相似三角形的判定性质经典例题分析
初中数学例题:相似三角形的三个判定定理
初中数学例题:相似三角形的三个判定定理2、如图,点D在等边△ABC的BC边上,△ADE为等边三角形,DE与AC交于点F.(1)证明:△ABD∽△DCF;(2)除了△ABD∽△DCF外,请写出图中其他所有的相似三角形.【思路点拨】(1)利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可;(2)利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可.【答案与解析】(1)证明:∵△ABC,△ADE为等边三角形,∴∠B=∠C=∠3=60°,∴∠1+∠2=∠DFC+∠2,∴∠1=∠DFC,∴△ABD∽△DCF;(2)解:∵∠C=∠E,∠AFE=∠DFC,∴△AEF∽△DCF,∴△ABD∽△AEF,故除了△ABD∽△DCF外,图中相似三角形还有:△AEF∽△DCF,△ABD∽△AEF.【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识,得出对应角关系是解题关键.举一反三【变式】如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求证:△ABD∽△CBE.【答案】证明:在△ABC中,AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∵CE⊥AB,∴∠ADB=∠CEB=90°,又∵∠B=∠B,∴△ABD∽△CBE.3、(2014秋•洪江市期中)如图所示,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动,如果点P、Q 同时出发,经过多长时间后,△PBQ与△ABC相似?试说明理由.【思路点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似,由题意可得AP=xcm,BQ=2xcm,BP=AB﹣AP=(8﹣x)cm,又由△B是公共角,分别从=或=分析,即可求得答案.【答案与解析】解:设经x秒钟△PBQ与△ABC相似,则AP=xcm,BQ=2xcm,△AB=8cm,BC=16cm,△BP=AB﹣AP=(8﹣x)cm,△△B是公共角,△①当=,即=时,△PBQ△△ABC,解得:x=4;②当=,即=时,△QBP △△ABC ,解得:x=1.6,△经4或1.6秒钟△PBQ 与△ABC 相似.【总结升华】此题考查了相似三角形的判定.属于动点型题目,注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形.若A ,B ,C ,D ,E ,F 都是格点,试说明△ABC ∽△DEF .【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例,由此可以证得△ABC ∽△DEF .【答案与解析】证明:∵AC=2,BC=221031=+,AB=4,DF=222222=+,EF=2202621=+,ED=8,∴12AC BC AB DF EF DE ===, ∴△ABC ∽△DEF .【总结升华】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理.相似三角形相似的判定方法有:(1)平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;这是判定三角形相似的一种基本方法.相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形;(2)三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似;(3)两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;(4)两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.本题是在网格状中的两个三角形,优先考虑三边对应成比例的方法去考虑.举一反三【变式】如图所示,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC=________,BC=_________;(2)判断△ABC与△DEF是否相似?并证明你的结论.【答案】(1)解:∠ABC=90°+45°=135°,(2)△ABC ∽△DEF .证明:∵在4×4的正方形方格中,∠ABC=135°,∠DEF=90°+45°=135°, ∴∠ABC=∠DEF .2BC FE===∴△ABC ∽△DEF .。
九下 相似三角形4种判定方法 知识点+模型+例题+练习 (非常好 分类全面)
①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l 1∥l 2∥l 3。
则,,,…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
③定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
○4推论:如果一条直线平行于三角形的一条边,截其它两边(或其延长线),那么所截得的三角形与原三角形相似.推论○4的基本图形有三种情况,如图其符号语言:∵DE ∥BC ,∴△ABC ∽△ADE ;知识点二、相似三角形的判定判定定理1:两角对应相等,两三角形相似.符号语言:拓展延伸: (1)有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
(2)顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
例题1.如图,直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ,由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗?请说明理由。
(用两种方法说明)例题2.(射影定理)已知:如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D.求证:(1)2AB BD BC =⋅;(2)2AD BD CD =⋅;(3)CB CD AC ⋅=2例题3.如图,AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高,DE ⊥DF ,且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =例题精讲AEDBCABCD吗?说说你的理由.例题4.如图,在平行四边形ABCD 中,已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ,F 为AE 上一点,且∠BFE=∠C(1) 求证:△ABF ∽△EAD ;(2)若AB=4,∠BAE=30°,求AE 的长;3分之8倍根号3 (3)在(1)(2)条件下,若AD=3,求BF 的长。
2分之3倍根号3 随练: 一、选择题1.如图,△ABC 经平移得到△DEF ,AC 、DE 交于点G ,则图中共有相似三角形( )D A . 3对 B . 4对 C . 5对 D . 6对2.如图,已知DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列比例式中错误的是( )CADCBEF G F E DCBA。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定:(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
(2)平行于三角形一边的直线与其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似(4)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。
2、相似三角形的性质(1)对应边的比相等,对应角相等。
(2)相似三角形的周长比等于相似比。
(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
(4)相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
二、典型例题例 1:如图,已知直线 AB: y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A( -3 , 0),交 y 轴于点 B,过点 B 作BC⊥AB 交 x 轴于点 C.(1)试证明:△ ABC∽△ AOB;( 2)求△ ABC 的周长.例 2:如图,一次函数y=kx+b 的图象经过点A( -1 ,0)和点( 1,4)交 y 轴于点 B.( 1)求一次函数解析式和 B 点坐标.( 2)过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直,且交X轴正半轴于点P,求点 P 的坐标.(3)点 M( 0,a)为 y 轴正半轴上的动点,点N( b,O)为 X 轴正半轴上的动点,当直线MN⊥直线 AB时,求 a: b 的值.例 3:( 2000·陕西)如图,在矩形ABCD 中, EF 是 BD 的垂直平分线,已知 BD=20, EF=15,求矩形 ABCD 的周长.例 4:( 2010·攀枝花)如图所示,在△ ABC 中, BC > AC ,点 D 在 BC 上,且 DC=AC ,∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F .点 E 是 AB 的中点,连接 EF .( 1)求证: EF ∥BC ;( 2)若△ ABD 的面积是 6,求四边形 BDFE 的面积.例题(1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ,与它们对应高之比h 1 : h 2 之间的关系为 _______(2) 如图,已知 D E ∥ BC , CD 和 BE 相交于 O ,若 SABC:SCOB9 :16 ,则 AD:DB=_________AABADD ’DEODEEFFGA A ’CC ’OCB B ’BCDBC(2)题图(3) 题图(4) 题图(5) 题图(3)如图,已知 AB ∥CD,BO:OC=1:4, 点 E、 F 分别是 OC, OD的中点,则 EF:AB 的值为(4) 如图,已知DE∥FG∥ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则S ABC: S四边形DFGE: S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图,把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A’B ’C’D ’的位置,它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半,若AC= 2 ,则正方形移动的距离 AA ’是(6) 梯形 ABCD中, AD∥BC,( AD<BC), AC、 BD交于点 O,若S OAB6S ABCD,则△AOD与△BOC的周长25之比为 __________ 。
相似三角形的判定与性质知识梳理及例题分析
相似三角形的判定与性质知识梳理及例题分析1.相似三角形的概念:在和中,如果,,,,我们就说和相似,记作∽,就是它们的相似比(注意:要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).思考:在中,点是边的中点,,交于点,与有什么关系?猜想:与相似. 证明:在与中,∴,.过点作,交于点在中,,,∴.又,∴∴,∴∽(对应角相等,对应边的比相等的两三角形相似),相似比为.改变点在上的位置,可以进一步猜想以上两个三角形依然相似.2.相似三角形的判定定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.小结:判定三角形相似的方法:(1)相似三角形的定义;(2)由平行线得相似.思考:对比三角形全等判定的简单方法(),看是否也有简便的方法?已知:在和中,.求证:∽.证明:在线段(或它的延长线)上截取,过点作,交于点,根据前面的结论可得∽.∴又,∴∴同理:∴≌∴∽相似三角形的判定定理:如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:三边对应成比例,两三角形相似.思考:若,,与是否相似呢?相似三角形的判定定理:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似可简单说成:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.进一步引申:若,,与是否相似呢?不一定问:全等中的边边角不能用,那么边边角也不能证相似,反例同全等.例1.根据下列条件,判断与是否相似,并说明理由:(1),,;,,.(2),,;,,.解:(1),∴又∴∽问:这两个相似三角形的相似比是多少?(答:是)(2),,∴与的三组对应边的比不等,它们不相似.问:要使两三角形相似,不改变的长,的长应当改为多少?(答:) 例2.要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?注:此题没说2与哪条边是对应边,所以要进行分类讨论.可以是:,3;或,;或,.注:当两三角形相似而边不确定时,要注意分类讨论.相似三角形的判定定理:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的,那么这两个三角形相似.简单说成:两角对应相等,两三角形相似.3.三角形相似的判定的应用例3.如图,弦和弦相交于内一点,求证:.证明:连接,.在∴∽∴.例4.已知:如图,在中,于点.(1)求证:∽∽;(2)求证:;;(此结论称之为射影定理)(3)若,求.(4)若,求.分析:(1)利用两角相等证相似;(2)把相似三角形的相似比的比例式改为乘积式即可;(3)利用射影定理和勾股定理直接求;(4)利用上面的定理和方程求.进一步引申:在中,于点,这个条件可以放在圆当中,是直径,是圆上任意一点,于点,则可得到双垂直图形.例.已知:∽,分别是两个三角形的角平分线.求证:.4.相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等,对应边的比相等,都等于相似比.(2)相似三角形对应高的比,对应角的平分线的比,对应中线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比;相似多边形周长的比等于相似比.证明:如果∽,相似比为,那么.因此,,.从而,.同理可得相似多边形对应周长的比也等于相似比.如图,已知:∽,相似比为.分别作出与的高和和都是直角三角形,并且,∽相似多边形面积的比等于相似比的平方.对于两个相似多边形,可以把他们分成若干个相似三角形证明.例5.如图,在和中,,,,的周长是24,面积是48,求的周长和面积.解:在和中,,又∽,相似比为.的周长为,的面积是.例6.已知点P在线段AB上,点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点.(1)如图,如果AP=2PB,PB=BO.求证:△CAO∽△BCO;(2)如果AP=m(m是常数,且),BP=1,OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时,求的值(结果用含m的式子表示);(3)在(2)的条件下,讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m的取值范围.分析:此题第1问:利用两边的比相等,夹角相等证相似.即,第2问:设∵是的比例中项,∴是的比例中项即∴解得又∵第3问:∵,,即当时,两圆内切;当时,两圆内含;当时,两圆相交.例7.如图,已知中,,,,,点在上,(与点不重合),点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时,求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时,求的长.(3)在上是否存在点,使得为等腰直角三角形?要不存在,请说明理由;若存在,请求出的长.解:(1),∽(2)∵的周长与四边形的周长相等∽(3)在线段上存在点,使得为等腰直角三角形.过作于,则,设交于若,则.∵∽若,同理可求.若,∽∴在线段上存在点,使得为等腰直角三角形,此时,或.三、总结归纳:1、相似三角形的判定:(1)相似三角形的定义;(2)平行得相似;(3)三边的比相等;(4)两边的比相等,夹角相等;(5)两角对应相等.三角形相似判定的方法较多,要根据已知条件适当选择.23、相似三角形的常见图形及其变换:4、证明四条线段成比例的常用方法:(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系证明题常用方法归纳:(1)通过“横找”“竖看”寻找三角形,即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母,并且这几个字母不在同一条直线上,能够组成三角形,并且有可能是相似的,则可证明这两个三角形相似,然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(2)若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母,但这几个字母在同一条直线上),则需要进行“转移”(或“替换”),常用的“替换”方法有这样的三种:等线段代换、等比代换、等积代换.(3)若上述方法还不能奏效的话,可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用,直到被证结论证出为止.。
相似三角形题型讲解解析
相似三角形题型讲解相似三角形是初中几何的重要内容,包括相似三角形的性质、判定定理及其应用,是中考必考内容,以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型,所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要,本讲就如何判定三角形相似,以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。
一、如何证明三角形相似例1、如图:点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ,则△AGD ∽ ∽ 。
分析:关键在找“角相等”,除已知条件中已明确给出的以外,还应结合具体的图形,利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2,所以△AGD ∽△EGC 。
再∠1=∠2(对顶角),由AB ∥DG 可得∠4=∠G ,所以△EGC ∽△EAB 。
评注:(1)证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。
(2)找到两个三角形中有两对角对应相等,便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。
例2、已知△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,BD 是角平分线, 求证:△ABC ∽△BCD分析:证明相似三角形应先找相等的角,显然∠C 是公共角,而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
证明:∵∠A=36°,△ABC 是等腰三角形,∴∠ABC=∠C=72° 又BD 平分∠ABC ,则∠DBC=36°在△ABC 和△BCD 中,∠C 为公共角,∠A=∠DBC=36° ∴△ABC∽△BCD例3:已知,如图,D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ,以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD 求证:△DBE∽△ABCA B C DEF G 1234ABCD分析:由已知条件∠ABD=∠CBE,∠DBC公用。
所以∠DBE=∠ABC,要证的△DBE和△ABC,有一对角相等,要证两个三角形相似,或者再找一对角相等,或者找夹这个角的两边对应成比例。
相似三角形的判定与性质以及应用
相似三角形的判定与性质以及应用考点一:相似三角形的判定与性质1.如图,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF=∠B,且点D、F分别在边AB、AC上.(1)求证:△BDE∽△CEF;(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.2.如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.(1)求证:△ADE∽△ABC;(2)若AD=3,AB=5,求的值.3.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.(1)已知BD=,求正方形ABCD的边长;(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.4.已知:如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上一点,且∠AED=∠B.若AE=5,AB=9,CB=6,求ED的长.5.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.(1)求证:△ABD∽△CBE;(2)若BD=3,BE=2,求AC的值.6.如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O,过点A作AG⊥BD分别交BD、BC 于点G、E.(1)求证:BE2=EG•EA;(2)连接CG,若BE=CE,求证:∠ECG=∠EAC.动点问题:1.在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动,如果P、Q同时出发,用t (秒)表示运动时间(0≤t≤6),那么当t为何值时,△APQ与△ABD相似?说明理由.2.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=16cm,BC=8cm,动点P从点C出发,沿CA方向运动;动点Q同时从点B出发,沿BC方向运动,如果点P的运动速度为4cm/s,Q点的运动速度为2cm/s,那么运动几秒时,△ABC和△PCQ相似?考点二:利用相似三角形测高1.如图,某同学相测量旗杆的高度,他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米,在同时刻测量旗杆的影长时,因旗杆靠近一楼房,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,他测得落在地面上影长为21米,留在墙上的影高为2米,求旗杆的高度.变式:如图,直立在B处的标杆AB=2.4m,直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上(点F,B,D也在同一条直线上).已知BD=8m,FB=2.5m,人高EF=1.5m,求树高CD.2.太原双塔寺又名永祚寺,是国家级文物保护单位,由于双塔(舍利塔、文峰塔)耸立,被人们称为“文笔双塔”,是太原的标志性建筑之一,某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度,在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得EC=4米,将标杆CD向后平移到点C处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F,点G,点E,点C与塔底处的点A在同一直线上),这时测得FG=6米,GC=53米.请你根据以上数据,计算舍利塔的高度AB.3.如图,一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻,小明竖起1米高的直杆MN,量得其影长MF为0.5米,量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米,落在墙上的影子CD的高为2米.你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗?4.如图,△ABC是一块锐角三角形的材料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少mm.变式:有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.现要把它加工成矩形零件,使矩形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.(1)如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形,如图1,此时,这个矩形零件的两条邻边长分别为多少mm?请你计算.(2)如果题中所要加工的零件只是矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条邻边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长.5.如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF,两标杆相隔52米,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内,从标杆CD后退2米到点G处,测得G处、标杆顶端C和建筑物顶端A在同一条直线上;从标杆FE后退4米到点H处,测得H处、标杆顶端E和建筑物顶端A在同一条直线上,AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,求建筑物AB的高.6.如图,路灯A离地8米,身高1.6米的小王(C D)的影长DB与身高一样,现在他沿OD方向走10米,到达E处.(1)请画出小王在E处的影子EH;(2)求EH的长.课后作业:1.如果两个相似三角形对应边之比是1:4,那么它们的对应中线之比是()A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:162.△ABC与△DEF的相似比为3:4,则△ABC与△DEF的周长的比为()A.3:4 B.4:3 C.9:16D.16:93.两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm,它们的周长之差为12cm,那么小三角形的周长为()A.14cm B.16cm C.18cm D.30cm4.将一个三角形改成与它相似的三角形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的()A.9倍B.3倍C.81倍 D.18倍5.△ADE∽△ABC,且相似比为1:3,若△ADE的面积为5,则△ABC的面积为()A.10 B.15 C.30 D.457.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm,如果它们的面积之和为130cm2,那么较小的多边形的面积是cm2.8.若两个相似多边形面积比为4:9,则它们的周长比是.9.在长8cm,宽6cm的矩形中,截去一个矩形,使留下的矩形与原矩形相似,那么留下的矩形面积是cm2.10.如图,已知△ABC中,AC=BC,点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点,BF、ED的延长线交于点G,连接GC.(1)求证:AB=GD;(2)如图2,当CG=EG时,求的值.11.如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,连接CE、DE.AC与DE相交于点F.(1)求证:△ADF∽△CEF;(2)若AD=4,AB=6,求的值.。
相似三角形判定与性质专题
相似三角形判定与性质专题【例题1】(2019•海南省)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为()B.C.D.A.【例题2】(2019•四川省凉山州)在▱ABCD中,E是AD上一点,且点E将AD分为2:3的两部分,连接BE、AC相交于F,则S△AEF:S△CBF是.【例题3】(2019•湖北省荆门市)如图,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子,向后退到B处,恰好在镜子中看到楼的顶部E;再将镜子放到C处,然后后退到D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O,A,B,C,D在同一条直线上),测得AC=2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面髙度BF,DG为1.6m,试确定楼的高度OE.【例题4】(2019年广西梧州市)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,AF平分∠DAC,分别交DC,BC的延长线于点E,F;连接DF,过点A作AH∥DF,分别交BD,BF于点G,H.(1)求DE的长;(2)求证:∠1=∠DFC.【例题5】(2019年湖南省张家界市)如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线AC,延长AB至点E,使BE =AB,连接DE,分别交BC,AC交于点F,G.(1)求证:BF=CF;(2)若BC=6,DG=4,求FG的长.训练一、选择题1.(2019年广西玉林市)如图,AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交于点G,则是相似三角形共有()A.3对B.5对C.6对D.8对2.(2019年内蒙古赤峰市)如图,D、E分别是△ABC边AB,AC上的点,∠ADE=∠ACB,若AD=2,AB=6,AC=4,则AE的长是()A.1 B.2 C.3 D.43.(2019·广西贺州)如图,在△ABC 中,D ,E 分别是AB ,AC 边上的点,DE ∥BC ,若AD =2,AB =3,DE =4,则BC 等于( )A .5B .6C .7D .84.(2019•广西贵港)如图,在△ABC 中,点D ,E 分别在AB ,AC 边上,DE ∥BC ,∠ACD =∠B ,若AD =2BD ,BC =6,则线段CD 的长为( )A .2B .3C .2D .55.(2019▪黑龙江哈尔滨)如图,在▱ABCD 中,点E 在对角线BD 上,EM ∥AD ,交AB 于点M ,EN ∥AB ,交AD 于点N ,则下列式子一定正确的是( )A .= B .= C .= D .=6. (2019•江苏苏州)如图,在ABC V 中,点D 为BC 边上的一点,且2AD AB ==,AD AB ⊥,过点D 作DE AD ⊥,DE 交AC 于点E ,若1DE =,则ABC V 的面积为( )A.B .4 C. D .8D ABC7.(2019山东枣庄)如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置.已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积9.若AA′=1,则A′D等于()A.2 B.3 C.4 D.8.(2019四川巴中)如图▱ABCD,F为BC中点,延长AD至E,使DE:AD=1:3,连结EF交DC于点G,则S△DEG:S△CFG=()A.2:3 B.3:2 C.9:4 D.4:99.(2019年四川省遂宁市)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,△BPC是等边三角形,连接DP并延长交CB的延长线于点H,连接BD交PC于点Q,下列结论:①∠BPD=135°;②△BDP∽△HDB;③DQ:BQ=1:2;④S△BDP=.其中正确的有()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④二、填空题10.(2019•浙江宁波)如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,点D在边BC上,CD=5,BD=13.点P是线段AD上一动点,当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时,AP的长为.11. 2019黑龙江省龙东地区) 一张直角三角形纸片ABC ,∠ACB =90°,AB =10,AC =6,点D 为BC 边上的任一点,沿过点D 的直线折叠,使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处,当△BDE 是直角三角形时,则CD 的长为________.12.(2019•山东泰安)如图,矩形ABCD 中,AB =3,BC =12,E 为AD 中点,F 为AB 上一点,将△AEF 沿EF 折叠后,点A 恰好落到CF 上的点G 处,则折痕EF的长是.13.(2019江苏常州)如图,在矩形ABCD 中,AD =3AB=点P 是AD 的中点,点E 在BC 上,CE =2BE ,点M 、N 在线段BD 上.若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等,则MN =__________.14.(2019•山东省滨州市)如图,▱ABCD 的对角线AC ,BD 交于点O ,CE 平分∠BCD 交AB 于点E ,交BD 于点F ,且∠ABC =60°,AB =2BC ,连接OE .下列结论:①EO ⊥AC ;②S △AOD =4S △OCF ;③AC :BD =:7;④FB 2=OF •DF .其中正确的结论有 (填写所有正确结论的序号)15.(2019四川泸州)如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =15,点E 在边CB 上,CE =2EB ,点D 在边AB 上,CD ⊥AE ,垂足为F ,则AD 的长为 .三、解答题16.(2019•四川省凉山州)如图,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.(1)求证:BD2=AD•CD;(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.17.(2019•山东泰安)在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,点P是边AD上一点.(1)若BP平分∠ABD,交AE于点G,PF⊥BD于点F,如图①,证明四边形AGFP是菱形;(2)若PE⊥EC,如图②,求证:AE•AB=DE•AP;(3)在(2)的条件下,若AB=1,BC=2,求AP的长.18.(2019安徽)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证:△PAB∽△PBC;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证h12=h2•h3.19.(2019年湖南省株洲市)如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG.(1)求证:△DOG≌△COE;(2)若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM=,求正方形OEFG的边长.答案【例题1】(2019•海南省)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为()B.C.D.A.【答案】B.【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.根据勾股定理求出AC,根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD=∠BDQ,得到QB=QD,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可.∵∠C=90°,AB=5,BC=4,∴AC==3,∵PQ∥AB,∴∠ABD=∠BDQ,又∠ABD=∠QBD,∴∠QBD=∠BDQ,∴QB=QD,∴QP=2QB,∵PQ∥AB,∴△CPQ∽△CAB,∴==,即==,解得,CP=,∴AP=CA﹣CP=【例题2】(2019•四川省凉山州)在▱ABCD中,E是AD上一点,且点E将AD分为2:3的两部分,连接BE、AC相交于F,则S△AEF:S△CBF是.【答案】4:25或9:25.【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质,掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.分AE:ED=2:3、AE:ED=3:2两种情况,根据相似三角形的性质计算即可.①当AE:ED=2:3时,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AE:BC=2:5,∴△AEF∽△CBF,∴S△AEF:S△CBF=()2=4:25;②当AE:ED=3:2时,同理可得,S△AEF:S△CBF=()2=9:25。
高中数学: 相似三角形的判定及有关性质
相似三角形的判定及有关性质【学习目标】1. 了解平行线截割定理,会证明并应用直角三角形射影定理.2. 理解并掌握相似三角形的判定及性质。
【要点梳理】要点一、平行截割定理 1。
平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他与这组平行线相交的直线上截得的线段也相等。
推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰. 2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如右图:l 1∥l 2∥l 3,则,,,…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.要点诠释:由上述定理可知:在证明有关比例线段时,辅助线往往作平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.要点二、相似三角形 1.定义对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数).相似用符号“∽”表示,读作“相似于”。
要点诠释:关于相似三角形要注意以下几点:① 对应性:即两个三角形相似时,一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边.② 顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的. ③ 两个三角形形状一样,但大小不一定一样.④ 全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.2.相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
③三边对应成比例的两个三角形相似。
④平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 3.相似直角三角形的判定定理①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似. ②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
相似三角形的判定+性质+经典例题分析
相似形一一、比例性质1.基本性质:bc ad dcb a =⇔=两外项的积等于两内项积 2.反比性质:cda b d c b a =⇔= 把比的前项、后项交换3.合比性质:ddc b b ad c b a ±=±⇒=分子加减分母;分母不变 .4.等比性质:分子分母分别相加;比值不变.如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ;那么b a n f d b m ec a =++++++++ . 谈重点:1此性质的证明运用了“设k 法” ;这种方法是有关比例计算;变形中一种常用方法.2应用等比性质时;要考虑到分母是否为零.3可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数;再利用等比性质也成立.5.黄金分割:错误!内容 错误!尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回顾:例题1.已知a 、b 、c 是非零实数;且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++;求k 的值.例题2.已知111x y x y+=+;求y x x y +的值..板块二、新课讲解知识点一、相似形的概念概念:具有相同形状的图形叫相似图形. 谈重点:⑴相似图形强调图形形状相同;与它们的位置、颜色、大小无关. ⑵相似图形不仅仅指平面图形;也包括立体图形相似的情况.⑶我们可以这样理解相似形:两个图形相似;其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的. ⑷若两个图形形状与大小都相同;这时是相似图形的一种特例——全等形.知识点二、平行线分线段成比例定理①定理:三条平行线截两条直线;所得的对应线段成比例;如图:l 1∥l 2∥l 3..则,,,…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的对应线段成比例..③定理:如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例;那么这条直线平行于三角形的第三边..错误!推论:如果一条直线平行于三角形的一条边;截其它两边或其延长线;那么所截得的三角形与原三角形相似.推论错误!的基本图形有三种情况;如图其符号语言:∵DE ∥BC;∴△ABC ∽△ADE ;知识点三、相似三角形的判定判定定理1:两角对应相等;两三角形相似. 符号语言:拓展延伸:1有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似.. 2顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似..重难点高效突破例题1.如图;直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E;由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗 请说明理由..用两种方法说明例题2.射影定理已知:如图;在△ABC 中;∠BAC=90°;AD ⊥BC 于D.求证:12AB BD BC =⋅;22AD BD CD =⋅;3CB CD AC ⋅=2例题3.如图;AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高;DE ⊥DF;且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =吗 说说你的理由.例题精讲AEDBCAB CD例题4.如图;在平行四边形ABCD 中;已知过点B 作BE ⊥CD 于E;连接AE;F 为AE 上一点;且∠BFE=∠C(1) 求证:△ABF ∽△EAD ;(2) 若AB=4;∠BAE=30°;求AE 的长; (3) 在12条件下;若AD=3;求BF 的长..即时训练 一、选择题1.如图;△ABC 经平移得到△DEF;AC 、DE 交于点G;则图中共有相似三角形 A . 3对 B . 4对 C . 5对 D . 6对2.如图;已知DE ∥BC;EF ∥AB;则下列比例式中错误的是 A .AC AE AB AD = B . FB EA CF CE = C . BD AD BC DE = D . CB CF AB EF =.3.在矩形ABCD 中;E 、F 分别是CD 、BC 上的点;若∠AEF=90°;则一定有 A .ΔADE ∽ΔAEF B.ΔECF ∽ΔAEF C.ΔADE ∽ΔECF D.ΔAEF ∽ΔABF4、如图;直线l 1∥l 2;AF ∶FB=2∶3;BC ∶CD=2∶1;则AE ∶EC 是 A.5∶2 B.4∶1 C.2∶1 D.3∶2ADCBEF GFEDCBA1题图 2题图 3题图 4题图5.如图;E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点;连结AE 交CD 于F;则图中共有相似三角形 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对5题图 6题图 7题图 8题图6.ΔABC 中;DE ∥BC;且AD ∶DB=2∶1;那么DE ∶BC 等于 A.2∶1 B.1∶2 C.2∶3 D.3∶27.如图;P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点;过点P 做直线截ΔABC;使截得的三角形与ΔABC 相似;满足这样条件的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条8.如图;已知DE ∥BC;EF ∥AB;则下列比例式中错误的是 A.AC AE AB AD = B.FB EA CF CE = C.BDAD BC DE = D.CB CFAB EF =9.下列说法:其中正确的是①所有的等腰三角形都相似;②所有的等边三角形都相似; ③所有等腰直角三角形都相似;④所有的直角三角形都相似. A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 二、解答题1、如图;ΔABC 中;BD 是角平分线;过D 作DE ∥AB 交BC 于点E;AB=5cm;BE=3cm;求EC 的长.2.如图;在梯形ABCD 中;AD ⊥BC;∠BAD=90°;对角线BD ⊥DC. 1ΔABC 与ΔDCB 相似吗 请说明理由. 2如果AD=4;BC=9;求BD 的长.3.已知:如图;在正方形ABCD 中;P 是BC 上的点;且BP=3PC; Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似 为什么4.如图;已知AD 为△ABC 的角平分线;AD 的垂直平分线交BC 的延长线于点E;交AB 与F;试判定△BAE 与△ACE 是否相似;并说明理由..5.如图;在矩形ABCD 中;AB=5cm;BC=10cm;动点P 在AB 边上由A 向B 作匀速运动;1分钟可到达B 点;动点Q 在BC 边上由B 向C 作匀速运动;1分钟可到达C 点;若P 、Q 两点同时出发;问经过多长时间;恰好有PQ ⊥BDA BEFQ P DC B AABC DDABCDABCEA BCD E6.已知:如图所示;D 是AC 上一点;BE ∥AC;AE 分别交BD 、BC 于点F 、G;∠1=∠2.则BF 是FG 、EF 的比例中项吗 请说明理由.7.如图;CD 是Rt ΔABC 的斜边AB 上的高;∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F. AC •AE=AF •AB 吗 说明理由.相似形二板块二、新课讲解知识点1.相似三角形的判定判定定理2:两边对应成比例且夹角相等;两三角形相似.判定定理3:三边对应成比例;两三角形相似.知识点2.直角三角形相似的判定 在直角三角形中;斜边和一条直角边对应成比例;两直角三角形相似.知识点3. 相似三角形中的基本图形AB C D EA 型;X 型 交错型 旋转型 母子形重难点高效突破例题1.如图在4×4的正方形方格中;△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上.1填空:∠ABC=______;BC=_______. 2判定△ABC 与△DEF 是否相似 并说明理由..例题2. 如图;在△ABC 中;已知BD 、CE 是△ABC 的高;求证:△ADE ∽△ABC..例题3.如图;已知AB ⊥BD;CD ⊥BD;AB=6cm;CD=4cm;BD=14cm;点P 在BD 上由B 点向D 点移动;当BP 等于多少时;△ABP 与△CPD 相似例题4.已知:如图;在△ABC 中;∠C =90°;P 是AB 上一点;且点P 不与点A 重合;过点P 作PE ⊥AB 交AC 于E ;点E 不与点C 重合;若AB =10;AC =8;设AP =x ;四边形PECB 的周长为y ;求y 与x 的函数关系式.例题精讲A BCD EABDCP例题5.在三角形ABC 中;AB=AC;AD ⊥BC 于点D;DE ⊥AC 于点E;M 为DE 的中点;AM 与BE 相交于点N;延长AM 交BC 于点G;AD 与BE 相交于点F; 求证:1DE AD =CECD;(2)△BCE ∽△ADM ; 3AM ⊥BE.随堂演练 A 组1.下列命题中正确的是①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④2.如图;D 、E 分别是AB 、AC 上两点;CD 与BE 相交于点O;下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD;AB=ACD. AD ∶AC=AE ∶AB3.如图;在正方形网格上有6个斜三角形:①ΔABC;②ΔBCD;③ΔBDE;④ΔBFG;⑤ΔFGH;⑥ΔEFK.其中②~⑥中;与三角形①相似的是A ②③④B ③④⑤C ④⑤⑥D ②③⑥ 4.如图;DE 与BC 不平行;当ACAB= 时;ΔABC 与ΔADE 相似.. 5.如图;平行四边形 ABCD 中;AB=10;AD=6;E 是AD 的中点;在AB 上取一点F;使△CBF•∽△CDE;则BF 的长是 .A .5B .8.2C .6.4D .1.8M N F ABCDEG3题图 4题图 5题图5.如图;四边形ABCD 是平行四边形;AE ⊥BC 于E;AF ⊥CD 于F.1ΔABE 与ΔADF 相似吗 说明理由. 2ΔAEF 与ΔABC 相似吗 说说你的理由.6.已知:如图;在正方形ABCD 中;P 是BC 上的点;且BP=3PC;Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似 为什么7.如图;在正方形ABCD 中;E 为AD 的中点;EF ⊥EC 交AB 于F;连接FC (),AE AB >△AEF ∽△EFC 吗若相似;请证明;若不相似;请说明理由..若ABCD 为矩形呢板块三、课后作业1.如图;正方形ABCD 中;点E;F 分别为AB;BC 的中点;AF 与DE 相交于点O;则AODO等于 . A .13 B .255C .23D .122.如图;直线EF 交AB 、AC 于点F 、E;交BC 的延长线于点D;AC ⊥BC;已知AB CD=DE AC ⋅⋅;求证:AE CE=DE EF ⋅⋅6.已知D 是BC 边延长线上的一点;BC =3CD ;DF 交AC 边于E 点;且AE =2EC .试求AF 与FB 的比.7.已知:如图;在△ABC 中;∠BAC =90°;AH ⊥BC 于H ;以AB 和AC 为边在Rt △ABC 外作等边△ABD 和△ACE ;试判断△BDH 与△AEH 是否相似;并说明理由.相似三角形的性质及其应用板块二、新课讲解知识要点:相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等;对应边成比例.②相似三角形对应高的比;对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比.④相似三角形面积的比等于相似比的平方.FABCDE重难点高效突破 例题1.1两个相似三角形的面积比为21:s s ;与它们对应高之比21:h h 之间的关系为_______ 2如图;已知D E ∥BC;CD 和BE 相交于O;若16:9:=∆∆COB ABC S S ;则AD:DB=_________3如图;已知AB ∥CD;BO:OC=1:4;点E 、F 分别是OC;OD 的中点;则EF:AB 的值为 4如图;已知DE ∥FG ∥BC;且AD:FD:FB=1:2:3;则) (S ::FBCG DFGE =∆四边形四边形S S ABCA.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)梯形ABCD 中;AD ∥BC;AD<BC;AC 、BD 交于点O;若ABCD OAB S S ∆∆=256;则△AOD 与△BOC 的周长之比为__________..例题2.如图;在△ABC 中;DE ∥BC;且S △ADE :S 四边形BCED =1:2;BC =26..求DE 的长..例题3. 如图所示;已知DE ∥BC;且与△ABC 的边CA 、BA 的延长线分别相交于点D 、E;F 、G 分别在边AB 、AC 上;且AF :FB=AG :GC;求证:△AFG ∽△AED..A BCD E BC D E A O 2题图3题图 C E FOBA D 4题图B G FE D A C 5题图 CA ’ DD ’ C ’B ’ B A OBC DA例题4. 如图;矩形EFGH 内接于△ABC;AD ⊥BC 于点D;交EH 于点M;BC =20㎝;AM =8㎝; S △ABC =100㎝2..求矩形EFGH 的面积..例题5.△ABC 中;D 为AB 上一点;若∠ABC=∠ACD;AD=8㎝;DB=6㎝;求AC 的长..例题6.已知;如图△ABC 中;∠BAC=900;AB=AC=1;D 为BC 上一动点不与B;C 重合;∠ADE=45°(1)求证△ABD ∽△DCE(2)设BD=x;AE=y;求y 与x 的函数关系式 3若△ADE 为等腰直角三角形时;求AE 的长例题7、如图;在等腰梯形ABCD 中;AD ∥BC;AD=3㎝;BC=7㎝;∠B=60°;P 为下底BC 上一点不与B 、C 重合;连结AP;过P 点作PE 交DC 于E;使得∠APE=∠B.ABCD EF MH GPABCD1求证:△ABP ∽△PCE ; 2求等腰梯形的腰AB 的长;3在底边BC 上是否存在一点P;使得DE ∶EC=5∶3;如果存在;求出BP 的长;如果不存在;请说明理由.随堂演练A 组1.两个相似三角形的面积比为4:9;那么它们周长的比为__________.2.若x :y :z=3:5:7;3x +2y -4z =9则x +y +z 的值为____________. 3.如图;∠APD =90°;AP =PB =BC =CD;则下列结论成立的是 A .ΔPAB ∽ΔPCA B.ΔPAB ∽ΔPDA C .ΔABC ∽ΔDBA D.ΔABC ∽ΔDCA第3题4.如图;D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点;∠1=∠B;AE =EC =4;BC =10;AB =12;则△ADE 的周长为_______5.某学生利用树影测松树的高度;他在某一时刻测得1.5米长的竹竿影长0.9米;但当他马上测松树高度时;因松树靠近一幢高楼;影子不是全部在地面上;有一部分影子落在墙上;他测得留在地面部分的影长是2.4米;留在墙上部分的影高是1.5米;则松树的高度为________米6.如图;C 为线段AB 上的一点;△ACM 、△CBN 都是等边三角形;若AC =3;BC =2;则△MCD 与60°AE第7题图PD CBABCDMN 第6题 ADE 1BC第4题△BND 的面积比为 ..7.如图;在梯形ABCD 中;AD ∥BC;AC 、BD 交于O 点;S △AOD :S △COB =1:9;则S △DOC :S △BOC =板块三、课后作业1.已知:如图;△ABC 中;∠A =36°;AB =AC ;BD 是角平分线. 1求证:AD 2=CD ·AC ; 2若AC =a ;求AD .2.已知:如图;□ABCD 中;E 是BC 边上一点;且AE BD EC BE ,,21相交于F 点. 1求△BEF 的周长与△AFD 的周长之比;2若△BEF 的面积S △BEF =6cm 2;求△AFD 的面积S △AFD .3.已知:如图;Rt △ABC 中;AC =4;BC =3;DE ∥AB .1当△CDE 的面积与四边形DABE 的面积相等时;求CD 的长; 2当△CDE 的周长与四边形DABE 的周长相等时;求CD 的长.。
相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结(学生版)
一、相似的有关概念1.相似形具有相同形状的图形叫做相似形.相似形仅是形状相同,大小不一定相同.相似图形之间的互相变换称为相似变换. 2.相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例,对应角相等. 3.相似比两个相似图形的对应角相等,对应边成比例.二、相似三角形的概念1.相似三角形的定义对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.如图,ABC △与A B C '''△相似,记作ABC A B C '''△∽△,符号∽读作“相似于”.2.相似比相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.“全等三角形”一定是“相似形”,“相似形”不一定是“全等形”.三、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等A 'B 'C 'CB A中考要求知识点睛相似三角形的性质及判定2.相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似,则有AB BC ACk A B B C A C===''''''(k 为相似比).3.相似三角形的对应边上的中线,高线和对应角的平分线成比例,都等于相似比.如图1,ABC △与A B C '''△相似,AM 是ABC △中BC 边上的中线,A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线,则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ====''''''''(k 为相似比).图1如图2,ABC △与A B C '''△相似,AH 是ABC △中BC 边上的高线,A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线,则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''(k 为相似比).图2如图3,ABC △与A B C '''△相似,AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线,A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线,则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''(k 为相似比).图34.相似三角形周长的比等于相似比. 如图4,ABC △与A B C '''△相似,则有AB BC ACk===(k 为相似比).应用比例的等比性质有A 'B 'C 'CB AM 'MA 'B 'C 'C BAH 'H AB C C 'B 'A 'D 'D A 'B 'C B AAB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++. 图45.相似三角形面积的比等于相似比的平方.如图5,ABC △与A B C '''△相似,AH 是ABC △中BC 边上的高线,A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线,则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''(k 为相似比).进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△.图5四、相似三角形的判定1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等,两个三角形相似.3.如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 4.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例,那么这两个三角形相似.可简单地说成:三边对应成比例,两个三角形相似.5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似(常用但要证明)7.如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等,那么这两个等腰三角形相似;如果它们的腰和底对应成比例,那么这两个等腰三角形也相似.五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”. 1.横向定型法欲证AB BCBE BF =,横向观察,比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ,三个字母A B C ,,恰为ABC △的顶点;分母的两条线段是BE 和BF ,三个字母B E F ,,恰为BEF △的三个顶点.因此只需证ABC EBF △∽△.A 'B 'C 'CB AH 'H AB C C 'B 'A '欲证AB DEBC EF=,纵向观察,比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ,,恰为ABC △的顶点;右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ,,恰为DEF △的三个顶点.因此只需证ABC DEF △∽△. 3.中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况,此时可考虑运用等线,等比或等积进行变换后,再考虑运用三点定形法寻找相似三角形.这种方法就是等量代换法.在证明比例式时,常用到中间比.比例中项式的证明,通常涉及到与公共边有关的相似问题。
初三数学相似三角形典型例题(附解析)
2初三数学相似三角形(一)相似三角形是初中几何的一个重点,同时也是一个难点,本节复习的目标是:1. 理解线段的比、成比例线段的概念,会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比,了解黄金分割。
2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明,会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4.能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一, 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合 构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现,分值一般在 10%左右,有时也单独成题,形成创新与探索型试题;有利于培养学生的综合素质。
(二)重要知识点介绍: 1.比例线段的有关概念:在比例式 ab c (a : b c :d )中, a 、 d 叫外项, db 、c 叫内项, a 、c 叫前项,b 、d 叫后项, d 叫第四比例项,如果 b=c ,那么 b 叫做 a 、d 的比例中项。
把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,使 AC=AB BC ,叫做把线段 AB 黄金分割, C 叫做线段 AB 的黄金分割点。
2. 比例性质:①基本性质: ac b d②合比性质:acb dad bca b c d bd③等比性质:a c⋯b dm (b d ⋯ nn ≠ 0) a c ⋯ m ab d ⋯ nb3.平行线分线段成比例定理:①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l 1∥ l 2∥ l 3 。
AB 则BCDE , ABEF AC DE , BCDF AC EF ,⋯DF②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
③定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
相似三角形知识点及典型例题
相似三角形知识点及典型例题知识点归纳:1、三角形相似的判定方法〔1〕定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似。
〔2〕平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。
〔3〕判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
简述为:两角对应相等,两三角形相似。
〔4〕判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
〔5〕判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
简述为:三边对应成比例,两三角形相似。
〔6〕判定直角三角形相似的方法:①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,那么有射影定理如下:〔1〕〔AD〕2=BD·DC,〔2〕〔AB〕2=BD·BC ,〔3〕〔AC〕2=CD·BC 。
注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即〔AB〕2+〔AC〕2=〔BC〕2。
典型例题:例1 如图,等腰△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ‖AB ,BG 分别交AD ,AC 于E 、 F ,求证:BE2=EF·EG 证明:如图,连结EC ,∵AB =AC ,AD ⊥BC , ∴∠ABC =∠ACB ,AD 垂直平分BC ∴BE =EC ,∠1=∠2,∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2, 即∠3=∠4,又CG ∥AB ,∴∠G =∠3,∴∠4=∠G又∵∠CEG =∠CEF ,∴△CEF ∽△GEC ,∴EG CE =CE EF∴EC 2=EG· EF,故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】此题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质,线段的垂直平分线的性质和相似三角形的根本图形来得到证明.而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ,把原来处在同一条直线上的三条线段BE ,EF ,EC 转换到相似三角形的根本图形中是证明此题的关键。
初中九年级相似相似三角形知识点总结及经典例题解析
第27章:相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段;2.比例性质:(1)基本性质:bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 (2)合比定理:d dc b b ad c b a ±=±⇒= (3)等比定理:)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割:如图,若AB PB PA ⋅=2,则点P 为线段AB 的黄金分割点.4.平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● (1)平行于三角形一边的直线与其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
● (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。
● (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
● (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质● (1)对应边的比相等,对应角相等. ● (2)相似三角形的周长比等于相似比.● (3)相似三角形的面积比等于相似比的平方.● (4)相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义:梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:1、利用三角形相似,可证明角相等;线段成比例(或等积式); 2、利用三角形相似,求线段的长等3、利用三角形相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形,而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形。
相似三角形的判定总结+题型分析(带答案)
相似三角形定义:如果两个三角形中,三角对应相等,三边对应成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系:两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充:对于多边形而言,所有圆相似;所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等);性质:两个相似三角形中,对应角相等、对应边成比例。
相似比:两个相似三角形的对应边的比,叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似,记作△ABC∽△DEF。
相似比为k。
判定:①定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似。
②相似的预备定理:平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理:判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.(此定理用的最多)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似.直角三角形相似判定定理:1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似,并且分成的两个直角三角形也相似。
补充一:直角三角形中的相似问题:斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理:CD²=AD·BD,AC²=AD·AB,BC²=BD·BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).补充二:三角形相似的判定定理推论推论一:顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
ABCDDABCDABCEAB C D E推论二:腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
6.5相似三角形的性质(解析版)
A B F DE 6.5相似三角形的性质【推本溯源】1.回顾相似三角形的判定两角对应相等,两边成比例及其夹角相等,三边成比例2.我们知道,当D 、E 、F 分别是三角形各边中点时,▲DEF~▲ABC ,相似比是21,这两个三角形的周长、面积分别有什么关系?由题意得AC FD BC EF AB DE 21,21,21===所以ABC DEF C C ∆∆=21,ABC DEF S S ∆∆=21,它们的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
3.验证猜想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′相似比为k ,那么===''''''C A AC C B BC B A AB k ,于是''__k _B A AB =,''__k __C B BC =,''__k __A C CA =,所以__k__''''''''''''k ''''''=++++=++++A C C B B A A C C B B A A C C B B A CA BC AB )(,如图,△ABC ∽△A ′B ′C ′,△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是k ,AD 、A ′D ′是对应高.∵△ABC ∽△A'B'C',∴∠B =∠_B ′___,∵AD ⊥BC ,A ′D ′⊥B ′C ′,∴∠ADB =∠_A ′D ′B ′_=90°,∴△ABD ∽△_A ′D ′B ′______,∴=__k__,D C B AD ’A′C′B′AD AB A D A B =''''=∙∙=∙∙=∆∆''''''''2121'''D A C B AD BC D A C B AD BC S S C B A ABC k*k=k ²所以相似三角形周长之比等于相似比,同理可得,相似多边形周长之比等于相似比;相似三角形面积之比等于相似比的平方,同理可得,相似多边形面积之比等于相似比的平方。
初三相似三角形知识点以及经典例题
初三相似三角形知识点以及经典例题相似三角形是指形状相同但大小不同的三角形。
它是相似多边形中最简单的一种。
如果两个三角形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个三角形就是相似三角形。
相似三角形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
比例线段是指四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,那么这四条线段就是成比例线段,简称比例线段。
需要注意的是,比例线段是有顺序的,而且有比例式的定义。
在比例式中,a、d叫比例外项,b、c叫比例内项,a、c叫比例前项,b、d叫比例后项。
如果b=c,即a:b=c:d,那么b叫做a、d的比例中项,此时有b=ad。
比例有一些基本性质和定理。
比如,a:b=c:d等价于ad=bc;a:b=b:c等价于b=ac/b;同时,比例的分母不能为0.还有更比性质、反比性质、合、分比性质等。
需要注意的是,由一个比例式只能化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如ad=bc,除了可化为a:b=c:d等。
比例线段也有一些相关定理,如三角形中平行线分线段成比例定理和平行线分线段成比例定理。
其中,三角形中平行线分线段成比例定理指的是平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例;而平行线分线段成比例定理指的是三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例。
例题1:已知线段a=6 cm,b=2 cm,则a、b、a+b的第四比例项是18 cm,a+b与a-b的比例中项是3 cm。
例题2:若(a+b)/(b+c)=(a-c)/(c-a),则m=1.相似三角形是指对应角相等,对应边成比例的三角形。
用符号“∽”表示,读作“相似于”。
对应角和对应边可以通过对应顶点的字母来表示,这样更容易找到相似三角形的对应角和对应边。
相似三角形的对应边的比叫做相似比(或相似系数)。
相似三角形对应角相等,对应边成比例。
相似三角形有三个等价关系:反身性、对称性和传递性。
反身性是指任何三角形都与自己相似。
相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结
一、相似的有关概念1.相似形具有相同形状的图形叫做相似形.相似形仅是形状相同,大小不一定相同.相似图形之间的互相变换称为相似变换. 2.相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例,对应角相等. 3.相似比两个相似图形的对应角相等,对应边成比例.二、相似三角形的概念1.相似三角形的定义对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.如图,ABC △与A B C '''△相似,记作ABC A B C '''△∽△,符号∽读作“相似于”.2.相似比相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.“全等三角形”一定是“相似形”,“相似形”不一定是“全等形”.三、相似三角形的性质知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定1.相似三角形的对应角相等如图,ABC △与A B C '''△相似,则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠,,.2.相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似,则有AB BC ACk A B B C A C===''''''(k 为相似比).3.相似三角形的对应边上的中线,高线和对应角的平分线成比例,都等于相似比.如图1,ABC △与A B C '''△相似,AM 是ABC △中BC 边上的中线,A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线,则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''(k 为相似比).图1如图2,ABC △与A B C '''△相似,AH 是ABC △中BC 边上的高线,A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线,则有AB BC AC AHk A B B C A C A H====''''''''(k 为相似比).图2如图3,ABC △与A B C '''△相似,AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线,A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线,则有AB BC AC ADk A B B C A C A D====''''''''(k 为相似比).图34.相似三角形周长的比等于相似比. 如图4,ABC △与A B C '''△相似,则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''(k 为相似比).应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++. 图45.相似三角形面积的比等于相似比的平方.如图5,ABC △与A B C '''△相似,AH 是ABC △中BC 边上的高线,A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线,则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''(k 为相似比).进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△.图5四、相似三角形的判定1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等,两个三角形相似.3.如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 4.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例,那么这两个三角形相似.可简单地说成:三边对应成比例,两个三角形相似.5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似(常用但要证明)7.如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等,那么这两个等腰三角形相似;如果它们的腰和底对应成比例,那么这两个等腰三角形也相似.五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”. 1.横向定型法 欲证AB BCBE BF=,横向观察,比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ,三个字母A B C ,,恰为ABC △的顶点;分母的两条线段是BE 和BF ,三个字母B E F ,,恰为BEF △的三个顶点.因此只需证ABC EBF △∽△. 2.纵向定型法 欲证AB DEBC EF=,纵向观察,比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ,,恰为ABC △的顶点;右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ,,恰为DEF △的三个顶点.因此只需证ABC DEF △∽△. 3.中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况,此时可考虑运用等线,等比或等积进行变换后,再考虑运用三点定形法寻找相似三角形.这种方法就是等量代换法.在证明比例式时,常用到中间比.比例中项式的证明,通常涉及到与公共边有关的相似问题。
相似三角形的性质与判定典型题(30道题之后是分析、解答、点评)
相似三角形的判定与性质练习同学们:这份试题难度较大,希望能够通过大家的研究掌握相似三角形的一些基本图形及应用,并从中总结一些解题规律和方法。
一.选择题(共14小题)1.(2011•义乌市)如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形,连接CE交AD于点F,连接BD交CE于点G,连接BE.下列结论中:①CE=BD;②△ADC是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;④CD•AE=EF•CG;一定正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2011•遵义)如图,在直角三角形ABC中(∠C=90°),放置边长分别3,4,x的三个正方形,则x的值为()A.5 B.6 C.7 D.123.(2011•乌鲁木齐)如图,等边三角形ABC的边长为3,点P为BC边上一点,且BP=1,点D为AC边上一点,若∠APD=60°,则CD的长为()A.B.C.D.14.(2011•威海)在▱ABCD中,点E为AD的中点,连接BE,交AC于点F,则AF:CF=()A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:55.(2011•潼南县)如图,在平行四边形ABCD中(AB≠BC),直线EF经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC 于点M、N,交BA、DC的延长线于点E、F,下列结论:①AO=BO;②OE=OF;③△EAM∽△EBN;④△EAO≌△CNO,其中正确的是()A.①②B.②③C.②④D.③④6.(2011•铜仁地区)已知:如图,在△ABC中,∠AED=∠B,则下列等式成立的是()A.B.C.D.7.(2011•台湾)如图为一△ABC,其中D、E两点分别在AB、AC上,且AD=31,DB=29,AE=30,EC=32.若∠A=50°,则图中∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系,下列何者正确?()A.∠1>∠3 B.∠2=∠4 C.∠1>∠4 D.∠2=∠38.(2011•台湾)如图为梯形纸片ABCD,E点在BC上,且∠AEC=∠C=∠D=90°,AD=3,BC=9,CD=8.若以AE为折线,将C折至BE上,使得CD与AB交于F点,则BF长度为何()A.4.5 B.5 C.5.5 D.69.(2011•遂宁)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,下列说法中正确的个数是()①AC•BC=AB•CD②AC2=AD•DB③BC2=BD•BA④CD2=AD•DB.A.1个B.2个C.3个D.4个10.(2011•锦州)如图,四边形ABCD,M为BC边的中点.若∠B=∠AMD=∠C=45°,AB=8,CD=9,则AD的长为()A.3 B.4 C.5 D.611.(2011•河北)如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=6,D,E 分别在AB、AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处,若A′为CE的中点,则折痕DE的长为()A.B.2 C.3 D.412.(2011•大连)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=5,AF平分∠DAE,EF⊥AE,则CF等于()A.B.1 C.D.213.(2011•北京)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,若AD=1,BC=3,则的值为()A.B.C.D.14.(2010•湘西州)如图,△ABC中,DE∥BC,=,DE=2cm,则BC=()A.6cm B.4cm C.8cm D.7cm二.填空题(共12小题)15.(2011•牡丹江)在△ABC中,AB=6,AC=9,点D在边AB所在的直线上,且AD=2,过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E,则CE的长为_________.16.(2010•梧州)如图,在平行四边形ABCD中,E是对角线BD上的点,且EF∥AB,DE:EB=2:3,EF=4,则CD的长为_________.17.(2009•烟台)如图,△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于D.给出下列结论:①∠AFC=∠C;②DE=CF;③△ADE∽△FDB;④∠BFD=∠CAF其中正确的结论是_________.18.(2009•黄石)在平行四边形ABCD中,E在DC上,若DE:EC=1:2,则BF:BE=_________.19.(2008•衢州)如图,点D、E分别在△ABC的边上AB、AC上,且∠AED=∠ABC,若DE=3,BC=6,AB=8,则AE的长为_________.20.(2008•南宁)如图,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED=1,BD=4,那么AB= _________.21.(2007•厦门)如图,在平行四边形ABCD中,AF交DC于E,交BC的延长线于F,∠DAE=20°,∠AED=90°,则∠B=_________度;若=,AD=4厘米,则CF=_________厘米.22.(2007•乌鲁木齐)如图,∠C=∠E=90°,AD=10,DE=8,AB=5,则AC=_________.23.(2006•绵阳)如图,在△ABC中,D为AC边上的中点,AE∥BC,ED交AB于G,交BC延长线于F.若BG:GA=3:1,BC=10,则AE的长为_________.24.(2006•鄂州)如图,D为△ABC边AB上一点,要使AC2=AD•AB成立则需添加一个条件,这个条件可以是_________.25.(2006•长春)图中x=_________.26.(2004•芜湖)如图,已知CD是Rt△ABC的斜边上的高,其中AD=9cm,BD=4cm,那么CD等于_________ cm.三.解答题(共4小题)27.(2011•佛山)如图,D是△ABC的边AB上一点,连接CD,若AD=2,BD=4,∠ACD=∠B,求AC的长.28.(2011•眉山)如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于F.(1)求证:∠DCP=∠DAP;(2)若AB=2,DP:PB=1:2,且PA⊥BF,求对角线BD的长.29.(2011•济南)如图,点C为线段AB上任意一点(不与A、B重合),分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE,CA=CD,CB=CE,∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE,连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N,AE与BD交于点P,连接PC.(1)求证:△ACE≌△DCB;(2)请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由;(3)求证:∠APC=∠BPC.30.(2011•岳阳)如图1,将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开,得到△ABD和△ECF,固定△ABD,并把△ABD与△ECF叠放在一起.(1)操作:如图2,将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处,△ECF绕点F在BD边上方左右旋转,设旋转时FC交BA于点H(H点不与B点重合),FE交DA于点G(G点不与D点重合).求证:BH•GD=BF2(2)操作:如图3,△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动(F点不与B、D点重合),且CF始终经过点A,过点A作AG∥CE,交FE于点G,连接DG.探究:FD+DG=_________.请予证明.答案与评分标准一.选择题(共14小题)1.(2011•义乌市)如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形,连接CE交AD于点F,连接BD交CE于点G,连接BE.下列结论中:①CE=BD;②△ADC是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;④CD•AE=EF•CG;一定正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;平行四边形的性质。
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相似形(一)一、比例性质1.基本性质:bc ad dcb a =⇔=(两外项的积等于两内项积) 2.反比性质:cda b d c b a =⇔= (把比的前项、后项交换) 3.合比性质:ddc b b ad c b a ±=±⇒=(分子加(减)分母,分母不变) .4.等比性质:(分子分母分别相加,比值不变.)如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ,那么b a n f d b m ec a =++++++++ . 谈重点:(1)此性质的证明运用了“设k 法” ,这种方法是有关比例计算,变形中一种常用方法.(2)应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立. 5.黄金分割:○1内容 ○2尺规作图作一条线段的黄金分割点 经典例题回顾:例题1.已知a 、b 、c 是非零实数,且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++,求k 的值.例题2.已知111x y x y+=+,求y x x y +的值。
概念: 谈重点:⑴相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关. ⑵相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况.⑶我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的. ⑷若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形. 知识点二、平行线分线段成比例定理①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l 1∥l 2∥l 3。
②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
③定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
○4推论:如果一条直线平行于三角形的一条边,截其它两边(或其延长线),那么所截得的三角形与原三角形相似.推论○4的基本图形有三种情况,如图其符号语言:∵DE ∥BC ,∴△ABC ∽△ADE ; 知识点三、相似三角形的判定判定定理1:两角对应相等,两三角形相似. 符号语言:拓展延伸:(1)有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
(2)顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
【重难点高效突破】例题1.如图,直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ,由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗?请说明理由。
(用两种方法说明) 例题2.(射影定理)已知:如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D.求证:(1)2AB BD BC =⋅;(2)2AD BD CD =⋅;(3)CB CD AC ⋅=2例题3.如图,AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高,DE ⊥DF ,且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =吗?说说你的理由. 例题4.如图,在平行四边形ABCD 中,已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ,F 为AE 上一点,且∠BFE=∠C(1) 求证:△ABF ∽△EAD ;(2) 若AB=4,∠BAE=30°,求AE 的长; (3) 在(1)(2)条件下,若AD=3,求BF 的长。
【即时训练】一、选择题例题精讲AEDBCABCD ADCBF1.如图,△ABC 经平移得到△DEF ,AC 、DE 交于点G ,则图中共有相似三角形( ) A . 3对 B . 4对 C . 5对 D . 6对2.如图,已知DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列比例式中错误的是( ) A .AC AE AB AD = B . FB EA CF CE = C . BDAD BC DE = D . CB CF AB EF =.3.在矩形ABCD 中,E 、F 分别是CD 、BC 上的点,若∠AEF=90°,则一定有( ) A .ΔADE ∽ΔAEF B.ΔECF ∽ΔAEF C.ΔADE ∽ΔECF D.ΔAEF ∽ΔABF 4、如图,直线l 1∥l 2,AF ∶FB=2∶3,BC ∶CD=2∶1,则AE ∶EC 是( ) A.5∶2 B.4∶1 C.2∶1 D.3∶2(1题图) (2题图) (3题图) (4题图)5.如图,E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点,连结AE 交CD 于F ,则图中共有相似三角形( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对(5题图) (6题图) (7题图) ( 8题图) 6.ΔABC 中,DE ∥BC ,且AD ∶DB=2∶1,那么DE ∶BC 等于( ) A.2∶1 B.1∶2 C.2∶3 D.3∶27.如图,P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点,过点P 做直线截ΔABC ,使截得的三角形与ΔABC 相似,满足这样条件的直线共有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条8.如图,已知DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列比例式中错误的是( ) A.AC AE AB AD = B.FB EA CF CE = C.BD AD BC DE = D.CB CF AB EF =9.下列说法:其中正确的是( )①所有的等腰三角形都相似;②所有的等边三角形都相似; ③所有等腰直角三角形都相似;④所有的直角三角形都相似. A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 二、解答题1、如图,ΔABC 中,BD 是角平分线,过D 作DE ∥AB 交BC 于点E ,AB=5cm ,BE=3cm ,求EC 的长. 2.如图,在梯形ABCD 中,AD ⊥BC ,∠BAD=90°,对角线BD ⊥DC. (1)ΔABC 与ΔDCB 相似吗?请说明理由. (2)如果AD=4,BC=9,求BD 的长.3.已知:如图,在正方形ABCD 中,P 是BC 上的点,且BP=3PC , Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似?为什么?4.如图,已知AD 为△ABC 的角平分线,AD 的垂直平分线交BC 的延长线于点E ,DA BC交AB 与F ,试判定△BAE 与△ACE 是否相似,并说明理由。
5.如图,在矩形ABCD 中,AB=5cm ,BC=10cm ,动点P 在AB 边上由A 向B 作匀速运动,1分钟可到达B 点;动点Q 在BC 边上由B 向C 作匀速运动,1分钟可到达C 点,若P 、Q 两点同时出发,问经过多长时间,恰好有PQ ⊥BD ?6.已知:如图所示,D 是AC 上一点,BE ∥AC ,AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ,∠1=∠2.则BF 是FG 、EF 的比例中项吗?请说明理由.7.如图,CD 是Rt ΔABC 的斜边AB 上的高,∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F.AC •AE=AF •AB 吗?说明理由.8.如图,AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高,DE ⊥DF ,且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF吗?说说你的理由.相似形(二)板块二、新课讲解知识点1.相似三角形的判定判定定理(2):两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.判定定理(3):三边对应成比例,两三角形相似. 知识点2.直角三角形相似的判定 在直角三角形中,斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似. 知识点3. 相似三角形中的基本图形A 型,X 型 交错型 旋转型 母子形【重难点高效突破】例题1.如图在4×4的正方形方格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上. (1)填空:∠ABC=______,BC=_______. (2)判定△ABC 与△DEF 是否相似?并说明理由。
例题2. 如图,在△ABC 中,已知BD 、CE 是△ABC 的高,求证:△ADE ∽△ABC 。
例题3.如图,已知AB ⊥BD ,CD ⊥BD ,AB=6cm ,CD=4cm ,BD=14cm ,点P 在BD 上由B 点向D 点移动,当BP 等于多少时,△ABP 与△CPD 相似? 例题4.已知:如图,在△ABC 中,∠C =90°,P 是AB 上一点,且点P 不与点A 重合,过点P 作PE ⊥AB 交AC 于E ,点E 不与点C 重合,若AB =10,AC =8,设AP =x ,四边形PECB 的周长为y ,求y 与x 的函数关系式.例题精讲Q P DC B AA BDCP例题5.在三角形ABC 中,AB=AC ,AD ⊥BC 于点D ,DE ⊥AC 于点E ,M 为DE 的中点,AM 与BE 相交于点N ,延长AM 交BC 于点G ,AD 与BE 相交于点F , 求证:(1)DE AD =CECD;(2)△BCE ∽△ADM ; (3)AM ⊥BE.【随堂演练】 A 组1.下列命题中正确的是( )①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④2.如图,D 、E 分别是AB 、AC 上两点,CD 与BE 相交于点O ,下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是( )A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD ,AB=ACD. AD ∶AC=AE ∶AB3.如图,在正方形网格上有6个斜三角形:①ΔABC ,②ΔBCD ,③ΔBDE ,④ΔBFG ,⑤ΔFGH ,⑥ΔEFK.其中②~⑥中,与三角形①相似的是( )(A)②③④ (B)③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥ 4.如图,DE 与BC 不平行,当ACAB= 时,ΔABC 与ΔADE 相似。
5.如图,平行四边形 ABCD 中,AB=10,AD=6,E 是AD 的中点,在AB 上取一点F ,使△CBF•∽△CDE ,则BF 的长是( ).A .5B .8.2C .6.4D .1.8 (3题图) (4题图)(5题图)5.如图,四边形ABCD 是平行四边形,AE ⊥BC 于E ,AF ⊥CD 于F.(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗?说明理由. (2)ΔAEF 与ΔABC 相似吗?说说你的理由.6.已知:如图,在正方形ABCD 中,P 是BC 上的点,且BP=3PC ,Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似?为什么?7.如图,在正方形ABCD 中,E 为AD 的中点,EF ⊥EC 交AB 于F ,连接FC (),AE AB >△AEF ∽△EFC 吗若相似,请证明;若不相似,请说明理由。