相似三角形的判定性质经典例题分析

相似形（一）

一、比例性质

1.基本性质:

bc ad d

c

b a =⇔=（两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：

c

d

a b d c b a =⇔= (把比的前项、后项交换) 3.合比性质：

d

d

c b b a

d c b a ±=

±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．

4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）

如果

)0(≠++++====n f d b n

m

f e d c b a ，那么

b a n f d b m e

c a =++++++++ ． 谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．

(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 5.黄金分割：

○

1内容 ○2尺规作图作一条线段的黄金分割点 经典例题回顾：

例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且

k c

b a d

d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.

例题2．已知

111

x y x y

+=+，求y x x y +的值。

概念： 谈重点：

⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 知识点二、平行线分线段成比例定理

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

○

4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○

4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ； 知识点三、相似三角形的判定

判定定理1：两角对应相等，两三角形相似． 符号语言：

拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。 （2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。

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例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出

AD AE

BD CE

=吗？请说明理由。（用两种方法说明） 例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.

求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2

例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则

BD

BE

AD AF =

吗？说说你的理由. 例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C

（1） 求证：△ABF ∽△EAD ；

（2） 若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长； （3） 在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。

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一、选择题

例题精讲

A

E

D

B

C

A

B

C

D A

D

C

B

F

1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ） A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对

2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ） A ．AC AE AB AD = B ． FB EA CF CE = C ． BD

AD BC DE = D ． CB CF AB EF =.

3.在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有（ ） A ．ΔADE ∽ΔAEF B.ΔECF ∽ΔAEF C.ΔADE ∽ΔECF D.ΔAEF ∽ΔABF 4、如图，直线l 1∥l 2，AF ∶FB=2∶3，BC ∶CD=2∶1，则AE ∶EC 是（ ） A.5∶2 B.4∶1 C.2∶1 D.3∶2

（1题图） （2题图） （3题图） （4题图）

5.如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

(5题图) (6题图) (7题图) ( 8题图) 6.ΔABC 中，DE ∥BC ，且AD ∶DB=2∶1，那么DE ∶BC 等于（ ） A.2∶1 B.1∶2 C.2∶3 D.3∶2

7.如图，P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 做直线截ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，

满足这样条件的直线共有（ ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

8.如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ） A.AC AE AB AD = B.FB EA CF CE = C.BD AD BC DE = D.CB CF AB EF =

9.下列说法：其中正确的是( )

①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似； ③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似. A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 二、解答题

1、如图，ΔABC 中，BD 是角平分线，过D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，AB=5cm ，BE=3cm ，求EC 的长. 2.如图，在梯形ABCD 中，AD ⊥BC ，∠BAD=90°，对角线BD ⊥DC. (1)ΔABC 与ΔDCB 相似吗？请说明理由. (2)如果AD=4，BC=9，求BD 的长.

3.已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ， Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似？为什么？

4.如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线交BC 的延长线于点E ，