最新怎么求一元二次函数的最大值和最小值备课讲稿
一元二次方程如何求最大值最小值
一元二次方程的最大值和最小值求解方法在数学中，一元二次方程是一个常见且重要的数学概念。
求解一元二次方程的最大值和最小值，通常可以通过求解方程的顶点来实现。
以下将介绍一元二次方程如何求取最大值和最小值的具体方法。
一、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式可以表示为：ax2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
在这个方程中，a控制抛物线的开口方向，b控制抛物线的位置，c控制抛物线的纵坐标。
二、求解一元二次方程的最大值和最小值步骤步骤1：将一元二次方程化为顶点形式首先，要将一元二次方程化为顶点形式，即完成平方的过程。
通过配方法可以将一元二次方程整理成标准的顶点形式：a(x−ℎ)2+k。
步骤2：确定最大值和最小值接下来，通过观察a的正负来确定顶点的位置。
若a>0，则抛物线开口朝上，此时方程的最小值为顶点值；若a<0，则抛物线开口朝下，此时方程的最大值为顶点值。
步骤3：计算顶点坐标通过$x=-\\frac{b}{2a}$计算出顶点的横坐标，再将其带入一元二次方程得出顶点的纵坐标。
步骤4：得出最大值和最小值根据步骤3计算出的顶点坐标，即可得出一元二次方程的最大值或最小值。
三、实例演示对于一元二次方程2x2−4x+1=0，首先将其化为顶点形式：2(x−1)2−1。
由a=2>0可知，此抛物线开口朝上，因此最小值为顶点值。
通过计算顶点坐标可知，顶点为(1,−1)，即此方程的最小值为−1。
四、总结通过以上步骤可以看出，求解一元二次方程的最大值和最小值并不复杂，只需转化为顶点形式并观察抛物线的开口方向即可轻松求解。
这对于数学问题的解决具有一定的实用性和重要性。
希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地了解一元二次方程的求最大值和最小值的方法，从而提升对数学理论的理解与运用能力。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 理解函数最大值和最小值的概念。
2. 学会使用导数和图像来求解函数的最大值和最小值。
3. 能够应用函数最大值和最小值解决实际问题。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的定义。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 利用图像求函数最大值和最小值的方法。
4. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：利用导数和图像求解函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 使用案例分析法分析实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法讲解利用图像求解函数最大值和最小值的方法。
五、教学准备1. 教学课件：包含函数最大值和最小值的概念、求解方法及实际应用。
2. 案例分析：选取几个实际问题进行分析。
3. 数形结合：准备函数图像，用于讲解求解方法。
六、教学过程1. 引入新课：通过复习导数的概念和性质，引导学生思考如何利用导数求解函数的最值。
2. 讲解函数最大值和最小值的定义，解释其在数学和实际应用中的重要性。
3. 分步讲解利用导数求解函数最值的方法，包括：a. 确定函数的单调区间b. 找到导数为零的点c. 判断极值点是最大值还是最小值4. 通过案例分析，让学生练习利用导数求解函数最值，并讨论解题过程中的关键步骤。
七、案例分析1. 分析案例一：给定函数f(x) = x^2 4x + 5，引导学生利用导数求解最值。
2. 分析案例二：给定函数g(x) = (x 1)^2 + 3，引导学生利用导数求解最值。
3. 学生分组讨论，分享解题过程和结果，教师点评并总结。
八、图像分析1. 利用计算机软件或板书，绘制函数f(x) = x^2 4x + 5和g(x) = (x 1)^2 + 3的图像。
2. 引导学生观察图像，找出函数的局部最大值和最小值。
3. 解释图像分析与导数求解之间的关系，强调数形结合的重要性。
《一元二次函数》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《一元二次函数》教学设计1. 熟悉配方法,理解a,b,c (或a,h,k )对二次函数图象的作用.2．理解由y =ax 2到y =a(x −ℎ)2+k 的图象变换方法.3. 掌握二次函数的性质.4. 体会抽象概括的过程，加强直观想象素养的培养.重点：掌握一元二次函数的图象和性质．难点：体会用平移的方法研究一元二次函数的图象，并能迁移到对其他函数的图象的研究之中． 一、新课导入 回顾旧知：初中阶段，我们学习了一元二次函数y =ax²+bx +c （a ≠0），请回顾认识这个函数的过程.答案：认识这个函数的过程是从y =x²开始的，是由简到繁的过程.如图所示：思考：对于二次函数y =a(x −ℎ)2+k (a ≠0)的图象，可以由函数y =ax²的图象，经过怎样的变换得到？师揭示本节课题：《一元二次函数》．设计意图：通过对旧知识的回顾，激发学生对一元二次函数的探究，从而引出今天的课题，激发学生的学习兴趣，让学生在对新问题的挑战中，进一步深化数形结合思想．二、新知探究探究一：一元二次函数．分析：一元二次函数的三种形式：（1）一般式：y =ax²+bx +c （a ≠0）（2）顶点式：y =a(x −ℎ)2+k(a ≠0)◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程◆（3）两根式：y =a(x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)思考：如何把一元二次函数的一般式化为顶点式？答案：配方法.一元二次函数y =ax²+bx +c （a ≠0）都可以通过配方化为y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a ，若设 ℎ=−b 2a ，k =4ac−b 24a ，则有y =a(x 一ℎ)2+k （顶点式）通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.例如：一元二次函数y =2x 2+3x +5，通过配方可化为y =2(x +34)2+318，其图象为开口向上，以x =−34为对称轴，（−34，318）为顶点的抛物线.探究二：一元二次函数的图象变换规律．分析：如图所示，一元二次函数y =2(x −2)2的图象可以由y =2x 2的图象右移2个单位长度得到；y =2(x −2)2−1的图象可以由由y =2x 2的图象右移2个单位长度，下移1个单位长度得到．知识点：一元二次函数y =a(x −ℎ)2+k 的图象可以由y =ax 2的图象经过向左（或向右）平移|ℎ|个单位长度，再向上（或向下）平移|k|个单位长度而得到．探究三：一元二次函数y =a(x 一ℎ)2+k(a ≠0)的性质．知识点：（1） 函数y =a(x −ℎ)2+k 的图象是一条抛物线，顶点坐标是（ℎ，k ），对称轴是直线x =ℎ．（2）当a >0时，抛物线开口向上；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y 随自变量x 的增大而减小；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y 随自变量x 的增大而增大；函数在x =ℎ处有最小值，记作y min =k ．（3）当a <0时，抛物线开口向下；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y 随自变量x 的增大而增大；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y 随自变量x 的增大而减小；函数在x =ℎ处有最大值，记作y max =k ．小结：二次函数y =a(x −ℎ)2+k(a ≠0)，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向（a >0，图象开口向上，a 值越大，开口越小；a <0，图象开口向下，a 值越大，开口越大）﹔h 决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h 正左移，h 负右移”﹔k 决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．图象变换口诀：“上加下减，左加右减”.设计意图：从一元二次函数的三种形式进行探究，从简到繁，唤醒旧知，联系新知，从形式到图象变换，再到性质分析，循序渐进对一元二次函数的变换以及性质进行理解．三、应用举例例1： 已知一元二次函数y =12x ²+2x +5.（1）指出它的图象可以由y =12x ²的图象经过怎样的变换才能得到；（2）指出它的对称轴，试述函数的变化趋势及函数的最大值或最小值．分析：因为题中给出了一元二次函数的一般形式y =12x ²+2x +5，所以我们直接利用配方，将它变成y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a的形式，然后通过结合图形，即可得出答案. 解：（1）配方,可得，y =12x 2+2x +5y =12(x 2+4x)+5y =12(x 2+4x +4−4)+5 y =12(x +2)²+3.所以，y =12x 2+2x +5的图象可以由y =12x ²的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到.（2） 由（1）可知：该函数的图象开口向上，对称轴为直线x =-2；在区间(−∞,−2]上，函数值y 随自变量x 的增大而减小，在区间[−2,+∞)上,函数值y 随自变量x 的增大而增大；函数在x =−2处取得最小值3，y min =3.例2：若函数y =(a −1)x 2+2x +5的图象恒在x 轴的上方,求实数a 的取值范围. 解：当a −1=0时，函数解析式为y =2x +5，此时函数图象为一条直线，不是恒在x 轴的上方，故a ≠1；当a −1≠0时，若函数图象恒在x 轴上方，则有{a -1>0,Δ=4-20(a -1)<0,解得a >65. 综上所述，实数a 的取值范围为a >65. 四、课堂练习1. 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.（1）二次函数y =3x 2的开口比y =x 2的开口要大.（2）要得到y =—(x—2)2的图象，需要将y =—x 2向左平移2个单位长度．（3）二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)一定有最小值.（4）二次函数y =x 2−2x +1的对称轴为x =—1.2.若抛物线y=x2−(m−2)x+m+3的顶点在y轴上,求m的值.3. 若函数y=x2+2(2a−1)x＋2在区间(−∞，7]上y随x的增大而减小，求实数a的取值范围.4. 求函数y=3+2x−x2（0≤x≤3）的最小值.参考答案：1. （1）×（2）×（3）×（4）×解析：由一元二次函数的图象和性质得知.2. m的值为2.解析：因为抛物线y=x2−(m−2)x+m+3的顶点在y轴上，所以顶点的横坐标为−−(m−2)2×1=m−22=0，故m=2.3. (−∞，−3]解析：由一元二次函数的性质知，抛物线y在区间(−∞，7]上y随x的增大而减小,可得−（2a−1）≥7，所以a的取值范围为(−∞，−3].4. 0解析：将一元二次函数y=3+2x−x2配方得y=−(x−1)2+4，因为（0≤x≤3），所以当x=3时，y min=3+6−9=0.故y的最小值为0.五、课堂小结1.一元二次函数的图象变换规律：h决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”﹔k决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．图象变换口诀：“上加下减，左加右减”.2. 一元二次函数图象的性质：（1）函数y=a(x−ℎ)2+k的图象是一条抛物线，顶点坐标是（ℎ，k），对称轴是直线x=ℎ．a决定了二次函数图象的开口大小及方向（a>0，图象开口向上，a值越大，开口越小；a<0，图象开口向下，a值越大，开口越大）﹔（2）当a>0，抛物线开口向上；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y随自变量的增大而减小；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y随自变量的增大而增大；函数在x=ℎ处有最小值，记作y min=k．（3）当a<0，抛物线开口向下；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y随自变量的增大而增大；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y随自变量的增大而减小；函数在x=ℎ处有最大值，记作y max=k．六、布置作业教材第33页练习第1、2题．。
二次函数最小值求法
二次函数最小值求法嘿，同学们！今天我要和你们好好唠唠二次函数最小值的求法，这可真是个神奇又有趣的事儿！你们想啊，二次函数就像是一个调皮的小精灵，总是在数轴上跳来跳去，让人捉摸不透。
但是呢，咱们只要掌握了它的小秘密，就能轻松找到它的最小值啦！比如说有个二次函数y = x² + 2x + 3 ，这看起来是不是有点复杂？别担心！咱们可以先把它变成顶点式。
就像我们搭积木一样，把它重新组合一下，变成y = （x + 1）² + 2 。
这下是不是清楚多啦？你们看，这个式子的顶点坐标就是（-1，2）。
这意味着当x = -1 的时候，函数就能取到最小值2 。
这是不是很神奇？就好像我们在寻宝，终于找到了那个藏着宝贝的地方！那如果是更复杂一点的二次函数呢？比如说y = 2x² - 4x + 5 ，这可怎么办？其实啊，方法还是一样的。
我们先提出前面的系数2 ，变成y = 2（x² - 2x）+ 5 ，然后再在括号里凑成完全平方的形式，就成了y = 2（x - 1）² + 3 。
哇塞！这下我们又找到了顶点（1，3），当x = 1 时，最小值就是3 。
再想想，如果二次函数的图像开口朝下，那又会怎么样呢？这就好比是一个倒着的碗，它的最大值在顶点，而最小值就没有啦！所以啊，求二次函数的最小值，就是要找到那个顶点的坐标。
这就像是在迷宫里找到出口一样，虽然过程可能有点曲折，但只要我们有耐心，有方法，就一定能成功！你们说，数学是不是特别有趣，特别神奇？咱们只要用心去探索，就能发现其中的好多奥秘！我的观点就是：掌握了求二次函数最小值的方法，就像是拥有了一把打开数学宝藏的钥匙，能让我们在数学的世界里畅游无阻！。
课题：求二次函数的最值
212=+-∴a a 解得：251±=a)(25110舍去又±=∴≤≤a a(3)当对称轴x=a>1 时，由图像知：222)1(max =-==a f y2a 1a 2=∴>=∴且满足a综上所述：a=-1 或 2。
点评：求二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在闭区间[m,n]上的最值只有以下两种情况： 1．若[]n m a b ,2∈-，则在f(m),f(n),f(ab 2-)中，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
2．若[]n m ab,2∉-，则在f(m)与f(n)中，较大的一个为最大值，较小的一个为最小值。
三．二次函数与对数函数，指数函数的复合函数的最值问题。
（1）函数)(x f a y =(f(x)为二次函数)的最值主要是先讨论二次函数f(x)的最值，然后根据指数函数的单调性求得函数)(x f a y =的最值。
（2）函数)(log x f a y =(f(x)为二次函数)的最值，在f(x)>0 的情况下同样先讨论二次函数f(x)的最值，然后根据对数函数的单调性求得函数)(log x f a y =的最值。
四.随堂练习1．已知函数322+-=x x y 在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2,则 m 的取值范围是（ ） A.2m D.1 2m C. 2m 0 B. 1≤≤≤≤≤≥m 2.求函数]1,(,log )32(22-∞∈=+-x y x x的最小值。
3．设20≤≤x ，求函数523421+⋅-=-x x y 最大值和最小值。
课题：二次函数的最值（高三复习课）教学目标：1．掌握二次函数最值的求法。
2．并会运用它解决应用问题。
3．能运用数行结合、分类讨论思想解题。
教学重点、难点：重点：有限区间的二次函数最值及应用。
难点：含参数的有限区间的二次函数最值。
教学过程： 问题1 已知函数，求：⑴时，求最小值；⑵ 上的最值；⑶上的最值。
一元二次方程求最大值和最小值
一元二次方程求最大值和最小值大家好！今天我们要聊的是一元二次方程中的最大值和最小值。
听到这个词，很多人可能会觉得有点拗口，不过别担心，我们会用最简单的方式来搞定它。
大家放轻松，跟着我一步步走，保证你能轻松搞懂！1. 一元二次方程的基础知识在开始之前，我们先要了解一下什么是一元二次方程。
其实，它就是一个形如( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a )、( b ) 和 ( c ) 是常数，( x ) 是变量。
这个方程的图像是一条抛物线，像是上天撒下来的“小船”，左右对称的那种。
1.1 抛物线的开口方向首先要知道的是，这条抛物线的开口方向。
也就是说，它是向上还是向下。
这取决于常数 ( a ) 的符号：如果 ( a > 0 )，抛物线开口向上，就像微笑的脸，最低点就是它的最小值。
如果 ( a < 0 )，抛物线开口向下，就像苦瓜的脸，最高点就是它的最大值。
1.2 顶点的坐标抛物线的顶点就是最重要的地方，它决定了最大值或者最小值的位置。
顶点的坐标可以通过公式计算出来。
如果方程是 ( ax^2 + bx + c = 0 )，那么顶点的 ( x ) 坐标是( frac{b}{2a} )。
接下来，代入原方程就能找到 ( y ) 坐标，也就是最大值或最小值了。
2. 计算最大值和最小值的步骤知道了顶点的位置，我们就可以计算最大值或最小值了。
下面我们一步一步来：2.1 代入公式求顶点首先，找出顶点的 ( x ) 坐标。
比如说，如果你的方程是 ( 2x^2 4x + 1 = 0 )，那么( a = 2 )，( b = 4 )，所以顶点的 ( x ) 坐标是 ( frac{4}{2 cdot 2} = 1 )。
2.2 计算 ( y ) 坐标找到 ( x ) 坐标之后，把它代入原方程中。
我们刚刚得到的 ( x ) 坐标是 1，所以代入方程 ( 2x^2 4x + 1 ) 得到：[ y = 2(1)^2 4(1) + 1 = 2 4 + 1 = 1 ]。
函数的最大值和最小值(教案与课后反思
函数的最大值和最小值一、教学目标：1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念。
2. 让学生掌握求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 函数的最大值和最小值的定义。
2. 求函数最大值和最小值的方法。
3. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的最大值和最小值的定义，求最大值和最小值的方法。
2. 教学难点：如何运用方法求解实际问题中的最大值和最小值。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 利用案例分析，让学生理解最大值和最小值在实际问题中的应用。
3. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 引入新课：通过生活中的例子，如购物时如何选择最划算的商品，引出函数的最大值和最小值的概念。
2. 讲解概念：详细讲解函数的最大值和最小值的定义，让学生明确最大值和最小值的意义。
3. 方法讲解：讲解求函数最大值和最小值的方法，并通过示例进行演示。
4. 案例分析：分析实际问题中的最大值和最小值，让学生了解最大值和最小值在生活中的应用。
5. 小组讨论：让学生分组讨论，运用所学方法解决实际问题。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调最大值和最小值的概念及求解方法。
7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
课后反思：本节课通过生活中的例子引入最大值和最小值的概念，让学生容易理解。
在讲解方法时，结合示例进行演示，有助于学生掌握。
在案例分析和小组讨论环节，学生能够积极参与，运用所学知识解决实际问题。
但部分学生在理解最大值和最小值的应用时仍有一定难度，需要在今后的教学中加强引导和练习。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课后访谈等方式，了解学生对函数最大值和最小值概念的理解程度。
2. 评估学生在实际问题中运用最大值和最小值方法的能力。
3. 根据学生的表现，调整教学策略，以提高教学质量。
七、教学拓展：1. 引导学生关注其他类型的函数（如二次函数、指数函数等）的最大值和最小值问题。
如何求一元二次方程的最大值与最小值
如何求一元二次方程的最大值与最小值一元二次方程是代数学中经常遇到的问题之一，求解一元二次方程的最大值与最小值是一项基本的数学技能。
在代数学中，最大值和最小值是函数的重要特征之一，它们不仅能够帮助我们了解函数的行为，还可以应用于各种实际问题的求解。
下面我们将介绍如何求解一元二次方程的最大值与最小值。
一、求解一元二次方程的最大值与最小值的基本思路对于一元二次方程ax2+bx+c，其中a、b、c是实数系数，求解它的最大值和最小值可以通过一些基本的代数方法来实现。
一般来说，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们需要找到二次函数的顶点，也就是最大值或最小值所在的点。
顶点的横坐标x0可以通过公式 $x_0 = -\\frac{b}{2a}$ 来求得。
2.然后，将x0代入原方程中，求得对应的纵坐标y0。
3.最后，根据二次函数的开口方向（即二次项的系数a的正负性），判断是求最大值还是最小值。
二、实例演示以一元二次方程y=x2−4x+5为例，我们来演示如何求解它的最大值与最小值。
1.首先，根据公式 $x_0 = -\\frac{b}{2a}$，我们计算得到 $x_0 =\\frac{4}{2} = 2$。
2.将x0=2代入方程y=x2−4x+5中，得到 $y_0 = 2^2 - 4 \\times2 + 5 = 1$。
3.由于二次项的系数a为正，所以我们可以得出结论：该二次函数的最小值为y=1，当x=2时取得。
三、总结通过以上实例的演示，我们可以看到，求解一元二次方程的最大值与最小值并不难，只需要按照一定的步骤和公式来进行处理就可以得到答案。
在实际应用中，掌握这一技能对于解决各种数学问题和实际应用问题都是非常有帮助的。
希望这篇文章可以帮助读者更深入地理解如何求解一元二次方程的最大值与最小值。
一元二次方程如何求最大最小值
一元二次方程如何求最大最小值在数学中，一元二次方程是形如x2+bx+c=0的方程，其中x是未知数，b和c是已知系数。
解一元二次方程的过程中，我们不仅可以求出方程的根，还可以利用一些方法来求解方程的最大值和最小值。
本文将介绍一元二次方程如何求最大最小值的基本原理及方法。
首先，让我们考虑一元二次方程y=ax2+bx+c，其中a为非零常数。
这个方程表示的是一个抛物线，对于抛物线而言，它可能开口向上，也可能开口向下。
求解这个方程的最大值和最小值，实质上就是求解抛物线的顶点坐标。
求解一元二次方程的最大最小值有两种常用方法：一种是通过配方法将一元二次方程化为标准形式求得顶点坐标，另一种则是直接利用顶点公式求解。
1. 配方法：首先，将一元二次方程y=ax2+bx+c通过“配方法”转化为标准的顶点形式。
这个过程可以通过将a提出因子，并配方完成：$y = a(x^2 + \\frac{b}{a}x) + c$$y = a[(x + \\frac{b}{2a})^2 - (\\frac{b}{2a})^2] + c$$y = a(x + \\frac{b}{2a})^2 - a(\\frac{b}{2a})^2 + c$$y = a(x + \\frac{b}{2a})^2 - \\frac{b^2}{4a} + c$通过上述操作，我们将一元二次方程转化为标准形式y=a(x−ℎ)2+k。
因此，该顶点坐标为(ℎ,k)，其中$h = -\\frac{b}{2a}$，$k = c - \\frac{b^2}{4a}$。
2. 直接利用顶点公式：根据一元二次函数的顶点公式，我们可以直接求解顶点坐标。
对于一元二次方程y=ax2+bx+c，它的顶点坐标为$(-\\frac{b}{2a}, c - \\frac{b^2}{4a})$。
其中，$h = -\\frac{b}{2a}$，$k = c - \\frac{b^2}{4a}$。
一元二次函数最大值
一元二次函数最大值一、引言一元二次函数是高中数学中的重要内容，它在数学、物理、经济等领域都有广泛的应用。
其中，求一元二次函数的最大值是一个常见的问题，本文将从数学角度出发，探讨一元二次函数最大值的求解方法。
二、基本概念在介绍一元二次函数最大值的求解方法之前，我们先来了解一些基本概念。
一元二次函数的一般式为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$。
其中，$a$、$b$、$c$都是常数，$x$、$y$是变量。
一元二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。
三、求解方法1. 完成平方对于一元二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以通过完成平方的方法，将其转化为标准式$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=-\frac{b}{2a}$，$k=c-\frac{b^2}{4a}$。
这样，我们就可以通过观察标准式中的$k$值，来判断一元二次函数的最大值。
当$a>0$时，最大值为$k$；当$a<0$时，最大值为无穷小。
2. 导数法另一种求解一元二次函数最大值的方法是使用导数。
我们可以对一元二次函数$y=ax^2+bx+c$求导，得到$y'=2ax+b$。
当$y'=0$时，即可求得函数的极值点。
此时，函数的最大值为极值点的纵坐标。
需要注意的是，当$a>0$时，极值点为最小值；当$a<0$时，极值点为最大值。
四、例题解析现在，我们通过一个例题来进一步理解一元二次函数最大值的求解方法。
例题：求函数$y=2x^2-4x+3$的最大值。
解析：首先，我们可以通过完成平方的方法，将函数转化为标准式。
将$y=2x^2-4x+3$改写为$y=2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{2}$，可以看出，函数的最大值为$\frac{7}{2}$。
另一种方法是使用导数。
对函数$y=2x^2-4x+3$求导，得到$y'=4x-4$。
一元二次函数的教案模板
一元二次函数的教案模板要让学生对数学感兴趣，首先教师必须对自己所教学科感兴趣，自然就带动了学生上数学课的兴趣。
这就要求教师作一名用心的教师，利用一切可利用的细节激发学生兴趣。
比如写一份优秀的教案，下面是为大家整理的一元二次函数的教案5篇，希望大家能有所收获!一元二次函数的教案1教学目标(一)教学知识点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.(二)能力训练要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.3.通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识.(三)情感与价值观要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.教学难点1.探索方程与函数之间的联系的过程.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法讨论探索法.教具准备投影片二张第一张：(记作§2.8.1A)第二张：(记作§2.8.1B)教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.一元二次函数的教案2[本课知识要点]会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.[MM及创新思维]同学们还记得一次函数与的图象的关系吗?，你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗?，那么与的图象之间又有何关系?.[实践与探索]例1.在同一直角坐标系中，画出函数与的图象.解列表.x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …… 18 8 2 0 2 8 18 …… 20 10 4 2 4 10 20 …描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.3所示.回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的?又有哪些不同?你能由此说出函数与的图象之间的关系吗?例2.在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线 .解列表.x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …… -8 -3 0 1 0 -3 -8 …… -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 …描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.4所示.可以看出，抛物线是由抛物线向下平移两个单位得到的.回顾与反思抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的.探索如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移?例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点(1，1)，求这条抛物线的函数关系式.解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0，-2)，因此所求函数关系式可看作，又抛物线经过点(1，1)，所以，，解得 .故所求函数关系式为 .回顾与反思(a、k是常数，a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向对称轴顶点坐标[当堂课内练习]1. 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：，， .观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置吗?2.抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的.3.函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小.当x 时，函数取得最值，最值y= .[本课课外作业]A组1.已知函数，， .(1)分别画出它们的图象;(2)说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;(3)试说出函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.2. 不画图象，说出函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数通过怎样的平移得到的.3.若二次函数的图象经过点(-2，10)，求a的值.这个函数有还是最小值?是多少?B组4.在同一直角坐标系中与的图象的大致位置是( )5.已知二次函数，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴?写出其函数关系式.[本课学习体会]一元二次函数的教案3课题：一元二次函数性质.教学目标：1.掌握一元二次函数的图象和性质.2.掌握研究一元二次函数性质的方法.3.培养学生的观察分析能力、逻辑思维能力、运算能力和作图能力.培养学生用配方法解题的能力.渗透数形结合的思想方法.4.使学生掌握从特殊到一般的认识规律和认真仔细的态度，培养学生用对立统一的观点、全面的观点、联系的观点、运动变化的观点和具体问题具体分析的观点处理问题.教学重点：研究二次函数性质的方法.教学难点：探索二次函数的性质.教学方法：讲练结合法、演示法.教学手段：三角板、投影仪、胶片、计算机.课时安排：1课时.课堂类型：授新课.教学过程：课件1 课件2一、复习导入1.复习提问：(学生回答，启发学生通过配方得出结论.)函数函数?图象如何?如何化为=(+)+的形式?叫什么2.导入新课：(老师口述;板书课题.)在初中学习的基础上今天我们继续学习和研究二次函数的图象和性质.二、讲授新知1.引例分析：例1(板书)求作函数的图象.解：(启发学生思考，分析讲解，归纳结论.).由于对任意实数，都有≥0，所以≥-2.当且仅当=-4时取等号，即作=-2.(-4)=-2，该函数在=-4时取最小值-2，记当=0时，=-6或=-2，函数的图象与轴相交于两点(-6，0)、(-2，0).=-6或=-2也叫做这个二次函数的根.以=-4为中间值，取的一些值，列出这个函数的对应值表：在直角坐标系内描点画图(图3-8):结论：(投影，说明)该函数的图象关于直线=-4对称，开口向上，有最低点(-4，-2)，最小值为-2;函数在区间(-∞，-4]上是减函数，在区间[-4，+∞)上是增函数.例2(板书)求作函数=--4+3的图象.解：(启发学生思考，分析讲解，归纳结论.)=-[(+2)-7]==--4+3=-(+4-3)-(+2)+7由-(+2)≤0得，该函数对任意实数都有号，即=7，该函数在=-2时取最大值7，记作≤7，当且仅当=-2时取等=7.以=-2为中间值，取的一些值，列出这个函数的对应值表：在直角坐标系内描点画图(图3-9)：结论：(投影，说明)该函数关于直线=-2对称，开口向下，有最高点(-2，7)，最大值为7;在区间(-∞，-2]上是增函数，在区间[-2，+∞)上是减函数.2.一元二次函数的性质(启发学生归纳性质，板书.微机显示，说明.)一般地，对任何二次函数(≠0)，都可通过配方，化为，其中，到二次函数的一般性质：，，由此可得(1)函数的图形是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是(-，)，抛物线的对称轴是直线=-;(2)当0时，函数在=-处取最小值=减函数，在[-，+∞)上是增函数.(-);在区间(-∞，-]上是(3)当0时，函数在=-处取最大值=增函数，在[-，+∞)上是减函数.(-);在区间(-∞，-]上是三、课堂练习(投影.启发学生思考、练习.老师总结订正.)求作函数=-+4-3的图象，并回答下列问题：(1)指出曲线的开口方向;(2)当为何值时，=0;(3)求函数图象顶点的坐标和对称轴.四、课堂小结(口述)本节课主要掌握研究二次函数性质的方法，熟记二次函数的图象和性质.五、布置作业(投影、说明)1.复习本节课所学内容.2.书面作业：第93页习题3-2第3题.3.预习作业：预习第89页，例3、例4及课后练习.六、板书设计：一元二次函数的教案4回顾旧知：1.作函数图象有几个步骤?(列表-----描点-------连线)2.一次函数图象有什么特点?(一次函数图象是一条直线，其中，正比例函数的图象是经过原点(0，0)的一条直线.)3、作出一次函数图象需要描出几个点?(只需要两个点)【学习目标】1.结合图像探索并掌握一次函数y=kx+b(k≠0)的性质。
专题11 一元二次函数的最值问题(解析版)
专题11 一元二次函数的最值问题一、知识点精讲1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a-，无最小值．2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =； 第二步：讨论：[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。
[2] 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论：①对称轴02m nx +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02m nx +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧；说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况。
二、典例精析【典例1】求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ． 【答案】见解析【分析】：由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．【解析】：（1）因为二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，所以抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ，所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-． （2）因为二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，所以抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ，所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值425 【典例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．【说明】：二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【典例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 【答案】见解析 【解析】：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 【典例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 【答案】见解析【分析】：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．【解析】：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522y t t =--；(2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时： 当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩ 【典例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 【答案】见解析【解析】(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．三、对点精练1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点． 【答案】4,14或2，32【解析】当m=4时图象的顶点在y 轴上，当m =14或2时，图象的顶点在x 轴上，当m =32时图象过原点。
一元二次方程最大值和最小值的方法
一元二次方程最大值和最小值的方法说实话一元二次方程最大值和最小值这事，我一开始也是瞎摸索。
一元二次方程的标准形式是\(y = ax²+bx + c\)（\(a≠0\)）。
对于求它的最值啊，我那时候就直接想，能不能把\(x\)代几个数进去看看啥样，我就随便找了几个\(x\)的值，比如\(x = 0\)，\(x = 1\)，\(x=-1\)啥的代进去，结果发现根本看不出最大值最小值，折腾半天发现这么干不行。
后来我想起以前学过的配方的方法。
我就给方程使劲地配方。
啥叫配方呢？就好比给一个东西重新整理打扮一样。
我试着把\(y = ax²+ bx + c\)变成\(y=a(x + \frac{b}{2a})²+\frac{4ac - b²}{4a}\)的形式。
这里边啊，这个\((x + \frac{b}{2a})²\)就很关键。
你想啊，要是\(a>0\)的时候，因为任何数的平方都是大于等于0的，所以\((x+\frac{b}{2a})²\geq0\)，那\(y\)就有最小值了，当\((x + \frac{b}{2a})²= 0\)，也就是\(x =-\frac{b}{2a}\)的时候，\(y\)取到最小值，最小值就是\(\frac{4ac - b²}{4a}\)。
我有次算一个题\(y = 2x²- 4x + 3\)，我就开始配方，\(y = 2(x²- 2x)+3\)，\(y = 2(x²- 2x + 1 - 1)+3\)，这里我在里面加了个1又减了个1，其实就是凑出来完全平方，就变成\(y = 2[(x - 1)²- 1]+3\)，进一步就是\(y = 2(x - 1)²+1\)。
我这才明白这个函数\(a = 2>0\)，所以当\(x = 1\)的时候，这个函数有最小值\(1\)。
一元二次方程最大值与最小值公式推导方法
一元二次方程最大值与最小值公式推导方法篇11.引言：介绍一元二次方程及其最大值和最小值的概念。
2.基础知识：回顾一元二次方程的标准形式及相关性质。
3.推导方法：通过配方法推导一元二次方程最大值和最小值的公式。
4.示例解析：以具体的一元二次方程为例，展示如何应用公式求解最大值和最小值。
5.总结：总结一元二次方程最大值和最小值公式的推导方法及其重要意义。
正文一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，对于一元二次方程的最大值和最小值问题，我们可以通过推导相应的公式来解决。
本文将介绍一元二次方程最大值与最小值的公式推导方法。
首先，回顾一元二次方程的标准形式：ax + bx + c = 0。
其中，a、b、c为实数，且a≠0。
为了求解最大值和最小值，我们需要将该方程转换为顶点式。
通过配方法，我们可以将一元二次方程转换为顶点式。
配方过程如下：ax + bx + c = 0=u003e ax + bx = -c=u003e x + (b/a)x = -c/a=u003e x + (b/a)x + (b/2a) = -c/a + (b/2a)=u003e (x + b/2a) = (-4ac + b) / 4a令y = ax + bx + c，则顶点坐标为(-b/2a, (4ac - b) / 4a)。
此时，顶点的y坐标即为该一元二次方程的最大值或最小值。
当a u003e 0 时，开口向上，顶点为最小值；当a u003c 0 时，开口向下，顶点为最大值。
通过以上的推导过程，我们可以得到一元二次方程最大值与最小值的公式。
在实际应用中，只需将一元二次方程的一般式转换为顶点式，即可根据公式找到最大值和最小值。
篇21.引言：介绍一元二次方程及其最大值和最小值的概念。
2.基础知识：一元二次方程的标准形式及其性质。
3.推导方法：利用配方法推导一元二次方程的最大值和最小值公式。
4.示例解析：通过具体例子展示如何应用推导出的公式。
一元二次函数求最值的方法
一元二次函数求最值的方法一元二次函数求最值，这可是数学中的一个重要知识点啊！
一元二次函数一般式为y=ax²+bx+c（a≠0），求最值的步骤其实并不复杂。
首先，要明确二次项系数 a 的正负，如果 a 大于 0，函数图像开口向上，有最小值；如果 a 小于 0，函数图像开口向下，有最大值。
然后，通过公式 x=-b/2a 求出对称轴，将其带入函数就能得到最值啦！但这里可得注意啦，计算的时候可别粗心大意算错了呀！
在这个过程中，它的安全性和稳定性那可是杠杠的呀！只要按照步骤来，就像走在平坦的大道上，不会有什么意外出现。
而且无论遇到什么样的一元二次函数，都能通过这个方法稳稳地求出最值，是不是很厉害呢？
那它都有哪些应用场景和优势呢？这可多了去啦！比如在解决实际问题中，像规划一个场地的最大面积，或者计算一个物体能达到的最大高度等等，都能派上大用场。
它的优势就在于简单直接，只要掌握了方法，就能快速有效地求出最值，这简直就是数学世界里的一把利器呀！
就拿一个实际案例来说吧，假设有一个矩形，长为 x，宽为 10-x，要使矩形面积最大，那我们就可以列出函数 y=x(10-x)=-x²+10x，通过求最值的方法可以算出当 x=5 时，面积最大为 25。
看，这不就很好地展示了实际应用效果嘛！
所以说呀，一元二次函数求最值的方法真的是超级实用，超级重要的呀！大家一定要好好掌握哦！。
一元二次函数最大最小值
一元二次函数最大最小值一元二次函数的一般形式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为系数，且$a\neq0$。
为了求得一元二次函数的最大值或最小值，我们可以采用配方法或导数方法。
方法一：配方法将一元二次函数配方为$f(x)=a(x-h)^2+k$的形式，其中$h$和$k$为常数。
为了找到函数的最大值或最小值，需要找到$h$和$k$的值。
步骤如下：1. 将一元二次函数的一般形式进行配方，得到$f(x)=a(x-\frac{b}{2a})^2+k$。
2. 观察上一步的结果，可以发现当$x=\frac{b}{2a}$时，函数取得极值，此时$k$为函数的极值。
3. 如果二次项系数$a>0$，则函数在区间$(-\infty,\frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(\frac{b}{2a},+\infty)$上单调递增，因此函数在$x=\frac{b}{2a}$处取得最小值，此时$k$为最小值；如果二次项系数$a<0$，则函数在区间$(-\infty,\frac{b}{2a})$上单调递增，在区间$(\frac{b}{2a},+\infty)$上单调递减，因此函数在$x=\frac{b}{2a}$处取得最大值，此时$k$为最大值。
例如，对于函数$f(x)=2x^2-4x+1$，通过配方得到$f(x)=2(x-1)^2-1$，当$x=1$时，函数取得最小值$-1$。
方法二：导数方法利用导数可以判断函数的单调性，从而求得函数的最大值或最小值。
步骤如下：1. 对一元二次函数求导得到导函数$f'(x)=2ax+b$。
2. 观察导函数的符号，如果导函数在某个区间内大于0，则原函数在该区间内单调递增；如果导函数在某个区间内小于0，则原函数在该区间内单调递减。
3. 根据导函数的零点可以找到原函数的极值点，如果导函数有两个零点，则两个零点之间的区间的端点为极值点；如果导函数没有零点，则原函数可能在极值点处取得最值。
一元二次函数在闭区间上的最值
一元二次函数在闭区间上的最值一、知识概述（一）正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值．对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键．此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变．（二）逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值．二、例题讲解例1、求函数在[t，t＋2]上的最小值．解析：，（1）当，即时，在[t，t＋2]上单调递减，.（2）当，即时，.（3）当时，在[t，t＋2]上单调递增，．例2、求函数在区间[－1，1]上的最小值．解析：．（1）当，即a≤－2时，；（2）当，即时，；（3）当，即a≥2时，．综上，．点评：已知，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得在上的最大值或最小值．例3、求函数f(x)上的最小值．解析：f(x)．当，即时，；当，即a>1时，．所以．例4、已知函数在区间[－3，2]上的最大值为4，求实数a的值．解析：．（1）若a=0，，不合题意．（2）若a>0，则，由，得．（3）若a<0，则，由1－a=4，得a=－3．综上知或a=－3一、选择题1、函数在区间上有最小值，则的取值范围是（）A．B．a≤1 C．D．a≥12、函数的最大值是（）A．B． C．D．3、函数在区间[0，1]上的最小值是，则k的值是（）A．B． C．D．不确定4、函数y=x＋的值域是（）A．(－∞，1] B．(－∞，－1]C．R D．[1，＋∞)5、设二次函数f(x)=x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)的值为（）A．正数 B．负数 C．非负数 D．正数、负数和零都有可能二、填空题6、设函数f（x）=x2＋x＋的定义域为［n，n＋1］（n∈N*），那么f（x）的值域中，共有____________个整数．。
一元二次方程的应用教案：如何求解最大值和最小值？
一元二次方程的应用教案：如何求解最大值和最小值？。
一、一元二次方程的基本概念一元二次方程的一般式可以表示为ax² + bx + c = 0，其中 a，b，c 都是实数，且a ≠ 0。
解这个方程可以使用一些基本的算法，比如配方法、因式分解和求根公式等等。
但这些方法都无法帮助我们找到最大值和最小值。
要找到一元二次方程的最大值和最小值，我们需要综合运用二次函数的几何属性和一些简单的数学知识。
二、一元二次方程的最大值和最小值求法二次函数y = ax² + bx + c 的图像是开口向上或向下的抛物线。
当抛物线开口向上时，函数的最小值一定存在；当抛物线开口向下时，函数的最大值一定存在。
这是因为当 a > 0 时，函数的取值范围是y ≥ f(h)，其中 h = -b/2a，而函数的取值范围下限是 f(h) = a(h²) + b(h)+ c，因为二次函数y = ax² + bx + c 是一个连续函数，所以它一定能够取到最小值；当 a < 0 时，函数的取值范围是 y ≤ f(h) 且 h = -b/2a，因此函数的取值范围上限是f(h) = a(h²) + b(h) + c，因为函数是连续的，所以一定能够取到最大值。
通过求解二次函数的最小值和最大值，我们可以使用以下公式：1.当抛物线开口向上时，二次函数的最小值为：y min = f(h) = a(h²) + b(h) + c2.当抛物线开口向下时，二次函数的最大值为：y max = f(h) = a(h²) + b(h) + c因为 h = -b/2a，所以公式可以简化为：1.当抛物线开口向上时，二次函数的最小值为：y min = f( -b/2a ) = a( - b/2a )² + b( - b/2a ) + c2.当抛物线开口向下时，二次函数的最大值为：y max = f( -b/2a ) = a( - b/2a )² + b( - b/2a ) + c三、一元二次方程求解最大最小值的应用实例让我们看几个例子，看看如何应用一元二次方程来求解最大值和最小值。
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学习资料
怎么求一元二次函数的最大值和最小值
一般来说,如果这个一元二次函数的定义域是R的话：
（1）函数开口向上,即a>0时,则没有最大值,只有最小值,即函数的顶点,可用函数的顶点公式：(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)来求.
（2）函数开口向上,即a<0时,则没有最小值,只有最大值,求法同上.
若该函数的定义域不是R的话：
（1）函数开口向上,即a>0时：
（2）①当-b/2a在定义域内时,有最小值,再看定义域区间
假设是闭区间[m,n],若-b/2a>(n+m)/2,则最大值精品文档
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精品文档是x=m时的函数值,若-b/2a<(n+m)/2,则相反,若两者相同,则最大值即是端点值。
（3）当定义域区间是开区间（m,n）时,则无最大值还有就是区间是半开半闭的情况时,即[m,n)或
(m,n]时,按上面闭区间的方法计算,但若x取不
到,则没有最大值。
（4）②当-b/2a不在定义域内时，
假设是闭区间[m,n],则最小值和最小值就是两
个端点值,算一下再比较大小就行，
当定义域区间是开区间（m,n）时,则无最大最小
值
当区间是半开半闭的情况,即[m,n)或(m,n]时,按
上面闭区间的方法计算,关键是看能不能取到,
但肯定是只有一个最值的
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精品文档至于函数开口向下,即a<0的情况,上面的看懂了就会了
其实最方便的还是画个草图,分情况讨论一下就行了,算二次函数的最值问题只要不弄错定义域,情况分清楚,不讨论错还是很简单的。