长为π5. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)若直线l 与椭圆相交于B A ,两点,设直线OB l OA ,,的斜率分别为
)0(,,,21>k k k k 其中.OAB ?的面积为S ,以OB OA ,为直径的圆的面积分别为
21,S S .若21,,k k k 恰好构成等比数列,求
S
S S 2
1+的取值范围. 20.(本小题满分14分)
已知函数()2
41x a
f x x -=
+在区间[],m n 上为增函数, (Ⅰ)若=0,=1m n 时,求实数a 的取值范围;
(Ⅱ)若()()4f m f n =-。则当()()f n f m -取最小值时, (ⅰ)求实数a 的值;
(ⅱ)若112212(,),(,)()P x y Q x y a x x n <<<是()f x 图象上的两点,且存在实数
()0,x a n ∈使得21021
()()
'()f x f x f x x x -=
-,证明:210x x x <<.
21. 本题(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题做答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分. 作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分7分)选修4—2;矩阵与变换
已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下,点A(1,2)变成了点A′(4, 5),点B(3,-1)变成了点B′(5,1). (Ⅰ)求矩阵M ;
(Ⅱ)若在矩阵M 的逆矩阵的变换作用下,点C(x,0)变成了点C′(4,y),求x+y 的值. (2)(本小题满分7分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,圆O
的参数方程为cos sin x r y r θθ?=???=?,(θ为参数,0r >).以O
为极点,x 轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为
(
)
sin 4
πρθ+=(Ⅰ)写出圆心的极坐标,
(Ⅱ)求当r 为何值时,圆O 上的点到直线l 的最大距离为3. (3)(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲
(Ⅰ)设a a ∈≠R 且
a 的大小.
(Ⅱ)求函数y =
福建省泉州一中2012年5月高三模拟质量检查
数 学 试 题(理科) 参考答案与评分标准
一、选择题:
1-5:B B C D A 6-10:A B D B D
二、填空题:
11.2
5e - 12. 2 . 13. 12
22=+y x 14. 3π 15. ①②
三、解答题: 16.(本小题满分13分)
函数2
()3sin cos f x x x x ωωω=+,其中0ω>,且()f x 的图像在y 轴右侧第一个
最高点的横坐标为
6
π, (Ⅰ)求()f x 的解析式;
(Ⅱ)由x y sin =的图象,经过怎样的变换,可以得到()f x 的图象?
解: (Ⅰ).2
()3sin cos f x x x x ωωω=+1cos 21
3sin 222
x x ωω+=+……1分
3
sin(2)3x πω=++………………………………………………………………………3分
∵()f x 的图像在y 轴右侧第一个最高点的横坐标为6
π
∴26
3
2
π
π
π
ω?
+
=
,解得1
2
ω=
………………………………………………………6分 ∴3
()sin()3
f x x π
=+
7分 (Ⅱ)将sin y x =的图象向左平移
3
π
个单位,………………………………………10分 3
个单位,就得到()f x 的图象。……………………………13分
17. (本小题满分13分)
为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图), 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第
2小组的频数为12.
(Ⅰ)求该校报考飞行员的总人数;
(Ⅱ)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考 飞行员的同学中(人数很多)任选三人,设X 表示体重超过60 斤的学生人数,求X 的分布列和数学期望. 解:(Ⅰ)设报考飞行员的人数为n ,前三小组的频率分别为321,,p p p ,
则由条件可得:???
?
?
=?++++==1
5)013.0037.0(32321
1312p p p p p p p
解得375.0,25.0,125.0321===p p p ………………………………………………4分
又因为n
p 12
25.02==,故48=n ……………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为
8
5
5)013.0037.0(3=
?++=p p ………………………………………………………8分 所以x 服从二项分布,k
k k C k x p -==33)83()85()(
∴x
0 1 2 3
p
51227 512135
512225
512
125
12分
则815
512125351222525121351512270=?+?+?+?
=Ex ………………………………13分 (或: 8
15
853=?=Ex )
18. (本小题满分13分)
如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PDC 是边长为2的正三角形,
且与底面垂直,底面ABCD 是60ADC ∠=的菱形, M 为PB 的中点.
(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小; (Ⅱ)求证:PA ⊥平面CDM ;
(Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.
解:(I)取DC 的中点O ,由ΔPDC 是正三角形,有PO ⊥DC .
又∵平面PDC ⊥底面ABCD ,∴PO ⊥平面ABCD 于O .
连结OA ,则OA 是PA 在底面上的射影.∴∠PAO 就是PA 与底面所成角.
∵∠ADC =60°,由已知ΔPCD 和ΔACD 是全等的正三角形,从而求得OA =OP =3.
∴∠PAO =45°.∴PA 与底面ABCD 可成角的大小为45°.……………………………4分 (II)由底面ABCD 为菱形且∠ADC =60°,DC =2,DO =1,有OA ⊥DC .
建立空间直角坐标系如图,………………………………………………………………5分
则(3,0,0),(0,0,3),(0,1,0)A P D -, (3,2,0),(0,1,0)B C . 由M 为PB 中点,∴33(
,1,)M .
∴33(
,2,),(3,0,DM PA ==(0,2,0)DC =.
∴3200PA DM ?=
?=,
0200(0PA DC ?=?+?=.
∴PA ⊥DM ,PA ⊥DC . ∴PA ⊥平面DMC .……………………………8分
(III)33(
,0,),(3,1,0)CM CB ==.令平面BMC 的法向量(,,)n x y z =, 则0n CM ?=,从而x +z =0; ……①, 0n CB ?=,从而30y +=. ……②
由①、②,取x =?1,则1y z ==. ∴可取(1,3,1)n =-.……………10分
由(II)知平面CDM 的法向量可取(3,0,PA =,…………………………11分
∴cos ,5||||5n PA n PA n PA ?<>=
==-.
∴所求二面角的余弦值为-
.…………………………………………………13分 法二:(Ⅰ)方法同上
(Ⅱ)取AP 的中点N ,连接MN ,由(Ⅰ)知,在菱形ABCD 中,由于60ADC ∠=,则AO CD ⊥,又PO CD ⊥,则CD APO ⊥平面,即CD PA ⊥,
又在PAB ?中,中位线//
MN 12AB ,1
//2
CO AB ,则//MN CO ,则四边形OCMN 为,所以//MC ON ,在APO ?中,AO PO =,则ON AP ⊥,故AP MC ⊥而MC CD C =,
则PA MCD ⊥平面……………………………………………………………………………8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知MC PAB ⊥平面,则NMB ∠为二面角D MC B --的平面角,在
Rt PAB ?中,易得PA =PB ===
cos
AB PBA PB ∠=
==
,
cos cos()NMB PBA π∠=-∠=故,所求二面角的余弦值为.
…………13分
19. (本小题满分13分)
设椭圆:C )0(122
22>>=+b a b
y a x ,其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点
的线段作为直径的圆的周长为π5. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)若直线l 与椭圆相交于B A ,两点,设直线OB l OA ,,的斜率分别为
)0(,,,21>k k k k 其中.OAB ?的面积为S ,以OB OA ,为直径的圆的面积分别为21,S S .若
21,,k k k 恰好构成等比数列,求
S
S S 2
1+的取值范围. 解:(Ⅰ)由题可知,b a 2=且522=+b a ,解得:1,2==b a ,
故椭圆的方程为:14
22
=+y x ………………………………………………………4分 (Ⅱ)设直线l 的方程为m kx y +=,),(11y x A ,),(22y x B
由?????=++=142
2y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ,由韦达定理有: ???
????+-=
+-=+22
2122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=?m k …………………………………6分 21,,k k k 构成等比数列,∴212k k k ==
2
121))((x x m kx m kx ++,即:0)(2
21=++m x x km
由韦达定理代入化简得:412
=
k . 0>k ,∴2
1
=k ……………………………8分 此时0)2(162
>-=?m ,即)2,2(-∈m .
故d AB S ?=
||21
22121||||121k
m x x k +?-+=
||4)(2
1
21221m x x x x ?-+=
||22m m ?-=……………………………10分 又=+21S S )(42
2222121y x y x +++?π)24
343(42221++?=x x π
2]2)[(16321221ππ+-+?=x x x x 45π
=
为定值. ……………………………12分 ∴
S S S 21+?=4
5π
|
|212m m ?-?≥
4
5π
当且仅当1=m )2,2(-∈时等号成立. 综上:
S S S 21+?+∞∈),4
5[π
………………………………………………………13分
20.(本小题满分14分)
已知函数()2
41x a
f x x -=
+在区间[],m n 上为增函数, (Ⅰ)若=0,=1m n 时,求实数a 的取值范围;
(Ⅱ)若()()4f m f n =-。则当()()f n f m -取最小值时, (ⅰ)求实数a 的值;
(ⅱ)若112212(,),(,)()P x y Q x y a x x n <<<是()f x 图象上的两点,且存在实数
()0,x a n ∈使得21021
()()
'()f x f x f x x x -=
-,证明:210x x x <<.
解:()()()
()
()
()
222
2
22412422211x x x a x ax f x x x +-----'=
=
++,………………2分
(Ⅰ)若=0,=1m n 时, ()0f x '≥在[]0,1上恒成立,
即2
220,x ax --≤即2
2a x x ≥-在[]0,1上恒成立, 令22y x x
=-
,'2220y x =+>,2
2y x x
∴=-在(]0,1单调递增,
max 220a x x ?
?∴≥-= ??
?.………………5分
(Ⅱ)(ⅰ) 因为()()()()
4f n f m f n f m -=+-≥=????,
当且仅当()()2f n f m =-=时等号成立。……………………………7分:
http://wx .由()2
421n a f n n -=
=+,有()2
210a n -=-≥,得0a ≤; 由()2
421m a f m m
-==-+,有()2
210a m =+≥,得0a ≥; 故()()f n f m -取得最小值时,0a =,1n =。………………9分
(ⅱ)此时,()()
()
2
002
20
411x f x x -'=
+,
()()()
122122
211241()()11x x f x f x x x x x --=-++, 由21021()()
'()f x f x f x x x -=-知,()()()
2012222212011111x x x x x x --=+++,……………10分 欲证210x x x <<,先比较
()2
220
11x x -+与
()2
1221
11x x -+的大小,
()()
()()()
2
2
2
112122
222222120
1
1111111111x x x x x x x x x x -----
=-+++++ ()()()()2121212
2221
2
211x x x x x x x x -+-=++()()()()
121122
2221
2
211x x x x x x x x --+????=
++ 因为1201x x <<<,所以1201x x <<,有()112220x x x x -+>, 于是()()12112220x x x x x x --+???,即
()()2
2
122
220
1
11011x x x x ---
<++,……12分
另一方面,()()()()()()
2222222
21
01010
1
222222220101
3111111x x x x x x x x
x x x x -++----=
++++, 因为221001x x <<,所以2222101030x x x x ++->,从而22
100x x -<,即10x x <。
同理可证20x x <,因此210x x x <<. ……………14分
21. 本题(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题做答,满分14分,
如果多做,则按所做的前两题计分. 作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分7分)选修4—2;矩阵与变换
已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下,点A(1,2)变成了点A′(4, 5),点B(3,-1)变成了点B′(5,1). (Ⅰ)求矩阵M ;
(Ⅱ)若在矩阵M 的逆矩阵的变换作用下,点C(x,0)变成了点C′(4,y),求x+y 的值.
解:(Ⅰ)设该二阶矩阵为a b M c d ??
???
=, 由题意得1425a b c d ??????= ??? ???????,3511a b c d ??????= ??? ?-??????,所以24
25
3531
a b c d a b c d +=??+=?
?-=?
?-=? 解得2,1,1,2a b c d ====,故2112M ??
???
=…………………3分
(Ⅱ)因为1212133det 30,121233M M -??
- ?
==≠= ?- ?
??
, 212044333
,,6,2,1201
0333
x x x y y x y ???-+=???? ??===-? ? ? ??????--+= ????解得4x y ∴+=.…………7分
(2)(本小题满分7分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,圆O
的参数方程为cos sin x r y r θθ?=???=?,(θ为参数,0r >).以O
为极点,x 轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为
(
)
sin 4
πρθ+=(Ⅰ)写出圆心的极坐标,
(Ⅱ)求当r 为何值时,圆O 上的点到直线l 的最大距离为3.
解:(Ⅰ)圆心的极坐标()
51,
4π.…………………………………………………………3分
(Ⅱ)直线为10x y +-=
,圆心O ? ?
?
到直线的距离d =. 圆O
3r =
,解得2r =.……………7分
(3)(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲
(Ⅰ)设a a ∈≠R 且
a 的大小.
(Ⅱ)求函数y 解:
)
2a =
0a a =当时;
a a <当;
0a a a >≠当时.…………………………3分 []-2,1(II)函数定义域为,
[
]2
(12)x x +≥
由柯西不等式得(1-)+(2+),
即
2
9,3≤≤
max
=03x =当且仅当.……………………7分