山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.10变化率与导数导数的计算学案含解析.doc
高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.10 变化率与导数、导数的计算课件.ppt
称函数 f′(x)＝□9 __Δl_ixm→_0_______Δ_x_____为 f(x)的导函数，导函数有时也记作 y′。
6
4．基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)＝c
f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx
f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1) f(x)＝ex
处的导数，记作
f′(x0)或
y′|x＝x ，即 0
f′(x0)＝lim
Δx→0
ΔΔyx＝□5
5
(2)几何意义
函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点□6 _(_x_0_，__f(_x_0)_)___ 处的□7 ___切__线__的__斜__率______。相应地，切线方程为□8 _y_－__y_0_＝__f′__(_x_0)_(_x_－_x_0_)__。
3
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
4
1．函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 fx2－fx1
函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为□1 ____x_2－__x_1__，若 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)
Δy
－f(x1)，则平均变化率可表示为□2 __Δ__x____。
7
5.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝□18 ___f′ __(_x_)_±_g_′__(x_)_____； (2)[f(x)g(x)]′＝□19 __f′__(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)g_′__(_x_)_； (3)gfxx′＝□20 _f_′__x__g_[_xg_－_x_f]_2x__g_′___x__(g(x)≠0)。
山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用27函数的图象课件
03微突破·提升素养
课时作业
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
知识点一 利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的 性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、 零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
记住几个重要结论 (1)函数 y＝f(x)与 y＝f(2a－x)的图象关于直线 x＝a 对称． (2)函数 y＝f(x)与 y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称． (3)若函数 y＝f(x)对定义域内任意自变量 x 满足：f(a＋x)＝f(a－x)， 则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称．
是 (2,8]．
(5)若关于 x 的方程|x|＝a－x 只有一个解，则实数 a 的取值范围是
(0，＋∞)．
解析：(2)将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中， 容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系可以从高度随时间的变 化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；② 中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢 再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有① 是错误的．
函数关系式为 y＝f(x)，则 y＝f(x)的大致图象为( A )
【解析】 根据题图中信息，可将 x 分为 4 个区间，即[0，π)， [π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当 x∈[0，π)时，函数值不变，y ＝f(x)＝1；当 x∈[π，2π)时，设O→2P与O→2O1的夹角为 θ，∵|O→2P| ＝1，|O→2O1|＝2，θ＝x－π，∴y＝(O→2P－O→2O1)2＝5－4cosθ＝5＋ 4cosx，∴y＝f(x)的图象是曲线，且单调递增；当 x∈[2π，4π)时， O→1P＝O→P－O→O1，设O→P与O→O1的夹角为 α，|O→P|＝2，|O→O1|＝1，α ＝π－x－22π＝2π－12x，∴y＝|O1P|2＝(O→P－O→O1)2＝5－4cosα＝5 －4cos2x，函数 y＝f(x)的图象是曲线，且单调递减．结合选项知选 A.
山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2123导数与函数的零点问题课件
(ⅲ)当 x∈(2π，π]时，f′(x)<0，所以 f(x)在(π2，π)单调递减．而 f(2π)>0，f(π)<0，所以 f(x)在(π2，π]有唯一零点．
(ⅳ)当 x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1，所以 f(x)<0，从而 f(x) 在(π，＋∞)没有零点．
综上，f(x)有且仅有 2 个零点．
复习课件
山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.12.3导数与函数 的零点问题课件
2021/4/17
山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用 2123导数与函数的零点问题课件
第二章
函数、导数及其应用
第十二节 导数破解疑难优质课
第3课时 导数与函数的零点问题
1．两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件为 函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0.①直接法： 判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明 f(a)·f(b)<0；② 分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的 标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明 f(a)·f(b)<0.
考向二 由函数零点个数求参数
【例 2】 已知函数 f(x)＝lnx－ax＋1. (1)当 a＝1 时，求证：f(x)≤0 恒成立； (2)若关于 x 的方程 f(x)＋x2＋1＝0 至少有两个不相等的实数 根，求实数 a 的最小值．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
所以 h(x)的最小值为 h( 22)＝( 22)2－ln( 22)－1 ＝－12＋12ln2＝－12(1－ln2)<0， 又 h(1)＝0，所以 x∈(1，＋∞)时，h(x)>0， 又当 x＝1e时，h(1e)＝e12－ln1e－1＝e12＋1－1＝e12>0，因此必存 在唯一的 x0∈(1e， 22)，使得 h(x0)＝0.
(山东专用)2021新高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.12.2 利用导数证明不等式
第2课时 利用导数证明不等式构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f (x )>g (x )(f (x )<g (x ))转化为证明f (x )－g (x )>0(f (x )－g (x )<0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x )；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x ≤x －1，e x ≥x ＋1，ln x <x <e x (x >0)，x x ＋1≤ln(x ＋1)≤x (x >－1)；(3)特征分析构造法：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f (x )和g (x )，利用其最值求解．方法1 直接构造差函数法【例1】 已知函数f (x )＝1－ln x x ，g (x )＝a e e x ＋1x －bx (e 为自然对数的底数)，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )的一个公共点是A (1,1)，且在点A 处的切线互相垂直．(1)求a ，b 的值；(2)求证：当x ≥1时，f (x )＋g (x )≥2x. 【解】 (1)因为f (x )＝1－ln x x， 所以f ′(x )＝ln x －1x2，f ′(1)＝－1. 因为g (x )＝a e e x ＋1x －bx ，所以g ′(x )＝－a e e x －1x2－b . 因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )的一个公共点是A (1,1)，且在点A 处的切线互相垂直， 所以g (1)＝1，且f ′(1)·g ′(1)＝－1，即g (1)＝1＋a －b ＝1，g ′(1)＝－a －1－b ＝1，解得a ＝－1，b ＝－1.(2)证明：由(1)知，g (x )＝－e e x ＋1x ＋x ， 则f (x )＋g (x )≥2x ⇔1－ln x x －e e x －1x＋x ≥0. 令h (x )＝1－ln x x －e e x －1x＋x (x ≥1)， 则h ′(x )＝－1－ln x x 2＋e e x ＋1x 2＋1＝ln x x 2＋e ex ＋1. 因为x ≥1，所以h ′(x )＝ln x x 2＋e ex ＋1>0， 所以h (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以h (x )≥h (1)＝0，即1－ln x x －e e x －1x＋x ≥0， 所以当x ≥1时，f (x )＋g (x )≥2x. 方法技巧待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证.已知函数f (x )＝x 2e 2x －2.(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当x ∈[0,2]时，求证：f (x )≥－2x 2＋8x －5.解：(1)f ′(x )＝2e 2x －2(x 2＋x )，f ′(1)＝4，f (1)＝1，则曲线y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)证明：当x ∈[0,2]时，令g (x )＝x 2e 2x －2＋2x 2－8x ＋5，则g ′(x )＝2e 2x －2(x 2＋x )＋4x －8，令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝2e 2x －2(2x 2＋4x ＋1)＋4>0，所以g ′(x )在[0,2]上单调递增，且g ′(1)＝0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以g (x )的最小值为g (1)＝0，所以g (x )≥0，即f (x )≥－2x 2＋8x －5.方法2 特征分析构造法【例2】 已知函数f (x )＝ln x ＋ax ，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝34时，证明：x 3>f (x )． 【解】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．由已知得f ′(x )＝1x ＋a ＝ax ＋1x(x >0)， 则①当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a <0时，令f ′(x )>0，得x <－1a ，则f (x )在(0，－1a )上单调递增，在(－1a，＋∞)上单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(0，－1a )，单调递减区间为(－1a，＋∞)． (2)当a ＝34时，x 3>f (x )可化为x 2－34>ln x x. 令m (x )＝x －1－ln x x ，x >0，则m ′(x )＝x 2＋ln x －1x 2(x >0)，令h (x )＝x 2＋ln x －1，x >0，则h ′(x )＝2x ＋1x>0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又h (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，h (x )<0，则m ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0，则m ′(x )>0，所以m (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以m (x )≥m (1)＝0，即x －1≥ln x x ，当且仅当x ＝1时，等号成立．又x 2－34－(x －1)＝x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，所以x 2－34≥x －1，当且仅当x ＝12时，等号成立．故x 2－34>ln x x ，即x 2>ln x x ＋34，即x 3>ln x ＋34x ，即x 3>f (x )．方法技巧用特征分析构造法证明不等式，就是将一些复杂函数通过等价变形或合理拆分，得到一些熟悉的基本初等函数，然后利用这些基本初等函数的性质和图象等，进行合理放缩，这样可以大大减少运算量，降低思维难度，进而使问题更易解答.已知函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋y ＋3＝0. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )＝ln x ，求证：g (x )≥f (x )在[1，＋∞)上恒成立．解：(1)将x ＝－1代入切线方程得y ＝－2，所以f (－1)＝b －a 1＋1＝－2， 化简得b －a ＝－4.①f ′(x )＝a (x 2＋1)－(ax ＋b )·2x (x 2＋1)2， f ′(－1)＝2a ＋2(b －a )4＝－1.② 联立①②，解得a ＝2，b ＝－2.所以f (x )＝2x －2x 2＋1.(2)证明：由题意知要证ln x ≥2x －2x 2＋1在[1，＋∞)上恒成立， 即证明(x 2＋1)ln x ≥2x －2，x 2ln x ＋ln x －2x ＋2≥0在[1，＋∞)上恒成立．设h (x )＝x 2ln x ＋ln x －2x ＋2，则h ′(x )＝2x ln x ＋x ＋1x－2，因为x ≥1，所以2x ln x ≥0，x ＋1x ≥2·x ·1x＝2(当且仅当x ＝1时等号成立)，即h ′(x )≥0， 所以h (x )在[1，＋∞)上单调递增，h (x )≥h (1)＝0，所以g (x )≥f (x )在[1，＋∞)上恒成立．方法3 放缩法【例3】 已知函数f (x )＝ax －ln x －1.(1)若f (x )≥0恒成立，求a 的最小值；(2)求证：e －xx＋x ＋ln x －1≥0； (3)已知k (e －x ＋x 2)≥x －x ln x 恒成立，求k 的取值范围．【解】 (1)f (x )≥0等价于a ≥ln x ＋1x. 令g (x )＝ln x ＋1x (x >0)，则g ′(x )＝－ln x x2， 所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，则g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝1，则a ≥1，所以a 的最小值为1.(2)证明：当a ＝1时，由(1)得x ≥ln x ＋1，即t ≥ln t ＋1(t >0)．令e －xx＝t ，则－x －ln x ＝ln t ， 所以e －x x ≥－x －ln x ＋1，即e －xx＋x ＋ln x －1≥0. (3)因为k (e －x ＋x 2)≥x －x ln x 恒成立，即k ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －x x ＋x ≥1－ln x 恒成立， 所以k ≥1－ln x e －x x ＋x ＝－e －xx ＋x ＋ln x －1e －x x＋x ＋1， 由(2)知e －xx＋x ＋ln x －1≥0恒成立， 所以－e －xx ＋x ＋ln x －1e －x x＋x ＋1≤1，所以k ≥1. 故k 的取值范围为[1，＋∞)．方法技巧导数的综合应用题中，最常见就是e x 和ln x 与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对e x 和ln x 进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负.常见的放缩公式如下：(1)e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时取等号；(2)e x ≥e x ，当且仅当x ＝1时取等号；已知函数f (x )＝x e x ＋x 2＋ax ＋b ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为4x －2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )>ln x .解：(1)f ′(x )＝(x ＋1)e x ＋2x ＋a ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝1＋a ＝2，f (0)＝b ＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－32.(2)由(1)知，f (x )＝x e x ＋x 2＋x －32. 先证当x ≥0时，f (x )≥2x －32， 即证x e x ＋x 2－x ≥0.设g (x )＝x e x ＋x 2－x ，x ≥0，则g ′(x )＝(x ＋1)e x ＋2x －1，g ′(0)＝0.设φ(x )＝g ′(x )，则φ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2>0，所以函数g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，故g ′(x )≥g ′(0)＝0，所以函数g (x )在[0，＋∞)上单调递增，则当x ≥0时，g (x )＝x e x ＋x 2－x ≥g (0)＝0.(也可直接分析x e x ＋x 2＋x －32≥2x －32⇔x e x ＋x 2－x ≥0⇔e x ＋x －1≥0，显然成立)．再证2x －32>ln x ，设h (x )＝2x －32－ln x ， 则h ′(x )＝2－1x ＝2x －1x ，令h ′(x )＝0，得x ＝12，则当x ∈(0，12)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；当x ∈(12，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增． 所以h (x )＝2x －32－ln x ≥h (12)＝－12＋ln2>0， 即有2x －32>ln x ， 又f (x )＝x e x ＋x 2＋x －32>2x －32(x >0)， 故f (x )>ln x .方法4 构造双函数法【例4】 已知函数f (x )＝e x 2－x ln x .求证：当x >0时，f (x )<x e x ＋1e. 【证明】 要证f (x )<x e x ＋1e ，只需证e x －ln x <e x ＋1e x ，即e x －e x <ln x ＋1e x. 令h (x )＝ln x ＋1e x (x >0)，则h ′(x )＝e x －1e x 2， 易知h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，则h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝0，所以ln x ＋1e x≥0. 再令φ(x )＝e x －e x ，则φ′(x )＝e －e x ，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以e x －e x ≤0.因为h (x )与φ(x )不同时为0，所以e x －e x <ln x ＋1e x，故原不等式成立．方法技巧若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.已知函数f (x )＝12x 2，g (x )＝a ln x (a >0)． (1)求函数h (x )＝f (x )g (x )的极值；(2)求证：当x >0时，不等式ln x ＋34x 2－1ex >0成立．(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.718 28…)解：(1)F (x )＝f (x )g (x )＝12ax 2ln x (x >0)， ∴F ′(x )＝ax ln x ＋12ax ＝ax ⎝⎛⎭⎫ln x ＋12，(2)令G (x )＝x 2e x －34，则G ′(x )＝x (2－x )e x， 当x ∈(0,2)时，G ′(x )>0，G (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，G ′(x )<0，G (x )单调递减，则G (x )max ＝G (2)＝4e 2－34， 而4e 2－34－⎝⎛⎭⎫－12e ＝(8－3e )(2＋e )4e 2<0， 因此x 2ln x ≥－12e >4e 2－34≥x 2e x －34，原不等式得证．。
2022数学第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算教师文档教案文
第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。
新课程2021高考数学一轮复习第二章第10讲导数的概念及运算课件
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测 2021 年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定 义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行 考查，试题难度属中低档.
1
PART ONE
基础知识过关
1．变化率与导数 (1)平均变化率
① ②
由①知 x0≠0，故②可化为 1＋x20＋ax0＝0，
所以 ax0＝－1－x20，代入①得 3x20＋2(－1－x20)＝－1，即 x20＝1，解得 x0＝±1. 当 x0＝1 时，a＝－2，f(x0)＝x30＋ax20＝－1；当 x0＝－1 时，a＝2，f(x0)＝x30＋ ax20＝1，所以点 P 的坐标为(1，－1)或(－1，1).
2．小题热身 (1)下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝x·l1n 2； ③(e1－x)′＝e1－x；④ln1x′＝x. A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 ①中，(3x)′＝3xln 3，错误；②中，(log2x)′＝x·l1n 2，正确；③ 中，(e1－x)′＝－e1－x，错误；④中，ln1x′＝0·llnnxx－2 1x＝－xln1 x2，错误， 因此求导运算正确的个数为 1.
2.(2019·全国卷Ⅰ)曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 __y_＝__3_x __.
解析 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率 k＝e0×3 ＝3，∴切线方程为 y＝3x.
角度 2 求切点坐标
3.(2019·广州模拟)设函数 f(x)＝x3＋ax2，若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.10变化率与导数导数的计算课时提升作业理
课时提升作业十三变化率与导数、导数的计算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=x2cosx在x=1处的导数是( )A.0B.2cos1-sin1C.cos1-sin1D.1【解析】选B.因为y′=(x2cosx)′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以y′|x=1=2cos1-sin1.2.已知f(x)=x(2014+lnx),f′(x0)=2015,则x0=()A.e2B.1C.ln2D.e【解析】选B.由题意可知f′(x)=2014+lnx+x·=2015+lnx.由f′(x0)=2015,得lnx0=0,解得x0=1.3.已知函数f(x)=e x,则当x1<x2时,下列结论正确的是( )A.>B.<C.>D.<【解析】选C.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),则表示曲线f(x)=e x在B点处的切线的斜率,而表示直线AB的斜率,由数形结合可知:>.4.(2016·临川模拟)若幂函数f(x)=mxα的图象经过点A,则它在点A处的切线方程是( )A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-4y+1=0D.4x+4y+1=0【解析】选 C.根据函数f(x)=mxα为幂函数,所以m=1,根据图象经过点A,则有α=,所以f(x)=,f′(x)=,f′=1,根据直线方程的点斜式,求得切线方程是4x-4y+1=0.【加固训练】(2016·保定模拟)已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为( )A.eB.-eC.D.-【解析】选 C.y=lnx的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),则k=y′=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y0=1,则x0=e,所以k=y′==.5.(2016·泸州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于( )A.-1或-B.-1或C.-或-D.-或7【解题提示】点(1,0)不在曲线y=x3上,只是曲线y=x3的特定切线经过点(1,0),故设出切点坐标,写出切线方程,把点(1,0)代入切线方程求得切点坐标,得出切线方程后,再根据切线与y=ax2+x-9相切求出a值. 【解析】选A.设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·湖南十二校联考)若函数f(x)=lnx-f′(-1)x2+3x-4,则f′(1)=.【解析】因为f′(x)=-2f′(-1)x+3,所以f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,解得f′(-1)=-2,所以f′(1)=1+4+3=8.答案:8【加固训练】已知f(x)=x2+2xf′(2014)+2014lnx,则f′(2014)=.【解析】由题意得f′(x)=x+2f′(2014)+,所以f′(2014)=2014+2f′(2014)+,即f′(2014)=-(2014+1)=-2015.答案:-2015。
山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用29函数模型及应用课件
解：(1)当 x∈[200,300]时，设该项目获利为 S 元，则 S＝200x －12x2－200x＋80 000＝－12x2＋400x－80 000＝－12(x－400)2，所 以当 x∈[200,300]时，S<0，因此该项目不会获利．当 x＝300 时， S 取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴 5 000 元才能使该 项目不亏损．
(3)某物体一天中的温度 T 是关于时间 t 的函数，且 T＝t3－3t ＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，当 t＝0 时表示中午 12： 00，其后 t 值为正，则上午 8 时该物体的温度是______8_℃________.
(4)已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝ alog3(x＋1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到 ____2_0_0________只．
该商品在销售过程中，若每天固定成本为 20 元，则预计单价为
多少时，利润最大( B )
A．8 元/件
B．10 元/件
C．12பைடு நூலகம்元/件 D．14 元/件
解析：设单价为(6＋x)元，日均销售量为 100－10x，则日
利润 y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
考点一 一次函数、二次函数模型的应用 【例 1】 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科 研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转 化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间 的函数关系可近似地表示为 y＝12x2－200x＋80 000，且每处理一 吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元．
(山东专用)2021新高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.1 函数及其表示学案(含解析
第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示课标要求考情分析1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．1.主要考查函数的概念、定义域及解析式的确定与应用，分段函数更是考查的热点．2．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是函数的解析式，对以后研究函数的性质有很重要的作用.知识点一函数函数两集合A，B设A，B是非空的数集对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A知识点二函数的有关概念1．函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．函数的三要素：定义域、值域和对应关系．3．相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．4．函数的表示法：解析法、图象法、列表法．知识点三分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．1.分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．2．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3．各段函数的定义域不可以相交．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(×)(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B．(×)(3)f(x)＝x－3＋2－x是一个函数．(×)(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×)解析：(1)错误．函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数．(2)错误．值域C⊆B，不一定有C＝B．(3)错误．f(x)＝x－3＋2－x中x不存在．(4)错误．当两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数．2．小题热身(1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(B)(2)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( B ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1(3)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( A ) A ．15lg 2B ．12lg 5C ．13lg 2D ．12lg 3(4)函数f (x )＝4－4x ＋ln(x ＋4)的定义域为(－4,1]． (5)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝－2.解析：(1)A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]． (2)对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域x ∈R 不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数．(3)令x 5＝2，则x ＝2 15， ∴f (2)＝lg 215 ＝15lg 2.(4)要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4>0，解得－4<x ≤1.(5)由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.考点一 求函数的定义域命题方向1 已知函数解析式求定义域【例1】 (2019·江苏卷)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________．【解析】 要使函数有意义，则7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]．【答案】 [－1,7]命题方向2 求抽象函数的定义域【例2】 已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12x ＋8－2x 的定义域为( ) A ．[0,3] B ．[0,2] C ．[1,2]D ．[1,3]【解析】 由题意，可知x 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤2，8－2x ≥0，解得0≤x ≤3，即函数g (x )的定义域为[0,3]，故选A ．【答案】 A命题方向3 求参数取值范围【例3】 (1)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，34B ．⎝⎛⎭⎫0，34 C ．⎣⎡⎦⎤0，34 D ．⎣⎡⎭⎫0，34 (2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．【解析】 (1)∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3≠0，∴m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16m 2－12m <0，即m ＝0或0<m <34，∴实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34. (2)∵函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f (1)＝0，f (2)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，∴a ＋b ＝－92.【答案】 (1)D (2)－92方法技巧例1是根据具体的函数解析式求定义域，已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可.例2是求抽象函数的定义域，有如下解法：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域. 例3是例1的逆运用，通常是转化为含参数的不等式求解.1．(方向1)y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( C ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2]解析：要使函数有意义，则⎩⎨⎧x －12x≥0，x ≠0，4－x 2>0，解得x ∈(－2，0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．(方向2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．3．(方向3)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为[－2,2]． 解析：若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2,2]．考点二 求函数的解析式【例4】 (1)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. (2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. (3)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．【解析】 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.所以f (x )＝12x 2－32x ＋2.(2)在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.(3)设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 【答案】 (1)12x 2－32x ＋2(2)23x ＋13 (3)见解析 方法技巧 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式.(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).1．已知函数f (2x －1)＝4x ＋3，且f (t )＝6，则t ＝( A ) A ．12B ．13C ．14D ．15解析：设t ＝2x －1，则x ＝t ＋12，故f (t )＝4×t ＋12＋3＝2t ＋5，令2t ＋5＝6，则t ＝12，故选A ．2．若f (x )对于任意实数x 恒有3f (x )－2f (－x )＝5x ＋1，则f (x )＝( A ) A ．x ＋1 B ．x －1 C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：因为3f (x )－2f (－x )＝5x ＋1①，所以3f (－x )－2f (x )＝－5x ＋1②，联立①②，解得f (x )＝x ＋1，故选A ．3．若f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x ＋1，则f (x )＝2x ＋13或－2x －1.解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋1，得a 2＝4，ab ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝13或a ＝－2，b ＝－1，∴f (x )＝2x ＋13或f (x )＝－2x －1.考点三 分段函数命题方向1 分段函数求值问题【例5】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，12x ，x <0，则f (f (－1))＝( )A ．32B ．2＋1C ．1D ．3(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，f (x －1)，x ≥2，则f (log 27)＝________.【解析】 (1)由题意可得f (－1)＝12－1＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝3，故选D ．(2)因为2<log 27<3，所以1<log 27－1<2，所以f (log 27)＝f (log 27－1)＝2log 27－1 ＝2log 27÷2＝72.【答案】 (1)D (2)72命题方向2 分段函数与方程、不等式问题【例6】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a ＝________.【解析】 (1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D ． (2)当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，无实数解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件． 【答案】 (1)D (2)－3 方法技巧分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果整合起来.1．(方向1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋1，x ≤－1，lg (6－x )＋lg (x ＋1)，－1<x <6，则f (－1)＋f (1)＝( C )A ．0B ．1C ．2D ．e 2解析：f (－1)＋f (1)＝e －1＋1＋lg5＋lg2＝2，故选C.2．(方向2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝2的x 的集合是( A )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，4 B ．{1,4} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14，4解析：由题意可知，f (x )＝2，即⎩⎨⎧2x ＝2，x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |＝2，x >0，解得x ＝14或4.3．(方向1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ≤0)，f (x －3)(x >0)，则f (5)的值为12.解析：由题意，得f (5)＝f (2)＝f (－1)＝(－1)2－2－1＝1－12＝12.4．(方向2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ＋1－12，x ≥1，1，x <1，则不等式f (6－x 2)>f (x )的解集为(－5，2)．解析：易知函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增， 又f (1)＝1，所以当x >1时，f (x )>1. 当x <1时，由6－x 2>1，得－5<x <5， 则－5<x <1；当x ≥1时，由6－x 2>x ，得－3<x <2， 则1≤x <2.综上，不等式的解集为(－5，2)．函数的新定义问题【典例】 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ；④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①④D ．④【分析】 根据新定义的一阶整点函数的含义，对四个函数一一分析，判断它们的图象是否恰好经过一个整点，即可得出正确的选项．【解析】 对于函数f (x )＝sin2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一阶整点阶段，排除A ；对于函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.选C.【答案】 C【素养解读】 本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本示例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (x )的图象恰好经过一个整点，问题便迎刃而解．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f (x )＝2x ＋31＋2x ＋1，则函数y ＝[f (x )]的值域为( C )A ．⎝⎛⎭⎫12，3B ．(0,2]C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3} 解析：因为f (x )＝2x ＋31＋2x ＋1＝12(1＋2x ＋1)＋521＋2x ＋1＝12＋52(1＋2x ＋1)，2x ＋1>0，所以0<11＋2x ＋1<1，所以12<12＋52(1＋2x ＋1)<3，即12<f (x )<3，所以y ＝[f (x )]的值域为{0,1,2}，故选C.。
2021版新高考数学(山东专用)一轮学案：第二章第十一讲导数的概念及运算
第十一讲 导数的概念及运算ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 导数的概念与导数的运算 1．函数的平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，把式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，还可以表示为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．导数的概念(1)f (x )在x ＝x 0处的导数就是f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作：y ′|x ＝x 0或f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)当把上式中的x 0看作变量x 时，f ′(x )即为f (x )的导函数，简称导数，即y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.3．基本初等函数的导数公式(1)C ′＝0(C 为常数)；(2)(x n )′＝nx n －1(n ∈Q *) (3)(sin x )′＝cos_x ;_ (4)(cos x )′＝－sin_x ； (5)(a x )′＝a x ln_a ;_ (6)(e x )′＝e x ； (7)(log a x )′＝1x ln a ； (8)(ln x )′＝1x .4．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ). (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ). 特别地：[C ·f (x )]′＝Cf ′(x )(C 为常数) (3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0). 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．知识点二 导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).重要结论1．[1f (x )]′＝－f ′(x )f 2(x ).2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论不正确的是( ABC )A ．在曲线y ＝f (x )上某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义相同B ．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线C ．(sin π3)′＝cos π3D ．[ln(－x )]′＝1x[解析] 对于A ，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线，点P 在曲线上，而过点P (x 0，y 0)的切线，点P 可以在曲线外．对于B ，如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线．对于C ，(sin π3)′＝0，D 正确；故选A 、B 、C ．题组二 走进教材2．(选修2－2P 18A T4改编)计算： (1)(x 4－3x 3＋1)′＝4x 3－9x 2； (2)(x e x )′＝e x ＋x e x ； (3)(sin x ·cos x )′＝cos2x ； (4)(1ln x )′＝－1x ln x.3．(选修2－2P 18A T5改编)已知函数f (x )＝2xf ′(1)＋x ln x ，则f ′(1)＝( C ) A ．e B ．1 C ．－1D ．－e[解析] f ′(x )＝2f ′(1)＋ln x ＋1， 当x ＝1时，f ′(1)＝2f ′(1)＋1， ∴f ′(1)＝－1，故选C ． 题组三 考题再现4．(2019·全国卷Ⅰ，5分)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为y ＝3x .[解析] 因为y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3(x 2＋3x ＋1)e x ，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，所以所求的切线方程为y ＝3x .5．(2019·江苏，5分)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是(e,1).[解析] 设A (x 0，ln x 0)，又y ′＝1x ，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x－x 0)，将(－e ，－1)代入得，－1－ln x 0＝1x 0(－e －x 0)，化简得ln x 0＝ex 0，解得x 0＝e ，则点A的坐标是(e,1)．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 导数的基本运算——师生共研例1 (1)求下列函数的导数． ①y ＝ln x ＋1x ；②y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)； ③y ＝x －sin x 2cos x2；④y ＝cos x e x ；⑤y ＝ln 1－2x 2； ⑥y ＝e 2x cos3x .(2)若函数f (x )＝ln x －f ′(1)x 2＋3x －4，则f ′(3)＝－143.[分析] ①直接求导；②③化简后再求导；④利用商的导数运算法则求解；⑤⑥用复合函数求导法则求导．(2)先求出f ′(1)得出导函数的解析式，再把x ＝3代入导函数解析式得f ′(3)． [解析] (1)①y ′＝(ln x ＋1x )′＝(ln x )′＋(1x )′＝1x －1x 2.②因为y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1， 所以y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x )′－(1)′＝18x 2＋4x －3. 另解：y ′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′ ＝4x (3x ＋1)＋3(2x 2－1)＝12x 2＋4x ＋6x 2－3 ＝18x 2＋4x －3.③因为y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，所以y ′＝(x －12sin x )′＝x ′－(12sin x )′＝1－12cos x .④y ′＝(cos xe x )′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x.⑤y ＝ln 1－2x 2＝12ln(1－2x 2)，令u ＝1－2x 2，则y ＝ln 1－2x 2由y ＝12ln u 与u ＝1－2x 2复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(12ln u )′·(1－2x 2)′＝12u ·(－4x )＝－2x 1－2x 2.⑥y ′＝(e 2x )′cos3x ＋e 2x (cos3x )′＝2e 2x ·cos3x －3e 2x sin3x ＝e 2x (2cos3x －3sin3x )．(2)对f (x )求导，得f ′(x )＝1x －2f ′(1)x ＋3，所f ′(1)＝1－2f ′(1)＋3，解得f ′(1)＝43，所以f ′(x )＝1x －83x ＋3，将x ＝3代入f ′(x )，可得f ′(3)＝－143.名师点拨 ☞导数计算的原则和方法(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导．(2)方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；⑥复合函数：由外向内，层层求导．〔变式训练1〕 (1)填空①若y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，则y ′＝3x 2＋12x ＋11； ②若y ＝e x ln x ，则y ′＝e x (1x ＋ln x )；③若y ＝tan x ，则y ′＝1cos 2x； ④若y ＝(x 2＋2x －1)e 2－x ，则y ′＝(3－x 2)e 2－x ；⑤若y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1，则y ′＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x ＋1).(2)f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0＝1.(3)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝－2. (4)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝2.[解析] (1)①y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，所以y ′＝3x 2＋12x ＋11. ②y ′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x (1x＋ln x )．③y ＝tan x ＝sin x cos x ，∴y ′＝cos x ·cos x －(－sin x )sin x cos 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x . ④y ′＝(x 2＋2x －1)′e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(e 2－x )′ ＝(2x ＋2)e 2－x ＋(x 2＋2x －1)·(－e 2－x ) ＝(3－x 2)e 2－x .⑤y ′＝[ln (2x ＋3)]′(x 2＋1)－ln (2x ＋3)(x 2＋1)′(x 2＋1)2＝(2x ＋3)′2x ＋3·(x 2＋1)－2x ln (2x ＋3)(x 2＋1)2＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x 2＋1)2.(2)f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ·1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得x 0＝1.故填1.(3)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，因为f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，所以f ′(－1)＝－2.故填－2. (4)解法一：令t ＝e x ，故x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，所以f ′(1)＝2.解法二：f ′(e x )＝1＋e x ，f ′(1)＝f ′(e 0)＝1＋e 0＝2.故填2.考点二 导数的几何意义——多维探究角度1 求曲线的切线方程例2 已知曲线f (x )＝x 3－x ，则(1)曲线在点(1,0)处的切线方程为2x －y －2＝0；(2)曲线过点(1,0)的切线方程为2x －y －2＝0或x ＋4y －1＝0；(3)曲线平行于直线5x －y ＋1＝0的切线方程为5x －y －42＝0或5x －y ＋42＝0. [分析] (1)解决曲线的切线问题直接利用导数的几何意义求切线斜率可得； (2)由于在点P 处的切线平行于直线5x －y ＋1＝0，则在点P 处的切线斜率为5. [解析] f ′(x )＝3x 2－1.(1)曲线在点(1,0)处切线的斜率为k ＝f ′(1)＝2. ∴所求切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)设切点为P (x 0，x 30－x 0)，则k 切＝f ′(x 0)＝3x 20－1， ∴所求切线方程为y －x 30＋x 0＝(3x 20－1)(x －x 0)， 又切线过点(1,0)，∴－x 30＋x 0＝(3x 20－1)(1－x 0) 解得x 0＝1或－12.故所求切线方程为y ＝2(x －1)或y －38＝－14(x ＋12)即2x －y －2＝0或x ＋4y －1＝0.(3)设切点坐标为(x 0，x 30－x 0)，则k 切＝3x 20－1＝5解得x 0＝±2，故切点为(2，2)或(－2，－2)所以所求切线方程为y －2＝5(x －2)或y ＋2＝5(x ＋2)即5x －y －42＝0或5x －y ＋42＝0.名师点拨 ☞求曲线的切线方程的两种类型(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程和求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．(2)在点P 处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)求过点P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 注：也可利用f ′(x 1)＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝k 切求切点坐标(x 1，y 1)，有几组解就有几条切线．角度2 求切点坐标例3 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P的坐标为( A )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(1，－1)D ．(－1,1)[解析] 对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1,1)．故选A ．角度3 求参数的值(或范围)例4 (2019·全国卷Ⅲ，5分)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( D )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1[解析] 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以y ′| x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.〔变式训练2〕(1)(角度1)(2019·全国卷Ⅱ，5分)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( C ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝0(2)(角度1)过点(1，－1)的曲线y ＝x 3－2x 的切线方程为x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. (3)(角度2)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( C )A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0)(4)(角度3)(2018·课标Ⅲ，14)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝－3.[解析] (1)依题意得y ′＝2cos x －sin x ，y ′| x ＝π＝(2cos x －sin x )| x ＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0，故选C ．(2)设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)． 即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. (3)由题意知y ′＝3x＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，故点P 0的坐标是(1,3)．(4)本题考查导数的综合应用．设f (x )＝(ax ＋1)e x ，则f ′(x )＝(ax ＋a ＋1)e x ，所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升两曲线的公共切线问题例5 (2020·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝( C )A ．1B ．12C ．1－ln 2D ．1－2ln 2[解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)．化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.故选C ．[引申]本例中两曲线公切线方程为y ＝2x ＋1－ln_2. [解析] k ＝1x 1＝2，∴公切线方程为y ＝2x ＋1－ln 2.名师点拨 ☞同时和曲线y ＝f (x )、y ＝g (x )都相切的直线称为两曲线的公共切线．设直线与曲线y ＝f (x )切于(x 1，f (x 1))与曲线y ＝g (x )切于(x 2，g (x 2))，则切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)，即y ＝f ′(x 1)x ＋f (x 1)－f ′(x 1)x 1同理y ＝g ′(x 2)x ＋g (x 2)－g ′(x 2)x 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x 1)＝g ′(x 2)f (x 1)－f ′(x 1)x 1＝g (x 2)－g ′(x 2)x 2，解出x 1、x 2，从而可得切线方程．由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解的个数．〔变式训练3〕若曲线y ＝x ＋ln x 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1存在过点(0，－1)的公切线，则a ＝8. [解析] 设直线l 与曲线C ：y ＝x ＋ln x 切于P (x 0，x 0＋ln x 0)，则k 切＝y ′|x ＝x 0＝1＋1x 0.∴1＋1x 0＝x 0＋ln x 0＋1x 0，解得x 0＝1，∴切线l 的方程为y ＝2x －1.又直线l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切．∴方程2x －1＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1即ax 2＋ax ＋2＝0的判别式Δ＝a 2－8a ＝0，∴a ＝8或0(舍去)．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
(山东专用)2021新高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时作业13 变化率与导数、导数
课时作业13 变化率与导数、导数的计算一、选择题1．函数y ＝1x ＋cos x 的导数是( B )A ．y ′＝1x 2－sin xB ．y ′＝－1x 2－sin xC ．y ′＝1x2＋cos xD ．y ′＝1x2－cos x解析：∵函数y ＝1x ＋cos x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＋(cos x )′＝－1x 2－sin x . 2．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( D ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：对函数求导得y ′＝a －1x ＋1，因为点(0,0)在曲线上，且切线方程为y ＝2x ，所以a －1＝2，所以a ＝3.3．如果曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－13x ，那么点P 的坐标为( A )A ．(1,0)B ．(0，－1)C ．(0,1)D ．(－1,0)解析：设点P (a ，b )，则b ＝a 4－a ，由题得y ′＝4x 3－1.因为曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－13x ，所以4a 3－1＝3，所以a ＝1.所以b ＝14－1＝0，所以点P 的坐标为(1,0)．4．已知f (x )＝x ln x ＋f ′(1)x ，则f ′(1)＝( B )A ．1 B.12C ．2D ．e解析：f ′(x )＝1＋ln x －f ′(1)x2，令x ＝1，得f ′(1)＝1－f ′(1)，解得f ′(1)＝12.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( B )A ．6B ．－2C ．－6D ．－8解析：设x >0，则－x <0，f (－x )＝x 2－2x ，又f (x )为奇函数，则f (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x ，f ′(x )＝－2x ＋2，则f ′(2)＝－2.故选B.6．若点P 是函数y ＝2sin xsin x ＋cos x 图象上任意一点，直线l 为点P 处的切线，则直线l 倾斜角的取值X 围是( C )A ．[0，π4]B ．[π4，π3]C ．[π4，π2)D ．(π2，3π4]解析：因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，由x ＋π4≠k π，k ∈Z ，知函数f (x )的定义域为{x |x ≠k π－π4，k ∈Z }．设直线l 的倾斜角为θ，y ′＝2[cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )](sin x ＋cos x )2＝2[2sin (x ＋π4)]2＝1sin 2(x ＋π4).因为0<sin 2(x ＋π4)≤1，所以y ′≥1，即tan θ≥1.又0≤θ<π，所以π4≤θ<π2，故选C.7．曲线y ＝2ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的距离的最小值为( A ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．2解析：设与直线2x －y ＋3＝0平行且与曲线y ＝2ln x 相切的直线方程为2x －y ＋m ＝0. 设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝2x ，∴2x 0＝2，解得x 0＝1，因此y 0＝2ln1＝0，∴切点P 的坐标为(1,0)， 则点P 到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|2－0＋3|22＋(－1)2＝5，∴曲线y ＝2ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的距离的最小值是 5.8．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)，其中常数φ满足－π<φ<0.若函数g (x )＝f (x )＋f ′(x )(其中f ′(x )是函数f (x )的导数)是偶函数，则φ等于( A )A ．－π3B ．－56πC ．－π6D ．－2π3解析：由题意得g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋π3， ∵函数g (x )为偶函数，∴φ＋π3＝k π，k ∈Z .又－π<φ<0，∴φ＝－π3.故选A.二、填空题9．已知函数f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为x －y －3＝0.解析：因为f (1)＝ln1＋2－4＝－2，所以切点为(1，－2)．因为f ′(x )＝1x ＋4x －4，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝1.所以切线方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0.10．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a－b ＝－8.解析：∵f (x )＝x ＋a x ＋b ，∴f ′(x )＝1－ax2，∴f ′(1)＝1－a ＝2，∴a ＝－1.∵f (1)＝1＋a ＋b ＝7，∴b ＝7，则a －b ＝－1－7＝－8. 11．阅读材料：借助上述思路，曲线y ＝(2x －1)x ＋1，x ∈(12，＋∞)在点(1,1)处的切线方程为4x －y －3＝0.解析：根据题中材料将函数y ＝(2x －1)x ＋1转化为ln y ＝ln(2x －1)x ＋1＝(x ＋1)ln(2x －1)，两边同时求导数，得1y ×y ′＝ln(2x －1)＋(x ＋1)×1(2x －1)×2＝ln(2x －1)＋2(x ＋1)2x －1，∴y ′＝[ln(2x －1)＋2(x ＋1)2x －1]·(2x －1)x ＋1，∴y ′|x ＝1＝[ln(2x －1)＋2(x ＋1)2x －1](2x －1)x ＋1|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.12．(多填题)已知函数f (x )＝e x －e －x ＋2的图象在点A (x 0，f (x 0))处的切线为l ，且l 与直线2x ＋y ＝0关于直线x ＝a 对称，则x 0＝0，实数a 的值为－12.解析：由题意可知直线l 的斜率为2，f ′(x )＝e x ＋e －x ，∴e x 0＋e －x 0＝2，即(e x 0)2－2e x 0＋1＝0，(e x 0－1)2＝0，解得x 0＝0，而f (0)＝e 0－e 0＋2＝2，∴A (0,2)，∴切线l ：y －2＝2x ，即2x －y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，2x ＋y ＝0，得x ＝－12，∴a ＝－12.三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3－4x ＋2及其图象上一点M (1，－1)．(1)若直线l 1与函数f (x )的图象相切于点M (1，－1)，求直线l 1的方程；(2)若函数f (x )的图象的切线l 2经过点M (1，－1)，但M 不是切点，求直线l 2的方程． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－4，f ′(1)＝－1，所以直线l 1的斜率k 1＝－1，所以直线l 1的方程为y ＋1＝－(x －1)，即x ＋y ＝0.(2)设切点坐标为(x 0，f (x 0))，x 0≠1，则切线l 2的方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 因为直线l 2经过点M (1，－1)，所以－1－f (x 0)＝f ′(x 0)(1－x 0)．其中f (x 0)＝x 30－4x 0＋2，f ′(x 0)＝3x 20－4，于是－1－(x 30－4x 0＋2)＝(3x 20－4)(1－x 0)，整理得2x 30－3x 20＋1＝0，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，又x 0≠1，所以x 0＝－12.所以切点为⎝⎛⎭⎫－12，318， 直线l 2的斜率k 2＝f ′⎝⎛⎭⎫－12＝－134， 所以直线l 2的方程为y －318＝－134⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即y ＝－134x ＋94.14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值X 围；(2)若曲线C 存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值X 围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值X 围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由题意并结合(1)中结论可知⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，则－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1， 解得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．15．(多选题)若函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t ，则称函数y ＝f (x )为“t 函数”．下列函数中可以称为“2函数”的是( CD )A ．y ＝x －x 3B ．y ＝x ＋e xC ．y ＝x ln xD ．y ＝x ＋cos x解析：设切点的横坐标分别为x 1，x 2，对于A ，y ′＝1－3x 2，所以两条切线的斜率之和为2－3(x 21＋x 22)，由于x 1，x 2不能同时为零，所以2－3(x 21＋x 22)<2，不符合题意；对于B ，y ′＝1＋e x ，所以两条切线的斜率之和为2＋e x 1＋e x 2>2，不符合题意；对于C ，y ′＝ln x ＋1，所以两条切线的斜率之和为2＋ln x 1＋ln x 2＝2＋ln(x 1x 2)，当x 1，x 2互为倒数时，两切线的斜率之和为2，符合题意；对于D ，y ′＝1－sin x ，所以两条切线的斜率之和为2－sin x 1－sin x 2，当sin x 1＋sin x 2＝0，即x 1＝2k π－x 2或x 1＝2⎝⎛⎭⎫k ＋12π＋x 2(k ∈Z )时，两条切线的斜率之和为2，符合题意．综上所述，故选CD.16．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1.(1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；(2)设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线．解：(1)f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x ＋2(x －1)2>0，所以f (x )在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增．因为f (e)＝1－e ＋1e －1<0，f (e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0，所以f (x )在(1，＋∞)有唯一零点x 1，即f (x 1)＝0.又0<1x 1<1，f (1x 1)＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f (x 1)＝0，故f (x )在(0,1)有唯一零点1x 1.综上，f (x )有且仅有两个零点．(2)证明：因为1x 0＝e －ln x 0，故点B (－ln x 0，1x 0)在曲线y ＝e x 上．由题设知f (x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1，连接AB ，则直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0. 曲线y ＝e x 在点B (－ln x 0，1x 0)处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线．。
2021高考数学一轮复习课件_2.10变化率与导数、导数的计算
4．复合函数的导数
设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合 函数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝____f_′(_u_)_·_v_′(_x_)____．
故当t＝2 s时，汽车的加速度是v′(2)＝12×2－10＝14
m/s2.
【答案】 A
2．函数y＝xcos x－sin x的导数为( )
A．xsin x
B．－xsin x
C．xcos x
D．－xcos x
【解析】 f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
【答案】 B
3．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A．e2
B．e
ln 2 C. 2
D．ln 2
【解析】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1， 由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e. 【答案】 B
4．(2012·广东高考)曲线y＝x3－x＋3在点(1，3)处的切 线方程为________．
【解析】 ∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2. ∴所求切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
f′(x)＝__－__s_i_n_x___ f′(x)＝ ________(a＞0)
axlna
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝__e_x____
1 f′(x)＝____x_ln__a____
1 f′(x)＝_____x_______
山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用28函数与方程课件
(2)令
g(x)＝12x，f(x)＝x
1 3
，则
g(0)＝1>f(0)＝0，g12＝12
1 2
<f12
＝12
1 3
，g13＝12
1 3
>f13＝13
1 3
，结合图象可得13<x0<12.
方法技巧 确定函数 fx的零点所在区间的常用方法 1利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝fx在区间[a，b] 上的图象是否连续，再看是否有 fa·fb<0.若有，则函数 y＝fx在区间 a，b内必有零点. 2数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上 是否有交点来判断.
联系，判断一元二次方程 2．常与函数的图象与性质交汇
根的存在性及根的个数． 命题，主要考查函数与方程、转
2．根据具体函数的图象， 化与化归、数形结合思想．
能够用二分法求相应方程 的近似解．
3．题型以选择题和填空题为主，
属中、高档题.
01知识梳理·诊断自测 02考点探究·明晰规律
03微突破·提升素养
1．已知函数 f(x)＝|xl2g＋x|，2xx，>0x，≤0， 则函数 g(x)＝f(1－x)－1 的零
点个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：g(x)＝f(1－x)－1 ＝|l1g－1－x2x＋|－211，－1x－－x1>，0 1－x≤0， ＝x|l2g－14－x＋x|2－，1x，≥x1<，1， 易知当 x≥1 时，函数 g(x)有 1 个零点；当 x<1 时，函数 g(x) 有 2 个零点，所以函数 g(x)的零点共有 3 个，故选 C.
课堂升华 强技提能
考点一 判断函数零点所在区间
高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.10 变化率与导数、导数的计算课件 文 北师大
以
表
示为
函数
值的
改变
量与
自变
量
的改
变量
之比
，即
Δy Δx
＝
fxx22－ －fx1x1＝
fx1＋ΔΔxx－fx1。
2．导数的定义及几何意义
(1)函数f(x)在x＝x0处的导数 ①定义：称函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0的导 数，通常用f′(x0)表示，记作
②几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜 率。相应地，切线方程为__y_－__f(_x_0)_＝__f_′(_x_0)_(_x_－__x_0)___。 (2)函数f(x)的导函数 一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数 值记为f′(x)：f′(x)＝_______________________ ，则f′(x)是关于x的函数，称 f′(x)为f(x)的_________导，函通数常也简称为导数。
3．基本初等函数的导数公式
原函数 y＝c(c为常数) y＝xα(α为实数)
y＝sin x y＝cos x
y＝ax(a>0，且a≠1)
导函数
y′＝___0_ y′＝___α_x_α_－_1__ y′＝_____c_o_s_x__ y′＝_____－__s_in__x__ y′＝__________
axln a 特别地(ex)′＝ex
答案 D
4．(2015·陕西卷)设曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y＝1x(x>0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为__(_1_,1_)___。
解析 曲线 y＝ex在点(0,1)处的切线斜率 k＝y′|x≠0＝ex|x＝0＝1；由 y＝1x， 可得 y′＝－x12，因为曲线 y＝1x(x>0)在点 P 处的切线与曲线 y＝ex 在点(0,1) 处的切线垂直，故－x12P＝－1，解得 xP＝1，由 y＝1x，得 yP＝1，故所求点 P 的坐标为(1,1)。
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.10变化率与导数导数的运算课件理
3．过点(1，－1)的曲线 y＝x3－2x 的切线方程为________． 解析：设 P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 f′(x0)＝3x20－2. 故切线方程为 y－y0＝(3x20－2)(x－x0)． 即 y－(x30－2x0)＝(3x20－2)(x－x0)． 又知切线过点(1，－1)，代入上述方程， 得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)．
必修(bìxiū)部分
第二章 函数(hánshù)、导数及其应用
第十节 变化率与导数(dǎo shù)、导数(dǎo shù)的运算
第一页，共27页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
目 导
基础(jīchǔ)自主 2
梳理
3 考点(kǎo diǎn) 疑难突破
航
4 课时跟踪检测
第二页，共27页。
1
考情分析
3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
；
f′xgx－fxg′x
(3)gfxx′＝___________[g__x__]2___________ (g(x)≠0)．
第八页，共27页。
4．复合函数的导数 复合函数 y＝f[g(x)]的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝ _y_u_′·_u_x′______，即 y 对 x 的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的乘积．
第二十页，共27页。
∵点 P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43， 即 x30－3x20＋4＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2. 故所求切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0. (3)设切点为(x0，y0)．故切线的斜率为 k＝x20＝1， 解得 x0＝±1，故切点为1，53，(－1,1)． 故所求切线方程为 y－53＝x－1 或 y－1＝x＋1. 即 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十节变化率与导数、导数的计算课标要求考情分析1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.知识点一导数的概念1．函数y＝f(x)与x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．2．导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y －y0＝f′(x0)(x－x0)．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．3．函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．4．f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 知识点二 导数公式及运算法则1．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 3．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( √ ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( × ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( × )(4)对于函数y ＝f (x )，当x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，若记Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则y ＝f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝f (x 2－Δx )－f (x 2)－Δx.( √ )解析：(1)由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数值与x 0有关，所以正确． (2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，所以错误．(3)在导数的定义中，Δy 可以为零，所以错误． (4)f (x )平均变化率为ΔyΔx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝f (x 2－Δx )－f (x 2)－Δx .2．小题热身(1)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( B ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x (2)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( B )A ．e 2B ．e C.ln22D ．ln2(3)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( A )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2(4)函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为3，在x ＝2处的导数为4. (5)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x .解析：(1)y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. (3)由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．(4)函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为22－122－1＝3，在x ＝2处的导数为f ′(2)＝2×2＝4.(5)∵y ＝2ln(x ＋1)，∴y ′＝2x ＋1.当x ＝0时，y ′＝2，∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .考点一 导数的运算命题方向1 根据求导法则求函数的导数【例1】 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xe x ；(4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2.【解】 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′ ＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x)′(e x )2 ＝－sin x ＋cos x e x.(4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin4x ， ∴y ′＝－12sin4x －12x ·4cos4x ＝－12sin4x －2x cos4x .命题方向2 抽象函数的导数计算【例2】 已知f (x )在R 上连续可导，f ′(x )为其导函数，且f (x )＝e x ＋e －x －f ′(1)x ·(e x －e －x )，则f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝( )A ．4e 2＋4e －2 B ．4e 2－4e －2 C ．0D ．4e 2【解析】 由题意，得f ′(x )＝e x －e －x －f ′(1)[e x －e －x ＋x (e x ＋e －x )]，所以f ′(0)＝e 0－e 0－f ′(1)[e 0－e 0＋0·(e 0＋e 0)]＝0，f ′(2)＋f ′(－2)＝0，所以f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝0，故选C.【答案】 C 方法技巧(1)求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.1．若y ＝x －cos x 2sin x 2，则y ′＝1－12cos x .解析：因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′ ＝x ′－⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝1－12cos x . 2．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝－4.解析：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)， 即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.考点二 导数的几何意义命题方向1 已知切点求切线方程【例3】 (2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1【解析】 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为 y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.【答案】 D 命题方向2 求切点坐标【例4】 (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．【解析】 设A (x 0，ln x 0)，又y ′＝1x ，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，将(－e ，－1)代入得，－1－ln x 0＝1x 0(－e －x 0)，化简得ln x 0＝ex 0，解得x 0＝e ，则点A的坐标是(e,1)．【答案】 (e,1)命题方向3 未知切点求切线方程【例5】 已知直线l 既是曲线C 1：y ＝e x 的切线，又是曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切线，则直线l 在x 轴上的截距为( )A ．2B ．1C ．e 2D ．－e 2【答案】 B命题方向4 求参数的值或范围【例6】 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x(x ≤0)，x (x >0)，若函数g (x )＝f (x )－12x －b 有且仅有两个零点，则实数b 的取值范围是________．【解析】 ∵函数g (x )＝f (x )－12x －b 有且仅有两个零点，∴函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x (x ≤0)，x (x >0)与函数y ＝12x ＋b 的图象有且仅有两个交点，作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x (x ≤0)，x (x >0)与函数y ＝12x ＋b 的图象，如图所示．当b ＝0时，两函数图象有一个交点，是一个临界值．当直线y ＝12x ＋b 与f (x )＝x (x >0)的图象相切时，两函数图象有一个交点，此时b 的值是另一个临界值．设切点为(m ，m )，m >0，∵f ′(x )＝12·1x (x >0)，∴12·1m ＝12，解得m ＝1，故切点为(1,1)，故b ＝1－12＝12.结合图象可得，0<b <12.【答案】 0<b <12方法技巧求曲线的切线注意点(1)“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点；(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.1．(方向1)设曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，在曲线C 上一点M (1，－4)处的切线记为l ，则切线l 与曲线C 的公共点个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：y ′＝12x 3－6x 2－18x ，所以切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－12，所以切线l 的方程为12x ＋y －8＝0.联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y －8＝0，y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，消去y ，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，所以(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝23，x 3＝1，所以切线l 与曲线C 有3个公共点．故选C.2．(方向2)已知函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(1,0)．解析：∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (1)＝0，即P (1,0)．3．(方向3)若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay (a >0)相切于同一点P ，则a 的值为2e. 解析：设切点P (x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x ，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 2＝ay 0，解得a ＝2e.4．(方向4)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值为1.解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.。