和式极限分离主部法

利用定积分定义求和式极限问题的探讨

．
上式的和是函数Ｆ（ｘ，ｙ）＝５ｘ一１８×２ｙ＋５ｙ４在Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）
＝击．
酬＝击＋＝
。＝ｌ０≤×≤１，０≤ｙ≤１｝上的一个积分和。该题在求解过程中将Ｄ：
｛（ｘ，ｙ）＝１０≤ｘ≤１，０≤ｙ≤１｝进行等分成个ｎ小区域，按照划
＋
这里取ｆ（ｘ）＝，区间为［ａ，ｂ】，极限转化为击
Ｊｘｄ×。若取分—— 求和 —— 取极限的方法来进行分析，且已知函数Ｆ（ｘ）
＝５ｘ一侣 ×２ｙ＋５ｙ在整个闭区域上是连续的，故二重积分存在，可
ｆ（ｘ）＝［ａ＋（ｂ—ａ）ｘ】。，区间为［０，１】，极限转化为Ｊ。［ａ＋（ｂ—ａ）×］Ｄｄ×。后以利用二重积分来计算该极限和。
ｆｓｉｎｓｉｎ
１
椭【０叶哥
有些特殊的和的极限可以利用二重积分的定义求解。
例４计算。。 ∑ ∑（５ｍ一１８ｍ。＋５ｋ）。
ｎｍ。。
解：。。 ∑ ∑ （５ｍ一１８ｍ２ｋ２＋５ｋ）： ∑ ∑
［５例２求极限ｓｉｎ ’ ∑［ｎａ＋ｉ（ｂ—ａ）］（ｐ＞ｏ。ａ＜ｂ）
的空间，让他们用手中的立体图形和平面图形自由结合创造出一些模型、图案，然后让代表在讲台前展示并给自己的模型作简短的介绍，就这样把本节课推入了高潮。
不管是怎样的教学模式，本着 “在活动中体验，在活动中感悟、在感悟中成长”的理念，努力地创设问题情境，使内容活动化，活动内容化，使我们的教学设计真正是学生活动的设计。让学生在民主和谐的环境中学习，在激烈竞争的环境中探索，给学生一个自由翱翔的空间和发挥的舞台，让学生充分体验到投入实践和探索的成就感。让学生没有理由不爱上数学！带着一种欣赏的眼光去聆听学生们的话语，使你不能不为孩子丰富的想象力、大胆的创造力而惊叹！

数学分析知识要点整理

数学分析知识要点整理数学分析是数学专业的重要基础课程，它为后续的许多课程提供了必备的知识和方法。

以下是对数学分析中的一些关键知识要点的整理。

一、函数函数是数学分析的核心概念之一。

1、函数的定义设 X 和 Y 是两个非空数集，如果对于 X 中的每个元素 x，按照某种确定的对应关系 f，在 Y 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称 f 是定义在 X 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ X。

2、函数的性质（1）单调性：若对于定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2，当 x1＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)（或 f(x1) ＞ f(x2)），则称函数 f(x)在其定义域上单调递增（或单调递减）。

（2）奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为偶函数。

（3）周期性：若存在非零常数 T，使得对于定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为周期函数，T 为函数的周期。

3、反函数设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。

如果对于 R 中的每一个 y，在 D 中都有唯一确定的 x 与之对应，使得 y ＝ f(x)，则这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f⁻¹(y)。

二、极限极限是数学分析中的重要概念，用于描述变量在一定变化过程中的趋势。

1、数列的极限对于数列｛an}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。

2、函数的极限（1）当x → x0 时函数的极限：设函数 f(x)在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 ＜｜x x0| ＜δ 时，不等式｜f(x) A| ＜ε 恒成立，则称常数A 是函数 f(x)当x → x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A。

分割、近似求和、取极限数学思想的建立3课件

,
x p, q
p、q互质，q p,
0, x 0, 1 以及（0，1）内的无理数，
1
在[0,1]上可积，且： f (x)dx 0 0
（先画出f(x)的图形，结合直观的图形给出证明的思路，
再作证明。）
26
§4定积分性质一、定积分的基本性质
性质1（线性性质）若f、g在[a,b]上可积，则 f g在[a,b]上也可积，且
n
s(T ) f (i )xi S(T ) (1) i1
由此可见，只要通过上、下和当 T 0 时的极限就揭示f 在[a,b]上是否
可积了。所以可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的。
（有关上、下和性质的详细讨论参见课本P231—236）
22
定理 9.3 (可积准则）函数f 在[a,b]上可积的充分条件是：任给 0，
限比前面讲的函数极限要复杂的多。
2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关
14
3)
表示分割越来越细的过程，
，但反过来
，并不能保证
分点个数，所以：
不能写成：
4)、定积分的几何意义 (作图并解释）
y y f (x)
o
a
。
bx
15
四．小结：
学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中看到定积分的基本思想是：首先作分割然后用 “直”的长方形去近似代替小曲边梯形，以“直” 代“曲”；然后把所有长方形加起来，近似求和，得到曲边梯形面积的一个近似值；当分割无限加细时，就得到曲边梯形的准确值，

几类特殊形式的极限求法探讨

几类特殊形式的极限求法探讨总结归纳了无穷乘积形式、积分形式以及一类级数形式的极限的求法.一、无穷项乘积形式的数列极限求法因为数列极限的四则运算法则仅适用于有限项之间的运算，因此对于无穷项乘积形式的数列极限，需要用其他的求极限方法，如对无穷项的乘积进行适当处理变换，用迫敛性、化简等方式计算。

因为和式极限研究结论较多，因此也可通过取对数将乘积形式转化成和式形式再求极限.（一）化简（1）通分分析：此题目是求无穷项乘积形式的数列极限，可以通过通分的方式进行化简，使无限项的乘积转化成有限项的有理式.（2）利用平方差公式、三角函数恒等式化简小结：此种方法的核心要素即将无限项的乘积转化成有限项的有理式.（二）迫敛性（三）转化成和式极限此类型题目的做题原则即是通过对求极限对象取对数，由对数函数的性质，使得乘积形式转化为和式形式，从而利用定积分进行计算.二、积分形式的极限求法（一）利用积分中值定理利用积分中值定理，将积分号去掉，转化成求正常函数的极限.（二）利用变限积分求导法则上述例子中F（x）为含参量正常积分，只需积分上限函数、积分下限函数和被积函数为连续函数，就可以利用含参量正常积分的连续性求极限;而对于含参量反常积分函数求极限，我们需要根据含参量反常积分函数的连续性，除了判断被积函数的连续性外，还需要判断含参量反常积分在定义域上一致收敛，如下述例题，三、级数形式的极限求法级数形式的极限即无限和式的极限，可参阅文献[5-6]中的方法进行求解，如利用和式的和、欧拉公式、施瓦兹定理、等价无穷小替换、傅里叶级数展开式、幂级数展开式等方法，也可利用级数的连续性，交换极限运算和求和运算的顺序，如下例题.四、小结本文讨论了用化简、迫敛性、转化为和式的方法来计算无穷项乘积形式的数列极限，其中化简的核心目的是使无穷项的乘积简化为有限项的有理式;以及用积分中值定理、变限积分求导法、含参量积分连续性来计算积分型函数极限，关键点在于将积分号巧妙去掉;最后讨论了用函数项级数的连续性来计算一类级数形式函数极限的方法，并给出了相应的实例，给数学分析学习者计算极限提供了系统的结论.[参考文献][1]华东师范大学数学系编.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2022.[2]牛海军.几类特殊和式极限求法的归纳[J].电大理工，2022（2）：20-21.[3]蔡瑾，刘宁.无穷和式极限求解的几种方法[J].赤峰学院学报（自然版），2022（20）：11-12.[4]钱吉林编著.数学分析解题精粹[M].修订版.北京：中央民族大学出版社，2022.[5]贾延.和式极限的求解方法[J].贵阳学院学报（自然科学版）.2022（3）：9-11.[6]林美娟.略談和式极限的求法[J].科技资讯，2022（21）：233-234.。

定积分概念中蕴涵的对立统一思想

为叙述方便，我们简要给出当厂（ｒ）（ ∈［“，６］）为非负连续函数时定积分的定义．第一步，分割：区间［“。６］上任取一组分点满足 “＝、＜＜＜ …＜一『）（称为分法Ｔ）．将曲边梯形分为 ”个小曲边梯
［收稿日期］２００６—０６—２０［基金项目］河南教育科学 “十一五”规划课题（２００７ＪＫＧＨＡＧ－０２９）
２定积分的定义简介
历史上，积分学先于微分学，而不像今天的微积分教材所讲授的那样，先微分后积分．人们在寻求图形的面积、体积和弧长等问题时引入求和过程，导致了积分学的产生．１７世纪牛顿和莱布尼茨在前人工作的基础上各自独立地发明了微积分．这时的微积分概念是不清楚的，逻辑基础不稳同，也没有给出精确的定义。以致ｍ现很多的谬论和悖论。从而引发了数学史上的第二次数学危机，其主要原因之一是积分定义中的一些矛盾没有认真解决．到十八世纪及十九世纪经过柯西、魏尔斯特拉斯、黎曼等人的努力，微积分口臻完善．特别是柯西第一次明确地把定积分作为分析学的基本概念，并给出了连续函数定积分存在的第一次分析证明．１８５４年黎曼把柯西的定积分定义进行了推广，给出了今天教学中的黎曼积分的概念并建立了这种积分存在的充分必要条件．

求函数极限方法的若干方法

求函数极限方法的若干方法摘要：关键词：1引言：极限的重要性极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。

如函数在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。

极限是研究数学分析的基本公具。

极限是贯穿数学分析的一条主线。

学好极限是从以下两方面着手。

1：是考察所给函数是否存在极限。

2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。

本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

2极限的概念及性质2.1极限的概念2.1.1,任意的正整数N，使得当n>N时就有。

2.1.2，任意整数X，使得当时就有。

类似可以定义单侧极限与。

2.2.3，整数，使得当时有。

类似可定义当时右极限与左极限：，。

在此处键入公式。

2.2极限的性质2.2.1极限的不等式性质：设，。

若，则，当时有；若，使得当时有，则。

2.2.1（推论）极限的保号性：设。

若,则，当时有；若，使得当时有，则。

2.2.2存在极限的函数局部有界性：设存在极限，则在的某空心邻域内有界，即与，使得当时有3求极限的方法1、定义法2、利用极限的四则运算性质求极限,3、利用夹逼性定理求极限4、利用两个重要极限求极限，5、利用迫敛性求极限,6、利用洛必达法则求极限,7、利用定积分求极限,8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限9、利用变量替换求极限, 10、利用递推公式求极限, 11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限, 13、利用泰勒展开式求极限, 14、利用两个准则求极限15、利用级数收敛的必要条件求极限16、利用单侧极限求极限17、利用中值定理求极限3.1定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设是一个数列,是实数,如果对任意给定的,总存在一个正整数，当时,都有,我们就称是数列的极限.记为.例1 证明证任给，取，则当时有，所以。

和式极限的求解方法

解：因为１＋２＋３＋ …＋ｎ＝－－￣－ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）
ｎ・２
时，除首尾两项外，其余各项均抵消掉。
所以，原式＝ｌｉｍ∑
ｎ一
ｎ
收稿日期：２０１３—０３—１９
第８卷
第３期
贵阳学院学报（自然科学版）（季刊）
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＧＵＩＹＡＮＧＣＯＬＬＥＧＥ
Ｖｏ１．８Ｎｏ．３
２０１３年９月
ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ（Ｑｕａｒｔｅｒｌｙ）
１
，
１．３利用乘系数法求和式极限
例２求极限ｌｉ１２＋２＋３＋… ± ＋ｎ
Ｉ
ｍ
—
—
几
分析：可先求出前几项的和，再利用极限运算法则求出极限。
利用已知的公式，拆项相消后直接求和式极
限。即把通项拆成两项差的形式，在求前ｎ项和
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｌｉｍｉｔｉｓｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｃｏｎｔｅｎｔｏｆｃａｌｃｕｌｕｓ，ｂｕｔｔｈｅｓｕｍｌｉｍｉｔｉｓｄｉｆｉｆｃｕｌｔｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｌｉｍｉｔｏｆｆｕｎｃｔ２０１３
和式极限的求解方法

基于定积分定义的一类函数极限计算方法

基于定积分定义的一类函数极限计算方法[摘要]定积分的定义是高等数学中比较难理解的部分，在求解平面曲边梯形的面积和旋转体的体积等问题，以及在某些函数极限的计算方面都有重要的应用。

本文将讨论利用定积分定义的和式来计算一类函数的极限问题。

[关键词]函数极限定积分和式函数极限的常用求解方法包含等价无穷小替换、洛必达法则和带佩亚诺余项的泰勒公式法，这三种方法基本上能解决大多数函数极限问题。

在近几年的数学考研试题中，一类需要借助定积分定义的函数极限方法经常被考查。

由于定积分的定义对于大多数同学来说是不太好理解的，应用定积分定义的和式来计算函数的极限更是困难的。

本文基于定积分定义的深入解读，结合相应类型的函数极限典型问题来讨论定积分定义的一种应用方法。

定积分和式求极限法则：设在上连续，或，则.解析：定积分的定义是建立在大化小、以常代变、近似和、取极限“四步曲”基础上的运算，注意大化小中的内分点插入是任意的，每一小区间段上的以常代变的点是任意的。

当在上连续时，在上自然可积，这意味着对函数在上做前面“四步曲”计算得到的和式极限总是存在确定的。

因此，当我们对于大化小步骤中的区间划分是均等分和以常代变的是选取每一段小区间段的端点等特殊情形时，其和式极限也是收敛到同一值的。

上面的和式求极限法则即是基于此角度考虑，其中区间划分是等份均分，前半部分和式极限中的以常代变的点是选取的右端点，后半部分和式极限中的以常代变的点是选取的左端点。

在使用此类方法时，最关键的是要从函数项中提取一个因子，剩下的部分为的函数，从而得到积分函数和积分区间。

例1：设函数在区间上连续，则（）.A. B.C. D.解：将区间作等均分，即，在第个小区间段上，则可取，由定积分定义可知 .故选B。

另外从均等分的份数和求和的项数的关系来考虑也可以，通过排除法或函数的特殊值法都好判别正确答案的。

例2：计算极限 .解：此道题表面上看是无穷级数求和问题。

对于级数求和，其敛散性判别方法是有很多种的，但计算求和的结果在大多数情况下是困难的，这里如果考虑定积分和式求极限法则就会相对比较简单。

极限常用求法13招

极限求法“13招”本文根据同济大学《高等数学（第六版）》教材中的例题和习题，归纳总结了高等数学初学者需了解的求极限的基本方法. 这几个“招数”肯定不会有金庸笔下“降龙十八掌”的威力，但作为“江南六怪”传授给“靖哥哥”的武功入门套路，“行走江湖”应足以自保！希望对大家的学习有所帮助. 招数1．约去零因子法.例1 求极限11lim41--→x x x .【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去. 【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4.招数2．分子分母同除变量的最高指数项法.例2 求极限13lim 323+-∞→x xx x .【说明】∞∞型且分子分母都为幂函数时，可通过分子分母同除某一项来求解.【解】3131lim13lim311323=+-=+-∞→∞→xx x x x xx .由此，可得结论1101100,,limlim,,,.n n n n n n mm mx x m m m n nm n a x a x a a x m n b x b xb b xa m nb ---→∞→∞-⎧⎪>⎪+++⎪==∞<⎨+++⎪⎪=⎪⎩ 可直接理解为“抓大头”，即只留下变量的最高指数项，其余舍去. 招数3．分子(母)有理化法.例3 求极限)13(lim 22+-++∞→x x x 。

【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x .例4 求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→.【解】xx xxx xxx x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim33+-+-=+-+→→41sin tan lim21sin tan limsin 1tan 11lim33=-=-+++=→→→xxx xxx xx x x x .【注】本题除了使用分子有理化招数外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键. 招数4．重要极限法.两个重要极限是1sin lim=→xx x 和ex nxx x nn xx =+=+=+→∞→∞→1)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限常可通过等价无穷小来实现，此处主要考虑第二个重要极限.例5求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim .【说明】1∞型极限的求法是将幂指函数凑出形式1lim (1)→+，最后为保持恒等变形，再凑出指数部分.【解】21122lim2112121lim lim 1lim 111x xx x x xxx x x x x x ee x x →+∞----→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【注】本题招数实际上可推广，得到∞1型未定式)()(lim x g x f 的一般求解公式：)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e-.因为()lim ()ln[()]lim ()ln[1(()1)]lim ()g x g x f x g x f x f x ee+-===)()1)(lim(x g x f e-.例6 (1)xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→211lim ；(2)已知82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→xx a x a x ，求a .招数5．等价无穷小代换法.【说明】(1)常见的9个等价无穷小当0→x 时，sin ~x x ，tan ~x x ，arcsin ~x x ，arctan ~x x ，ln(1)~x x +，1~x e x -，1~ln xa x a -，01a ≠，，211cos ~2x x -，()11~x x μμ+-.(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．； (3)此招数在各种求极限的招数中应作为首选．．．．．. 例7 求极限0ln(1)lim1cos x x x x→+-.【解】 02ln(1)limlim211cos 2x x x x x x xx→→+⋅==-.例8 求极限xx x x 3tansin lim-→.【解】xx x x 3tansin lim-→613lim31cos limsin lim222123-=-==-=-=→→→xxxx xx x x x x .招数6．变量代换或三角恒等变换法.例9 求极限2lim tan (sin 1)x x x π→-. 【解】2222sin (sin 1)sin 1lim tan (sin 1)limlim sin limcos cos x x x x x x x x x x xxππππ→→→→---== ，2sin 1limcos x x xπ→-=，注意：此处要及时分离不为零的极限2lim sin x x π→，利用三角变换，22221cos()1()sin 1222limlimlim0.cos sin()22x x x x x x xx xπππππππ→→→-----===--或作变量代换，令2t x π=-，得221sin()1sin 1cos 122limlimlim lim0.cos sin cos()2t t t x t tx t xttt πππ→→→→-----====-招数7．洛必达法则法.例10 求极限22)sin1ln(2cos ln limxx x x +-→.【说明】∞∞或00型的极限,可通过洛必达法则来求.【解】22)sin1ln(2cos ln limxx x x +-→xxx xxx 2sin12sin 2cos 2sin 2lim2+--=→3sin112cos 222sin lim2-=⎪⎭⎫⎝⎛+--=→x x x x x . 例11 设函数()f x 连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x【解】由于⎰⎰⎰=-=-=-0)())(()(xxxut x du u f du u f dt t x f ,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→x xxx xxx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 0)()()(lim)()()(lim=⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim=⎰⎰+→x xx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(limx f xduu f x dtt f xxx +⎰⎰→=.21)0()0()0(=+f f f倒数第2个等式是利用导数定义求出，见招数8. 招数8．导数定义法.见教材P.86习题6.招数9．对数恒等式变换法.该法用于求幂指函数)()(lim x g x f 型的极限. 其中未定式1∞已在招数4中给出简便的求解方法，另两种未定式00，0∞请参见教材P138中例题9和P139中习题1（15）（16），此处给出一般的求解方法，即()lim ()ln[()]lim ()g x g x f x f x e=.例12 极限x x x 2)]1ln(1[lim ++→.【解】 xx x 2)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[20lim x xx e++→=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lime eexx xx x x ==+++→→注：请读者使用招数4中的公式求解.例13求极限3012cos lim 13xx x x →⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【解法1】原式2cos ln 331limx x x ex+⎛⎫⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫⎪⎝⎭= 20l n 2c o s l n 3l i mx x x →+-=（）01s i n 2c o s l i m 2x x x x →⋅-+=（） 011s i n 1l i m 22c o s 6x x x x →=-⋅=-+.【解法2】原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫⎪⎝⎭= 20c o s 1ln 3limx x x→-+=（1）20c o s 11l i m 36x x x →-==-. 招数10．Taylor 公式法.可参见教材P.144例3.例14 求极限 ) 0 ( ,2lim2>-+-→a xaa x xx .【解】 ) (ln2ln 1222ln x a xa x ea ax x +++==,) (ln 2ln 1222x a xa x ax++-=-;). (ln 2222x a x a a x x +=-+-∴ a xx a x xaa x x x x 2222202ln )(ln lim2lim=+=-+→-→ .例15 求极限011lim (cot )x x x x→-. 【解】 00111sin cos lim (cot )limsin x x x x x x x x x x x→→--=32323()[1()]3!2!limx xxx x x x xοο→-+--+=33311()()12!3!lim 3x x x xο→-+==.招数11．数列极限转化法.例16 极限21sinlim nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→.【说明】这是∞1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的招数结合罗必塔法则求解。

求极限的方法总结

极限是数学分析中的重要概念，也是微积分的基础。

求极限的方法有很多种，下面将对常用的几种方法进行总结和解析。

1. 直接代入法直接代入法是最基本的求极限方法，适用于函数单调、连续，且直接代入可知极限值的情况。

具体步骤如下：（1）将极限表达式中的变量替换为具体的数值。

（2）根据函数的定义和性质，计算替换后的表达式。

（3）得出极限值。

2. 因式分解法因式分解法适用于有理函数的极限求解，通过分解函数，消除分子、分母中的共同因子，简化极限表达式。

具体步骤如下：（1）对有理函数进行因式分解。

（2）对分解后的表达式进行约分，消除共同因子。

（3）根据约分后的表达式求极限。

3. 泰勒公式法泰勒公式法是利用泰勒公式将函数展开，近似表示函数在某一点附近的值，从而求解极限。

具体步骤如下：（1）确定函数在某一点附近的泰勒展开式。

（2）根据泰勒展开式求极限。

4. 洛必达法则洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）适用于求解“0/0”或“∞/∞”形式的极限。

该法则通过对分子、分母同时求导，将极限问题转化为导数的极限问题。

具体步骤如下：（1）判断极限形式是否为“0/0”或“∞/∞”。

（2）对分子、分母分别求导。

（3）将求导后的表达式代入原极限表达式。

（4）求解新的极限表达式。

5. 夹逼定理夹逼定理（Squeeze Theorem）适用于求解形如“f(x) = (g(x))/(h(x))”，且当x趋向于某一点时，g(x)和h(x)分别趋向于a和b（a ≠ b）的极限。

具体步骤如下：（1）找到两个函数p(x)和q(x)，使得p(x) ≤ f(x) ≤ q(x)。

（2）证明当x趋向于某一点时，p(x)和q(x)分别趋向于a和b。

（3）根据夹逼定理，得出f(x)趋向于a。

6. 有界函数法有界函数法适用于求解形如“f(x) = g(x)/h(x)”，且当x趋向于某一点时，g(x)趋向于0，h(x)趋向于无穷大的极限。

具体步骤如下：（1）证明g(x)在x趋向于某一点时趋向于0。

和式极限的几种求法(图文)

和式极限的几种求法(图文)论文导读：2一般而言，求解和式极限有求和、夹逼准则、定积分的定义以及无穷级数求和等方法，下面以例题的形式介绍一下这几种方法在求解和式极限时的应用。

2.2利用夹逼准则求和式极限需要构造两个和式或数列将要求极限的和式夹在中间，并使得两边的极限相等，这时往往使用放缩的方法。

2.4利用无穷级数求和就是将极限看做是某个无穷级数的和，然后使用相应的方法求出该级数的和。

关键词：和式极限，夹逼准则，定积分，无穷级数1 引言极限是分析学的基础和重要工具，既是单独的一个知识体系，也是随后建立连续、导数、积分等概念的重要工具；而和式极限既是极限当中极为重要的一类，同时又联系着定积分和无穷级数，在极限的内容中就显得尤为重要。

2 一般而言，求解和式极限有求和、夹逼准则、定积分的定义以及无穷级数求和等方法，下面以例题的形式介绍一下这几种方法在求解和式极限时的应用。

2.1 利用求和的方法求和式极限是指使用初等的方法——数列求和、裂项相消等——求出的和，然后再求其极限。

例2.1.1 求极限。

解==。

论文发表。

例2.1.2 求极限。

解，叠加得，所以。

2.2 利用夹逼准则求和式极限需要构造两个和式或数列将要求极限的和式夹在中间，并使得两边的极限相等，这时往往使用放缩的方法。

例2.2.1 求极限。

解由于，且所以。

例2.2.2 求极限。

解(1)当时，，则，又，所以当时，。

(2) 当时，，则，又，所以当时，。

(3) 当时，，则，又，所以当时，。

综上所述，。

2.3 利用定积分的定义求解和式极限一般需要将极限化为的形式，然后根据定积分的定义将极限转化为积分计算。

论文发表。

例2.3.1 求极限。

解。

例2.3.2 求极限。

论文发表。

解令，则，有，所以。

2.4 利用无穷级数求和就是将极限看做是某个无穷级数的和，然后使用相应的方法求出该级数的和。

例2.4.1 求极限。

解设级数，原极限即为此级数的和，利用幂级数求该级数的和，设，则，所以。

(黄兆麟)例谈求极限的几种分离技巧

例谈求极限的几种分离技巧黄兆麟 (天津水运高级技工学校300456)(发表于《吉林交通职业技术学院学报》2001年第1期)所谓求极限的分离技巧，就是利用已知极限（也称定值）和极限有关的运算法则，经过加项减项、积化和差、自身拆项或因式分解、和差化积等变换的技术处理，将所求极限（也称终值）分离划归出若干个已知或未知的新极限的方法，这种化整为零、各个击破的解题思路实际上是一种解题策略，具有一定的适用性，下面以例题的形式分别介绍如下。

以下几个常见已知极限经常用到：2201cos (1)lim 2t kt k t →-= 01(2)l i m kt t e k t →-= 0(1)1(3)l i m k t pt kp t→+-= 1 和差分离例1 求 201cos cos 2limx x xx →-[解] 利用已知极限(1)及分离技巧,可得原式201cos 2cos 2cos cos 2limx x x x xx→-+-= 22000221cos 21cos limlim cos 2lim215222x x x x xx x x →→→--=+=+=一般地，从先减cos 2x 入手，逐次使用分离技巧可得222201cos cos 2cos 1lim(21)2(1)(21)12x x x nx n x nn n →-=+++=++类似地，还可得到201cos 1lim (21)(1)24x n n n x →-=+++=+ 例2 求 201cos lim n x x x →-[解] 此题应先从一次幂入手，可一次分离到位：原式221201cos cos cos cos cos cos lim n n x x x x x x x x-→-+-+-+-= 2222000001cos 1cos 1cos limlim cos lim lim cos lim111(2222n x x x x x n x x x x x x x x n -→→→→→---=+++=+++= 共个）特别地，当n 为偶数时，可做更少分离：原式22442201cos cos cos cos cos cos lim n n x x x x x x xx -→-+-+-+-=22222222000001cos 1cos 1cos lim lim cos lim lim cos lim 111(22n x x x x x x x x x x x x x n n-→→→→→---=+++=+++=共个）例3求0x → [解] 利用已知极限(1)、（2）、（3）及分离技巧,可得原式2211cos3cos3cos3limx x x x e xx→+-+-=22200001cos31lim limcos3lim 59115326x x x x x x e x x x →→→→--=+-⋅=+-= 例4 求12(1)[sin sin sin ]limn n n n n nπππ→∞-+++ [解] 此题在一般书中都是利用定积分求解的，下面给出另一解法，注意到积化和差公式2s i n s i n c o s ()c o s (αβαβαβ=--+ 原式12(1)[sin sin sin ]limn n n n n nπππ→∞-=+++ 11111(2sin sin )22sin212121[(2cos cos )222sin221cos cos 222sin 22cos22sin22lim lim limlimn k n k n n n n k n n n n k k n n n n n n n n nn nnππππππππππππππ-=-=→∞→∞→∞→∞=-+=---===⋅∑∑一般地，若极限式中含有和式1sin nkk α=∑或1cos nkk α=∑，其中(1,2,)k k n α= 成等差数列且公差为d ，则窍门是将和式中乘除因子2sin2d后再利用积化和差公式，分离自相拆消后n 项和可化简为两项差。

一类和式极限问题的初等解法及推广

维普资讯
Ｖｏ１５，Ｎｏ．３．Ｓｅｐ．，２００２
高等数学研究
ＳＴＵＤＩＳＩＯＬＧＥＭＡＴＨＥＡＴＩＳＥＮＣＬＥＭＣ５７
一
类和式极限问题的初等解法及推广
（）用定积分的定义，和式极限表示成定积分，过计算定积分，得和式的极限；３利把通求
（）合运用（）（）（）出和式的极限。４综１、２、３求
现在，们考虑如下一类和式的极限问题：我
一ｆｆ一１１２ … ，）则，≠ （一，，ｒ，／
．
２丌
—— ．
ＳＩｎ
＋
＋．・＋．
证明因ｍｉ（）≤ 口（ ≤ ｍａ（），ｎｑ（））ｘａ（）故
ｉｎ
＝１ｒ／
］（）＝２ｚｆｒ１＋
ｃ。ｓ
１
ｓｎｉ
７ｒ一１ｍｉ
ｓｎｉ－
生圭
＝＝ — —
２
ｒ／
７＂／
’
．
十＋
１
。ｓｎ（Ｌｉ１１
．
）
ｆ
—■Ｔ，＋
— —
Ｓｌｎ
一
丌
ｌｍ — — ｉ
ｎ．
ｒ／
２
：＝＝
— —
２
７ｒｎ
王海祥李朝瑞（合肥工业大学计算机学院９级９合肥２００）３０９

巧用定积分的概念求和式极限的方法技巧

1 n
，然后可变为
lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 +
4n2
÷÷øö
然后让第一项出现 1 ，第二项出现 2 ，…。
n
n
只要分子、分母同除以 n2 即可
解: lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 +
4n2
÷÷øö
å = lim 1 n
无论(2)式或(3)式第 i 项都必须含有 i ，其余的不能含多余的 n ，这样的和式极限就是 n
一个 [0,1] 上的一个定积分， i 就是积分中 f (x) 的 x ，所谓的规律就是，通过求出定积分
n
的值就可求出和式极限的值。
三、利用定积分概念求和式极限的实例分析
实例
1.求极限
nli®m¥ççèæ
n®¥ î n k=1 è n øþ
=
ì expílim
n
å
çæ1
+
k
÷ö
1
ü ý
în®¥ k =1 è n ø n þ
4
{ } =
exp
1
ò0
ln(1
+
x )dx
= exp{ln 4 -1} = 4 .
e
注：（1）这里的数列通项为各项之积，不能只表示为积分的形式，我们可以采用对数法，把积变为和的形式，进而将所求极限化为定积分，把被积函数转化为对数函数。
（2）如果区间不是 [0,1]而是 [a,b]，只需注意分点 xi

关于和式极限求法的探讨[1]

2 2 第 19 卷第 1 期 2007 年3 月武汉工程职业技术学院学报J o ur n al of Wuha n Engineering Instit ut eVol . 19 No . 1 Ma r ch . 2007关于和式极限求法的探讨朱小红1 ,2(1 . 武汉冶金管理干部学院武汉 :430080 ;2 . 中国地质大学工程学院武汉 :430074)摘要对和式极限的求法进行了归纳 ,并着重介绍了利用等价无穷小替换、利用阿贝尔法、利用傅立叶级数展开式等几种求和式极限的方法。

关键词和式极限求法中图分类号 : G725 . 812 文献标识码 : A 文章编号 :167123524 (2007) 0120074203极限是高等数学的一个重要部分 ,无限多项和式极限又是极限的一个难点 ,关于它的计算虽在不当 n →∞, ak , n =k→0 , ( k = 1 , 2 , ⋯, n ) n 2nn少数学分析教材里均有所涉及 ,却并没有专题研究故原式 = li m Σ (- 1) = li m Σk它的求法。

笔者根据多年的教学实践 ,特归纳以下几种方法 ,供读者参考。

n →∞k = 1= li mn ( n + 1) = 1n →∞k = 1 2 n n →∞14 n24 2 n1 利用等价无穷小替换求和式极限例 2 求 li m ( a n 2+ a n 2+ ⋯+ a n 2 - n ) ( a > 0) n →∞1 2n解因为 a n2 + a n2+ ⋯+ a n 2 -n定理[ 1 ] :1 = ( a n2 2 - 1) + ( a n 2 n- 1) + ⋯+ ( a n 2 - 1)若 F ( x ) > 0, lim F ( x )= 1 ,则当 n →∞, a →0 时 ,n k = Σ - 1)x →0 f ( x )k , n k = 1( an n n令 F (x ) = a x- 1 f ( x ) = x 1 n ali m Σ F ( a k , n ) = li m Σ f ( a k , n ) n →∞k = 1 x →∞k = 1则li mF ( x )= 1 例1 求 li m x →∞( ++ ⋯ +x →0f ( x )当 n →∞, a k , n = k→0 , ( k = 1 , 2 , ⋯, n )- n ) nnknk 故原式 = li m Σ ( a n 2 - 1) = li m Σ 1 n a解因为++ ⋯+ nn →∞k = 1n →∞k = 1n2= 1 n a li m n ( n + 1) = 11 n a= ( - 1 ) + ( - 1 ) +n →∞2 n 22⋯+ (- 1)n= Σ (2 利用阿贝尔法求和式极限阿贝尔法就是构造幂级数法 ,通过逐项微分或 - 1)[ 2 ]k = 1积分求得和函数 ,再取适当的 x 值即可。

有理真分式部分分式化的极限分解法

有理真分式部分分式化的极限分解法
一次函数的极限可以由有理真分式（Partial Fraction）部分的分式化（Decomposition）方法来求得。

有理真分式部分分式化的极限求解过程非常复杂，它需要把一个复杂的函数拆分为更容易求解的，更能反映其原函数结构的分式来解决。

一次函数极限的求解最常用的方法是有理真分式部分分式化求解法。

实际中，有理真分式部分分式化求解法可以通过把代数形式结果化分成若干个
不同分式，使有理函数类型的函数更容易求解，这也是实际中有理真分式部分分式化求解法几乎无处不在的原因。

其实，有理真分式部分分式化求解法方法对一次函数极限的处理同样有效。

有理真分式部分分式化的极限求解法的实现要求以下几点：第一，需要识别出
有理函数的正确形式，比如上面提到的一次函数形式。

第二，然后，需要把不同分式化拆分成不同分式，使其可以更好地描述它们的结构。

最后，需要确定分式的形式，有时需要求解一个非常复杂的不定方程来确定分式的形式。

以上，就是有理真分式部分分式化求解法的基本概述，它是一种能够有效地帮
助用户求解一次函数极限问题的方法，它使用户可以更加细致地分析和化简一次函数，从而更容易求解函数的极限。

略谈和式极限的求法

１
一
２（ｎ＋、
ｎ＋ｎ＜ — 一
２—＋１＋’ —ｎ２＋— ２＋＋。．．～·４－，ｚ２＋
＜一
＝
，且
由两边夹定理可得！
＝，
＝．
＋２＋…＋ｎ）＝１．
３利用定积分求极限
定积分是特殊结构的和式的极限，根据定积分的定义可知：
于是ｆ＝鲁一１ｎ（１，）：＿ｌｎ（１．
所以（圭＋ ·（＋１·（ ·＋哇ｎ＝喜 ·ｃ＝ｃ＝１２．例８求极限（１＋专＋３＋…＋）
分析以上极限就是数项级数∑ｎ‘（的和，是函数项级
数∑ ·ｘ的和函数（）在１ｂ的函数值（）．一
解
令（ｘ）＝ ∑ ’ ， ∈（－１１），则
夹定理的条件，那么问题也就迎刃而解了．
１
＇
＇．
例４求极限 ‘ ＋＋…＋）
ｌｉｒａ１＋ｎ＋２＋．．－＋
ｄｘ
＝
＝ｌｎ２
。ｌ＋
４利用级数求极限
‘奇毒考
解因为
数列｛｝前项和的极限…ｌｉｍ “·就是数项级数 “ｎ的和，
如果ｆ，（）存在，则 —ｂ－ａ喜／＋堡＿ｆ）＝』厂（）（特
别地，当函数，（）在区『日］［。Ｉ１］可积时，有厂（）出
ｎ，（
例１求极限（＋＋… ＋）
分析这是ｎ项和的极限，当ｎ－－－＞Ｏ０时，项数也趋向于无穷大，因此不可以直接用极限的四则运算法则求，应该先求

分析例说求极限的几种方法

分析例说求极限的几种方法导读：四那么运算法那么指：如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为零法那么本身很简单，但有些函数求极限往往不能直接利用法那么需要先对函数做某些恒等变形或化简，常用的变形或化简方法主要有分式的分子或分母分解因式、分式的约分或通分、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形等。

利用单调有界准那么求极限，首先讨论数列的单调性和有界性，再解方程可求出极限。

总之，极限的求法很多，但如果在解题过程能根据算式的特点注意使用适当的解题方法，那么可以化难为易，使问题得到圆满解决，并可提高解题效率。

:数列，函数,极限,求法极限思想贯穿于整个微积分的课程之中,掌握好求极限的方法是分必要的。

由于极限的求法众多，且灵活性强，因此有必要对极限的求法加以归纳总结，本文就师范数学微积分的内容总结了如F 12种方法:【一】利用极限四那么运算法那么求极限四那么运算法那么指：如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为零）。

法那么本身很简单，但有些函数求极限往往不能直接利用法那么，需要先对函数做某些恒等变形或化简，常用的变形或化简方法主要有分式的分子或分母分解因式、分式的约分或通分、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形等。

解：原式== 例2.解:原式=【二】利用两个重要极限求极限两个重要极限为:,或它们的扩展形式为:,或，利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四那么运算法那么求极限。

例3.解:原式=。

例4.解:原式=。

例5.解:原式=【三】利用函数的连续性求极限由函数f(x)在x0点连续定义知,,由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区间内任意点处的极限值，只要求其函数在该点处的函数值，因此可直接代入计算。