§1 测地曲率与测地线

第六章曲面的内蕴几何初步

本章将对曲面的内蕴几何展开进一步讨论．前面已经知道，曲面的第一基本形式确定了曲面的度量性质；同时，对于确定曲面的局部弯曲性质而言，曲面的Gauss曲率以及曲面上的曲线的测地曲率都是重要的内蕴几何量，它们衡量了几何对象的内在弯曲程度，这种内在弯曲在本质上依赖于曲面的度量性质．对于内蕴性质的细致讨论，将会为抽象理论提供可靠的直观基础，便于用自然和合理的方式引进新的几何空间概念并深入理解较为抽象的几何空间．在本章的学习过程中，应该注意体会什么是空间的基本要素．

§1测地曲率与测地线

在第四章中已经知道，曲面上的曲线的测地曲率是曲面的内蕴几何量，并且是平面曲线相对曲率的推广．下面对此进行进一步的讨论．

一．测地曲率的Liouville公式

平面曲线相对曲率可以利用切向角关于弧长的导数而确定；类似地，曲面上的曲线的测地曲率也可以利用适当的切向角来加以刻画．在正交网下考虑．设曲面S: r=r(u1, u2) 的参数网正交，考虑其上的弧长s参数化曲线C: u i=u i(s) 的测地曲率．为此，取自然标架场 {r; r1, r2, n} 所对应的单位正交右手标架场 {r; ξ1, ξ2, n} ，其中

ξ1=r1

|r1|

=

r1

g11

=

r1

E

，ξ2=

r2

|r2|

=

r2

g22

=

r2

G

，g12=F≡ 0 ．

沿曲线C可写

T=r i d u i

d s=

ξ1g11

d u1

d s+

ξ2g22

d u2

d s

=ξ1 cosψ+ξ2 sinψ，

其中夹角函数ψ=ψ(s) 在曲线C局部总可取到连续可微的单值支，满足(1.1)cosψ=g11|(u1(s), u2(s))d u1 d s，sinψ=g22|(u1(s), u2(s))d u2 d s．

故由测地曲率定义式出发进行推导可得

κg=T'(s)•[n(u1(s), u2(s))⨯T(s)] = [n(u1(s), u2(s))⨯T(s)]•T'(s)

= (ξ2 cosψ-ξ1 sinψ)•

d

d s (

ξ1 cosψ+ξ2 sinψ)

= (ξ2 cosψ-ξ1 sinψ)•[dξ1 d s cosψ+dξ2 d s sinψ+ (ξ2 cosψ-ξ1 sinψ ) dψ d s]

=dψ

d s+

ξ2•

dξ1

d s cos

2ψ-ξ1•

dξ2

d s sin

2ψ

=dψ

d s+

ξ2•

dξ1

d s

=dψ

d s+

r2

g22

•

d

d s⎝

⎛

⎭

⎫

r1

g11

=

dψ

d s+

r2

g11g22

•

d r1

d s

=dψ

d s+

r2•r1i

g11g22

d u i

d s；

而易知

r2•r12=r2•r21= (g22)1

2 =

G1

2 ，r2•r11=-r21•r1=

-(g11)2

2 =

-E2

2 ，

故进一步有

(1.2)κg=dψ

d s+

1

EG⎝

⎛

⎭

⎫

-E2

2

d u1

d s+

G1

2

d u2

d s

=dψ

d s+⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

-(E )2

G

d u1

d s+

(G )1

E

d u2

d s，

或写为

(1.3)κg=dψ

d s+

1

EG⎝

⎛⎭⎪⎫

-E2

2

cosψ

E

+

G1

2

sinψ

G

=dψ

d s+

-(E )2 cosψ+ (G )1 sinψ

EG

=dψ

d s+⎝

⎛

⎭⎪

⎫-1

2G

∂ln E

∂u2

cosψ+

1

2E

∂ln G

∂u1

sinψ

=dψ

d s+⎝

⎛

⎭

⎪

⎫-1

G

∂ln E

∂u2

cosψ+

1

E

∂ln G

∂u1

sinψ．

公式(1.2) 或(1.3) 式称为正交网下的Liouville公式，它揭示出曲面上曲线的测地曲率与曲线在曲面上由(1.1) 式所确定的连续可微切向角函数ψ=ψ(s) 的关系，在欧氏平面Descartes直角坐标系下即为曲线相对曲率与切向角的关系式．