2019-2020华中师大一附中数学中考试题(及答案)
湖北省武汉市华师一附中2019-2020学年高一下学期期中数学试题(解析版)
华师一附中2019-2020学年度下学期高一期中诚信检测数学试题Ⅰ卷（共16小题，满分80分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量(1,1)a =-r，(,3)b x =r 且a b ⊥r r ，则||a b +r r 的值为（ ） A.B.C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由a b ⊥r r可求出x 的值，从而可得到a b +r r 的坐标，然后可求出模.【详解】解：因为向量(1,1)a =-r ，(,3)b x =r 且a b ⊥r r，所以1(1)30x ⋅+-⨯=，解得3x =，所以(3,3)b =r ，所以(4,2)a b +=r r，所以||a b +=r r故选：D【点睛】此题考查向量的坐标运算，向量垂直，向量的模，属于基础题. 2.已知2(2),(1)(3)M a a N a a =-=+-，则,M N 的大小关系是（ ） A. M N > B. M N ≥ C. M N < D. M N ≤【答案】A 【解析】 【分析】通过作差得到M N -，根据判别式∆和开口方向可知0M N ->，从而得到结果. 【详解】()()()2221323M N a a a a a a -=--+-=-+4120∆=-< 2230a a ∴-+>，即M N >本题正确选项：A【点睛】本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差得到二次函数，根据判别式和开口方向得到符号. 3.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O '''，若1O B ''=，那么原ABO ∆的面积是( )A.12 B.2C.D.【答案】C 【解析】试题分析：由斜二测直观图还原原图形如图，因为边O ′B ′在x ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在x 轴上，且长度不变， O ′A ′在y ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在y 轴上，且长度增大到2倍，因O′B′=1，所以O ′A ′，则．则S △ABO =12OB ⨯OA=12考点：斜二测画法．4.已知等比数列{}n a 中，51183a a a =，数列{}n b 是等差数列，且68b a =，则48b b +=（ ） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可将51183a a a =转化为8283a a =，从而得83a =，所以63b =，再由等差数列的性质可求出48626b b b +==.【详解】解：因为数列{}n a 为等比数列，51183a a a =，所以8283a a =，解得83a =，因68b a =，所以63b =，因为数列{}n b 是等差数列， 所以48626b b b +==， 故选：B【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的性质，属于基础题.5.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos a B b A +=，1a =，b =则c =（ ）A.B. 1C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理将cos cos a B b A +=中的边转化为角，可得sin()A B +=，可求出角6C π=，再利用余弦定理可求得结果.【详解】解：因为cos cos 2cos a B b A C+=，所以正弦定理得，sin cos sin cos 2cos CA B B A C+=所以sin()A B +=sin C =因为sin 0C ≠，所以cos C =，又因为(0,)C π∈，所以6C π=，因为1a =，b =所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c = 故选：B【点睛】此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.6.《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知,,A B C 三人分配奖金的衰分比为10%，若A 分得奖金1000元，则,B C 所分得奖金分别为900元和810元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（ ） A. 20%，12800元 B. 10%，12800元 C. 20%，10240元 D. 10%，10240元【答案】A 【解析】 【分析】由题意得甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列{}n a ，设“衰分比”为m ，则数列的公比为1m -，而由题意可知1234135904032800a a a a a a +++=⎧⎨+=⎩，进而计算可得3,m a 的值.【详解】解：由题意设，甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列{}n a ，设“衰分比”为m ，则数列的公比为1m -，则有1234135904032800a a a a a a +++=⎧⎨+=⎩ 则有2426240a a +=，13(1)()26240m a a -+=， 解得 10.8m -=，则0.220%m ==， 因为1332800a a += 所以332328000.8a a +=，解得312800a = 的故选：A【点睛】此题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题. 7.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A. 1∶2 B. 1C. 1D.∶2【答案】C 【解析】 【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ＝∴其母线长l ＝r ＝∴S 侧＝πrl ＝πr 2＝S 底＝πr 故选C＝【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．8.在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且2BD DC =u u u r u u u r，若34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ=（ ） A. 54-B. 43-C. 45-D. 34-【答案】A 【解析】 【分析】可设AE xAC =u u u r u u u r，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出3(1)22x x BE AB AD =-++u u u r u u u r u u u r ，从而根据平面向量基本定理即可得出(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解出λ即可．【详解】解：如图，设AE xAC =u u u r u u u r，且2BD DC =u u u r u u u r，则：BE AE AB =-u u u r u u u r u u u rxAC AB =-u u u r u u u r ()x AD DC AB =+-u u u r u u u r u u u r 1()2x AD BD AB =+-u u u r u u u r u u u r ()2x xAD AD AB AB=+--u u u r u u u r u u u r u u u r 3(1)22xx AB AD =-++u u u r u u u r ，Q 34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ，∴(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得54λ=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题． 9.若正数a,b 满足a+b=2,则1411a b +++ 的最小值是( ) A. 1 B. 94C. 9D. 16【答案】B 【解析】 分析】 由2a b +=可得()()114a b +++=＝所以可得()()()411411411111411411411a b a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=++++=+++⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦＝由基本不等式可得结果. 【详解】∵2a b +=，∴()()114a b +++=，又∵0a >，0b >， ∴()()141141111411a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()411119145441144a b a b ⎡⎤++=+++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()41111a b a b ++=++， 即13a =，53b =时取等号,【1411a b +++ 的最小值是94,故选B.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10.对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=L （ ） A. 135 B. 141C. 149D. 155【答案】D 【解析】 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，所以当1n =时，得11a =，当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======L ,[]05911[][]3S S S ====L ,[]161724[][]4S S S ====L ,[]252635[][]5S S S ====L , []363740[][]6S S S ====L .所以[][][]1240S S S +++=L 13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 故选：D【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题. 11.已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I 为PC 上一点，满足BI BA =+u u v u u u vAC AP AC AP λ⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v (0)λ>，4PA PB -=u u u v u u u v ，10PA PB -=u u u v u u u v ，则BI BA BA ⋅u u v u u u v u u uv 的值为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合向量的运算法则可得点I 为三角形内切圆的圆心，结合三角形内切圆与边长关系的公式和向量的数量积运算公式整理计算即可确定BI BA BA⋅u u v u u u vu u u v 的值. 【详解】由BI BA u u v u u u v=+||||AC AP AC AP λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r (0)λ>可得||||AC AP AI AC AP λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u r u u u r u u u r ， 所以I 在∠BAP角平分线上，由此得I 是△ABP 的内心，过I 作IH ⊥AB 于H ，I 为圆心，IH 为半径，作△PAB 的内切圆，如图，分别切PA ，PB 于E ，F ，||||4,||10PA PB PA PB -=-=u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，则10AB =u u u r ，11||||(||||||)[||(||||)223 ]BH BF PB AB PA AB PA PB ==+-=--=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，在直角三角形BIH 中,||cos ||BH IBH BI ∠=u u u r u u r ， 所以||cos 3||BI BA BI IBH BH BA ⋅=∠==u u r u u u ru ur u u u r u u u r . 故选B.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，内切圆的性质，向量数量积的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.的12.设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N++=+∈且1300nS=，若23a <，则n 的最大值为（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52【答案】A 【解析】 【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n nS =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n=，因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====，所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+，2511151351413752S a a +⨯-=+=+，又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题纸上的相应位置.）13.设, , a b c 为实数，且0a b <<，则下列不等式正确的是______.（仅填写正确不等式的序号） ①11a b <；＝22ac bc <；＝b a a b >；④b a a b <；⑤2211a b< 【答案】④⑤ 【解析】 【分析】利用不等式的性质分别进行验证即可得答案. 【详解】因为, , a b c 为实数，且0a b <<， 对于①因为0a b <<，所以0ab > 所以a b ab ab <，即11b a<，所以①不正确； 对于＝当0c =时，结论不成立，所以＝不正确； 对于＝④因为0a b <<，所以22a b >因为0ab >，所以22a b ab ab>，即a b b a >，所以＝不正确，④正确； 对于⑤因为220a b >>，所以2211a b <，所以⑤正确 故答案为：④⑤【点睛】此题考查了不等式的基本性质及应用，考查了推理论证的能力，属于基础题.14.已知向量,a b r r 是平面内的一组基底，若m xa yb =+u r r r，则称有序实数对(,)x y 为向量m u r 在基底,a b r r下的坐标.给定一个平面向量p u r ，已知p u r 在基底,a b r r 下的坐标为(1,2)，那么p u r 在基底a b -r r，a b +r r 下的坐标为______. 【答案】13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题可知2p a b =+u r r r ，若将a b -r r，a b +r r 作为基底，则设()()p m a b n a b =-++u r r r r r ，然后展开化简得，()()p m n a n m b =++-u r r r ，从而得12m n n m +=⎧⎨-=⎩，解出,m n 的值就得到所求的坐标【详解】解：由p u r 在基底,a b r r 下的坐标为(1,2)，得2p a b =+u r r r ，设p u r 在基底a b -r r ，a b +r r 下的坐标为(,)m n ，则()()p m a b n a b =-++u r r r r r所以()()p m n a n m b =++-u r r r所以12m n n m +=⎧⎨-=⎩解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以p u r 在基底a b -r r ，a b +r r 下的坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】此题考查的平面向量基本定理及应用，属于基础题15.已知函数()1ee xf x x =+（e 是自然对数的底数），设(),2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4039S 的值是______. 【答案】40392【解析】【分析】由题意可得， 1()11()111()e e e x f x x x==++，且11(1)112f ==+，进而可得1()()1f x f x+=，结合数列的通项公式可得4039111(1)(2)(2020)()()()202020192f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++， 从而可得答案.【详解】根据题意，因为()1e ex f x x =+，所以1()11()111()e e e x f x x x==++，11(1)112f ==+， 所以1()()1f x f x+=， 因为(),2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩ 所以4039111(1)(2)(2020)()()()202020192f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++ 14039201922=+= 故答案为：40392 【点睛】此题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析1()()1f x f x+=，属于中档题. 16.如图，在平面四边形ABCD 中，135A ∠=︒，75B C ∠=∠=︒，2BC =，则CD 的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】如图，延长,BA CD 交于点E ，设1,,,22AD x DE x AE x AB m ====，求出+x m CD 的取值范围. 【详解】解：如图，延长,BA CD 交于点E ，则在ADE ∆中，105,45,30ADE DAE E ∠=︒∠=︒∠=︒,所以设1,,,224AD x DE x AE x AB m ====， 因为2BC =，所以()sin1514x m +︒=，+x m 所以04x <<，因为CD x m x x =+-=，所以CD 的取值范围为，故答案为：【点睛】此题考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题.Ⅱ卷（共6小题，满分70分）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸上的相应位置.）17.已知向量3x ka b =-r r r 和y a b =+u r r r ，其中(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，k ∈R（1）当k 为何值时，有x r 、y u r平行； （2）若向量x r 与y u r 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围.【答案】（1）3k =-，（2）112k <且3k ≠- 【解析】【分析】（1）根据题意，设x t y =r u r ，则有3()ka b t a b -=+r r r r ，再结合(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，可求出k 的值；（2）根据题意，若向量x r 与y u r 的夹角为钝角，则有0x y ⋅<r u r，由数量积的计算公式可得3(12)5(36)0x y k k ⋅=--+-<r u r ，再结合向量不共线分析可得答案.【详解】解：（1）因为x r 、y u r 平行，所以设x t y =r u r ，所以3()ka b t a b -=+r r r r ，即()(3)k t a t b -=+r r因为(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，得a r 与b r不共线，所以30k t t -=+=，得3k =-， （2）因为向量x r 与y u r 的夹角为钝角，所以0x y ⋅<r u r ，因为向量3x ka b =-r r r 和y a b =+u r r r ，其中(1,3)a =-r ，(4,2)b =r所以(12,36)x k k =---r ，(3,5)y =u r ，所以 3(12)5(36)0k k --+-<，解得112k <， 又因为向量x r 与y u r 不共线，所以由（1）可知3k ≠- 所以112k <且3k ≠- 【点睛】此题考查向量的数量积运算，涉及向量平行的判定，关键是掌握向量数量积与向量夹角的关系，属于中档题.18.在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，1421n n n a b a n +=-+-，*1421,n n n b a b n n N +=--+∈.等差数列{}n c 的前两项依次为23,a b .（1）求{}n c 的通项公式；（2）求数列(){}n n n a b c +的前n 项和n S .【答案】（1）73n c n =-，（2）(1413)3132n n n S -+= 【解析】【分析】（1）由已知递推式可得23,a b ，即为12,c c ，由等差数列的定义可得公差，从而得到所求的通项公式；（2）由1421n n n a b a n +=-+-，1421n n n b a b n +=--+，.两式相加，结合等比数列的定义可得n n a b +，从而可得数列(){}n n n a b c +的通项公式，再由数列的错位相减法求和即可【详解】解：（1）因为111a b ==，1421n n n a b a n +=-+-，*1421,n n n b a b n n N +=--+∈，可得21142114a b a =-+⨯-=，21142112b a b =--⨯+=，所以322422111b a b =--⨯+=，所以124,11c c ==，等差数列{}n c 的公差为7所以47(1)73n c n n =+-=-（2）因为1421n n n a b a n +=-+-，1421n n n b a b n +=--+，所以两式相加得，113()n n n n a b a b +++=+，所以数列{}n n a b +是以3为公比，2为首项的等比数列，所以123n n n a b -=⨯+，所以11)23(73)(1)3(46n n n n n c n n a b --=⨯⨯-=-⨯+，所以0122183223363(1420)3(146)3n n n n n S --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，123183223363(1420)3(14633)n n n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得，123181431431431432(146)3n n n n S -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯-1231814(3333)(146)3n n n -=++++⋅⋅⋅+--⨯13(1413)3n n =--- 所以(1413)3132n n n S -+= 【点睛】此题考查等差数列的通项公式和等比数列的定义和通项公式，求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题19.如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M 的正南方向的P 点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60︒方向行驶后到达点Q ，在点Q 处测得乙山山顶B 的仰角为θ，且BQA θ∠=，经计算，tan 2θ=，若甲、乙山高分别为100m 、200m ，求两山山顶,A B 之间的距离.【答案】【解析】【分析】先在Rt AMP ∆中，利用已知条件求得PM ，进而连接QM ，在PQM ∆中，60QPM ∠=︒，求得PQ ，可推断出PQM ∆为等边三角形，进而求出QM ，从而在Rt AMQ ∆中利用勾股定理求得AQ ，Rt BNQ ∆中，利用tan 2θ=，200BN =，求得BQ ，最后在BQA ∆中，利用余弦定理求得BA【详解】解：在Rt AMP ∆中，30,100APM AM ∠=︒=，所以PM =连接QM ，在PQM ∆中，60QPM ∠=︒，PQ =，所以PQM ∆为等边三角形，所以QM =在Rt AMQ ∆中，由222AQ AM QM =+，得200AQ =，在Rt BNQ ∆中，tan 2θ=，200BN =，得BQ =在BQA ∆中，22222cos BA BQ AQ BQ AQ θ=+=⋅=所以BA =【点睛】此题考查了解三角形的实际应用，考查了学生解决实际际问题的能力，属于中档题20.已知ABC V 的内角、、A B C 所对应的边分别为a b c 、、，(sin sin )1R A B +=（其中R 为ABC V 的外接圆的半径）且ABC V 的面积22()S c a b =--.（1）求tan C 的值；（2）求ABC V 的面积S 的最大值.【答案】（1）815，（2）417【解析】【分析】 （1）利用三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式可得，（2）利用正弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质即可得出【详解】解：（1）因为22()S c a b =--， 所以2221sin 222cos 2ab C c a b ab ab ab C =--+=-， 所以1sin 2(1cos )2C C =- 2sin cos 4sin 222C C C =， 因为sin 02C ≠，所以cos 4sin 22C C =， 所以1tan 24C =， 所以22tan 82tan 151tan 2CC C ==- （2）因为(sin sin )1R A B +=，所以由正弦定理得，2a b +=， 由8tan 15C =，得8sin 17C =， 所以21444sin 21717217a b S ab C ab +⎛⎫==≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，取等号， 所以ABC V 的面积S 的最大值为417【点睛】此题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式、正弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.如图，在△ABC 中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求|AB u u u v |；（2）已知点D 是AB 上一点，满足AD uuu v =λAB u u u v ，点E 是边CB 上一点，满足BE u u u v =λBC uuu v ．①当λ=12时，求AE u u u v •CD uuu v ； ②是否存在非零实数λ，使得AE u u u v ⊥CD uuu v ？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【答案】（1（2）①14② 23 【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出AB 的长即得|AB u u u v |；（2）①12λ= 时，D E 、分别是BC AB ，的中点，表示出AE u u u v ，CD uuu v ，利用向量的数量积计算即可； ②假设存在非零实数λ，使得AE u u u v ⊥CD uuu v ，利用 C B CA u u u v u u u v 、分别表示出CD uuu r 和 AE u u u v ，求出 0AE CD ⋅=u u u v u u u v 时的λ值即可．【详解】（1）AB CB CA =-u u u v u u u v Q u u u v 且22=4=1=21cos60=1CB CA CB CA ⋅⨯⨯o u u u v u u u v u u u v u u u v ，，AB CB CA ∴=-==u u u v u u u v u u u v （2）①λ=时， =， =， ⊥D 、E 分别是BC ，AB 的中点，⊥=+=+，=（+）， ⊥•=（+）•（+） =•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22 =； ②假设存在非零实数λ，使得⊥， 由=λ，得=λ（﹣），⊥=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）； 又=λ， ⊥=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣； ⊥•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=23或λ=0（不合题意，舍去）； 即存在非零实数λ=23，使得⊥． 【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．22.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =.（1）若23a =，3a x =，46a =，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++L ，1133n n S S S +≤≤，*n N ∈，求q 的取值范围； （3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且122020k a a a ++⋯+=，求正整数k 的最大值.【答案】（1）92x ≤≤，（2）123q ≤≤，（3）4039 【解析】【分析】（1）由题意得232133a a a ≤≤，又343133a a a ≤≤，将已知代入可求出x 的范围；（2）先求出通项1n n a q -=，由121133a a a ≤≤求出133q ≤≤，对q 分类讨论求出n S ，分别代入不等式1133n n n S S S +≤≤，得到关于q 的不等式组，解不等式组求出q 的范围；（3）由题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时12,,,k a a a L 的公差【详解】解：（1）由题意得，232133a a a ≤≤，所以19x ≤≤， 又因为343133a a a ≤≤，所以1633x x ≤≤，得218x ≤≤， 综上所述，92x ≤≤（2）由已知得，1n n a q-=，121133a a a ≤≤ 所以133q ≤≤， 当1q =时，n S n =，1133n n n S S S +≤≤，即1133n n n ≤+≤，成立， 当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---⋅≤≤⋅---， 111331n n q q +-≤≤-，得11320320n n n n q q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩， 因为1q >，故132(31)2220n n n n qq q q q +--=-->->， 对于不等式1320n n q q +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤， 解得12q ≤≤，又当12q ≤≤，30q -<，所以132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立 所以12q <≤， 当113q ≤<时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤， 即1111133111n n nq q q q q q+---⋅≤≤⋅---， 所以11320320n n n n q q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩， 因为310,30q q ->-<，所以132(31)2220n n n n q q q q q +--=--<-<，132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=-->， 所以当113q ≤<时，不等式恒成立， 综上所述，q 的取值范围为123q ≤≤ （3）设12,,,k a a a L 的公差为d ，由1133n n n a a a +≤≤，且11a =， 得1[1(1)]13[1(1)],1,2,3,,13n d nd n d n k +-≤+≤+-=⋅⋅⋅-， 即(21)2,1,2,,1(23)2n d n k n d +≥-⎧=⋅⋅⋅-⎨-≥-⎩， 当1n =时，223d -≤≤， 当2,,1n k =⋅⋅⋅-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+， 所以22213d k -≥≥--， 所以1(1)(1)220202221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-， 即2404020200k k -+≤，得4039k ≤，所以k 的最大值为4039【点睛】此题考查等比数列的通项公式及前n 项和的求法，考查不等式组的解法，属于难题。
湖北省华中师范大学第一附属中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析
华中师大一附中2019—2020学年度下学期高二期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）1.甲、乙、丙、丁四人站成一排照相，满足甲乙相邻且甲不在最左边的站法有（）A. 9种B. 10种C. 11种D. 12种【答案】B【解析】【分析】根据甲乙相邻，可将甲乙视为一组，再和另外两人一同排列，要注意甲不在最左边，故还要分成甲在乙左或乙在甲左两种情况.【详解】将甲乙绑定，分甲在乙左或乙在甲左两种情况.若甲在乙左，则甲乙、丙、丁三组站成一排，甲乙不能站最左，故有两种选择，丙、丁随意，故一共有种站法.若乙在甲左，则甲乙、丙、丁三组站成一排，甲乙、丙、丁三组随意站，故一共有种站法.故共有种站法.故选：【点睛】本题考查基本的分类加法计数原理，利用了捆绑法，属于基础题.2.对于给定的样本点所建立的回归模型和模型，它们的残差平方和分别是、，相关指数的值分别是、，下列说法正确的是（）A. 若，则，的拟合效果更好B. 若，则，的拟合效果更好C. 若，则，的拟合效果更好D. 若，则，的拟合效果更好【答案】A【解析】【分析】根据残差平方和以及相关指数的定义进行判断即得.【详解】比较两个模型的拟合效果时，如果模型残差平方和越小，则相应的相关指数越大，该模型拟合的效果越好.若，则，的拟合效果更好.故正确.故选：【点睛】本题考查残差平方和以及相关指数的定义，是基础题. 3.圆的以为中点的弦所在直线方程为（ ） A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 由弦的中点是，根据垂径定理可知垂直于此弦，再由的斜率可求得此弦斜率，利用点斜式即得方程. 【详解】设以为中点的弦交圆于两点，由题意，由垂径定理知.而，故.则以为中点的弦所在直线方程为：，整理得：.故选：【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题. 4.设随机变量，若，则（ ）A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】D 【解析】 【分析】根据已知，利用，可得，即得.【详解】随机变量服从正态分布，且正态曲线的对称轴是：，由，可得，则.故选：【点睛】本题考查正态分布曲线的性质，属于基础题. 5.已知可导函数满足，则（ ）A. -3B. -2C. -1D. 2【答案】A【解析】【分析】等式两边求导得出的等量关系，可得的值，再计算即得的值.【详解】由题得，函数可导，可得，代入得：，则，那么，则. 故选：【点睛】本题考查导数的计算，属于基础题.6.已知关于x的方程有实根，则（）A. 2B. 4C. 3D. 9 【答案】B【解析】【分析】复数等于零，等价于实部和虚部都等于零.据此列出实部和虚部的两个方程，解出. 【详解】方程有实根，存在实数使得等式成立.故，解得：，故.故选：【点睛】本题考查复数的基本概念，属于基础题.7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 2π＋2B. 4π＋2C. 2π＋D. 4π＋【答案】C【解析】【详解】试题分析：由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是，侧棱长，高是，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是，高是，所以组合体的体积是，故选C.考点：几何体的三视图及体积的计算.【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及其体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱锥、下面是一个圆柱组成的组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于基础题.8.设，，且，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知，，那么等价于，即，并且，，则等价于，即，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得.【详解】由题得，，，故等价于，即. 又，，故等价于，即.若，因为，说明，且，故，故有.若，则，若，则自然有，则，故即.若，则，又因为，，即.若，则与矛盾，故，若，则自然有，若，则由知，即.所以是充要条件.故选：【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.9.已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且线段MN中点在抛物线上，则实数m的值为（）A. -3B. 0或-3C. -4D. 0或1 【答案】B【解析】【分析】根据两点在双曲线上，且关于直线对称，可由表示出的中点坐标，再由中点在抛物线上，计算即得.【详解】由题得，直线的斜率，设点的横坐标分别为，的中点在上，设直线：，由点在上，可得，则，由消元得，则有，即，，故的中点，又线段中点在抛物线上，可得，解得或. 故选：【点睛】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查对称性，以及抛物线的性质，解题关键是确定的中点的坐标.10.现有甲、乙、丙、丁、戌5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A. 234B. 152C. 126D. 108【答案】C 【解析】 【分析】分情况进行讨论，先计算“甲乙一起参加除了开车的三项工作之一”有多少种情况，再计算“甲和乙分别承担一份工作，丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作”和“甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作”的情况，相加即得.【详解】由题，分情况讨论，甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：种；甲乙不同时参加一项工作，又分为两种情况：①甲和乙分别承担一份工作，丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有：种；②甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：种.由分类计数原理，可得共有种.故选：【点睛】本题考查计数原理，考查学生的逻辑推理能力.11.如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为，，M 是它们的一个公共点，且，设它们的离心率分别为，，则（ ）A. 1B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴为，半焦距为，双曲线的实半轴为，半焦距为，利用余弦定理有，由椭圆和双曲线的定义可知，，，即得和，消去，再根据离心率公式和基本不等式计算即得.【详解】设椭圆的长半轴为，半焦距为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由余弦定理得，则有，，消去，可得，则有，即，当且仅当时取等号，故.故选：【点睛】本题主要考查双曲线和椭圆的性质，以及离心率，利用了余弦定理和基本不等式，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上）12.2020年华中师大一附中将迎来70周年校庆，学校安排5位男老师和3为女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取4位老师主持晚会，若抽取的4位老师是两男两女，则称主持人为“快乐搭档”.在已经抽取一位女老师担任主持人的条件下，最后确定的主持人是“快乐搭档”的概率为________.【答案】【解析】【分析】已经抽取一位女老师，那么要组成“快乐搭档”还需从剩余位女老师中抽取位，从位男老师中抽取位，根据概率公式计算即得.【详解】在已经抽取一位女老师担任主持人的条件下，还需抽取一位女老师和两位男老师才能形成“快乐搭档”，即需要从剩余位女老师中抽取位，从位男老师中抽取位，故所求概率.故答案为：【点睛】本题考查古典概型，是基础题.13.已知点，点B是圆上的动点，线段AB的垂直平分线交线段BC 于点P，则动点P的轨迹方程是________.【答案】【解析】【分析】连接，根据题意可知，可得，利用椭圆的定义判断点的轨迹，是以为焦点的椭圆，求出的值，即得椭圆的方程.【详解】由题得，圆心，半径等于，连接，则，，故点的轨迹是：以为焦点的椭圆，，即，，又点在轴上，动点P 的轨迹方程是.故答案为：【点睛】本题考查由椭圆的定义求动点的轨迹方程，是常考题型. 14.展开式中项的系数为______． 【答案】【解析】 试题分析：的展开式的通项公式为，对于通项公式为，令得．的展开式系数为．考点：二项式定理的应用.【方法点晴】本题主要考查了二项式定理的应用、二项展开式的系数问题，其中先把话为，得到其通项，则对得通项，可得或，即可得到的系数，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题． 15.已知，若曲线在点处的切线的斜率为-1，则________；当时，与曲线和曲线都相切的直线的方程是________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】先求导可得，再由可得的值；当时，可得，设直线与曲线和曲线的切点分别为，，根据切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，以及利用两个切点表示出切线斜率，可得方程组，从而解出切点坐标，即得.【详解】由题得，函数的导数为，由曲线在点处的切线的斜率为，可得，解得.当时，所以，设直线与曲线和曲线的切点分别为，，则切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，又，，则有，解得，，故切点为，切线斜率，可得切线方程为，即.故答案为：，【点睛】本题考查根据导数的几何意义求参数，以及求与两个曲线都相切的直线方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上）16.设集合的所有元素的和为z，且. （1）求的值；（2）设，求事件“”的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先表示出集合的所有元素和，再由，可解得的值，再代入，根据复数的运算法则和求复数模的公式计算即得；（2）先计算从个元素中取出两个元素的方法，再确定其中乘积为实数的个数，计算即得.【详解】（1）由题得，，又，则，可得，即，那么.（2）由（1）得，，从个元素中取出两个元素的方法有种，其中乘积为实数的为，共有种情形，故.【点睛】本题考查共轭复数的概念，复数的四则运算和复数的模，以及古典概型，属于基础题.17.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m 不超过m 总计第一种生产方式第二种生产方式总计（2）根据（1）中的列联表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】（1）见详解（2）有【解析】【分析】（1）根据茎叶图可知，排在中间的两个数据是和，可得中位数，进而填写列联表；（2）由公式和列联表数据计算，再查表得出结论.【详解】（1）这名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是和，计算它们的中位数为，由此填写列联表如下：超过m 不超过m 总计第一种生产方式第二种生产方式总计（2）根据（1）中的列联表，可得的观测值：，故能有的把握认为两种生产方式的效率有差异. 【点睛】本题考查中位数的定义，通过茎叶图完成列联表，以及独立性检验，是常考题型.18.已知点，，C是抛物线上的动点.（1）求周长的最小值；（2）若C位于直线AB右下方，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）过作抛物线准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，那么周长即为，为定值，则共线时周长最小，即得；（2）作与直线平行的直线，到直线的距离就是边上的高，且点在抛物线上，则当与抛物线相切时，面积的最大，设点，由抛物线在点处的切线斜率与直线的斜率相同，可得，即得点坐标，利用点到直线的距离公式，以及边的长度，由公式计算即得.【详解】（1）过作抛物线准线的垂线，垂足为，如图1所示，抛物线焦点，，又为常数，共线时，周长最小，，周长最小值为.（2）作与直线平行的直线，如图所示，当与抛物线相切时，切点使得面积最大，此时到直线的距离就是边上的高，设切点，由得，，即，切点的坐标为，点到的距离为，的最大值为，即面积最大值为.【点睛】本题考查抛物线的定义，以及直线和抛物线的位置关系，难度不大.19.已知的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为（1）求展开式中有理项的个数；（2）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据二项式系数和的性质，以及二项式系数和为，可得，解出，再由通项公式，，分析即得；（2）根据各项系数的和均为，可得，解出或，再由通项公式分情况进行计算即得.先通过二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为求出.【详解】（1）的二项展开式的各二项式系数的和为，各项系数的和为，由已知得，故此时展开式的通项为：，，当时，该项为有理项，故有理项的个数为.（2）由，得或当时，展开式通项为，，故二项式系数最大时系数最大，即第项系数最大，即系数最大的项为；当时，，，展开式系数最大的项是奇数项，其中，，，，，故展开式中系数最大的项为第项，即系数最大的项为.综上，展开式中系数最大的项为或.【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通项公式的应用，要注意二项式系数与各项的系数的区别，考查分析计算能力，属于中档题.20.湖北省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法．．．．．．分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：等A B C D E级比15% 35% 35% 13% 2%例赋分区间而等比例转换法．．．．．．是通过公式计算：，其中、分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为、时，等级分分别为、，假设小明同学的生物考试成绩信息如下表：考试科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间生物75分B等级设小明转换后的等级成绩为T，根据公式得：，所以（四舍五入取整），小明最终生物等级成绩为77分.已知某学校学生有60人选了政治，以期中考试成绩为原始成绩转换该学校选政治的学生的政治等级成绩，其中政治成绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表：成绩90 868180 7978 75人数1 2 1 1 2 1 1（1）从政治成绩获得A等级的学生中任取3名，求至少有2名同学的等级成绩不小于93分的概率；（2）从政治成绩获得A等级的学生中任取4名，设4名学生中等级成绩不小于93分人数为，求的分布列和期望.【答案】（1）（2）见详解【解析】【分析】（1）根据已知可得，等级的学生原始分区间的最低和最高分为和，等级分区间的最低和最高分为和，设政治成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为，利用转换公式可得，由等级成绩不小于，可求出原始成绩，对照原始成绩表，再计算概率即得；（2）由（1）知等级成绩不小于分人数为人，获得等级的学生有人，可得的可能取值为，计算出对应的概率，可得分布列，再由期望的计算公式，即得.【详解】（1）设政治成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为，由转换公式得，即，则，解得.根据成绩统计表显示满足的同学只有人，获得等级的学生有人，故从政治成绩获得等级的学生中任取名，至少有名同学的成绩不小于分的概率为.（2）由题意，等级成绩不小于分人数为人，获得等级的学生有人，的可能取值为，则，，，，所以的分布列为：则的期望为：.【点睛】本题综合考查概率和离散型随机变量的分布列，以及求期望，考查分析计算能力，属于中档题.21.已知圆的任意一条切线l与椭圆都有两个不同交点A，B（O是坐标原点）（1）求圆O半径r的取值范围；（2）是否存在圆O，使得恒成立？若存在，求出圆O的方程及的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）见详解【解析】【分析】（1）圆的中心是原点，椭圆的短半轴长为，根据圆和椭圆的位置关系分析即得；（2）当圆的切线的斜率存在时，设，圆的切线为，与联立，可得，根据韦达定理和，可得和的关系式，再由圆心到切线的距离等于半径，可得，解出，即得；当切线斜率不存在时，可得上述圆的切线，进而求出切点，验证满足即可，故使得恒成立的圆存在；当切线斜率存在且不等于时，则有，由韦达定理和基本不等式可得的最大值，当切线斜率不存在或等于时，可知的值，选两者中的最大值，再由，计算即得.【详解】（1）当时，圆在椭圆内部，切点在椭圆内，圆的每一条切线都过椭圆内部的点，切线与椭圆总有两个不同交点，满足题意；当时，圆的切线和都和椭圆最多只有一个公共点，不满足题意；故的取值范围是.（2）当圆的切线的斜率存在时，设圆的切线为，设，由消去得：，则，，则，由得，即，，又由与圆相切得，即，解得，此时圆的方程为.当切线斜率不存在时，上述圆的切线为或，这两条切线与椭圆的交点为，或，，也满足，故满足条件的圆存在，其方程为.当切线斜率存在且不等于时，因为，当且仅当时取等号；当切线斜率不存在或等于时，，则，又，故，则.【点睛】本题通过圆和椭圆的位置关系综合考查直线和椭圆的位置关系，考查分析和计算能力，是一道综合性的题目，有一定难度.。
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高三(上)期中数学试卷(文科)(PDF版 含解析)
∴A∩B＝{﹣2，2}＝P，
∴集合 P 的子集个数为 22＝4 个．
故选：B．
3．下列命题错误的是（ ）
A．命题“若 x2﹣4x+3＝0，则 x＝3”的逆否命题为“若 x≠3，则 x2﹣4x+3≠0”
B．命题“∀∈R，x2﹣x+2＞0”的否定是“∃x0∈R，x2﹣x+2＞0”
C．若“p 且 q”为真命题，则 p，q 均为真命题
-2-
tanx•f'（x），f（ ）＝1，（e 为自然对数的底数），则不等式 f（x）＜2sinx 的解集是（ ）
A．（0， ）
B．（0， ）
C．（ ， ）
D．（ ， ）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．若幂函数 g（x）＝（m2﹣m﹣1）xm 在（0，+∞）上为增函数，则实数 m 的值为
A．
B．4
C． o
D． o
【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：
底面为边长为 2 的正方形，四个侧面为边长为 2 的等边三角形．
故：Sa
o
故选：D．
a4+4 ．
5．已知 cos（αo ）a ，则 sin2α＝（ ）
A．
B．
C．t
D．t
【解答】解：∵cos（αo ）a ，
则 sin2α＝﹣cos o at
子集个数为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
3．下列命题错误的是（ ）
A．命题“若 x2﹣4x+3＝0，则 x＝3”的逆否命题为“若 x≠3，则 x2﹣4x+3≠0”
B．命题“∀∈R，x2﹣x+2＞0”的否定是“∃x0∈R，x2﹣x+2＞0”
2020年武汉市华师一附中七年级下学期期中考试数学试卷
华师一附中初中部2019——2020年度七年级下学期数学期中考试试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列式子中错误的是（）A ．B ．（±0.2）2＝0.04C．D ．|﹣2|3＝﹣|2|32．若a ＞b ，则下列不等式变形正确的是（）A．a+5＜b+5B．33a b<C ．﹣4a ＞﹣4b D ．3a ﹣2＞3b ﹣23．在实数、0.、、0.202020、中，属于无理数的有（）个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为O ，∠EOD=30°，则∠BOC=（）A ．150° B.140° C.130°D .120°第5题第6题5．如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（）A ．B ．C ．D ．6.已知P （2﹣x ，3x ﹣4）到两坐标轴的距离相等，则x 的值为（）A ．B ．﹣1C ．或﹣1D ．或17．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设木长x 尺，绳长y尺，则可列二元一次方程组为（）A ．⎪⎩⎪⎨⎧=-=-1215.4y x x y B.⎪⎩⎪⎨⎧=-=-1215.4y x y xC ．⎪⎩⎪⎨⎧=-=-1215.4x y y x D ．⎪⎩⎪⎨⎧=-=-1215.4x y x y 8.下列说法正确的个数是()①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三条直线两两相交，总有三个交点.A.3个 B.2个 C.1个 D.0个如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0），点A 第一次向左跳动至A 1（﹣1，1），第二次向右跳动至A 2（2，1），第三次向左跳动至A 3（﹣2，2），第四次向右跳动至A 4（3，2）…依照此规律跳动下去，点A 第124次跳动至A 124的坐标（）A ．（63，62）B ．（62，61）C ．（﹣62，61）D ．（124，123）10．如图，AB ∥CD ，∠DCE 的角平分线CG 的反向延长线和∠ABE 的角平分线BF 交于点F ，∠E ﹣∠F ＝36°，则∠E ＝（)A.82°B.84°C.97°D.90°二、填空题（每小题3分，共18分）11、➖的立方根是12、若不等式5(2)86(1)7x x -+<-+的最小整数解是方程33=-ax x 的解，则a 的值为______________。
湖北省华中师范大学第一附属中学2020届高三数学上学期期中试题理(扫描版)
华中师大一附中2019—2020学年度上学期期中考试高三年级数学（理科）答案选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知集合，，则的子集个数为（ B ）A. 2 B．4 C．6 D．82.设命题：，，则为（ D ）A．B．C．D．3.若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ B ）A. B. 2 C.D.4. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。
问两鼠在第几天相遇？（ B ）A. 第2天B.第3天C.第4天D.第5天5. 已知变量,满足约束条件，则的最小值为（ A ）A.1B.2C.3D.66. 已知等差数列的前项和满足且的最大项为，，则（ D ）A. 20B.22C.24D.267. 右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论①②与所成的角为③||④二面角的大小为其中正确的个数是（ C ）A.1B.2C.3D. 48. 已知中，，为中点，若，则的值为（ C ）A. 2B. 6C. 8D.109. 若，，，则的大小关系为（ A ）A. B. C. D.10. 已知函数的部分图像如右图所示，且，则的值为（ C ）A. B. C. D.11. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ D ）A. B. C. D.12. 已知，若对于任意的，均有成立，则实数a的最小值为（ B ）A. B.1 C. D. 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13. 曲线在点处的切线方程为14. 已知，则15. 已知的内角的对边分别为.若，的面积为，则面积的最大值为16. 已知的外接圆圆心为O，，，若有最小值，则参数的取值范围是三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17. （本小题满分12分）已知的内角的对边分别为，（1）求角C （2）BM平分角B交AC于点M，且，求解：（1）由题……………………..2分又…………………4分（2）记，则，在中，，在中，，即………………..10分即或（舍）……….……….12分18. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，，（1）证明：数列为等差数列（2）若数列满足，求数列的前项和解：（1）时，…………………2分即同除以得为等差数列，首项为1，公差为1 …………………6分（2）由（1）知…………………..8分 (10)分………..12分19. （本小题满分12分）已知函数（1）求函数的最大值并指出取最大值时的取值集合（2）若为锐角，，求的值解：（1）………..2分令得所以最大值为2，此时的取值集合为…………………..4分（2）由为锐角，得…………………6分又………………..8分………………10分………………12分（说明：若不利用三角函数值压缩的范围而直接得出正确答案的或者得出两个答案的，扣2分）20. （本小题满分12分）已知四棱锥的底面是直角梯形，||，，为的中点，（1）证明:平面平面（2）若，与平面所成的角为，试问“在侧面内是否存在一点，使得平面？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由角梯形, AB=，BC=2AD=2，解（1）证明:由四边形ABCD是直AB⊥BC，可得DC=2,∠BCD=，从而△BCD是等边三角形,BD=2,BD平分∠ADC.∵E为CD的中点,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE⊂平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD. ……………….4分(2) 在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接OC,又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,∴PO⊥平面ABCD∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角, 则∠PCO=…………………….6分∴易得OP=OC=∵PB=PD,PO⊥BD,∴O为BD的中点,∴OC⊥BD.以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),P(0,0,),假设在侧面内存在点，使得平面成立，设，易得……………………8分由得，满足题意……………………10分所以N点到平面ABCD的距离为………………….12分（说明：若没有说明或者用其它方法解答但没有说明点N在侧面上，扣2分）21. （本小题满分12分）（1）已知，证明：当时，（2）证明：当时，有最小值，记最小值为，求的值域解：（1）证明：在上单增时，即时，……………………4分（2）由在上单增且知存在唯一的实数，使得，即单减；单增，满足……………………..8分…….10分记，则在上单减所以的值域为 (12)分22. （本小题满分10分）已知函数（1）解不等式（2）若函数最小值为，且，求的最小值解：（1）当时，，无解当时，，得当时，，得所以不等式解集为………………..5分（2）当且仅当时取等当且仅当时取等所以当时，最小值为4，即，……………7分所以所以当且仅当且即时取“=”所以最小值为…………….10分。
湖北省武汉市华中师大一附中2019-2020学年中考数学模拟试卷
湖北省武汉市华中师大一附中2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，tanB ＝2，以AB 的中点D 为圆心，r 为半径作⊙D ，如果点B 在⊙D 内，点C 在⊙D 外，那么r 可以取（ ）A.2B.3C.4D.52．在平面直角坐标系中，P 点关于原点的对称点为P 1（-3，-83），P 点关于x 轴的对称点为P 2（a ，b （ ） A ．-2B ．2C ．4D ．-43．如图所示，点A 是双曲线y=1x（x ＞0）上的一动点，过A 作AC ⊥y 轴，垂足为点C ，作AC 的垂直平分线双曲线于点B ，交x 轴于点D ．当点A 在双曲线上从左到右运动时，四边形ABCD 的面积（ ）A ．不变B ．逐渐变小C ．由大变小再由小变大D ．由小变大再由大变小4．如图，已知点M 为平行四边形ABCD 边AB 的中点，线段CM 交BD 于点E ，S △BEM ＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．5B ．4C ．8D ．65．已知四边形的对角线相交于点，，则下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是( )A.B.C.D.6．有一组数据：1，2，2，5，6，8，这组数据的中位数是( )A ．2B ．2.5C ．3.5D ．57．将抛物线C ：y=x 2-2mx 向右平移5个单位后得到抛物线C′，若抛物线C 与C′关于直线x=-1对称，则m 的值为（ ） A ．7-B ．7C ．72D ．72-8．下列说法①﹣5的绝对值是5；②﹣1的相反数是1；③0的倒数是0；④64的立方根是±4，⑤13是无理数，⑥4的算术平方根是2，其中正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准降低了a 元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b 元，则原收费标准每分钟为（ ） A ．4()3b a -元B ．4()3b a +元C ．5()4b a -元D ．5()4b a +元10．已知，平面直角坐标系中，在直线y ＝3上有A 、B 、C 、D 、E 五个点，下列说法错误是（ ）A ．五个点的横坐标的方差是2B ．五个点的横坐标的平均数是3C ．五个点的纵坐标的方差是2D ．五个点的纵坐标的平均数是311．如图，在等边三角形ABC 中，AE ＝CD ，CE 与BD 相交于点G ，EF ⊥BD 于点F ，若EF ＝4，则EG 的长为（ ）A ．8B ．3C ．4D ．812．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的整数解为（ ）A ．﹣1，0，1B ．﹣1，0C ．0，1D ．﹣1，1二、填空题13．如图，等腰△ABC 内接于圆⊙O ，AB ＝AC ，∠ACB ＝70°，则∠COB 的度数是_____．14．如图，点A 是双曲线6y x=-在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰ABC △，且120ACB ∠=︒，点C 在第一象限，随着点A 的运动点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线ky x=上运动，则k 的值为________.15．从分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是_________．16．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，若点D的对应点D′，连接D′B，以下结论中：①D′B的最小值为3；②当DE＝52时，△ABD′是等腰三角形；③当DE＝2是，△ABD′是直角三角形；④△ABD′不可能是等腰直角三角形；其中正确的有_____．（填上你认为正确结论的序号）17．如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交于点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将△DEF沿EF对折，点D的对称点D'恰好落在⊙O上．若AB＝6，则OB的长为_____．18．计算：112--+=________.三、解答题19．如图，ABC∆为O的内接三角形，AB为O的直径，过A作AB的垂线，交BC的延长线于点D，O的切线CE交AD于点E.（1）求证：12CE AD=；（2）若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD=6，AB=3，求CG的长．20．先化简，再求值：2443111x xxx x-+⎛⎫÷+-⎪--⎝⎭，其中x的值是不等式组3215xx-<⎧⎨+≤⎩的一个整数解.21．（1）计算:11tan60|23-︒⎛⎫+-⎪⎝⎭；（2）先化简22x -2x 1x -1+÷x-1-x 1x 1⎛⎫+ ⎪+⎝⎭,然后从. 22．已知：如图，九年一班在进行方向角模拟测量时，A 同学发现B 同学在他的北偏东75°方向，C 同学在他的正南方向，这时，D 同学与BC 在一条直线上，老师觉得他们的站位很有典型性，就组织同学又测出A 、B 距离为80米，B 、D 两同学恰好在C 同学的东北方向且AD ＝BD ．求C 、D 两名同学与A 同学的距离分别是多少米(结果保留根号)．23．如图1，点E 为正方形ABCD 内部一点，AF ⊥BE 于点F ，G 为线段AF 上一点，且AG ＝BF ．（1）求证：BG ＝CF ；（2）如图2，在图1的基础上，延长BG 交AE 于点M ，交AD 于点H ，连接EH ，移动E 点的位置使得∠ABH ＝∠GAM①若∠EAH ＝40°，求∠EBH 的度数； ②求证：HE ∥AF ．24．如图，在▱ABCD 中，E 、F 为边BC 上两点，BF ＝CE ，AE ＝DF ．（1）求证：△ABE ≌△DCF ；（2）求证：四边形ABCD 是矩形．25．计算：201(3.14)|14cos 452π-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭．【参考答案】*** 一、选择题13．80°． 14．215．3 716．①②④17．10 318．1 2三、解答题19．（1）详见解析；（2．【解析】【分析】（1）利用AB是⊙O的直径判断AD是⊙O的切线，利用切线长定理判断出AE=CE，进而得出∠DAC=∠EAC，再用等角的余角相等判断出∠D=∠DCE，得出DE=CE，即可得出结论；（2）先求出tan∠ABD值，进而得出GH=2CH，进而得出BC=3BH，再求出BC建立方程求出BH，进而得出GH，即可得出结论．【详解】（1）∵AB是⊙O直径，AB⊥AD，∴AD是⊙O的切线，∵EA，EC是⊙O的切线，∴AE=CE，∴∠DAC=∠ECA，∵∠ACD=90°，∴∠ACE+∠DCE=90°，∠DAC+∠D=90°，∴∠D=∠DCE，∴DE=CE，∴AD=AE+DE=CE+CE=2CE，∴CE=12 AD；（2）如图，在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，∴tan∠ABD=ADAB=2，过点G作GH⊥BD于H，∴tan∠ABD=GHBH=2，∴GH=2BH ，∵点F 是直径AB 下方半圆的中点， ∴∠BCF=45°，∴∠CGH=∠CHG-∠BCF=45°， ∴CH=GH=2BH ， ∴BC=BH+CH=3BH ， 在Rt △ABC 中，tan ∠ABC=ACBC=2， ∴AC=2BC ，根据勾股定理得，AC 2+BC 2=AB 2， ∴4BC 2+BC 2=9，∴BC=5，∴，∴，∴， 在Rt △CHG 中，∠BCF=45°，∴． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出tan ∠ABD 的值是解本题的关键． 20．当1x =-时，原式=3-；当0x =时，原式=1- 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出整数解得到x 的值，代入计算即可求出值． 【详解】2443111x x x x x -+⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭22(2)13111x x x x x ⎛⎫--=÷- ⎪---⎝⎭2(2)(2)(2)11x x x x x -+-=÷-- 2(2)11(2)(2)x x x x x --=⨯-+-22x x -=+解不等式组3215x x -<⎧⎨+≤⎩得32x -<≤，其整数解：21012212x --≠-、、 、 、 、、 、x 可以等于10-、当1x =-时，原式=3-；当0x =时，原式=1- 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．（1）0；（2）12或-12. 【解析】 【分析】（1）指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值和绝对值的意义进行计算；（2）先通分做分式的加减法，再将除法转变成乘法，然后把多项式因式分解并进行约分化简.最后选择合适的数代入求值. 【详解】解：(1)原式(2)原式=22-21-1x x x +÷-11x x +-()-1x =()()()2-11-1x x x +÷()()-1--111x x x x ++ =-11x x +÷()2-1--11x x x + =-11x x +÷2-1x x x + =-11x x +·()11x x x +-=-1x.∵满足-2,-1,0,1,2, 又∵x=±1或x=0时,分母的值为0, ∴x 只能取-2或2. 当x=-2时,原式=12,当x=2时,原式=-12.(答对两种情况之一即得满分) 故答案为：12或-12. 【点睛】本题第1小题考查了实数的加减混合运算，整数指数幂，锐角三角函数值等知识点.第2小题考查了分式的四则混合运算和化简求值.熟练掌握实数和分式的运算法则是关键.22．C 、D 两名同学与A 同学的距离分别是米. 【解析】 【分析】作AE ⊥BC ，利用直角三角形的三角函数解得即可． 【详解】解：作AE ⊥BC 交BC 于点E ，则∠AEB ＝∠AEC ＝90°，由已知，得∠NAB＝75°，∠C＝45°，∴∠B＝30°，∵BD＝AD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADE＝60°，∵AB＝80，∴AE＝12AB＝40，∴40ADsin sin603====∠︒AEADE，40AC452AEsin C sin====∠︒答：C、D两名同学与A同学的距离分别是米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−−方向角问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．23．（1）见解析；（2）①∠EBH＝40°；②见解析.【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，证出∠BAG=∠CBF，由SAS证明△ABG≌△CBF，即可得出BG=CF；（2）①求出∠BAM=90°-40°=50°，由三角形的外角性质得出∠BGF=∠BAM=50°，在Rt△BGF中，由直角三角形的性质即可得出结果；②先证明A、B、E、H四点共圆，由圆内接四边形的性质得出∠BEH+∠BAD=180°，得出∠BEH=90°，HE⊥BE，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠ABF+∠CBF＝90°，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠ABF+∠BAG＝90°，∴∠BAG＝∠CBF，在△ABG和△BCF中，AB BCBAG CBF AG BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG≌△CBF（SAS），∴BG＝CF；（2）①解：∵∠EAH＝40°，∴∠BAM＝90°﹣40°＝50°，∵∠ABH＝∠GAM，∴∠BGF＝∠BAG+∠ABG＝∠BAG+∠GAM＝∠BAM＝50°，在Rt△BGF中，∠EBH＝90°﹣∠BGF＝40°；②证明：∵∠EAH＝∠EBH＝40°，∴A、B、E、H四点共圆，∴∠BEH+∠BAD＝180°，∴∠BEH＝90°，∴HE⊥BE，∵AF⊥BE，∴HE∥AF．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、四点共圆、圆内接四边形的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝DC．根据全等三角形的判定定理即可得到结论．（2）根据全等三角形的性质得到∠B＝∠C．根据平行四边形的性质得到AB∥CD．根据矩形的判定定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC．∵BF＝CE，∴BF﹣EF＝CE﹣EF，∴BE＝CF．在△ABE和△DCF中，∵AB DC AE DC BE CF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DCF（SSS）；（2）证明：∵△ABE≌△DCF，∴∠B＝∠C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠B+∠C＝180°．∴∠B＝∠C＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．25．4【解析】【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】=++-⨯解：原式14142＝4．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
华中师大一附中2019—2020学年度下学期高二期中考试数学试卷答案
一、选择题： BADDA BDCBC BC
二、填空题：13． 4 ； 7
14． y2 x2 1； 43
15． 210 ；
16． 1； y x （第一空 2 分，第二空 3 分）
三、解答题：
17．解：（1）因为集合 M ｛1 i,1 i, 2 i, 2 2ai,3 ai｝，所以 z=9 (a 1)i ，
1 2
h |
AB
|
1 2
2
2 1，
即 ABC 面积最大值为 1．
…………12 分
20．.解：（1）（ x + a ）n 的展开式各二项式系数的和为 2n ，各项系数的和为（1+a）n ， 4x
由已知得 2n =256，n 8 ，此时（ x + a ）n 展开式的通项为： 4x
163k
Tk1 akC8k x 4 ，k 0,1, 2, ,8 ，
x 75 y 86
15
15
根据成绩统计表显示满足 x 82.5 的同学只有 3 人，获得 A 等级的考生有 9 人，
故从政治成绩获得 A 等级的学生中任取 3 名，至少有 2 名同学的等级成绩不小于 93 分的
概率为 P
C32C61 C33 C93
19 84
．
…………5 分
（2）由题意，等级成绩不小于 93 分人数为 3 人，获得 A 等级的考生有 9 人， 的可能取
21 14 21 42 3
…………12 分
22．解：（1）当 0 r 2 时，圆 O 在椭圆内部，切点在椭圆内，圆的每一条切线都过椭
圆内部的点，切线与椭圆总有两个不同交点，适合；
华师一附中2020年高二数学下学期期中试题含答案
华中师大一附中2019—2020学年度下学期高二期中考试数 学 试 题考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：孟昭奎 审题人：吴巨龙一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）1．甲、乙、丙、丁四人站成一排照相，满足甲乙相邻且甲不在最左边的站法有 A ．9种 B ．10种 C ．11种 D ．12种 2．对于给定的样本点所建立的回归模型1f 和模型2f ，它们的残差平方和分别是1a 、2a ，相关指数2R 的值分别是1b 、2b ，下列说法正确的是 A ．若12<a a ，则12>b b ，1f 的拟合效果更好 B ．若12<a a ，则12>b b ，2f 的拟合效果更好 C ．若12<a a ，则12<b b ，1f 的拟合效果更好 D ．若12<a a ，则12<b b ，2f 的拟合效果更好3．圆229x y +=的以(2,1)M 为中点的弦所在直线方程为A ．240x y +-=B ．20x y -=C ．230x y --=D ．250x y +-= 4．设随机变量2~(3,)X N σ，若()0.3P X m >=，则(6)P X m ≥-= A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 5．已知可导函数()f x 满足()2(1)ln 1f x xf x '=+-，则(1)f = A ．3-B ．2-C ．1-D ．26．已知关于x 的方程2(2)10()x k i x ki k R ++++=∈有实根，则2k = A ．2 B ．4 C ．3 D ．97．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．2π+ B．4π+ C．43π+ D．23π+8．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“12()E E ξξ>()”是“12()()D D ξξ<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知双曲线2212y x -=上存在两点,M N 关于直线0x y m -+=对称，且线段MN 中点在抛物线24y x =上，则实数m 的值为A ．3-B ．0或3-C ．4-D ．0或110．现有甲、乙、丙、丁、戌5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A ．234B ．152C ．126D ．108 11．如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”．现有一对“共焦曲线”的焦点为12,F F ，M 是它们的一个公共点，且1260F MF ∠=，设它们的离心率分别为12e e 、，则12e e ⋅=min（）A ．1B ．C D 12．网课期间，高二年级吴巨龙、王雪冰等八位数学老师为同学们讲授了计数原理、随机变量及其分布、统计案例、复数、三视图、导数及其应用等章节内容．在师生共同努力下，我们顺利完成教学任务，达到教学目标．下列名单中，按老师们首次讲课．．．．的先后顺序排列正确的是A ．吴巨龙、王雪冰、余文抒、秦 俭B ．王雪冰、吴巨龙、曹 轩、田 甜C ．秦 俭、余文抒、江 河、于 龙D ．江 河、曹 轩、于 龙、田 甜二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上） 13．2020年华中师大一附中将迎来70周年校庆，学校安排5位男老师和3为女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取4位老师主持晚会，若抽取的4位老师是两男两女，则称主持人为“快乐搭档”．在已经抽取一位女老师担任主持人的条件下，最后确定的主持人是“快乐搭档”的概率为 ．14．已知点(0,1)A ，点B 是圆22:(1)16C x y ++=上的动点，线段AB 的垂直平分线交线段BC 于点P ，则动点P 的轨迹方程是 ． 15．210(1)x x -+展开式中3x 的系数为 ．16．已知()ln(1)sin 2f x x a x =++，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线的斜率为1-，则a = ；当0a =时，与曲线ln 1y x =+和曲线()y f x =都相切的直线的方程是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上） 17．(本小题满分10分)设集合2{12223}()1M i i ai ai a R i =+-+-∈+，，，，的所有元素的和为z ，且=z z ． （1）求33||1a i i ai-++的值； （2）设,x y M ∈（x y ≠），求事件“xy R ∈”的概率．18．（本小题满分10分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：（1）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m（2附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19．（本小题满分12分）已知点(0,1),(1,2)A B ，C 是抛物线24x y =上的动点． （1）求ABC ∆周长的最小值；（2）若C 位于直线AB 右下方，求ABC ∆面积的最大值．20．（本小题满分12分）已知n的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256． （1）求展开式中有理项的个数； （2）求展开式中系数最大的项．21．（本小题满分12分）湖北省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法．．．．．．分别转换到[86，100]、[71，85]、[56，70]、[41，55]、[30，40]五个分数区间，得到考生的等而等比例转换法．．．．．．是通过公式计算: 2211Y Y T T =--． 其中1Y 、2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T 、2T 分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为1Y 、2Y 时，等级分分别为1T 、2T ，假设小明同学的生物考试成绩信息如下表：设小明转换后的等级成绩为T ，根据公式得：756971T =--，所以76.677T =≈(四舍五入取整)，小明最终生物等级成绩为77分．已知某学校学生有60人选了政治，以期中考试成绩为原始成绩转换该学校选政治的学（193分的概率；（2）从政治成绩获得A 等级的学生中任取4名，设4名学生中等级成绩不小于93分人数为ξ，求ξ的分布列和期望．22．（本小题满分14分）已知圆222:O x y r +=的任意一条切线l 与椭圆22:1124x y M +=都有两个不同交点A ，B （O 是坐标原点）．（1）求圆O 半径r 的取值范围； （2）是否存在圆O ，使得=0OA OB ⋅恒成立？ 若存在，求出圆O 的方程及OA OB 的最大值；若不存在，说明理由．华中师大一附中2019—2020学年度上学期高二期中考试数学试题参考答案与评分标准一、选择题：BADDA BDCBC BC二、填空题：13．47； 14．22143y x +=； 15．210-；16．1-；y x =（第一空2分，第二空3分）三、解答题：17．解：（1）因为集合1,1,2,22,3M i i i ai ai =-+-+-｛｝，所以=9(1)z a i +-，,z z z R =∴∈，10a ∴-=，即1a =， ……………2分333(3)(1)|||||||13|112a i i i i i i i i ai i ----∴+=-=-=-=++ ………………5分 （2）由（1）得，1,1,2,22,3M i i i i i =-+-+-｛｝，从5个元素中取出两个元素方法有2510C =种，其中乘积为实数的为(1)(1),(1)(22)i i i i -+-+，共有2种情形，所以21()105P xy R ∈==． ………………10分 18．解：（1）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后， 排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为7981802m +==；……2分5分 （2）根据（1）中的列联表，可得2K 的观测值：22()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． ………………10分 19．解：（1）过C 作抛物线准线:1l y =-的垂线，垂足为H ，(0,1)A 为焦点，||||CA CH ∴=，又||AB =,,B C H ∴共线时，ABC ∆周长最小，min (||||)3BC CH +=，ABC ∴∆周长最小值为3+ ………………6分（2）作与直线:+10AB x y -=平行的直线l ，由图可知，当l 与抛物线相切时，切点C 使得ABC ∆面积最大，此时C 到直线AB 的距离就是AB 边上的高，设切点00(,)C x y ，由24x y =得：02011=|=142x x y x y x ='∴=，，即0=2x ，所以切点C 的坐标为(2,1)，所以点C 到AB 的距离为h ==max 11()||122ABC S h AB ∆∴=⋅⋅==，即ABC ∆面积最大值为1． …………12分20．.解：（1）n 的展开式各二项式系数的和为2n ，各项系数的和为+na （1），由已知得2n=256，8n ∴=，此时n展开式的通项为： 1634180,1,2,,8kkk k T a C xk -+==，，当0,4,8k =时，该项为有理项，所以有理项的个数为3； ………………5分 （2）由8+=256a （1），得1a =或3a =-， ………………7分当=1a 时，展开式通项为1634180,1,2,,8k kk T C xk -+==，，所以二项式系数最大时系数最大，即第5项系数最大，即系数最大的项为45870T C x x ==； ……………9分当=3a -时，16341830,1,2,,8k kk k T C x k -+==（-），，展开式系数最大的项是奇数项，其中51422213579=252=5670=20412=6561T x T x T x T x T x --=，，，，，所以展开式中系数最大的项为第7项，即系数最大的项为127=20412T x -． ……………11分综合得，所求系数最大的项为70x 或1220412x -． ……………12分方法二：=3a -时，展开式中奇数项系数为正，令8228(3)1(3)k kk k C C --⋅-≥⋅-，2,4,6,8k =，化简得910(9)1(1)k k k k --≥-（），经计算，仅当k = 2，4，6时不等式成立，即7T 的系数>5T 的系数>3T 的系数，所以展开式中系数最大的项为第7项，127=20412T x-．……12分21．解：（1）设政治成绩获得A 等级的学生原始成绩为x ，等级成绩为y ，由转换公式得：901007586x y x y --=--，即1424015x y +=，142409382.515x x +∴≥⇒≥． …………2分根据成绩统计表显示满足82.5x ≥的同学只有3人，获得A 等级的考生有9人，故从政治成绩获得A 等级的学生中任取3名，至少有2名同学的等级成绩不小于93分的概率为213363391984C C C P C +==． …………5分 （2）由题意，等级成绩不小于93分人数为3人，获得A 等级的考生有9人，ξ的可能取值为0，1，2，3，则：0436495(0)42C C P C ξ===，13364910(1)21C C P C ξ===， 2236495(2)14C C P C ξ===，3136491(3)21C C P C ξ===， …………9分所以ξ的分布列为：…………10分则ξ的期望为：1051564()23211421423E ξ=+⋅+⋅==． …………12分 22．解：（1）当02r <<时，圆O 在椭圆内部，切点在椭圆内，圆的每一条切线都过椭圆内部的点，切线与椭圆总有两个不同交点，适合；当2r ≥时，圆的切线y r =和y r =-均与椭圆最多只有一个公共点，不适合， 所以r 的取值范围是(0,2)． ………………4分（2）当圆的切线的斜率存在时，设圆的切线为y kx m =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由221124x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得：222(13)63120k x kmx m +++-=， 则21212226312,1313km m x x x x k k --+==++，221212212()()13m k y y kx m kx m k -∴=++=+，由=0OA OB ⋅得：12120x x y y +=，即22241212013m k k --=+，223(1)(*)m k ∴=+ 又由y kx m =+与O相切得：=r ，即：2221m r k =+， 把（*）代入此式得23r =，此时圆O 的方程为223x y +=； ………………9分当切线斜率不存在时，上述圆的切线为x =x =为((A B A B 或，也满足=0OA OB ⋅， 所以满足条件的圆O 存在，其方程为223x y +=． ………………10分 当切线斜率存在且不等于0时，因为||AB ====4=≤，当且仅当213k =时取等号； …12分 当切线斜率不存在或等于0时，||AB=，所以max ||4AB =． …13分 因为OA OB ⊥，所以OA OB =||rAB |AB =，故max OA OB=．…14分（方法二：(OA OB x=====（命题人 孟昭奎）。
2019-2020学年武汉市华中师大一附中高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年武汉市华中师大一附中高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共11小题，共55.0分）1.将4个不同的球放入3个不同的盒中，每个盒内至少有1个球，则不同的放法种数为()A. 24B. 36C. 48D. 962.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是()A. l1和l2必定平行B. l1与l2必定重合C. l1和l2有交点(s,t)D. l1与l2相交，但交点不一定是(s,t)3.已知点M(√2,1)，点N在圆O：x2+y2=1上，则∠OMN的最大值为()A. π2B. π3C. π4D. π64.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,4)，从中随机抽取一件，其长度误差落在(2,4)内的概率为()附：若随机变量ξ～N(μ,σ2)，则：P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6827P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9973A. 0.0456B. 0.1359C. 0.2781D. 0.31745.下列结论中正确的个数为()①y=ln2，则y′=12；②y=1x，则y′|x=3=−227；③y=2x，则y′=2x ln2；④y=log2x，则y′=−1xln2．A. 0B. 1C. 2D. 36.在复平面xOy内，若A(2,−1)，B(0,3)，则▱OACB中，点C对应的复数为()A. 2+2iB. 2−2iC. 1+iD. 1−i7. 某几何体的三视图如图所示，则它的直观图是( )A. 圆柱B. 圆锥C. 圆台D. 球8. 已知函数f(x)={|x +1x |(x ≠0)2(x =0)，若关于x 的方程f 2(x)−(a +2)f(x)+2a =0有三个不同实数解的充要条件是( )A. a =2B. a >2C. a <0D. a ≤29. 已知M(x 0,y 0)(x 0、y 0>0)是双曲线C ：x 22−y 2=1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点，若∠F 1MF 2为钝角，则y 0的取值范围是( )A. (0,√36) B. (0,2√23) C. (0,√33) D. (0,2√33) 10. 将甲，乙等5位同学分别保送到北 京大学，四川大学，浙江大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为( )种A. 150B. 180C. 240D. 54011. 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，满足PF 1⊥F 1F 2，且|PF 2|=|PF 1|，则C 的离心率为( )A. √22B. √2−12C. 2−√2D. √2−1二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）12. 在标号为0，1，2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是______．13. 已知恒过定点(1,1)的圆C 截直线x =−1所得弦长为2，则圆心C 的轨迹方程为______ ． 14. 二项式(x −1x 2)6展开式中的常数项为______ ． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15. 如图，直线l 是曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线，则直线l 的方程是 (1) ；f(2)+f′(2)的值为 (2) ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16.一个口袋中有红球3个，白球4个．(Ⅰ)从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸2次恰好第2次中奖的概率；(Ⅱ)每次同时摸2个，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X的数学期望E(X)．17.为试验某英语教学方法的效果，某学校对中、乙两个班分别用两种不同的方法进行英语教学，甲班用原有的方法，乙班用新的方法，经过一段时间的教学，在两个班里各随机挑选了25名学生进行测试，测试成绩如下．(1)分别估计甲、乙两班英语成绩的合格率；(2)填写下面的列联表，根据列联表判断是否有95%的把握认为这种新的教学方法比原来的方法更有效？成绩小于60 成绩大于等于60甲班(原方法) 乙班(新方法)附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P(K 2≥k) 0.050 0.010 0.00 k 3.8416363510.82818. 在平面直角坐标系xoy 中，直线{x =x 0+tcosαy =tsinα，(t 为参数)与抛物线y 2=2px(p >0)相交于横坐标分别为x 1，x 2的A ，B 两点(1)求证：x 02=x 1x 2；(2)若OA ⊥OB ，求x 0的值．19. 已知f(x)=(2x +1)m +(6x +1)n (m,n ∈N)的展开式中含x 的项的系数为24，求展开式中含x 2项的系数的最小值．20. 某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，如表记录了A ，B ，C ，D 四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为a ，b ．甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记ξ为甲同学最终被招募的项目个数，已知P(ξ=0)=140，P(ξ=4)=110．(Ⅰ)求甲同学至多获得三个项目招募的概率； (Ⅱ)求a ，b 的值；(Ⅲ)假设有十名报了项目A 的志愿者(不包含甲)调整到项目D ，试判断Eξ如何变化(结论不要求证明)．21.若F1，F2是椭圆C：y29+x2m=1(0<m<9)的两个焦点，圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点(0,√5)的直线l与椭圆C交于两点A、B，以AB为直径的圆经过点(0,−√5)，求直线l的方程．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：将4个不同的球分为三部分有种，然后放在3个不同的盒子有种方法，根据分步原理可知，不同的放法种数为，故选B考点：本题考查了排列组合的综合运用点评：对于这类问题，必须遵循先分组后排列，属基础题2.答案：C解析：解：∵两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，∴两组数据的样本中心点是(s,t)∵回归直线经过样本的中心点，∴l1和l2都过(s,t)故选C．由题意知，两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，所以两组数据的样本中心点是(s,t)，回归直线经过样本的中心点，得到直线l1和l2都过(s,t)．本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．3.答案：D解析：解：由题意，直线MN与圆O相切时，∠OMN最大，，由于OM=√3，r=1，∴tan∠OMN=√33∴∠OMN的最大值为π．6故选：D．由题意，直线MN与圆O相切时，∠OMN最大，利用三角函数可得结论．本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，半径基础．解析：解：由题意，μ=0，σ=2．则P(−2<ξ<2)=0.6827，P(−4<ξ<4)=0.9545， ∴P(2<ξ<4)=12(0.9545−0.6827)=0.1359． 故选：B ．由题意P(−2<ξ<2)=0.6827，P(−4<ξ<4)=0.9545，可得P(2<ξ<4)=12(0.9545−0.6827)，则答案可求．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，是基础题．5.答案：C解析：本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，属于基础题． 根据函数的导数公式求导即可． 解：①y =ln2，则y′=0；②y =1x 2，则y′=−2x 3，故y ′|x=3=−227； ③y =2x ，则y ′=2x ln2； ④y =log 2x ，则．故②③正确， 故选C ．6.答案：A解析：解：如图，设C(x,y)， ∵O(0,0)，A(2,−1)，B(0,3)， ∴OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y +1)， 由题意可得OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即{x −2=0y +1=3，解得x =y =2． ∴复数z =2+2i ．设C(x,y)，由O(0,0)，A(2,−1)，B(0,3)，可得OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合OACB 为平行四边形列式求得复数z ． 本题考查复数的性质和应用，是基础题．7.答案：A解析：本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N 棱锥(N 值由另外一个视图的边数确定)；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱(N 值由另外一个视图的边数确定)；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱(N 值由另外一个视图的边数确定)；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．根据已知的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案． 解：∵该几何体的正视图和侧视图都是长方形， 俯视图是圆，∴该几何体的直观图是圆柱． 故选A ．8.答案：D解析：解：∵f 2(x)−(a +2)f(x)+2a =0即(f(x)−2)(f(x)−a)=0有三个不同实数解 ∴f(x)=2或f(x)=a 有三个不同实数解． 当x ≠0时，f(x)=|x +1x |≥2，由对勾函数单调性可知f(x)在(−∞,−1)，(0,1)上单减，在(−1,0)，(1,+∞)上单增．作出图象如下由图分析可知a≤2故选：D．本题将方程f2(x)−(a+2)f(x)+2a=0的解转化为f(x)的解的问题，结合分段函数的图象求解．本题考查了转化思想和数形结合思想，需要学生具备较好的逻辑分析能力．9.答案：C解析：本题考查双曲线的方程和运用，考查联立圆的方程和双曲线方程求交点，以及运算能力和推理能力，属于中档题．求得双曲线的a，b，c，考虑∠F1MF2为直角，即M在以F1F2为直径的圆上，求得圆方程，与双曲线的方程联立，求得交点M的坐标，即可得到所求y0的取值范围．−y2=1的a=√2，b=1，解：双曲线C：x22可得c=√a2+b2=√3，考虑∠F1MF2为直角，即M在以F1F2为直径的圆上，可得圆方程为x2+y2=c2=3，与双曲线方程x2−2y2=2联立，可得x 2=83，y 2=13，由x 0、y 0>0得 若y M =√33，可得∠F 1MF 2为直角，显然若M 在圆x 2+y 2=c 2=3内， 可得∠F 1MF 2为钝角， 即有y 0的取值范围是(0,√33).故选：C ．10.答案：A解析：本题考查分类与分步计数原理及排列组合的综合应用，由于每所大学至少保送一人，故可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，共有种，当5名学生分成3，1，1时，共有种，根据分类计数原理得到结果．解：把5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式， 当5名学生分成2，2，1时，共有=90种结果， 当5名学生分成3，1，1时，共有=60种结果，∴根据分类计数原理知共有90+60=150， 故不同保送的方法数为150种． 故选A ．11.答案：D解析：解：F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点， 满足PF 2⊥F 1F 2，且|PF 2|=|F 1F 2|，所以|PF 1|=2√2c ，|PF 2|+|PF 1|=2√2c +2c =2a ，所以椭圆的离心率为e =ca =√2−1． 故选：D ．利用椭圆的定义与性质，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查了与椭圆定义与性质的应用，考查了数学转化思想方法，是中档题．12.答案：23解析：根据题意可得：所有的基本事件有3个，再计算出符合条件的事件数为2个，进而结合古典概率的计算公式得到答案．本题主要考查古典概率模型及其计算公式，即如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相，此题属于基础题．同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn解：根据题意可得此概率模型是古典概率模型，从3张卡片中随机抽取2张共有的取法有(0,1),(1,2),(0,2)，3种。
2019-2020华中师大一附中数学中考试题(及答案)
9． 如图，菱形ABCD的对角线相交于点
C．5℃~8℃
O，若AC＝8，BD＝6，则菱形的周长为（
2019-2020
一、选择题
1． 已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是
A．9B．8C．7
2．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，
D．6则小军能一次打开该
旅行箱的概率是（
1
A．
10
3．如果一组数据
1
B．C．
9
6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为
D．
B．3C．
圆形两种巧克力，小明如果购买8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力， 形巧克力，则他会剩下（ ）元
2D．
3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱 他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方
24
A．8B．16C．
5．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为y=kx+43与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（
D．32
整圆 ”．如图，直线l：
P在x轴上，
⊙P与l相，若∠
C．10
1=40°，则∠2
的度数是
D．
12
B．50°
A．40°
7．估计10+1的值应在（
C．60°
D．
70°
A．3和4之间B．4和5之间
8．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃~5℃，蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．2．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N3．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'＝1，那么原三角形ABO面积是（）A．B．C．D．4．已知等比数列{a n}中，a5a11＝3a8，数列{b n}是等差数列，且b6＝a8，则b4+b8＝（）A．3B．6C．9D．125．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，a＝1，，则c＝（）A．B．1C．D．6．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（）A．20%，12800元B．10%，12800元C．20%，10240元D．10%，10240元7．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）A．1：2B．1：C．1：D．：28．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．﹣9．若正数a，b满足a+b＝2，则+的最小值是（）A．1B．C．9D．1610．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知正项数列{a n}满足，n∈N*，其中S n为数列{a n}的前n项和，则[S1]+[S2]+…+[S40]＝（）A．135B．141C．149D．15511．已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB角的平分线，I为PC 上一点，满足＝+λ（+）（λ＞0），，，则的值为（）A．2B．3C．4D．512．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1+a n＝2n+3（n∈N*）且S n＝1300，若a2＜3，则n的最大值为（）A．49B．50C．51D．52二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题纸上的相应位置．）13．设a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式正确的是．（仅填写正确不等式的序号）①；②ac2＜bc2；③；④；⑤14．已知向量是平面内的一组基底，若，则称有序实数对（x，y）为向量在基底下的坐标．给定一个平面向量，已知在基底下的坐标为（1，2），那么在基底，下的坐标为．15．已知函数（e是自然对数的底数），设，n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，则S4039的值是．16．如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则CD的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸上的相应位置．）17．已知向量和，其中，，k∈R．（1）当k为何值时，有、平行；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．18．在数列{a n}，{b n}中，a1＝b1＝1，a n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1，．等差数列{c n}的前两项依次为a2，b3．（1）求{c n}的通项公式；（2）求数列{（a n+b n）c n}的前n项和S n．19．如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．20．已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sin A+sin B）＝1（其中R 为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S＝c2﹣（a﹣b）2．（1）求tan C的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．21．如图，在△ABC中，已知CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足＝λ，点E是边CB上一点，满足＝λ．①当λ＝时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．22．已知数列{a n}满足，n∈N*，a1＝1．（1）若a2＝3，a3＝x，a4＝6，求x的取值范围；（2）若{a n}是公比为q的等比数列，S n＝a1+a2+…+a n，≤3S n，n∈N*，求q 的取值范围；（3）若a1，a2，…，a k成等差数列，且a1+a2+…+a k＝2020，求正整数k的最大值．参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．解：∵，∴，∴x＝3，，，∴．故选：D．2．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N解：∵M﹣N═2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3）＝（a﹣1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．3．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'＝1，那么原三角形ABO面积是（）A．B．C．D．解：由斜二测直观图还原原图形如图所示，因为边O′B′在x′轴上，所以在原图形中对应的边应在x轴上，且长度不变；O′A′在y′轴上，所以在原图形中对应的边应在y轴上，且长度增大到2倍；因为O′A′＝1，所以O′B′＝，所以OA＝2，OB＝；所以△AOB的面积为S△ABC＝×OB×OA＝××2＝．故选：B．4．已知等比数列{a n}中，a5a11＝3a8，数列{b n}是等差数列，且b6＝a8，则b4+b8＝（）A．3B．6C．9D．12解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得a5a11＝，又a5a11＝3a8，∴，∵a8≠0，∴a8＝3．又数列{b n}是等差数列，∴b4+b8＝2b6＝2a8＝6．故选：B．5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，a＝1，，则c＝（）A．B．1C．D．解：∵，∴由正弦定理得：sin A•cos B+sin B•cos A＝，∴sin（A+B）＝sin C＝，∵A+B+C＝π，A、B、C∈（0，π），∴sin（A+B）＝sin C＞0，∴2cos C＝，即cos C＝，∵a＝1，b＝，∴由余弦定理可得：c＝＝＝1．故选：B．6．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（）A．20%，12800元B．10%，12800元C．20%，10240元D．10%，10240元解：由题意，可知甲、乙、丙、丁分配的奖金构成等比数列，设此等比数列为{a n}，且公比为q，设甲、乙、丙、丁按照的“衰分比”的值为x，则x＝1﹣q．依题意，a1+a2+a3+a4＝59040，a1+a3＝32800，则a2+a4＝59040﹣32800＝26240，∴q＝＝＝0.8，∴“衰分比”的值x＝1﹣0.8＝0.2＝20%，∵a1+a3＝a1+a1q2＝a1（1+q2）＝a1（1+0.82）＝1.64a1＝32800，∴a1＝＝20000，∴a3＝a1q2＝20000×0.82＝12800，∴丙所获得的奖金为12800元．故选：A．7．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）A．1：2B．1：C．1：D．：2解：若圆锥的高等于底面直径，则h＝2r，则母线l＝＝r，而圆锥的底面面积为πr2，圆锥的侧面积为πrl＝πr2，故圆锥的底面积与侧面积之比为1：，故选：C．8．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．﹣解：如图，设，且，则：＝＝＝＝＝，∵，∴，解得．故选：A．9．若正数a，b满足a+b＝2，则+的最小值是（）A．1B．C．9D．16解：∵正数a，b满足a+b＝2，∴（a+1）+（b+1）＝4∴+＝（+）[（a+1）+（b+1）]＝[5++]≥（5+2）＝当且仅当＝即a＝且b＝时取等号．故选：B．10．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知正项数列{a n}满足，n∈N*，其中S n为数列{a n}的前n项和，则[S1]+[S2]+…+[S40]＝（）A．135B．141C．149D．155解：由，令n＝1，得a1＝S1＝（a1+），∵a n＞0，得a1＝1．当n≥2时，S n＝（a n+）＝（S n﹣S n﹣1+），即S n2﹣S n﹣12＝1，因此，数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n2＝n，即S n＝，[S1]＝1，[S2]＝1，[S3]＝1，[S4]＝…＝[S8]＝2，[S9]＝…＝[S15]＝3，…，[S36]＝…＝[S40]＝6，则[S1]+[S2]+…+[S40]＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×5＝155．故选：D．11．已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB角的平分线，I为PC 上一点，满足＝+λ（+）（λ＞0），，，则的值为（）A．2B．3C．4D．5解：∵，PC是∠APB角的平分线，又满足＝+λ（+）（λ＞0），即＝λ，所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，如图，分别切PA，PB于E、F，∵，，＝＝＝＝3，在直角三角形BIH中，cos∠IBH＝，所以＝cos∠IBH＝＝3．故选：B．12．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1+a n＝2n+3（n∈N*）且S n＝1300，若a2＜3，则n的最大值为（）A．49B．50C．51D．52解：a n+1+a n＝2n+3（n∈N*），可得数列{a n}中，每隔两项求和是首项为5，公差为4的等差数列，则S48＝5×24+×24×23×4＝1224＜1300，又S50＝5×25+×25×24×4＝1325＞1300，则n的最大值可能为49．由a n+1+a n＝2n+3（n∈N*），可得a n+2+a n+1＝2n+5，两式相减可得a n+2﹣a n＝2，可得数列{a n}中的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，若S49＝1300，可得a49＝1300﹣1224＝76，由a2＜3，可得a1＞2，则a49＝a1+2×24＞50，故n的最大值为49．故选：A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题纸上的相应位置．）13．设a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式正确的是④⑤．（仅填写正确不等式的序号）①；②ac2＜bc2；③；④；⑤解：（1）由于a＜b＜0，所以b﹣a＞0，ab＞0，，所以，整理得，故，所以①错误．（2）当c＝0时，ac2＝bc2，故②错误．（3）由（1）知：，且a＜b＜0，所以，﹣a＞﹣b＞0，则，故③错误④正确．（4）由（1）知：，且a＜b＜0，所以，所以，故⑤正确．故答案为：④⑤14．已知向量是平面内的一组基底，若，则称有序实数对（x，y）为向量在基底下的坐标．给定一个平面向量，已知在基底下的坐标为（1，2），那么在基底，下的坐标为（）．解：由已知：＝，∵，．∴，所以在基底，下的坐标为（）．故答案为：（）．15．已知函数（e是自然对数的底数），设，n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，则S4039的值是．解：根据题意，函数，则f（）＝＝，且f（1）＝＝，则有f（x）+f（）＝+＝1，又由则S4039＝f（1）+f（2）+……+f（2020+f（）+f（）+……+f（）＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+……+f（2020）+f（）＝+2019＝．故答案为：．16．如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则CD的取值范围是（）．解：根据题意延长BA，CD交于点E，如图所示：则：在△ADE中，∠ADE＝105°，∠DAE＝45°，∠E＝30°，所以：设AD＝，DE＝，AE＝，AB＝m，由于BC＝2，所以（）sin15°＝1，整理得：，所以0＜x＜4，由于CD＝x+m﹣＝所以：CD的取值范围是（）．故答案为：（）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸上的相应位置．）17．已知向量和，其中，，k∈R．（1）当k为何值时，有、平行；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．解：（1），，所以：＝（﹣k，3k）﹣（12，6）＝（﹣k﹣12，3k﹣6）．＝（﹣1，3）+（4，2）＝（3，5）．由于共线，所以5（﹣k﹣12）﹣3（3k﹣6）＝0，解得k＝﹣3．（2）向量与的夹角为钝角所以，即：3×（﹣k﹣12）+5×（3k﹣6）＜0，解得．由于方向相反时，即：cos＜，＞＝，解得，即当k＝时，方向相反，此时不合题意．故实数k的取值范围（﹣）．18．在数列{a n}，{b n}中，a1＝b1＝1，a n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1，．等差数列{c n}的前两项依次为a2，b3．（1）求{c n}的通项公式；（2）求数列{（a n+b n）c n}的前n项和S n．解：（1）由题意，可知：a2＝4b1﹣a1+2×1﹣1＝4﹣1+2﹣1＝4，b2＝4a1﹣b1﹣2×1+1＝4﹣1﹣2+1＝2，则b3＝4a2﹣b2﹣2×2+1＝4×4﹣2﹣4+1＝11，设等差数列{c n}的公差为d，则：c1＝a2＝4，d＝b3﹣a2＝11﹣4＝7，故c n＝4+7（n﹣1）＝7n﹣3，n∈N*．（2）由题意，将a n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1与b n+1＝4a n﹣b n﹣2n+1相加，可得：a n+1+b n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1+4a n﹣b n﹣2n+1＝3（a n+b n），∵a1+b1＝1+1＝2，∴数列{a n+b n}是以2为首项，3为公比的等比数列，∴a n+b n＝2•3n﹣1，∴（a n+b n）c n＝2（7n﹣3）•3n﹣1，∴S n＝（a1+b1）c1+（a2+b2）c2+（a3+b3）c3+…+（a n﹣1+b n﹣1）c n﹣1+（a n+b n）c n＝2•4•1+2•11•31+2•18•32+…+2•（7n﹣10）•3n﹣2+2•（7n﹣3）•3n﹣1，则3S n＝2•4•31+2•11•32+…+2•（7n﹣10）•3n﹣1+2•（7n﹣3）•3n，两式相减，可得：﹣2S n＝2•4•1+2•7•31+2•7•32+…+2•7•3n﹣1﹣2•（7n﹣3）•3n＝8+14•（31+32+…+3n﹣1）﹣2•（7n﹣3）•3n＝8+14•﹣2•（7n﹣3）•3n＝8+7（3n﹣3）﹣2•（7n﹣3）•3n＝﹣（14n﹣13）•3n﹣13∴S n＝•3n+．19．如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100；连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100，所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100 ；在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2+QM2得AQ＝200又在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，所以BQ＝100；在△BQA中，BA2＝BQ2+AQ2﹣2BQ•AQ cosθ＝50000+40000﹣2×100×200×＝50000；解得BA＝100．所以A，B两山顶间的距离是100m．20．已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sin A+sin B）＝1（其中R 为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S＝c2﹣（a﹣b）2．（1）求tan C的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．解：（1）∵，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B．代入R（sin A+sin B）＝1整理后得a+b＝2．由面积S＝c2﹣（a﹣b）2＝得，两边同除以2ab得：，代入sin2C+cos2C＝1得，因为sin C≠0，所以．∴，∴．（2）由（1）得，当且仅当a＝b＝1时取等号．∴．所以面积的最大值为．21．如图，在△ABC中，已知CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足＝λ，点E是边CB上一点，满足＝λ．①当λ＝时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．解：（1）△ABC中，CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°，由余弦定理得，AB2＝CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB＝12+22﹣2×1×2×cos60°＝3，∴AB＝，即||＝；（2）①λ＝时，＝，＝，∴D、E分别是BC，AB的中点，∴＝+＝+，＝（+），∴•＝（+）•（+）＝•+•+•+＝﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22＝；②假设存在非零实数λ，使得⊥，由＝λ，得＝λ（﹣），∴＝+＝+λ（﹣）＝λ+（1﹣λ）；又＝λ，∴＝+＝（﹣）+λ（﹣）＝（1﹣λ）﹣；∴•＝λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）＝4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）＝﹣3λ2+2λ＝0，解得λ＝或λ＝0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ＝，使得⊥．22．已知数列{a n}满足，n∈N*，a1＝1．（1）若a2＝3，a3＝x，a4＝6，求x的取值范围；（2）若{a n}是公比为q的等比数列，S n＝a1+a2+…+a n，≤3S n，n∈N*，求q 的取值范围；（3）若a1，a2，…，a k成等差数列，且a1+a2+…+a k＝2020，求正整数k的最大值．解：（1）由题意可得a2≤a3≤3a2，a3≤a4≤3a3，又a2＝3，a3＝x，a4＝6，即有1≤x≤9，x≤6≤3x，即2≤x≤18，可得2≤x≤9；（2）a n＝q n﹣1，由a1≤a2≤3a1，可得≤q≤3，当q＝1时，S n＝n，≤3S n，即n≤n+1≤3n，成立；当1＜q≤3时，S n＝，≤3S n，即•≤≤3•，即≤≤3，可得，由q＞1可得3q n+1﹣q n﹣2＝q n（3q﹣1）﹣2＞2q n﹣2＞0，对于不等式q n+1﹣3q n+2≤0，令n＝1，可得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，所以q n+1﹣3q n+2＝q n（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q ﹣2）≤0成立，所以1＜q≤2；当≤q＜1时，S n＝，≤3S n，即•≤≤3•，可得≤≤3，所以，因为3q﹣1＞0，q﹣3＜0，所以3q n+1﹣q n﹣2＝q n（3q﹣1）﹣2＜2q n﹣2＜0，q n+1﹣3q n+2＝q n（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0成立，所以当≤q ＜1时，不等式恒成立，综上所述，q的取值范围是[，2]；（3）设a1，a2，…，a k成公差为d的等差数列，由a n≤a n+1≤3a n，且a1＝1，可得[1+（n﹣1）d]≤1+nd≤3[1+（n﹣1）d]，n＝1，2，…，k﹣1，即，n＝1，2，…，k﹣1，当n＝1时，﹣≤d≤2，当n＝2，3，…，k﹣1时，由＞，可得d≥，所以d≥≥﹣，所以2020＝ka1+•≥k+•，即k2﹣4040k+2020≤0，解得k≤4039，所以k的最大值为4039．。
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高三(上)期中数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若i 为虚数单位，则2−i1+i 的共轭复数是( )A. 12+32i B. 32+12i C. 32−32i D. 32−12i 2. 已知集合A ={x|x 2>x}，B ={0,1，2，3}，则A ∩B =( )A. {0}B. {2,3}C. {1,2，3}D. {0,1，2，3}3. 下列命题错误的是( )A. 命题“∃x 0∈R ，x 02+1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x ”;B. 若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题C. 双曲线x 22−y 23=1的焦距为2√5 D. 设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ⊂α，且b//a4. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图为全等的直角梯形，俯视图为直角三角形．则该几何体的表面积为( )A. 6 +12√2B. 16 +12√2C. 6 +12√3D. 16 +12√35. 已知sin(π2+α)=13，则cos(π+2α)的值为( )A. −79B. 79C. 29D. −236. 四人登珠穆朗玛峰，仅有一人登到峰顶，当他们被问到谁登到山顶时，甲说：“丙或丁登到峰顶”；乙说：“丙登到峰顶”；丙说：“甲和乙都没有登到峰顶”；丁说：“乙登到峰顶”，假设这四人只有两个人说的对，那么登到峰顶的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁 7. 函数y =log 2(6−x −x 2)的单调递减区间为( )A. (−∞,−12]B. [−12,+∞)C. (−3,−12]D. [−12,2)8. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =4√2，A =45°，O 为△ABC 的外心，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. −2B. −1C. 1D. 29. 已知函数f(x)=4x4x +2，设a n =f(n2019)(n ∈N ∗) ，则数列{a n }的前2019项和S 2019的值为( )A.30293B.30323C.60563D.6059310. 已知实数x ，y 满足{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0，则目标函数z =2x +y 的最大值为( )A. 0B. 4C. 3D. 511. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f(π2)的值为( )A. 1B. −1C. √22 D. −√2212. 已知定义在[e,+∞)上的函数f(x)满足f(x)+xf′(x)lnx <0且f(4)=0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式f(x)>0的解集为A. [e,4)B. (4,+∞)C. (e,4)D. [e,e +1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知幂函数y =(m 2−5m +7)⋅x m2−6在(0,+∞)上单调递增，那么实数m =________．14. 已知平面向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(4,2)，c ⃗ =a ⃗ +m b ⃗ (m ∈R)，且c ⃗ 与a ⃗ 的夹角等于c ⃗ 与b ⃗ 的夹角，则m =________．15. 已知正数a ，b 满足9a +1b =3，则ab 的最小值为______ ．16. 若y =f(x)是定义在R 上周期为2的周期函数，且f(x)是偶函数，当x ∈[0,1]时，f(x)=2x −1，则函数g(x)=f(x)−log 3|x |的零点个数为__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知a ∈R ，设命题p ：函数f(x)=lg(ax 2+2x +1)定义域为R ；命题q ：函数g(x)=x 2−2ax +3在(2,+∞)上是增函数．如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．18.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a+bc =cos(A+C)cosC．(1)求角C的大小；(2)求a+bc的取值范围．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n+1=S n+2a n+5．(1)证明：{a n+5}是等比数列；(2)若S n+5n>128，求n的最小值．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ACD=45°，CD=2，△PAC是边长为√2的等边三角形，PA⊥CD．(1)若M为PB中点，证明：PD//平面MAC．(2)求四棱锥P−ABCD的体积．−2,a∈R.21.已知函数f(x)=lnx+ax(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x+y−3=0，求a的值；(2)求函数y=f(x)的单调区间；(3)若曲线y=f(x)都在直线(a+1)x+y−2(a−1)=0的上方，求正实数a的取值范围．22.已知函数f(x)=|x−a|−2．(Ⅰ)若a=1，求不等式f(x)+|2x−3|>0的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<|x−3|恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求其共轭复数得答案．【解答】解：2−i1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i2=12−32i，则其共轭复数是12+32i．故选A．2.答案：B解析：解：A={x|x<0，或x>1}；∴A∩B={2,3}．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．3.答案：B解析：【分析】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．利用命题的否定形式判断A的正误；复合命题的真假判断B的正误；双曲线的焦距判断C的正误；异面直线的位置关系判断D的正误．【解答】解：命题“∃x0∈R，x02+1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”满足命题的否定形式，A正确；若p∧q是假命题，则p，q都是假命题，不正确，因为两个命题一个是假命题，则p∧q是假命题，所以B不正确；双曲线x22−y23=1的焦距为2√5，C正确；设a，b是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a⊂α，且b//α，满足直线与平面平行的判定定理，平面的基本性质，所以D正确．故选B．4.答案：B解析：解：根据此几何体的三视图，画出直观图如图所示；此几何体为三棱台，且上、下底面均为等腰直角三角形，直角边长分别为2和4，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2；棱台3个侧面均为直角梯形，且CC1=√22+(4−2)2=2√2，AB=4√2，A1B1=2√2；所以此几何体的表面积为S=12×2×2+12×4×4+12×(2√2+4√2)×2+12×(2+4)×2+12×(2+4)×2√2=16+12√2．故选：B．由三视图画出此几何体的直观图，可知此几何体为三棱台，且上、下底面均为等腰直角三角形，一条侧棱垂直于底面，求出其表面积即可．本题考查了利用几何体的三视图求表面积的应用问题，也考查了空间想象能力、运算求解能力，是综合性题目．5.答案：B解析：【分析】本题考查二倍角的余弦．诱导公式的化简与求值，考查计算能力，是基础题．利用诱导公式求出cosα=13，同时化简cos(π+2α)为cosα的形式，然后代入求解即可．【解答】解：由sin(π2+α)=13得cosα=13，cos(π+2α)=−cos2α=−(2cos2α−1)=79，故选B．6.答案：D 解析：本题考查了合情推理的应用，属于基础题．先假设甲、乙、丙、丁中的其中一个登上峰顶，然后再逐个去判断四个人的说法，最后看是否满足题意，不满足排除． 【解答】解：如果登到峰顶的是甲，则四人说的都错了，与题设矛盾，故不是甲； 如果登到峰顶的是乙，则只有丁说的是对的，与题设矛盾，故不是乙； 如果登到峰顶的是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故不是丙； 如果登到峰顶的是丁，则甲，丙说的是对的，与题设相符，故是丁． 故选D ．7.答案：D解析： 【分析】本题主要考查复合函数的单调性，根据复合函数单调性的判断方法：同增异减即可判断，求解时要将函数y =log 2(6−x −x 2)分解成两个基本函数：t =6−x −x 2和y =log 2t ，易错点是不求函数的定义域． 【解答】解：由6−x −x 2>0得−3<x <2，所以函数y =log 2(6−x −x 2)的定义域为(−3,2)， 令t =6−x −x 2，则y =log 2t ，因为t =6−x −x 2在(−3,−12)上单调递增， 在[−12,2)上单调递减，又y =log 2t 单调递增， 所以y =log 2(6−x −x 2)在[−12,2)上单调递减． 故选D ．8.答案：A解析：解：结合向量数量积的几何意义及点O 在线段AB ，AC 上的射影为相应线段的中点，可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗|22=16，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|22=18，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =16−18=−2； 故选A ．利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题解析： 【分析】本题考查数列的函数特征及数列的求和，属于中档题．由题意，可得f(x)+f(1−x)=1，从而利用倒序相加法即可得出答案． 【解答】 解：∵f(x)=4x 4x +2，∴f(x)+f (1−x )=4x 4x +2+41−x41−x +2=4x4x +2+44+2·4x =1， ∴S 2019= a 1+a 2+a 3+⋯ +a 2018+a 2019 =f (12019)+f (22019)+f (32019)+ ⋯+f (20172019)+f (20182019)+f (20192019) =[f (12019)+f (20182019)] +[f (22019)+f (20172019)] +[f (32019)+f (20162019)]+⋯+f (1) =1009×1+44+2=30293．故选A ．10.答案：B解析： 【分析】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出目标函数的最大值对应的直线，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最值建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：不等式{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0所表示的平面区域如图，目标函数z =2x +y ，即y =−2x +z ，平移直线y =−2x +z ，当直线在y 轴上截距最大时，z 有最大值，由图可知，当直线经过直线2x −y =0和x +y =3的交点(1,2)时，z 有最大值为2×1+2=4． 故选B ．11.答案：D解析：解：根据函数f(x)=sin(ωx+φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得T2=3π4−5π12=πω，∴ω=3，将(7π12,−1)代入，可得sin(7π4+φ)=−1，故，又|φ|<π2，∴φ=−π4，∴f(x)=sin(3x−π4)，∴f(π2)=sin5π4=−√22，故选D．由周期求出ω的值，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数f(x)的解析式，从而求得f(π2)的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．12.答案：A解析：【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，从而解不等式的问题，熟练掌握相关方法和技巧是解决此类问题的关键．【解答】解：令ℎ(x )=f (x )lnx,x ∈[e,+∞), 则ℎ′(x )=f (x )x+f′(x )lnx =f (x )+xf′(x )lnxx<0，∴函数ℎ(x)在[e,+∞)上单调递减， 又ℎ(4)=f(4)ln4=0，∴在[e,4)上，ℎ(x)>0，在[4,+∞)上，ℎ(x)<0， 又当x ∈[e,+∞)时，lnx ≥1， ∴不等式f(x)>0的解集为[e,4)， 故选A .13.答案：3解析： 【分析】此题考查幂函数的解析式，考查幂函数的性质，关键是对幂函数的解析式、性质的熟练掌握． 【解答】解：因为幂函数y =(m 2−5m +7)⋅x m2−6上单调递增，所以{m 2−5m +7=1m 2−6>0，解得m =3． 故答案为3．14.答案：12解析：【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，数量积，加减运算，向量的夹角，属于中档题．由条件得到c⃗=(1+4m,2+2m)，利用向量的夹角相等，求得结果．【解答】解：∵a⃗=(1,2),b⃗ =(4,2)，∴c⃗=a⃗+m b⃗ =(1,2)+m(4,2)，∴c⃗=(1+4m,2+2m)，∴，c⃗٠b⃗=4(1+4m)+2(2+2m)=20m+8，|a⃗|=√5，|b⃗ |=2√5，∵依题意：c⃗ ·a⃗|c⃗|·|a⃗|=c⃗ ·b⃗|c⃗|·|b⃗|，∴√5=2√5，∴m=12，故答案为12．15.答案：4解析：【分析】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足9a +1b=3，∴9a +1b=3≥2√9a⋅1b，化为ab≥4，当且仅当b=23，a=6时取等号，故ab的最小值为4．故答案为：4．16.答案：4解析：利用数形结合的方法求解，在同一坐标系中作出函数y=f(x)，y=log3|x|的图象如图，由图象可知原函数有4个零点．17.答案：解：若p真：ax2+2x+1>0恒成立1°若a =0则2x +1>0⇒x >−12不符合条件2°若a ≠0则{a >0△<0⇒{a >04−4a <0⇒a >1 综上a >1，若q 真：a ≤2，由p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题可判p 与q 一真一假，故p 真q 假时：{a >1a >2，∴a >2， p 假q 真时：{a ≤1a ≤2，∴a ≤1， 综上a 的取值范围是a ≤1或a >2．解析：分别求出关于p ，q ，￢p ，￢q 的a 的范围，通过讨论p 真q 假，p 假q 真的情况，从而求出a 的范围．本题考查了复合命题的真假的判断，考查了分类讨论思想，是一道基础题．18.答案：解：(1)∵2a+b c =cos(A+C)cosC ，利用正弦定理可得：2sinA+sinB sinC =−cosB cosC， 化为2sinAcosC +sin(B +C)=0，∴2sinAcosC +sinA =0，又sinA ≠0，解得cosC =−12，C ∈(0,π)，解得C =2π3．(2)由正弦定理可得：a +bc =sinA +sinB sinC=2√33[sinA +sin(π3−A)] =2√33sin(A +π3)， ∵A ∈(0,π3)，∴A +π3∈(π3,2π3)，∴sin(A +π)∈(√3,1], ∴a+b c =2√33sin(A +π3)∈(1,2√33]．解析：本题考查了正弦定理、和差公式、诱导公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由2a+b c =cos(A+C)cosC ，利用正弦定理可得：2sinA+sinB sinC =−cosB cosC ，化简利用和差公式即可得出．(2)由正弦定理可得：a+b c =sinA+sinB sinC =2√33sin(A +π3)，由A ∈(0,π3)，即可得出． 19.答案：解：(1)因为S n+1=S n +2a n +5，所以a n+1=2a n +5，则a n+1+5=2(a n +5)，所以a n+1+5a n +5=2a n +10a n +5=2， 而a 1+5=6，所以{a n +5}是以6为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得a n +5=6×2n−1=3×2n ，a n =3×2n −5，∴S n =3×(2+22+23+⋯+2n )−5n=3×2×(1−2n )1−2−5n =6×2n −6−5n ，由S n +5n =6×2n −6>128，得2n >673， 因为25>673>24，所以S n +5n >128时，n 的最小值为5．解析：本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用已知条件推出a n+1=2a n +5，然后证明{a n +5}是等比数列；(2)求出数列的通项公式和数列的前n 项和，然后化简不等式求解即可．20.答案：(1)证明：如图连接BD 交AC 于O ，连接OM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点，又M 是PB 的中点，∴OM//PD ，又OM ⊂平面MAC ，PD ⊄平面MAC ，∴PD//平面MAC ．(2)解：∵AC =√2，CD =2，∠ACD =45°，∴AD =√CD 2+AC 2−2AC ⋅CD ⋅cos45°=√2，∴AD 2+AC 2=CD 2，∴AD ⊥AC ．取CD 的中点E ，连接AE ，PE ，∵AD =AC =√2，∴AE ⊥CD ，且AE =12CD =1，又CD ⊥PA ，PA ∩AE =A ，PA 、AE ⊂平面PAE ，∴CD ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴CD ⊥PE ．∴PE =√PC 2−CE 2=1，又PA =√2，AE =1，∴PA 2=PE 2+AE 2，∴PE ⊥AE ，又CD ∩AE =E ，CD 、AE ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ， ∴V P−ABCD =13S 平行四边形ABCD ⋅PE =13×12×√2×√2×2×1=23．解析：本题考查了线面平行的判定，考查线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．(1)连接BD 交AC 于O ，连接OM ，利用中位线可得OM//PD ，故PD//平面MAC ；(2)取CD 的中点E ，连接AE ，PE ，证明CD ⊥平面PAE ，得出CD ⊥PE ，再根据勾股定理得出PE ⊥AE ，故而PE ⊥平面ABCD ，代入棱锥的体积公式计算即可．21.答案：解：(1)函数的定义域是(0,+∞)，f′(x)=1x −a x 2，f′(1)=1−a ，f(1)=a −2，故曲线y =f(x)在(1,f(1))处的曲线方程是：y −(a −2)=(1−a)(x −1)，即(a −1)x +y −2a +3=0，又曲线y =f(x)在(1,f(1))处的切线为：2x +y −3=0，故a =3；(2)由于f′(x )=x−ax 2，①若a ≤0，对于x ∈(0,+∞)，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(0,+∞)递增，故函数的递增区间是(0,+∞)；②若a >0，当x ∈(0,a)时，f′(x)<0，f(x)递减，x ∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，故f(x)在(0,a)递减，在(a,+∞)递增；(3)a >0时，直线即y =−(a +1)x +2(a −1)，令g (x )=f (x )−[−(a +1)x +2(a −1)]，g′(x )=(a+1)(x+1)(x−a a+1)x 2，∵a >0，x >0，∴a +1>0，x +1>0，且a a+1∈(0,1)，当0<x <a a+1时，g′(x)<0，g(x)在(0,aa+1)递减，x >a a+1时，g′(x)>0，g(x)在(a a+1,+∞)递增，故x =a a+1时，g(x)取得最小值ln a a+1+a +1+a −2a =1+ln a a+1，∵曲线y=f(x)都在直线(a+1)x+y−2(a−1)=0的上方，故g(x)≥0，故g(x)min=1+ln aa+1>0，aa+1>1e,a>1e−1，故a的范围是(1e−1,+∞)．解析：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，根据切线方程求出a的值即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(3)令g(x)=f(x)−[−(a+1)x+2(a−1)]，求出函数的导数，得到函数g(x)的单调区间，从而求出g(x)的最小值，求出a的范围即可．22.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=|x−a|−2.若a=1，不等式f(x)+|2x−3|>0，化为：|x−1|+|2x−3|>2．当x≥32时，3x>6.解得x>2，当x∈(1,32)时，可得−x+2>2，不等式无解；当x≤1时，不等式化为：4−3x>2，解得x<23，不等式的解集为：(−∞,23)∪(2,+∞)；(Ⅱ)关于x的不等式f(x)<|x−3|恒成立，可得|x−a|−2<|x−3|，设f(x)=|x−a|−|x−3|，因为|x−a|−|x−3|≤|a−3|，所以f(x)max=|a−3|，即：|a−3|<2，所以a的取值范围为(1,5)．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．(Ⅰ)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(Ⅱ)可得|x−a|−2<|x−3|，设f(x)=|x−a|−|x−3|，求出f(x)的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．。
2019-2020深圳华师一附中实验学校数学中考模拟试卷带答案
2019-2020深圳华师一附中实验学校数学中考模拟试卷带答案一、选择题1．已知反比例函数 y＝的图象如图所示，则二次函数 y =a x 2－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心均在反比例函数y＝kx（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为12，则k的值为（）A．12B．4C．3D．63．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（）A．110B．19C．16D．154．下列命题中，其中正确命题的个数为（）个．①方差是衡量一组数据波动大小的统计量；②影响超市进货决策的主要统计量是众数；③折线统计图反映一组数据的变化趋势；④水中捞月是必然事件．A．1B．2C．3D．45．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下（）元A．8B．16C．24D．326．九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：90分，95分，96分，96分，95分，89分，则该同学这6次成绩的中位数是（）A．94B．95分C．95.5分D．96分7．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD AC⊥于点D，连接BD，BC，且10AB=，8AC=，则BD的长为（）A ．25B ．4C ．213D ．4.88．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac<b 2，③2a+b=0，④a －b+c>2，其中正确的结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．如果，则a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 10．如图，点A ，B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，点C ，D 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上，AC ∥BD ∥y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1；2，△OAC 与△CBD 的面积之和为，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．11．下列计算错误的是（ ）A ．a 2÷a 0•a 2=a 4 B ．a 2÷（a 0•a 2）=1 C ．（﹣1.5）8÷（﹣1.5）7=﹣1.5D ．﹣1.58÷（﹣1.5）7=﹣1.5 12．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．色盲是伴X 染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：抽取的体检表数n50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数m3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率m/n 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为______（结果精确到0.01）． 14．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.15．已知62x =，那么222x x -的值是_____．16．某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.17．若一个数的平方等于5，则这个数等于_____．18．在函数3y x=-的图象上有三个点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（12，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系为_____．19．已知10a b b -+-=，则1a +=__．20．在一次班级数学测试中，65分为及格分数线，全班的总平均分为66分，而所有成绩及格的学生的平均分为72分，所有成绩不及格的学生的平均分为58分，为了减少不及格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上了5分，加分之后，所有成绩及格的学生的平均分变为75分，所有成绩不及格的学生的平均分变为59分，已知该班学生人数大于15人少于30人，该班共有_____位学生．三、解答题21．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．22．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千克）与每千克降价x （元）(020)x <<之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？23．直线AB 交⊙O 于C 、D 两点，CE 是⊙O 的直径，CF 平分∠ACE 交⊙O 于点F ，连接EF ，过点F 作FG∥ED 交AB 于点G ．（1）求证：直线FG 是⊙O 的切线；（2）若FG ＝4，⊙O 的半径为5，求四边形FGDE 的面积．24．将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D '处，折痕为EF ．（1）求证：ABE AD F V V ≌；（2）连结CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．25．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ．以AB 上某一点O 为圆心作⊙O ，使⊙O 经过点A 和点D ．（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O 的半径；②设⊙O 与AB 边的另一个交点为E ，求线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】先根据抛物线y=ax 2-2x 过原点排除A ，再由反比例函数图象确定ab 的符号，再由a 、b 的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=bx+a 的位置关系，进而得解．【详解】∵当x=0时，y=ax 2-2x=0，即抛物线y=ax 2-2x 经过原点，故A 错误；∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，∴ab ＞0，即a 、b 同号，当a＜0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；当a＞0时，b＞0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误；C正确．故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．2．D解析：D【解析】分析：设点A的坐标为(m,km)，则根据矩形的面积与性质得出矩形中心的纵坐标为2km，求出中心的横坐标为m+6mk，根据中心在反比例函数y＝kx上，可得出结果.详解：设点A的坐标为(m,km)，∵矩形ABCD的面积为12，∴121212m BCkAB km===，∴矩形ABCD的对称中心的坐标为(m+6mk,2km)，∵对称中心在反比例函数上，∴(m+6mk)×2km=k，解方程得k=6，故选D.点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy位定值是解答本题的关键.3．A解析：A【解析】∵密码的末位数字共有10种可能（0、1、 2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 0都有可能），∴当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是1 10.故选A. 4．C解析：C 【解析】【分析】利用方差的意义，众数的定义、折线图及随机事件分别判断后即可确定正确的选项．【详解】①方差是衡量一组数据波动大小的统计量，正确，是真命题；②影响超市进货决策的主要统计量是众数，正确，是真命题；③折线统计图反映一组数据的变化趋势，正确，是真命题；④水中捞月是随机事件，故错误，是假命题，真命题有3个，故选C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解方差的意义，众数的定义、折线图及随机事件等知识，难度不大．5．D解析：D【解析】【分析】设每块方形巧克力x元，每块圆形巧克力y元，根据小明身上的钱数不变得出方程3x+5y-8=5x+3y+8，化简整理得y-x=8．那么小明最后购买8块方形巧克力后他身上的钱会剩下（5x+3y+8）-8x，化简得3（y-x）+8，将y-x=8代入计算即可．【详解】解：设每块方形巧克力x元，每块圆形巧克力y元，则小明身上的钱有（3x+5y-8）元或（5x+3y+8）元．由题意，可得3x+5y-8=5x+3y+8，，化简整理，得y-x=8．若小明最后购买8块方形巧克力，则他身上的钱会剩下：（5x+3y+8）-8x=3（y-x）+8=3×8+8=32（元）．故选D．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出每块方形巧克力与每圆方形巧克力的钱数之间的关系是解决问题的关键．6．B解析：B【解析】【分析】根据中位数的定义直接求解即可．【详解】把这些数从小到大排列为：89分，90分，95分，95分，96分，96分，则该同学这6次成绩的中位数是：＝95分；故选：B ．【点睛】 此题考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．7．C解析：C【解析】【分析】先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到142CD AD AC ===，然后利用勾股定理计算BD 的长． 【详解】 ∵AB 为直径，∴90ACB ︒∠=，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===， 在Rt CBD ∆中，2246213BD =+=．故选C ．【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．8．C解析：C【解析】【详解】①∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x ==﹣1，∴b =2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＞0，所以①正确；②∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，∴4ac <b 2，所以②正确；③∵b =2a ，∴2a ﹣b =0，所以③错误；④∵x =﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b +c ＞2，所以④正确．故选C．9．B解析：B【解析】试题分析：根据二次根式的性质1可知：，即故答案为B..考点：二次根式的性质.10．C解析：C【解析】【分析】由题意，可得A（1，1），C（1，k），B（2，），D（2，k），则△OAC面积＝(k-1)，△CBD的面积＝×(2-1)×(k-)=(k-1)，根据△OAC与△CBD的面积之和为，即可得出k的值．【详解】∵AC∥BD∥y轴，点A，B的横坐标分别为1、2，∴A（1，1），C（1，k），B（2，），D（2，k），∴△OAC面积＝×1×(k-1)，△CBD的面积＝×(2-1)×(k-)=(k-1)，∵△OAC与△CBD的面积之和为，∴(k-1)+ (k-1)=，∴k＝4．故选C．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形面积的计算，解题的关键是用k表示出△OAC与△CBD的面积．11．D解析：D【解析】分析：根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，逐项判定即可．详解：∵a2÷a0•a2=a4，∴选项A不符合题意；∵a2÷（a0•a2）=1，∴选项B 不符合题意；∵（-1.5）8÷（-1.5）7=-1.5，∴选项C 不符合题意；∵-1.58÷（-1.5）7=1.5，∴选项D 符合题意．故选D ．点睛：此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．12．D解析：D【解析】【分析】根据二次函数图象开口向上得到a>0，再根据对称轴确定出b ，根据二次函数图形与x 轴的交点个数，判断24b ac -的符号，根据图象发现当x=1时y=a+b+c<0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．【详解】∵二次函数图象开口方向向上，∴a >0， ∵对称轴为直线02b x a=->， ∴b <0，二次函数图形与x 轴有两个交点，则24b ac ->0，∵当x =1时y =a +b +c <0，∴24y bx b ac =+-的图象经过第二四象限，且与y 轴的正半轴相交， 反比例函数a b c y x++=图象在第二、四象限， 只有D 选项图象符合.故选：D.【点睛】 考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键.二、填空题13．07【解析】【分析】随着实验次数的增多频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率【详解】解：观察表格发现随着实验人数的增多男性患色盲的频率逐渐稳定在常数007左右故男性中男性患色盲的概率为007故解析：07【解析】【分析】随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率．【详解】解：观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在常数0.07左右，故男性中，男性患色盲的概率为0.07故答案为：0.07．【点睛】本题考查利用频率估计概率．14．5【解析】【分析】根据题意运用待定系数法建立适当的函数解析式代入求值即可解答【详解】以左边树与地面交点为原点地面水平线为x轴左边树为y 轴建立平面直角坐标系由题意可得A(025)B(225)C(051解析：5【解析】【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)设函数解析式为y=ax2+bx+c把A. B. C三点分别代入得出c=2.5同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1解得a=2，b=−4，c=2.5.∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5.∵2>0∴当x=1时,y min=0.5米.15．4【解析】【分析】将所给等式变形为然后两边分别平方利用完全平方公式即可求出答案【详解】∵∴∴∴∴故答案为：4【点睛】本题考查了二次根式的运算解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式注意正确解析：4【解析】【分析】将所给等式变形为x=【详解】∵x=，∴x-=x=，∴(22∴226x-+=，∴24x-=，故答案为：4【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式.注意正确的变形可以使得运算简便.16．2000【解析】【分析】设这种商品的进价是x元根据提价之后打八折售价为2240元列方程解答即可【详解】设这种商品的进价是x元由题意得(1+40)x×08＝2 240解得：x＝2000故答案为：2000解析：2000，【解析】【分析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可.【详解】设这种商品的进价是x元，由题意得，(1+40%)x×0.8＝2240，解得：x＝2000，故答案为：2000.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用——销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、实际售价间的关系是解题的关键.17．【解析】【分析】根据平方根的定义即可求解【详解】若一个数的平方等于5则这个数等于：故答案为：【点睛】此题主要考查平方根的定义解题的关键是熟知平方根的性质解析：【解析】【分析】根据平方根的定义即可求解.【详解】若一个数的平方等于5，则这个数等于：故答案为：【点睛】此题主要考查平方根的定义，解题的关键是熟知平方根的性质.18．y2＞y1＞y3【解析】【分析】根据图象上的点（xy ）的横纵坐标的积是定值k 可得xy=k 据此解答即可【详解】解：∵函数y=-的图象上有三个点（-2y1）（-1y2）（y3）∴-2y1=-y2=y3=解析：y 2＞y 1＞y 3．【解析】【分析】根据图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，可得xy=k ，据此解答即可．【详解】解：∵函数y=-3x 的图象上有三个点（-2，y 1），（-1，y 2），（12，y 3）， ∴-2y 1=-y 2=12y 3=-3， ∴y 1=1.5，y 2=3，y 3=-6，∴y 2＞y 1＞y 3．故答案为y 2＞y 1＞y 3．【点睛】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征．解题时注意：图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．19．【解析】【分析】利用非负数的性质结合绝对值与二次根式的性质即可求出ab 的值进而即可得出答案【详解】∵+|b ﹣1|=0又∵∴a ﹣b=0且b ﹣1=0解得：a=b=1∴a+1=2故答案为2【点睛】本题主要解析：【解析】【分析】利用非负数的性质结合绝对值与二次根式的性质即可求出a ，b 的值，进而即可得出答案．【详解】b ﹣1|=0，0≥，|1|0b -≥，∴a ﹣b =0且b ﹣1=0，解得：a =b =1，∴a +1=2.故答案为2．【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及绝对值与二次根式的性质，根据几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0得到关于a 、b 的方程是解题的关键．20．28【解析】【分析】设加分前及格人数为x人不及格人数为y人原来不及格加分为及格的人数为n人所以72x+58y=66(x+y)75(x+n)+59(y-n)=(66+5)(x+y)用n分别表示xy得到解析：28【解析】【分析】设加分前及格人数为x人，不及格人数为y人，原来不及格加分为及格的人数为n人，所以，用n分别表示x、y得到x+y＝n，然后利用15＜n＜30，n为正整数，n为整数可得到n＝5，从而得到x+y的值．【详解】设加分前及格人数为x人，不及格人数为y人，原来不及格加分为为及格的人数为n人，根据题意得，解得，所以x+y＝n，而15＜n＜30，n为正整数，n为整数，所以n＝5，所以x+y＝28，即该班共有28位学生．故答案为28．【点睛】本题考查了加权平均数：熟练掌握加权平均数的计算方法．构建方程组的模型是解题关键．三、解答题21．49．【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案即可．【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况， ∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为49． 【点睛】本题考查列表法与树状图法．22．（1）10100y x =+；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．【解析】【分析】（1）根据图象可得：当2x =，120y =，当4x =，140y =；再用待定系数法求解即可；（2）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）设一次函数解析式为：y kx b =+，根据图象可知：当2x =，120y =；当4x =，140y =；∴21204140k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：10100k b =⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为10100y x =+；（2）由题意得：(6040)(10100)2090x x --+=，整理得：21090x x -+=，解得：11x =．29x =，∵让顾客得到更大的实惠，∴9x =.答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键．23．（1）证明见解析（2）48【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出∠OFC=∠FCG ，继而得出∠GFC+∠OFC=90°，即可得出答案；（2）首先得出四边形FGDH 是矩形，进而利用勾股定理得出HO 的长，进而得出答案.【详解】（1）连接FO ，∵ OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF．∵CF平分∠ACE，∴∠FCG＝∠FCE．∴∠OFC＝∠FCG．∵ CE是⊙O的直径，∴∠EDG＝90°，又∵FG//ED，∴∠FGC＝180°－∠EDG＝90°，∴∠GFC＋∠FCG＝90°∴∠GFC＋∠OFC＝90°，即∠GFO＝90°，∴OF⊥GF，又∵OF是⊙O半径，∴FG与⊙O相切．（2）延长FO，与ED交于点H，由(1)可知∠HFG＝∠FGD＝∠GDH＝90°，∴四边形FGDH是矩形．∴FH⊥ED，∴HE＝HD．又∵四边形FGDH是矩形，FG＝HD，∴HE＝FG＝4.∴ED＝8.∵在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，∴OH＝22OE HE-＝2254-＝3．∴FH＝FO＋OH＝5＋3＝8．S四边形FGDH＝12(FG＋ED)•FH＝12×(4＋8)×8＝48．24．（1）证明见解析；（2）四边形AECF是菱形．证明见解析.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，从而利用ASA 判定△ABE ≌△AD′F ；（2）四边形AECF 是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证．【详解】解:（1）由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′，∠C=∠D′AE ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D ，AB=CD ，∠C=∠BAD ．∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD ，即∠1+∠2=∠2+∠3．∴∠1=∠3．在△ABE 和△A D′F 中∵{13D BAB AD ∠'=∠='∠=∠∴△ABE ≌△AD′F （ASA ）．（2）四边形AECF 是菱形．证明：由折叠可知：AE=EC ，∠4=∠5．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∴∠5=∠6．∴∠4=∠6．∴AF=AE ．∵AE=EC ，∴AF=EC ．又∵AF ∥EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵AF=AE ，∴平行四边形AECF 是菱形．考点：1.全等三角形的判定；2.菱形的判定．25．（1）BC 与⊙O 相切，理由见解析；（2）①⊙O 的半径为2.②S 阴影=2233π .【解析】【分析】（1）根据题意得：连接OD，先根据角平分线的性质，求得∠BAD＝∠CAD，进而证得OD∥AC，然后证明OD⊥BC即可；（2）设⊙O的半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值；然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得结果．【详解】（1）相切．理由如下：如图，连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC.又∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切（2）①在Rt△ACB和Rt△ODB中，∵AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，OB＝2OD.又OA＝OD＝r，∴OB＝2r，∴2r＋r＝6，解得r＝2，即⊙O的半径是2②由①得OD＝2，则OB＝4，BD＝3S阴影＝S△BDO－S扇形ODE＝12×3×2－2602360π⨯＝3－23π。
湖北省武汉市华师一附中2019-2020学年七年级下学期期中数学试题
设绳长 尺，长木为 尺，
依题意得 ，
故选B．
【点睛】
此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．
8．D
【解析】
【分析】
利用平行线的性质、垂直及平行的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①两直线平行，同位角相等，故原命题错误；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线2-x=3x-4或2-x+(3x-4)=0，
解2-x=3x-4得x= ，
解2-x+(3x-4)=0得x=1，
x的值为 或1，
故选D．
【点睛】
本题考查了点的坐标，利用到两坐标轴的距离相等得出方程是解题关键．
7．B
【解析】
【分析】
本题的等量关系是：绳长 木长 ；木长 绳长 ，据此可列方程组求解．
【详解】
如图，观察发现，
第2次跳动至点的坐标（2,1），
第4次跳动至点的坐标（3,2），
第6次跳动至点的坐标（4,3），
第8次跳动至点的坐标（5,4），
……
第2n次跳动至点的坐标（n+1,n），
则第124次，即2×62次跳动至点的坐标（62+1,62），
即A124的坐标（63,62）．
故答案选A．
【点睛】
A． B． C． D．
6．已知P(2-x，3x-4)到两坐标轴的距离相等，则x的值为( )
A． B． C． 或 D． 或1
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余 尺，问木长多少尺，现设绳长 尺，木长 尺，则可列二元一次方程组为（ ）
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高二(下)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共11小题，共55.0分）1.甲、乙、丙、丁四人站成一排照相，满足甲乙相邻且甲不在最左边的站法有()A. 9种B. 10种C. 11种D. 12种2.对于给定的样本点所建立的模型A和模型B，它们的残差平方和分别是a1,a2,R2的值分别为b1，b2，下列说法正确的是()A. 若a1<a2，则b1<b2，A的拟合效果更好B. 若a1<a2，则b1<b2，B的拟合效果更好C. 若a1<a2，则b1>b2，A的拟合效果更好D. 若a1<a2，则b1>b2，B的拟合效果更好3.圆x2+y2=9，以M(2,1)为中点的弦所在的直线方程为()A. x+2y−4=0B. 4x+y−9=0C. 2x−y−3=0D. 2x+y−5=04.设随机变量X～N(3,σ2)，若P(X>m)=0.3，则P(X≥6−m)=()A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.75.已知可导函数f(x)满足f(x)=2xf′(1)+lnx−1，则f(1)=()A. −3B. −2C. −1D. 26.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+1+ki=0(k∈R)有实根，则k2=()A. 2B. 4C. 3D. 97.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 2π+2√3B. 4π+2√3C. 2π+2√33D. 4π+2√338.设ξ1～B(10,p)，ξ2～B(10,q)，且pq>14，则“E(ξ1)>E(ξ2)”是“D(ξ1)<D(ξ2)”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知双曲线x2−y22=1上存在两点M，N关于直线x−y+m=0对称，且线段MN中点在抛物线y2=4x上，则实数m的值为()A. −3B. 0或−3C. −4D. 0或110.现有甲、乙、丙、丁、戌5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A. 234B. 152C. 126D. 10811.如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为F1，F2，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=60°，设它们的离心率分别为e1，e2，则(e1⋅e2)min=()A. 1B. √32C. 2 D. √64二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）12.2020年华中师大一附中将迎来70周年校庆，学校安排5位男老师和3为女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取4位老师主持晚会，若抽取的4位老师是两男两女，则称主持人为“快乐搭档”.在已经抽取一位女老师担任主持人的条件下，最后确定的主持人是“快乐搭档”的概率为______．13.设A(0,1)，B是圆F：x2+(y+1)2=16上的动点，AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为______．14.(x2−x+1)10展开式中x3项的系数为________．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15.已知f(x)=ln(x+1)+asin2x，若曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为−1，则a=(1)；当a=0时，与曲线y=lnx+1和曲线y=f(x)都相切的直线的方程是(2)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）,1+i,2−i,2+2ai,3−ai}(a∈R)的所有元素的和为z，且z=z−．16.设集合M={21+i+i3|的值；(1)求|3a−i1+ai(2)设x，y∈M(x≠y)，求事件“xy∈R”的概率．17.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m 第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？，附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18. 已知点A(0,1)，B(1,2)，C 是抛物线x 2=4y 上的动点．(1)求△ABC 周长的最小值；(2)若C 位于直线AB 右下方，求△ABC 面积的最大值．19. 已知(√x +√x4)n 的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256． (1)求展开式中有理项的个数； (2)求展开式中系数最大的项．20. 湖北省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[86,100]、[71,85]、[56,70]、[41,55]、[30,40]五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分．具体转换分数区间如表：而等比例转换法是通过公式计算：Y 2−YY−Y 1=T 2−TT−T 1其中Y 1、Y 2分别表示原始分区间的最低分和最高分，T 1、T 2分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为Y 1、Y 2时，等级分分别为T 1、T 2，假设小明同学的生物考试成绩信息如表：设小明转换后的等级成绩为T ，根据公式得：84−7575−69=85−TT−71，所以T =76.6≈77(四舍五入取整)，小明最终生物等级成绩为77分．已知某学校学生有60人选了政治，以期中考试成绩为原始成绩转换该学校选政治的学生的政治等级成绩，其中政治成绩获得A 等级的学生原始成绩统计如表：(1)从政治成绩获得A 等级的学生中任取3名，求至少有2名同学的等级成绩不小于93分的概率；(2)从政治成绩获得A 等级的学生中任取4名，设4名学生中等级成绩不小于93分人数为ξ，求ξ的分布列和期望．21. 已知圆O ：x 2+y 2=r 2的任意一条切线l 与椭圆M ：x 212+y24=1都有两个不同交点A ，B(O 是坐标原点)(1)求圆O 半径r 的取值范围；(2)是否存在圆O ，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0恒成立？若存在，求出圆O 的方程及|OA||OB|的最大值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据题意，将甲乙看成一个整体，与丙丁一起全排列，有A22A33=12种情况，其中甲乙相邻且甲在最左边的情况有A22=2种，则有12−2=10种满足题意的排法；故选：B．根据题意，用间接法分析：先计算甲乙相邻的情况，再排除其中甲乙相邻且甲在最左边的情况，据此分析可得答案．本题考查排列、组合的简单应用，涉及相邻问题，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：比较两个模型的拟合效果时，如果模型残差平方和越小，则相应的相关指数R2越大，该模型拟合的效果越好．故选：C．比较两个模型的拟合效果时，如果模型残差平方和越小，则相应的相关指数R2越大，该模型拟合的效果越好，即可得出结论．本题是基础题．考查残差平方和、相关指数．3.【答案】D，【解析】解：x2+y2=9的圆心为(0,0)，则k OM=12∴以点M(2,1)为中点的弦所在直线方程为y−1=−2(x−2)，即2x+y−5=0．故选D．求出k OM=1，即可求出以点M(2,1)为中点的弦所在直线方程．2是关键．本题考查轨迹方程，求出k OM=124.【答案】D【解析】解：∵随机变量X～N(3,σ2)，∴x=3是该正态分布密度曲线的对称轴，∴P(X≥6−m)=P(X≤m)=1−P(X>m)=1−0.3=0.7．故选：D．利用正态分布密度曲线关于x=μ对称的特点，可知x=m与x=6−m关于x=3对称，即可求出所求的概率．本题考查正态分布密度曲线的性质，要注意密度曲线对称性的应用．属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵f(x)=2xf′(1)+lnx−1，∴f′(x)=2f′(1)+1，x令x=1得f′(1)=2f′(1)+1，∴f′(1)=−1，∴f(x)=−2x+lnx−1，∴f(1)=−2+0−1=−3故选：A．利用导数的运算法则求出f′(x)，令x=1可得f′(1)=2f′(1)+1，计算可得答案．本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，令导函数中的x用自变量的值代替．6.【答案】B【解析】解：由关于x的方程x2+(k+2i)x+1+ki=0(k∈R)有实根，得(x2+kx+ 1)+(2x+k)i=0，2=4．∴{2x+k=0x2+kx+1=0，解得k故选：B．把已知方程变形，利用实部为0且虚部为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础的计算题．7.【答案】C【解析】【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”.三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为√2，其底面积为2，又母线长为2，故其高为√22−12=√3由此知其体积为13×2×√3=2√33故组合体的体积为2π+2√33故选：C．8.【答案】C【解析】解：对于：E(ξ1)>E(ξ2)，可得10p>10q，解得p>q．对于：D(ξ1)<D(ξ2)，可得：10p(1−p)<10q(1−q)，转换为：(p−q)(p+q−1)>0．由于0<p<1，0<q<1，所以14<pq<1．所以p+q≥2√pq>2×12=1，所以p+q−1>0，所以：当p>q时，(p−q)(p+q−1)>0成立，由于p+q−1>0，由(p−q)(p+q−1)>0，所以p>q．故“E(ξ1)>E(ξ2)”是“D(ξ1)<D(ξ2)”成立的充要条件．故选：C．直接利用二项分布的应用，通过对数学期望和方差考察四个条件的应用．本题考查的知识要点：二项分布的应用，四个条件的应用，数学期望和方差的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】B【解析】解：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由题意可得{x 12−y 122=1x 22−y 222=1，两式相减，可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)−(y 1−y 2)(y 1+y 2)2=0，即y 1−y 2x1−x 2=2(x 1+x 2)y 1+y 2，而两点M ，N 关于直线x −y +m =0对称，所以即y 1−y 2x 1−x 2=−1，所以2(x 1+x 2)y 1+y 2=−1，所以y 1+y 2=−2(x 1+x 2)，MN 的中点坐标为：(x 1+x 22,y 1+y 22)，而线段MN 中点在抛物线y 2=4x 上，所以(y 1+y 22)2=4⋅x 1+x 22，所以可得：(x 1+x 2)2=2(x 1+x 2)，解得x 1+x 2=0，或x 1+x 2=2， 故MN 的中点坐标(0,0)或(1,−2)，由题意可得MN 的中点在直线x −y +m =0上，可得0−0+m =0，或1−(−2)+m =0，解得：m =0或m =−3， 故选：B ．设M ，N 的坐标，代入双曲线上，两式相减可得直线MN 的斜率与横坐标之和，纵坐标之和的关系，由题意在中点在抛物线上，求出中点的横坐标之和及纵坐标，再由MN 的中点在直线x −y +m =0上求出m 的值．本题考查双曲线的性质及点差法求斜率，和点关于线的对称的性质，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C 31×A 32=18种安排方案；②甲乙不同时参加一项工作：若丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A 32×C 32×A 22=3×2×3×2=36种； 若甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A 32×C 31×C 21×A 22=72种；此时有36+72=108种安排方案；则共有18+108=126种安排方案，故选：C．根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论：①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，涉及分类计数原理的应用，注意特殊元素的分析．11.【答案】B【解析】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|MF1|+|MF2|=2a1，|MF1|−|MF2|=2a2，∴|MF1|=a1+a2，|MF2|=a1−a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=60°，在△PF1F2中由余弦定理得，4c2=(a1+a2)2+(a1−a2)2−2(a1+a2)(a1−a2)cos60°，化简得：a12+3a22=4c2，该式可变成：1e12+3e22=4，∴4=1e12+3e22≥2√3e1e2，则e1e2≥√32．∴(e1⋅e2)min=√32．故选：B．设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c.由题意与双曲线的定义得到∴|MF1|=a1+a2，|MF2|=a1−a2，在△F1PF2中根据余弦定理可得到1e12+3e22=4，再由基本不等式求最值．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．12.【答案】47【解析】解：学校安排5位男老师和3为女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取4位老师主持晚会，若抽取的4位老师是两男两女，则称主持人为“快乐搭档”．在已经抽取一位女老师担任主持人的条件下，基本事件总数为n=C73=35，最后确定的主持人是“快乐搭档”包含的基本事件个数m=C52C21=20，∴最后确定的主持人是“快乐搭档”的概率p=mn =2035=47．故答案为：47．基本事件总数为n=C73=35，最后确定的主持人是“快乐搭档”包含的基本事件个数m=C52C21=20，由此能求出最后确定的主持人是“快乐搭档”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】y24+x23=1【解析】解：由圆F：x2+(y+1)2=16，得圆心F(0,−1)，半径等于4，∵AB的垂直平分线交BF于P，∴|PA|=|PB|，∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=半径4>|AF|，故点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，且2a=4，c=1，∴b=√3，则动点P的轨迹方程为y24+x23=1．故答案为：y24+x23=1．利用椭圆的定义判断点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．本题考查用定义法求点的轨迹方程，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】−210【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．先把三项式写成二项式，求得二项式展开式的通项公式，再求一次二项式的展开式的通项公式，令x 的幂指数等于3，求得r 、m 的值，即可求得x 3项的系数． 【解答】解：(x 2−x +1)10=[1+(x 2−x)]10 的展开式的通项公式为T r+1=C 10r(x 2−x)r ． 对于(x 2−x)r ，通项公式为T m+1=C r m ⋅x 2r−2m .(−x)m ，令2r −2m +m =3，根据0≤m ≤r ，r 、m 为自然数， 求得{r =2m =1，或{r =3m =3．∴(x 2−x +1)10展开式中x 3项的系数为C 102C 21⋅(−1)+C 103C 33⋅(−1)3=−90−120=−210． 故答案为−210．15.【答案】−1y =x【解析】解：(1)f′(x)=1x+1+2acos2x ，令x =0，代入得1+2a =−1，∴a =−1． (2)a =0时，f(x)=ln(x +1)，令g(x)=lnx +1． 设f(x)的切点为：(t,ln(t +1))，f′(x)=1x+1．所以切线为：y −ln(t +1)=1t+1(x −t)，即y =1t+1x +ln(t +1)−tt+1① 设g(x)的切点为：(s,lns +1)，g′(x)=1x ．所以切线为y −(lns +1)=1s (x −s)，即y =1s x +lns②由题意知：{1s =1t+1lns =ln(t +1)−t t+1解得s =1，t =0．故公切线方程为y =x ．(1)先求导数，令x =0时的导数为−1，可求出a 的值； (2)分别设切点，求出切线方程，然后构造方程组即可．本题考查导数的几何意义和公切线的求法．注意公切线最后解方程时的整体代入求解．属于基础题．16.【答案】解：由题意，z =21+i +1+i +2−i +2+2ai +3−ai =1−i +1+i +2−i +2+2ai +3−ai =9+(a −1)i ，∵z =z −，∴a −1=0，即a =1． (1)|3a−i 1+ai +i 3|=|3−i 1+i−i|=|(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)−i|=|1−3i|=√10；(2)∵a =1，∴M ={21+i ,1+i,2−i,2+2ai,3−ai}={1−i,1+i,2−i,2+2i,3−i}， ∵x ，y ∈M(x ≠y)，∴当x =1−i ，y =1+i ；x =1−i ，y =2+2i ；x =1+i ，y =1−i ；x =2+2i ，y =1−i 时，xy ∈R ， 则事件“xy ∈R ”的概率P =4A 52=15．【解析】由已知列式求得a =1．(1)利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解； (2)把a =1代入化简M ，再由古典概型概率公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查古典概型概率的求法，是中档题．17.【答案】解：(1)根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间， 第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间， 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后， 排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m =79+812=80；由此填写列联表如下：(3)根据(2)中的列联表，计算K 2=n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)=40×(15×15−5×5)220×20×20×20=10>6.635，∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．【解析】本题考查了茎叶图、中位数、2×2列联表与独立性检验的应用问题，是中档题．(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高； (2)根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表； (3)列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．18.【答案】解：(1)由抛物线的方程x 2=4y 可得焦点F 坐标(0,1)，与A 重合，准线方程为：y =−1所以△ABC 的周长为：AB +BC +AC ，过C 作CM 垂直于准线于D ，则AC =CD ，所以周长为：AB +BC +CD ≥AB +BD ，当B ，C ，D 在一条直线上时，周长最小，过B 作准线的垂线交抛物线于M ，交准线于D ，这时M 与C 重合，而AB =√12+(2−1)2=√2，BD =2+1=3 所以周长的最小值为AB +BD =3+√2，(2)直线AB 所在的直线方程为：y =2−11−0x +1，即y =x +1， 设过C 与直线AB 平行，且与抛物线相切时C 到直线AB 的距离最大， 设过C 的切线方程为：y =x +b ，由题意b <1，联立直线与抛物线的方程：{y =x +bx 2=4y ，整理可得：x 2−4x −4b =0，则△=16+16b =0，解得b =−1， 所以过C 的切线方程为：y =x −1， 所以两条平行线间的距离d =|1+1|√2=√2，即C 到直线AB 的距离为√2，所以S △ABC =12|AB|⋅d =12⋅√2⋅√2=1， 所以三角形ABC 的最大面积为1．【解析】(1)由抛物线的方程可得A 为抛物线的焦点，由抛物线的性质可得C 到A 的距离等于到准线的距离，过C 作准线的垂线，要使三角形ABC 的周长最小，则过B 作准线的垂线，则最小周长为AB 与B 到准线之和；(2)要使三角形ABC 的面积最大，则C 在平行与直线AB 且与抛物线相切的直线上，设切线方程，与抛物线联立由判别式为0，求出过C 的切线方程，两条平行线的距离为C 到直线AB 的距离，再由面积公式可得面积的最大值．本题考查抛物线的性质及三角形周长的最小值和面积的最大值满足的条件，考查了计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)易知，展开式各二项式系数的和为2n =256，解得n =8．令x =1，则展开式中各项系数之和为(1+a)8=256，所以a =1或−3．所以展开式的通项为T k+1=C 8k (√x)8−k (√x 4)k =a k C 8k x4−3k4，k =0，1，2，…，8． 所以当k =0，4，8时，该项为有理项，共有3项．(2)由(1)知，第k +1项的系数为a k C 8k ，①当a =1时，易知系数最大项即为二项式系数最大项，为T 5=C 84x =70x ． ②当a =−3时，系数最大项应该k =0，2，4，6，8时取得．设第k +1项的系数最大，则(−3)k C 8k ≥(−3)k−2C 8k−2，k 的可能取值为0，2，4，6，8． 即：9k(k−1)≥1(10−k)(9−k)，解得k =6时系数最大．即最大项为T 7=36C 86x −12=20412x −12．【解析】根据二项展开式的二项式系数之和为256，令x =1，a =1即可求出n 的值；各项系数的和，只需令x =1即可求出a 的值．(1)利用通项，令x 的指数为整数，即可求出所有的有理项；(2)分a =1和a =−3两种情况考虑：a =1时，系数即为二项式系数，问题易解；a =−3时，易知奇数项系数为正，故k =0，2，4，6，8时为正，根据通项写出第k +1、k −1项的系数，构造不等式，即可求出系数最大项．本题考查二项式定理的内容及其性质，注意系数与二项式系数的区别以及赋值法的应用．属于中档题．20.【答案】解：(1)设等级分93分对应的原始分为X ，由题意得：100−9393−86=90−XX−75，解得X =82.5，所以，A等级的学生中，等级分不小于93分的有3人．设事件M=“至少有两名学生等级分不小于93分”，∴n(M)=C32C61+C33=19，n(Ω)=C93=84，故P(M)=n(M)n(Ω)=1984．(2)由题意ξ的可能取值为0，1，2，3．∴P(ξ=0)=C30C64C94=542，P(ξ=1)=C31C63C94=1021，P(ξ=2)=C32C62C94=514，P(ξ=3)=C33C61C94=121．故ξ的分布列为：故期望EX=0×542+1×1021+2×514+3×121=43．故ξ的期望为43．【解析】(1)先根据等级分计算公式将等级分93分换算成原始分，从而确定等级分不小于93分的人数，再根据古典概型概率的计算方法求解；(2)由题意，这是一个超几何分布问题，可根据(1)中的结果，按照超几何分布的规律，来计算ξ的分布列及期望．本题考查古典概型概率的计算、离散型随机变量的分布列和期望的计算方法．同时考查学生数学建模、数据分析、数学运算及逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．21.【答案】解：(1)要使圆O：x2+y2=r2的任意一条切线l与椭圆M：x212+y24=1都有两个不同交点A，B(O是坐标原点)则圆O必在椭圆的内部，所以圆的半径满足0<r<2；(2)当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为：y=kx+m，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立切线与椭圆的方程可得{y=kx+mx212+y24=1，整理可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−6=0，所以x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−6k 21+2k 2，因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以x 1x 2+y 1y 2=0，即3m 2−6−6k 21+2k 2=0，可得m 2=2(1+k 2)， 又因为直线y =kx +m 与圆O 相切，所以r =√1+k 2，即r 2=m 21+k 2=2(1+k 2)1+k 2=2，此时圆的方程为x 2+y 2=2，当切线的斜率不存在时，切线方程为x =±√2，代入椭圆中可得交点A(√2,√2)，B(√2,−√2)或A(−√2,√2)，B(−√2,−√2)，满足条件， 所以圆的方程为：x 2+y 2=2，当切线的斜率存在且不为0时，|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√16k 2m 2(1+2k 2)2−4⋅(2m 2−6)1+2k 2 =2√2⋅√4k 4+5k 2+14k 4+4k 2+1 =2√2√1+k 24k 4+4k 2+1=2√2⋅√1+14k 2+1k 2+4≤3，当且仅当k 2=12时取等号，当切线的斜率不存在或等于0时，|AB|=2√2<3， 所以|AB|max =3；因为OA ⊥OB ，所以|OA||OB|=r|AB|=√2|AB|， 所以(|OA||OB|)max =3√2，所以存在圆x 2+y 2=2满足条件，(|OA||OB|)max =3√2．【解析】(1)由题意要使圆O ：x 2+y 2=r 2的任意一条切线l 与椭圆M ：x 212+y 24=1都有两个不同交点A ，B(O 是坐标原点)则圆O 必在椭圆的内部，可得圆的半径的取值范围； (2)分圆的切线的斜率存在和不存在两种情况讨论，假设斜率存在时，设切线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得参数的关系，化简可得半径的值，再由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得|OA||OB|=r|AB|=√2|AB|，可得其最大值． 本题考查直线的方程，圆的方程和数量积的应用及直线与椭圆的综合，属于中难题．。
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2019-2020华中师大一附中数学中考试题(及答案)一、选择题1．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．9B．8C．7D．62．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（）A．110B．19C．16D．153．如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为（）A．4B．3C．2D．14．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下（）元A．8B．16C．24D．325．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+43与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P 在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6B．8C．10D．126．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°7．10+1的值应在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间8．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃~5℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃~8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（）A．1℃~3℃B．3℃~5℃C．5℃~8℃D．1℃~8℃9．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形的周长为（）A．40B．30C．28D．2010．下列二次根式中的最简二次根式是（）A．30B．12C．8D．0.511．如图中的几何体是由一个圆柱和个长方体组成的，该几何体的俯视图是( )A．B．C．D．12．下列各式化简后的结果为32的是（）A．6B．12C．18D．36二、填空题13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为_____．14．如图，直线a、b被直线l所截，a∥b，∠1=70°，则∠2= ．15．分解因式：x3﹣4xy2=_____．16．如图：在△ABC 中，AB=13，BC=12，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，连接DE ，CD ，如果DE=2.5，那么△ACD 的周长是_____．17．若a ，b 互为相反数，则22a b ab +=________.18．分式方程32xx 2--+22x-=1的解为________. 19．二元一次方程组627x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为_____． 20．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC=________．三、解答题21．为响应珠海环保城市建设，我市某污水处理公司不断改进污水处理设备，新设备每小时处理污水量是原系统的1.5倍，原来处理1200m 3污水所用的时间比现在多用10小时． （1）原来每小时处理污水量是多少m 2？（2）若用新设备处理污水960m 3，需要多长时间？22．光明中学全体学生900人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：()1填写下表：中位数 众数随机抽取的50人的社会实践活动成绩(单位：分)()2估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．23．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．24．已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：BC=ED．25．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一座隧道（A、B在同一水平面上），为了测量A、B两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升100米到达C处，在C处观察A地的俯角为39°，求A、B两地之间的距离．（结果精确到1米）（参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】分析：根据多边形的内角和公式计算即可.详解：.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛：本题考查了多边形，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.2．A解析：A【解析】∵密码的末位数字共有10种可能（0、1、 2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 0都有可能），∴当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是1 10.故选A.3．A解析：A【解析】分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．详解：根据题意，得：67955x++++=2x解得：x=3，则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，所以这组数据的方差为15[（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]=4，故选A．点睛：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．4．D解析：D【解析】【分析】设每块方形巧克力x元，每块圆形巧克力y元，根据小明身上的钱数不变得出方程3x+5y-8=5x+3y+8，化简整理得y-x=8．那么小明最后购买8块方形巧克力后他身上的钱会剩下（5x+3y+8）-8x，化简得3（y-x）+8，将y-x=8代入计算即可．【详解】解：设每块方形巧克力x元，每块圆形巧克力y元，则小明身上的钱有（3x+5y-8）元或（5x+3y+8）元．由题意，可得3x+5y-8=5x+3y+8，，化简整理，得y-x=8．若小明最后购买8块方形巧克力，则他身上的钱会剩下：（5x+3y+8）-8x=3（y-x）+8=3×8+8=32（元）．故选D．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出每块方形巧克力与每圆方形巧克力的钱数之间的关系是解决问题的关键．5．A解析：A【解析】试题解析：∵直线l：y=kx+43与x轴、y轴分别交于A、B，∴B（0，43），∴OB=43，在RT△AOB中，∠OAB=30°，∴OA=3OB=3×43=12，∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM=12 PA，设P（x，0），∴PA=12-x，∴⊙P的半径PM=12PA=6-12x，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．故选A．考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征．6．D解析：D【解析】【分析】根据折叠的知识和直线平行判定即可解答.【详解】解：如图可知折叠后的图案∠ABC=∠EBC ，又因为矩形对边平行，根据直线平行内错角相等可得∠2=∠DBC ，又因为∠2+∠ABC=180°，所以∠EBC+∠2=180°，即∠DBC+∠2=2∠2=180°-∠1=140°.可求出∠2=70°.【点睛】掌握折叠图形的过程中有些角度是对称相等的是解答本题的关键.7．B解析：B【解析】 解：∵3104<<，∴41015<<．故选B ． 10 的取值范围是解题关键．8．B解析：B【解析】【分析】根据“1℃～5℃”，“3℃～8℃”组成不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：设温度为x ℃，根据题意可知1538x x x x ≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≤⎩ 解得35x ≤≤．故选：B ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．9．D解析：D【解析】【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求出菱形ABCD的周长．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，AC⊥BD，∴AB＝＝5，∴菱形的周长为4×5＝20．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等和对角线互相垂直且平分的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．10．A解析：A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】A30B12=23C8=22，不是最简二次根式；D2 0.5=故选：A．【点睛】此题考查最简二次根式的概念，解题关键在于掌握（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．11．D解析：D【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看是一个圆形，圆形内部是一个虚线的正方形.故选：D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．12．C解析：C【解析】A不能化简；B C，故正确；D，故错误；故选C．点睛：本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．二、填空题13．60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°∠ABC=30°∴∠A=90°-30°=60°∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上∴AC=A′C∴△A′AC是等边三角形∴∠ACA解析：60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°-30°=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，∴AC=A′C，∴△A′AC是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故答案为60°.14．110°【解析】∵a∥b∴∠3=∠1=70°∵∠2+∠3=180°∴∠2=110°解析：110°【解析】∵a∥b，∴∠3=∠1=70°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=110°15．x（x+2y）（x﹣2y）【解析】分析：原式提取x再利用平方差公式分解即可详解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y）故答案为x（x+2y）（x-2y）点睛：此题考查了提公因式法与公式解析：x（x+2y）（x﹣2y）【解析】分析：原式提取x，再利用平方差公式分解即可．详解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y），故答案为x（x+2y）（x-2y）点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．16．18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5AC∥DE 根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD 根据三角形的周长公式计算即可【详解】∵DE 分别是A解析：18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC ∥DE ，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD ，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】∵D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴AC=2DE=5，AC ∥DE ，AC 2+BC 2=52+122=169，AB 2=132=169，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴∠ACB=90°，∵AC ∥DE ，∴∠DEB=90°，又∵E 是BC 的中点，∴直线DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DC=BD ，∴△ACD 的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，故答案为18．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．17．0【解析】【分析】先提公因式得ab （a+b ）而a+b=0任何数乘以0结果都为0【详解】解：∵=ab（a+b ）而a+b=0∴原式=0故答案为0【点睛】本题考查了因式分解和有理数的乘法运算注意掌握任何数解析：0【解析】【分析】先提公因式得ab （a+b ），而a+b=0，任何数乘以0结果都为0．【详解】解：∵22a b ab = ab （a+b ），而a+b=0，∴原式=0.故答案为0，【点睛】本题考查了因式分解和有理数的乘法运算，注意掌握任何数乘以零结果都为零．18．【解析】【分析】根据解分式方程的步骤即可解答【详解】方程两边都乘以得：解得：检验：当时所以分式方程的解为故答案为【点睛】考查了解分式方程解分式方程的基本思想是转化思想把分式方程转化为整式方程求解解分 解析：x 1=【解析】【分析】根据解分式方程的步骤，即可解答．【详解】方程两边都乘以x 2-，得：32x 2x 2--=-，解得：x 1=，检验：当x 1=时，x 21210-=-=-≠，所以分式方程的解为x 1=，故答案为x 1=．【点睛】考查了解分式方程，()1解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解().2解分式方程一定注意要验根．19．【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解【详解】②﹣①得③将③代入①得∴故答案为：【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法本题属于基础题比较简单解析：15x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．【详解】627x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②﹣①得1x =③将③代入①得5y =∴15x y =⎧⎨=⎩故答案为：15x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．20．【解析】【分析】连接BD 根据中位线的性质得出EFBD 且EF=BD 进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC 是直角三角形求解即可【详解】连接BD 分别是ABAD 的中点EFBD 且EF=BD 又△BDC 是直角三角形 解析：43 【解析】 【分析】连接BD ，根据中位线的性质得出EF //BD ，且EF=12BD ，进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC 是直角三角形，求解即可．【详解】连接BD ,E F 分别是AB 、AD 的中点∴EF //BD ，且EF=12BD 4EF =8BD ∴=又8106BD BC CD ===，，∴△BDC 是直角三角形，且=90BDC ∠︒∴tanC=BD DC =86=43. 故答案为：43.三、解答题21．（1）原来每小时处理污水量是40m 2；（2）需要16小时．【解析】试题分析：()1设原来每小时处理污水量是x m 2，新设备每小时处理污水量是1.5x m 2，根据原来处理1200m 3污水所用的时间比现在多用10小时这个等量关系，列出方程求解即可. ()2根据()960 1.54016÷⨯=即可求出.试题解析：()1设原来每小时处理污水量是x m 2，新设备每小时处理污水量是1.5x m 2，根据题意得：1200120010,1.5x x-= 去分母得：1800120015x ，-= 解得：40x =，经检验40x = 是分式方程的解，且符合题意，则原来每小时处理污水量是40m 2；（2）根据题意得：()960 1.54016÷⨯=（小时），则需要16小时．22．()14，4；()2 3150分．【解析】【分析】()1根据抽取的人数可以确定中位数的位置，从而确定中位数，小长方形最高的小组的分数为该组数据的众数；()2算出抽取的50名学生的平均分乘以全校的总人数即可得到光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．【详解】解：()1由题意，将50人的成绩从小到大排序后，第25和第26个的平均数就是中位数，∵2+9+13=24∴第25和第26个成绩都是4，故本组数据的中位数为4∵成绩在4分的同学人数最多∴本组数据的众数是4故填表如下：2随机抽取的50人的社会实践活动成绩的平均数是：1229313414512x 3.5(50⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==分)． 估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分是：3.59003150(⨯=分)． 【点睛】考查了条形统计图的知识，题目相对比较简单，解题的关键是正确的识图，并从图形中整理出有关的解题的信息．23．（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【解析】【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.【详解】（1）∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE ，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB 10===， ∴△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522∆=⋅=⨯⨯=. 24．见解析【解析】【分析】首先由AB ∥CD ，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD ，再由条件AB=CE ，AC=CD 可证出△BAC 和△ECD 全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED.【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ECD ，∵在△BAC 和△ECD 中，AB=EC ，∠BAC=∠ECD ，AC=CD ，∴△BAC ≌△ECD （SAS ）.∴CB=ED.【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质.25．123米．【解析】【分析】在Rt △ABC 中，利用tan BC CAB AB∠=即可求解． 【详解】解：∵CD ∥AB ，∴∠CAB=∠DCA=39°．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°， tan BC CAB AB ∠=． ∴100123tan 0.81BC AB CAB ==≈∠． 答：A 、B 两地之间的距离约为123米．【点睛】本题考查解直角三角形，选择合适的锐角三角函数是解题的关键．。